（光学工程专业论文）通过全光谱拟合法确定薄膜光学常数和厚度.pdf

浙江人学硕：土= 学位论文摘要 摘要 随着薄膜及薄膜器件在科研和实际应用中的普及，简单而精确地测量薄膜的 光学常数和厚度成为一个重要的课题。本文介绍了应用全光谱拟合进行薄膜参数 测量的方法，详细描述了几种常用的全局搜索优化算法应用于薄膜测量的原理要 点、难点和设计思路，并通过程序设计对该方法进行测试和改进。 全光谱拟合法测量光学薄膜的实验系统主要由光源、光谱仪、光学探头和计 算机等组成。应用全局搜索优化算法的思想编写程序软件，实现对系统采集到的 不同薄膜的全光谱透过率反射率曲线的拟合，并在拟合完成时寻优获得待测薄 膜的厚度、折射率和消光系数等光学参数的解。 在实验设计过程中，充分利用不同优化算法的特性进行尝试和改进，寻找适 合全光谱拟合法测量光学薄膜这一具体模型的搜索算法。通过对几种不同类型的 光学薄膜进行测量计算，得出它们在全光谱范围的拟合结果和相应的各个光学参 数解，对比不同算法在优化效率和精度上的差别，从而阐述全光谱拟合法的适用 性和应用前景。 本课题完成了全光谱拟合法中自适应模拟退火算法、自适应遗传算法以及这 两种算法相结合的应用程序设计，并进行对比分析，取得一定成果。 关键词：全光谱拟合法；自适应模拟退火法；自适应遗传算法；自适应模拟退火 遗传算法；评价函数 浙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t w i t ht h ew i d e l yu s eo fo p t i c a lt h i nf i l m sa n dt h i nf i l mi n s t r u m e n t si nb o t hs t u d y a n da p p l i c a t i o n , h o wt om e a s u l 七t h eo p t i c a lp a r a m e t e r sa n dt h i c k n e s sq u i c k l ya n d e x a c t l yb e c o m e sa ni m p o r t a n tp r o b l e mo f t o d a y t h i sp a p e ri n t r o d u c e sam e t h o da b o u t m e a s u r i n gt h eo p t i c a lp 雒鲫c e 璐o ft h i nf i l m su s i n gw h o l eo p t i c a ls p e c t r u mf i t t i n g a n dd e s c r i b e ss e v e r a lk i n d so f o v e r a l lo p t i m i z a t i o na l g o r i l a m i te m p h a s i z e st h ed e s i g n d i f f i c u l t i e sa n dp r i n c i p l eo u t l i n e s a n di tt e l l st h et e s t i n gr e s u l t sa n di m p r o v e m e n to f t h i sm e a s u r i n gm e t h o d t h ee x p e r i m e n ts y s t e mi n c l u d e sl a m p - h o u s e ，s p e c t r o g r a p h , o p t i c a lp r o b ea n d c o m p u t e r u s i n gt h e o v e r a l lo p t i m i z a t i e na l g o r i t h m si n p r o g r a m m i n g ，t h ew h o l e w a n s m i s s i o nc u i v co fr e f l e c t i o ng l l r v ec a p t u r e db