（固体力学专业论文）含孔角域的出平面动应力分析.pdf

哈尔滨工程大学博士学位论文 摘要 本文在线弹性力学范畴内，采用“分区与契合”和辅助函数的思想，利用 复交函数和多极坐标方法研究了浅埋弹性夹杂的任意三角形凸起地形对入射 s h 波的散射；利用g r e e n 函数方法研究了s h 波作用下半圆形凹陷地形与直 线形裂纹的相互作用，以及内含孔洞的无限角域对s h 波的散射。 研究浅埋圆柱形弹性夹杂的三角形凸起地形对入射s h 波的散射，主要 是：首先将整个求解区域分割成三部分，区域i 为带有半圆形弧底的三角形 凸起，区域为含半圆形凹陷和浅埋孔洞的弹性半空间，区域为一圆柱形 弹性体。在区域i 中构造一个满足三角形两斜边应力自由的驻波函数，在区 域中构造出半圆形凹陷和浅埋孔洞的散射波，且要求其预先满足水平界面 应力为零的边界条件，在区域内构造一驻波函数，使得圆柱边界应力不受 约束；利用复平面下坐标移动，通过区域i - 以及区域的两个“公共边 界”位移应力连续条件，建立起求解该问题的无穷代数方程组，并通过具体算 例得出相应结论。 研究s h 波作用下半圆形凹陷地形与直线形裂纹的相互作用，首先是需 要构造一个适合解答本问题的g r e e n 函数，该函数为含有半圆形凹陷的弹性 半空间内任意一点承受时间谐和的出平面线源荷载作用时位移函数的基本 解。然后采用裂纹“切割”方法建立问题的求解积分：即从半圆形凹陷地形对 s h 波的散射问题出发，沿裂纹位置施加反向应力，在欲出现裂纹区域加置与 半圆形凹陷对s h 波散射所产生应力相对应的大小相等，方向相反的出平面 荷载，从而构造出裂纹，并因而得到凹陷和裂纹同时存在条件下的位移与应 力表达式，利用此表达式讨论裂纹存在对地表位移的影响。 研究内含圆孔的无限角域对s h 波的散射。因涉及到h a n k e l 函数在零点 奇异的问题，通过构造分数阶的b e s s e l 函数和h a n k e l 函数来求解无法获得解 答。考虑到g r e e n 函数自身存在的“切割”功能，将含孔洞的角域问题转化为 对含孔的弹性半空间实施无限长裂纹切割。结合复变函数和多极坐标方法， 进而对角域内的位移及其应力场分布进行求解，并给出了稳态载荷作用下圆 形孔洞周围的动应力集中系数( o s c d 。 含孔角域的出平面动应力分析 关键词：s h 波散射；不等腰三角形凸起；弹性夹杂；直线形裂纹；无限角域； 动应力集中系数；g r e e n 函数 哈尔滨工程大学博士学位论文 a b s t r a c t t h es c a t t e r i n go f s h - w a v e sa r es t u d i e di nt h e 丘e i do fl i n e a re l a s t i cd y n a m i c s i n t h i s p a p e r b a s e o nt h em e t h o d so fc o m p l e xf u n c t i o n sa n dm u l t i - p o l a r c o o r d i n a t e s ，t h ea n t i p l a n ed y n a m i cr e s p o n s eo fas c a l e n et r i a n g u l a rh i l la b o v ea s u b s u r f a c ee l a s t i cc y l i n d r i c a li n c l u s i o na r er e s e a r c h e d g r e e n sf u n c t i o n sa r e e m p l o y e dt oo b t a i nt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt h es e m i - c i r c u l a rc a n y o na n dt h ec r a c k f o ri n c i d e n ts hw a v e ，a n dt h ea n t i - p l a n es t r e s sa n a l y s i so fa l li n f m i t ew e d g ew i t ha c a v i t y ， a na n a l y t i c a ls o l u t i o nf o rt h ed y n a m i ca n t i - p l a n er e s p o n s eo fa 裂? a l e n e t r i a n g u l a rh i l la b o v eas u b s u r f a c ee l a s t i cc y l i n d r i c a li n c l u s i o ni ss t u d i e db a s e do i l c o n j u n c t i o n i n c o m p l e xp l a n e as t a n d i n gw a v ef u n c t i o nw h i c hi sa f r a c t i o n a l - o r d e rb e s s e lf u n c t i