（应用数学专业论文）二阶抛物问题的h1galerkin混合元方法的理论分析.pdf

山东师范大学硕士学位论文 二阶抛物问题的h l g a l e r k i n 混合元方法的理论分析 于莲 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 摘要 本文采用h 1 一g a l e r k i n 混合有限元方法和h 1 一g a l e r k i n 扩展混合有限元 方法对二阶线性抛物问题进行数值模拟在没有引入旋度算子的条件下，通过严格 的数值分析分别建立了这两种方法的最优误差估计理论 首先讨论了二阶线性抛物问题 a )u t v ( a ( z ) v u ) + b ( x ) v u + c ( x ) u = f ( x ，) ，( z ，t ) 1 2 正 b )u ( z ，0 ) = 札o ( z ) ， z q ， c )u ( z ，t ) = 0 ，( z ，t ) a q 以 的h 1 一g a l e r k i n 混合有限元方法，证明了该问题与其相应的h 1 一g a l e r k i n 混 合变分形式的等价性和混合变分形式解的稳定性，给出了h 1 一g a l e r k i n 混合元半 离散、全离散格式及相应解的存在唯一性证明在没有引入旋度算子的条件下，通 过严格的数值分析，得到了解及伴随向量函数的最优误差估计 其次讨论了二阶线性抛物问题 a ) u t v ( n ( z ，t ) v u ) + 6 ( z ，t ) v u + c ( x ，i ) u = j r ( z ，) ， b )t l ( z ，0 ) = 也o ( z ) ， c )u ( x ，) = 0 ， ( z ，) qx 以 z q ( z ，) a qxj ， 的h 1 一g a l e r k i n 扩展混合有限元方法该方法除具有传统的h 1 一g a l e r k i n 混 合元方法的诸如同时高精度逼近未知函数、未知函数的梯度以及伴随向量函数，混 合元空间不必满足l b b 条件等优点外，还能很好的处理小粘性参数等问题，具有 更广泛的适应性证明了该问题与其相应的t t l 一g a l e r k i n 扩展混合变分形式的 山东师范大学硕士学位论文 等价性和扩展混合变分形式解的稳定性，给出了半离散、全离散格式及相应解的存 在唯性证明在没有引入旋度算子的条件下，通过严格的数值分析，得到了未知 函数、未知函数的梯度以及伴随向量函数的最优误差估计数值实验验证了该方法 的有效性与可行性 关键词：二阶线性抛物问题；1 一g a l e r k i n 混合有限元方法；h 1 一g a l e r k i n 扩展混合有限元方法；等价性；稳定性；最优误差估计 2 分类号：0 2 4 1 8 山东师范大学硕士学位论文 a n a l y s i so nh 1 一g a l e r k i nm i x e df i n i t ee l e m e n t m e t h o df o rs e c o n do r d e rp a r a b o l i cp r o b l e m s y ul i a n s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n g d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n g d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h i sp a p e r w ec o n s i d e rh 1 一g a l e r k i nm i x e df i n i t ee l e m e n ta n dh 1 一 g a l e r k i ne x p a n d e dm i x e df i n i t ee l e m e n ts i m u l a t i o n sf o rs e c o n do r d e rl i n e a rp a r a b o l i c p r o b l e m s o p t i m a le r r o re s t i m a t e sf o rt h eu n k n o w nf u n c t i o na n dt h ea d j o i n tv e c t o r f u n c t i o na r ep r o v e dw i t h o u ti n t r o d u c i n gt h ec u r lo p e r a t o r t h ef o l l o w l i n gs e c o n do r d e rp a r a b o l i cp r o b l e m s ( a )u t v ( a ( x ) v u ) + b ( x ) v u + c ( x ) u = f ( x ，) ，( z ，t ) q z ( b )u ( x ，0 ) = u o ( z ) ， z q ， ( c )u ( x ，) = 0 ， ( z ，t ) a q z a r en u m e r i c a l l ys i m u l a t e db ya nh 1 一g a l e r k i nm i x e df i n i t ee l e m e n tp r o c e d u r e t h e e q u i v a l e n c eb e t w e e nt h ei n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sa n di t sm i x e df o r m u l a t i o n a r ep r e s e n t e d ，a l s ot h es t a b i l i t y ，e x i s t e n c ea n dt h eu n i q u e n e s so ft h es o l u t i o n st o t h em i x e df o r ma r ed i s c u s s e d f u r t h e r ，t h es o l v a b i l i t ya n do p t i m a le r r o re s t i m a t e s b o t hf o rt h es e m i d i s c r e t es c h e m ea n dt h ef u l l y - d i s c r e t es c h e m ea x ep r o v e dw i t h o u t i n t r o d u c i n gt h ec u r lo p e r a t o r t h e nt h ef o l l o w l i n gs e c o n do r d e rp a r a b o l i cp r o b l e m s ( a )u t v ( n ( z ，t ) v u ) + b ( x ，t ) v u + c ( x ，) u = ，( z ，) ， ，t ) q 以 ( b )u ( z ，0 ) = 乱o ( z ) ， z q ， ( r ：)t ，) = 0 ( z ，) ? 埘， 3 a r ea l s on u m e r i c a l l ys i m u l a t e db ya nh 1 一g a l e r k i ne x p a n d e dm i x e df i n i t ee l e m e n t p r o c e d u r ew h i c hi n h e i t st h ea d v a n t a g e so fh 1 一g a l e r k i nm i x e df i n i t ee l e m e n t ， s u c ha sa p p r o x i m a t i n gw e l lt h eu n k n o w nf u n c t i o n ，i t sg r a d i e n ta n dt h ea d j o i n t v e c t o r - f u n c t i o n ，a n dw i t h o u ts a t i s f y i n gt h el b b c o n s t r a i n t i na d d i t i o n ，t h en e w m i x e df o r m u l a t i o nc a na p p r o x i m a t et h es o l u t i o n sw e l lw h e nt h ec o e f f i c i e n ta ( x ，) b e c o m e sv e r ys m a l l t h ee q u i v a l e n c e ，s t a b i l i t y , e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sb o t hf o r m i x e df o r m u l a t i o na n df o rd i s c r e t ep r o c e d u r ea r ed i s c u s s e d t h eo p t i m a le r r o r e s t i m a t e sf o rt h eu n k n o w nf u n c t i o n ，i t sg r a d i e n ta n dt h ea d j o i n tv e c t o rf u n c t i o n a r ep r o v e dw i t h o u ti n t r o d u c i n gt h ec u r lo p e r a t o r an u m e r i c a le x