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保费随机的风险模型及双险种风险模型的破产问题研究 摘要 本文在经典风险模型的基础上，为了与保险公司的实际运作相符合， 建立了几种风险模型：保险费随机的离散时间复合二项风险模型，一类双 险种风险模型，将稀疏过程考虑在内的双险种风险模型本文主要研究了 这几种风险模型的罚金折现期望函数，渐近估计，最终破产概率，生存概 率，破产前盈余的分布，破产时赤字的分布等问题 第一章首先介绍保险业的发展现状和破产论研究的背景，其次介绍破 产论研究的内容与研究的方向，最后介绍本文研究的主要内容 第二章在离散时间的情况下，建立保险费的收取过程是二项过程而索 赔总额过程是复合二项过程的风险模型，得到了该风险模型的罚金折现期 望函数所满足的递推关系式，以及罚金折现期望函数的渐近估计，然后我 们根据罚金折现期望函数的特点，对其取不同的表达式，得到了破产概率， 破产前盈余的分布，破产时赤字的分布最后用母函数的方法考虑修改的 罚金折现期望函数本章的部分内容投到了 0 ，也就 2 o 一 ， 瓦 兰腻 一订+缸 = 、，p u 保费随机的风险模型及双险种风险模型的破产问题研究 是假定相对安全负荷系数9 = 一1 0 掣 在相对安全负荷系数条件下，并不排除在某一瞬时，盈余有可能为负值，这时称保 险公司“破产一，记丁为保险公司首次破产的时刻，简称破产时刻，即 t = i n f t ：t 0 ，u ( f ) o ) ，i n f # = 称e ( u ) = p t o o iu ( o ) = u 为保险公司的最终破产概率，简称破产概率 风险模型的经典理论主要研究破产概率的表达式及其估计，此时所谓的调节系数起 着重要的作用 首先假设个体索赔额置的矩母函数 肘墨( ，) = e p “】= 【e = d f ( x ) = l + r 【扩【l f ( x ) d x mm 至少在包含原点的某个邻域内存在； 其次假设方程蚝( ，- ) = 1 + i ，具有正根，我们记之为足，并称之为调节系数 注：如果记v ( t ) = c t s ( ，) ，则 y ( ，) ，o 为齐次独立增量过程，于是调节系数存在 性假定也就是方程m y ( 1 ) ( ，) = e x p 肌气( 一，) 一2 + c r = 1 有正根 在上述基本假定的基础上我们有f 面结果： 定理1 ( 1 ) 缈( o ) 2 方。( 2 ) l u n d b e r g 不等式沙( “) p 一； 溉器：1 ；( 4 ) 帅) = 驴蒜丽 c r a m 6 r 所采用的w i n n e r - h o p f 证明方法虽然在数学上是严格的， 冗f e l l e r 的更新论证和g e r b e r 的鞅方法给予( 1 ) - ( 4 ) 式以简洁的证明， 证明方法，已经成为当代研究破产论的主要方法 1 3 2 离散时间模型 ( 3 ) 存在常数c ，使 但分析方法比较繁 见文献【l 】，这两种 风险理论中的大部分结论都是关于连续时间模型的，而现实中离散时间模型更易于 应用，离散风险模型中讨论最多的就是复合二项风险模型 在经典复合二项风险模型中，每一区间收取的保费为l ，任一区间索赔发生的概率 是p ( o p o 吮 0 在假定调节系数存在的条件下也得到与定理1 类似的结果以及其它一些有趣的结果 ( 参见文献【2 5 】) 1 4 破产论研究的内容与方向 破产论的研究内容大致包含以下五个方面： ( 1 ) 最终破产概率：缈 ) = p t o o i u ( o ) = l g ) ； ( 2 ) 有限时间内的破产概率；e ( u ，) = p t r i u ( o ) = 犯 ； ( 3 ) 破产前瞬时盈余：x = u ( t - ) ，破产时赤字：j ，爿u 仃) f - u ( r ) ； ( 4 ) 另外还有刻画保险公司风险的概率规律： g ( u ，y ) = p ( t ，- y 坼 0 i u ( 0 ) = 掰) ， f ( u ，x ) = p ( t o o ，0 u ts x l u ( o ) = “) ， f ( u ，x , y ) = p ( t - y l u ( 0 ) = 材) ， 其中x , y 皆为非负实数，且显然有吵 ) = g ( u ，) = f ( u ，) ； ( 5 ) 罚金折现期望函数：聊 ) = e e 一甜w ( u ( t - ) ，iu ( t ) i ) i l 【r 。