ys p e c u o g r a p hc a nb ef i r e d t h e nt h e s o l u t i o n so f t h e s e 吐i 擅f i l m p a r a m e t e r sc e n b ec o m p u t e d i nt h i s p r o j e c t , w et r yt o u s ed i f f e r e n to p t i m i z a d o na l g o r i t h m sa n dt om a k e i m p r o v e m e n lb yd o i n gt h i s w eu y t of i n do u tt h es u i t a b l ea l g o r i t h mf b ft h em e a s u r i n gm e t h o do f w h o l es p e c t r u m 丘t d n g b y 舶翻s 试1 1 9a n dc o r a p u t i n gs e v e r a lk i n d so f d i f f e r e n to p t i c a lt h i nf i l m s , w eg e tt h e i rf i t t i n gr e s u l t si nt h ew h o l es p e c t r u ma n dt h es o l u t i o n so fa l lo p t i c a lp a r a m c t e l s c o l n p - u et h ep r e c i s i o na n de f f i c i e n c yo ft h e s ea l g o r i t h m s , w ee x p a t i a t et h ea p p l i c a b i l i t yt h e m e t h o do f w h o l eo p t i c a ls p e c u v , mf i t t i n g t h r o u g ht h i sp r o j e c t , w ef i n i s ht h ep r o g r a md e s i g no f u s i n g t h ea d a p t i v es i m u l a t i n g a n n e a l i n g ( a s a ) a l g o r i t h m , t h ea d a p t i v eg e n e t i ca l g o t h m ( a g a ) a n dt h ec o m b i n a 6 e no f b o t h t h e s et w o ( a s a g a ) ，c o m p a r ea n da n a l y z et h e ma n do b t a i n t ac c r t a i nr e s e a r c hr e s u l 忸 k e y w o r d ：w h o l e o p t i c a ls p a ：们m f i t t i n g ；a s a ；a g a ；a s a g a ；c o s t f l m c t i o n n 浙江丈学硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 课题背景 随着半导体技术和薄膜制备工艺的发展，许多光学器件、电子器件和微光机 电系统都需要应用到半导体薄膜。很多情况下，薄膜的光学参数和厚度对整个器 件的性能有着很大的影响。因此，如何简单而精确地获褥薄膜的这些参数就显得 十分重要了。传统的通过台阶仪直接测量的方法对薄膜本身会造成一定的破坏， 其测量结果也受仪器精度的影响较为严重，精确测量成本较高。随着薄膜及薄膜 器件在科研和实际应用中的普及，用非破坏性的方法简单快速地测量薄膜的光学 参数成为一个重要课题。 然而，薄膜的光学性质一般不同于相同材料的块状物，在不同的工艺下差别 也很大。