（应用数学专业论文）二阶脉冲微分方程边值问题正解存在性.pdf

t ： ，1 ：o ， 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其 他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名： i 南独一 日期：鎏也! 、z 2 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件 和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段 保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 南遗 指导教师签名：幽 日 期：捌皿拿址日期：j 害绍炱2 乙 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址； 电话： 邮编： o j d r ， 摘要 本文将运用锥不动点指数理论研究下面二阶脉冲微分方程边值问题正解的存在性和多重性， ，7 ( f ) + f ( t ，) ) = 0 ， a x l ，：“= i , ( x t t k ) ) ， 一，i r - 堆= 以( 珞) ) ， x ( o ) = 0 ，一( 1 ) = 0 ， ，t k ，t j = 0 ，1 】， k = 1 ，2 ，p ， 其中0 t l t 2 1 ，j = 【0 ，1 ，r + = 【0 ，+ 】，f c ( j x r + , r + ) ，厶，以c ( 尺+ ，r + ) ，a x l , = “= 颤砖) 一x ( t d ，6 x l r ：“= ( 礞) 一，( 譬) ，这里x ( t - d ，“瞄) 和x ( t d ，一( 奠) 分别是工( f ) 及，( 力在t = t k 点 的左右极限 关键词：脉冲；边值问题；锥不动点指数；正解 a b s t r a c t t h i sp a p e ru s et h et h e o r yo f f i x e dp o i n ti n d e xo nc o n e st os t u d yt h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o n sf o r t h ef o l l o w i n gs e c o n do r d e ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t t k ，t j = 【0 ，1 ， k = 1 ，2 ，p ， w h e r e0 t l t 2 t p 0 ，j = ( o ，1 ) ，0 t l f 2 f m 1 ，= 八 f l ，t 2 ，k1 、，甜 玎d ，0 0 力厶： 八毗钡k 叫鲥掣出删 东北师范大学硕士学位论文 然而在文献【2 2 的研究中，方程的解出现了错误，所以基于方程的解而得到的一些结 论也是不正确的 受以上论文的启发，本文将运用锥不动点指数理论研究下面二阶脉冲微分方程边值问 - 题正解的存在性和多重性， ，( f ) + 八f ，颤f ) ) = 0 ， f t k ，- ，= 【0 ，1 】， 掣譬2i k ( 磐? ：、 拈1 2 ，p ， ( 1 1 ) 一a ，i ，“= 以( 颤如) ) ， 、。 颤o ) = 0 ，一( 1 ) = 0 ， 其中0 f l t 2 知 1 ，= 【0 ，1 ，r + = 0 ，+ o o 】，f c ( j x r + , r + ) ，厶，1 k c ( r + ，r + ) ，缸b = “) 一“石) ，“i 愀= ，( 砖) 一一( 巧) ，这里颤百) ，颤t ) 和r ( 百) ，工7 ( 礞) 分别是f ) 及，( f ) 在f = 玖 点的左右极限 本文总共分为四章，具体框架如下：第一章简述了脉冲微分方程的历史背景和近几年 的研究现状；第二章给出了用于研究方程( 1 1 ) 的基本引理，主要包括方程( 1 1 ) 的解的等价 形式，锥的定义以及锥不动点指数理论；第三章讨论了方程( 1 1 ) 正解的存在性，该章主要 运用锥不动点指数理论，得到了方程( 1 1 ) 正解的存在性定理以及相应的推论，并对本文定 理给出了应用举例 2 2预备知识 本章给出一些基本引理，为下一章研究方程( 1 1 ) 的解的存在性提供基本理论依据 为了研究方程( 1 1 ) 的解，我们定义脉冲空间如下 2 1 】：，= j t l ，f 2 ，知 ，令 p c 7 ( z 尺) = f ) ；x i ( “。