a m p l ec o n f i r m s t h ee f f i c i e n c yo fo u rm e t h o d k e y w o r d s ：s e c o n do r d e rp a r a b o l i cp r o b l e m s ；h 1 一g a l e r k i nm i x e df i n i t e e l e m e n tm e t h o d ；h 1 一g a l e r k i ne x p a n d e dm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；e q u i v a - l e n c e ；s t a b i l i t y ；o p t i m a le r r o re s t i m a t e s 。 4 c l a s s i f i c a t i o n ：0 2 4 1 8 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特另i j ) j n 以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注： 如没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 于莲 翩婵：7 亥蒙 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权堂撞可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文 在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：j 蓬 签字日期：2 0 0 7 年卑月) 日 翩签字1 如苏善 签字日期：2 0 0 罗年年月乙日 l 舭东师范大学磷士学位论文 第一搴攀 砉 抛物问题感描述许多重瓢炭际问题的种数学模型，对此人们提出了许多数值 摸撼方法，燕w h e e l e r ，d o u g l a s 饕d o u p o n t 挺蕊骛骞隰氯方洼 a , 2 1 ，j o h n s o n 等太挺 凌鹩灌合有限元方溶器，痿，蕊磷菩 有限元方淡恳毂假求鹪偏微分方程的一个堂要方汰，假有限元方法仅能得刘来 辩避数藜遥觳瓣；惹法塞接褥戮簿莲囊嚣惑数运叛黧。与霄隈毙方法掇魄较，瀑会 嚣方法霹菇霹瓣薅耩发潺运泰辩遗蘩爱萁襻鬻纛萋羲萋良程高除徽癸方獠鞭客青簿 个( 或两个以上) 未知函数的偏微分方程的数值研究中起祷非常煎鼹的作用混合 祷曝嚣释巽毒稷好憨耨理塞义释耪疆嚣暴，谈方法翌瘦葵戏耀予多墨穷麟孛戆瀵溶 蘸凄嚣鬟莓实酥瓣题孛，并敢褥了蠢簿藜计算觳暴。毽蔫滚方法寒楚褒方程薅，簧 涉及到系数求逆问题，而在研究某些实际问题时扩散系数w 能趋予零，刚此犬鬣的 蜜际阉题不适会麓灌含嚣方法寒勰决鹣1 0 , i t , 1 2 t 1 3 ，1 4 , 2 7 1 ；霹噼，漫会嚣方法术戆很好 辩楚理鬟泰速赛鬻鬈+ 在混合元方法的基础上，1 9 9 8 年，文f 1 5 挺毖了扩展溅台党方法较混合觅方 法，该方法霹黻麓游遥避未知缀数、寒翔瓣数数梯发及藕伴随趣量羲数特别撼， 蹲竣嚣予蒸交复杂速器蠢夺爨缝参魏霹蔫蠹交疆建1 7 , i 8 ，嚣l 叉将蒸藏爨嶷蘑予二狳 掀线性椭圆等问题的求解但无论是有限元方法还是混合我方法，都要求所构造酶 赭限嚣空勰必然潢避l b b 榴蒋性条终，缭宥限元窒瓣熬选取带来一定瓣避难， 1 9 9 8 霉，焱。k 。p a n i 褡器l g a l e r k i n 骞聚嚣方法粼弩嚣奢嚣方洼黎缮螽提 出了l g a l e r k i n 混合有限就方法与混合有限无方法相比较，谈方法无需螫求 衡黻毙燮阕礁穰w h 满足l b b 耀褰性袈馋，因此椎釉w h 可以选取不藏次数 懿多囊嚣窒鬻+ 浚方法爨裁珐纛藩詈壤婺熬褥考覆潲，黎努皴努方程戮囊擎鬓囊 撇物方糕f 2 l l 的求解，文f 2 2 ，2 3 ，3 2 】叉扩大了该方法的适用范围 善 山东师范火学硕士学位论文 本文蓠先讨论了方程系数不依赖予t 的二阶线性抛物耀题 ， j ( 8 ) ? - q v ( 口( 。) v ? 上) + 6 ( z ) v ? + c ( = l ：) l = ，( z ，) ，( z ，z ) q z i ( b ) t f ( z ，0 ) = u o ( x ) ， z q ? l | ( 0赶( z ，) = 0 ， ( z ，) 毋q z 的1 一g a l e r k i n 混合有限元方法，证明了该问题与其相应的，1 一g a l m 。k i n 混合 变分形式的等价性和混含变分形式解的稳定性，给出了h 1 一g a l e 7 k i n 混合元半离 散、全离散格式及相应解盼存在唯一憷 正明。