（固体力学专业论文）复杂结构的局部动力效应和疲劳分析.pdf

摘要 目前，结构动力分析主要应用有限元方法。有限元法通过求解动力方程计算结构振 动的动内力和动位移时，忽略了由连续质量引起的结构惯性力对单元动内力的影响( 即 局部动力效应的影响) 。而理论和实践表明：当有限元计算模型网格剖分较粗、材料密 度较大、结构发生鞭梢效应或外界扰频及阻尼较大的情况下，局部动力效应对单元内力 的影响是非常大的，是不容忽略的。 对海洋平台结构系统疲劳可靠性研究的相关文献比较多，但有关冰区平台的疲劳分 析与评估方面的研究相对较少。本文的学术思想特色是在海洋平台冰激疲劳分析中引入 虚拟激励法，在保证计算精度的同时大大缩短计算时间。 本文在国内外学者对局部动力效应研究的基础上，针对目前局部动力效应研究的发 展状况，选取梁和板壳结构局部动力效应分析作为课题，从理论上导出梁、板壳单元局 部动力效应的求解公式，建立了梁和板壳单元局部动力效应计算模型；基于推导出的计 算公式，在现有程序的基础上，对其部分子程序模块作了修改，并且加入相应的计算模 块，以适应更加复杂的计算体系；继而，运用扩充的程序对海上采油平台( 中南平台m s w ) 做了随机激励下的动力响应的实际计算，对考虑局部动力效应与否的计算结果进行了对 比；最后，在研究了疲劳分析的基本理论与方法的基础上，编制程序对在建的j z 2 0 2 北高点平台进行了详细冰激疲劳计算与分析，估算了其疲劳寿命。 算例的计算结果表明，海洋平台在环境载荷作用下，局部动力效应对某些单元的动 内力影响很大，对结构的设计起到决定性作用；在疲劳谱分析过程中，引入虚拟激励法 替代原有的方法( c q c ，s r s s ) ，可提高运算效率。 乏二文建议在对结构进行动力分析时应该考虑其局部动力效应的影响。在谱分析中， 可以采用虚拟激励法以提高工作效率。 关键词：局部动力效应；随机激励；虚拟激励法；冰激疲劳分析；疲劳寿命 a b s t r a c t p r e s e n t l y , f i n i t ee l e m e mm e t h o di sc o m m o n l yu s e di nd y n a m i ca n a l y s i so fs t r u c t u r e s n e m a g n i t u d eo fd y n a m i ci n t e r n a lf o r c ea n dd y n a m i cd i s p l a c e m e n tc a r lb eo b t a i n e db y s o l v i n gd y n a m i ce q u a t i o n s w i t ht h i s m e t h o d ，b u tt h ee f f e c t s o fs t r u c t u r a li n e r t i af o r c e s i n d u c e db yc o n t i n u o u sm a s s e so nt h ei n t e r n a lf o r c e so fe l e m e n t s ，i e t h ee f f e c t so fl o c a l d y n a m i cr e s p o n s e s ，a r en e g l e c t e d h o w e v e r ，i ti sp r o v e dt h e o r e t i c a l l ya n dp r a c t i c a l l yw h e n d e n s i t yo ft h em a t e r i a l i s h i g h ，e x t e r n a ld a m p i n gi sv e r yl a r g e ，w h i p l a s hh a p p e n so r s o l i d - l i q u i dc o u p l e s w i t hs t r u c t u r a ls y s t e m ，t h e r e & r el o c a ld y n a m i c r e s p o n s e so n t h ei n t e r n a l f o r c e so f e l e m e n t sa n di tc a n n o tb e n e g l e c t e d i nt h es t r u c t u r a la n a l y s i s r e s e a r c h e so ns t r u c t u r a lf a t i g u er e l i a b i l i t ya n a l y s i so fs e a p l a t f o r m c a l lb ef o u n di nm a n y o p e n i n g l i t e r a t u r e s b u tr e s e a r c h e sr e g a r d i n gf a t i g u ea n a l y s i sa n de v a