、iu ( o ) = u 1 4 保费随机的风险模型及双险种风险模型的破产问题研究 这五个方面，作为测度风险的指标，目前对于这些问题的研究已成为理论研究的热点问 题，受到诸多学者的关注其中在罚金折现期望函数方面的研究才刚刚起步，但是罚金 折现期望函数的功能比较强大，我们可以利用它来研究上面提到的( 1 ) ( 4 ) 在经典破产模型提出后的一段时间内，关于破产论的研究主要集中于两方面，一种 是寻求l l l u n d b e r g c 豫m 6 r 理论更简便的破产论的研究方法，一种是对经典风险模型的推 广 人们对经典模型进行了推广，主要可分为三类： 一是对总索赔额s ( t ) 的推广：将n ( t ) 推广为c o x 过程【6 1 ，更新过程【6 1 ，广义p o i s s o n 过程【7 1 ，二项过程8 1 9 1 等 二是引入利率和投资因素，使模型更接近保险公司的实际运作：对于常利率收入的 研究，最有代表性的为1 9 9 5 年s u n d t 和t e u g e l s 的工作【l o j ；而对于考虑投资收入因素的 研究，最早始于g e r b e r 的文章1 三是在保费收入方面的推广：保费的收入不再是时间的线性函数，在( o ，】时间内收 取的保险单数，它可以是p o i s s o n 过程n 射，c o x 过程【n 1 ，更新过程1 1 4 1 ，最有代表性的 为2 0 0 4 年t e n m o v 的工作【l 卯 除了经典模型的推广研究，破产论的另一个研究热点集中在破产论的研究方法的改 进，其中两个具有代表性的方法为f e l l e r 的更新论方法和g e r b e r 的鞅论证方法c r a m d r 对 破产概率的指数上界的证明，虽然在数学上是严格的，但是分析的方法比较繁冗，f e l l e r 的更新论证方法和g e r b e r 的鞅论证方法分别从不同的理论出发，) - 勾l u n d b e r g s o p p 记x = 五令p ( 后) = 尸( 彳= 七) ，k = 0 , 1 ，2 表示个体索赔的概率密度函数，则有 p ( o ) = o ，p ( ”) = p ( 七) = 1 一_ ( ，z ) ， k = o 尸( o ) = o ，u = e x = z k p ( k ) = z ? ( k ) k = ok - - o 定义破产时刻t = i n f n ：刀o ，u ( n ) 0 ) ，i n f 矽= 0 0 ，定义最终破产概率为 缈 ) = 尸( 丁 o olu ( o ) = “) ，生存概率为 ) = 1 一少( 甜) ，如果破产发生iu ( r ) l 表示破 产时赤字，仃一1 ) 表示破产前一刻的盈余，于是罚金折现期望函数表示为 ( “) = e 【1 l ，r w ( u ( t - o ，iu ( t ) i ) i ( r 。曲iu ( o ) = “】 其中以五，x 2 ) ，x t 0 ，而0 ，是一非负有界函数，o 1 ，1 表示折扣因子，l 表示示性函数 罚金折现期望函数是g e r b e ra n ds h i u ( 1 9 9 8 ) 眇l 提出来的，函数一提出就显示了其强大的 威力，利用此函数就可以一并解决破产概率问题、破产盈余分布问题、破产时刻的各阶 矩等一系列问题，因此对这个函数的研究也占据了重要的地位，如文献 2 0 2 3 1 除了关 于破产概率方面的研究外，最近关于分红险种问题的研究也考虑到罚金折现期望函数如 文献【2 5 】、【2 6 等在本章中我们主要研究折扣因子v - l 的罚金折现期望函数，为了方便 我们记m ( u ) = ，l l ) 这里我们要注意符号r e ( u ) 没有明确的表示出其依赖于函数 从而，x 2 ) ，选取不同的以五，x z ) 会导致g e l m ( u ) 不同的解释 3 广西大学硕士掌位论文保费随机的风险模怼及双险种风险模型的破产问题研究 2 2 罚金折现期望函数加( 材) 的循环递推公式 一般来说很难直接求出m ( u ) 的值，所以需要用递推算法来求解m ( u ) 本节中m ( u ) 的递推方程是从m ( o ) 到m ( u 一1 ) 的函数，而不是固定的前若干项的函数，所以随着材的 增大递推式会比较复杂，但另一方面该递推式比较直观并且计算也十分方便在这一节 我们主要推导罚金折现期望函数m ( u ) 的循环递推公式 定理2 2 1 罚金折现期望函数m ( u ) 满足下面的循环递推公式 m ( 川) = 南薹删旃u + l - k ) + g 忍“) 】 + 旦p l qk 妻= + 。