（固体力学专业论文）无奇异边界元法中拟奇异积分的有效算法.pdf

山东理工大学硕士学位论文摘要 摘要 边界元法中存在拟奇异积分计算难题，它一直限制着边界元法在工程中的 应用范围。本文提出了一种新的有效的拟奇异积分变换算法，该算法通过对拟 奇异积分进行相应的变换，使拟奇异积分的计算精度得到了很大的提高，可以 达到有效消除其拟奇异性的目的，从而解决了拟奇异积分计算难的问题。 本文将本变换算法应用到了位势问题和弹性力学问题中。在位势问题应用 过程中，分别引入了等价间接变量规则化边界积分方程和经典直接变量边界积 分方程，继而分析出了其内点边界积分方程中会产生的拟奇异积分，然后利用 本文变换成功消除了其拟奇异性，使近边界点的位势及位势梯度的计算精度有 了很大的提高，在内点靠近边界的距离达到微量级1 0 。6 甚至更小时，本文的计 算结果仍然非常有效。另外，针对经典直接变量边界积分方程在实际问题应用 过程中存在的不足，进行了相应的修正。在弹性力学问题应用过程中，基于一 类无奇异边界积分方程，将本文的拟奇异积分变换法应用到求解靠近边界内点 的力学参量过程中，有效地消除了边界层效应。典型的数值算例，通过将本文 方法与常规直接利用g a u s s 数值积分法的计算结果相比较，有力地证明了本文 方法在保证有效精度的前提下，可以计算离边界更近的内点物理量，即使内点 非常的靠近边界。而且，本文方法具有较好的收敛性。 最后，本文根据所提出的拟奇异积分变换法在实际问题中的应用经验，给 出了更为完善的变换方案。 关键词：边界元法，边界层效应，拟奇异积分，位势问题，弹性力学问题 山东理工大学硕士学位论文a b s t r a c t a b s t r a e t o na c c o u n to ft h ed i f f i c u l t yo fe v a l u a t i n gt h en e a r l ys i n g u l a ri n t e g r a l si nb o u n d a r y e l e m e n tm e t h o d ( b e m ) ，t h ea p p l i c a t i o nr a n g eo fb e mi sr e d u c e di ne n g i n e e r i n gf o ral o n g t i m et h i sp a p e rp r o p o s e san e we f f i c i e n tt r a n s f o r m a t i o nf o rn e a r l ys i n g u l a ri n t e g r a l s t h e p r o p o s e dt r a n s f o r m a t i o nc a nr e m o v et h en e a r l ys i n g u l a r i t ye f f i c i e n t l ya n di m p r o v et h e a c c u r a c yo fn u m e r i c a lr e s u l t so ft h en e a r l ys i n g u l a ri n t e g r a l sg r e a t l y t h u s ，t h en e a r l y s i n g u l a ri n t e g r a l sa r es u c c e s s f u l l yc a l c u l a t e d i nt h i sp a p e r t h en e wt r a n s f o r m a t i o na l g o r i t h mi sa p p l i e dt ot h ep o t e n t i a lp r o b l e m sa n d t h ee l a s t i cp r o b l e m s d u r i n gt h ea p p l i c a t i o nt op o t e n t i a lp r o b l e m s ，t h ee q u i v a l e n tr e g u l a r i z e d b o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n s ( b i e s ) w i t hi n d i r e c tu n k n o w n sa n dt h ec o n v e n t i o n a lb i e sw i t h d i r e c tv a r i a b l e sa r ei n t r o d u c e d t h en e a r l ys i n g u l a ri n t e g r a l si nt h eb i e sf o ri n t e r i o rp o i n ta r e h a n d l e dw i t ht h ep r o p o s e dt r a n s f o r m a t i o n ，a n de x t r e m e l yh i g ha