目前广泛应用的非破坏性测定方法中，椭偏法具有灵敏度高，适合于各 种薄膜的优点，但是它需要建立比较复杂的测试设备和计算模型，并且其精度受 到诸多因素的影响；棱镜耦合法因为要产生一定的模式要求薄膜的厚度较厚，并 且能测膜层的折射率受到耦合棱镜的限制，应用范围比较狭窄；包络线法需要产 生干涉振荡，要求薄膜很厚，而且是弱吸收的，这很难适用于许多半导体薄膜， 因为它们在可见区通常具有较大的吸收并且一般厚度较薄。同时，上述这几种测 量方法操作起来都不是非常便利，需要耗费比较多的时间。通过测量单一透过率 或反射率曲线，再进行全光谱拟合确定薄膜的光学常数和厚度的办法以其简单而 方便的操作、准确有效的计算结果，日益引起了人们的重视。 光谱拟合法是利用光谱仪测量薄膜样品在一定波长范围内的透射率或反射 率，然后进行分析计算样品的厚度和折射率。光谱拟合法测量十分方便，适用范 围广由于是利用迭代计算，所以该方法很大程度上取决于选择的算法。随着各 种全局优化算法的不断推出发展，各种新算法如遗传算法，模拟退火算法等也广 泛运用在薄膜参数测量中。 1 2 研究现状 浙江大学硕士学位论文第一章绪论 目前应用最广泛的薄膜测量方法是台阶仪和椭偏仪。台阶仪是一维的力反馈 式计算机控制的表面形貌分析仪，具有台阶测试、形貌检测和应力分析等功能。 台阶仪通过一个探针在样品表面扫描，扫描出样品表面薄膜的高低起伏，所以只 适用于台阶状的膜层，需要在做薄膜的时候预先把台阶留好，或者破坏薄膜的局 部。台阶仪的精度也不高，当遇到两个特别相邻的台阶就无能为力。椭偏仪的基 本原理是：一束椭圆偏振光作为探针照射到薄膜样品上，由于样品对入射光p 分 量和s 分量有不同的反射、折射系数，因此从样品上出射的光，其偏振状态相对 于入射光发生了变化，通过数学函数就可以计算出相应的薄膜厚度等参数。椭偏 仪的局限性是系统复杂、测量时间长以及容易受其他因素干扰，前边已经提到过。 而其他的薄膜测量方法像棱镜耦合器、s e m ( 扫描电镜) 等只适合于测量比较厚 的膜层，在1 0 0 r i m 左右的薄膜测量方面，其可靠性非常低。分析和测量技术的 成熟，光谱仪得到越来越多的应用，分辨度也越来越高，在2 0 0 - 1 1 0 0 m n 的范围 内实现l n m 的分辨率不再是难事，这就为全光谱拟合法测量薄膜的应用提供了 可靠的硬件条件。 在全局优化算法的应用研究方面，目前这是一个比较热门的研究方向。常用 的全局优化算法有模拟退火算法、遗传算法等。模拟退火法是基于m e n t ec a r l o 迭代求解策略的一种随机寻优算法，其出发点是基于物理中固体物质的退火过程 与一般组合优化闯题之间的相似性，是一种用以解决具有多峰和非光滑性的高难 度非线性优化问题的高效快速的全局优化算法。遗传算法的应用类似于自然选择 和遗传机制，是根据适者生存原理建立起来的一种优化算法，是种求解问题的 高效并行全局搜索方法，其应用范围非常广泛，尤其适合于处理传统搜索方法难 以解决的高度复杂的非线性问题。这些优化算法在具体领域已经有了许多应用尝 试和改进，蚁群算法、神经网络等的应用研究也越来越多。在实际模型的应用中， 为了尽可能的提高优化效率和精度，人们还尝试着将几种优化算法结合起来进行 联合优化，并已经取得了一定的研究成果然而，目前广泛应用全局优化算法开 展研究的领域主要集中在自动控制、结构设计等方面，通过算法与模糊理论的结 合来解决实际模型中的问题。这在光学测量领域的应用研究还相对比较少，而通 过研究发现，全局优化算法应用在光谱拟合法中能收到相当理想的效果，并能解 决传统测量方式的一些缺陷，具有很大的前景。 2 浙江大学硕士学位论文第一章绪论 因此，对应用全局优化算法来测量光学薄膜参数的全光谱拟合法的研究越来 越受到重视。目前已经有相关的成果投入到产品应用中，比如f i l m e t r i c s 公司的 薄膜测量仪f 2 0 等。考虑到目前产业发展对薄膜制各和测量工艺日渐膨胀的需 求，对全光谱拟合法进行进一步研究，寻找和改进优化算法，使该方法适用性更 广、效率更高，具有深远的意义。 1 3 论文框架 本课题将当前热门的全局优化算法应用到光学薄膜测量研究中，进行软件开 发和改进，涉及领域包括光谱测量分析、偏振光传播、优化算法等。