l u a t i o no f p l a t f o r mi ni c e s e aa r e aa r er e p o r t e dl e s s o n eo ft h em a i ni d e a si nt h i sp a p e ri st h ep s e u d oe x c i t a t i o nm e t h o d i si n t r o d u c e di nt h ef a t i g u ea n a l y s i so fs e ap l a t f o r mu n d e ra c t i o n so fi c ef o r c e s w i t hu s i n g t h i sm e t h o d ，t h ec o m p u t a t i o n a lt i m ec a r lb ed e c r e a s e dg r e a t l yw i t h o u tl o s so fn u m e r i c a l p r e c i s i o n i nt h i sp a p e r , a i m i n ga tt h ed e v e l o p m e n t a lc o n d i t i o n so ft h el o c a ld y n a m i cr e s p o n s e sa t p r e s e n t ，f l l r t h e rd i s c u s s i o n so n l o c a ld y n a m i c r e s p o n s e so f s t r u c t u r e su n d e rr a n d o me x c i t a t i o n a r ep r o c e e d e db u s e do na c h i e v e m e n t sa th o m eo ra b r o a d t h em a t h e m a t i cf o r m u l a so fi o c a l d y n a m i cr e s l ：l o n s e so fb e a me l e m e n t ，p l a t ee l e m e n ta n d s h e l le l e m e n tu n d e rr a n d o me x c i t a t i o n a r ed e d u c e d a n dt h e nc o m p u t a t i o n a lm o d e l sf o rl e e a ld y n a m i cr e s p o u s e sa r ee s t a b l i s h e d ， b u s e do nt h er r m t h e m r a t i cf o r m u l u sd e d u c e da n dp r o g r a m si ne x i s t e n c e t h ec o r r e s p o n d i n g c o m p m e rc o d e s o fl o c a ld y n a m i c r e s p o n s e s a r ew r i t t e na n dc o m p i l e df o r c o m p l i c a t e d s t r u c t u r a la n a l y s i s t h e n ，u s i n gt h ee x t e n d e dp r o g r a m ，t h el o c a lr e s p o n s e so fs e ap l a t f o r m ( m s w ) u n d e r r a n d o me x c i t a t i o na r ec o m p u t e da n da n a l y z e d c o m p a r i s o n so fr e s u l t sw i t ha n d w i t h o u tc o n s i d e rl o c a ld y n a m i cr e s p o n s e sa r ea c q u i r e d f i n a l l y , t h ef a t i g u el i f eo fb e i g a o d i a n j z 2 0 2p l a t f o r mi se v a l u a t e du s i n gt h ed e v e l o p e dp r o g r a mb u s e do nt h et h e o r i e sa n dm e t h o d s o f f a t i g u ea n a l y s i s t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h el o c a ld y n a m i cr e s p o n s e sh a v eg r e a te f