c c u r a c yo fn u m e r i c a lr e s u l t s o ft h ep o t e n t i a l sa n dp o t e n t i a lg r a d i e n t sa ti n t e r i o rp o i n t sc l o s et ot h eb o u n d a r yi sa c h i e v e d e v e nw h e nt h ed i s t a n c eo ft h ei n t e r i o rp o i n tt ot h eb o u n d a r yr e a c h e s1 0 “o rs m a l l e r i n a d d i t i o n ，f o rt h ed e f i c i e n c i e sl i e di nt h ea p p l i c a t i o n si np r a c t i c a lp r o b l e m s ，t h em o d i f i e a t i o n f o rt h ec o n v e n t i o n a lb i e si sg i v e nb yt h i sp a p e r b a s i n go nak i n do fn e wn o n s i n g u l a rb i e s f o re l a s t i cp l a n ep r o b l e m s ，t h es u g g e s t e dt r a n s f o r m a t i o ni s a p p l i e dt o t h ec o m p u t a t i o no f m e c h a n i c a lp a r a m e t e r sa ti n t e r i o rp o i n tc l o s et ot h eb o u n d a r ya n de l i m i n a t e ss u c c e s s f u l l yt h e b o u n d a r yl a y e re f f e c ti nb e m t y p i c a ln u m e r i c a le x a m p l e si nw h i c ht h ec o n v e n t i o n a lm e t h o d u s i n gs t a n d a r dg a u s s i a nq u a d r a t u r ed i r e c t l yi sa l s oe m p l o y e df o rp u r p o s eo fc o m p a r i s o n s h o wt h en e wa l g o r i t h mc a ne f f e c t i v e l ye v a l u a t et h ev a r i a b l e sa ti n t e r i o rp o i n t sv e r yc l o s et o t h eb o u n d a r ya n dh a ss a t i s f a c t o r yc o n v e r g e n c e f i n a l l y , t h ep e r f e c t e dt r a n s f o r m a t i o np r o j o c ti sg i v e nb a s e do nt h ee x p e r i e n c eo f a p p l i c a t i o n si np r a c t i c a lp r o b l e m s k e yw o r d s ：b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ，b o u n d a r yl a y e re f f e c t ，n e a r l ys i n g u l a ri n t e g r a l s ， p o t e n t i a lp r o b l e m s ，e l a s t i cp r o b l e m s i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得山东理工大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示了谢意。 研究生签名： 孙琴包时间：二叼年石月弓日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解山东理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅；学校可以用不同方式在不同媒体 上发表、传播学位论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名： 导师签名： 剐、颦莨 i 张佩以 时间：2 d 刁年月岁日 时间：沏唧年6 月3 日 山东理 大学硕士学位论文第一章绪论 1 1 概述 第一章绪论 物理学、力学和工程技术中的许多问题都可归结为求解偏微分方程的初边 值问题。