“，) ，工，l ( “，珏+ 1 ) c ( t k ，瑶牟1 ) ，x ( t k ) = x ( t k ) ，工7 ( 百) = x m ) ，j 缸砖) ，工7 ( 砖) ，k = 1 ，2 ，p l ， 具有范数i ixi i p c m a x i ixi i ，i i ，l i e d ，则p c 7 ( z r ) 是b a n a c h 空间，这里 工l i = s u pi x ( t ) l ，x 7i l e c = s u pi x ，( f ) 1 t 【o i 】te o 1 】 在下面的研究中，五。= ；为混合边值问题的第一特征值，妒，( f ) = s i n 三f 为相对应的特 征向量，从而妒；( ，) = 三c 。s 三， 为了叙述方便，我们引入如下符号： w k ( x ) = 驴1 ( ) 以( 拗( 珏) ) + # 1 ( t k ) i k ( x o ( t k ) ) ， j 5 = l i ，m 。i n + f 坨m 【。i ，n l 】f t t _ , x ) ， 加l i m i n fm i ，n 。，掣， w o ( k ) ：l i r a i n f 监盟t o ( k ) ： 2 枷+ 孚， 2 ( 助：l i r a wk(x)lirainf ，k ( 幼：=，k ( 幼= x - - b + x 尸：l i m s u pm 照型，w o ( 七) ：l i i i l s u p 业， 。x - - * o + t c o 1 工x-,o+ 工 o - = t lm 。l n 七 t k + m k l i ，r a 。o + i n fi k 工( x ) ，而= l i ，m o + i n fj k 工x ) ， 工0 +工 x o +工 l i r a i n f l k ( x ) ，厶( 幼：l i m i n f j d x ) ， 工一+ 工 j _ + 工 ，o ( 砷：l i ms u p 生字，( 助：l i ms u p _ j k ( x ) ， x - - , o + 工 j o + 广“ms u p 燃掣，矿( 叫i m s u p 掣，朋：l i ms u p 掣，朋：l i ms u p 掣。 j 一+ o o ，e 0 i 】 工x-+00工x-+00工x-+00 工 本文中，我们假设以下条件成立： ( 么) m k g k ( 曲i k ( x ) m j k ( x ) ，0 五1 上1 庐l ( f ) 出 w ” ) 尸+ 再k = l 丽 引理2 1 函数x 是方程矽的解等价于x 是下面方程的解： 其中 删= f o ig ( t , s m 黼+ 喜 州t d k ( x ( t ， “似纠篡虬 亿， g ( t , s ) ： 岛 呕坯坯l ， 【1 ，0 t s 1 证明：设函数x 是方程( 1 1 ) 的解，则，7 ( ，) = - f ( t , x ( o ) ，当，( 0 , t 1 ) 时， ，( f ) = 一f 八s ，x ( s ) ) d s + c l ， 颤力= 一： l 【5 八l 工c 丁，卉 d 。+ c 。，+ c ： = 一j ( ，一r ) f ( r , x ( r ) ) d r + e l ，+ c 2 = 一fo s ) f ( s ，x ( s ) ) d s + c 1 f + c 2 因为x ( o ) = 0 ，则根据( 2 2 ) 式有颤o ) = c 2 ：0 ，从而 颤f ) = c l f f ( f s ) a s ，x ( s ) ) d s ， 玎，f ) = c l t l f ( ，i j 肌j ，x ( s ) ) d s ， ，吖l ( f f ) = c l f 厂( 占，x ( s ) ) a s ，r l 当f ( f l ，t 2 ) 时， 缸，) = 一f ( ，一s ) f ( s ，x ( s ) ) d s + b l o t 1 ) + b 2 ， x w ) = b i j 八s ，x ( s ) ) d s 根据定义可知 缸i r = 2x ( t z ) 一曙) = i k ( x ( t k ) ，一a x l r ：“= ( 虿) 一( 礞) = j k ( x ( t k ) ) 则由( 2 3 ) ，( 2 4 ) ，( 2 5 ) ，( 2 6 ) 式可知 f ) = 6 2 = ，l + 以f 了) ：l + c l f l r ，( f l s v x 文s ) ) 凼， j 0 抛j ) = 6 1 嘶) 一 c l j ：f 1 他x ( s ) ) a s 一 4 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 东北师范大学硕士学位论文 _ - _ - i - _ _ _ - i _ - _ - _ _ _ _ - _ - - - _ - _ 一一。一一一 将b j , b 2 带入( 2 5 ) ，( 2 6 ) 式，整理得，当t ( f l ，t 2 ) 时， 荆= c l f - j i ( t - t 1 ) 一r ( 小州呦幽 差；三c c ，l 允- 一j 1 j - 。