薹，毗删川h 俐， 其中 肌( o ) 二素委，奏删咖( 川删 证明我们在时间区间( 0 ，1 】内，分四种情况对r e ( u ) 进行考虑 ( 1 ) 在时间区间( o ，1 】内，没有保费到达，也没有索赔发生； ( 2 ) 在时间区间( o ，1 】内，收到一个保费，但是没有索赔发生； ( 3 ) 在时间区间( 0 , 1 】内，没有保费到达，有一个索赔发生； ( 4 ) 在时间区间( 0 ，1 】内，收到一个保费，有一个索赔发生 根据全概率公式，我们有 胂( “) = g l g 聊( ”) + a 胛 + 1 ) + 吼p m 一七) p ( 七) + q l p w ( u ，k - u ) p ( k ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) u + l + a p m ( u + 1 - k ) p ( k ) + p l p w ( u ，k - u - o p ( k ) ( 2 2 3 ) 由于p ( 0 ) - - 0 ，则上式等价于 9 保费随机的风险模型及双险种风险模型的破产问题研究 o - q 】g ) 聊( 甜) = 易g 垅( 甜+ 1 ) + p 芝二聊( 七) n p ( 甜+ l 一七) + g i p ( u 一七) 】 k = o + p w ( u ，k - u ) p l p ( k + 1 ) + q l p ( 吼 七= “+ l 对上式中z f 从0 到刀求和，得 n月疗 o - q 。q ) z m ( ”) = a g 聊( “+ 1 ) + p 聊( 七) 瞻p ( 甜+ l 一七) + 吼p ( u 一七) 】 u = ou = ou = o k = o o o + p z w ( u ，k - u ) p l p ( k + i ) + q l p ( 吼 由于 一以一n m ( k ) p l p ( u + i - k ) + q l p ( 材一七) 】- m ( 七) 瞻p ( 甜+ 1 一k ) + q i p ( u 一七) 】 u = ok = ok = ou = k ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) - z ，打( 七) a 尸( 疗+ 1 一k ) + q i p ( n 一七) 】( 2 2 6 ) 于是把( 2 2 6 ) 式代入( 2 2 5 ) 式，并进行整理得 a 吼聊( 拧+ 1 ) 一肌( 0 ) 】 一疗一 = p 朋( 后) 一p 小( 后) 瞻p ( 刀+ l 一七) + g l p o 一七) 】一p 以七，f 一七) 晒p ( f + 1 ) + g l p ( f ) 】 k = ok - - - ok = oi = k + l ：p 窆所( 七) a - ( 拧+ 1 一七) + g 。仰一七) 卜p 兰主w ( k ，f 一七) 【a p ( f + 1 ) + q l p ( f ) 】 ( 2 2 7 ) k - - ok = ot = k + l 由于从而，吻) ，西0 ，x 2 o 是一非负有界函数，令1 1 w l l - s u p w ( x l ，而) 贝m j l lw 1 1 o o 1 i m 所( 甜) = 0 ， ( 2 2 9 ) - - + 0 0 利用控制收敛定理及( 2 2 9 ) 式，得 憋荟所( 七( 川一d + 毋( 础州l i m 。面历( 地( 确 l o 广西大掌硕士掌位论文 保费随机的风险模型及双险种风险模型的破产问题研究 = 0 ， ( 2 2 1 0 ) 从而在( 2 2 7 ) 式中令n 专o o ，利用控制收敛定理并结合( 2 2 9 ) ( 2 2 1 0 ) ，得 a g m ( o ) = p w ( k ，i - k ) p l p ( i + 1 ) + q l p ( f ) 1 k = oi = k + l 也就是 聊( 。) = 南薹，姜。