课题论文的 主要框架如下： 第一章绪论，介绍应用全光谱拟合法测量光学薄膜以及优化算法研究的相 关背景和发展现状。 第二章全光谱拟合法，详细介绍了全光谱拟合法的原理和其中不同光学薄 膜可能涉及到的色散模型。 第三章优化算法，详细阐述了本课题应用到的模拟退火法和遗传算法的原 理、特点和实现思路，说明了相应的改进方法，介绍了混合优化的思想和本课题 采用的两种混合优化算法的实现方法。 第四章实验系统构架，介绍了实验使用的软硬件系统和开发环境。介绍了 程序开发和评估，具体说明了设计程序过程中主要解决的相关问题，模拟了两个 理想的薄膜模型进行测试评估 第五章。实验测试和数据分析，通过测量计算几种实际的样品薄膜，验证课 题方法的正确性和适用性。 第六章为总结与展望，总结课题，并探讨进一步研究的方向与前景。 浙江大学硕士学位论文第二章全光谱拟合法 第二章全光谱拟合法 全光谱拟合法是以非线性约束优化理论为基础的，通过设计计算机程序拟 合透射反射光谱曲线，获取了各个波长点的薄膜的折射率和消光系数，以及薄 膜的厚度。它具有透射反射光谱易测量、计算精度高等特点，不仅适用于单层 薄膜而且还适用于多层复合薄膜的光学参数及厚度的测量。 2 1 原理 测量光学薄膜的全光谱拟合法的根本思路就是：通过拟合前端光学系统采 集到的透射反射光谱曲线，来获得薄膜光学参数”( 五) = 作) + 琥( ( 其中h ) 、 恕( 见) 、露( 旯) 分别表示光波波长为a 时薄膜的复折射率、折射率、消光系数) 1 1 1 【2 1 和薄膜厚度d 。 2 1 1 透过率反射率计算 在已知光学参数玎( 五) = n ( 五) + 班( 五) 和薄膜厚度d 的情况下，根据麦克斯韦 方程组，我们可以推导出光波在双层以及多层光学介质内的传播方程组，从而 计算出这一光学系统的透过率z md ，n ，妨和反射率r o ，d ，n ，的，其中工、 d 分别表示光波波长和薄膜厚度，n 、k 分别表示薄膜的折射率和消光系数并随 波长变化【3 】【4 】。 丽= n ( a ) + i k t i k ( a ) ， 薄膜矩( a ) 赫鼬一卜蚶 图2 - 1 单层薄膜的光路图 4 浙江大学硕上学位论文第二章全光谱拟合法 设介质膜系由m 层折射率为一，以2 ，n 。，几何厚度为4 ，d 2 ，d 。的光学薄 膜构成光线入射角为口，入射介质和基底的折射率分别为力。，则在波长以 习= l i 吁js i n 乃哟u 协- ， t ：2 ，t t n d ，c o s 巳 ( 2 2 ) h = h ，c o s 0 驴i 旷以j c o s 护 仉2 t ? g = n s c o s 0 p 分量 s 分量 p 分量 s 分量 对于各层膜的z ，可以根据菲涅尔折射公式计算6 1 ，如下： 瓦咖巳= 礼ls i n o ，“ ( 2 - 3 ) ( 2 - 4 ) ( 2 - 5 ) 将( 2 - 2 ) 一( 2 5 ) 代入( 2 1 ) ，可求得b 和c 分别相对于各已知参量( a ，d ， n ，七) 的函数关系。 导纳： y ：c 曰 振幅反射系数： ，：丛兰 + 】， 反射率( 能量反射系数) ： r = r r 代入化简可得反射率的计算公式： ( 2 6 ) ( 2 - 7 ) ( 2 - 8 ) 浙江大学硕士学位论文第二章全光谱拟合法 r ( 以) = 。石r o b 万- c 八, 石r o b 万- c j 再根据透过率t = i - r ，代入化简可得透过率的计算公式： r ( 以) = 丽而4 r 丽o 叩g 根据以上公式分别计算出光波p 分量和8 分量的t 和r ， 经过薄膜后的透过率和反射率的通用计算公式： 透过率： r ( 五) = 寺【丁( 以) ，+ h 以) ，】 反射率： 五( 五) = 只( 五) ，+ r ( 五) ，】 这一结论无论对单层膜还是多层膜都一样适用。 2 1 2 光谱拟合 ( 2 9 ) ( 2 - 1 0 ) 于是可求得光线 ( 2 - 1 i ) ( 2 - 1 2 ) 有前边的推导我们知道：在已知光学参数和薄膜厚度的情况下可以计算出 对应各个光谱的透过率和反射率。然而，光学参数月 ) = 以( 五) + 腩( 五) 和薄膜厚 度d 是我们要求解的参量，我们不可能预先知道。