（控制理论与控制工程专业论文）广义连续系统与广义离散系统的鲁棒控制.pdf

中文摘要 广义系统由于其深刻的实际背景已引起广泛的关注，许多正常系统的有 关结论被相继成功的推广到了广义系统。本文针对当前广义系统理论的研究 现状，在深入研究广义系统理论的基础上，系统的研究了广义系统的鲁棒控 制理论，提出了一些新的解决问题的办法。 本文的主要内容如下： ( 一) 针对广义连续系统，研究了其鲁棒控制和鲁棒日。控制问题。利用 了“广义二次稳定 及“广义二次可镇定”的概念，得到了所考虑系统鲁棒 镇定的输出反馈控制律；设计了鲁棒日。状态反馈控制律，分析表明，对所有 容许的不确定性，所设计的鲁棒h 。状态反馈控制律保证闭环系统正则、无脉 冲、稳定且满足一定的h 。性能指标。 ( 二) 针对广义离散系统，研究了其鲁棒控制和鲁棒h 。控制问题。利用 线性矩阵不等式的方法，得到了该系统鲁棒镇定的状态反馈控制律；设计了 鲁棒h 。状态反馈控制律，分析表明，对所有容许的不确定性，所设计的鲁棒 h 。状态反馈控制律保证闭环系统正则、因果、稳定且满足一定的日。性能指 标。 ( 三)应用m a t l a b 软件，对所研究系统的数学模型进行仿真，通过仿真 证明了本文中所得结果的正确性。 关键词：广义连续系统；广义离散系统：鲁棒镇定；h 。控制；输出反馈； 状态反馈；系统仿真。 a b s t r a c t d u r i n gt h ep a s ty e a r sag r e a td e a lo f i n t e r e s th a sb e e nd e v o t e dt ot h es t u d yo f g e n e r a l i z e d s y s t e m sd u et ot h e i ra p p l i c a t i o n si nr e p r e s e n t i n ga n dr e s o l v i n gp r o b l e m sc o n c e r n i n gm a n y n a t u r a l l yo c c u r r i n gs y s t e m s ag r e a tn u m b e ro f r e s u l t sa n dn o t i o n si ns t a t e - s p a c es y s t e m sh a v e b e e ne x t e n d e dt og e n e r a l i z e ds y s t e m s i nt h el i g h to f r e c e n tw o r ki nt h et h e o r yo f g e n e r a l i z e d s y s t e m sa n dt h a to fr o b u s tc o n t r o lf o rg e n e r a l i z e ds y s t e m s ，t h i sd i s s e r t a t i o np r o v i d e sa s y s t e m a t i cs t u a yo nt h et h e o r yo f r o b u s tc o n t r o lf o rg e n e r a l i z e ds y s t e m s s o m en e wr e s u l t so f r o b u s tc o n t r o lf o rs t a t e - s p a c es y s t e m sh a v e b e e ne x t e n d e dt og e n e m l i z e ds y s t e m s 1 r 1 1 em a i nc o n t e n t sa n dr e s u l t si nt h i sd i s s e r t a t i o na l ea sf o l l o w s ： 1 ) t h ep r o b l e m so fr o b u s tc o n t r o la n dr o b u s th 。