w ( 幻一后) 【a p o + 1 ) + 吼p ( f ) 】 ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) 再把( 2 2 1 1 ) 代入( 2 2 7 ) 可以得到 p ，q m ( 疗+ 1 ) = p n 聊( 七) 【a ( 刀+ l - k ) + 吼_ ( 刀一七) 】+ p w ( k ，i 一七) 【p 。烈，+ 1 ) + 9 1 p ( 明( 2 2 1 3 ) k = ok = n + li = k + l 很显然从( 2 2 1 3 ) 式，我们可以直接得到( 2 2 1 ) 式 # 注：实际上，我们可以从( 2 2 4 ) 式得到另外的一个循环递推公式，但是从( 2 2 1 ) 式 我们可以得到罚金折现期望函数的一个离散的更新方程，进一步我们可以得到罚金折现 期望函数的渐近估计 2 3 罚金折现期望函数r e ( u ) 的渐近估计 令 在上一节的基础上，本节我们给出罚金折现期望函数m ( u ) 的渐近估计 g x ( r ) = e r j 】= p ( 刀) ，”，9 ( ，) = ( 刀) ，” ( 2 3 1 ) 我们假设存在乙 1 ，当，乞时，q ( ，) 专( 允许取佃) ，于是我们很容易知： ，= 竿竽 ( 2 3 2 ) 定义2 3 1 如果方程研，州】= 1 有一个根r l ，则称r 为调节系数，方程 e 【，矿1 】- l 为调节系数方程 根据定攀知g ( 1 ) ( r ) = 研，“。】- e r s ( i ) - 研】= ( 口( ，) + g ) ( a 吾+ 鲕) = l 也就是 ( p g x ( ，) + g ) ( g l ，+ a ) = ，( 2 3 3 ) 记方程( 2 3 3 ) 的左边h ( r ) = ( p 瓯( ，) + 口) ( 吼r + p t ) ，右边g ( r ) = ，由于h ( 厂) 0 ， h ( ，) 0则知日( ，) 为 o ，名) 上的凸函数，而g ( ，) 是斜率为1 的直线，且 日( o ) = p l q ，日( 1 ) = l 则在【0 ，k ) 上，方程( 2 3 3 ) 至多有两个实根根据安全负荷假定有 ( 1 + 伊) p ：a ，于是我们知日t ( 1 ) = p + 吼= 而p l + 绣= 等警 0 0 于是我们知道调节系数尺是存在的 引理2 3 2 假设 嚷，k = o ，1 ) 仇，k = o ，1 是两个非负序列，并且咏= 1 ， k = o 至概 ，窆阮 ， 鲰，k = 0 ，1 为非周期序列如果有界序列 ，以= 0 ，l 满足更 t = lk = o 新方程 = 一+ 色，刀= o ，1 ， 2 己一+ ，刀。u ， k = o 则l i m 存在且 一 瓯 l i r a u “窆, = o i 。 如果k = l 概= 令。l i r a 。”n = o ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 证明利用文献【2 7 】，不难证明结论成立 稃 定理2 3 3 罚金折现期望函数m 似) 的渐近估计为 r e ( u ) 一c r 一。 寸) ， ( 2 3 6 ) 其中 c = 以j f ，i 一，) 【p l p ( f + 1 ) + 留t p ( f ) 】 k = o = j ；j + l 一 一一 放【a p ( 七) + g l p ( k 一1 ) 】 七互l 1 2 ( 2 3 7 ) 广西大掌硕士学位论文保费随机的风险模型及双险种风险模型的破产问题研究 证明在( 2 2 1 ) 式两端同时乘以p l q ，并把“+ 1 用u 进行替代，利用 p l q m ( u ) = m ) 一( g l + p p t ) m ( u ) 于是可以得到 记 m ( “) ：( g ，+ p p o 所( 材) + p u - i 所( 七) 【a ( “一七) + g 。( 甜一l 一七) 】 + p w ( k ，f 一七) b p ( f + 1 ) + 研p ( 例 a o = q i + 露n ，q = p r ”【p 1 p ( “) + 绣p ( “一1 ) 】， 吮= 础“w ( k ，i - k ) p l p ( i + 1 ) + q 。p ( 吼 研 ) = m ( u ) r “， 在方程( 2 3 8 ) 两端同乘以r ”得 茄( 甜) ：窆翕 ) 吒一。