于是我们可以给这几个参量 设定某一组具体的值进行反推，根据上边推导的方法求得对应的透过率和反射 率。这样求得的值自然和实际的透过率和反射率存在一定的差值，当计算的透 过率z u ，d ，n ，盼与实际值蜀q ，d ，n ，助的偏差达到最小( 或者计算的反射 率r o ，d ，栉，助与实际值r 以，d ，万，磅比较) ，我们就可以认为这时预设的 参数值就是待测的薄膜参数。这就是光谱拟合的基本思路用。 因为对应于的某一光谱段的参数值可能存在多解情况，所以需要尽可能从 更长的光谱范围进行拟合，以降低多解的可能性。同时，将待测参数值分解到 最小单元，在拟合之前给设定真解可能落入的数值空间，可以防止优化拟合陷 入局部最小而产生异常解。 根据以上的思想，全光谱拟合法首先需要设定一个判定曲线拟合完成的条 件，即前边所说的t 或r 的计算值与实际值的偏差达到最小。对于t 和r 的实 际值我们可以用我们的实验系统前端部分测量获得的实验值来代替( 随着光谱 6 浙江大学硕士学位论文第= 章全光谱拟合法 仪技术的成熟，使用它测量全光谱范围的透过率，反射率的精度是可靠的) 。我 们首先要做的就是构建一个通用的判断标准，即评价函数，或者叫最小优化目 标函数【8 1 1 9 l f l 0 1 本课题中我们采用了以下的评价函数计算式【l i 】【1 2 1 ，以保证优化 参量个数不同时( 多层膜的情况) 的通用性： 厂( 巾p ：，仉) = 磊1 忑善m 【乃一y 瓴，p i ，p z ，帆) 】2 ( 2 - 1 3 ) 其中，p 。，p ：，p 。为拟合参数，在此为薄膜厚度d 以及n ( 五) = 忍( 旯) + 地( z ) 对应 的折射率色散模型中的参变量，m 为拟合求解的参数个数，n 为采样点个数，五 波长值，y ；实验测得的r ( 丑) 或丁( 丑) 。 有了评价函数计算式之后，我们根据已知的客观条件或基本常识设定各拟 合参数的上下限( p ，。，p ，一) ，在这个区域内产生一组或多组待测参数的鳃代入 计算式得出相应的评价函数，然后根据全局优化算法的理论通过计算机对这些 解进行优化，朝评价函数逐渐变小的方向寻优。当评价函数足够小( 理想值为 o ) 的时候，我们就求得了待定参数的解。 2 2 光学薄膜的色散模型 前边已经讲到，我们要求的薄膜光学参数是栉( = ( + 访( 五) ，也就是折 射率、消光系数各自与光波波长间的函数关系。这种函数关系并不是简单的对 应，对于不同的半导体介质材料相应的制约因素可能就不尽相同了这种复杂 的对应关系归结起来主要是由于介质材料的色散模型所决定，常见的色散模型 有：c a u c h y 模型、f - b 模型、s e l l m e i e r 模型、t a u c - l o r e n t z 模型等等。 2 2 1c a u c h y 模型 对于大多数介质材料，远离其吸收区，都满足c a u c h y 模型。其对应的函数 关系可由以下方程组得出： 7 浙江大学硕士学位论文 第二章全光谱拟合法 p 刮o + 万n ! 万n 2( 2 _ 1 4 ) b = 唧 n 。，n 。，玎：，毛就是我们进行全局优化所要求解的常数在可见光谱 范围内，非常大，因此一：对于n ( a ) 的整体影响非常小，在精度要求不是特别 高的情况下可以忽略不计。根据通常光学薄膜介质的性质，我们可以给这些参 数预设解集的范围：露o ( 0 ，5 ) ，一le ( 1 0 2 ，1 0 5 ) ，( 1 0 ，1 0 6 ) ，毛 ( 1 0 。1 0 4 ) 。 2 2 2 f b 模型 f - b 模型”1 ( f o r o u h i - b l o o m c r 俱型) 殖用于非晶半导仟捌绝 冢谇材科。征 f - b 色散模型中，消光系数k 是复折射率的虚部( ；：一+ 访) ，它与光子能量e 之间满足： = 喜拦篙( 2 - 1 5 ) 根据k r a m c r s - k r o n g 关系，可以推得实部折射率n 满足： 弗= 栉咭羰( 2 - 1 6 ) 其中，b o i ，c o i 不是独立的参数，它由a i ，b i ，e g 决定： 氏= 缸等+ e i b i - 夸c 。