当只有初始条件而没有边界条件时称为初值问题；反之则称为边值问 题。区域内的偏微分方程称为基本方程或控制方程。常把初始条件和边界条件 合称为边值条件。 在工程实际问题中，由于物性不均匀、物体几何形状不规则、边界条件较 复杂等原因，能采用解析法按照边值条件求解偏微分方程的仅限于极少数情 况。一般只能研究它的近似解法数值方法，以求近似解。随着电子计算机 技术的飞速发展和广泛应用，数值解法已平行于理论分析、科学实验，成为人 类探索未知科学领域和进行大型工程设计的第三种方法和手段。在独创性工作 的先行性研究中，科学计算更具有突出的作用。 数值解法总体上可分为区域型和边界型两大类。区域型数值解法主要是有 限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ，简写为f d m ) 和有限元法( f i n i t ee l e m e n t m e t h o d ，简写为f e m ) ；边界型数值解法主要是边界元法( b o u n d a r ye l e m e n t m e t h o d ，简写为b e m ) 。 有限差分法是索斯威尔( s o u t h w e l l ) 在上世纪3 0 年代对薄板弯衄问题求数 值解时首次提出的。此方法将所考虑的区域划分成网格，用差分近似微分。把 微分方程变成差分方程，也就是通过数学上的近似，把求解微分方程的问题转 化为求解关于节点未知量的代数方程的问题。 有限元法把有限差分法的网格点离散改造成更为灵活的有限单元离散，利 用在每个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数 【1 1 。根据最小势能原理、虚功原理或广义变分原理【2 l 建立有限元方程，充分利 用计算机能力求解未知变量以后，通过插值函数计算出各单元内场函数的近似 值，从而得到整个求解域上的近似解。 有限元法是结构分析的一个有力的数值方法。它有许多优点，特别是适用 于工程实际中经常遇到的不规则几何形状和复杂的定解条件的问题。它可以处 理具有各种复杂材料性质的问题，如各向异性、非线性、随时间变化或随温度 变化的材料等的物理、力学问题。此外，由于有限单元法的解题步骤已经系统 山东理 大学硕士学位论文 第一罩错论 i i i i 皇量| 墨罾置| 一 化、标准化，并且有相当多数量灵活通用的计算机程序，有限元法从六十年代 实现计算机化以来，发展迅速，到七十年代已达到了成熟的高峰。它不仅广泛 应用于结构力学，而且还应用到其它许多领域，如流体力学，电磁物理学，核 工程等领域。然而，有限元法也有它明显的不足之处：1 ) 因需将整个区域离散 化，所以不仅数据准备工作量庞大，尤其对三维连续体的网格剖分相当困难、 繁琐、复杂、耗时、易错；单元数多、未知量多、存储及计算量大；2 ) 有时不 能保证整个区域内某些物理量( 如应力、应变) 的连续性；3 ) 区域上所有节点的 有关量( 如节点位移) 不论是否需要，都要计算，因而浪费计算时间；4 ) 对某些 闯题，如无限域问题、应力集中问题、裂缝问题等，不易精确处理，计算也不 能令人满意。尤其对经典壳体方程的求解问题几乎没有通用的有限元方法。一 种类型的单元对某一闯题有效，而对另一问题不仅误差大而且常常是无效的； 对非线性闯题，有限元法就存在着更多待研究的问题。 为了克服有限元法的某些不足，张佑启于2 0 世纪6 0 年代中期提出了有限 条法。以二维问题为例，在一个方向采用多项式函数，在另一个方向采用李兹 ( r i t z ) 法近似所求的未知函数以求解，对许多问题获得了满意的结果。 边界元法是在经典的边界积分方程法的基础上，吸收了有限元离散技术而 发展起来的一种求解偏微分方程的边值问题的数值解法。它把微分方程的边值 问题归化成边界上的积分方程后，利用各种离散化技术求解。边界归化有很多 途径，我们可以从同一边值问题得到许多不同的边界积分方程。这些积分方程 可能是无奇异的 3 q o ，可能是弱奇异的【1 1 m 】，可能是c a u c h y 型强奇异的 2 0 - 2 2 1 ， 也可能是超奇异的 2 3 - 2 5 】。不同的边界归化途径可能导致不同的边界元方法。国 际上流行的边界元法大致可分为间接法与直接法两大类。直接法是利用高斯的 散度定理和微分方程的基本解，将微分方程转化为边界积分方程，再将积分方 程离散化，求其数值解；间接法是基于散度定理和微分方程的基本解，通过非 解析开拓，建立内、外域上两个边界积分方程，再由这两个边界积分方程之差 建立了一个新的关于边界上的待定分布源函数为未知函数的积分方程，再以离 散化方法求出分布源函数的离散值，最后以分布源函数和基本解求出域内或边 界上任意点的其它物理量。 边界元法的主要优点是：1 ) 降低所求问题的维数，只需将区域的边界离散 化，从而数据准备简单、工作量小，尤其对三维问题。省时、方便；2 ) 离散化 误差仅来源于边界，域内点的物理量严格满足控制方程，所以精度较高；3 ) 适宜于处理无限域、断裂、应力集中等问题；缺点是：1 ) 边界元方程的系数矩 2 山东理工大学硕士学位论文 第一章绪论 阵是一个不对称的满阵。