+ 既， 由于 主唧：g l + p p l + p 妻舻 p i p ( k ) + q , - p ( k 一1 ) 】 k = 0 t = l ：吼+ p 妻r t a ( 后) + p 妻尺q p ( k 1 ) k - - o七。l = q l + ( p p l + p q l r ) yr ( 七) 2 q t + ( p p t + p q l g ) 彰【尺) = 州胁嗍哟等竿， s ir 为方程( 2 3 3 ) 的根，于是我们有 k = o 陬2 而1 【绑+ ( p p l + 朋，r ) ( 瓯( r ) 一1 ) 】= 1 。 于是我们知道方程( 2 3 9 ) 是恰当更新方程 ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) ( 2 3 1 0 ) ( 2 3 11 ) 保费随机的风险模型及双险种风险模型的破产问题研究 i 司时我们注意到 o 吮 ? l lw l lr u p l p ( i + 1 ) + c l l p ( i ) = p 1w 1 1r “ 崩融+ 1 ) + g l - ( 七) 】，( 2 3 1 2 ) 因此 薹既p i | w | i 薹尺“荟o o ( 七+ 1 ) + g l ( 七) 】= 糌( a p ) 是取值于 o ，佃) 上的相互 独立同分布的随机变量序列，且假设 l ( ，) ，r 0 ， 2 ( r ) ，0 ， 3 ( ，) ，0 ) ， 五，f = 1 , 2 ， ， i ，i = 1 ，2 ， ， 互，i = 1 ，2 ， 相互独立为了简便令x ( f ) = t 五， 州l i ( f )m ( r ) 】，( r ) = r ，z ( ，) = 互，s 2 ( t ) = x ( t ) - z ( t ) ，s l ( t ) = c t - y ( t ) ，s ( r ) = s ( r ) + 最( f ) 在模型中u ( u 0 ) 是保险公司的初始资本，保险公司经营的两个险种以不同的方式 收取保费，对于a 险种以固定费率收取保费，而b 险种每张保单的保费收取是随机的 x ( t ) 表示到时刻f 为止b 险种所收到的总的保费，l ，( ，) 表示在【o ，力内保险公司支付a 险 种的总索赔额，z ( ，) 表示 o ，】内b 险种的总索赔额，s ( f ) 表示a 险种的盈利过程，逆( r ) 表示b 险种的盈利过程；s ( t ) 为保险公司总的盈利过程，u ( t ) 为保险公司的盈余过程 保费随机的风险模型刀。叹险种风险模型的破产问题研究 设五，巧，z i 的分布函数分别为鼻( x ) ，e ( y ) ，e ( z ) ，而且互( o ) = e ( 0 ) = e ( 0 ) = 0 ；期 望值分别为以，鸬，鸬，而且肛 0 ( f - - - 1 ，2 ，3 ) ；定义五的l a p l a c e 变换为 红( ，) = 研p 一幽】_ j c o e 一肛奶( x ) ，定义，；，z l 的矩母函数分别为吃驴) = e 喁】= f e y d f 2 ( y ) ， 呜( r ) = 研p 喝】f p 陀识( z ) ，( r o ) 假设存在有限数，使得当，。，时，有红p ) - o o 或者有绣( ，) _ o o 定义破产时刻t = i n f t ：f o ，u ( t ) 0 如鲍+ 心鸬 3 2 几个引理 引理3 2 1 ( 1 ) i i m u ( t ) = a s ； ( 2 ) l i m o ( u ) = 1 乱s ； ( 3 ) 盈利过程s o ) 具有平稳独立增量 证明( 1 ) 根据强大数定律知： l i mu ( t ) ：l i m u + c t + l i m f 。 f，t l - - - o o l ( f ) 五 i = 1 l ( f ) l ( f ) f = c + 朋一乞鸬一乃鸬 0 一l i m & 也一- l 掣三一l i m t - 1 。2 ( f ) ， ，一 故r m a u ( t ) = o o 钆s 。 