o ni sc o n s t r u c t e di nt h es c a l e n et r i a n g u l a rr e g i o n , w h i c hs a t i s f i e st h et r a c t i o nf r e ea tt h ee d g e s t h i sf r a c t i o n a l - o r d e rb e s s e lf u n c t i o n c a nb ew i d e l yu s e di nm a t e r i a l ss c i e n c ea n de a r t h q u a k ee n g i n e e r i n gw i t h n o n - c o n s e c u t i v eb o u n d a r i e st or e s e a r c ht h o s ed y n a m i cc a p a b i l i t i e s a c c o r d i n gt o m u l t i - p o l a rc o o r d i n a t e s m e t h o di nc o m p l e xp l a n e ，as e r i e so fi n f i n i t el i n e a r a l g e b r a i ce q u a t i sa r ec o n s t r u c t e dt os a t i s f yt h ec o n d i t i o no fd i s p l a c e m e n ta n d s t r e s se q u i l i b r i u mo nt h ei n t e r f a c e s f i n a l l y , s o m ec o n c l u s i o n sa r ec o n c l u d e db y d i s c u s s i n gt h ec o m p u t a t i o n a lr e s u l t s t h em e t h o do f g r e e n sf u n c t i o ni su s e dt oi n v e s t i g a t et h ei n t e r a c t i o n b e t w e e nt h es e m i - c i r c u l a rc a n y o na n dt h ec r a c kf o ri n c i d e n ts h - w a v e t h ed e t a i l s o f t h o u g h t f o rt h i s p r o b l e m c a nb ec o n c l u d e da s f o l l o w s ：f i r s t l y , a g r e e n sf u n c t i o ni sc o n s t r u c t e df o rt h ep r o b l e m ，w h i c hi saf u n d a m e n t a ls o l u t i o n o fd i s p l a c e m e n tf i e l df o ra ne l a s t i ch a l fs p a c ec o n t a i n i n gas e m i - c i r c u l a rc a n y o n s u b j e c t e dt oa n t i - p l a n eh a r m o n i cl i n e a rs o u r c ef o r c ea ta r b i t r a r yp o i n to ft h e e l a s t i c s p a c e i n t e r m so ft h es o l u t i o no fs h - w a v e ss c a t t e r i n gb ya ne l a s t i c h a l f - s p a e ew i t ha s e m i - c i r c u l a rc a n y o n , a n t i - p l a n es t r e s s e sw h i c ha r et h es a m ei n q u a n t i t yb u to p p o s i t ei nd i r e c t i o nt ot h o s em e n t i o n e db e f o r e ，a r el o a d e da tt h e 含孔角域的出平面动应力分析 l o c a t i o nw h e r et h ec r a c ke x i s t sa c t u a l l y , t h i sp r o c e s si sc a l l e d “c r a c k - d i v i s i o n 1 h e e x p r e s s i o n so ft h ed i s p l a c e m e n ta n ds t r e s sa r eg i v e nw h e nt h es e m i - c y l i n d r i c a l c a n y o na n dt h ec r a c kc oe x i s t f i n a l l y , t h ei n f l u e n c eo ft h ee x i s t e n tc r a c ka n d s e m i - c y l i n d r i c a lc a n y o no nt h eg r o u n dm o t i o na l ed i s c u s s e d 。 