c o n l r o lf o rg e n e r a l i z e dc o n t i n u o u s s y s t e m s a r es t u d i e d ar o b u s to u t p u tf e e d b a c kc o n l r o l l e ro f g e n e r a l i z e ds y s t e m si sd e r i v e dv i a t h en o t i o no fg e n e r a l i z e dq u a d r a t i cs t a b i l i t ya n dg e n e r a l i z e dq u a d r a t i cs t a b i l t z a b i l i t y w ea l s o d e v e l o p ar o b u s ts t a t ef e e d b a c kh 。c o n t r o ld e s i g n , w h i c hg u a r 矾t e e st h a tf o ra l la d m i s s i b l e u n c e r t a i n t i e st h eg e n e r a l i z e ds y s t e mi ss t a b l e ，r e g u l a r , i m p u t s e - f r e ea n ds a t i s f y i n gh 。n o r m c o m w a i n t 2 m 圮p r o b l e m so fr o b u s tc o n t r o la n dr o b u s t 以c o n u o lf o rg e n e r a l i z e dd i s c r e t e s y s t e m sa r es t u d i e d ar o b u s ts t a t ef e e d b a c kc o n l r o u e ri sd e r i v e dv i am a u i xi n e q u a l i t i e s w e a l s od e s i g nar o b u s ts t a t ef e e d b a c kh 。c o n t r o l l o r , w h i c hg u a r a n t e e st h a tf o ra l la d m i s s i b l e u n c e r t a i n t i e st h eg e n e r a l i z e ds y s t e mi s s t a b l e ，r e g u l a r , c a u s a la n ds a t i s f y i n gh 。n o r m c o n s w a i n t 3 ) f i n a l l y , s o m ee x a m p l e sa r eg i v e nt oi l l u s t r a t et h ed e s i g np r o c e d u r e sa n dt h es i m u l a t i o n r e s u l t sh a v es h o w nt h en i c ec o n t r o lo ro b s e r v a t i o np e r f o r m a n c e k e yw o r d s ：g e n e r a l i z e dc o n t i n u o u s s y s t e m s ；g e n e r a l i z e dd i s c r e t es y s t e m s ；r o b u s t s t a b i l i z a t i o n ；h 。