为得到最优误差估计，文献f 1 9 ，2 2 ，2 3 】 对高维问题采用了与一维问题不同的方法，即对高维问题引入旋度算子，将原方程 变形，得到具有非协调性质的混合元格式，进而证明了最优误差估计。本文借助予 混合元空间的良好性质，不必葶| 入旋度雾子对原方程变形，对一维、二维、三维阕 题统一讨论，通过严格的数值分析，得到了最优误差估计，本文方法表现更为统一 简洁 其次讨论了方程系数依赣于鬈，t 的二酚线性越物阕题 a ) b ) c ) 弛一v ( 口 ，t ) v u ) + b ( x ，t ) v u + c ( z ，) 缸一，( 名，) ， ( 茹，t ) q z 乱( 。，0 ) = h o ( z ) ， 善sq ， 嚣( z ，t ) = 0 ，( z ，t ) a q t 的h 1 一g a l e r k i n 扩展混合有限元方法该方法除具有h 1 一g a l e r k i n 混合元方 法的诸如丽时高精度逼近未知函数、未知运数的梯度以及伴随向量函数，混合元空 阄不必满足l b b 条件等优点外，还熊很好鳇处理小粘性参数等闻题，具有更广泛 的适应性证明了该问题与其相应的h l g a l e r k i n 扩展混合变分形式的等价性 和扩展混合变分形式解的稳定性，给出了半离散、全离散格式及相应解的存在唯一 性证明。在没有寻l 入旋度算子的条件下，通过严格的数值分析，得到了未知函数、 未知函数的梯度以及伴随向量函数的最优误差估计 本文最后给出了数值算例，得到了胃我们的论证一致的结果，同时验证了所用 方法的有效性与可行性 6 山东师范大学硕士学位论文 对文中出现的符号说明如下：( ，) 表示l 2 ( q ) 或( l 2 ( q ) ) d 空间中的内积， 相应的范数记为川另外我们用。，p 表示s o b o l e v 空间m p ( q ) 的范数，特别 当p = 2 时，w m ，p ( q ) 记为h ( q ) ，范数记为| | i | 。c 表示不依赖于h ，的正常 数，在不同之处表示不同的值 设x 是s o b o l e v 空间，( z ，1 ) 在q 【a ，6 】上适当光滑，则可定义空间胪( ， ，；x ) 及相应的范数如下 r 6 l p ( n ，6 ；x ) = ，：i i f ( ，t ) l l 妥, a t ) ， j a ，6， i i i i i - , p ( 。 ，x ) = ( i i f ( ，t ) 暇d ) ； 7 山东师范大学硕士学位论文 第三章二阶抛物问题的静t g a l e r k i n 混合有限元方法 2 1 引言 ；詈三i三蚕豢鬟“)+6(z)vt十c(z)让=jr(讲，)圣i_：_无e2王+t， ( 0 ，翻，t o o ，8 0 ) ，6 ( 茹) ，c ( x 均为光滑丞数， 正常数 0 绚) a l ，基a o ，a l 为 本章主要内容为：第二节证明了初边值问题( 2 1 1 ) 与其日1 一g a l e r k i n 混合 变分形式的等价性，第三节分橱了变分形式解的稳定性，第四节中我们绘出了闻题 ( 2 1 1 ) 的半离散格式并证明了半离散解的存在唯一性，第五节给穗了半离散格式 的最优误差估计，全离散格式及其最优误差估计在第六节给出 组 义为 8 2 2 混合变分形式与等价性 引入中间变量p = a ( x ) v u ，令盘一：，多= 幽，爨| l 问题( 2 。1 。1 ) 变形为下列方程 摆豢_ 训州l 拶江叭， t u | 旧d 。；n ) = ( 1 1 t , t 1 2 + | l v 树| 2 ) 山东师范大学硕士学位论文 将2 2 。王鑫) ，2 2 1 b ) 分剐与v w ，vwgh ( d i v ；q ) 和v 移，￥秽础( q ) 佟 内积，并对( 2 2 1 a ) 式第一项应用g r e e n 公式后，得到与问题( 2 2 1 ) 相应的1 一 g a l e r k i n 混合变分形式为：求 缸，m ：【0 ，卅砷vx 彬使得 | ( 拄) f e 羔p t ，搿) ( vt 尹，v 谢) 一( 砌，v ，掰) 黜，v 搿) 一六v - 搿) ，v 彬彬 【( 6 ) ( v u ，v u ) 一( q p ，v ) ， v 矿 ( 2 2 2 ) 弓| 理2 1 1 2 9 设著2 为具袁l i p s c h i t z 连续边界条件的凸域，对p h ( d i v ；) ， 则存在西h 2 ( q ) n 础( q ) ，以及妒h ( d i v ；q ) ，v 够= 0 ，使得p = v 咖十妒 引理2 2 2 4 ，3 0 l 设若q 为舆有l i p s c h i t z 连续边界条件的凸域，若，l 2 ( q ) ， 嬲存在p h 1 ( q ) 2ch ( d i v ；q ) ，使褥v p 一， 定理2 1初边值问题( 2 1 1 ) 与其h 1 一g a l e r k i n 混合变分形式( 2 , 2 2 ) 等 价 证瞬：先诞穗初边值问题( 2 1 。1 ) 可推出h 1 一g a l e r k i n 混合变分形式( 2 2 。