这就不便于应用目前在有限元法中已成熟的对稀疏对 称矩阵线性代数方程组的一系列解法，也不利于边界元与有限元法的耦合2 ) 应用边界元法必须事先知道所求问题的控制微分方程的基本解，但对于非线性 问题的基本解的求得往往是比较困难的，这就影响了边界元法的应用范围。所 以，现在许多科学工作者和工程技术人员致力于边晃元法与有限元法的耦台技 术的研究，以解决复杂的工程实际问题。在固体力学领域，它是有限元法最重 要的一种补充，是一种能够解决特殊问题的数值计算方法，比如无限域问题、 沙力学、接触问题等。 1 2 边界元法发展简介 1 2 1 边界元法的产生 二十世纪6 0 年代，有限元法的离散思想被应用到边界积分方程中，创建 了基于边界积分方程的数值解法边界元法。1 9 6 3 年m a j a s w a n 2 6 1 和 g j s y m m l 2 7 】用间接边界元法求解了位势问题；1 9 6 7 年f i r i z z o 2 8 用直接边界 元法求解了线弹性二维问题；t a c r u s e 2 9 】于1 9 6 9 年将此方法推广到三维弹性 力学问题。1 9 7 8 年，b r e b b i a c a 编著了国际上的第一本边界元专著，它提出 如何用加权余量法建立边界积分方程，初步形成了边界元法的理论体系，标志 着边界元法进入系统性研究时期。 1 2 2 边界元法的发展 边界元法的发展经历了从间接边界元法【2 d 2 7 1 到直接边界元法 2 8 - 2 9 的历 程。间接边界元法中的未知量不是问题的物理变量，所以其解函数往往不具有 明确的物理意义。直接边界元法基于互等定理建立s o m i g l i a n a 等式，以边界点 作为源点，基本未知量正是需求的客观未知量【3 0 j 。用于弹性力学的边界元法 称为常规的边界元法【3 1 1 ，它以边界上节点的位移和面力为基本未知量，待边 界上未知量求出以后，再通过内点积分方程得出内点参量。基于边界元法的优 点与不足，许多学者扬长避短，充分发挥边界元法的优势，提出和建立了边界 元法的新形式。n a r d i n i 和b r e b b i a 提出对偶互易边界元法【3 2 1 ，使用互易定理 将一般的体力项域积分化为边界积分，显著减小了计算量。g h o s h 矧等对二维 弹性问题推导出以位移沿边界的切向导数和面力为变量的积分方程，把基本解 山东理工大学硕士学位论文第一章绪论 中强奇异积分核降为弱奇异积分核。秦荣提出了一种新的边界单元法样条 边界元法。该法将样条函数作为插值函数，从而提高了边界元法的精度。另外 还发展了自适应边界元法、位移杂交边界元法 3 4 - 3 5 】、应力杂交边界元法 3 6 1 、 随机边界元法【3 7 3 9 1 等。 目前边界元法的应用已相当广泛，从固体力学、流体力学到应用数学、电 磁物理、电化学等各个方面都取得了重要的进展【4 0 郴】。它不仅成功地应用于求 解线性边值问题，而且在解决非线性、非定常阃题上也有了重要的突破【4 0 , 4 4 - 4 7 】 近年来，边界元法在塑性力学、断裂力学、动力学等方面的应用也日趋广泛。 在塑性力学方面，文【4 8 】对塑性问题的发展进行了回顾和总结。由我国学 者发展起来的弹塑性问题的拟线性解法【4 9 1 ，避免了域内积分的复杂迭代过程， 使塑性问题的边界元法取得了较大的进展。文【5 0 1 就体力的处理提出了域内积 分法，该法在域内划分网格。文【5 1 l 就粘弹性问题的域内积分处理提出了避免 直接积分的方法，其特点是将粘弹性附加项化为边界项。文【4 3 , 5 2 1 提出了处理无 限域问题和半无限域问题的边界单元法，并且提出了“无限边界单元”的概念， 给出了相应的公式，可以节约大量单元而取得较好的计算精度。 边界元法在弹性动力学初边值问题中的应用大致可分为两大类解法口】：一 类是频域法；另一类是时域法。频域法是经过积分变换，在频域利用相应静力 问题的基本解求出频域值，然后再经过积分反变换求出时域内的响应值。弹性 动力学的基本方程是双曲型的，可以通过积分变换转化到变换空间内求得数值 解，再作数值反变换来得到要求的结果。所以数值反变换的精度和效率是积分 变换法有效性的关键；时域法是在时域内直接求响应值，将动力问题化成有限 个较小时段中的有限个时刻上的拟静力闯题，用边界元法求解，即所谓逐步积 分边界元法，有隐式和显式两类逐步积分法。 边界元法在断裂力学中的应用也非常广泛，发展起来的方法也较多1 5 3 - 5 4 。 由于边界元法所用基本解本身的奇异性，使得它在处理断裂力学问题时具有较 高的精度其中发展起来的1 4 等参位奇性元计算应力强度因子的方法，使得 计算格式简单统一，便于应用。 1 3 边界元法中的一个重要难题 在边界元法中，由于边界积分方程积分核函数含有会产生奇异性的基本 解，使得常规边界元法在充分发挥其优势时，不得不付出处理奇异积分的代价。 4 山东理工大学硕士学位论文 第一覃绪论 而且常规边界积分方程的奇异特性是边界元法满足良好数值精度的保证。