1 1 i es o l u t i o nf o ra n t i p l a n es t r e s sa n a l y s i so fa ni n f i n i t ew e d g ew i t ha c a v i t y c a n tb eo b t m nb yc o n s t r u c t i n gf f a c t i o n a l - o r d e rb e s s e lf u n c t i o na n dh a n k e l f u n c t i o n , b e c a u s eo ft h es i n g u l a r i t yo fh a n k e lf u n c t i o na tz e r op o i n t t a k et h e c o n s i d e r a t i o no ft h ei n c i s a ie f f e c to fg r e e n s f i m c t i o n , t h ep r o b l e mc 雒b e t r a n s f o r m e di n t oa ne l a s t i ch a l fs p a c ew i t hac a v i t yi n c i s e db yas e m i i n f i n i t e c r a c k c o m b i n et h ec o m p l e xf u n c t i o n sa n dm u l t i p o l a rc o o r d i n a t e s ，w ec a no b t a i n t h es o l u t i o no ft h ed y n a r a i es t r e s sc o n c e n t r a t i o nf a c t o r ( d s c f ) a r o u n dt h ec a v i t y k e y w o r d s ：s c a t t e r i n go fs h - w a v e s ；s c a l e n et r i a n g u l a rh i l l ；e l a s t i ci n c l u s i o n ； b e e l i n ec r a c k ；i n f i n i t ew e d g e ；d s c f ；g r e e n jf u n c t i o n 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下， 由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献等的 引用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中已经注明 引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开 发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律 结果由本人承担。 作者( 签字) ： 日期：2 0 0 7 年5 月1 0 日 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 课题背景及研究现状 1 1 1 弹性波散射问题研究概况 自然界中存在着各种各样的天然介质和工程材料，其中总是或多或少会 存在有各种形式的物理参数不连续的界面和缺陷，例如：地下不同断面与岩 层，复合材料，多晶结构，焊接结构，零件加工裂纹等等。这些界面和缺陷 有些是天然存在的，有些是人为在生产、加工、运输和使用的过程中偶然造 成的，但也有一些是为了满足功能上的需要和工艺加工上的需求而人为设计 出来的。总之，这些缺陷是不以人的意志为转移，它们会以某种方式存在并 影响着周围。当有某种形式的动态载荷作用时，天然介质和工程材料内部就 会产生弹性波动。弹性波动在弹性介质内的传播过程中，当其遇到障碍物( 例 如夹杂、孔洞、裂纹和界面等等) 时，将与障碍物发生相互作用，这种相互作 用的结果使障碍物表面上任何一点成为一个新的波源，这些次生的新波源同 样会向各个方向发出次生波，这种现象称为弹性波的散射，次生波称为散射 波，障碍物也就被称为散射体。 弹性波散射是弹性动力学学科中最重要的研究课题之一，研究弹性介质 内夹杂物、孔洞、裂纹等异质体对弹性波的散射问题，在许多工程领域中具 有十分重要意义。