2 ) 。 在( 2 1 1 ) 中令p = a ( x ) v u ，n = 三l i l t ，一a b ，得方程组( 2 2 1 ) ，再将( 2 2 1 ) ( a ) ， ( b ) 的两端分别与v w ，v 作内积，并利用g r e e n 公式可得( 2 2 2 ) 髯证由h 1 一g a t e r k i n 混合变分形式( 2 2 2 ) 缮到初边值闻题2 1 。1 ) 因为p h ( d i v ；q ) ，由引理2 1 可得，存在h 2 ( q ) n ，瑶( 2 ) ，i , s t 受妒 h ( d i v ；2 ) ，v 妒一0 ，使得p v 咖+ 矽 盎( 2 ，2 2 b ) 知 ( 叩，v v ) = ( q v 十位妒，v 口) 一( n v ，v u ) 十( n v 矽，u ) = ( a v e ，v u ) = ( v u ，v 口) ， 即 ( v ，v 移) = ( v u ，v v ) ，￥v h i ( q ) ， 故v 曲= a v u 所以p = a v u 十妒 9 山东师范犬学硕士学位论文 ( 写，钉，) + ( n 移t ，t u ) + ( v ( a v u ) ，v ) 一( p a w , ，v t ，) 一( 助，v 硼) 一( 勰，v w ) = - ( f ，v 枷) ， 一( 象，v 似) 十( 。班，叫) 一( 妒，v 。们) + ( v ( 。v u ) , v - w ) ( 2 2 3 ) 一( b v u ，v w ) ( e 珏，v w ) 一( ，v t j ) 在2 2 3 ) 中取w = 妒，则有v 妒一v 1 ) = 0 ，刘( 2 2 。3 ) 可变形为( 识，眵) 一0 即；袅f | 训2 = 0 将上式荧于t 从( 0 ，t ) 积分得 l i 移1 1 2 一1 1 妒( o ) 1 1 2 = 0 。 又p o ( x ) 一a w o ( z ) ，得妒( o ) = 0 ，所以| i 妒1 1 2 = 0 ，即妒( z ) = 0 所以有p = a v u 故( 2 2 3 ) 可变形为 ( 警，v 钮) 一v ( 穗v 链) ，v 馨) ( b v u ，v 镏) ( c u ，v 蟠) 一( ，v 。馨) ， ( 卺一v ( a v u ) + b v u + 傩一，v 钳) = 0 又医为嚣，卺，b v u ，歹l 2 ( q ) ，壶引理2 2 知存在w h ( d i v ；q ) ，使得v 掰一 甓一v ( a v u ) 一b v u c 札一，故有鬻一v ( a v u ) 一b v u 一甜一，从而有 p 魄- - - - 一- a v ( x ) 矽v + u , 鼬c 。髫，。，锤：，；。，：，v 锃硪：q ， 1 0 2 3 混合变分形式解的稳定性分析 在( 2 2 2 b ) 中令秽一雠：则有下式成立 | | v 。| | c l l p l l ， 山东师范大学硕士学位论文 在( 2 2 2 a ) 中令w = p ，则有： ( q 轨，p ) + ( v p ，v p ) = ( z p ，v p ) + ( c u ，v - p ) 一( ，v - p ) ， 由h f i l d e r 一不等式及e 一不等式得 ；五dl | “z l p i l 2 + i i v p l l 2 冬c ( 1 l p l l 2 + f i u 0 2 + i l ，| | 2 ) + e l l v p | | 2 ， 对上式关于t 积分得 所以， 即 p l l 2 + 后i j v p i | 2 d s i i p ( o ) 1 1 2 + c 石t ( 1 | p i l 2 + e | | v p | | 2 + i l ，1 1 2 ) d s ， pj 1 2 + j v pj 1 2 d s i i p ( o ) 1 1 2 + c f o ( 1 l p l l 2 十j i ，j j 2 ) d 5 ， p | 1 2 c ( 1 l p ( o ) 1 1 2 + f t ( 1 l p l l 2 + 0 ，1 1 2 ) d s c ( 1 l u ( o ) 1 1 2 + f o ( 1 l p l l 2 + l i ，1 1 2 ) ) d s ) ， 再由g r o n w a l l 引理得 2 c ( 1 l u ( o ) 1 1 2 + 1 2 d 5 ) 又由空间v 中全范和半范的等价性知i | u i i c i j v 仳i l 所以 i l u l l 2 c i i p l l 2 c ( 1 l u ( o ) l l ；- i - i i l l l 2 d s ) 由以上分析可得以下定理成立 定理2 2 设u 足变分形式( 2 2 2 ) 的解，坳是初值，则有下列稳定性估计： i l u l l 2 c ( 1 l 锄o l l ；+ i l f l l 2 d s ) 