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广西大掌硕士学位沦文基于边界元法的正交各向异性复合材料结构材年事参数识别 摘要 复合材料是一种用途广泛力学性能优异的先进材料，材料的性能参数是工程设计 与应用评价的基础指标；而这些材料参数一般不能直接测得，只能由可测量量反算得到。 正交各向异性复合材料具有复合材料的一般特征，利用正交各向异性复合材料单层可以 构筑一般各向异性材料。 针对这个问题，本文综述了国内外学者在正交各向异性复合材料参数识别研究领 域的进展，并针对目前研究中存在的问题，提出一种融合边界元分析和最优化方法的正 交各向异性复合材料结构的材料参数识别算法。该算法基于边界元法分析，通过构造以 测量位移与边界元计算的相应位移之差的平方和作为目标函数，采用 l e v e n b e r g - m a r q u a r d t 方法迭代极小化目标函数，从而把参数识别问题转化为极小化目 标函数的问题。 同时实际试验数据测量中不可避免地带有测量误差，为保证算法有效性，设计了 一个随机数发生器来模拟测量误差。算例表明本论文提出的方法和设计的算法是行之有 效的，从而为正交各向异性材料结构的性能参数识别算法的深入研究提供一个参考。 关键词：正交各向异性材料参数识别边界元法反分析方法误差分析伪 随机数 广西大掌硕士学位论文基于边界元法的正交各向异性复合材料结构材料参数识别 a b s t r a c t t h ec o m p o s i t em a t e r i a li sak i n do fa d v a n c e dm a t e r i a lw i d e l yu s e di ne v e r yf i e l do ft h e s o c i e t y , a n dt h em a t e f i a lp a r a m e t e r so fc o m p o s i t em a t e r i a l sa r et h eb a s i ci n d e x e st od e a lw i t h e n g i n e e r i n gd e s i g na n da p p l i c a t i o n g e n e r a l l y , t h e s em a t e r i a lp a r a m e t e r sa r en o td i r e c t l y m e a s u r e d ，b u tc a l c u l a t e db ym e a s u r a b l ev a l u e o r t h o t r o p i c m a t e r i a l sh a st h eg e n e r a l c h a r a c t e r i s t i c so fc o m p o s i t em a t e r i a l s ，u s i n gt h eo r t h o t r o p i cm a t e r i a l sc a nb u i l da n i s o t r o p y m a t e r i a l s t ot h i s q u e s t i o n , t h et h e s i sr e v i e w st h ed e v e l o p m e n to fr e s e a r c h i n go np a r a m e t e r i d e n t i f i c a t i o no fc o m p o s i t em a t e r i a l sb o t ha th o m ea n da b r o a da tp r e s e n t d i r e c t e dt o w a r d st h e p r o b l e m se x i s t e di nt h es t u d y , t h i sp a p e rh a sp u tf o r w a r dam e t h o do fp a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o n f o ro r t h o t r o p i cm a t e r i a l ss t r u c t u r et h a ti n t e g r a t e sb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d s ( b e m ) a n d o p t i m i z a t i o nt e c h n i q u e s b a s e do nt h eb e m ，a ni n v e r s em e t h o di sd e v e l o p e dt oi d e n t i f y m a t e r i a lp a r a m e t e r so fo r t h o t r o p i cc o m p o s i t es t r u c t u r e t h ei n v e r s ep r