i - - - i , a o ( 2 ) 由( 1 ) 推得 ( 3 ) 1 主t 文献【3 l 】易知s ( r ) 具有平稳独立增量 2 1 ，( r ) 窆地 3 ( ，) ， 广西大学硕士掌位论文保费随机的风险模型及双险种风险模型的破产问题研究 引理3 2 2 对盈利过程s ( f ) 有e e 一心】_ e 侣”， 其中g ( r ) = - r c + ：q h l ( r ) 一1 ) 1 + 2 2 h 2 ( r ) 一l 】+ 五【玩( ，) 一l 】 证明由独立性及全期望公式，知 舢、叫d + 艺葺一芝k 一笺引， e e 一隋】= e p 智莒智 】 ：e - r c t e e e 一，蒿】im ( r ) e e e 7 苫】i 2 ( d ) e e e 7 篙】i 3 ( ，) 一r 芎x ir y lr 亨z i = 智1 】im ( ) 智。】i 2 0 ) ) 智。】i 3 0 ) m ，l2 l r 一，罗五 ，罗蚱 = e 一耐e 瞳智l 1 0 ) = 行】p ( l o ) = 刀) e k 智。i n 2 ( t ) = n p ( n 2 ( t ) = n ) ，掣z ； 研p 智1l 3 0 ) = 刀】尸( 3 ( f ) = 刀) 玎嘻矿，”警p 叫薹c 础”等p 啦姜c 蚴”警p 哪 玎唧抓n = o 呦”警p 叫扣呦”等p 啦蜘n = o 桫警p q ，： 一= 0 ，i ：，； = p 一耐p 却【 ( 7 卜l l p 如f 2 ( 7 卜l i , e & t i h 3 ( 7 卜1 1 = e x p - r e + 2 1 h l ( r ) 一1 ) 】+ 乃i b m ( r ) 一l 】+ 也 魄( ，) 一q t = e t g ( ” 引理3 2 3 调节方程g ( r ) = 0 存在唯一正解尺称之为调节系数 证明由于 g o ) = 一c ，+ 啊( ，) + 如吃( r ) + 乃( ，) 一( 五+ 如+ 如) ， g i ( ，) = 叶+ i ：( 一x ) e 哺蜗( x ) + 五j ：声秒崛( y ) + 以上韶疗蜗( z ) ， mmm g _ ( ，) = 丑j c o x 2 e - r 。蚯( x ) + 五j c o y 2 p 幔( y ) + 乃j c o z 2 e r 2 蚯( z ) 因此容易知g ( o ) = 0 ，g i ( 0 + ) = - ( f + 五局一五鸬一冯鸬) 0 ，所以g ( r ) 在 ( 0 ，) 内是凸函数，又当，专，时，g ( ，) 专，所以必存在唯一的正数使得g ( 厂) = o ， 此时方程g ( ，) = 0 的唯一正解，为调节系数，记之为尺，并称方程g 驴) = o 为调节方程群 广西大掌硕士学位论文保费随机的风险模型及双险种风险模型的破产问题研究 引理3 2 4e = c r ( s ( t ) ，s f ) ，则 m ( r ) ，只，0 是鞅，其中 m o ) = e x p 一r u ( t ) - t g ( r ) 】 证明设s f 则 m ( s ) ) 是 e ) 可测的，又因为u o ) 是平稳独立增量，于是根据引理 3 2 3 知： e m ( t ) 1 只】= 研p 一彬。心ie 】 = e e 一彤对。s g 7 一7 u 训5 m g 7 ic 】 。- r ( u ( t ) - u ( s ) ) = m ( j ) e 【己丽i c 】 = m ( s ) 群 引理3 2 5r 关于f 是停时 3 3 最终生存概率( “) 满足的积分方程 定理3 3 1 盈余过程u o ) 的最终生存概翠 ) 涌足f 囱的积分方程： 中 ) = ( o ) + 軎r ( o ) 一o d r + 五- - 。- - f ( 1 一最( ) ，) ) 似一y ) d y + 軎r ( 1 一e ( z ) 净( “一z ) 出+ 軎r 巧( x ) 【 + 力一( 列出， ( 3 3 1 ) 其中 m ( o ) = 1 一鲁f 巧( x ) ( 1 m ( x ) ) 出一五- - c - - z 2 一生c 鸬 ( 3 - 3 2 ) 证明对于盈余过程u “) 在很小的时间区间r 0 ，a 1 内，我们分以下五种情况考虑 m ( ”) ： ( 1 ) 在【o ，】内，川( ，) ，2 ( ，) ，3 ( ，) 均无跳跃发生，其概率为 ( 1 一 ) ( 1 一如) ( 1 一五) + d ( ) ； ( 2 ) 在【o 】内，m ( ，) 有一跳跃发生，2 ( ，) ，鸩( ，) 均无跳跃发生，其概率为 五( 1 一如) ( 1 一鸟) + d ( ) ； 广西大掌硕士掌位论文 保费随机的风险模型及双险种风险模型的破产问题研究 ( 3 ) 在 0 ，a 】内，2 ( f ) 有一跳跃发生，l ( f ) ，3 ( f ) 