2 4 半离散格式与解的存在唯一性 为了给出与( 2 2 2 ) 相应的h 1 一c a l e r k i n 半离散混合有限元格式，我们首先 构造v 1 1 7 的有限维子空间k w j ， 对区域q 作正则剖分，剖分单元为k ，t h = uk ，h = m a x d i 凸r e ( k ) ，k k e t a 死) ( 0 h 1 ) ，y h ，w h 可定义如下： w h = q h ；q h l k p k ( k ) ，vk 瓦) ， = 弧y ；v h l k 只( k ) ，vk 死 ， 其中，p j k ) 为剖分单元k 上次数不超过s 的多项式全体，对k 0 ，r 1 ，有 限元空问 ( a ) ( 6 ) ( c ) i n f i i ) h e w h i n f w h e w h 奶i 七n 杉f w 么具有如下的逼近性质， 1 0 , 1 1 , 1 2 , 1 3 , 2 0 1 w w 0 c h 詹+ 1 l i 叫0 七+ l ， l i v ( w w h ) l l c h 七1i l 叫l i ，+ 1 ， w ( h 七+ 1 ( q ) ) d n 彬 w ( h k a + l ( q ) ) d n 彬 l l u 一i l + h l l v ( v 一 h ) 1 1 ) c h r + 1 1 1 t , 1 1 ，+ l ， ( 什1 ( q ) ) nv ( 2 4 1 ) 其中i 为r a v i a r t t h o m a s 空间 2 7 1 或n e d e l e c 空间 1 4 1 时k l = k + l ( k o ) ，w h 为b r e z z i d o u g l a s m a r i n i ，b r e z z i d o u g l a s f o r t i n m a r i n i ，b r e z z i d o u g l a s - d u r a n - f o r t i n 空间 9 - n l 时k l = k ( k 1 ) 问题( 2 1 1 ) 的h 1 一g a l e r k i n 混合元方法可定义为：求 u 7 l ，p h 】：【o ，t 】_ ，使得 ， i a ) ( o ：p h t ，w h ) + ( v p h ，v w h ) = ( 励，v w h ) + ( c u h ，v w h ) 一( ，v 彬1 1 1 ) ，vw h w h ， l ( 6 ) ( v u _ i i ，v v h ) = ( 口m ，v v h ) ， vu i l v h 、 ( 2 4 2 ) 定理2 3 问题( 2 1 1 ) 的h 1 一g a l e r k i n 混合元方法的半离散格式( 2 4 2 ) 的 解存在唯一 证明：因为( 2 4 2 ) 足线性方程组，要证解存在唯一，只需证对应的齐次线性 方程组只有零解即可 1 2 山东师范大学硬士学位论文 l ( n ) ( o e p h t ，w h ) + ( v p h ，v w h ) 一( 励 ，v - w h ) 十( 魄，l ，v 似h ) ，vw hg 佴x ， l 渤( v u a ，v 魄一f 嗽，v v h ) ， v 魄g 垓。 在( 2 4 3 b ) 中取魄一u h 则有 l l v 嚣是l g | | 鳓| | ( 2 4 。4 ) ；蔷鲰1 1 2 + i l v p h l t 2 一( ( 胁十黜 ) ，vt 舰) 墨c ( 1 l m l l 2 - i - l l 珏 1 1 2 ) 十l | v - 黜1 1 2 ， l l 乱 i | c l l v u l l ， i l p h t l 2 + 露 | v 鲰| 2 d s o 露| l 鳓1 1 2 d s ， ( 2 ：4 辩 i 斑铲墨s 菇| | 鲰1 2 d s ， e i lg r o n w a l l 引瑙得l 舰| 1 2 0 ，即得p h 一0 。又因蠢戳 | | 竖c l l w h l t ，苒联合 披露2 4 。2 ) 骄对应酶齐次线性方程蕴只有零舞，鼷( 2 4 。2 ) 鲮解存在罐一固 2 5 半离散格式的最优误差估计 1 3 山东师范大学硕士学位论文 由( 2 2 2 ) _ ( 2 。