f e c t so ns o m e m e m b e r so f p l a t f o r mu n d e rt h ea c t i o n so f e n v i r o n m e n t a ll o a d s ，t h u sl o c a ld y n a m i cr e s p o n s e s h a v ed o m i n a t i n ge f f e c t so nt h ed e s i g no fp l a t f o r m t h e ya l s os h o wt h a th i g hc o m p u t a t i o n a l e f f i c i e n c yc a l lb e a c h i e v e db yi n t r o d u c i n gt h ep s e u d oe x c i t a t i o nm e t h o dt or e p l a c et h ec q c o r s r s sm e t l l o d i ti s s u g g e s t e dt h a tt h el o c a ld y n a m i cr e s p o n s e ss h o u l db ec o n s i d e r e di nt h ed y n a m i c a n a l y s i s o fs t r u c t u r e sa n dt h e p s e u d o e x c i t a t i o nm e t h o dc a nb eu s e dt o i r e p r o v e t h e c o m p u t a t i o n a le f f i c i e n c yi ns p e c t r u ma n a l y s i s k e y w o r d s ：l o c a ld y n a m i cr e s p o n s e s ；r a n d o me x c i t a t i o n ；p s e u d oe x c i t a t i o nm e t h o d ；f a t i g u e a n a l y s i s ；f a t i g u e l i f e i i 复杂结构的局部动力效应和疲劳分析 1 绪论 1 1 选题工程背景 结构动力性能是工程中备受关注的问题，工程结构中几乎处处存在着动力问题，例 如：高转速、高精度旋转机械设备要求的高精度的动力计算分析；高层建筑要求考虑抗 震性能的动力分析；高耸结构在脉动风压下的动力分析：海上采油平台在环境载荷下的 动力分析等。只有对结构动力特性有明确的认识，才能更好地利用有利的一面，而避免 有害的一面，设计出更好的结构。因此，工程对结构的力学分析，特别是对结构的动力 分析，提出了更新更高的要求。 目前，结构的动力分析主要应用有限元方法，即把整体结构分割成有限个单元，再 利用变分原理，建立结构振动的有限元方程组，采用直接积分法或振型迭加法，得到结 构的所有节点的位移、速度、加速度。当节点的位移随时间变化函数求得以后，则单元 的应变和应力的时间函数即可求出。然而，由于有限元法对结构体系的微分方程和边界 条件作了一些假定，通过等效积分的“弱”形式以获得求解，因此只是一种近似的方法。 特别是忽略了局部动力效应的影响，误差是不可避免的。所谓的“局部动力效应”，是 指由连续质量引起的惯性力对结构单元内力的影响。因为结构在振动时，必然会产生加 速度，而连续质量和加速度的乘积即为结构的惯性力，它是客观存在的。以往在做结构 动力分析时，结构的连续质量是以协调质量阵或集中质量阵的形式集中到节点上而变成 节点集中质量，然而结构还承担着由连续质量引起的惯性力，它对单元内力的影响却被 忽略了。 ( 1 ) 固、液耦合的储液罐结构，由于附连水质量的影响，使储液罐单元上的分布质 量很大，这样其局部动力效应将非常显著，研究局部动力效应的影响是非常必要的。 ( 2 ) 高速行驶的结构如火箭、宇宙飞船、卫星等，由于其加速度非常之大，也将导 致其局部动力效应非常大。 ( 3 ) 具有鞭梢效应的结构，当结构发生鞭梢效应时也会产生很大的位移加速度，结 构受简谐载荷的作用，当干扰频率非常高时，其加速度也将非常大。 理论和实践表明；当有限元计算模型网格剖分较粗、材料密度较大、结构发生鞭梢 效应或外界扰频及阻尼较大的情况下，如果忽略局部动力效应对单元内力的影响，势必 造成结构的动力响应与真实结果不符，这在工程上是偏于危险的。基于以上原因，本文 选取梁和板壳结构局部动力效应分析作为课题，主要从理论上导出梁、板壳结构局部动 力效应的求解公式，目的在于为以后计算斗轮挖掘机、储液罐、核反应堆防蔽屏罩等复 杂结构的局部动力效应计算起到铺垫作用。 海洋石油钻井平台是大型复杂结构，由很多截面及材料各异的构件组成。在长期复 杂的海洋环境载荷作用下，载荷历程和环境条件均十分复杂，基本上是随机性的，因此， 它所涉及到的疲劳可靠性问题比起地面的其他结构来说更显突出。 