o b l e mi sf o r m u l a t e da s t h ep r o b l e mo fm i n i m i z i n gt h eo b j e c t i v ef u n c t i o nd e f i n e da sas q u a r es u mo fd i f f e r e n c e s b e t w e e nt h em e a s u r e da n dc a l c u l a t e dd a t ao nd i s p l a c e m e n t s ；l e v e v b e r g - m a r q u a r d tm e t h o di s u s e dt os o l v et h em i n i m i z a t i o np r o b l e m t h e r e b yp a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o np r o b l e mi st u m e d i n t ot h em i n i m i z a t i o no fo b j e c t i v ef u n c t i o n b e s i d e s ，o b s e r v e dv a l u e sw h a ta r ea n a l y z e di ne x p e r i m e n ta r ei n e v i t a b l ya f f e c t e db y m e a s u r i n ge r r o r ，s oar a n d o mn u m b e rg e n e r a t o ri sd e s i g n e dt os i m u l a t et h em e a s u r e m e n ta r l o r f o rt h ee f f e c t i v e n e s so ft h ea l g o r i t h m n u m e r i c a le x a m p l es h o w st h a tt h ep r o p o s e dm e t h o df o r p a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o ni s e f f e c t i v e t h em e t h o do p e n su pan e ww a yf o rt h em a t e r i a l p a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o no fo r t h o t r o p i cc o m p o s i t es t r u c t u r e k e yw o r d s ：o r t h o t r o p i c ；m a t e r i a lp a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o n ；b o u n d a r y e l e m e n tm e t h o d ；i n v e r s em e t h o d ；e r r o ra n a l y s i s ；p s e u d o r a n d o mn u m b e r u 广西大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的成果和相 关知识产权属广西大学所有，本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文 的研究内容。除已注明部分外，论文中不包含其他人已经发表过的研究成果，也不包含 本人为获得其它学位而使用过的内容。对本文的研究工作提供过重要帮助的个人和集 体，均已在论文中明确说明并致谢。 论文作者签名： 纠五甲沙尸年占月，纩日 学位论文使用授权说明 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本： 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 请选择发布时间： “p 时发布口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) 粼溯五叩翩签嘞加罗年f 日 基于边界元法的正交各向异性复合材牵i 结构材料参教砌q 第一章绪论 1 1 研究问题的提出及本课题的研究现状 1 1 1 研究问题的提出 复合材料( c o m p o s i t em a t e r i a l s ) 是以一种材料为基体( m a t r i x ) ，另一种材料为增强体 ( r e i n f o r c e m e n t ) 组合而成的材料。各种材料在性能上互相取长补短，产生协同效应，使 复合材料的综合性能优于原组成材料而满足各种不同的要求【l 】。复合材料在航空航天， 汽车工业，化工、纺织和机械制造，医学器材，体育运动器件和建筑材料等领域得到 广泛的应用0 1 。 