均无跳跃发生，其概率为 ( 1 - a ) & a ( 1 一五) + o ( ) ； ( 4 ) 在【0 ，a 】内，n a t ) 有一跳跃发生，l ( ，) ，2 ( f ) 均无跳跃发生，其概率为 ( 1 一矗) ( 1 一五) 毛+ d ( ) ； ( 5 ) 在【0 ，】内，上面所述的其它情况发生的概率为d ( ) 或0 由全概翠公式有： ( 甜) = ( 1 一 ) ( 1 一如) ( 1 一如) ( u + c ) + ( 1 一a 2 a ) ( 1 一乃) j c o ( ”+ c + x ) 蜗( x ) i + 似 + 如( 1 一五) ( 1 一以) 【 中( 甜+ c a y ) a g ( y ) p a + c a + a 3 a ( 1 一 ) ( 1 一五) 【 o ( u + c a z ) d g ( z ) + d ( ) ( 3 3 3 ) 整理移项，令册：互世同时在等式两端同除以一c ，并令专。两端取极限得： 协) = 聊( 甜) 一互cf 。似+ x ) 蚯( 砷一鲁r 一y ) d g ( 少) 一軎r 一z ) 蜗( z ) ( 3 3 4 ) 对( 3 3 4 ) 式，我们在区间【0 ，嵋上积分得： o ) 一( o ) = 扰f ( 川甜一互cff 似+ x ) 蚯( 州“一睾fr 一y ) 幔( y ) 幽 一鲁ff f 嘶叫嵋( 州“， ( 3 3 5 ) 由于 f ) d 甜= f ( ，一材) d 材， ( 3 3 6 ) ff + x ) c 崛( x ) d “= f 【l j c o 厩( x ) 。( u + x ) d x d 材 = 肛一j c o e ( x ) f ( 材+ x ) d u d x = f 如- f v , ( x ) 【( f + z ) 一似x ) 】出， ( 3 3 7 ) 点上 一y ) d f 2 ( y ) d u = j ：【( o ) 互 ) 一似“) 最( o ) 】d 甜+ 上上一y ) f 2 ( y ) d y d u 似 一 = ( o ) f 最( ) d 甜+ fe ( y ) ( f y ) - o ( o ) d y = c f 2 ( y ) o ( t y ) d y ( 3 3 8 ) 广西大学硕士掌位论文保费随机的风险模型及双险种风险模型的破产问题研究 荚1 以地 一雕一 上j ：( “一z ) c u k ；( z ) d u 2 j ：e ( z ) o z ) d z ( 3 3 9 ) 将( 3 3 6 ) 一( 3 3 9 ) 代入( 3 3 5 ) 整理得： o f f ) = ( o ) + 軎f ( “) 妇一告 f 血一j c o 互( x ) 【o + x ) 一巾( 瑚出】 + 鲁f ( 1 一e ( y ) ) o y ) 妙+ 生cf ( 1 一只( z ) ) ( f z ) d z ( 3 3 1 0 ) n ( 3 3 1 0 ) 式即可得到( 3 3 1 ) 式，( 3 3 1 0 ) 式也可改写为 m o ) = ( o ) + 鲁f 巾。一x ) 一l + 互( x ) o + x ) 一互o ) ( x ) 】出 + 鲁j f o 驰) 瞅) 叫x ) l a x + 睾f ( 1 一易( y ) ) o j ，) 妙+ 量cf ( 1 一e ( z ) ) o z ) 出， ( 3 3 1 1 ) 令t 0 0 ，由0 ( o o ) = 1 及控制收敛定理得： l = ( o ) + 生f f j ( x x l 一( z ) ) 出+ 生鸬+ 生鸬 ( 3 3 1 2 ) c cc 对( 3 3 1 2 ) 式进行整理就可得到( 3 3 2 ) 式， 从而结论得到证明 群 推论3 3 2 若五，k ，z 1 均服从参数为口的指数分布，且，+ 口 0 ，则： m ) = 1 + c , e 叩， 脚=半，ci=等禁铲舻一m-4m2+4ce(cz+1)cla c 。一口i c 一 j z 证明若五，r l ，z l 均服从参数为口的指数分布，即其分布函数均可记为 ，( x ) = 1 一e - a x ，强度函数均司记为厂 ) = 口p 删由( 3 3 4 ) 式我们有 m ( ) = t o o ( u ) 一互cf 似+ 础抛。甜出一生cr 似一力伽。口y 妙一生cr 似一枷咄出 ( 3 3 1 3 ) 记 五( z ，) = f 。