对海洋平台结构系统疲劳可靠性研究的相关文献比较多【3 3 ”，但有关冰区平台的疲 劳分析与评估方面的研究相对较少，一些平台规范如a p ir p 2 a , 挪威d n v 规范等仅给出 了波浪作用下平台疲劳分析的一般推荐作法。a p ir p 2 n 是一个专门用于冰区平台的一个 复杂结构的局部动力效应和疲劳分析 规范，建议必要时，需对冰载引起的疲劳损伤进行评估，但没有给出具体方法。 本文致力于海洋平台在环境载荷激励下的局部效应和冰激疲劳分析。 1 2 国内外研究概况及发展趋势 上世纪8 0 年代初，美国学者s a a n a g n o s t o p o u l o s 等人率先提出了局部动力效应的 概念i l l 。推导出在地震作用下，对于任意一根端点位移为材。、只、“，、p ，的杆件，局部 动力响应位移w ( x ，r ) 满足方程 ( 删。) 。+ 历形+ c w = 一历( 乃+ u ，+ 最暑+ 口，s ，) ( 1 1 ) 其边界条件为 w ( o ，f ) = w ( 0 ，f ) = w ( 1 ，r ) = w ( ，f ) = 0( 1 2 ) 其中丽是杆件单位长度质量；点y 为梁的单位长度质量；谚、驴，、谚、拶，为节点的绝对 位移加速度、绝对转角加速度。c 为梁的阻尼系数，。、，、j ，、s ，为杆件单元的形函 数。 以上述计算模型为基础，他们对地震扰动下近海平台的杆件进行了局部动力效应计 算。通过计算，发现个别杆件的局部效应内力很大，比以往动力分析算出的内力可高达 十倍，因此应该引起足够的重视。 s a a n a g n o s t o p i u l o s 等人对局部效应的研究方法概念明确、思路清晰，但同时也存 在一定的局限性。他们所推导出来的局部动力效应计算公式，是建立在虬、只、“，、口， 己被正确计算出来的前提上的。事实上，由于动力响应或地震响应大都应用振型迭加法 或逐步积分法进行动力时程响应计算，这样，在对应转动自由度的质量元素目前还没有 办法能精确地算出，因此很多文献都采用质量约化的办法( 所谓质量约化，就是使转动 自由度对应的质量元素为零) 进行动力特性和动力响应的计算，此时的动力转角是无法 算准的。从计算模型看，如图1 - 1 所示：他们将图( a ) 模型等效成图( b ) 和图( c ) 。 图1 - 1 计算模型 f i g 1 ，1c o m p u t a t i o n a l m o d e l 图( a ) 为受连续惯性力的悬臂粱结构； 2 复杂结构的局部动力效应和疲劳分析 图( b ) 为集中质量模型； 图( c ) 为s a a n a g n o s t o p o u l o s 提出的局部效应计算模型。 从图卜1 可以看出，如果把模型( a ) 分解为模型( b ) 和模型( c ) 之和，那么显然缺少 模型( c ) 对应节点的不平衡反力矩，即模型( d ) 。这体现了s a a n a g n o s t o p o u l o s 计算模 型的不足之处。概括地说s + a a n a g n o s t o p i u l o s 局部效应计算模型存在以下局限性： ( 1 ) 计算公式采用了近似算法，因此所得结果与精确值偏差较大； ( 2 ) 公式完全依赖于杆端位移和转角均被正确给出的前提； ( 3 ) 该方法只适合于杆系结构的局部效应计算，而对其它诸如板梁组合模型则显得 无能为力。 8 0 年代中期，我国学者对局部动力效应也展开了研究【2 】，他们借鉴了 s a a n a g n o s t o p o u l o s 计算模型的成功之处，同时克服了这种计算模型的不足，对局部 效应的计算模型、计算公式及计算方法进行了修正，将图( a ) 模型分解成为( b ) 、( c ) 、 ( d ) 三部分相加，得出梁单元结构体系的局部动力效应公式为 f = 一g ( 五t ) a x = 一n 】( 一而 】 占 - c 【】 占) ) 疵 ，。 = n r 而 】出 方 + 【r c 【】出 由 。 = l m l 占 + 【c 】 占 式中： 国、 占) 分别为节点加速度、节点速度列向量，积分时与它们无关，【r 历【】出 为梁单元的协调质量矩阵【m 】，f 【r c n d x 为阻尼矩阵【c 】。 由上式可知，对于梁单元局部动内力向量伊 ，实质上等于梁单元的协调质量矩阵 【m 】与节点加速度向量 国的乘积及阻尼矩阵【c 】与速度向量 国的乘积之和，从而，梁 单元在任意载荷激励下的总动内力为 妇 = f + 扩 = k 弦) + 阻弦 + 【c 】 岛 ( 1 4 ) 对于板单元( 矩形板单元、直角三角形板单元) 的局部动力效应分析，则根据单元 内部力矩平衡原理，并假定单元表面惯性力近似为均布载荷和单元单位宽度上的局部动 内力近似相等，简化了数学推演，最后得出矩形板单元和直角三角形板单元的单位宽度 上的局部动力效应公式分别为 b+乙2一龇喜互qm口y + = 上- j 兰型 ( 1 5 ) ( 1 6 ) 复杂结构的局部动力效应和疲劳分析 其详细推导过程和公式中各项含义可参见文献 3 。 纵观几十年来国内外对局部动力效应的研究，可见对结构的动力分析，只有比较简 单的杆系结构，才能获得较为精确的局部动力效应，而对板结构只能采用近似方法求解 局部动力效应。