复合材料一般具有各向异性特征，在复合材料结构设计时，充分利用各向异性的 特点，可以使结构在不同方向分别满足不同的使用要求。随着工程结构中各向异性材 料( 特别是先进复合材料) 越来越多的应用，也相应地增加了各向异性材料及其结构 设计和评价的需求，而准确的材料参数数据是这些需求的基础。 自从二十世纪四十年代电子计算机出现以来，随着电子计算机技术的飞速发展和 广泛应用，有限元、边界元及其它数值计算方法的理论和应用都得到了持续不断的快 速发展。融合实验测量技术、数值计算方法和优化技术的参数识别方法多年来一直是 各向异性材料参数测试研究的重要方向之一。 与各向同性材料相比，正交各向异性材料参数的测试要复杂得多。因此，在正交 各向异性材料的生产制造、设计、应用和评价过程中，材料参数的测试还有很多问题 值得研究【i l - 15 1 。进行正交各向异性材料参数测试时，存在边界效应、试样尺寸效应及 不易实现各向异性材料系统的均匀应力状态或均匀应变状态等问题，并且测试数据的 离散度大。 本研究针对上述存在的问题，基于边界元分析研究复合材料结构的材料参数识别 问题。边界元法是应用格林定理等，通过基本解将支配物理现象的域内微分方程变换 成边界上的积分方程，然后在边界上离散化数值求解，其特点是主要网格的剖分只在 边界上进行，降低了问题的维数，在边界上位移、面力独立插值，在边界上数值解一 般高于有限元解，而内部可得到连续的半解析解。同时考虑试验设计、测量设备、测 量方法、测量环境等各种因素对测得值的影响，用伪随机数模拟测量误差。由于反分 基于边界j i 基的正交各向异性复合材料结构材料参数识另g 析过程的复杂性和各向异性材料本构关系的复杂性，上述因素导致的位移测量误差， 直接关系到材料参数能否识别及识别得正确与否。因此，试验数据分析中我们必不可 少地要对测得值的好坏进行分析，即误差分析。 1 1 2 正交各向异性复合材料结构的材料参数识别方法的研究现状 一般来说，材料参数识别是通过材料参数的选取使计算值与测量值的误差的模达 到最小，其过程参见图1 1 。 材料参数识别属于反分析问题范畴，而正分析问题是反分析问题的基础。正分析 问题必须正确解决，才能提反分析问题。反分析问题大多数是非线性的，即使正分析 问题是线性的，其反分析问题也可能是非线性的；反分析问题求解需要反复迭代，多 次进行正分析问题计算，导致计算工作量非常大。因此材料参数识别的问题通常具有 非线性、计算量大等特点。此外材料参数识别的问题是不适定的。 针对材料参数识别问题的上述特点，国内外的许多研究人员做了大量的研究导， 提出了各种各样的方法他们在材料参数识别的过程中，测量值可以分别选取复合材料 结构的静态响应( 应变和位移) 和动态响应( 频率) ，同时正问题的分析采用有限元、 有限差分、边界元以及其他数值计算方法，例如瑞雷( r a y l e i g h ) 法、瑞雷里兹 ( r a y l e i g h r i t z ) 法等。此外，正分析问题的数值计算方法与其他方法结合方面，也 取得了许多成果。 2 广西大掌硕士掌位论文基于边界元法的正交g i - 向异性复合材料结构材料参数识别 ( 1 ) 静态测量的方法：k a v a n a g h 和c l o u g h 1 6 】在1 9 7 1 年首次根据测量的应交， 利用有限元技术通过最小二乘拟合的方法，识别了正交各向异性复合材料及其结构的 材料参数。在此基础上，k a v a n a g h 把位移选为测量量，识别了正交各向异性复合材料 及其结构的材料参数。虽然他们识别结果的精度较好，但是，参数识别的迭代次数很 高，计算工作量很大。 k e r n e v e z 等【1 7 】针对正交各向异性方形薄板的弯曲实验，采用k i r c h h o f f 的经典薄 板理论建立计算模型，构建了参数识别算法，识别正交各向异性薄板的弯曲刚度参数。 由于k i r c h h o f f 的经典薄板理论忽略了横向剪应变，不可避免地带来了误差。基于 考虑剪切变形的m i n d l i n 板理论，王晓纯、徐秉业、沈新普【墙d 明等以结构的位移作为 测量量，推导了加权最小二乘的递推计算公式，进行复合材料正交各向异性板的4 个 弯曲刚度参数( d l 。、d 2 ：、d l ：和玩) 的识别；w a n g 和k a m l 2 0 以应变和位移作为测 量量，通过拉格朗日乘子引入目标函数，识别复合材料正交各向异性板五个材料参数， 但是在均布载荷作用下，g 2 ，误差很大( 2 6 7 ) 。 边界元法具有降维和精度高的优点，因此，基于边界元法分析的材料参数识别效 率较高。王元淳和刘玉斟2 1 】结合边界元法和卡尔曼滤波法，根据观测点的位移值，对 正交各向异性平面弹性问题的材料参数嵋：和g l ：进行了识别。黄立新等人 2 2 埘1 通过基 本解对各个材料参数的求导，得到了基于边界元法的位移相对于材料参数的灵敏度计 算公式，构建了平面正交各向异性体材料参数的识别算法，可以同时识别4 个材料参 数( 即柔度系数墨、最：、墨：、和) 。 ( 2 ) 动态测量的方法：动态测量方法主要是基于瑞雷里兹法和有限元法求解结 构的模态参数。 