因 此，奇异积分的处理问题，被认为是边界元分析的中心研究课题。 边界元法分析中，有三种奇异积分和一种拟奇异积分：a ) 弱奇异积分；b ) 柯西主值( c p v ) 积分；c ) 超奇异积分( 定义为h a d a m a r d f i n i t e p a r t s 积分，简称 为h f p ) 。如用边界元法求解弹性力学问题，在求解边界面力( 或位移) 时，需处 理c p v 奇异积分；求解边界应力时，需处理超奇异积分；d ) 拟奇异积分。当 源点不在边界上，但特别趋近于边界；或源点虽在边界上，但不在当前积分单 元上而是特别趋近于当前积分单元时，源点与场点的距离趋近于零，但又不等 于零，这时即产生所谓的拟奇异积分( n e a r l ys i n g u l a ri n t e g r a l 或q u a s i s i n g u l a r i n t e g r a l ) 。从数学理论上来说，不管内点多么地接近边界，积分均是有定义的， 不属于奇异积分。但是，从计算的角度来看，当内点很接近边界时，由于计算 机精度的有限性，刻画一个无限接近的量是不可能的。因此，虽然该积分有定 义，但它又表现出奇异积分的特性，故称为拟奇异积分。它常常出现在求解边 界附近区域内的物理量中。传统边界元法中，计算离边界较远的区域内点物理 量时，解的精度很高，计算边界附近区域内点物理量时，由于拟奇异积分的存 在，求解精度大大地降低，甚至结果失真，称为边界元法的“边界层效 应”( b o u n d a r yl a y e re f f e c t ) 。 拟奇异积分的研究具有非常重要的意义：第一，求解边界附近区域内点的 物理参量时出现的边界层效应，一直是边界元法有待进一步解决的问题。尤其 对接近边界的物理参量要求较高的问题。如接触问题接触区域应力分布，裂纹 尖端应力场，应力集中区域应力分布等问题具有较高的应用价值；第二，边晃 元法在薄膜和薄体结构中的应用正在蓬勃发展，是边界元法比有限元法具有优 势的一个新的领域，有待进一步从理论上研究。在表面和涂层等工程方面也有 广阔的应用前景，如在复合材料界面、功能梯度材料涂层和压电材料薄片等薄 体类结构问题上有待加强应用。所以，为了边界元法在工程中更深入广泛的应 用，寻求一种可行的、有效的、便于推广的拟奇异积分数值算法成为必需解决 的难题。 近年来，中外边界元法研究者在奇异积分的处理问题上做了大量的工作， 发展了许多种数值处理技术。解析和半解析计算c p v 积分【5 5 6 2 1 ，数值计算奇 异积分【6 3 4 6 1 ，域外奇点法【3 】等。虽然各种方法在解决奇异性问题上都取得了不 同程度的成功，但是总存在着这样或那样的欠缺之处。拟奇异积分的处理比奇 异积分的处理甚至更困难。它常产生于薄体问题、相邻单元的尺度悬殊及源点 山东理工大学硕十学位论文第一章绪论 非常接近积分单元时的情形。处理拟奇异积分的方法大体上可分为两大类： a ) “整体算法”。此方法主要是通过建立新的规则化边界积分方程来间接 计算或避免计算拟奇异积分，如虚边界元法 9 - t o ，刚体位移法，简单解法等各 种整体规则化算法【1 9 7 - 7 引。虚边界元法可避免奇异和拟奇异积分的计算，问 题是它的理论基础仅仅在某些情形下得到了确认：简单解法和刚体位移法得益 于奇异积分的规则化思想和方法，利用密度函数中的零因子消除核函数分母中 的拟零因子，但计算结果的精度并不理想。 b ) “局部算法”。此算法是对拟奇异积分的直接计算或近似，通常有区间分 割法 6 3 1 、特别的o a u s s i a n 积分法1 6 4 1 、解析或半解析法”7 5 8 7 5 。7 6 】及变换法【5 5 ，8 0 一8 5 1 等。区间分割法是一种比较有效的方法，但分割区间的数量密切依赖于计算点 到边界的距离，计算点越靠近边界。分割区间的数量越多，这样不仅需要付出 分割区间所带来的巨大计算代价，而且还会增加累计误差，所以此方法不被推 榘；特利的g a u s s i a n 积分法需要繁复的数学推导工作；解析法计算拟奇异积 分比计算奇异积分似乎更困难，对于曲线单元一般来说是难以实现的；半解析 法主要是通过“加减法”分离拟奇异部分，分离出去的部分采用解析计算，规则 化部分采用标准的g a u s s 求积公式计算，但是这种方法并没有完全消除被积函 数的拟奇异性，规则化部分仍然保留着弱拟奇异性。目前在“局部算法”中，最 盛行的是各种变换法。如s i g m o i d a l 变换【8 、优化坐标变换8 2 1 、距离变换【。3 。8 卅 等。 1 4 本文的主要工作 针对边界元法中存在的拟奇异积分难以处理的障碍，本文提出了一种新的 积分变量变换法。到目前为止，拟奇异积分变换法的思想可概括为两大类：一 类 s o - s 2 是用零因子( 通常由雅可比产生) 消去核分母中的拟零因子；另一类 p t 8 3 4 】是借鉴规则化弱奇异积分的倒数变换思想，将核分母中的拟零因子转化 到分子中。数值验证表明，基于前一种思想的各种变换对弱拟奇异积分的计算 效果较好，而对强和超拟奇异积分的作用较小甚至没有。