1 ( 2 - 1 7 ) = 鲁暇+ c f ) 孚峭e 】( 2 - 1 8 ) q = j 1 ( 4 c 一群) 1 ，2 ( 2 一1 9 ) 8 浙江大学硕士学位论文 第二章全光谱拟合法 n ( o o ) 代表光子能量在无穷大时的折射率；b i 等于导带与价带中心距离的两 倍；c i 与b j 通过跃迁时激子寿命q - h ，q 联系起来；e g 代表吸收最小的光子能 量，称为f - b 带隙，需要特别指出的是它不等于材料的光学带宽，一般小于光 学带宽；q 是色散公式取的项数，对于无定形薄膜q = l ，而对于多晶薄膜q - - 2 4 。因此，薄膜的光学常数可以由参数万 ) ，e g ，a j ，b i ，c i 等决定，待拟合 参数就为这五项。 另外，因为e = h o = 譬，我们就可以建立起折射率、消光系数和的波长之 间的关系，所有程序函数的待定数据和自交量都已明确。 备注：在f b 色散模型的参数中，一些物理限制条件必须被满足： ( 1 ) 所有的参数必须大于o ： ( 2 ) f - b 带隙e g o 。 2 2 3s e l l m e i e r 模型 s e l l m e i e r 方程是描述媒质色散的重要公式之一。c a u c h y 色散公式只能描述 介质正常色散规律，1 8 7 1 年s e l l m e i e r 根据洛伦兹的电子论推出介质色散的一般 关系式。修正的s c l l m c i c r 方程的表达式如下： 刀( 五) = ( 2 - 2 0 ) 式中，n i 表示折射率；九是入射光波长；a 1 是与吸收能带有关的常数；a 2 为 介质的吸收波长。s e l l m e i e r 色散公式既能描述在介质的吸收区域内呈现的反常色 散现象，它与c a u c h y 模型相似，能在远离吸收区域推出c a l l c h y 色散公式。s c l l m e i e r 模型适用于无吸收的透明介质，即： 七( = 0 2 2 4l o r e n t zo s c i l l s t o r 模型 9 ( 2 - 2 1 ) 浙江大学硕士学位论文第二章全光谱拟合法 h a 洛伦兹于1 9 0 4 年指出，金属中的自由电子以平均速度运动的模型过于简 单，认为与气体分子运动一样，自由电子应遵循麦克斯韦玻耳兹曼统计，并假 定电子与金属离子的碰撞是弹性的。 l o r e n t zo s e i l l s t o r 模型的基本表达式可以根据电介质的电磁理论推导得到， 适用于介质膜( 一般用于红外光谱区) 。 咖) - 【丢( 何焉圳】2 1 ( 2 哦) 七( 盯) = 【圭( 孺一岛) 】j i 其中，仃为波数，盯= i 1 ( 2 - 2 2 ) ( 2 2 3 ) ，得 毛= 2 n k ( 2 2 2 ) 2 一( 2 - 2 3 ) 2 ，得 岛2 再2 - k 2 由譬= 毛+ f 占2 ，代入得到： f r x ，r v0 2 一，r v2 、 毛2 毛+ 磅二了而研 ，( r 矿) 岛5 琢j 寿磊研 r ：上 2 ，鼯 f = ( t o 一气) 仃： ( 2 2 3 ) ( 2 - 2 4 ) ( 2 - 2 5 ) ( 2 - 2 6 ) ( 2 - 2 7 ) ( 2 - 2 8 ) ( 2 - 2 9 ) 可以同时考虑几个振荡，要求的参数为气和每个周期的另外三个参量 f ，r ，盯。它的另外一个表示方式为： l o 浙江大学硕士学位论文第二章全光谱拟合法 羽= 石2 ( e ) = a n 而( 2 - 3 0 ) 2 2 5t a u c l o r e n t z 模型 1 9 9 6 年，为了克服f b 模型的缺陷，j e l l i s o n 和m o d i n e 提出了适用于无定型半 导体( 非晶半导体) 和绝缘体材料的t a u c - l o r e n t z 模型”】。它根据介电常数和光 子能量的关系，得到： 占= ( n - k ) 2 = q f 岛 咖一。一寿 以咖上c o 寿 一+ y 一 ( 2 - 3 1 ) ( 2 - 3 2 ) ( 2 - 3 3 ) 其中，氏为高频介电常量，是等离子体振动能频率，为驰豫频率，国为光 子频率。