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一些相补问题的理论与算法研究 应用数学专业 研究生颜文勇指导教师黄南京 相补理论与算法是应用数学的个新分支它与不动点理论和变分不等式 有着紧密的联系，同时，它又广泛地应用于优化理论对策论、经济，工程、 机械、弹性理论，液体机械，随机优化等领域本文主要讨论几种形式的相补 同题髌的存在性解集的有界性迭代算法及其收敛性全文共五章，具体内 容如下。 ： 在第一章，我们考虑广义序补问题解的存在性我们首先引入了序关系和 序空间然后在定义个新的二元混合单调函数的基础上，利用藕合不动点的 方法证明了广义序补问题解的存在性接着，我们又定望个新的函数，并利 用不动点方法给出了广义序补问题解的存在的新条件最后利用序补问题与隐 变分不等式的关系，给出了隐变分不等式解的存在性的新条件 在第二章，我们研究广义集值拟隐补问题解的有界性及扰动算法首先我 们给出集值映象广义尽域有界性的概念，并证明了广义集值拟隐补问题解集 的有界性最后，构造了此问题解的扰动迭代算法，并利用n a d l e r 定理以及投 影算子攻的性质，并证明了解的收敛性 在第三章，我们研究广义协补问题系统解的存在性我们首先引入了个 广义协补问题的新系统，并在h i l b c r 空间中构造了求解此系统近似解的迭代算 法然后利用相补问题与变分不等式和不动点理论之间的联系。证明了广义协 补同题系统解的存在性和由此算法产生的迭代序列的收敛性另外，我们还构 造了求解此系统的新的扰动算法并证明了扰动算法的收敛性和解的稳定性并 分别讨论了这些算法的收敛性 第吐员四川大学博士学位论文 在第四章，我们研究具有扰动函数的区间参数补问题解的存在性及算法 具有扰动函数的区间参数补问题是区间参数补问题的推广，我们利用区阉算法 的性质，构造了此类问题的f d 算法和区间算法f 田。并分别讨论了其收敛性 最后，我们例举了些数值解的实例，并利用所构造的算法给出了他们的运算 结果 在第五章，我们研究类广义集值非线性拟补问题解的存在性广义集值 非线性拟补问题包含许多问题为特倒，利用a n s a r i 和y a o 的不动点定理和具有 紧值的上半连续映象的性质，我们给出了i - i a u s d o r f f 线性拓扑空间中广义集值 非线性拟补问题解的存在性 关键词；相补问题，有界性。速代算法，序空间，单调性，不动点，隐补 问题，协补问题，变分不等式。收敛性，区间参数，扰动 第i i i 页 r e s e a r c ho nt h e o r ya n da l g o r i t h mo f c o m p e m e n t a r i t yp r o b l e m s g r a d u a t es t u d e n t ：y a hw e n y o n g l p 茁慨h u a n g n a n j i n g t h ec o m p l e m e n t a r i t yt h e o r ya n da l g o r i t h m , i san e wd o m a i ni na p p l i e dm a t h - e m a t i c sa n di t ss u b j e c ti st h es t u d yo f c o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m s c o m p l e m e n t a r - i t yp r o b l e m sh a v et h ec o n t a c tr e l a t i o n sb e t w e e nf i x e dp o i i i tt h e o r ya n dv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e sa n dr e p r e s e n ta w i d ec l a s so f m a t h e m a t i c a lm o d e l sr e l a t e dt oe p t i m i z a f i o ng a m et h e o r y , e c o n o m i c s ，e n g i n e e r i n g , m e c h a n i c s ，e l a s t i c i t y , f l u i dm e c h a n i c s , s t o c h a t i co p t i m a lc o n u - o le t c i nt h i st h e s i s ，w es t u d yt h ee x i s t c n c a o f t h es o l u t i o n , t h eb o a n d n e s so f t h es o l u t i o ns e t s 。t h ei t e r a t i v ea l g o r i t h ma n di t sc o n v e r g e n c e 。