c o n t r o l ；o u t p u tf e e d b a c k ；s t a t ef e e d b a c k ；s y s t e ms i m u l a t i o n 独创性声明 本入声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 、切 学位论文作者签名： 力晨 签字目期：2 助多年2 2 - 月护同 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤姿盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤垄态堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 疡展 签- - 7 - 同期：驯年脏月pf ：j 导师签名： 签字r 期：锄繇年fl 月f o r u i 一 第一章绪论 第一章绪论 1 1 广义连续系统和广义离散系统的研究背景 随着现代控制理论的深入发展，以及它向其他学科诸如航空航天、卫星 定位、化学工程、生物医学、能源、网络、电力、经济和通讯等应用领域的 渗透，一类具有广泛性质的系统已经出现。它与我们通常讨论的正常系统： 去叫w ) ， y = g ( x ，u ，f ) ， 相对应，这类系统可描述为 e ( 工，f ) 车：f ( x ，甜，f ) ， d t y 2 g i z ，z ，j ，( 1 1 2 b ) 其中，x 、u 和t 分别表示状态变量、输入变量和时间变量，f ( x ，u ，) 和 g ( x ，甜，t ) 是石、u 和f 的刀维向量函数；而e ( x ，t ) r ”。当r a n k e ( x ，f ) 】_ 以时， 通过适当的数学运算，系统( 1 一卜2 ) 可变换成系统( 1 - 1 - 1 ) ，即正常系统。 当r a n k e ( x ，纠= ， 上发表文章，对线性广义系统的解的存在性和唯 一性等问题展开研究。从此，拉开了对广义系统研究的帷幕。 在广义系统理论发展阶段的初期，即二十世纪七十年代，研究进展缓慢， 除了上述开创性成果之外，这一时期的突出成绩还有d g l u e r b e r g e r 关于非 线性广义系统的研究。进入八十年代，越来越多的控制理论工作者对广义系 统产生了浓厚的兴趣，广义系统理论也进入了一个新的发展阶段，从二十世 纪八十年代初到八十年代末的十年中，广义系统理论取得了蓬勃地发展，这 一阶段的代表性成果有：d c o b b 提出了广义系统的能控性、能观性和对偶原 理，进一步，d a i l 将其推广到离散广义系统；c y a n g 等提出了广义系统的 最小实现问题；l ，r ，f a h m y 等进行了观测器的设计；l r f l e t c h e r 等分别研 一 一 一； 一 十x，i1l，l 盯 l 一 哝 。 d一，o 0 ；o d i i +x 0 0 o ；o 0 0 o ：1 o o 1；l o 1 l；l 第一章绪论 究了广义系统的干扰解耦及特征结构配置等问题；d a i l 分别关于连续及离散 广义系统设计了动态补偿器；d j b e n d e r 等分别关于连续和离散广义系统研 究了线性二次型最优调节器问题；j l i n 和x l i n 分别讨论了时变和时不变广 义系统的最优控制问题。综合上述各基本问题的一系列研究成果，d a i l 于 1 9 8 9 年出版了广义系统的第一本专著，系统地介绍了广义系统的基础理论， 从而标志着广义系统的基础理论已经形成，广义系统理论的研究进入了一个 新的发展阶段。 在广义系统理论的最后发展阶段，即从二十世纪九十年代初至今，已经 过了十多年的发展，广义系统理论的研究从基础正向纵深推进，一方面是进 一步完善与丰富现有的广义系统理论，另一方面是拓宽其研究领域，多方面 多角度的发掘广义系统更深层次的本质特性，并提出新的设计方法，涉及到 了从线性到非线性，从连续到离散，从确定性到不确定性，从无时滞到时滞， 从线性二次型最优控制到h ，和h 。控制等各个专题，所取得的结果都是颇为 丰富的。 广义系统理论的研究虽然已得到极大的发展并在多方面取得了突破性进 展，但是，一个令人遗憾的事实是，迄今为止有关广义系统的结论大多是在 假设其参数已知的情况下获得的，也就是说，假定广义系统的模型是能够精 确得到的。但在实际控制问题中，由于建模误差、量测误差、线性近似化、 工作环境变化等因素作用下，系统的不确定性是客观存在的，这些不确定性 可以表现为不确定的模型参数、系统摄动、测量噪声、外部干扰及未建模动 态等。因此，基于精确模型基础上所得结果在实际中的应用有时是不尽如人 意的。