（应用数学专业论文）一阶非齐次拟线性双曲组的cauchy问题.pdf

v1 1 6 t 3 t 摘 要 题鬻= 黧竺篓芋性严敝曲组具铲俪黼初值。c h ，问 纛亨羹篙黧竺孚配雯竺，。要竺时和齐次蟊菇赫嚣嵩嚣 慧毒辜夏冀竺三三翌非空姿项的估计，利鬲蓑淼”曩嚣嚣嚣篙 怒裟慧裂鉴赫，谥篙票麓嚣 淼型翼了嬲：紫竺黧限时间莴破姜聋茎蒜篇需 计和浙近公式，并证明了奇性是由同族特征的i 毒i 慕1 山士叩蜉厦明稽碉估 ： j j l 垃 ililff；0l+； a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ec a u c h yp r o b l e mf o rg e n e r a lf i r s to r d e ri n - h o m o g e n e o u s q u a s i l i n e a rs t r i c t l yh y p e r b o l i cs y s t e m s u n d e rt h em a t c h i n gc o n d i t i o n ，w ef i r s tg i v ea n e s t i m a t eo nt h ei n h o m o g e n e o u st e r m s b yt h i se s t i m a t e ，w eg i v eas i m p l ep r o o fo nt h e g l o b a le x i s t e n c eo fc 1s o l u t i o n st ot h ec a u c h yp r o b l e m u n d e rt h ea s s u m p t i o no f d e g e n e r a c y w eo b t a i nt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o u rf o rt h el i f e s p a no fg 1s o l u t i o n sw i t h “s l o w l y ” d e c a y i n ga n ds m a l li n i t i a ld a t aa n dp r o v et h a tt h ef o r m a t i o no fs i n g u l a r i t yi sd u et ot h e e n v e l o p eo fc h a r a c t e r i s t i c so f t h es a _ i n ef a 血l y k e yw o r d s ：q u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m ；m a t c h i n gc o n d i t i o n ；h f e s p a n ；w e a kl i n e a r d e g e n e r a c y 1 1 引言 考察一阶拟线性严格双曲型方程组 0 。u 。a ( “) 筹= 即) ， ( 1 1 ) 其中u = ( u l ，u 。) t 是关于( t ，z ) 的未知向量函数，a ( u ) = ( a 玎( u ) ) 是一个n n 阵，其元素毗j ( u ) ( t ，j = 1 ，t 1 ) 适当光滑，而f ( u ) = ( f 1 ( u ) ，f n ( u ) ) t 是u 的已 知向量函数，其元素毋扛) ( 江1 ，n ) 适当光滑 由严格双曲型的定义，对所考察的区域上任意给定的u , a ( u 1 有n 个互异的实 特征值 a l ( u ) a 2 ( t ) a 。( u ) ( 1 2 ) 对i = 1 ，n ，记k ( u ) = ( f i l ( t ) ，f i 。( 1 1 ) ) ( 相应地，n ( u ) = ( r 1 ( u ) ，r 讯( t ) ) 7 ) 为对应于丸( u ) 的左( 相应地，右) 特征向量： z i ( u ) ( u ) = 凡( “) ( t ) ( 相矗z 地，a ( u ) r i ( u ) = a i ( u ) q ( u ) ) ，( 1 3 ) 我们有 d e t ( u ) i 0 ( 相应地，d e tf ( “) f o ) ( 1 4 ) 所有的凡( u ) ，l ；i j ( u ) 和( t ) ( f ，= 1 ，n ) 有与啾j ( u ) ( f ，= 1 ，n ) 相同的正则性 不失一般性，我们可假设 ( u ) o “) ；幻( f ，= 1 ，n ) ( 1 5 ) 这里6 玎表示k r o n e c k e r 记号 在本文中仅假设在u = 0 的一个邻域中，方程组( 1 1 ) 是严格双曲的 立 a l ( o ) a 2 ( o ) 0 为小参数， 妒( z ) e 1 满足 s u p ( ( 1 + i z i ) ( i 妒( 2 ) i + i 妒7 ) 1 ) ) o 。