诸如石油、天然气、煤、矿石等地下埋藏物的探测，隧道 和海底隧道、地下结构的修建及边坡的治理和防护，各种结构的破坏和核反 应堆的安全设计，容器管道设计以及金属、非金属、复合材料的材料特性分 析和超声波无损探伤，雷达、水下声纳和爆破等技术的应用和发展等等，对 这些问题的研究归根到底就是要弄清楚弹性波的散射效应与埋藏的异质物的 几何、物理特性之间的相互关系，弄清楚散射效应与某些断裂力学参数的相 互关系等。另外，从工程应用的观点来看，众多弹性波问题涉及到的是弹性 波散射问题的反问题，也就是通过对实际检测得到的已知弹性波散射效应进 行分析的前提下，反推诸如散射体的几何尺寸、方向角度以及异质体和周围 介质的物理参数，有时还需要得到周围环境的具体信息。不论是解决正问题， 哈尔滨工程大学博士学位论文 还是解决反问题，第一步要做的就是对本问题涉及的方方面面进行系统的深 入研究，得到问题的固有规律和特性，从而为反问题的最终解决奠定基础。 弹性波散射理论是在研究光的散射或衍射问题的基础上发展起来的，已 有数百年的历史。1 6 6 5 年g r i m a l d i 发现了光的衍射现象，几年以后，r o b e r t h o o k e 观察到同样的现象，但对这光学现象他们还不能作出解释。1 8 1 8 年 f r e s n e l 发现了光的衍射的真正成因，提出光的衍射是由于从一个孔隙发射出 来的次生波的相互干涉形成的。不久之后，f r a n c o i s a r a g o 、f r e s n e l ( 1 8 1 6 1 和 y o u n g ( 1 8 1 7 ) 先后发现，在相互垂直的平面内偏振的两束光彼此不会发生干 涉。f r e s n e l 和y o u n g i 坫l 由此将光解释为一种横波，即传播方向与位移方向垂 直的波，这一工作推进了弹性固体理论的深入研究。 n a v i e r ( 1 8 2 1 ) 提出了弹性体的运动理论，给出了弹性固体中的一个质点位 移的运动方程【3 1 。这一弹性体运动理论的创立大大推动了弹性波问题的研究， 成为弹性动力学发展的最重要的标志。其后c a u c h y ( 1 8 2 2 ) 和p o i s o n ( 1 8 2 9 ) 对 弹性体理论进行了迸一步的分析，他们在考虑弹性波的传播时先后( 1 8 2 8 1 8 3 0 ) 发现了两种波的存在，即横波和纵波。研究表明，用位移表示的运动方 程的解可以用两个位移分量之和来表达，其一为某一标量势函数的梯度，其 一为无散场。势函数和无散位移分别满足含有纵波和横波波速的波动方程。 然而，当时在p o i s s o n 给出的通解中并没有涉及符合无散位移分量的矢量势。 1 8 3 7 年，g r e e n 运用能量和变分原理推导出弹性固体的运动方程，并且正确 地建立了弹性固体表面的边界条件 4 1 。1 8 5 2 年k m g 采用标量势和矢量势来 求解波动问题并得到了相应的通解形式。1 1 年后，c l e b s c h ( 1 8 6 3 ) 提, q 4 , l a m e 解的完备性问题，至于其严格证明是由s o m i g l i a n a ( 1 8 9 2 ) 、t e d o n e ( 1 8 9 7 ) 、 d u h e m ( 1 8 9 8 ) 和后来的s t e r n b e r g ( 1 9 6 0 ) 给出的。n e u m a n n 于1 8 8 5 年对解的唯 一性做出了证明。 1 8 4 9 年s t o k e s 最先研究在体力作用下产生的波动问趔研。他按照p o i s s o n 求解波动方程初值问题的途径推导出了它的波动方程的通解，所导出的两个 波动方程分别对应于膨胀波和旋转波，并据此首次得出无穷介质中某点受突 加集中力产生的位移场的基本解。后来，l o v e ( 1 9 0 3 ) 运用迟滞势对同一问题 独立地进行了详尽的分析，进一步完善了s t o k e s 给出的解。 从1 8 7 1 年开始，r a y l e i g h 运用微粒运动观点，将次生波看成是均匀固体 2 第1 章绪论 中的一种体积力的发射物，散射效应作为两种介质的折射率之问的差异的后 果，原因在于密度的变化而非刚度的不同。1 8 7 2 年他采用波函数展开法用一 个有限半径的球形( 一种刚性固接球体和另一种与周围大气密度不同、可压缩 性不同的气态球体的情况) 障碍物对( 声) 波散射进行更仔细的研究【q ，他首先 假设球面外边的一切运动分成两部分：一是属于未受扰动的平面波，二是由 于球体出现而引起的向外散射的运动，将入射平面波的速度势和散射波的速 度势相加，即可得出整个运动速度势，边界条件的形式有赖于球体所带来的 障碍的性质。 s t o k e s 和r a y l e i g h 早期对散射现象的处理，都是从局部力源产生波的观 点出发的，现在将这一工作归类为体积散射【4 ” 在1 8 8 7 年r a y l e i g h 作出了重大发现，即表面波( r a y l e i g h 波) 。这种波的 产生源于在弹性半空间表面入射的一对平面谐和波：膨胀波和等容波。表面 波沿着平行于表面的方向并以略小于等容波的波速传播，且随着远离表面的 方向指数衰减。为后来众多的表面散射分析研究奠定了基础。后来，l o v e ( 1 9 1 1 ) 在研究表面层对r a y l e i g h 波传播的影响时，发现了另一种面波，即l o v e 波。 