t h i s t h e s i si sd i v i d e di n t of i v ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo f t h es o l u t i o n sf o r t h eo r d e r c o m p l a l l e n - r a r i t yp r o b l e m s f i n t , w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fo r d e rr e l a t i o na n do r d e rs p a c e s a n dt h e n , w od e f i n ean e wm i x e dm o n o t o n ef u n c t i o na n ds t u d yt h e 瞄【咖o f s o l u t i o n sf o ro r d e rc o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m si nt h em e t h o do fc o u p l e - m i x e df i x e d p o i n t f u r t h e r m o l 9w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o ro r d e rc o m p l e m e n t a r i t y p r o b | e r n si nt h em e t h o do f f i x e dp o i n t r e s p c e t i v e l y f i n a l l y , w eg i v et h en 钾c o 静 d i t i o n s o f t h es o l u t i o n f o r i m p l i c t v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s u s i n g t h er e l a t i o n b e w t e e n t h eo r d e rc o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m sa n di m p l i c tv a r i a t i o n a li n e q u a d i t i e s i nc h a p t e r2 。w ei n m ) d u c ea n ds t u d yac l a s so fg e n e r a l i z e dm u l t i - v a l u e di r a - p l i e i t q u a s i - c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m f i r 瓯w e 缸缸o d u c e 也e c o n p t o f 掣m 凹鲥嘲 k - a r e ab o u n d n e s so f am u l t i - v a l u e dm a p ，a n ds t u d yt h eb o u n d o d n e s so f t h es o l u t i o n s e t sf o rt h eg e n e r a l i z e dm u l t i - v a l u e di m p l i c i tq u a s i - c o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m a n d t h e n , w ep r e s e n tt h ei t e r a t i v ea l g o r i t h mf o ro d ek i n do f m u l t i - v a l u o di m p l i c i tq u a s i - c o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m f i n a l l y w es t u d yt h ec o n v e r g e n c eo ft h i sa l g o r i t h mb y t h e p r o p e r i t i e s o f t h e p r o j e c t i o n m a p p i n g x a n d n a d l e r t h e o r e m 第t r 页 l t j l l 大学博士学位论文 i nc h a p t e r3 - w ei n t r o d u c ea n ds t u d yan 删s y s t e mo fg e n e r a l i z e dn o n l i n e a r c o - c o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m sa n dc o n s l r n c ta l li t e r a t i v ea l g o r i t h mf o ra p p r o x i m a t - j n gt h es o l u t i o n so ft h es y s t e mo fg e n e r a l i z e dn o n l i n e a rc o - c o m p l e m e n t a r i t yp r o b - l e m si nh i l b e ns p a c e s w ep r o v et h eo x i s t c l l c eo ft h es o l u t i o n sf o rt h es y s t e mo f g e n e r a l i z e dn o n l i n e a rc o - c o m p l e m e n t a r r yp r o b l c m s a n du s i n gt h ei ；e b d o mb e c w e e n c o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m s , v a r i a t i