另一类基于倒数思想 的交换虽然能把拟奇异核变换为正常的，但原来正常的部分却因变换而产生了 拟奇异性，所以此类方法也有很大的局限性。本文提出的变换法则克服了上述 现存变换方法的不足，使拟奇异积分的计算精度得到了很大的提高，成功解决 了拟奇异积分计算难题。基于导师前期的工作，本文将这种新的变换方法应用 6 山东理工大学硕士学位论文第一章绪论 到了平面位势问题和弹性力学问题近边界点物理量的求解过程中。 本文的主要工作可概括如下： 1 ) 对边界元法的基本原理进行了研究，剖析了拟奇异积分产生的原因。 针对边界元法中存在的拟奇异积分计算难题，本文基于尽可能拉近运算因子间 的数量级或变化尺度的思想，构造了通用的变量替换，有效地改善了拟奇异核 的震荡特性，使拟奇异积分的计算结果达到了很高的精度。 2 ) 用间接变量边界元法求解位势问题，引入了平面位势问题的间接变量 无奇异边界积分方程【s 6 1 ，分析了内点边界积分方程中所存在的拟奇异积分， 将本文提出的变换法应用其中，计算了接近边界内点的位势及位势梯度。数值 算例充分验证了本文方法的有效性和可靠性。 3 1 研究了位势问题直接变量边界元法，通过对经典直接变量边晃积分方 程的研究，针对在实际问题应用过程中所存在的不足，本文对其进行了修正。 对求解近边界点物理量时所出现的拟奇异积分，引入了本文所提出的变换法， 使温度和热流的计算在计算点非常靠近边界的时候，仍然能够获得令人满意的 结果j 4 ) 用边界元法求解弹性力学问题，基于弹性力学平面问题中一类无奇异 边界积分方程1 1 9 】，将本文的拟奇异积分变换法应用到了求解靠近边界内点的 力学参量过程中。在弹性力学算例中，通过将本文方法与常规方法的计算结果 作比较，验证了本文方法可以计算靠近边界非常近的内点力学参量，并能够保 证很好的精度。 最后，对全文进行总结，结合作者在大量算例中总结的经验，对本文变换 方法在不同情况中的应用，给出了更为完善的方案，并对今后的研究工作做出 了展望。 7 山东理工大学硕士学位论文第二章边界元法基本原理和拟奇异积分的一种新的变换法 第二章边界元法基本原理和拟奇异积分的一种新的变换法 本章阐述了边界元法的基本原理，剖析了拟奇异积分产生的原因，进而提出了处 理拟奇异积分的一种新的变换法。r i z t _ , o 2 8 于1 9 6 7 年正式提出经典弹性力学离散的边 界积分方程方法。在其后的十余年中，从着眼离散方式而言将这种边界积分方程方法 正式称为边界元法【3 j 。边界元法借用有限元法的离散思想在弹性域边界上划分单元， 通过求解边界积分方程的离散形式获取边界上的物理量，再通过内点积分方程直接求 出内点参量。当内点很接近边界时，内点物理量的求解精度将大大地降低，甚至结果 失真，即产生了拟奇异积分，导致“边界层效应”。为了避免边界层效应，本文给出了 一种新的积分变量变换法，成功地消除了拟奇异积分的拟奇异性。 2 1 弹性力学基本方程 2 1 1 基本方程 以各向同性线性弹性体为对象，区域为q ，边界为f = a q 。弹性体在体力6 ， 面力和一定边界约束下平衡q 、白和呀分别表示域内任点工处的位移、应变 和应力，它们满足以下基本方程 1 平衡方程 嘞+ 6 f = o ，o ，j = l ，2 ，3 ) 2 几何方程 勺= ( b + 吩j ) ，( f ，j = 1 , 2 ，3 ) 3 物理方程 勺= 警吩一考岛，叭2 ，3 2 ) 或 - - 2 g 8 u + 饥毛，( f ，j ，七- - 1 ，2 ，3 ) 力的边界条件和位移边界条件分别是 = ，边界r 。上 u j - - u j ，边界r 。上 式中 t j = 一= 丑j 吩+ g ( “u j - u j , t ) ( 2 - 1 ) ( 2 - 2 ) ( 2 3 a ) ( 2 3 b ) ( 2 川 ( 2 - 5 ) 山东理工大学硕士学位论文 第二章边界元法基本原理和拟奇异积分的一种新的变换法 f = f ，+ r 。，( ) ，。= a ( 一9 甄，五= e v 2 v g ( 1 + v ) 0 - 2 协l 一2 v 其中r ，表示表面力分量已知的边界，r 。表示位移分量已知的边界。点，是i 【r o n e c k c r 符号张量，g 为材料的剪切弹性模量，a 为( l a m e ) 常数，e 和v 分别是材料的拉压弹 性模量和p o i s s o n 比。吩为边界外法线的方向余弦，“。和只分别是外部给定的边界位 移和面力。由方程( 2 - 1 ) 、( 2 2 ) 和( 2 3 ) 可以推得以位移作为基本未知量的n a v i e r 方程 11 t 丢唧+ u i “+ 寺z = 0 ( 2 。6 ) u 弹性力学的位移解法就是在给定的边界条件下通过求解方程( 2 6 ) 获得位移量，然后利 用方程( 2 2 ) 和( 2 3 ) 求出应变、应力等未知量。此外，弹性力学还有应力解法，即在给 定的边界条件下求解由平衡微分方程和应力协调方程组成的偏微分方程组而获解。 2 1 2 平面弹性力学问题 弹性力学问题一般情况下都是空间问题。但是，如果所考虑的弹性体具有某种特 殊的形状，并且承受某种特殊的外力，就可以把空间问题简化为平面问题。