再后来，s t o n e e y ( 1 9 2 4 ) 发现在不同介质的层与层交界面上还存在一种与 r a y l e i g h 波相同类型的面波，它被称为s t o n e 匆波，这是一种波速与两种介 质的性质有关的变态r a y l e i g h 波，其产生与介质弹性常数和密度有关 2 0 世纪初，l a m b ( 1 9 0 4 ) 首次对半无穷弹性体中脉冲波进行了研究，形成 了 l a m b 问题”他应用稳态解的f o u r i e r 综合法考虑了四种典型的“源”，即 表面法向线和点载荷，内部埋藏的线和点载荷。对于表面法向载荷，l a m b 得到了水平和竖向表面位移，响应包括膨胀波、等容波和r a y l e i g h 面波。分 析获知，远离“源”的所谓远场处，最大扰动是r a y l e i g h 波。对于点“源”激发， r a y l e i g h 波以径向坐标值的平方根的倒数形式衰减。后来，l a m b ( 1 9 1 6 ) 本人 还进一步分析了非脉冲形式的线和点载荷沿固定方向以常速运动的情况， l a m b 问题对地震科学具有重要意义。 对弹性波的散射给出一般分析的首先是s e z a w a ，他在1 9 2 7 年完成了对 球、圆柱和椭圆柱体引起的入射p 波的散射的研究嗍，利用特殊波函数构造 了问题的解。在这以后，这方面的工作总的来说没有得到重视和发展。 在2 0 世纪4 0 年代末和5 0 年代中期，由于人们需要了解载荷高速冲击下 3 哈尔滨工程大学博十学位论文 的结构性能，地震现象与探测核技术等相关知识，弹性波的散射问题才真正 成为物理及工程领域中活跃的研究课题。 c a g n i n r a ( 1 9 3 9 ) 研究出求解l a m b 问题的一般方法，即是对l a m b 问题使 用了f o u r 缸r 变换的位移场，运用l a p l a c e 变换求其逆变换，此后d eh o o p l 9 1 作了进一步的改进。c a g n a r d 方法分别被p e k e r i s 1 0 l 和c h a o 1 1 】用来具体分析 竖向力和水平力作用下的解，肭船伽1 1 2 】也用c a g n i a r d - d eh o o p 方法求得了 点“源”作用的l a m b 解，并同时给出了与“源”和“接收点”坐标相关的解的导数 ( g r e e n 函数的导数) 形式，这些解方便用作数值分析。对点“源 l a m b 问题进 行分析的还有l a p w o o d ，d i x t “，p i n n e y l l 4 1 ，p e k e r 曲和l i f s o n ( 1 5 1 6 1 ，d eh o o p 甥， a g g a r w a l 和a b l o w 等人i 埘，k a w a s a k i 和s a t o 等1 1 9 j 还考虑了双力偶“源”的情 况。近年我国学者王可成和王贻荪【冽推出了半空间内竖向集中力产生的表面 位移的表达式。郑健龙【2 1 l 运用叠加原理，依据全空间基本解导出半空间内部 集中点“源”的基本解。至于弹性半空间表面移动集中载荷的瞬态、响应，即“移 动l a m b 课题 ，g a k e n h e i m e r 和m i k t o w i t z l 2 2 1 于1 9 6 9 年研究过。对于全空间 的“移动s t o k e s 问题”，p a y t o n 】给出了求解过程。 w o l u 、n a g a s e i z s i 、和砌印捌先后对球体的散射作了研究，内容偏重 地球物理学中的应用。n i s h i m u r a 和j i m b o ( 2 颂0 解决了各向同性介质中球体孔 洞的动应力集中问题，他们沿用s e z a w a 早期工作的研究步骤，通过假设一个 随时闻变化的谐波入射到一个无限弹性空间内嵌有刚性，真空或弹性的球形 障碍上产生散射，从总波确定球体外各处的应力和位移，得到了随入射波长 变化的应力分布，对于频率趋于零的无限大波长的情况，结果与相应的静力 情形相吻合。h n g 和t r u e l l 嚣j 在1 9 5 6 年解答了各向同性介质中含一个球体对 平面纵波的散射问题，e i n s p r u c h 等人i 冽于1 9 6 0 年解决了平面横波入射时的 同样问题。 同一时期，在声学领域，w h i t e p o l 和k a t o l 3 1 1 分别运用实验和理论方法对弹 性圆柱体的散射给予了分析。b a r o n 等人1 3 2 , 3 3 1 率先对弹性介质中圆柱形空腔 引起的脉冲散射问题进行了分析，使用积分变换和波函数展开法给出了压缩 波散射的解析解。肘a ，【邶i 、m i k l o w i t z 和肌”m d 一3 ”刀对于球形内含物和空 腔的瞬态响应进行了求解。j a m 和豇l 拜- 礁一鲳，3 9 j 还全面研究了圆柱形缺陷( 或 内含物) 和球体对弹性波的散射，得到了长波长情形下的位移场、应力场、远 4 第1 章绪论 场幅度、动应力强度因子及散射横截面的近似公式。o u r t n ( 1 9 7 2 ) 在其专著 t h el i n e a rt h e o r yo y e l a s t i c i t y 中，研究了将瞬态波函数展开为特征函数求解 时特征函数正交集的完整性，r e i s m a n n ( 1 9 6 7 ) 给出了通解形式。