所以，为了使广义系统理论能在工程实践中得到更加有效的利用，同 时，也为了使广义系统理论得到进一步的完善与深化，研究广义系统的鲁棒 控制理论就显得十分必要；事实上，这也是当今广义系统理论研究中的一个 热门课题。 所谓鲁棒性( r o b u s t n e s s ) ，粗略的讲就是指系统的性能对不确定性的“强 健”程度。这里所说的不确定性并不意味着一无所知或变幻莫测，而是指对 系统的某些部分了解不全面，只知道片面的不完整信息。通俗的说，鲁棒控 制问题就是如何将这些已知的不完整信息利用到系统设计中。n 3 1 事实卜，鲁 棒控制问题早在经典控制理论巾就引起了重视。早在1 9 2 7 年，b l a c k 在一项 关于真空管放大器的专利中就涉及了不确定性因素对系统品质的影响“。在 这篇被认为是研究鲁棒控制问题的最原始文献里，b 1 a c k 首次明确地提 h 了用 高增益来抑制真空管特性变化对放大器精度的影响。第一次在论文中明确使 用鲁棒控制这一术语的是1 9 7 1 年d a v i s o n 的论文引，而首先将这一术语写进 第一一章绪论 论文标题的是1 9 7 4 年p e a r s o n 等人的论文n 引。对广义系统来说，早在八十年 代中期，有关学者就对其在参数摄动下某些系统性能的鲁棒性进行了研究。 具体地说，m e r t z i o s n 钉首先于1 9 8 4 年研究了广义系统传递函数阵中极点及系 数对参数扰动的敏感性，并且提出了个计算所谓的“逼近的传递函数阵” 的递推公式，文n 8 1 利用条件数来衡量标称广义特征值与在摄动下的广义特征 值之间的距离，并由特征值敏感度的概念提出了一较好的算法用于构造状态 反馈增益阵，使得闭环系统对摄动不敏感，进一步，文n 们引入了“弦度量 概念来代替文n 引提出的条件数来重新衡量标称广义特征值与在摄动下的广义 特征值之间的距离，从而改进了文的有关结论并使其在实际应用中更具可操 作性，但对在摄动情形下广义系统的稳定性问题仍未提出合适的分析手段。 广义系统在参数摄动( 变化) 时其稳定性保持的可能性( 即所谓的鲁棒 稳定性分析) 是近年来人们感兴趣的一个研究课题。这是因为在系统的各种 性能中，稳定性是广义系统最重要的品质之一，而系统不稳定因素的出现对 系统在实际中的存在有时是灾难性的。考虑到一个实际控制系统在多种因素 作用下可引起系统参数的扰动，而此时系统的稳定性就有可能遭到破坏，这 就促使人们对广义系统的鲁棒稳定性进行研究。另一方面，考虑到系统中存 在的控制，应用控制来实现系统的鲁棒稳定性，即鲁棒镇定也成为广义系统 鲁棒控制理论的一个新的研究内容。 文幢叫首次对广义系统的鲁棒稳定性及鲁棒镇定问题进行了研究。该文指 出，对广义系统鲁棒稳定性的分析和鲁棒镇定是相当复杂的。首先，广义线 性定常系统一般有三种模：有限动态模、无限动态模和无限非动态模。无限 动态模可能产生脉冲行为，而脉冲行为对系统有破坏作用，但不影响系统的 稳定性n 训。因此，一个稳定的广义系统可以含有脉冲模，也可以不含脉冲模。 但当系统中存在参数扰动时，广义系统的鲁棒稳定性将呈现出其独有的特性。 对这点可分为两种情况进行讨论。 假设标称广义系统为： e k = a x( 1 2 1 ) 并假设( 1 - 2 一1 ) 正则且稳定。 1 矩阵存在参数扰动时，( 1 2 1 ) 不具有鲁棒稳定性( 特殊情形的参 数扰动除外) 。事实卜，若取 e = 旧一一斗a e = m ， 则可验证，此时标称广义系统稳定，但对于任意的占 0 ，( e + 业) j = a x 都不 稳定。 第一章绪论 2 广义系统( 卜2 1 ) 稳定，但存在脉冲模，则当彳存在参数扰动，e 不 变时，( 卜2 1 ) 也不具有鲁棒稳定性( 特殊情形的参数扰动除外) 。事实上， 若取 _ 1 e ：l0 l o | - - 1 彳= l0 l o； ， 厂0 l a a = 10 l l0 l 0 o l ool ， i 一占0i j 则可验证，此时标称系统稳定，且存在脉冲模，但对于任意的占 0 ， e k = ( 彳+ 鲋h 都不稳定。 另外，文他们还指出，在广义系统中，参数的扰动可能破坏系统的正则性 及系统的结构。而且，在某些情形下，广义系统的正则性及脉冲模对参数的 变化极其敏感，也就是说，即使标称广义系统是正则且无脉冲模，但当系统 参数哪怕有微小的摄动，也会使系统的正则性遭到破坏并使系统出现脉冲模。 