( 1 1 9 ) z h 最后，设方程组( 1 1 ) 不是弱线性退化的，并且 d = m i n c qj i j ) 0 充分小，使得对任意的e ( o ，o 】，c a u c h y 问题( 1 1 ) 和( 1 , 8 ) 的e 1 解的一阶偏导数u 。必在有限时间内破裂，且 生命跨度于( ) 满足 。1 i m o + ( 1 + 。t ( ) ) 2m o ， ( 1 删 其中 a 如= ( m 。a 。x ，。s u 。冗pl 一：；璺：掣i 。：。( k ( 。) 妒( z ) ) 。k ( 。) 妒( 。) ) ) 一1 ，( ，z t ) 这里u = u 叫s ) 由( 1 9 ) 给出 定理1 3 在定理1 2 的假设下，在c a u c h y 问题( 1 1 ) 和( 1 , 8 ) 的a 1 解“= “( f ，。) 的存在区域0 t 0 和如 0 使得 a “1 ( u ) 一九( ) 4 如，v l t l ，j 训a ( i = 1 ，n 一1 )( 3 3 ) 及 队( “) 一州圳鲁，v i u 训耶= l ，咄 ( 3 先设在e 1 解u = u ( ，。) 的存在区域上， f u ( t ，z ) i 5 ( 3 5 ) 我们将在引理3 3 证明的后半部分，说明此假设的合理性因此为了证明定理1 1 ， 只需在g 1 解t = i | ( t ，z ) 的存在区域上，对由( 2 1 ) 一( 2 2 ) 定义的v 和”的伊模分别 建立一致先验估计 由( 3 1 ) 和( 3 5 ) ，在g 1 解的存在区域上， o a l ( u ) a 2 ( u ) 0 足够小，则由( 3 3 ) 易知 d ，n d 于= d ，y i j ( 3 1 1 ) 及 u d ，cd t ( 3 1 2 ) i = 1 】2 及 记 其中 y ( d 至) = i 竺臀鼍。| | ( 1 + i z i ) 1 + “吨( t ，) i i l - ( d i ) ， ( d 至) = i 璺黑( 1 + i z i ) 1 + ”坝( t ，。) 忆* ( 口i ) ， 屹( t ) 2 汕m a x 。( 归晶卵( 1 + f 。一。护忡 2 ) i 屹( t ) 5 吼m a x ，。( 。舢s u p ，+ i 。一圳矿州2 眠( t ) 2 i 冀) d t s u p 。，( 1 + i $ 一川矿倒 2 ) ( t ) 2 i 器。器岛( 忡，2 ) 胍( t ) 2 装。2 毫厶( 。) i ”i ( 。，。) k ( t ) 2 i 璺麓。s u 。p ，愀，。) i 显然，v o o ( t ) 等价于 昵( t ) 2 i 竺蹬。s ；u 。p ”l ( 2 ，2 ) 诞矗 d f ( t ) = ( r ，z ) i r = t ，( r ，。) d ) ( t ) 2 璺黑。s 。u 。p 撕( ，。) 诞r 引理3 1 对所有的扛1 ，n ，在区域d t d ，上，成立 c tsl z 一 ( o ) t isc t ， c 。si 。一a i ( o ) 引c z ， 其中c ，c 是与t 无关的正常数- 此引理见 1 1 3 ( 3 2 1 ) ( 32 2 ) ( 3 2 3 ) 坞 h 砖 m 协 曲 0 0 0 0 p 0 类似于【1 】中的引理3 2 及【2 】中的附录，易得 引理3 2 假设在t t = 0 的一个邻域中，a ( u ) c 2 ，方程组( 1 1 ) 为严格双曲 型，( u ) g 2 满足匹配条件而且妒( 。) c 1 满足( 1 1 6 ) 则在标准化坐标下，可 找到一个适当小的常数8 0 0 ，使得对任意给定的口e 0 ，o o ，在c a u c h y 问题( 1 1 ) 和 ( 1 8 ) 的c 1 解t i = t ( t ，) 的任何存在区域0 tst 上，成立 y ( d 三) ，w ( d t ) 1 口， ( 3 2 5 ) 其中t 是与口和t 无关的正常数 引理3 3 假设在u = 0 的一个邻域中，a ( u ) c 2 ，方程组( 1 1 ) 为严格双曲型， f ( t ) c 2 满足匹配条件，且( 1 5 ) ( 1 6 ) 成立假设方程组( 1 1 ) 弱线性退化而且 妒( z ) c 1 满足( 1 1 6 ) 则在标准化坐标下，可找到一个适当小的常数o o 0 ，使得对 任意给定的口【o ，o o ，在c a u c h y 问题( 1 1 ) 和( 1 8 ) 的c 1 解“= “( ，) 的任一存在 区域0 ts t 上，下述一致先验估计成立： c ，善。