其主要原因是难以构造局部动力效应的计算力学模型，或是计算模型本 身误差较大，或是局部动力效应方程难以求解，这也是以往对结构进行动力分析时，往 往忽略局部动力效应的主要原因之一。然而从美国s a a n a g n o s t o p o u l o s 等学者对海洋 平台杆件局部动力效应的计算结果来看，局部动力效应是不容忽略的。为此，建立一种 新的矩形和三角形板单元局部动力效应的计算模型并且使之具有实用性是十分必要的。 结构疲劳可靠性分析的早期工作可以追溯到上世纪4 0 一5 0 年代，自6 0 年代起结构 可靠性理论得到迅速的发展，并在航空和航天工程、建筑工程、核工程、船舶及海洋工 程等领域得到实际应用。而船舶及海洋工程结构，尤其是海洋平台，已经成为结构疲劳 可靠性分析的一个重要的研究对象。7 0 年代末，美国海岸警卫队的船舶结构委员会和美 国石油学会分别资助了由m u n s e 和w i r s c h i n g 主持的研究项目，w i r s c k i n g 等人提出了平 台结构杆件( 简单管节点) 的疲劳可靠性分析模型。由于w i r s e h i n g 模型的表达形式简 单，考虑的不确定因素比较全面，对随机变量的取值又提供了比较详实的数据，因此该 模型被广泛应用于平台结构疲劳可靠性分析。w i r s c h i n g 等人的工作对结构疲劳可靠性 的研究起了先导的作用。此后，其他国家如英国、日本、挪威等也相继开展了研究。经 过多年的努力，取得了较大的进展。具体表现在以下几方面： ( 1 ) 在海洋平台构件疲劳断裂实验研究基础上，深入开展了各类管节点应力集中系 数、应力强度因子计算模型、平台构件随机疲劳应力评估、海洋平台用钢及构件疲劳断 裂试验数据综合评估与分析等应用基础研究，为应用断裂力学方法对管节点进行精细疲 劳分析打下了良好的基础。 ( 2 ) 由研究重点放在通过$ - n 曲线疲劳损伤评价方法建立疲劳可靠性模型，转移到 以断裂力学为基础，即应用概率断裂力学方法解决海洋钢结构的疲劳可靠性评估问题。 d n v 已将概率断裂力学引入平台设计规范。 ( 3 ) 从只注重设计阶段的疲劳断裂可靠性预测到重点考虑检测和维修对疲劳断裂可 靠性的影响。目前，已有多个模型可供选用。 ( 4 ) 有关疲劳断裂参数统计特性的数据进一步积累，为对海洋结构可靠性进行定量 评估创造了条件。 ( 5 ) 疲劳断裂可靠性的定量预测方法也有了较大的发展。f o r m ，s o p a i ，m o n t e c a r l o 法和多种改进的m o n t ec a r l o 法( 如重要抽样法) 、寿命分布法和响应面法在疲劳可靠性 分析中得到了广泛的应用。 ( 6 ) 疲劳断裂可靠性方法开始广泛应用于海洋石油工程中，诸如优化检测周期、确 定裂纹容限值、疲劳许用应力，逐渐显示出疲劳断裂可靠性对于工程具有良好的应用前 景。 自8 0 年代开始，国内一些高等院校和研究机关，如中科院力学研究所、上海交通 大学、西北工业大学等也开展了这方面的研究工作。原国家经委曾斥巨资，资助开展进 口材料管节点和国产材料管节点的疲劳强度的研究，国内多家单位开展了应用断裂力学 技术评估海洋平台疲劳寿命的研究，成效显著。 4 复杂结构的局部动力效应和疲劳分析 1 3 本文主要工作 本文以渤海采油平台为载体，对复杂结构环境载荷激励下的局部动力效应和冰激疲 劳进行了研究。考虑了自重载荷、地震载荷、冰载荷和风载荷等环境载荷作用，对结构 进行了局部动力效应分析；考虑冰载，对结构进行了疲劳寿命分析。 在前人研究的基础上，本文从局部效应动内力的基本理论出发，对复杂结构随机激 励下的局部效应作理论上的推导，在现有梁和板壳模型局部效应计算的有限元分析程 序的基础上，对原有的计算程序进行修改和扩充；基于疲劳可靠度理论框架，研制相 应的有限元计算程序。 具体的研究工作包括以下几个方面： 推导随机激励下梁单元和板壳单元局部效应的计算公式，并建立了梁积板单元局部 动力效应计算模型。 编制随机激励下结构动态响应分析的专用程序，并在所推导的局部效应计算公式基 础上，对原有的计算程序进行了修改和扩充： ( 1 ) 修改矩形板单元、直角三角形板单元、矩形协调板单元局部动力效应计算的相 关子程序，并用典型结构的动力问题对修改后的计算程序做了校核； ( 2 ) 运用扩充的程序对海上采油平台( 中南平台m s w ) 做了环境载荷激励下的动力响 应的实际计算，对考虑局部动力效应与否的计算结果进行了对比。 研究疲劳分析的基础理论与方法，结合国内外近年对平台管节点疲劳强度研究取得 的新进展，对冰载荷作用下平台构件疲劳损伤预测、断裂评估和随机疲劳裂纹扩展 寿命计算方法进行了研究。 在疲劳分析中建立力学模型，编制程序对在建的j z 2 0 2 北高点平台进行了详细冰激 疲劳分析，估算了其疲劳寿命。 在疲劳谱分析过程中，运用a n s y s 二次开发，引入虚拟激励法替代原有的方法 ( c q c ，s r s s ) ，大大提高了计算效率。 