因此，在广义系统的鲁棒稳定性分析中，一方面要考虑其鲁棒稳定性， 另一方面要考虑系统的正则性和脉冲模的存在性，而在正常系统下，就不存 在后两个问题；对应的，在研究广义系统鲁棒镇定问题时，不仅要考虑闭环 系统的鲁棒稳定性，还要考虑其正则性和脉冲模的消除。所以，对广义系统 来说，其鲁棒稳定性分析及鲁棒镇定要比正常系统复杂的多。 在上述分析的基础上，文瞻们考虑了当摄动矩阵中各个元的摄动界是可以 得到时广义系统的鲁棒稳定性及鲁棒镇定问题：文乜将结构奇异值理论应用 于广义系统的鲁棒稳定性分析中；文伫2 利用状态反馈进行了鲁棒控制器的设 计；文心3 1 研究了具有。范数界的广义系统的鲁棒镇定问题；文乜们对广义系统 设计了变结构控制器，实现了广义系统的鲁棒镇定；文幢5 。3 引利用互质分解等方 法对广义系统的分析和研究做了大量具有开创性的工作。 从上面的论述可看出，广义系统鲁棒控制器的设计方法是多姿多彩的， 并且所得结果大多将正常系统的相关结果作为其特例而包含其中，这一点也 是我们所希望的，因为前已指出正常系统仅是广义系统的一种特殊形式而已。 这里需要指出的是，前面所叙述的研究结果都是在假定系统不存在外部干扰 的情形下得到的。实际情形往往是：一方面系统的参数存在扰动，另一方面 系统存在外部干扰且干扰的统计特性难以得到。此时，就需要引入新的概念 与方法进行鲁棒控制的研究。 对正常系统来说，当系统存在非结构不确定性及外部干扰且干扰的统计 特性难以得到时，山加拿大学者g z a m e s 于1 9 8 1 年提出的以控制系统内某些 信号间传递函数的。范数为优化指标的没计思想，即所谓的日。优化控制， 引起了控制界越来越多的关注。研究表明，诸如灵敏度极小化问题、鲁棒镇 第一章绪论 定问题、混合灵敏度优化问题、跟踪问题、模型匹配问题等许多控制问题都 可统一于标准的日。控制问题。日。控制的最大特点是具有较强的鲁棒性及抑 制扰动能力。在h 。控制的发展过程中，值得一提的是，“2 r i c c a t i ”方程的 标准日。控制问题的解法和线性矩阵不等式( l m i ) 方法的提出都大大简化了 h 。控制问题的求解，从而使日。控制成为分析与设计不确定系统的强有力工 具。 另一方面，随着计算机技术的飞速发展和工业自动化等领域的实际需要， 控制算法的实现经常要利用数字计算机。因此，人们越来越多的认识到研究 与计算机密切相关的广义离散系统的重要性。对正常离散系统，国内外许多 专家、学者在解的基本理论、稳定性、能控性、能观性、极点配置、状态观 测器及鲁棒稳定性等方面做了系统的研究并取得了卓有成效的成果，但对于 广义离散系统，由于不仅必须要考虑其不连续性和正则性，同时还要考虑其 非因果关系，因而给研究带来相当大的困难。文b 5 1 考虑了广义离散系统的鲁 棒稳定性和鲁棒镇定问题；张庆灵m 3 将l y a p u n o v 判稳方法应用于广义离散系 统，提出了针对广义离散系统的l y a p u n o v 稳定判据和控制方法；c h e n 旧、徐 胜元b 引针对一类不确定广义离散系统，分别提出了鲁棒稳定界的求取方法； z h a n g 阳引以线性矩阵不等式的形式给出了广义离散系统的鲁棒稳定界；l i n h 训 针对广义离散系统提出了稳定反馈控制器的设计方法；姚波在研究广义离 散系统渐进稳定的基础上提出了渐进稳定控制方法；谢湘生“2 3 结合日。控制 方法，以线性矩阵不等式的方法设计控制器使闭环系统在稳定的前提下满足 。指标。 虽然广义系统的鲁棒控制理论己取得了一定的研究成果，但已有的成果 普遍存在着应用范围不广( 如无法对付时变参数扰动等) 、设计方法较为复杂 ( 如设计过程存在系统矩阵的分解等) 、研究领域比较局限( 如主要集中在连 续系统) 的缺点。因此，为了进一步深化与完善广义系统的鲁棒控制理论， 同时也为了改善已有的设计方法，必须拓宽现有的研究领域，提出新的概念， 寻求新的分析工具，这也正是本文研究的出发点。 1 3 广义系统的研究方法 截至目前，广义系统的研究思路大多是参照已有的正常系统理论向广义 系统推广和移植，其研究方法主要有几何方法、频域方法和状态空间方法。 几何方法是将广义系统化为状态空间中的几何问题进行研究，它的优点是对 系统的结构有着独到的刻画，例如广义系统的能控性结构、能控性子空间以 第一章绪论 及不变子空间的刻画等。