在全光谱拟合中，可根据波长求得，故气、国，和，就是我们进行全 局优化所要求解的三个参变数。 2 2 6d r u d e 模型 德鲁特模型是建立在金属电子论的基础上。金属具有良好的导电性和导热 性，为解释这点，p k l 德鲁特于1 9 0 0 年提出一个简单模型：金属中的价电子是 自由电子，它们与金属离子碰撞时可交换能量，并在一定温度下达到热平衡；电 子以一定的平均速度运动，可用平均自由时间来描述碰撞的频繁程度。 d r u d e 模型本质与洛伦兹模型相同，适用于金属和透明导电膜，可以采用与 l o r e n t zo s c i l l s t o r 模型相同的推导过程。 浙江大学硕士学位论文第三章优化算法 第三章优化算法 优化问题即如何在一定的范围内找到一个函数的极大或极小值。这个范围称 为模型空间，它的维数与该自变量的个数是相等的，它的大小与每个自变量的取 值范围有关。在实际问题中可以定义一个目标函数来作为优化对象。目标函数一 经确定，就可以使用各种计算方法在模型空间中寻找问题的最优解，这些计算方 法常常被称作优化算法。 现代优化算法自上世纪下半叶兴起，至今发展迅速。包括模拟退火算法 ( s i m u l a t e da n n e a l i n g ) 、遗传算法( g e n e t i ca l g o r i t h m s ) 、禁忌搜索算法( t a b us e a r c h 或t a b o os e a r c h ，简称t s ) 、神经网络算法( n e u r a ln e t w o r k s ) 及各种混合优化算法 等等。这些算法涉及生物进化、人工智能、数学和物理科学、神经系统和统计力 学等概念。现代优化算法的主要应用对象是优化问题中的难解问题。正是因为很 多实际优化问题的难解性和现代优化算法在一些优化问题中的成功应用，使得现 代优化算法成为解决优化问题的一种有力工具【1 4 1 。 3 1 模拟退火算法 模拟退火算法( s a 算法) 的思想最早是r h m e g o p o l i s 等在1 9 5 3 年提出的，1 9 8 3 年k i r k p a t r i c k 等将其应用于组合优化。它是基于固体物质退火过程原理，以及 m e n t ec a r l o 迭代求解策略的一种随即寻优算法。模拟退火法的基本思想是，先在 高温下较快地进行搜索，大致地找到系统的低能区域。随着温度的逐渐降低，搜 索精度不断提高，就可以越来越准确地找到最优解。为了在陷入局部最优解时能 有机会跳出，算法中采用概率突跳法，从而更能有效地找到全局最优解。模拟退 火算法中较为重要的参数是温度衰减参数，以及寻优步长。两者共同影响了寻优 的速度和精确度【1 5 】 3 1 1s a 算法的基本理论 s a 算法是基于m e n t ec a r l o 迭代求解策略的一种随机寻优算法，其出发点是 基于物理中固体物质的退火过程与一般组合优化问题之间的相似性。采用 浙江大学硕士学位论文第三章优化算法 m e t r o p o l i s 接收准则，并使用一组被称为冷却进度表的参数来控制算法的进程。 在模拟退火算法中，固体退火过程的物理描述与统计特性是算法的物理背景， m e t r o p o l i s 接受准则可以保证算法跳离局部最优的陷阱，冷却进度表的合理选择 是算法应用的前提条件。固体在加热时，粒子的运动不断增强，随着温度的升高， 粒子与其平衡位置的偏离越来越大。当温度升至熔解温度后，粒子的排序从较为 有序的结晶状态转变为无序的液态，固体熔解为液体，这个过程称为熔解。冷却 时，液体粒子的热运动渐渐减弱，随着温度的慢慢降低，粒子的运动逐渐有序。 当温度降至结晶温度后，粒子的运动变为围绕晶体格点的微小振动，液体凝固为 固体，这个过程称为退火。退火过程必须是非常缓慢地进行，以保证系统在每一 温度下都达到平衡状态，最终才能达到系统内能最低的状态。