复杂结构的局部动力效应和疲劳分析 2 结构动力分析精确算法 2 1 结构动力分析基本方法 求解多自由度线性振动体系的动力响应时，有两种方法： ( 1 ) 振型迭加法 先求出结构的一部分低阶特征对，然后将求出的振型作为广义坐标的基底进行坐标 变换，将体系的动力响应转换为若干个单自由度体系动力响应的组合，使计算得到简化。 它的优点是节约计算时间，计算精度高。但是，当冈0 度阵、质量阵或阻尼阵至少有一个 随时间变化：阻尼阵不是比例阻尼阵；外载激起很多阶振型参振时，此时在计算上不经 济，不宜采用振型迭加法。 ( 2 ) 逐步积分法 逐步积分法就是将动力方程在时间域上离散化，化成对时间的差分格式，然后根据 初始条件利用直接积分法逐步求出在一系列离散时刻上的响应值。逐步积分法的两个基 本思想是： ( a ) 把动力分析历程0 t 分成若干个等分时间间隔0 ，a t ，t ，t + a t ， r ，在任意离散时刻t 都满足动力平衡方程，而在其它任意时刻并不要求满足动力平衡 方程。 ( b ) 在每一个时间区间f 内假定位移、速度、加速度按某种规律变化，不同的函 数假定形式决定不同的函数积分方法，进而决定不同的求解精度、稳定性和效率。时程 分析法的计算方法容易，程序编制简单，获得数据较多，稳定性也好。 迄今为止，逐步积分法根据不同的函数假定形式己发展成较多种类，例如线性加速 度法及其广义形式的威尔逊，e ( w i l s o n 0 ) 、纽马克( n e w m a r k ) 法、中心差分法和侯 波特( h o u b o l t ) 法以及近年发展起来的二次加速度法和精细积分法等。逐步积分法是工 程求解动力响应普遍采用的一种方法。许多工程中的动力响应计算，特别是用有限元方 法离散化得到的那些动力方程组的规模往往是很大的。工程中求解这些问题时不要求近 似解与精确解在时间历程上精确的点点重合，而只是希望以一定的精确要求确定动力响 应的振幅和周期。本文对其离散化质量产生的误差提出了修正逐步积分法，并利用此方 法计算了结构在动载荷作用下的动力响应。 动力方程的形式为 磁+ c 冀+ k x = f ( t )( 2 1 ) 其中 以c 、足都是聆n 阶矩阵，且一般是常数矩阵，非线性问题也可以在形式上写成 与上式相同，只是其中的矩阵 以c 、世不再是常数矩阵。当把这些问题用逐段线性化 的方程求解时，实际处理的还是式( 2 1 ) 形式的线性方程组。 6 复杂结构的局部动力效应和疲劳分析 2 1 1 逐步积分公式推导 逐步积分法是对动力方程逐步的进行数值积分，一般推导步骤为：假定t - - 0 时刻的 位移缸 o 、速度扛 。、加速度辟 o 为e n t r e e ，并将求解的时间r 划分为几个时间间隔出， 根据时刻的已知解推导出t t 。= + 出时刻的解。 本文采用常用n e wm a r k 法。 基本假定： 在n e w m a r k 法中所给出的关于扛 。，( 翦。与 菇) ，+ 。的约束方程为 厂厂1、 ( x ) ，+ 血= x ) ，+ r ( 量 ，+ | l 寺一i ( 量) ，+ 舅) h 址i f 2 ( 2 + 2 ) i x j h a | = x ，+ 【( 1 一口) t x j ，+ g t x ，岫j r晖3 ) 其中的口、是可变参数，可用来调节公式的计算特性，主要是调节计算的稳定性和精 度。取( a t = l 2 ，f l = l 4 ) ，即作为一种无条件稳定的积分格式，是常平均加速度法。 假定：从f 至f 十缸内加速度不变，大小为堕k 婪盐坐。 把a = i 2 ，= 1 4 代入( 2 2 ) ( 2 3 ) 式中得 i， ( 对“m2 i x ，+ 址 膏) ，+ 寺( 譬) r + x ) ，+ m ) 缸2j 2 - 4 ) 膏) 。= 童) ，+ 三( 膏) ，+ 碧 ，+ 。) 纽 ( 2 5 ) 应f f l ( 2 4 ) 和( 2 5 ) 可得到 田，+ 。及 封。用( 工) ， 封， 辫，和 x ) 。所表示的表达式， 即 。= 丢吼。一川一啬8 ，一往l ) m 2 云吼m 一圳一觇 ( 2 7 ) 考虑f + a t 时刻的动力方程 阻忙) 。+ c 】扛 。+ k 融 r + 。= p ) 。 ( 2 8 ) 将( 2 6 ) ，( 2 7 ) 代入( 2 8 ) 可以得到 瞳k 。，= p l + 。 ( 2 9 ) 其中： 降矿4 阻】+ 石2 c 】+ x l 凹) 却) f + 。+ 阻甚觇+ 铽酬+ ( c 怯铽酬 ( 2 1 1 ) 复杂结构的局部动力效应和疲劳分析 这样如此下去，就可以得到各时刻的位移、速度、加速度状态变量。具体计算步骤 如下： ( 1 ) 初始计算 ( a ) 形成系统的刚度阵陋】，质量阵 m 】和阻尼矩阵 c 】 ( b ) 计算初始值 譬 。= f 】一1 p 。一【c 】( 童) 。一 k 】 x ) 。】 ( c ) 选择时间步长出及参数口、，这里取口= 寺、= 并计算各积分常数 1口1 】 a 0 2 西q 2 面吼。