( t ) ，i 乞( t ) sk 2 0 u 口) k a 8 ， w ，矗口) s 4 口， 肌( t ) 蚝口， u 。( t ) ，v o o ( t ) s 6 口 及 ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) ( 3 3 0 ) i 亿。( t ) 7 口，( 3 3 1 ) 其中也( 江2 ，3 ，7 ) 是与口和t 无关的正常数 证明：此引理的证明类似于【1 】中引理3 3 和引理3 4 的证明，为叙述简单起 见，这里仅指出其本质上不同之处在证明过程中，我们总设0 0 0 是充分小的 类似于【1 】中的( 3 9 2 ) ，在c 1 解的存在区域上，只要( 3 5 ) 中的6 充分小，则 屹( t ) c 1 i ，三( t ) ， ( 3 3 2 ) 这儿c ，及下面出现的c j u = 2 ，3 ，) 均表示不依赖于目( 或e ) 和t 的正常数- 1 4 访( 耻。器学s 挚二z 舭t ， ( 3 3 3 ) 厩( t ) - 。器学弩二雠，圳d t ， ( 3 - 3 4 ) 其中己u ) 为d 中任给的第，特征 如同【1 1 中引理3 3 的证明，首先估计厩口) 仍采用 1 】中的记号 由( 2 ，5 4 ) ，【1 1 中的( 3 5 3 ) 现在应该为 “懈川儿叫一坝( 嗣，”) ( - 一巡瑞掣) + 叫f t ( y ) 倒( 耋( 势小胁似小，) ”， + 妻讲脚t 卜小川) 塑铲“ ( 3 3 5 ) j ，k = l， 。 利用引理2 1 ，类似于【1 】中的( 3 5 4 ) ，由( 3 3 5 ) 可得 掷，引蜘川。蛐， 0 充分小，则 1 k ( t ) s k 口k os 妄d ( 3 6 2 ) 这就说明了假设( 3 5 ) 的合理性 下面证明( 3 3 i ) 由( 2 1 2 ) 及引理( 2 1 ) ，对任意给定的点( t ，z ) d ，( 1 ，n ) ，类似于【1 中的 ( 3 1 0 9 ) ，有 i u k ( ，嚣) |sc 1 1 h 7 ( d 罩) + 1 + l 么( t ) 】( - 乞( t ) ) 2 + 【1 + ( t ) 】w 篙( t ) v r 品( ? ) + 矿品( t ) i 乞( t ) + w 篙( t ) + i 仨( t ) + i 馁( t ) v o o ( t ) w o o ( t ) + i 篙( t ) ( w 7 ( t ) ) 2 ) ( 3 6 3 ) 另一方面，对任意给定的点( t ，z ) gd f ( b1 ，n ) ，1 w i ( t ，z ) l 可以被岷( t ) 或( d ! ) 控制因此，由( 3 2 6 ) ，( 3 2 8 ) ，( 3 3 0 ) 及引理3 2 ，易知 w o o ( t ) e 1 2 0 1 + w o 。( t ) + ( w 二( t ) ) 2 ) ( 3 6 4 ) 完全类似于【1 】中的( 3 1 1 1 ) - ( 3 1 1 4 ) 有，如果 7 2 c 1 2 ，( 3 6 5 ) 则得( 3 3 1 ) 这就证明了引理3 3 注3 1 在方程组( 1 _ 1 ) 为弱线性退化及f ( u ) 满足匹配条件的假设下，( 3 3 0 ) - ( 3 3 1 ) 表明对任给的0 【0 ，0 0 ，在c 1 解u = u ( t ，) 的任一存在区域上，恒成立 u ( ，) l b 6 口( 3 6 6 ) 及 1 w ( t ，2 ) i k t o ( 3 6 7 ) 1 8 它给出了解的e o 模及解的一阶偏导数的伊模的一致先验估计 定理1 1 的证明：只需在标准化坐标下证明定理1 1 在定理1 1 的假设下，从 ( 3 6 6 ) 。( 3 6 7 ) 知：如果0 0 0 充分小，则对任给的0 【0 ，如】，在c a u c h y 问题( 1 1 ) ，( 1 8 ) 的c ，解的任一存在区域0st t 上，下述关于解a 1 模的一致先验估计 l u ( ，) i i o 垒l i t o ，) i i c 。+ l l u 。0 ，) i i g 。