o n a li n e q a l i t i e sa n df i x e dp o i n t , c o n s t r u c ta l li t e r - a t i v ea l g o r i t h ma n dp r o v et h ec o n v e r g e n c eo fi t e r a t i v es e q u e n c e sg e n e r a t e db yt h e a l g o r i t h m w ea l s os t u d yt h ec o n v e r g e n c ea n ds t a b i l i t yo f an 鲫p e r t u r b e di t e r a f i v e a l g o r i t h mf o ra p p r o x i m a t i n gt h es o l u t i o n i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h ei t e r a t i v em e t h o d sf o rl i n e a rc o m p l e m e n t a r i t yp r o b - l c m sw i t hp e r t u r b a t i o na n di n t e r v a ld a t a w ei n t r o d u c et h el i n e a rc o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m s w i t h p e r t u r b a n o n a n d i n t e r v a l d a t a w h i c h i s t h e g e n e r a l i z a t i o n o f t h e l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m sw i t hi n t e r v a ld a t a u s i n gt h ep r o p e r i t i e so f i n t 日v a la l g o - r i t h m , w eo o n s t n - t e d ( t ) a l g o r i t h ma n d ( t i ) a l g o r i t h mf o rac l a s so f l i n e a rc o m p l c - m e n m r i t yp r o b l e m sw i t hp e r t u r b a t i o na n di n t e r v a ld a t a , a n dp r o v e dt h ec o n v e r g e n c e o f t h e s ea l g o r i t h m su n d e r 嗣珊es u i t a b l oc o n d i t i o n sr e s p c e t i v e l y i nt h ee n do f t h i s c h a p t e r , w eg i v es o m en u m e r i c a le x a m p l e s i nc h a p t e r5 ，w ei n t r o d u c ea n ds 缸l d yac l a s so f g e n e r a l i z e dm u l t i - v a l u e dn o n l i n 凹q u a s i - c o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m , w h i c hi n c l u d e sm a n yc o m p l e m e n t a r i t yp r o b - l e m sa ss p e c i a l 蝴u s i n gan e wf i x e dp o i n tt h e o r m no fa n s a r ia n dy a o ，w e g l v a n e ve x i s t e n c er e s u l to f s o l u t i o n sf o rg e n e r a l i z e dm u l t i - v a l u e dn o n l i n e a rq u a s i - c o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e mi nh a u s d o r f ft o p o l o g i c a ll i n e a rs p a c e sb yt h ep r o p c r i t i c s o f u p p e rs e m i c o n t i n u o u s m u l t i - v a l u e d m a p w i t h c o m p a c t v a l u e s k e yw o r d s ：c o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m , b o u n d n e s s , i t e r a t i v ea l g o r i t h m , o r d e r s p a c e s ，m o n o t o n i c i t y , f i x e dp o i n t i m p l i c i tc o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m , c o - c o m p l c - m e n t a r i t yp r o b l e m , v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，c o n v e r g e n c e ，i n t e r v a ld a t a , p e r t u r b a t i o n 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得 的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得四川大学或其他教育 机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文成果是本人在四川大学读书期间在导师指导下取得的，论文成果 归四川大学所有，特此声明 ) 乏j 旁 严研、j 、 6 3 r 2 绪论 o 1 相补问题的产生 相补问题是由著名运筹学家，数学规划的创始人g b d a n t z i g 和他的学生 w c o t t l e 于1 9 6 3 年在其博士论文 n o n l i n e a r p r o b l e m s w i t h p o s i t i v e l y b o u n d e d j a c o b i a n s ”中首先提出的次年，c o t t l e 在他的博士论文中第一次提出求解它的 非线往规划算法这一向题在初期曾被称为。拼合问题。( c o m p o s i t e p r o b l e m ) 、 。基本问题。( f u n d a m e n t a lp r o b l e m ) 或。相补转轴问题( c o m p l e m e n t a r i t y p i v o t p r o b l e m ) 等c o t t l e 在1 9 6 4 年的文献( 见【1 6 】) 中和c o t t l e - d a n t z i 9 1 9 6 7 年的文献( 见【1 7 】) 中都曾指出t 线性规划与二次规划是线性相补问题的特例 在c o r g i e - d a n t z i g1 9 6 8 年的文献( 见【1 3 】) 中更指出，双矩阵对策( b i m a t r i x g a m e ) 问题也是线性相补问题的一特例线性相补问题还包括最优停止问题和 市场均衡问题等非线性相补问题还包括了更多的数学问题。如一般非线性规 划的k - k - t 条件是混合补问题的一特例事实上，相补问题与非线性规划、极 小极大，对策论变分不等式、不动点理论等分支有着紧密的联系，在力学， 工程，经济，交通等许多实际部门有着广泛的应用这使得相补问题成为数学 规划中的个十分热门的研究课题相补同题自提出后，很快就引起了当时运 筹学界和应用数学界的广泛关注和浓厚兴趣，许多人参与了这类问题的研究 相补问题是从线性规划与非线性规划的推广而形成的，所以它的算法研究与可 解性研究一样，受到研究者的重视关于它的研究般分为理论与算法两个方 面，前者主要研究解的存在性、唯性解集的拓扑性质，稳定性，误差界与 灵敏度分析，以及相补问题与其它数学问题的联系等；后者则主要建立不同类 型的互补问题的求解方法及相应的算法理论分析由于相补问题与最优化、变 分不等式平衡同题对策论不动点理论等数学分支有着紧密的联系，在它 的研究中使用了非线性分析与拓扑学中不少理论，故它可被视为应用数学。计 算数学与基础数学的个交叉互补阿题被提出后，很快在工程技术中得到重 要的应用，许多文献讨论了它在力学，交通、经济，金融、控制等许多领域的 第v i i i 页四川大学博士学位论文 广瑟应用( 见 1 3 1 5 ，2 3 , 3 6 , 5 8 ，6 1 ，7 2 】) 随着相补问题在科技与经济方面的广泛 应用，它也越来越显示其重要性，这激励人们对其理论与算法的进一步研究， 出现了2 0 世纪9 0 年代以来的研究高潮至2 0 世纪8 0 年代中后期，经过2 0 余年的努力，特别是近年来，相补问题的理论与算法及应用得到了重要的发展 c 见 2 0 ，2 4 ，3 3 ，3 4 ，4 0 4 5 , 4 6 ，4 8 - 5 1 ，5 3 ，5 5 ，5 7 ，7 0 ，7 1 ，7 4 】) 及其它参考文献，取得了比 较丰硕的成果在这十余年的时间里，人们不仅改进与丰富了相补问题的理论 研究，而且还提出了多种有效算法 o 2 相补问题的一般类型 相补同题是撂这样的同题，它包含的两组决策变量之间满足一种。互补关 系。互补关系反映了广泛存在的一种基本关系根据同题中变量所满足的条 件的不同，以及互补关系的不同形式，相补问题被区分为若干类型 ( 1 ) 线性相补问题设e 。d 是一局部凸空间的一对偶系统，且k c e 是 一闭凸锥，l ：e _ e 是连续线性映象给定q ，线性补同题是t i 求x oe 墨使得 l c p ( l ，墨d ： 工) + q r ，且 i = o 显然，线性相补问题是非线性相补问题的特列非线性相补同题在优化理 论对策论，经济，工程和机械等领域有着广泛的应用( 见 2 2 ，3 5 】) 同时，它 与变分不等式也有着紧密的联系它等价于以下变分不等式问题； ( 嘲j 求和6 k , f f 得 。