面2 万一1 ：要一l ，；等e 一2 ) ， 瓯：缸( 1 - a ) ，：口f 2 万一l ，2 i 【_ 一2 ) ， 瓯2 出 ) ，2 出 ( d ) 形成有效刚度矩阵2 鸬= m d 】 三r = f 司 ( 2 ) 对每一时间步长作如下计算 ( a ) 计算在( f + a t ) 时刻的有效载荷 p ，+ 山= ( p ) ，+ 时+ 【m 】 口o ( x l + 口2 童) ，+ c 屯 戈 ，】+ c 】 口1 x ，+ 口4 哥 ，+ 口5 章) ，】 ( b ) 计算( ，+ a t ) 时刻的位移 ( c ) 同埘。= + 。 ( d ) 计算( ，+ a t ) 时刻的的加速度和速度 习，+ 。= 口6 耍) ，m 一 工) ，卜口2 量) ，一劬( 田， 量) ，+ 脚= 膏 ，+ 口6 置) ，+ 口7 譬 ，砌 此时，已求得驴+ 出) 时刻的位移、速度、加速度值，做循环可求得( f + 2 出) 时刻的 值，直到求得r 时刻的位移、速度、加速度向量。 复杂结构的局部动力效应和疲劳分析 2 1 2 逐步积分法局部效应计算 由时程分析法可以求得每一时刻位移、速度和加速度向量，从而可求得各时刻，各 节点的动内力以及局部效应动内力项，其中局部效应动内力项可以表达成以下形式 f = 一儿( e n l 7 ( 一历 】 占 ) + 【r ( 哥。 】 彦 ) ) 出方 = 【m 】鼢+ 口 m 】料+ 尸吲鼢 ( 2 1 2 ) 假设阻尼是比例阻尼： c 】_ a m l + f l x 】 考虑局部动内力后，结构动力响应的总内力可表示为 f ) = k 】 万) + 【m 占 + 州m 】 封+ 世】 占 ( 2 1 3 ) 把t + a t 时刻的位移、速度和加速度矢量 c 厂o + 甜) ) ， 驴( f + 缸) ， 驴( f + f ) 代入 式但1 3 ) ，则得到f + 出时刻的动内力表达形式为 f 0 + 址) ) = 【k j p 0 + 址) + 【m 】 驴0 + 血) j + 群【m 1 d 0 + 出) + 【置1 p p + 缸) ( 2 1 4 ) 由( 2 1 2 ) 、( 2 1 4 ) 式可见，t + a t 时刻的局部动内力列向量 f 0 + 出) 由三部分组成： ( 1 ) 单元协调质量阵【m 】与节点加速度列向量 驴( r + m ) 的乘积； ( 2 ) 比例系数口、协调质量阵【】及节点速度列向量 驴( r + 出) ) 的乘积； ( 3 ) 比例系数卢、刚度矩阵【世】及节点速度列向量 口( h 缸) 的乘积。 复杂结构的局部动力效应和疲劳分析 2 1 3 逐步积分法流程图 形成广义刚度阵和广义力 每步循环 求解结构拟静力方程 计算结构瞬时位移、速度、加速度 计算结构瞬时动内力和局部效应 广义力重新赋值，形成新的拟静力方程 否 是否结束? 输出结构动内力及局部动内力和最大内力及位移 结柬 1 0 蠹 复杂结构的局部动力效应和疲劳分析 2 2 结构抗震精确算法 2 2 1 李兹( r i t z ) 向量法基本原理 逐步积分法是工程求解动力响应普遍采用的方法。工程结构由地震引起的振动为结 构的地震反应，包括地震在结构中引起的内力、变形和位移。结构的地震反应是一种动 力反应，反应的大小不仅与外来干扰力的大小及其随时间的变化规律有关，而且也与结 构本身的动力特性，即结构的自振周期与自振频率有关。 目前在工程上求解结构地震反应的方法大致可分为两类。一类为拟静力方法，或称 等效载荷法，即通过反应谱理论将地震对结构物的作用，用等效的载荷表示，然后根据 这一载荷用静力分析方法对结构进行内力及位移计算。另一类为直接动力分析，即对动 力方程进行直接积分，求出结构反应与时间变化的关系，得出所谓的时程曲线，此方法 称为时程分析法。迄今为止，在对结构进行抗震分析的各种方法中，均未考虑局部效应 问题。而当应用协调质量阵和刚度阵求解动力响应时，不仅动位移、转角能满足计算精 度，并且在考虑了局部动力效应后，可以使动内力获得很高的精度。将此思想具体应用 到抗震分析上去，特别要应用到反应谱抗震理论中去，这对于进一步完善我国抗震规范 中的计算方法是具有重要的实际意义和理论价值的。 r i t z 向量法是动力分析中一个实用有效的方法，从理论上推导了用于自由振动分析 的精确公式，它一方面能克服由静凝聚思想所产生的计算误差，另一方面又可以克服采 用动凝聚进行反复迭代而造成的费机时和实用性误差的缺点。该法的主要思想是：用与 载荷无关的特征向量作为振型迭加法的基函数并不一定是最佳的，因为有些振型对某一 特定的载荷可能作用很小，甚至没有作用，所以应找一组与载荷分布有直接联系的基向 量来作为振型迭加的基函数，这对于动力响应分析来说可能更好。 若结构的动力方程为 阻精 + f 匿肛 = 抚j ，( ， 其中k 、m 分别是n 阶对称的刚度阵和质量阵，f o 是空间载荷空间分布向量， 时间变化的标量函数。r i t z 向量法的具体算法是： ( 1 ) 寻找m ( m 远小于方程阶数) 个时一正交基向量 ( a ) 求解瞳豫) = ，o ) 质量归一化 g ) ，= 蟊) ， 玩) r 【m 玩) ( ”对k = l ，2 ，m t 求解 医】舷，) = 眇k g j 然后进行s c h m i d t - - 正交化 r 2 1 5 ) ，( ，) 是随 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 复杂结构的局部动力效应和疲劳分析 ( c ) 对于j = l ，2 ，k 口，= ( 虿厶) 柳饥) 和 质量归一化 瓴+ ，) = 不。) 