4 2 ) 可得误差方程 为进行误差估计，弓l 入两类投影算子： ( 1 ) r i t z 投影r h ：v 一垓，满足( 2 5 l ( 2 ) ( a ) ( v ( u 一撬珏) ，v v h ) = 0 ， v h ， ( 2 5 1 ) ( b ) i i u r h u l + h 1 v ( u 一钆) l i c h ”+ 1 i i 扎lr ，+ 1 ，“矿 投影溉：w 州w h ，满足f 9 f l o ，1 1 ，1 4 ，2 铂 ( a ) ( v ( 瓢p 一尹) ，v p h ) 一0 ，p h w h ，p h ( d i v ；q ) ， ( b ) i i p 一7 r h p i l c h 知+ 1i l p l l k + l ，p ( h 知+ 1 ( q ) ) dn 彤 ( 2 5 2 ) ( c ) | | v 0 一，r h p ) | | c h 蠢t | | p 敝，+ l ，p ( h k t + 1 ( q ) ) d 门彬 当为r a v i a r t - t h o m a s 空间【2 7 】或n e d e l e c 空间f 14 】时k l = k 十1 ( k o ) ，w h 为b r e z z i d o u g l a s - m a r i n i ，b r e z z i d o u g l a s - f o r t i n m a r i n i ，b r e z z i 。d o u g l a s - d u r a n f o r t i n 空阉【9 一l l l 令 时k l 一是( k 1 ) 。 p p h = ( p 一7 p ) 十( 1 r h p p h ) 一p + ， 毪一u h = 链一r h u ) r h u u h ) = 蛩+ 则误差方程可变形为 1 4 ( n ) ( a ，w h ) + ( v ，v w h ) = - ( a p t ，l g h ) + ( 移( 矿+ ) ，v w h ) + ( c ( q + ( ) ；v - w h ) ， ( 6 ) ( v ( ，v v h ) = ( n ( p 十f ) ，v v h ) ， vw h ， vv h 坛 ( 2 5 3 ) 定理2 。4 设锃，矽) ，( 程毳：p h ) 分剐是f 2 。2 。2 帮( 2 - 4 2 ) 的解，p o = a v t t , o ， u 、哆 k 碱郴渺鸿 一 砌 一 帅琳 口 鼬 儿、哆 州 山东师范大学硕士学位论文 p h ( o ) = 7 r 印( o ) ，则存在与h 无关的正常数c 使得 i l u - 乱h l l 2 + l i p - p 1 1 2 c ”打。2 七+ 1 + 1 0 u i | 备l + i l v l l ；+ 1 ( 2 5 4 ) + f o ( 1 l v g + 1 + i i p , 1 1 2 + l + i n i l ，2 + 1 ) 幽) ， i i v ( u u h ) 1 1 2 十i i v ( p v h ) 1 1 2 c h ”讥引k , o l l u ( o ) l l ；+ ，+ i i p ( o ) 1 1 2 + 1 + i l u l l ；+ 1 + i i p l l ；+ l + 矗tl l i p l i 七2 + l ( 2 5 5 ) + i lp t i 瞠+ l + l l u t i l ；+ l + l l 训曙+ ，) d s 】_ 证：由( 2 5 3 b ) 可得 i i v 训o ( 1 l p l i + 蚓i ) ， v 6 1 l c ( 1 l p t l i + 怜i i ) ( 2 5 6 ) ( 2 5 7 ) 在( 2 5 3 a ) 中令w h = ，则有 ( q 已，) + ( v ，v ) = - ( a p t ，) + ( p ( p + ) ，v ) + ( c ( 叼+ ( ) ，v ) ， 由h s l d e r 一不等式，e 一不等式，| l ( | l c l l v ( 1 l ，( 2 5 6 ) 以及n ( z ) ，6 ( z ) ，c ( x ) 的 光滑性得 ；冱di i u z l 引1 2 + i i v i | 2 c ( i i p , 1 1 2 + i i 1 1 2 + i l p l l 2 + i | 7 7 i | 2 ) + ( 1 i v 1 1 2 注意到d o ) = 0 ，并对上式关于t 积分得， j 鹰1 1 2 + 后l j v fj 1 2 d s c 。u t ( 1 i 觑j j 2 + j i 引j 2 + | | p i l 2 + 1 1 7 7j | 2 ) d s ) 由g r o n w a l l 引理并结合( 2 5 1 ) ，( 2 5 2 ) 可推知， i lj 2 + i i v f i l 2 d s ( ： f o ( 1 l p tj 1 2 + j j pj j 2 + j j7 7j 1 2 ) d s ) c h m n 2 似+ 1 ，7 + 1 ) f o ( 1 l p l l 2 + 。