1 9 7 5 年b o r n 和腑咿证明了对于瞬态波的k i r c h h o f f 定理可以在f o u r i e r 综合中从相应于稳 态波的h e l m h o l t z 定理中导出。这里对圆柱体和球，求解的途径仍是采用波 函数展开的方法。 d a t t a 等人【摊4 2 】提出采用匹配渐进展开的方法分析了半空间内含柱形孔 洞对p 波、s v 波和s h 波的散射问题，给出了远场的渐近表达式及相应的数 值解。此方法的基本思想是将原问题转化成对应予散射近场和远场的内外两 个问题，而这两个问题的解是应用不同的级数展开形式的解为依据，通过一 定的条件匹配而得到的。b o s l r ：o m 和函翻功郴鲫1 4 3 l 运用转换矩阵法仃矩阵法1 研究了半空间内球形孔洞对r a y l e i g h 波的散射问题。k a r l s s o n l 4 4 j 还借助该方 法对板内含孔洞时r a y l e i g h - l a m b 波的散射效应予以了讨论。 2 0 世纪年代，p a o 等人州运用广义射线法讨论了柱体的瞬态波散射， a c h e n b a c h 和g u b e r a t i s 采用波函数展开与射线方法相结合的途径，研究了柱 形孔洞对弹性波的高频散射。黎在良和刘殿魁【蛔还建立了一个射线理论用来 解各向异性介质中圆柱体对s h 波的散射问题。2 砌【4 7 棚l 采用弹性动力互等定 理对柱形体引起的弹性波的散射进行了广泛的研究，得到了包括散射远场及 能量关系在内的许多结果。p a o 和m o w | 5 0 l 还将正则振型与超声频谱分析理论 应用于柱体的散射问题分析之中。f r a n s s e n s 和l a g a s s e i n 】用有限元技术研究 了由埋藏在多层介质中圆柱形障碍物所引起的弹性波的散射问题。在所取有 限元网格的边界上采用了积分形式的边界条件。s i m o n 5 z l 运用积分方程方法 研究了椭球壳对弹性波的散射。 对于板和杆，c e r a n o g l u 和a w p 叫利用广义射线理论和c a g n i a r d 方法对平 板中弹性脉冲和声发射的传播进行了详细的分析，r e e v e s 和g r e e n s p a n l 5 4 1 采 用离散颗粒方法对应力波在细长杆中的传播进行了讨论，妣睇弦j 还研究了 应力波在任意形状截面杆的传播。v e r i g h 户6 j 考察了弱冲击波在非线性弹性杆 或颗粒状材料中的传播。瓤扣加f d f 5 侧等人运用指数函数和幂函数形式的松 弛函数，研究了扭转和纵向冲击波在粘弹性非线性弹性细圆杆中的传播问题。 m a l i k 和s i n g h | 别在1 9 8 4 年分析了非线性波在杆中的传播 5 哈尔滨工程大学博士学位论文 在弹性介质中埋藏的内含物，孔洞、裂纹等夹杂、异质体产生的弹性波 的散射问题中，对于球、圆柱等简单形状的散射体，主要是运用波函数展开 方法进行分析，然而对于矢量波方程，只有在直角坐标、球坐标、圆柱坐标， 椭圆柱坐标、抛物柱坐标及圆锥坐标下才可分离，并且只有对其中的直角、 球和圆柱三种坐标才是可能求得精确解。对于多个或形状复杂的散射体，由 于不能分离变量和难于克服邻接条件的困难，波函数展开法就难以推广使用， 由此便发展了等效内含物法等许多近似求解方法。等效内含物方法是在 e s h e l b y 删分析椭球体的内含物、异质物静力问题的基础上发展而来的。2 0 世纪7 0 年代w h e e l e r 和胁阳1 6 1 】首先将该方法用于动力学领域，g u b e r n a t i s 等人【6 2 】演绎出一个弹性介质中内含单个任意形状夹杂时弹性波散射场的体 积分方程。而和m u r a 叫随后研究了单个椭球异质体产生的弹性动力学场， 但导出的等效性方程不能正确反映密度差别的影响，因而也就不能正确地计 算应力场。 李灏、钟伟芳等1 6 4 j 采用将“等效”的思想应用于两个椭球异质体对平面波 的散射分析之中，采用g u r t i n 变分原理导出了弹性介质中含多个任意形状异 质体的等效性方程。运用多个步函数推导出了有限多个散射体的位移积分方 程1 6 s - a l ，这一推广工作对于确定多个任意形状异质体的散射综合效应以及定 量分析散射体之间的相互作用奠定了理论基础。其基本思想就是对积分方程 进行迭代求解，将入射波场作为首次迭代而得到解，而b o r n 近似方法【醴j 只 适用弱散射且入射波为长波长的情况。同时他们运用双重f o u r i e r 变换及反 演技术得到了各向异性介质反平面剪切运动的基本解i 叫，这个解成为利用边 界积分方程( 边界元1 方法处理具有一个弹性对称面的各向异性介质中异质物 对s h 波散射的问题的关键。同时运用广义格林公式和加权残数法构造了单 个散射体的边界积分方程，并求解得到了一系列数值计算结果1 7 0 - 7 = , 1 。 对于各向同性介质中的二维稳态波和瞬态波的散射，边界积分方程法得 到了有效应用( k o b a y a s h i 、f 幽小“m m l 和s h a w 【7 4 1 ) 。