而且，几何方法简洁明了，避免了状态空间方法中 大量繁杂的矩阵推导运算，且所产生的结果都可化为矩阵运算。其缺点是对 系统的鲁棒性问题的分析无能为力。多变量频域方法( 简称频域法) 是对状 态空间描述的广义系统采用频率域的系统描述和频率域的计算方法进行研 究。频域法具有物理直观性强，便于设计调节等优点。至于状态空间方法( 或 称时域方法) ，是对状态空间描述的广义系统主要采用矩阵运算和矩阵变换的 计算方法，直接对时域系统进行研究，是广义系统理论中最常用的方法。状 态空间方法所刻画问题的方式简洁直观，所得结果清晰明了，且有相对应的 软件支持而适宜在计算机上进行运算，因此该方法应用最广，已深入到系统 分析与综合的方方面面，深为控制工程师们所偏爱。 1 4 本文的结构和所做的主要工作 本文的主要工作分为两部分：一部分讨论了广义连续系统的鲁棒控制， 另一部分讨论了广义离散系统的鲁棒控制。内容安排如下： 第一章为绪论，主要介绍了广义系统的研究背景、发展和研究现状，并 指出了本文的结构。 第二章为广义系统的基本理论，主要介绍了广义连续系统和广义离散系 统的基本理论，为以后章节的研究给出了必要的理论准备。 第三章为广义连续系统的鲁棒控制，讨论了广义连续系统鲁棒稳定、鲁 棒镇定及鲁棒。控制的问题，并给出了相应的判据。 第四章为广义离散系统的鲁棒控制，讨论了广义离散系统的鲁棒稳定、 鲁棒镇定及鲁棒h 。控制的问题，并给出了相应的判据。 第五章为广义系统的仿真。 第六章为本文的总结。 第二章广义系统的基本概念和理论 第二章广义系统的基本概念和理论 2 1 广义连续系统的基本理论 2 1 1 广义连续系统的基本特征 考虑下式所示的线性时不变连续系统 臌( f ) = a x ( t ) + b u ( t ) ( 2 一卜l a ) y ( f ) = c x ( t ) ( 2 一卜l b ) 这里x r ”为状态变量，”r 4 为控制输入变量，y r 为量测输出变量，e 为奇异阵，e ，彳，占，c 为适维矩阵。有时为了叙述方便，我们可将系统( 2 1 - 1 ) 简记为陋，彳，b ，c ) 。 定义2 1 1 n 2 1 如果m 和n 为方阵，且存在常数s o ，使d e t ( s o m 一) 0 ， 则称矩阵束( s m 一) 是正则的。 定义2 1 2 2 若矩阵束( 妇一彳) 正则，则称广义系统( 2 - 1 - 1 ) 是正则的。 我们对( 2 - 1 1 ) 进行l a p l a c e 变换，则 x ( s ) = ( s e 一彳) 一睢k ( o 一) + a u ( s ) j ( 2 1 2 a ) y ( s ) = c x ( s ) ( 2 一卜2 b ) 因此，为了使系统( 2 一卜1 ) 对于所有给定的e x ( o 一) 和l f ( s ) 能有唯一解，假定 系统( 2 1 - 1 ) 是正则的，也就是矩阵( 姬一彳) 是非奇异的。 由此，我们有如下定理： 定理2 1 1 广义系统( 2 - 1 1 ) 对于给定的允许初始状态存在唯一解的充 分必要条件是该系统正则。 定理2 1 2n 3 1 矩阵束( s m n ) 正则的充分必要条件是存在两个可逆矩阵 p 和q ，使 咖惦b0 7i ( 2 - 1 - 3 ， 其中：m l r “，i r 掣“，n 。为幂零矩阵，即存在正整数h 使得y 0 ， ? = 0 ；刀l + 刀2 = 胛。 定义2 1 3 2 1 如果存在可逆矩阵p 和q ，使 e = p e q ，a = p a q ，b = p b ，c = c q ， 则称广义系统( e ，彳，b ，c ) 和( 售，彳，b ，0 ) 是受限等价的。 广义系统的受限等价性具有自身性、对称性和传递性。这种受限等价性， 不改变系统的正则性为研究广义系统的解的结构问题带来了方便。 第二章广义系统的基本概念和理论 下面介绍两种最常见的广义系统的受限等价形式。 ( 1 ) 第一种受限等价形式 因为广义系统( 2 - 1 - 1 ) 正则，那么由定理2 1 2 可知，存在可逆矩阵p 和q ，使( e ，a ，b ，c ) 受限等价于： 噼冰0 心，eg 】 ( 2 - 1 - 4 ) 其中 p e q = 乞品 ，p 4 q = 舌，二， ，尸8 = 复 ，c 。