k o ( 3 6 8 ) 成立，其中k 是与9 ，t 无关的正常数从而即得定理1 1 注3 2 设在“= 0 的一个邻域中方程组( 1 1 ) 为严格双曲型，f ( u ) 满足匹配条 件，且a ( t ) g 1 ，f ( “) a 1 假设对一切c 1 模小而且衰减的初值妒( z ) ，c a u c h y 问题 ( 1 1 ) 和( 1 8 ) 都在t 0 上存在唯一的整体g 1 解，则方程组( 1 1 ) 是弱线性退化的 此命题的证明完全类似于f ( “) ；0 时的证明( 见1 8 ) 4 定理1 2 的证明 为了精确估计解的生命跨度，我们考察下述c a u c h y 问题 譬= t ， 其中 0 为小参数，妒( 。) e 1 满足 s u p ( 1 + i zj ) ( i 妒( ) + i 妒( 。) ) ) 0 ，使 得对任意给定的6 ( o ，e o 】，在c a u c h y 问题( 4 1 ) 的g 1 解u = “( t ，。) 的任一存在区 域0s ts t 上，成立 矿( d 至) ，万( d 至) sk l ，( 4 9 ) 其中i ，是与e 和t 无关的正常数 引理4 2 在定理1 2 的假设下，在标准化坐标下，可找到一个适当小的6 0 0 ， 使得对任意给定的e ( o ，e o 】，在c a u c h y 问题( 4 1 ) 的c 1 解u = “( t ，z ) 的任一存在 区域0 t t 上，存在与，t 无关的正常数颤( f 2 ，8 ) ，使下述一致先验估计 成立： 可吒( r ) k 2 e ，( 4 1 0 ) w ，1 ( t ) k n e l l 0 9 6 1 ， ( 4 1 1 ) 瓦( t ) k 4 6 ，( 4 1 2 ) v i ( t ) sb e b g i + 6 ( 6 1 1 0 9 s 1 ) 2 + “t ， ( 4 1 3 ) i 乞( t ) ，c 7 啬( t ) k z 6 l o ge ，( 4 1 4 ) 其中 弛 扣1 ( 4 1 5 ) 此外，当 ? + 。s 1( 4 1 6 ) 2 0 时， w 磊口) k s e ( 4 1 7 ) 证明：此引理的证明类似于引理3 3 及【4 】中引理5 1 和5 2 的证明下面仅指 出其本质上的不同之处在证明中，总设e o 0 充分小 类似于f 4 】中的( 3 6 0 ) ，在c 1 解的任一存在区域上，只要6 0 充分小，就有 u o o ( t ) c 1 3 y ：( t ) ( 4 1 8 ) 利用引理2 1 ，类似于( 3 3 6 ) ，【4 】中( 3 3 2 ) 现在应该为 啦癣，蚍刊卜( 赤，v ) l + c 1 “矾( t ) 限( 卅瓦( t ) ) 威( 0 】恻( 刊_ 1 ( 1 仲小川旷1 掣山 + ( 瓦( 卅咒( t ) ) 三nk 驯d 1 川1 吡引删川丝铲血 + 崴( q 薹k 神川1 蛳小) | 塑铲山 ( 4 1 9 ) 由( 4 1 9 ) 及引理4 1 ，类似于【4 】中( 5 5 ) 有 厩( t )c 1 5 七1 e l o g ( 1 + t ) + ( i 矿乙( t ) l o g ( 1 + t ) ) 2 + 讳巴( t ) w i ( t ) l o g ( 1 + t ) + 而乞( t ) 矿毛( t ) ( 1 0 9 ( 1 + t ) ) 2 + 矿：( t ) w i ( t ) l o g ( 1 + t ) + w 巴( t ) v i ( t ) l o g ( 1 + t ) ) ，( 4 2 0 ) 其中k 1 由引理4 1 给出 类似地，由引理2 1 及引理4 1 ，【4 】中的( 5 6 ) ，( 5 7 ) 及( 5 1 5 ) - ( 5 1 7 ) 此时应为 w i ( t )c 1 6 女1 el o g ( 1 + t ) + ( i 矿毛( t ) l o g ( 1 + t ) ) 2 + 评乞( t ) w i ( t ) l o g ( 1 + t ) + 而乞( t ) 矿毛( t ) ( 1 0 9 ( 1 + t ) ) 2 + 矿乙( t ) i n ( t ) l o g ( 1 + t ) + i 矿毛( t ) v i ( t ) l o g ( 1 + t ) ) ，( 4 2 1 ) 及 瓦( t ) sc 1 7 1 + ( 而：( t ) ) 2 l o g ( 1 + t ) + 一w o 。( t ) w i ( t ) + w o o ( t ) 一v o o ( t ) l o g ( 1 + t ) + 而乞( t ) 访( t ) + 矿毛( t ) 厩( t ) ) ，( 4 2 2 ) v i ( t ) c 1 8 七1 el o g ( 1 + t ) + w 乞( t ) i ( t ) ( 1 0 9 ( 1 + t ) ) 2 + 丽乞( t ) v i ( t ) l o g ( 1 + t ) + 矿：( t ) w i ( t ) l o g ( 1 + t ) + ( 矿乙( t ) l o g ( 1 + t ) ) 2 + 矿：( t ) v i ( t ) l o g ( 1 + t ) + ( t 乞( t ) ) 1 + 。