& 啪盯f 7 5 1 将该方法应用 于三维散射问题的数值解。r i c e 和s a c l 7 6 1 还讨论了半空间内孔洞对s h 波的 散射问题。由于散射体与周围介质区域相比属小区域，因而边界元方法就非 常适合求解这类问题，即大区域中的小边界问题。 1 9 8 2 年刘殿魁等人【亿7 8 】成功地将弹性静力学中的复变函数法推广到二维 6 第1 章绪论 散射问题的分析之中。对于单个和多个任意形状的孔洞，该方法可有效地求 解地表位移和动应力集中问题。有关凹陷地形和突起地形对s h 波的散射问 题，刘殿魁等1 7 9 埘】分别利用边界方法、复变函数方法以及积分变换和波函数 展开相结合的方法给予了分析。 1 9 8 4 年鼬和v a r a d a n 等人 8 2 1 发展并采用一种称作“有限元特殊函数”的方 法研究t = - - 维散射体的波散射问题。a n g e l 和b o g y s 3 1 ，n i a z y 和k a z t 4 斜1 分别 讨论了r a y l e i g h 和l o v e 波的散射。c a o 和工卵【黔l 运用波函数展开法研究了半 圆形凹陷地形对p 波的散射问题。s a n c h e z - s e s m a l 跖1 和肋1 8 7 】还对不规则地形 的散射的研究状况作了全面评述。 另一方面，从本世纪6 0 年代以来，由于航空、航天等工业中结构元件设 计的需要，高强、轻质的复合材料获得广泛的应用，各向异性，层状及复合 想料介质中的波动问题也就成为众多研究者们广为涉足的一个热点研究领 域。n e m a t - n a s s e r 等l s s l ，b e d f o r d 等 8 9 1 ，c h r i s t e n s e n ( 1 9 7 5 ) ，m u k u n o k i 和 n g l g o , 9 1 1 等研究了简谐波和瞬态波在各向同性层的复合材料中的传播问题。d 印和， 肘诫h e 咖e 瞰】在分析由三层不同刚度和密度的材料组成的复合材料中s h 波的 传播时，考虑了初应力的情况。t o k u o k a l 9 3 1 j 丕_ 考虑了弹性波在不可伸长刚性纤 维复合材料中的传播。1 r a g 和m u k u n o k i 9 4 l 在1 9 7 9 年提出了分层各向异性弹 性复合材料中波传播的粘弹性比拟理论，即采用等效的均匀粘弹性材料来替 代分层介质。力嘲糊n 嗍，n e m a t - n a s s e r 和物加如嗍，t a n g 和丁打d 明也先 后讨论了各向异性分层材料中的波动问题。s h a w p s l 等研究了简谐波在周期性 层状介质中的传播规律，c h i r o i u 和n i c o l a e ( 1 9 8 1 ) 运_ 用伽辽金方法分析了表面 波在多层非均匀弹性半空间中的传播，作者将待解的边值问题分成解耦的 r a y l e i g h 波和l o v e 波的传播，得到了位移场的渐近解。 t a l b o t 和i t l l i s i 蜩l 采用变分原理探讨了波在随机复合材料中的频散和衰减 问题，m i n a g a w a l l o o 等考虑了二维分层、加强纤维及其它复合材料介质中波 的频教问题。l o y l o v i c h t l 0 1 垮察波在非均匀介质中传播时提出了连续波频率漂 移理论。砌f 4 m 抛1 1 0 2 1 考虑了非均匀介质中s h 波的斜传播，h o l z l o h n e r 和 彳“绑曲【1 叫研究了在非均质土壤表面冲击波的传播规律。而 觚h 【1 叫探讨了 随机s h 波沿摩擦界面的传播特性。 总之，弹性波散射理论经过自n a v i e r ( 1 8 2 1 ) 以来的1 0 0 多年的历史发展， 7 哈尔滨工程大学博十学位论文 至今已经形成了数学上非常严密和完善的理论体系和方法。从分析单个简单 形状的球、圆柱等散射体到单个或多个具有任意形状尺寸的散射体，从考虑 均匀、各向同性介质到非均匀、各向异性、层状和复合材料等复杂介质1 1 0 5 d 1 4 j ； 从研究单个标量波函数控制的声波以及仅有单个波速的矢量波函数控制的电 磁波的散射到这两种波函数耦合的一般弹性波的散射；从采用经典的波特征 函数展开法、积分方程法发展到运用积分方程d m 近似1 、丁矩阵、射线方 法、匹配渐近展开法、等效内含物法、复变函数法以及有限元和边界元等数 值方法【1 1 土1 州，将散射问题的研究逐步深入。 1 1 2 地形影响问题的研究现状 在土木工程中，弹性波散射理论主要用于地震工程和防护工程。地震波 从震源传播到地表或建筑场地，激发地表位移和结构振动，如果把此类结构 振动看作驻波，则结构反应也是弹性波的传播问题。 地形变化的模式，大致可分为凹陷地形和凸起地形两种基本形式。 t r i f u n a c 0 9 7 3 ) 、h l w o n g ( 1 9 7 4 ) 首先利用波函数展开法求解了平面s h 波半圆 形、半椭圆形沉积谷地和软土覆盖层对s h 波的弹性散射【1 4 2 , 1 4 习。c a o 和l e e 运用波函数展开法研究了半圆形凹陷地形对p 波的散射问题【8 5 】。