以+ 工) 伽删d x ，厶 ) = r “一加秽砂，i d u ) = o ( u - z ) a e 。毗出， 则( 3 3 1 3 ) 式可写成 - ( “) ：，西( ”) 一互，l ( 甜) 一生厶( ) 一2 兰厶( ”) ( 3 3 1 4 ) 广西大掌硕士掌位论文 保费随机的风险模型及双险种风险模型的破产问题研究 注意到对 ) ，l z ( u ) ，i a u ) 分别作而- - u + x ，y l = “- y ，五= “- z 换元后它们关于甜的导数与 目身的特殊关系即o ( “) = ( f ( 毛) 口p 啦而一电) = 口f ( 五) 口e - a ( x ：u ) 嵋一口( “) = 锄( 甜) + 口厶( 甜) ， 厶t ( “) = 口 ) 一口r ( m ) 口e - z ( u - y , ) d y i = 口( “) 一口厶 ) ， 厶t ( 砧) = 口 ) 一口r ( z 。) 口e - a ( u - z , ) 电= 口( “) 一a 厶( “) ， 由文献【3 2 】知( 甜) 具有可微性，故对( 3 3 1 4 ) 式两端关于甜求导并令，：盈二丝得： ) = 聊) + ，砷( 甜) 一鲁口( 甜) + 争口厶( “) + 軎口厶( “) ， ( 3 3 1 5 ) ccc 对( 3 3 1 5 ) 两端关于甜求导整理得： ( ) = 聊竹( “) + 脚t ( “) + 聊口2 ( “) 一鱼口2 ( “) 一垒口2 厶( ”) 一生口2 3 ( 甜) ( 3 3 1 6 ) cc c ( 3 3 1 6 ) - ( 3 3 1 4 ) x a 2 整理得： m ( u ) - m o ”( u ) - ( 1 a + a 2 砷u ) = 0 ( 3 3 1 7 ) 由微分方程的解法知( 3 3 1 7 ) 的特征方程为“3 一m 1 4 2 一( 1 a + 口2 ：0 解得其特征根为 u o = 0 , 坼：m - 4 五m 粤2 + 4 a ( a + 1 ) ，“：= 竺巫粤于是 ) 可表示 为：m ) = c o + c l p 叩+ c 2 p 掣，其中c 0 ，c l ，c 2 为常数由于当u 斗时，o ( “) = l ，而 l i i 0 ，u 2 0 于是c 2 = o ，但是，如果= 0 则( ) 为常数无实际意义，于是 l l i o 证明任意选定气贝, l j t o 丁为有界停时，由有界停时定理及全期望公式得： p 一= m ( o ) = e l m ( t o 丁) 】 = e m ( t o a t ) i t ，0 】尸( 丁 t o p ( t ，0 ) e m ( t oa t ) l t t o e ( t t o ) ( 3 4 1 ) 由于在t o o 时u + s ( t ) 岛) ，( 3 4 3 ) 以l 表示集合a 的示性函数，则 o e k 一月岛 t t o p ( t t o ) = e e 一碰7 l 厶r 砘) 】e 一胃u 白( ，( 1 ) o ) 】， 而o p - r u ( t e ) * i ( ( o ) ) 0 ) l 根据引理3 2 1 中l ，。i m 。u ( t ) = 0 0 a s 及控制收敛定理得： l i me e r u 叫t t o p ( t ) = 0 ，a s n - 西大学硕士学位论文保费随机的风险模型及双险种风险模型的破产问题研究 故在( 3 4 3 ) 中令一便可得： 少( 掰) = 尸( 丁 0 ，五 0 的齐次p o i s s o n 过程； 胛( ，) ，f o 是 l o ) ，f o 以概率p = 1 一g o 的稀疏过程，由文献【3 5 】知p o i s s o n 过程 在随机选择下仍为p o i s s o n 过程，故 吖( f ) ，t o 是参数为 p 的齐次p o i s s o n 过程； 五，i = 1 ，2 ， i ，i = 1 ，2 ， ， 互，i = l ，2 ，) 是取值于【o 佃) 上的相互独立同分布的随机 变量序列，且假设 m ( f ) ，t o ) ， 2 p ) t 0 ， 五，i = 1 ，2 ， ， z ，i = 1 ，2 ，) ， 互，i = 1 ，2 ， - “、 2 【f ) 甲( ，) 相互独立令彳( r ) = z 五，w ) = r ，z ( r ) = 互，o ) = x ( f ) 一z ( f ) ，