也s o f ，。( ，s , + x ( s ) 一) d j s , = r 2 。t 2 一s ) f ( s ，x ( s ) ) d s ， 颤f i ) = c 1 允一j 1 ( f 2 一f 1 ) + l f ( 一 ， ，( t o _ c l _ 一r 讹荆m 重复上面的步骤，一般的，当f ( t k ，t k + 1 ) 时， 当t ( 岛，1 ) 时， 乃一j = 讹删 加叫+ 圭厶一小一帕删幽i - - 1 u u 颤力一卜善p 即叫+ 否p 厶一j = 7 ( t - s ) f ( 蹦地 颤f ) = c l f 一即叫+ 厶一n 蹦) 如 f = l括l ” c 。= c ，一喜西一j = r 以晶s ，幽， 一c 一，= c - 一喜西一f 1 以s ，颤s ，凼 根据边值条件，将r ( 1 ) = 一( 1 一) = 0 带入上式可以推出：c l = 将c 1 带入( 2 8 ) 式整理得，当f ( t k ，t k + 1 ) 时， f ) 2 喜毋+ f 0 1 畎是m ) ) 如一荟k 以f - f f ) + 善 口1 七 和胁 厶一上7 ( ，- s 抓只颤j ) 灿 = r 吼s ，“呦出+ j ：- 1 仉蹦c s ，灿+ 荟p 加一 量 从而方程( 1 1 ) 的解等价于 咖1 0 1g ( t , s 批删肌荟p 佰l l t t k j k ( “) ) + k ( x ( t k ) ) ，t k t 1 ， 厶压( “) ) ， f t k 5 口 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 。洲 一c = o，l ， x 。叫 一f l c = o颤 r 町 。 + 一 o西 东北师范大学硕士学位论文 由于格林函数具有性质：t s g ( t ，s ) s ，并且由条件似) ：m 女j k ( x ) si k ( x ) 尬以 ) ，其中 0 0 ， 6 0 ，vt l ，t 2 【0 ，1 ，s 0 ，1 】， 当i t l f 2 i 0 时，令髟= 甜k ：i l u l l ， ，啦= l ，k ：i l u l l = r 1 下面介绍三个引理，这些引 理是本文证明所使用的重要工具 引理2 4 2 3 1 ：k k 是全连续算子，若工o k r 时，满足帆x ， ( 0 若工o k r 时，有肛i i x l l ，那么i ( o ，群，k ) = 07 ( 哟若x 时，有忙i l i i 中x l l ，那么故，墨，k ) = 1 7 、j fgg p斟 出 d g d双 “ c - 加c i ) 一4 + 膨 s 一2 一 一 续连度等 k k1 9 壅! ! 堕蔓查堂亟堂垡迨塞 引理2 5 【2 3 】：k _ k 是全连续算子，当工啦，0 07 一砂当z a 群，p l 时，p x x ， 则f ( ，局，k ) = 0 8 东北师范大学硕士学位论文 多重正解的存在性 本章利用锥不动点指数理论，通过引入混合边值问题的第一特征值以及特征向量，确 立方程( 1 1 ) 正解的存在性 3 1主要结论 引理3 1 当( 4 3 ) 成立时，攻蛾，k ) = 1 证明：当x k ，i i xi l _ q 时，因为 加f o o j g ( t , s 抓s , x ( s ) ) d s + z 。l ， 撼r 舷 夏虬 其中m k j k ( x ) sx k ( x ) m k & ( x ) ，贝0 当t k t 1 时， t k 以( x ( ) ) + 如( 颤珏) ) t k & ( 颤瑶) ) + m k & ( 反) ) = ( t k + m k ) j k ( 颤瑶) ) 当f t k 时， f 以( 缸反) ) t k 以( 瑶) ) ( t k + m k ) j k ( ) ) ， 则 咿圳j ：1 吼s ，颤枷出+ 喜陬+ 尥，以c 枷 绷上姗荟坼蜥腑 = 9 叩j ：1s 出+ 荟pc “+ 靠，叩e i i d x l l ，从而引理2 4 的条件( 柳成立，则i ( o ，岛，k ) = 1 i 1 定理3 1当( h 1 ) ，( 飓) 成立时，方程“矽至少存在两个正解x 】和砣，并且满足 0 i i x l q 0 若旧1 1 成立，则了0 _ 1 f oq b l ( t ) d t 。 东北师范大学硕士学位论文 由矗，- i o ，1 4 , 0 的定义可知，了0 r o g ，使得y t 【0 ，1 ，0 z 0 成立 ( b ) ：往证当工o k r ，1 时，x 工 反证法：假设3 x o o k r ，t l o l ，使得p o o x o = x o 成立，则x o ( t ) 满足方程 由分部积分公式可知 ( d = 叫。