这种问题 将一切现象看作是在一个平面内发生的，在数学上属于二维问题。平面弹性力学问题 通常分为平面应力问题和平面应变问题。 1 平面应力问题 考虑一等厚度薄板，若只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力。同 时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。则可近似认为板内所有应力都平行于板平 面，沿垂直板平面方向的应力分量都为零，即 吼3 = = c r 3 3 = 0 ( 2 7 ) 这时，物理方程( 2 3 ) 简化为 气= 半嘞一 巧k 磊，( i ，j ，k = 1 ，2 ) ( 2 - 8 a ) 气2 t 嘞一面岛，惦，2 ， 弘塔a ) 或 气= 熹毛+ 苦气力“j k 气2 丽毛+ 气气( 1 ) 说明：式( 2 - 8 b ) 中毛3 0 ，毛3 = 一 ( q l + d k ) 。 2 平面应变问题 平面应变问题的特点是假设所有的位移和应变都发生在同一个平面内，即 气= 岛3 = 毛3 = 0 ( 2 - 9 ) 9 山东理工大学硕士学位论文第二章边界元法基本原理和拟奇异积分的一种新的变换法 |i 鼍置_ 将式( 2 - 8 ) 中的弹性常数e 和v 分别换为e ，和1 ，就可得到平面应变问题的物理方程 其中 f = 专小者( 2 - 1 0 )l 一矿。l v 可见，平面应变问题和平面应力问题的基本方程是相同的。而且对于平面应变问题， 有 吒3 = v 1 + ) 2 2 平面弹性力学边界元法基本理论 边界元法作为一种新兴的离散工具，其原理在一般的边界元法著作中都有详细介 绍。这里仅考虑平面弹性力学问题，给出了二维边界元法的基本列式及实施步骤。 2 2 1 常规边界元法积分方程 边界元法在实际态和k e l v i n 态间运用b e t t i 定理，得到著名的s o m i g i i a n a 等式p 0 j 。 即区域q 内任意点y 处的位移可由边界位移和面力的积分形式表达为 坼( ，) = 嘭( 只? 。( 功一巧( 只哟( 砷 d r ( 曲( i ：l ，2 )( 2 1 1 ) + l v ；( y ，x ) b s ( x ) d n ( x ) 此积分方程也可以从加权残值法的积分方程中逆形式推得。方程( 2 - t t ) 中，j ，为源点， 耳为场点，6 ，( 工) 为x 点处的体力分量，u s ( x ) 、t s ( x ) 分别为r 上的位移分量和面力分 量，叱( j ，名) 为弹性力学n a v i e r 方程的k e l v i n 解，亦称为基本解，q ( y ，x ) 是嘭( j ，曲 关于坐标x 。的梯度场函数的线性组合，对于平面应变问题，它们的具体表达式为 ( j ，x ) = 赤 ( 3 4 v ) l n r 磊一 ( 2 - 1 2 ) 巧( j ，功= 石丽1 = 石 ( 1 2 v x ，一- r , s n l ) 一 ( 卜2 v ) 岛+ 2 r ， ) ( 2 - 1 3 ) 式中，为源点y 与积分场点x 间的距离， ，= 昙= 至，= 豢- ，吩 【2 1 4 ) ，”= ：一= j ，撕= ；一= 厂，吩 u r o n = 而- y i ，= 以 ( 2 - 1 5 ) 当源点y 在边界i 上时，= 0 ，则方程的核函数产生奇异性，式( 2 - 1 1 ) 中存在弱 奇异和强奇异积分。采用域内法或域外法对奇异积分加以处理，可得常规的边界位移 积分方程： 1 0 c o o , ) 删2 f 吒( ”) ，t x ) 盯( 曲一i 舢x 聃肌 ( 2 1 6 ) + l “( 弘x ) q ( x ) d q ( 工) 上式右端的第二个积分为c a u e h y 主值积分，q o ) 为位移奇性系数，它依赖于r 面 上y 点附近的几何形状和弹性常数，对于光滑边界，q = 毛2 。 边界上未知物理量由离散后的式( 2 - 1 6 ) 求出以后，将r 上的位移吩和面力0 代入 式( 2 - 1 1 ) 可以求出内点位移。 内点应力的获取，首先将方程( 2 1 1 ) 在点y 沿y k ( k = 1 ，2 ) 方向求导，得到内点位 移导数积分方程 ( j ，) = f 叱，订一f “，d f + l 屯扣+ ( 2 - 1 7 ) 其中 嘭 2 面瓦l _ 面 ( 3 4 v ) r ，t 毛一“靠- - r , j 毛+ 2 r , t r , 1 r , k 2 - 1 8 ) 巩2 丽1 叫，t _ 、2 r , ，颤+ ，民一( 1 - 2 v ) 气- 4 r , ，r , j r , k + ( 1 2 v ) ( g n + 气，气一毛n j ) + 2 r ，j ，仇 ( 2 - 1 9 ) + 2 ( 1 - 2 v ) ( ，t 一一，) 然后，根据弹性力学的几何方程和物理方程推得内点应力积分方程为 ( j ，) = f 打一f s 0 u j a t + l 屯d q j ，q ( 2 - 2 0 ) 其中 崂= 丽1 ( 1 2 v ) ( 毛+ h 毛- r ，磊) + 2 r n r , jr , k s ， 2 万( 1 g 可 ( 1 - 2 帆屯+ v ( ，j 靠+ ，t 岛) - 4 r ，| r ur k + ( 1 - 2 v ) ( 2 r ，t r ，k n ，j + 6j 眠+ 6 9 n o + 2 v ( r , t r , jr l , i t + r , j ， 疗，) - ( 1 - 4 v ) 既一 2 2 2 边界元法的实施 ( 2 - 2 1 ) ( 2 2 2 ) 1 边界积分方程的离散 边界元法为求得边界上的未知量，须将无限多自由度的积分方程式( 2 一1 6 ) 离散成 以边界点参量表示的有限个自由度形式。