( w 乞( t ) l o g ( 1 + t ) + w ( t ) ) t ， ( 4 2 3 ) h ( t ) c 1 9 蠡1 el o g ( 1 + t ) + w o o ( t ) 一v o o ( t ) ( 1 0 9 ( 1 + t ) ) 2 + 丽乞( t ) v i ( t ) l o g ( 1 + t ) + 矿乙( t ) w i ( t ) l o g ( 1 + t ) + ( 矿乙( t ) l o g ( 1 + t ) ) 2 + 矿乙( t ) v i ( t ) l o g ( 1 + t ) + ( t 么( t ) ) 1 + 。( 可矿毛( t ) l o g ( 1 + t ) + w ，1 ( t ) ) t ) ( 4 2 4 ) 驴乙( t ) c 2 0 女1 e + w 。( t ) 一v “o o ( t ) i 。g ( 1 + t ) + 一w c c ( t ) v i ( t ) + ；p 乞( t ) b z l ( t ) + ( 矿：( t ) ) 2 l o g ( 1 + t ) + 矿毛( t ) 识( t ) ) ( 4 2 5 ) 如果t 满足( 4 1 5 ) ，则由( 4 2 0 ) - ( 4 2 5 ) 可得 厩( t ) ，w ，l ( t )c 2 1 南1 e l l o g e l + ( w 。o o ( t ) l l o g e l ) 2 + 可矿毛( t ) w ，1 ( t ) i l o g e + 矾( t ) 瓦( t ) l l o g e l 2 + 瓦( t ) i h ( t ) i l o ge l + i 咒( t ) h ( t ) il o g e ) ( 4 2 6 ) f 旷：( t ) sc 2 2 女1 e + ( 丽乞( t ) ) 2 i l o g e l + w o o ( t ) w 1 ( t ) + i 矿：( t ) i 乞( t ) l1 0 9e i + w e 。( t ) v i ( t ) + i 气( t ) 厩( t ) ) ，( 4 2 7 ) 识( t ) ，v lc t ) f i 2 3 1 e l l o g e l + 而乞( t ) 矿乙( t ) 1 0 9 e 2 + 两巳( t ) v i ( t ) 1 0 9 e i + 矿乙( t ) w l ( t ) l l o g , l + ( 矿毛( t ) i l o g e l ) 2 + v + o o ( t ) v i ( t ) 1 0 9 e l + ( i 么( t ) ) 1 + 。( 可矿：( t ) il o g e i + w ，1 ( t ) ) t ) ( 4 2 8 ) 2 2 及 瓦( t ) 墨c 2 4 七。e + 瓦( t ) 矿乙( t ) il o g l + 瓦( t ) 识( t ) + 矿：( t ) 厩( t ) + ( i ( t ) ) 2 i l o ge l + 瓦( t ) 访( t ) ) ( 4 2 9 ) 由引理4 1 ，类似于【4 】中的( 3 4 s ) ，有 v o o c t ) ，( t ) c 2 5 ( k l e + w 巳( t ) + 啊( t ) ) ( 4 3 0 ) 由( 4 2 ) ，易知 瓦( o ) ，而乞( o ) c 2 6 5 ，h ( o ) = h ( o ) = w l ( o ) = m ( o ) = 0 ，( o ) ，( o ) c 2 7 e ( 43 1 ) 由此及连续性知，存在与无关的正常数赶( 扛2 ，3 ，7 ) ，使得( 4 1 0 ) ( 4 1 4 ) 及 z ( t ) k s il o gi + 6 ( e ll o ge 1 ) 2 + 。t ，( 4 3 2 ) 厩( t ) sk a e 1 0 9e l( 4 3 3 ) 至少对t 0 充分小时成立因此，为了证明( 4 1 0 ) ( 4 1 4 ) ，只需证明：可找到这样 的( 江2 ，3 ，7 ) ，使得对任何给定的t o ( 0 0 充分小，则 w i ( t o ) ，厩( ) c 2 1 2 k 1 + 4 k 2 址 | l o g 1 2 扣) e 1