+ l i p t l l 2 + l + i l u l l ；+ 1 ) d s ) ( 2 5 8 ) 将( 2 5 8 ) ( 2 5 2 b ) 代入( 2 5 f j ) 整理后得， l i v ( i | 2 c h 伽2 ( + 1 ，+ 1 l i p l l l + l + 矗tk i | p i l 七2 + l + l i p i | 2 + l + i | “i | ；斗i ) d s ( 2 - 5 9 ) 1 5 山东师范大学硕士学位论文 又 p p h i l 2 茎o ( i b l l 2 + i f f | f 2 ) ， 故 l l p m l l 2 c h ”n 2 ( k - b l , r + 1 ) l l p l l l + l + ( 1 i p 幢十l 十i i p , l l ；+ l + i l u l l ；+ 1 ) d s ) ( 2 5 1 0 ) 由( 2 5 1 ) ，( 2 5 9 ) 以及l l ( f j c l l v ( i i 知 | | 一u h l l 2 g ( i b l l 2 + f f ( 1 1 2 ) c h m i n 2 ( k + l ，r + l ( 1 i u 慨1 + i l p l l 2 + l ( 2 5 1 1 ) + 石t i l p l l 七2 + l + i i p , l l l , + l + i f u i 浮+ 1 ) d s 由( 2 5 1 0 ) ，( 2 5 11 ) 可得( 2 5 4 ) 式成立 下证明( 2 5 5 ) 式成立 在( 2 5 3 a ) 中令w h = & ，则有 ( q 矗，已) + ( v ，v 已) = - ( o , p t ，已) + ( ( p + ) ，v & ) + ( c ( 叼+ 们 ，l q 仲刊 柏 、l ， ， 0 u 托 7 v 碥 嵋 a v 山东师范大学硕士学位论文 在( 2 6 2 a ) 中令w h = 璐，有 ( 碱，p h ) 4 - a t ( v 珑，v - 埔) 一( p 埔，v 菇) + ( 伽z ，v 磙) ， 再利用h s l d e r 一不等式得 | | q 壤| | 2 + 硼v 瑶| | 2 = ( ( 励譬+ c 磁) ，v 。尹嚣) c a t ( 1 l p 嚣1 1 2 + i l u 嚣1 1 2 ) + e a t l l v - p ；：1 1 2 由y 中全范与半范的等价性熟l l 珏凳l c l t w , 嚣l l ，眷结合( 2 6 3 ) 得 i i 瑞f 1 2 十a t l i v p h i l 2 d s c a t ( i i 磁i f 2 + e i | v 磁f i 2 ) ， 所以 | | 菇| | 2 g | | 壤眨 所以f | 磁胪= 0 ，得磁一0 又因为l l u 嚣, l i c l l w , l l ，再联合( 2 6 3 ) 得， i l u 洲 g i | 域| | ，所以n 2 = 0 。从丽( 2 6 1 ) 所对应的齐次线性方程组只有零解。 口 为了便于误差估计，弓l 入记号如下 令 p ( t ”) 一p 嚣一( v ( t ”) 一w h p ( t n ) ) 4 - ( 7 r | l p ( 矿) 菇) = 矿+ ”， u ( t 8 ) 一t 警一( 狂( 严) 一r h u ( t “) ) + f r h u ( t 怯) 一醒) = 矿十 t l u l i l 一帮一；) | | p l 。g t + t ) ( 2 。8 ) + l i p , i l l z ( h 川) + 圳m l j 己2 ( ( 护) 4 ) ) 证明；在( 2 5 1 b ) ( 2 5 2 b ) 中分别取t = t ”可以得到1 1 , 7 ”i 矿l i 的误差估计 下瑟我们砖| | 毪| r | | 进行误差估计。 在( 2 6 4 b ) 中取v h = p ，则有， i i v ( n | | 黪c ( 1 l 矿i i + l 妒i i ) 。( 2 6 7 ) 再在( 2 6 4 a ) 中令w h p ，得 ( n ( z ) 覆f ”，f ”) 十( v f n ，v f n ) 一一( q ( z ) ( 氛j d 牲+ 盯玎) ，f ”) 十( ( 矿+ p ) ，v p ) + ( c ( 矿十 “) ，v 一n ) ， 注意刭 ( q ( z ) 覆f 牲，辟) 去覆 i n 行f 1 2 ， 再利雳h s l d e r 一不等式，一不等式得到 ；侥- - l | q ；ip | | 2 十l l v - f “| | 2 c ( t l 否w 1 1 2 十| | 拶托| | 2 | i r l l 2 十l | n i l 2 + l | 矿1 1 2 十i l ( n i l 2 ) + e i l v - “l | 2 由捌( q ) 空间中全范褥半范的等价性知 | r | | sc l i v e n l ， 再由( 2 6 7 ) 知 曷| | & n l l 2 + l l v 善摊i f 2 墨e 翻& 矿l | 2 1 1 0 “l | 2 + l l 矿| 1 2 + | f 札j i 2 + i l 叼”| f 2 ) + | v “i | 2 2 1 山东师范火学硕士学位论义 o t p n - - 乞乒= 壶。硝丁炒， 随删整壶l l i p 删( 2 删