将边界r 分割成三个单元，边界上总节点数 为。积分式( 2 1 6 ) 的最后一项为体力域积分，通常体力屯是简单的已知量，其域积 分不存在奇异性问题，常规方法即可解决，故以下假定体力不存在。选取适当的插值 方式，在每个单元上对边界量作插值，现采用等参元( 常单元) ，对积分单元e 有 豁；n u , t = n t , ( 2 - 2 3 ) 其中 n = 【1 ，2 ，1 】 ( 2 2 4 ) 心= “7 0 ) 矿( 2 ) 矿似) 丁( 2 - 2 5 ) = i t 7 ( 1 ) t r ( 2 ) t r ( m ) 丫 ( 2 - 2 6 ) 这里，m 表示单元g 上的节点数；f ( i = 1 ，2 ，m ) 为所采用的形函数：( f ) ，t r ( f ) o = 1 ，2 ，m ) 分别为边界节点位移列向量和面力列向量。 对积分方程式( 2 1 6 ) 沿边界r 作数值求积，可离散成 lr 1 lrk 1 c u ( y ) = l x w , ( v n j ) f t 一i 仃n j ) lu e # i l l j - | j 。“l ，1 1 j ( 2 2 7 ) 式中，y 为位于边界r 上的源点，c 为奇性系数矩阵，k 为单元的积分点数，是 对应积分点的权系数，j 为雅可比。若将c 并入主子块，式( 2 2 7 ) 0 - i 用矩阵形式表示 为 h v p ( 1 ) “7 p ) 矿( ) 丁 =fg，lg，g叫小7(1)，p)()17(2-2s)g t 2 【昂l 即g 儿r ( 1 ) r 舻) 。州) j 其中，p = l ，2 ，一为源点号。y ；c j z j ：2 n 个节点，可得联立一次方程组 胁=gt(2-29) 其中日和g 为2 n x 2 n 阶的系数矩阵 日= 阢 ，g = 缸 ，p , q = 1 ，2 ，n ( 2 - 3 0 ) “和t 分别为边界单元节点的位移列向量_ 和面力列向量 村矿( 1 ) 扩矿 r ( 2 3 1 ) t = i t 7 ( 1 ) f 7 ( p ) f 7 ( 柳f 方阵日的主子块可用刚体位移法求出，对有限域问题 = 一k ( 2 。3 2 ) 对无限域和半无限域问题 = i - ( 2 3 3 ) 孙 至此，即完成了积分方程式( 2 1 6 ) 的离散，边界点参量通过求解矩阵方程( 2 2 9 ) 即可获 1 2 2 内点积分方程的离散 对于区域内任意一点y ，对积分式( 2 - 1 1 ) 、( 2 - 2 0 ) 同样沿边界r 分割单元离散作数 值求积，分别得到它们的离散形式 “( j ，) = g q lg q 2 g 叫( 1 ) f 7 ( 2 ) ，7 2 一陈： “7 ( 1 ) u r ( 2 ) 材7 ( 2 - 3 4 ) 盯( j ，) = ： 叭1 ) t r ( 2 ) f 7 2 一心吒：如 陬1 ) “7 ( 2 ) 矿( ) 】 ( 2 - 3 5 ) 式中，q 为源点y 对应的内点号；u ( y ) 、盯( j ，) 分别为内点j ，的位移列向量和应力列 向量( 根据二维问题应力张量的对称性，将其用列向量表示) “( j ，) = h o ) “：( j ，) 】1 ，仃( j ，) = 【q ，( j ，) q ：( 力c r 2 ：( j ，) 】1 ( 2 3 6 ) 由边界积分方程求出边界量之后，再通过式( 2 - 3 4 ) 、( 2 - 3 5 ) a p 可求得所需的内点物理量a 2 3 边界元法中拟奇异积分的剖析与一种新的变换法 2 3 1 拟奇异积分产生原因剖析 前面已经叙述，弹性力学问题内点位移和应力边界积分方程式( 2 - 1 1 ) 和( 2 2 0 ) 分别 为 约( j ，) = 儿咖，掣x ) 一弛工舭) 订( 川( f ，m 2 ) + l u ；( y ，工) 屯( 曲d q ( 工) ( j ，) = f o 盯一f 虢叶订+ l 略屯饱，y e q 当源点y 在边界单元上时，其位移边界积分方程式( 2 1 6 ) 为 q ( y ) 叶( y ) = 嘭( y ，x 一( x ) d r ( x ) 一巧o ，x ) 吩( d r ( x ) + k 嘭( y ，x ) b j ( x ) d o ( x ) 将边界r 离散成一定数量的边界单元，如图2 - i 所示，工1 和x 2 分别是边界单元r 。 的两个端点，善为局部坐标系的坐标值，r o 为内点y 到邻近边界单元