d e o b a l d 和g i b s o n 2 5 1 识别了正交各向异性板在不同边界条件下的4 个材料参数。 l a i 和l a u 2 6 】进一步把该方法用于更一般的正交各向异性板中。但是模态的选取对识别 的精度和收敛有很大的影响。 p e d e r s e n 和f r e d e r i k s e n 2 7 1 假设横向位移为波函数，引入工程弹性常数表示的无量 纲参数，并把这些参数选定为目标函数的变量，使目标函数只剩下3 个变量，并给出 了灵敏度计算公式。 a y o r i n d e 2 8 】对复合材料正交各向异性厚板的横向挠度采用三模式表达式，推导出 基于边界元法的正交各向异性复合材料结构材料参，数识别 来的公式可以识别厚板的9 个材料参数。由于在实验中很难获得许多合理精度的谐振 频率，该方法只识别了5 个材料参数。 m o t as o a r e s 、m o r e i r ad ef r e i t a s 和a r a u j o 等f 2 9 】采用m i n d l i n 线性剪切变形板理论， 对测量量和目标函数进行处理，该方法对嵋：识别有一定的困难。之后a r a u j o 等人在 三阶剪切变形板理论的基础上深入研究，得出的方法可以识别6 个材料参数。但是识 别咋：、g i ，和g 2 ，有时偏差仍然较大。 此外，随着交叉学科的发展，利用有限元法与神经网络、遗传算法、贝叶斯估计 等结合发展出来的算法思路有很好的借鉴价值【3 1 1 ，针对减少材料参数识别过程计算 量方面的研究也有一定进展【3 2 。3 1 。 由于试验设计、测量设备、测量方法、测量环境等各种因素的影响，实验测得值 不可避免有一定的离散度。同时由于材料参数识别问题的复杂性，即使测量量为真值 时某个算法有高度的有效性，如果没有考虑误差的影响，也不能说该算法是稳定的和 实用的。 目前在材料参数识别领域，考虑误差的方法多是用正分析结果作为测量量真值， 然后在此值基础上加一定百分比的偏离度作为误差【3 5 1 。然而这种考虑忽视了实际测 量误差的呈正态分布统计规律，也没有模拟误差分析环节；同时没有考虑到材料参数 识别算法的稳定性，即很小的测量误差可能会导致识别结果极大的偏离，很大的测量 误差参数识别的结果可能偏离度很小。 1 1 3 边界元法与有限元法理论基础比较【3 “7 1 求解正交各向异性板应力应变场问题，实际上可归结为按初始条件和边界条件求 解偏微分方程的初值边值问题。当只有初始条件而没有边界条件时就成为初值问 题，反之则为边值问题。区域内的偏微分方程称为基本方程，初始条件是表示初始状 态的条件，边界条件是表示边界约束情况的条件。对于工程中提出的问题能采用解析 法按照边值条件求解偏微分方程的仅限于极少数情况，所以一般只能采用近似方法求 解。随着计算机的广泛应用，数值解法逐渐地成为解边值问题的一种有效的方法。 数值解法分为区域型和边界型两大类。区域型解法主要是有限元法( f i n i t ee l e m e n t m e t h o d ，简写为f e m ) 和有限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ，简写为f d m ) 。边界型 4 广西大掌硕士掌位论文蓉于边界j i 表的正交各向异性复合材料结构材料参教识量q 数值解法主要是边界元法( b o u n d a 巧e l e m e n tm e t h o d ，简写为b e m ) 。有限元法通过变 分原理将偏微分方程转化为代数方程，差分法通过差分近似将偏微分方程转化为代数 方程，而边界元法则通过积分定理将区域内微分方程变换成边界积分方程【4 3 1 。 有限单元法是2 0 世纪5 0 年代开始发展起来的数值方法，它的数学基础是变分原 理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个 单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由 各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或 加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同 的有限元方法。有限元法离散方程的获得方法主要有直接刚度法、虚功原理推导、泛 函变分原理推导或加权余量法推导，一般采用加权余量法推导。 边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，它的数学基础是积 分方程理论，通过积分方法把求解域内的问题转化为求解域边界上的积分方程，然后 引入位于边界上的有限个单元将积分方程离散求解。经离散化后的方程组只含有沿边 界上的节点未知量，因而降低了问题的维数，最后求解方程的阶数较低，因而数据准 备方便，计算时间缩短。另外，它引用了问题的基本解，具有解析与离散相结合的特 点，因而计算精度较高，目前在各领域获得了越来越广泛的应用。 1 2 基于边界元分析的正交各向异性复合材料参数识别的研究思路 本论文研究主要是基于优化技术和边界元分析进行正交各向异性复合材料结构的 材料参数识别。