一口， 口，) 陀1 9 ) f 2 2 0 ) 们。= 瓦。) 磊+ ， 7 m 】 磊。)( 2 2 1 ) ( 2 ) 求r i t z 向量使之满足刚度阵足正交 ( a ) 令 阮】_ h 州q 】 求k 1 阻。】由( 2 2 2 ) 有 m 如 = 【五九置】【托】 其中： 小【l 】= 【z 。】7 【m 】【z 。】 m 】- 聊 ( b ) 求标准特征值问题 k 。 y = 国2 y ( c ) 得到r i t z 向量组睁】及相应的特征b ：】 其中 k 】= i x 。k 】 阮】_ 眇卜砂 ( 2 ) ，一砂j 1 2 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) r 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) r 2 2 7 ) 复杂结构的局部动力效应和疲劳分析 q ： = 在计算式( 2 2 5 ) w 1 。已得到了m 一正交的 1 l r ) 向量，因此有 o r 【吖 p - l 】 ( 3 ) 用r i t z 向量法求解动力响应 ( a ) 对式( 2 1 5 ) 做交换，设 z = o 渺 ( b ) 求解非耦合方程 夕) + f q 2 。】 y = 【o 7 【 】t ，) 如果要考虑阻尼时则上式变成 少 + c 。】 _ = ) + q ： y ) t 中 7 五 _ ，) 其中 c 。 是阻尼矩阵。 ( c ) 得到位移响应 x ) = 【o 】 y ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) ( 2 - 3 2 ) ( 2 3 3 ) 在r i t z 向量如) = 砂 o ，渺 壮，妙) m 生成过程中自动排除不参与作用的特征向 量，这就使得r i t z 向量作为迭加法的基函数比起用特征向量来个数要少，而方程( 2 1 5 ) 一般阶数较高，这时求解r i t z 向量的工作量比求解同样数量的特征向量( 如子空间迭 代法) 工作量要少得多。 复杂结构的局部动力效应和疲劳分析 2 2 2 单自由度体系在水平地震作用下动力方程 y o u ) (a)( ( c ) 图2 - 1 单自由度模型 f i g 2 1s i n g l ed e g r e eo f f r e e d o m m o d e l 如图2 - 1 ( a ) ，设地面发生的位移为y o ( f ) ，质点对地面的相对位移为y ( f ) ，则质点 的总位移为y o ( r ) + y 。而质点的绝对加速度为9 0 ( t ) + 梦0 ) ，取质点为隔离体，如图 2 - 1 ( b ) 所示，由动力学知，作用在它上面的力有三种，即惯性力，弹性恢复力s 及阻 尼力d ，它们分别为 i = 一m y 。( 0 + 夕o ) 】 s = - k y ( t 1 d = 一 ( f ) 其中m 为质点的质量，j 沩弹性杆刚度，c 为阻尼系数。 根据达朗贝尔原理，在物体运动的任一瞬时，作用在物体上的外力和惯性力互相平 衡，故 一m j ) 0 0 ) + 1 ；( f ) 】一c y ( t ) 一k y ( t ) = 0 或 m y , ( t ) + c p ( t ) + k y ( t ) = 一艘o ( r ) ( 2 3 4 ) 式( 2 3 4 ) 就是地震作用下质点的运动方程。这一运动方程与动力学中单质点弹性体系在动 力载荷一，砂。( f ) 作用下的运动方程相同。可知地震时地面加速度甄( f ) 对单自由度体系引 起的动力效应，与在质点上加一动力载荷一巧k o ) 时所产生的动力效应是相同的，如图 2 - 1 ( c ) 。式中( 2 3 4 ) 可简化为 夕p ) + 2 锄o ) + 2 y ( r ) = - y o ( f ) ( 2 3 5 ) 其中国= 而，f = j 磊c = 孺c ，由于未来的地面加速度风。) 是未知的，非确定的， 故方程( 2 3 5 ) 的解也是非确定性的，按照基于包络线控制反应谱方法，忽略c 后，其解为 1 4 复杂结构的局部动力效应和疲劳分析 y = a g q k 相应的水平地震作用标准值为 = 母= 优g 。 ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) 以上吒为结构的等效总重力载荷，甜为地震影响系数，其取值与设防烈度和结构自振 周期等因索有关，详见下一章介绍。 2 2 3 一般三维结构在地震作用下动力方程 一般三维结构在x 方向，在水平地面加速度i 。的作用下，其运动方程为： 阻桫 + c 桫) + k 秒) = 一阻忙) ；舅。 ( 2 ，3 8 ) 这里但 ，是惯性力指