i 研) y 一知) 0 抄k ( 3 ) 集值相补问题设e ，d 是一局部凸空间的0 时偶系统，kce 是一闭 凸锥，设f ：k - 2 5 ，集值相补同题是t l 求x oe c , 和y o f ，使得 m c p ( f , 幻： y o f ( x o ) r ，且 i = 0 集值相补问题与经济，古典相补问题以及拟变分不等式或集值映象变分不 等式等有着紧密的联系( 见 9 ，5 9 ，7 2 ，7 6 】) 集值相补问题被应用于相补同题的灵 敏度分析及经济均衡问题的研究 ( 4 ) 隐补问题设e ( f ) 是局部凸空间，k c e 是闭凸锥，b e ，a ，m ：e - 冒 是两个映象 是e e 上的半内积，隐补问题是， 第1 页 四川大学博士学位论文 i 求x o k 帕e e + ，使得 l c p u 幻： m ( x o ) 一x o i t , b - a ) e 墨且 l 似) 一抚劢一心，勋) ) = 0 隐补问题产生于连续随机优化控制的动态规划方法它与拟变分不等式之 问也有一定的联系 广义隐补问题设 是一局部凸空间的对偶系统，kc 占是一闭凸 锥，d c e 是非空闭凸集，：d - + f ，g ：d e ，广义隐补问题是， 求x oe 墨使得 g ( 抽) 墨f ( x o ) r ，且 ( g ( 却) ，f ( x o ) ) = 0 一些与特殊可微算子有关的自由边界问题研究推动了隐补问题的研究( 见 5 9 ) ( 5 ) 集值隐补问题设( e 矿 是局部凸空间的对偶系统，设m ：占一e 是 映象，：占_ p 且工：f _ 2 。是凸集值映象l f x ) c 丘占是一闭凸 锥，集值隐补问题是t 1 求x 0 ，y 0 ，使得 m i c p ( f , 回： x o em ( x o ) + 工) t y o ) n 【) 】，且 l ( 砌，x o 一旭抽) ) = 0 同样，设k c e 是闭凸锥，d c e 是非空集，集值广义隐补问题是s m g i c p ( f , g , d ，目 求知墨使得 矗e 如) n 墨且 弘e 舳) n f ，满足 ( ，只) = 0 ( 6 ) 序补问题设( e ，1 1 1 ) 和岱，n ，l | ) 是局部凸空闻( 相应地，可以是b a n a e h 空间或h i l b e r t 空间) e 是由闭凸锥足定义了序的序空间，序关系如下确定， x y 骨y - - 工e k 再设饵，目是一向量格，即对每一个“力e x e ， 似力 和v 力分别表示在e 中的序关系”s ”下x , y 中取最小和最大 o 3 相补问题的应用第五页 设石，五。，厶：e - e 是”个映象，序补问题是， 卿嘛 蕊二鬈一舭籼 这一问题又称作隐广义序孝卜问题( 见【3 6 1 ) 当力= x 一死，i = 1 2 ，。研，其 中乃是非线性映象时，称作广望序补问题c 见f 2 4 】) 0 3 相补问题的应用 相补问题有着广泛的应用背景，下面略举一，二 ( ) 纯交换的竞争经济的均衡( 见【7 7 】) 考虑典型的纯交换的经济模型， 设有”种不同商品和m 个商入。他们购销这些商品令”表示商人j 对商品， 的初始拥有量，矢量一= ( u u ，j = l ，帕e ，令函数如( 表示商人强摘品 ，的需求量，其中p = ( 乃，= 1 ，帕是商品的流通价格矢量令 三 h 幻= j p 舢一”亩， 百 = 伪l 圯，) 7 1 ， 彤( 彩是在价格矢量尹的条件丁对商品歹的增补番求量假设w a l r a s 法则成立。 即有 p r h ( p ) = 乃( a o o ，) - u o ) = o 扣i = 1 它表示在纯交换经济模型中总售出等于总收入问题的目的是寻求一组价格 聊，j = 1 ，满足所o 哆，c 力o , j = 1 ，m 此问题可转化为如下的非线 性相补问题：令八= 一坂力，求矢量p 彤，满足 p o b ，) o 罗锄= 0 一般的价格均衡( 见【7 7 ) 考虑由若干市场组成的网络模型，令表 示阿络中的结点( 即市场) 个数，工表示网络中的有向弧的个数，r ( ，磅表示由 第x i i 页 四川大学博士学位论文 结点j l 出发的弧的集合，z “n ) 表示到达结点月的弧的集合，表示网络的起点 的集合，表示网络的终点的集合，如表示连接起点i - f f 终点_ ，的所有路的集 合，砧表示通过路p 的流量，h = ( h p ) 表示所有路上的流量的矢量，五表示 弧4 上的流量，f = 表示所有弧上的流量的矢量，粕表示结点( 市场加上 的商品价格，r = o ) 表示价格矢量，c ；表示弧口上的运输费用，c 表示 所有弧上的运输费用矢量，勺( 表示路p 上的运输费用，s 。o r ) 表示在结点月 的商品的供应量，它是价格矢量丌的函数，仉( 7 r ) 表示在结点 的商品的需求 量，它是价格矢量万的函数令a = m 。】表示结点与弧的关联矩阵，其中一。 满足 l1 ，口r ( ，) 4 m = - i ，4 e 日( o 3 1 ) lo ，其它 令 如：”罂础路p 上 ( o 3 2 ) 2 1o ，其它 m 2 ) 则弧口上的流量 五= ， 蝴釉噼u 路p 上的运输费用 勺= 勺 当给定一个网络后。一般价格均衡问题是寻求价格与流量，满足条件； ( i ) 每条弧口上的流量与价格为非负，即有 2 0 。d _ 0 s 。o ，2 0 ，v a , 一 ( i i ) 每个结点肚的供应量，需求量与弧上的流量为守恒，即有 d - s 。+ 二一五= o ，y n ( i i i ) 如任意一路p 上的流量为正效，剐局部价格等流通价格，即有 h p o , p p o 毒万f + c ，= 乃 否则，路p 上的流量为零 这价格均衡问题归结为以下的混合相补同题：求x = 旺力，满足 f 竺r + x r a 一荆一a f ( o 3 3 ) l 似尸+ 以y ：0 7 第一章序补问题解的存在性 1 1 预备知识 序补问题的研究始于二十世纪八十年代在一定条件下，般补问题可以 转化为序补问题进行研究i s c a 在文 3 7 - 3 9 中讨论了保序映象下序补问题解 的存在性本章我们利用不动点和耦合不动点的方法得到了混合单调算子序补 问题解的存在性同时，利用序补问题与隐变分不等式的关系给出了隐变分不 等式解的存在性的新条件 设e 是实b a n a c h 空间，k c h 为非空闭凸锥c 在z 中可诱导偏序关系 “”：对任意的x , y e 五 x s y 静 y 一工c 我们称陇s ) 是由c 诱导的个序b a n a c h 空间 如果对任意的x , y x 。