首先，利用边界元程序包进行正问题的分析；其次，以正分析的位移 结果作为真值，调用随机数发生器程序生成给定方差下的标准正态分布随机数序列， 以此模拟带测量误差的测量位移；最后，将测量位移与边界元计算相应的位移之差的 平方和作为目标函数，把反分析问题转化为极小化目标函数的问题，通过 l e v e 】n b e r g - m a r q u a r d t 最优化方法极小化目标函数，迭代计算得出材料参数。 研究思路亦可用流程图表示如图1 2 所示。 1 3 本论文的主要工作和论文的结构 1 3 1 本论文的主要工作 根据上述研究思路和对正交各向异性复合材料结构的参数识别研究现状的分析， 5 广西大掌硕士掌位论文基于边界灵胁的正交各向异性复合材料结构材料参数识别 本论文主要做了以下一些工作： 图1 2 研究思路流程图 ( 1 ) 基于对正交各向异性复合材料结构的参数识别方法相关文献地广泛阅读，系 统地分析了各类参数识别方法的优劣性，根据现有参数识别模型在测量误差方面考虑 的不足之处，对一种基于边界元分析及信赖域优化方法的正交各向异性复合材料结构 参数识别方法进行改进。 6 广西大掌硕士掌位论文基于边界天奢舞的正交各向异性复制寸料结构材料参数识别 ( 2 ) 系统深入地介绍了相关的边界元理论和识别算法过程，并分析了边界元方法 在复合材料分析方面的适用性及优势，调用边界元程序包进行参数识别的实例验证。 该边界元程序包是基于边界元法及信赖域优化方法设计正交各向异性复合材料结构参 数识别方法的计算模型，该模型的目标函数迭代计算引入了l c v c n b c r g - m a r q u a r d t 最优 化分析方法。 ( 3 ) 根据仿真分析的需求，系统深入地介绍了误差分析和随机数理论，并运用 f o r t r a n 9 0 语言编制了模拟实际测量误差的伪随机数发生器程序，然后用生成的伪随机 数来模拟测量量测量值。 1 3 2 论文的结构 本论文共分为六章。 第一章主要介绍本课题的研究意义，及其国内外的研究现状，并提出论文的研究 思路和所做的主要工作。 第二章主要介绍相关的边界元理论和参数识别算法。根据本论文所用边界元程序 包，给出该程序的正交各向异性复合材料结构材料参数识别的数学模型，然后详细地 介绍了基于信赖域的最优化方法l e v e n b e r g - m a r q u a r d t 法的原理和作用，并对本程序涉 及的理论基础和一系列的公式推导进行详细介绍。 第三章主要介绍误差分析和随机数理论。实际测量值总是带有不确定度的，根据 仿真分析的需求，系统深入地介绍了误差分析和随机数理论，并编制程序来模拟测量 误差和误差处理过程。 第四章主要介绍了本论文算法的计算机软件实现。详述了本论文所用的两个程序， 对伪随机数发生器给出源代码，对边界元程序包的使用过程作了说明。 第五章以若干实例验证了本程序和材料参数识别算法的有效性，给出了每个实例 的结果图表，并对计算结果进行分析。 第六章对本论文的成果进行总结，以及对后续研究方向进行了展望。 由于时间紧促，加之作者的理论水平和应用实践经验有限，文中的错误和疏漏之 处在所难免，恳请各位专家和学者不吝指正。 7 j i 于边界元法的正交各向异性复合材料结构材料参数识别 第二章基于边界元法的正交各向异性复合材料参数识别方法 本论文研究主要是基于优化技术和边界元分析，采用反分析方法对正交各向异性 复合材料结构的材料参数进行识别。首先，应用边界元程序包完成正问题的分析，其 次，以正分析的位移结果作为真值，调用随机数发生器程序生成给定方差下的标准正 态分布随机数序列，以此模拟带测量误差的测量位移；最后，将测量位移与边界元计 算相应的位移之差的平方和作为目标函数，把反分析问题转化为极小化目标函数的问 题，通过l e v e n b e r g - m a r q u a r d t 最优化方法极小化目标函数，迭代计算得出材料参数。 2 1 边界元方法 边界单元法是由c a b r e b b i a 于1 9 7 8 年发表的t h eb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o df o r e n g i n e e r s 一文中最先提出的。边界元法是应用格林定理等，通过基本解将支配物理 现象的域内微分方程变换成边界上的积分方程，然后在边界上离散化数值求解，其特 点是主要网格的剖分只在边界上进行，降低了问题的维数，在边界上位移、面力独立 插值，在边界上数值解一般高于有限元解，而内部可得到连续的半解析解。边界元法 特别适合于求解无限域、半无限域问题。该方法的缺点是系数矩阵为非对称满阵，对 三维问题这个缺陷尤其突出【4 8 1 。 2 1 1 格林公式 设q 是以足够光滑的曲面r 为边界的有界区域，p ( x ，y ，z ) ，q ( x ，y ，z ) ，r ( x , y ，z ) 是 在q + r 上连续的，在q 内具有一阶连续偏导数的任意函数，则成立如下的高斯公式【4 9 】 烈篆+ 号+ 警户y = 肝p c o s ( ) + q c o s ( w ) + r c o s ( 郴) p c 2 ) 其中d v 是体积元素，r l 是r 的外法向矢量，嬲是r 上的面积元素。 