1 9 9 0 年刘殿 魁、韩峰求解了平面s h 波对任意形凹陷的散射问题1 1 2 t , 1 2 2 1 ，刘殿魁、许贻燕 ( 1 9 9 3 ) 还研究了各向异性介质中趼波与多个半圆形凹陷地形的相互作用 【1 2 3 j 。刘殿魁，林宏( 2 0 0 3 ) 分析了浅埋圆形孔洞对盛f 波散射与地震动f 1 2 4 l 。由 于凸起地形内存在对入射波的多次反射；与凹陷地形相比，凸起地形引起的 散射波更为复杂，因此对凸起地形影响的理论分析进展得比较迟缓。直到 1 9 9 6 年袁晓铭、廖振鹏采用波函数展开法求解了任意圆弧形凸起对平面s h 波的散射问题1 1 2 5 l 。此后，刘殿魁等人利用波函数展开法、边界方法、积分变 换方法、复变函数方法等，给出了圆弧形凸起、半圆形凸起和多个半圆形凸 起地形对平面s h 波散射和地震动【1 掘1 冽。s a n c h e z - 埘d 1 删和a k i l l 3 1 】还对不 规则地形的散射的研究状况作了全面评述。 2 0 0 1 年脱d t r i f u n a c 等人【1 冽研究了关于s h 波作用下三角形凸起地形散 射问题的解析解，但由于其存在分析上的错误而未得出正确结果。刘殿魁， 邱发强【1 3 6 l 对其进行了改进，并得到了与数值解【1 3 7 1 相一致的结果。 8 蔓! 皇堕堡 1 2 弹性波散射问题的主要研究方法 由于弹性波散射问题在实际生活和工程中的重要性，几十年来，人们发展 了各种各样切实可行而且有效的方法用于解决这方面的问题最典型而且广 泛使用的几种主要有： ( 1 ) 波函数展开法：这种方法在数学物理方法中陈述为分离变量法。在曲线 坐标中，通过对标量或矢量波动方程作变量分离，利用一些曲线坐标和与之 对应的特殊函数，如b e s s e l 、w e b e r 、m a t h i e u 、l e g e n d r e 函数来构造波动方 程的解，并进一步满足边界条件，求解边值问题。由于曲线坐标的种类到目 前只有1 1 种( 直角坐标、圆柱坐标、椭圆柱坐标、球坐标、圆锥坐标、椭圆 球面坐标，抛物线坐标，扁长球面坐标、扁球面坐标、抛物面坐标等) ，而对 于矢量波动方程，分离坐标的数量仅限于前6 种，因此，该方法在使用上受 到很大限制。不过，自从刘殿魁等人在文献i 硼中将静力学中使用的复变函数 方法推广应用于二维动力学问题中来，并提出“域函数”的概念后，上述传统 波函数展开法的应用范围便进一步得到了推广。总之，波函数展开法实际就 ：，是在曲线坐标系中首先通过对标量波和矢量波动方程进行有关径向和角度等 变量的分离，从而得到各变量分别满足的常微分方程，进而求得相应的径向 函数和角度函数，它们的乘积即是波函数。然后，再将散射波表示成波函数 的级数形式，依据边界条件求得级数展开式中的未知系数，最后便自然地求 得了问题散射波的级数形式解。 ( 2 ) g r e e n 法：这种方法实际是根据问题的具体特点，构造出一个新的定 解问题( 该定解问题中的方程往往是非齐次的) ，该问题的解便是基本解，它 是由一个任意位置的点源作用下在某个空间内产生的场，该场既可以是势f 函 数) 分布场，又可以是位移分布场，还可以是其他物理量的分布场，具体情况 应由实际问题来定。g r e e n 函数的应用基础是叠加原理，因而它只适用于线 性系统。若求得问题的基本解，即g r e e n 函数后，便可以利用叠加原理，借 助于问题的边界条件得到含有边界上未知分布物理量的积分方程，将原来的 定解问题转化为一个积分方程的求解问题( 利用积分方程理论或其他成熟的 数值计算方法) ，最后，将空间内的场量表达为g r e e n 函数的积分形式。 ( 3 ) 积分变换法：从物理意义上讲，积分变换一般可分为空间变量的积分 9 哈尔滨工程大学博七学位论文 变换和时间变量的积分变换。从数学意义上讲，凡是被变换变量的变化区间 在【m ，* 】范围内，就要对其进行所谓的f o u r i e r 变换；凡是被变换变量的变 化区间在范【0 ，叫围内，就要对其进行所谓的l a p l a c e 变换。积分变换法就是 通过变换将多变量的偏微分方程定解问题转化成变量个数相对少的定解问题 或把时间域内的定解问题( 瞬态问题) 转化成频率域内的纯边值定解问题。其 数学基础便是f o u r i e r 变换和l a p l a c e 变换，该方法常与其他方法结合在一起， 比如积分变换法和波函数展开法等。该方法的应用常因求逆( 反演) 上的困难 而受到很大的限制。 ( 4 ) 传输矩阵法( z 矩阵法) ：适用于任意形状散射体的弹性体散射问题。根 据定常弹性波的不同表示定理，w a t e r m a n 和p a o 等几乎同时提出了弹性波散 射的b 矩阵法，这种方法来源于电磁波和声波的散射矩阵理论。它的基础是 弹性波散射的积分表达式和各种波函数，即把积分表达式中的已知或未知函 数用波函数表达，考虑边界条件得到求解未知系数的l 矩阵方程。转换矩阵 的主要特点是如果散射体确定，则转换矩阵不变，与入射波无关，而且转换 矩阵具有某种正定性。 ( 5 ) 摄动法：对波动方程或其边界条件进行摄动，然后再进行求解的一种 近似方法，大多利用摄动边界法。摄动法也常和其它方法相结合求解问题。 近几十年来这一方法又发展为渐近匹配法，将原问题变为内问题和