八f ，x o ( t ) ) ， f ， 一矗l = u o j k ( x o ( t k ) ) ， 七= 1 ，2 ，p ， a x o t ：“= u d k ( x o ( t k ) ) ， 尼= 1 ，2 ，p ， x o ( o ) = v o ( 1 ) = 0 椭) 州力加= f 1 纵r ) 嗡( 力 + 一妒l ( 扫) 】名( t p + 0 ) 一 + 小c t ) d x o ( t ) 一0 ) 一, h ( t k ) x o ( t k + 0 ) 一 蚝( ，) ( f ) 斫 酽p ( 反脚铲小加肌正= i v ” 1 0 ( 椰；( d 卅 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) l 一 1 2 珐 如( 1 一) ，则 由于 则 a 1 - j 而( 1 - e ) 小础渺刈叫善pw 锨， t 1 ( 1 一e ) t r r w o ( k ) ， j - _ _ 【a 1 一知( 1 一功 f 1 妒l ( f ) j c o ( r ) 出h a l 一如( 1 一) 】j = 1 l ( f ) 功， 由条件( 凰) 可以推得 a 1 - j 而( 1 - e ) j ：1 州渺卸叫矿荟p w ， 叫，侧f o t 。p ；w o c 助 埔， 易知，( 3 1 7 ) 与( 3 1 8 ) 矛盾，从而假设不成立，即v 工o k r ，t l 1 时，p 饥工 通过以上证明可知，引理2 6 的两个条件均满足，则 西，厨，k ) = 0 第二步：往证故m ，酶，k ) = 0 根据定义 如l i m i n 。f ，吼掣，w 舯) - l i m i n 。f 半， 工_ + r i u j l工 _ 十 从而了h 9 ，使得 八，曲f o o ( 1 一e ) x ， w 女( 曲1 4 。( j | ) ( 1 一e ) x ，v f 【0 ，1 】，x 日 1 2 东北师范大学硕士学位论文 令 则 f ( t ，力矗( 1 一s ) 工一c 7 ，w k ( x ) w 。( 七) ( 1 一s ) x c 7 ，y t 0 ，1 】，工0 选择r ，使得 令j o k r ，由于 则 尺 r 。- m a x h - 矿，9 ) 缸f ) c r l l x l l = o r ， vt t l ，纠 f ( t ，颤f ) ) 厶( 1 一e ) x ( t ) o - f o o ( 1 一s 皿， vf t i ，t p 】， w k ( x ( t k ) ) o w 。( p ( 1 一出 类似( 口) 的证明过程，叫以雅得训二茚忡硎 0 ( c ) ：往证当r 足够大，工o k r ，1 时，g q j x 工 反证法：假设了加o k r ，p o 1 ，使得g o o x o = x o 成立，则x o ( t ) 满足方程( 3 1 2 ) ，由( 3 1 6 ) 式可知 a ，j ：1 如c 伽，疵= 枷荟p c “枷+ p 。j = 1 州，肌r ，翔c 。渺 荟州州们) + 小( f 抛椭o ) ) 出 荟pw 。( 的( 1 一功加( 玖) + 厶( 1 一功j = o o i 妒l ( t ) x o ( t 一c p + 1 1 州) 们 七= l _ 。 从而 即 下面对厶进行分类讨论：若厶, t l ，则 一矗c t 一剀j = i 拗c 咖m 渺+ c 7 p + j ：1 州，c ，一s ，荟p 和c 玖， 叭一厶( i - e ) l l x o l lj ：1 姒。出+ c ，p + j = 1 州，鳓c 一驯川l 荟p 吲i 广翌丛型生_ ：肌 ( 1 一矿盖w 。( d 一【a 1 - f o o ( 1 一功 五1d h ( t ) d t 1 3 d幼 w一 0吮 鼢 p m 扣 一 庙 一 功八 觚矧m 畦鼢 = c 东北师范大学硕士学位论文 即 c p + j = 1 砌) 晦( 1 一功_ f o o i 妒1 ( t ) x o 出 瞻( 1 一甸一a l 川和c f l f 驴l ( f ) 出 ”蚓旧杀怒训： 【- ，薯( 1 一) 一五l 】c 厶1f 妒l ( f ) 协 令r m a x q ，r l ，r 2 l ，则v 工o k r ，p 1 ，g o x x ，从而引理2 6 的两个条件均成立，则 f ( m ，j 岛，k ) = 0 通过以上证明可知，f ( ，k r ，k ) = 0 ，f ( 蛾k r ，k ) = 0 又由于( 4 3 ) 成立，根据引理 3 1 ，故，岛，k ) = 1 ，则 f ( ，k r 妫，k ) = 一i ，f ( ，墨，k ) = 1 从而在妊局和局群中分别存在不动点x 1 ，x 2 ，并且 0 陋l i i l i x l l ， vx a 岛 1 4 ， 从而引理2 4 的条件( f ) 成立，则 “，妫，k ) = 0 口 定理3 2当( 也) ，( 4 4 ) 成立时，方程仃矽至少存在两个正解x l 和x 2 ，并且满足 0 恬l i l q i i x 2 1 