设函数“( 石，y ，z ) 和v ( x ，y ，z ) 在q + r 上具有一阶连续偏导数，在q 内具有连续的 所有二阶偏导数，在( 2 1 1 ) 中令 8 ，西大掌硕士掌位论文 基于边界天扁量的正交各向异性复合利? 料翻耐勾材料参翻识舅g e = u 李，q ：“字，尺：“宰， 戤 4 y 宓 则得到第一格林公式【5 0 1 职彬y ) 肌m f 詈勰一职v 棚y ) d 矿o o 交换“，v 的位置得到 职胛2 “) j 矿= 少詈钌一般v “v v ) d 矿 qr q 将( 2 1 2 ) 与( 2 1 3 ) 相减，则得到第二格林公式 职“v 2 v 一诃2 ”) d y = 甄”一v 鲁) 程 q r 。” ” 2 1 2 边界积分方程1 5 0 - s 5 考虑拉普拉斯方程的定解问题【删： 蓦豳 f士 三维情况 “： 锄0 、 ( 2 1 6 ) 驴2 1 击m ( 吾) = 心 9 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 广西大学硕士学位论文 基于边界元法的正交各向异性复合材料结构材料参数识别 在公式( 2 i 4 ) 设，是方程( 2 i 5 ) 的基本解“；取“为调和函数，并假定它在q + r 上有一阶连续偏导数，即 v 2 “= 0 ，v 2 材+ 艿( x 一置) = o ( 2 i 7 ) 将( 2 i 7 ) 代入( 2 i 4 ) ，并以q 一疋代替公式( 2 i 4 ) 中的q ，以q 一疋的边 界r + r 。代替q 的边界r 得 娈肼肌f ( ”等州鲁卜+ f q 一以 7 即 一毋砸( x x , ) a v - i f “- 等n * d s - ”宰詈嬲c2工8)q-f + f r + r - 由d 施c 一万函数性质式( 2 1 8 ) 左端为【5 1 】 一8 ( x - x , ) a v = - “( 置) ( 2 1 9 1 ) 将( 2 1 9 ) 代入( 2 1 8 ) ，得到积分方程 “( 跏r 墅“- 等n * d s = r 妒考砖 晓1 1 。) 对( 2 1 1 0 ) 中的以f 。为积分区间的积分项求极限，并整理得到边界积分方程( 见 文献【5 1 】第1 1 - 1 9 节) q “( 五) + f “等搬= j j r “詈勰 ( 2 ) 式( 2 1 1 1 ) 中，q 是与边界形状有关的常数3 9 1 【5 2 】，且有： f 1x q g ：协f l 2 ，rx f 盏嚣器内角 他2 ) 、一1x 且为角点，为该点内角 “一 【0 x ( q + r ) 边界积分方程( 2 1 1 1 ) 常记为 c ：坼+ j r q “d f = r “q d f ( 2 1 1 3 ) 一般情况下，不可能应用解析法来求解上述积分方程，而必须采用近似的数值解 法，这就需要把边界积分方程的积分边界离散化。 l o 广西大掌硕士掌位论文墓于边界元法的正交4 $ , r 6 - b , v r - 七生复合材料结构材料参数识别 2 1 3 数值离散技术【4 6 - 5 5 1 边界积分方程( 2 1 1 3 ) 的未知量”和g 都是边界r 上的量，因此分割只要在边界 单元上的插值函数，二次单元是以三个节点构造二次插值函数段代替实际的边界【5 l 】。 把边界r 离散，即分割成力个边界单元r ，( _ ，= l ，2 ， 刀) ；其中，1 1 个边界单元属于 边界r 。，个边界单元属于边界r 。，总的边界单元数n = ，l l + ，方程( 2 i 1 3 ) 可写 成离散形式5 2 】 圭+ 喜l ，g 耐r2 喜l ，“g d r c 2 4 ) 这里的1 2 已假定边界为光滑边界；对于常数单元，在每一个单元上吩和g ，为常 三吩+ 喜( l g d r ) 吩= 嘉( l ，材d r ) 乃 c 2 - 5 ， p r , q d f 娩6 ) 卜i f j l , 1 d r 一“ 丢吩+ 窆或“，：窆q 乃 ( 2 1 1 7 ) 析解变得比较困难，因而常用数值法计算。 基于边界天旖的正交各向异性复合材料结构材料参数识别 = 溉蜀 一一 u j = g ! f 乃 y = l j = l 这就是离散后得到的代数方程组，写成矩阵形式为 h u = g q ( 2 1 1 8 ) ( 2 1 1 9 ) ( 2 1 2 0 ) 注意到在每个节点f 上，对应的两个物理量和吼中，有一个是已知量而另一个 是未知量；方程组( 2 1 2 0 ) 中正好包含有n 个方程和拧个未知量，因此可解。将方程 ( 2 1 2 0 ) 按照边界进行移项整理，并置全部未知量于左端后，得到新的代数方程组 a y = f( 2 1 2 1 ) 式中，y 是由未知的“及g 组成的向量；解此方程可以得到边界上的所有物理量。 一旦做到这一点，即可利用式( 2 1 1 3 ) 计算任意内部点( 点x q 时，c ：= 1 ) 上的“及g 值，即【5 2 】 坼= r “g 订一r g ”d f ( 2 1 2 2 ) 由此可得到计算的离散算式 = 窆q g ，一窆或吩 ( 2 1 2 3 ) ，t lj = l 对式( 2 1 2 2 ) 两边微分，可得g 值。 