关于“”的极小元j a y 存在，则称( z 匐是向 置格( v e c t o r l a t t i c e ) ，其中工 y 定义为， x y s x ，x y sy ，z 曼x , z - y 曹z s x y 设 ) 是向量格，膨是x 的非空子集，如果对任意x , y m ，工 ) ，存在且 工 ) ，m ，则称膨是x 的子格( s u b l a t t i c e ) 本章除待别说明，总是假设佤 ) 是由闭凸锥x 诱导的向量格。置c x 是 非空闭凸集设占是由锥鬈定义了序的序空闻。z 豫= l ，2 ，m ) ：e 一占为 m 个算子一般的序补问题为 删呐： 蕊怒，观 其可行域为莎= i x e 闺乃五j = 1 ，2 ，册 第2 页四川大学博士学位论文 1 2 不动点方法研究( o c p ) 问题 在本节，我们将利用序补同题与不动点之i 可的关系，讨论序补问题解的存 在性 引理1 2 1 倪口功( o c p ) 问题等价于映象 ，i = u + 西) - i i v ( x 一乃+ 口，工一t m + 西) l ( 其中中：e _ e 为任意函数) 在k 中的不动点 定义1 2 1 称a ：e - e 为西保序的，如果( ，+ 西) - l 存在且( ，+ e ) - 1 和，+ o 均为保序的 显然，m 保序映象是保序映象的推广 引理1 2 2 限p 2 7 劬设e 是b a n a c h 空间，置是e 的锥，且e 满足下列条件 之一t 伊e 为弱序列完备的，k 为正规的； t i i ) k 翔正鼬的 又设e 为完全格，k c e 为闭凸锥若d = u o ，v o 】c 墨a ：d _ d 为增算子， 则4 在b ，o v o 】中有最大置小雨动点 定理1 2 1 设占是b a n a c h 空间，k 是e 的锥，且e 满足下列条件之一， f j 【jf 为弱序列完备的，k 为正规的； 一驴k 为正则的 1 3 耦合不动点方法研究( o c t ) 问题 第3 页 又设占为完全格，k c e 为闭凸锥若存在知e 莎和映象垂，使得i 一乃( f = l ，2 ，帕：e _ e 为垂保序的，且f i ：k - 置则( o c p ) 问题在【o x o 中有 最大最小解 证明：设s = 协e 因f 1 ( 力sx ，因x oe 穸，故有巧) o ( i = l ，2 ，m ) 即 ( 乃( x o ) ，乃阮) ，) ) 0 从而 v 0 一t i + 西。j 一+ ) 莉+ m ) 由于i r j ( i = l ，2 ，砷：e - e 是口保序的，故 ( ，+ m ) 一w ( x t i ( 力+ m ，工一+ o ”) x o ， 即x o s 又因为f i ：k _ 墨故f i ：【o 。瑚- + 【o ，劢】为增算子，由引理1 2 1 及引理1 2 2 知( o c p ) 问题有最大，最小解。 理 1 3 耦合不动点方法研究( o c e ) 问题 设月力= v ( x t i y , ，工一乃) 利用耦合不动点的方法可以得到如下定 定理1 3 1 设五为由闭凸锥置定义了序的一致凸b a n a c h 空间，若k c e 为正 则锥。h ：e e _ e 满足 ( j 死( f = 1 ，2 ，m ) ：e e 为保序映象； f i ) 存在却，y oe 墨劫y o 使得 知sh ( x o ，y o ) ，y o h o o ，x o ) 再设万= 凰k 力满足下列条件之一t 第4 页 国霄为非扩张的； 倒耳关于非紧测度为压缩的； ( i i o 秀为连续的。且d i m e + 则( o c d 问题在【翔，帕】中有最大最小解 四川大学博士学位论文 证明z 显然脚力关于工是保序的，关于y 是逆序的，即崩力为混合单 调型，因存在x o ，y o k , x o s y o ，使得 知同，y o ) ，y o2h ( y o 。x o ) 令x i = h ( x o ，y o ) ，y l = h o , o ，x o ) ，显然有 0 s x o s x is y ls y o ( 1 3 1 ) 又令娩= 坝却，y i ) ，咒= 上渺l ，x 1 ) ，由h 的混合单调性以及式( 1 3 1 ) 知 0 询x l 为一ls s 弗件ls 0 称j ：d + 2 胃为咖渐近有 界的，如果存在r c e 凰 o ，使得当r i l x l l o ed ) 时，有 设矿：d _ 2 ”，令 j i s l i 兰c 妒( 1 1 - - - 1 1 ) ，妇s x 似k g , 神= l ( v 删一删) i 工d ，ve g 一所五i i x l j - l 称矿：d - 2 胃为广义b 域有界的，如果“k g , m ) 是一有界实数集 如果y 是广义 ，- 域有界的，则m k ( v , g , 神= s u p “kg 神以及m ( kg 埘) = h l f “k g m ) 均为有限实数 定理2 2 1 设矿是妒渐近有界的，如果 何存在p 使得 ( s 。甙一m ( 力) s i i x l l m r ( 1 ；g 哟，v s s x ； 例存在沙：r + 一如使得 i 颐曲一m 峪妒( 1 l x l l ) l l x l l ，v x d 0 l ； ( i i om k ( k g , 神 0 ，又由条件( i v ) 知。存在口，使得对任 一工d f o l ，当f i x l | 口时，有 c 妒(