1 证明：若( 飓) 成立，则了0 s 一厂，j = 1 啪炒善pc w 期吼 j0 r o p ，vf 【o ，1 】，0 工r o 有 令，( 0 ，r o ) f ( t ，x ) ( y o + x ， w k ( x ) ( ，o ( d + ) x ( 3 1 9 ) 第一步：往证f ( ，群，k ) = 1 即证v x o k r ，当0 f 1 时，p z x 反证法：假设了和o k , ，0 伽1 ，使得伽勋= x o 成立，则x o ( t ) 满足方程( 3 1 2 ) ，由 ( 3 1 6 ) 式可知 从而 a ，上1 加，渺= 舢荟pw t c 枷+ 伽j ：1 州，坎舢以，渺 萎p ( w o ( 约+ s ) x o ( t k ) + ( o + s ) j ：1 x o ( t ) 9 b - ( t ) d t ( w o ( 约怕 ) n - 孟= l v ” c 。一尸一曲j = i 均州r 渺荟pc w o + 咖c 珏，荟p c w o c 的+ 甸 由x o ( t ) 矿l l x o l l = 矿，可知 则 ( 卜广叫j = 1 郴m 触m 一尸一曲j = 1 哪! ( f ) 斫 一广一曲1 1 嘶( 触s 荟p ( 怕城 这与( 3 1 9 ) 式矛盾，从而假设不成立，即y x 0 k r ，当0 q ，使得 八f ，曲c 尸+ t ) x ，w k ( x ) ( w ”+ s ) z ， y t 0 ，1 】，工日 令 则 f ( t ，曲c 尸+ 8 ) x + c 7 ，w k ( x ) ( w ”( 助+ e ) x + c ，y t 【0 ，1 ，x 0 第二步：往证当r 足够大时，“西，k ) = 1 即证v 工c g k r ，当0 p 1 时蚧x 反证法：假设a x o o k r ，0 l z o 1 ，使得舢加= x o 成立，则x o ( t ) 满足方程( 3 1 2 ) ，由 ( 3 1 6 ) 式可知 a j ：1 翔州，渺= 舢荟p c 韧c 枷+ 加f 1 州r 肌厶加渺 ；y o i 州帆删瑚 七i 1 喜旷+ 洲卅旷+ 功小( f ) 郴渺 七= l v u 从啊 ( 五，一广一曲j ：1 妒，( ，) 翔( ，) 沈 荟p ( 俨( 帅酬+ c ，p + 小( 七= l u 驯圳荟p ( w 镧+ 功+ c ，p + 小( f ) 虮七= l u u 由x o ( t ) t r l l x o l l 可知 j 厂0 1 翔( ，) 庐l ( ，) 西i l 枷0 3 f 0 1 ( r 庐i ( f ) 衍 则 翮o ! ：竺：五：! ! ! 尘竺! ：尺 ( l l 一广一s ) j o - 4 , l ( t ) d t 一三p ( w * ( d + 印 c - - - l 令r = m a x l q ，r ，则v 工o k r ，当0 1 时，m x x 成立。从而引理2 5 成立砸| i f ( ，k r ，幻= 1 1 6 曲 + “ 一 崃 鼢 p蹦 功 + 旷 一 功八 弧酬m 畦鼢 东北师范大学硕士学位论文 通过以上证明可知，婶，厨，k ) = 1 ，婶，k r ，k ) = 1 x 畦t t ：( h 2 ) 成立，根据引理3 1 ，故，畅，k ) = 0 ，则 i ( o ，蜘，幻= 1 ，f ( 啦局厨，k ) = 一1 从而在k r 局和局群中分别存在不动点x l ，x 2 ，并且 0 i i x l i l g i i x 2 1 1 口 推论3 2将条件( 耽) 换成) ，则定理3 2 的结论仍然成立 弼)尸= 0 ，( 动= 0 ，( 妨= 0 ；厂= 0 ，广( 约= 0 ，广( 幼= 0 ，k = 1 ，2 ，p 类似定理3 1 ，3 2 的证明方法，可以推得以下两个定理，定理3 3 ，定理3 4 成立 定理3 3 若以下条件满足， 矿w o ( k ) w ”( 助 矗+ 而k = l 丽岫，厂+ 而k = l 而 札 则方程“d 至少有一个正解 定理3 4 若以下条件满足， 口p 艺w o ( d 1 7 w 。( 的 尸+ l k 丽= l a l 五1 呻1 ( 力出j 0 1 贼方程( i i ) 至少南一个正解 p 推论3 3 若以下条件成立，如= 绒w o ( k ) = o o ) ，厂= 0 ，w ”( 妨= 0 ，七= l ，2 ，p 五= l 则方程“ 至少有一个正解 p 推论3 4 若以下条件成立，尸= 0 ，w 0 ( d = 0 ，七= 1 ，2 ，p ，厶= 绒( 七) = ) 七= l 则方程矽至少有一个正解 3 2 应用举例 考虑如下二阶脉冲微分方程边值问题： 柏+ 半- o 一一i r - “= a k x ( t k ) ， a x l , ：珞= b k x ( t k ) ， 颤0 ) = 0 ，( 1 ) = 0 t ，0 a 1 0 ，k = 1 ，2 ，p ， b k 0 ，k = 1 ，2 ，p ， ( 3 2 1 ) 其中t f 2 “小 0 ，l 】，训协”圳，荟p 碱+ 警1 则方程( 3 2 1 ) 至少有两个正解，工1 ，x 2 ，并且0 i i x l 1 i i x 2 1 1 令脚女= 螈= 等，则聊女j k ( x ) = i k ( x ) ：m k j k ( x ) g ( t ，s ) 是边值问题“o ) ：r ( 1 ) ；o 的格林函 诉 数根据假设 令 由( 3 2 1 ) 可知八力=p + p 2 从而条件饵1 ) ( 或0 7 d ) 成立 喜 笔1ak(tk+ ， 兰) 万， 七= 1 一“一 1 ，7 2 ( 1 一姗( 瑶+ ) ) ， ，易知丙= 矗= ，上1g ( 最s ) 出= 1 1s 凼= 三 令珊= a k ，则，7 ，珊满足； 令9 = 1 ，贝0v0sx 1 有 ，l p 吁j c 姗荟m 啪肌1 f ( t , x ，= 掣掣一弘 并有j k ( x ) s 啦= 玑= r k p ，则( - 3 ) 成立 由定理3 1 可知方程( 3 2 1 ) 至少有两个正解工l ，x 2 ，并且 0 i i x l 1 i i x 2 i 口 1 8 ( 3 2 2 ) ， k 参考文献 1 1 郭大钧，孙经先，刘兆里非线性常微分方程泛函方法 m 山东：山东科学技术出版社， 1 9 9 5 【2 y a nj ，z h a oa ，n i e t oj j e x i s t e n c ea n dg l o b a la t t r a c t i v i t yo fp o s i t i v e p e r i o d i cs o l u t i o no fp e r i o d i c s i n g l e s p e c i e si m p u l s i v e l o t k a v o l t e r r as y s t e m s j m a t hc o m p u t , 2 0 0 4 ，4 0 ( 5 - 6 ) ：5 0 9 - 518 3 】d e l g a d om ，l r p e z g r m e zj ，s m i r e za o nt h es y m b i o t i cl o t k a v o l t e r r am o d e l w i t hd i f f u s i o na n d t r a n s p o r te f f e c t s j jd i f f e q n s ，2 0 0 0 ，1 6 0 ( 1 ) ：17 5 2 6 2 【4 】张弘，孟新柱，陈兰荪脉冲作用对环境污染中单种群动力学影响【j 大连理工大学学 报，2 0 0 8 ，4 8 【5 】姜玉秋一类稀疏效应下食饵捕食者系统的脉冲控制 j 吉林大学学报r 理学 鲫，2 0 0 8 ， 4 6 【6 】l i uls ，w ucx ，g u of au n i q u es o l u t i o no f i n i t i a lv a l u ep e o b l e m sf o r 衔s to r d e ri m p u l s i v ei n t e g r o 。 d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so f m i x e dt y p ei nb a n a c hs p a c e s j dm a t ha n a la p p l , 2 0 0 2 ，2 7 5 ( 1 ) ：3 6 9 - 3 8 5 【7 】s u njl ，m ayh i n i t i a lv a l u ep e o b l e m sf o rt h es e c o n do r d e rm i x e dm o n o t o n et y p eo fi m p u l s i v e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nb a n a c hs p a c e s j zm a t ha n a la p p l , 2 0 0 0 ，2 4 7 ( 2 ) ：5 0 6 516 【8 】a g a r w a lr a v ip o r e g a n am u l t i p l i c i t yr e s u l tf o rs e c o n do r d e ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sv i a t h el e g g e t tw i l l i a m sf i x e dp o i n tt h e o r e m j a p p lm a t hc o m p u t , 2 0 0 5 ，1 6 1 ( 2 ) ：4 3 3 - 4 3 9 【9 】j u a nj ，n i e t o p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rf i r s t o r d e ri m p u l s i v eo r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a - t i o n s j n o n l i n e a ra n a l , 2 0 0 2 ，5 l ( 7 ) ：1 2 2 3 1 2 3 2 1 0 d i n gw x i n gyp h a nma a n t i - p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o r f i r s to r d e ri m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j a p p lm a t hc o m p u t ，2 0 0 7 ，1 8 6 ( 1 ) ：4 5 - 5 3 【1ii l u ozg ，j i n gzj p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rf i r s t - o r d e ri m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s j c o m p u tm a t ha p p l ，2 0 0 8 ，5 5 ( 9 ) ：2 0 9 4 2 1 0 7 12 1 l i ux ，g u od p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rac l a s so fs e c o n d - o r d e ri m p u l s i v ei n t e g r o 。 d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nb a a a c hs p a c e s j a p p lm a t hc o m p u t ，1 9 9 7 ，2 1 6 ( 1 ) ：2 8 4 3 0 2 东北师范大学硕士学位论文 1 3 a g a r w a lrp o r e g a nd e x i s t e n c et h e o r yf o rs i n g u l a ra n dm u l t i p l es o l u t i o n st os i n g u l a rp o s i t o n e b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s j d d i f f e q ，翁，2 0 0 1 ，1 7 5 ( 2 ) ：3 9 3 - 4 1 4 【1 4 】盖永杰，蒋达清，祖力，等奇异半正二阶脉冲d i r i c h l e t 边值问题的正解 j 】数学物理 学报，2 0 0 9 ，5 【1 5 张凤琴，马知恩，李美丽一阶脉冲微分方程的非齐次边值问题 j 】工程数学学报，2 0 0 5 ， 2 2 【1 6 h r i s t o v asg ，b m n o vdd m o n o t o n e - i t e r a t i v et e c h n i q u e so f v l a k s h m i k a n t h a mf o rab o u n d a r yv a l u e p e o b l e mf o rs y s t e m so f i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l d i f f e r e n c ee q u a t i o n s j j m a t ha n a l a p p l , 1 9 9 6 1 9 7 ：1 1 3 17 l a k s h r n i k a n t h a mv ，b a i n o vdd ，s i m e o n o vps t h e o r yo fi m p u s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m s i n g a p o r e ：w o r l ds c i e n t i f i c ，19 8 9 【18 l e eek ，l e eyh m u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n so fs i n g u l a rt w op o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o r s e c o n do r d e ri m p u l s i v