玑：塑：f 口笪d r 一f “盟d r 吼2 石2j r g 瓦一j r “畜 玑：丝：fg 掣d r 一f 村箜d f 够2 荀2j r g 百一j r 村亩 2 1 4 二次单元 ( 2 1 2 4 ) 为了更好地表示物体的几何形状提高计算精度，常常采用二次或更高次的单元。 二次单元有三个节点，一般取两端及中间点为节点，三个节点都在原来的边界上。如 1 2 广西大掌硕士掌位论文墓于边界元法的正交各向异性复合材料结构材料参数够u 两 毛 ， 毛= o 图2 2 二次单元 毛= 1 表2 1 节点 善破识珐 【x ，y ) l - 1 loo ( x t ，乃) 2lo10 ( x 2 ，y ：) 3oo01 ( 五，弘) 图2 2 所示，把二次单元内的坐标、“及g 值都用局部坐标系孝来表示( 称为等参单元) ， 即有【5 l l ： 3 x = 以t ( 2 1 2 5 ) k = l 3 “= 吮= 中t 【咋 七= l 3 q = 苁吼= 叩t 【g 。 k = l 式中，鼍，及吼为节点上的对应值；记p t = 【办如绣】，么为 兢= 圭善( 孝一1 ) 以= 三孝( 孝+ 1 ) 九= ( 1 一f ) ( 1 + 孝) 以u j 及q j 表示第个单元节点上“与g 的列向量为f 5 l 】 黜h i - u ! u 2 ：u 吼3 则式( 2 1 2 6 ) 可写为： 出i 将式( 2 1 2 9 ) 代入离散边界积分方程( 2 1 1 4 ) 得： ( 2 1 2 7 ) ( 2 1 2 8 ) ( 2 1 2 9 ) 61 二t lc 、( r r 蚝 吼 吃 吼 广西大学硕士掌位论文墓于边界元穗的正交各向异性复合材料结构材料参数识别 三+ 喜r sq * q j t u j 订2 喜r ，”叩t q j 订 将常矢量u j 及q j 移到积分号外，得 ( 2 1 3 0 ) 三咋+ 若n ( r ，g 叩t 订) i = 言( r ，“叩t 订) q ， c 2 3 ， 注意到叩t = 【魂办九】包括三个元素，则得 圭吩+ 喜 磅露叼， 差 ，= 荟c 或爵露， 圣 7 c 2 - 3 2 ， 式中，嘭，露是影响系数，它是根据观察点f 与单元j 上特定节点七之间的相互作用来 嘭= f r ，吮g d r ，露= r ，九“d f k = l ，2 ，3 ( 2 1 3 3 ) h u = g q ( 2 1 3 4 ) h 和g 是2 n x 2 n 阶的方阵，u 和q 是有2 n 个元素的列矢量。 在单元j 上( 图2 2 ) ，式( 2 1 3 1 ) 中的积分实际上都是下述的形式【5 1 1 聪( 五y 妒 ( 2 1 3 5 ) f 。厂 x ( 善) ，y ( 绷g 陟 ( 2 1 3 6 ) g i 虿d f 孥、d x 2 + d f l = 式( 2 1 3 7 ) 中用了爱因斯坦求和约定的指标记法。 1 4 ( 2 1 3 7 ) j 西大掌硕士掌位论文墓- - 3 = ：t z l 弄元法的正交各向异性复合材料结构材料参数彭u 鲥 2 2 弹性力学问题中的边界元法 2 2 1 弹性力学的基本方程 在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立 三套方程，即平衡方程、几何方程和本构方程；联立三组方程，同时要考虑问题的位 移边界条件和应力边界条件，才可以求出弹性问题的解。三组方程和边界条件用张量 符号表示如下【5 3 】 平衡方程 。，+ 彳= o ( 2 2 1 ) 几何方程 本构方程 边界条件 勺= 抛，嘞) s g2s 口畦a u f 吩= 磁x 1 - 。 【吼2 吩2 萄 x r ， ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 式中，是应力张量；勺是应变张量；是柔度张量；z 是体积力；吩、吼分别是 边界节点的位移和面力分量：啄磊分别是卧吼的已知值。并且，对于三维问题 i = l ，2 ，3 ；，= 1 ，2 ，3 ；对于二维问题i = l ，2 ；j = l ，2 。 2 2 2 弹性力学中的边界积分方程 根据加权余量法原理，可以写出对应上述弹性力学问题的权余式为【5 2 】 l ( ，+ 五) “二d q = j r 2 ( 吼一磊) 吒d 1 1 + j i r ( 玩- - 1 1 k ) 巧d r ( 2 2 5 ) 式中，吒是权函数，这里表示域内位移场；巧是与位移场吒相对应的边界面力场， 满足巧= 吒n j 。 对式( 2 2 5 ) 中的域内积分进行一次分部积分，同时考虑物理方程( 2 2 3 ) 和几 何方程( 2 2 2 ) ，得 一l 毛d q + l 五吒d q = 一l ：q t g d r + l ：吼u ：d f + l 。( 瓦一) p ：d r ( 2 2 6 ) 式中，毛是与位移吒相应的应变场。 