q = p 。c ：， a ，为，阶实矩阵，为指数为h 的幂零矩阵；其他矩阵分块具有相应的阶 数。令石r = i x 。x 2r q 7 ，得到 j 1 ( t ) = a l j i ( t ) + b l “( f ) ，y l ( f ) = c 1 x l ( t ) ( 2 1 5 a ) m 2 ( t ) = x 2 ( f ) + b 2z ，( f ) ，y 2 ( f ) = c 2 x 2 ( f ) ( 2 1 5 b ) y ( t ) = y l ( f ) + y 2 ( f ) ( 2 1 5 c ) 这种分解称为广义系统的标准分解，并称( 2 一卜5 a ) 为慢子系统，( 2 一卜5 b ) 为快子系统。 性质1 n 2 3 当“= 0 时，标称广义系统( 2 - 1 - 1 ) 无脉冲的充分必要条件是 n = 0 。 ( 2 ) 第二种受限等价形式 存在可逆矩阵置和q l ，使( e ，a ，b ，c ) 受限等价于第二种形式： j l ( t ) = a l l x l ( t ) + a 1 2 x 2 ( f ) + b l 甜( f ) ( 2 - 1 6 a ) 0 = a 2 l x l ( f ) + a 2 2 x 2 ( t ) + b 2 “( f ) ( 2 1 6 b ) y ( t ) = c l ( t ) + c 2 x 2 ( f ) ( 2 1 6 c ) 其中 p , e q = 州q = 陵甜忙阱= c l c 2 】 性质3 n 2 1 当u = 0 时，标称广义系统( 2 - 1 - 1 ) 无脉冲的充分必要条件是 d e t ( a 2 2 ) 0 。 下面就把广义系统有别于正常系统的显著特征表述如下： ( 1 ) 广义系统的自由度下降为q = r a n k e ，即依赖于x ( o 一) 的独立值的个数比 正常系统下降了刀一q 个。r a n k e 被定义为广义系统的广义阶数。 ( 2 ) 广义系统的传递函数可以写为： g ( s ) = c ( s e 一彳) b = g l ( s ) + g 2 ( s ) ( 2 1 7 ) 第二章广义系统的基本概念和理论 g i ( 5 ) = c i ( s l a 1 ) 一b i ，g 2 ( s ) = c 2 ( s n 一，) b 2 ( 2 1 8 ) 那么，由式( 2 1 7 ) 和( 2 1 - 8 ) 可以看出，广义系统的传递函数由两 部分构成：一部分是g ( s ) ，由慢子系统决定的，且是严格真有理分式；另一 部分是多项式g ：( s ) ，由快子系统决定的，一般来说，g ：( s ) 0 。显然广义系 统的传递函数是有理的，但不一定是真的，这是广义系统的特性之一。 ( 3 ) 由于q = r a n k e 刀，则d e g d e t ( s e 一彳) 】= ，q 刀，其中d e g ( ) 表示( ) 的 次数。 所以广义系统( 2 1 - 1 ) 除了具有，个有限极点之外，还具有”一厂个无穷 极点，然而独立的只有q r 个，它恰恰是多项式矩阵( 姬一爿) 在无穷远处降秩 模的个数。因此，广义系统除了具有与( s e a ) 有限零点有关的，个指数模外， 还具有与( s e a ) 无穷远零点有关的q 一，个脉冲模( 动态无穷远模) 。广义系 统的脉冲模实际对应于矩阵( 姬一彳) 在无穷远处的降秩模。若广义系统具有脉 冲模，( 妲一彳) 一显然是非真有理的。 ( 4 ) 广义系统( 2 1 - 1 ) 的解为 工。，= d e 却毛( 。) + 上：v - r ) b l u ( r ) d 1 一 善h - 1 万，+ ，恐c 。，：篓n i b 2 u v ) ( o ) c 2 一一9 ， 这时只有当初始状态j c 0 满足 工c 。，= q 。之? 一 善h - i 万c 订“- 工加? 篓，b ：甜。，。， 时，( 2 1 9 ) 才可能有解，把满足( 2 一卜1 0 ) 的初始状态x 。称为允许初始状 态。从式( 2 一卜9 ) 可以看出，如果胍，( 0 ) 0 或甜( f ) ( 或其微分) 不连续，脉 冲项就会出现。