对式( 2 2 6 ) 的第一个域内积分再进行一次分部积分，整理可得 1 5 l 于边界i 表的正交各向异性复合材料结构材料参数识别 l 吒，- ，u k d f 2 + l 正吒d q = 一：玩西一l ，q , 吒a r + l 瓦巧汀+ i r ：订 ( 2 2 7 ) 写成更简明的形式为 l 吒，u k d r 2 + l 五吒d q = 一l 吼吒订+ l 巧订 ( 2 2 8 ) 在常规边界元法中，体力的计算是直接进行域内剖分而计算数值积分得到的，尽 管计算过程繁琐，但计算原理相当简单，也不增加边界元法新的未知量。因此为方便 起见，在下文离散分析中的公式推演过程中暂不计体力z 的影响。 为了把方程( 2 2 8 ) 化为边界积分方程，需要引入基本解，通常引入满足方程 。，= 一a ； ( 2 2 9 ) 的基本解吒，即著名的开尔文( k e l v i n ) 基本解。 根据基本解的性质，将式( 2 2 9 ) 代入方程( 2 2 8 ) ，可以得到边界积分方程为 q + j l r 心乓订= j i r 吼订 ( 2 2 1 0 ) 式中，巳是与边界几何形状有关的常数矩阵，对光滑边界有： 巳= 瞄期 2 2 3 基本方程的基本解 式( 2 2 9 ) 是弹性力学问题基本方程的基本解一般表达形式，对于各向同性三维 问题，基本解为【5 2 l ： 皈2 丽1 ( 3 嘶) 眩+ 训 最= 而 ( 1 _ 2 讹一么啊) 一知咖) 哌+ 3 r t r 。 ) 娩2 m ， ( 1 = 1 ，2 ，3 ；k = l ，2 ，3 ) 对于各向同性二维( 平面应变) 问题，基本解为： 吒= 南 ( 毗) 幺 磁= 荔可三万芦 ( t 一2 y ) ( ，= 以一一) 一绷o r r ( 一2 y ) 氏+ 2 r t r 。 ) ( 2 2 2 ) ( ，= l ，2 ；k = 1 ，2 ) 1 6 广西大学硕士掌位论文墓于边界贞法的正交各向异性复合材料结构材料参数蕾u 嘲 式中，g 为剪切模量，v 为泊松比，死是k r o n e c k c r d e l t a 。 各向异性体主要是物理方程发生改变，从而基本解与各向同性体基本解不同，但 是边界元求解过程在形式上完全和各向同性体类似。对于正交各向异性平面问题，基 本解为【矧 ” = d 席h ，i 一厨1 1 1 呢 籼融吣忑1 和司 2 m ) “五= 呓。= 观4 ( 幺一q ) 式中 d = 1 2 万( 一) s ： 4 = 墨2 一哆毛2 ，；= 厢 ( 2 2 1 4 ) q = 一曙厄 而q ，为满足下列算式的正实根 q + ：1 ( 2 s 1 2 + s 自s ) ( 2 s 。2q + = $ 2 2 a p l = s il s 毪 2 2 4 离散边界元方程 ( i = l ，2 ) ( 2 2 1 5 ) 把方程( 2 2 1 0 ) 中的积分函数的积分边界做2 1 4 节样的单元剖分，并通过式 ( 2 1 2 7 ) 所示的二次插值函数把单元内的量用节点值表示出来，如式( 2 1 2 6 ) 所示。 数值离散方法与2 1 3 节和2 1 4 节的步骤完全相同，最后得到： h ( s ) u = g ( s ) q ( 2 2 1 6 ) 引入实际问题的边界条件，并按照已知量和未知量分别移至等号两端，即可得到 如下标准线性方程组： a y = f ( 2 2 1 7 ) 求解此方程组( 2 2 1 7 ) 可以得到边界上所有节点的位移和面力值，借助式( 2 2 1 0 ) 可以求出域内点的位移，即： 1 7 基于边界元法的正交各向异性复合材料结构材料参数识别 坼= r 吼皈订一r 磁心d r ( 2 2 1 8 ) 再利用几何方程和物理方程，借助式( 2 2 1 8 ) ，可求得域内点的应力计算式为： = r p 蝴吼订一r 心订 ( 2 2 1 9 ) 式中【5 2 1 2 研1 ( 1 _ 2 y ) 屯。+ 磊，= f 一纠+ 眠 = 磊可2 。o y 厂( l p 册a r 。v ( 1 2 y ) 岛乍+ y ( 毛，：，+ _ ) 一钆c ，。 ( 2 2 2 。) + y ( n i c ，r 。+ n r a r 。+ ( 1 - 2 y ) ( 。，= ，+ _ 氏+ 吩靠) 一( 1 4 y ) 仇岛) 上式中，对二维问题：口= l ，= 2 ，0 = 4 ；对三维问题：a = 2 ，= 3 ，秒= 5 。 上述求解方程( 2 2 1 7 ) 得到物体在荷载作用下产生的位移“和应力仃的过程，就 是正问题的求解过程。 2 3 各向异性材料的应力一应变关系【5 - 1 2 1 2 3 1 一般各向异性材料的应力一应变关系1 5 】 从宏观力学的角度，一般将复合材料看成均匀的各向异性弹性体。在小变形线弹 性条件下，各向异性弹性体和各向同性弹性体的力平衡方程和几何方程是相同的，本 质的区别在于应力一应变关系，即物理方程不同。各向异性的特性决定了各向异性体 的应力一应变关系比各向同性体要复杂得多， 特例。 在各向异性体中一点取出一个六面体 微小单元，单元体各面上的应力代表了这 一点的应力状态，如图2 3 所示。一般情 况下，一点的应力状态可以用9 个应力张 量分量( f ，= l ，2 ，3 ) 来表示，l ，2 ，3 为 参考坐标轴，其变形状态也可以用相应的 9 个应变张量分量s ，来表示。其应变一应 各向同性体实际上是各向异性体的一个 图2 3 各向异性体上一点的应力状态 j 西大