一般都假定z ，( r ) 充分连续可微，因此，脉冲项的出现就取决于 是否为零矩阵。若n = 0 ，则r a n k e = ，广义系统只有，个指数模，却没有脉 冲模。此时，刀一r a n k e 个无穷远模都是非动态的；若n 0 ，则广义系统除 了具有，个指数模以外，还具有r a n k e 一，个脉冲模( 动态无穷远模) 和刀一r a n k e 个非动态无穷远模。广义系统的脉冲模，以工程的角度讲，存初始时刻产生 的脉冲运动具有很大的冲击作用，会使系统停止运行，甚至破坏整个系统。 对于广义系统而言，消除脉冲模与使系统稳定性同等重要。 2 1 2 广义连续系统的稳定性 第二章广义系统的基本概念和理论 要设计一个控制系统，我们往往对其特性有许多要求，在这些要求中， 最重要也是最基本的便是其稳定性。但对于稳定性，从不同角度有不同的定 义方法。下面就给出有关广义系统稳定性的几个概念。 考虑如下广义系统 丘= a x ( t ) ( 2 1 11 ) 其中，x ( t ) r ”为系统的状态变量：e ，a r “”为实数矩阵，e 为奇异阵，假 定d e gd e t ( s e 一彳) = ， t 。的任何时刻，系统状态值用范数来定义是有界的。条 件( 2 ) 说明随时间t 寸系统一定要趋近其平衡状态。 定义2 1 5 b 钉称广义系统( 2 - 1 - 1 1 ) 是稳定的，如果存在m 0 ，a 0 ， 使得对系统( 2 一i 一1 1 ) 的任意一个解x ( f ) 都有帜，) i i 0 ，都存在解矿，满足广义l y a p u n o v 不等式 v r a + a r v 0 2 2 广义离散系统的基本理论 2 2 1 广义离散系统的基本特征 考虑如下广义离散系统： e x ( k - i - 1 ) = 彳工( 七) + b u ( k ) ( 2 - 2 一l a ) y ( 七) = c x ( k ) ( 2 2 一l b ) 其中，x ( k ) r ”，u ( k ) r ”和y ( k ) r 7 分别是系统在k 时刻的状态、控制输入 和量测输出变量：e ，a ，b ，c 是适维常数矩阵，并设r a n k e 疗；为保证系统 ( 2 - 2 1 ) 解的存在唯一性，设该系统是正则的，即d e t ( z e 一彳) 0 。 若系统( 2 - 2 1 ) 是正则的，则由定理2 1 2 知，存在可逆矩阵p 和q ， 使( 2 2 1 ) 受限等价于： ( k + 1 ) = a l x l ( k ) + b l u ( k ) ( 2 2 2 a ) n x 2 ( k + 1 ) = x 2 ( 七) + b 2 u ( k ) ( 2 2 2 b ) y ( k ) = c i ( k ) + c 2 x 2 ( 七) ( 2 2 2 c ) 其中 尸e q = 乞品 ，p a q = 舌乏 ，尸曰= 主 ，c q = k jc ：，z c 足，= q 。工x ：l ( 。k 庀) ， 刀。+ ，2 = 刀，是幂零矩阵，其幂零指数记为，。 与广义连续系统对应，称子系统( 2 - 2 - 2 a ) 为慢子系统，( 2 - 2 2 b ) 为快 子系统。 第二章广义系统的基奉概念和理论 慢子系统( 2 - 2 - 2 a ) 是一个正常离散系统，它的解为 五( 七) = 彳h ( o ) + 矿b 。z f ( f ) ( 2 2 3 ) 这是一个前向递推方程，它表明任一时刻k 的分状态( k ) 由初始条件( 0 ) 和 它前面各时刻的控制输入“( 魂0 i 七一1 唯一确定。这种关系称为因果关系。 工2 ( 七) = 一n 。b 2 “( 七+ f ) ( 2 2 4 ) 这也是一个递推方程，与( 2 - 2 3 ) 不同的是它是一个后向递推方程，需要k 时 刻后直到k + ，一1 各时刻的输入才能确定k 时刻的状态分量而( k ) 。 联合( 2 - 2 3 ) 与( 2 - 2 - 4 ) 易知系统( 2 - 2 - 1 ) 的一般解为m 1 工c 七，= q 彳? 工l ( 。) + 篱彳? 一一b t 甜( f 一f 艺i - - o ，o 。七十， c 2 2 5 ， 众所周知，正常离散系统的任一时刻足的状态由初值和a 时刻以前各时刻 广义离散系统却并非如此：首先任一时刻k 的