在某一温度下，系 统中各种状态的出现概率( 称为b o l t z m a a 概率) 服从g i b b s 分布： 阶斯割 舯z = y o x p ( - 斟 ( 3 - 1 ) z 称为配分函数，起到归一化的作用，f 表示第价状态，置表示第i 4 状态的 系统内能，t 为温度，k 为b o l t z m a n 系数。在任一温度下，系统达到平衡状态都需 要一定的时间，因此降温过程必须足够缓慢，否则将引起淬火效应，系统的内能 就不会到达最小值，这就是必须合理选择冷却进度表的原因。 任一温度下的平衡状态可采用m o n t ec a r l o 法进行搜索，但由于计算量较大， 难于在实际问题中应用。为了解决这个问题，m e t r o p o l i s 将b o l t z m a n 生存机制与 随机抽样结合起来，提出t m e t r o p o l i s 重要采样法则，表述如下：设初始状态为i ， 其状态的内能为局，对其实进行一个微小的随机扰动生成一个新的状萄，其内能 为历两种状态的能量差为e = 聃，若e s 0 ，说明新状态比当前状态好， 接收状磊黟为当前状态；若a g 0 ，说明新状态比当前状态差，但这时并不是简 单的将状萄抛弃，而是按照b o l t z m a n 生存机制概率进行状态转移。b o l t z m a n 生 存机制的接收概率为： 浙江大学硕士学位论文 第三章优化算法 ra e ) 卢唧卜刊 ( 3 - 2 ) 在【o ，l 】区间均匀地产生一个随机数善，若f s r ，当前状态由f 转功；否则 仍保持沩当前状态。反复对当前状态进行扰动、判断，当抽样数量足够大，状 态经过大量转移后，m e t r o p o l i s 抽样将使系统趋向平衡状态。m e t r o p o l i s 抽样法则 是一个恒温状态下的抽样法则，它以概率1 接受能量较低的状态，并以小于1 的概 率接受能量较高的状态，这使得模拟退火算法可以跳出局部最优点，具有全局优 化的能力。 3 1 2 模拟退火算法的缺陷 模拟退火法是在一系列递减温度下产生的点列，理论上可以看作是一系列的 马尔可夫链( m a r k o vc h a i n s ) 。在某一温度下多次重复m e t r o p o l i s 过程，目标函 数值的分布规律将满足玻尔兹曼分布规律。如果系统温度以足够慢的速率下降， 玻尔兹曼分布就趋向收敛于全局能量最小状态的均匀分布。该算法主要存在以下 不足： ( 1 ) 尽管理论上只要计算时间足够长，模拟退火法就可以保证以概率1 收敛于全 局最优点。但是在实际算法的实现过程中，由于计算速度和时间的限制，在 优化效果和计算时间二者之间存在矛盾，因而难以保证计算结果为全局最优 点，优化效果不甚理想。 ( 2 ) 在每一温度下很难判定是否达到了平衡状态，即马尔可夫链的长度不易控 制，反应到算法上，就是m e l r o p o l i s 过程的次数不易控制。 ( 3 ) 模拟退火算法中的两种退火方式，t 始终按照优化前给定的规律变化而没 有修正，这是不科学的。 3 1 3 自适应模拟退火法 为了解决模拟退火算法的以上局限性，人们进行了很多尝试，以保证算法寻 优具有更快的收敛速度和更好的全局收敛性。 1 4 浙江大学硕士学位论文 第三章优化算法 自适应模拟退火( 1 7 1 ( a s a ) 算枇s t e rh l 曲e r 在2 0 1 廿纪9 0 年代初研究传 统的模拟退火法和模拟淬火过程的基础上提出的，是一种用以解决具有多峰和非 光滑性的高难度非线性优化问题的高效快速的全局优化算法。a s a 算法的优点是 产生的解是全局最优解而不是局部最优解、对初始条件的要求低，肯定收敛且收 敛速度较快。在自适应模拟退火算法中，我们可以采用对不同的参变量用不同的 退火表的方法，以适应不同参变量对目标函数灵敏度的不同。这样，在同一退火 周期内，不灵敏参数的搜索范围可以比灵敏的参数来得大些，从而能够更快更有 效地找到全局最优解。 自适应模拟退火法既是一种随机搜索算法，也是一种近似算法。从理论上讲， 它可以收敛到全局最优解，但在实际应用中，由于受计算时间的限制，往往只能 给出一个近似解，而这一近似最优解的精度是很难确定的。为了使求出的近似解 更准确，一般重复执行自适应模拟退火法多次，从中选取最好的解作为最终的近 似最优解；为了指导搜索过程，自适应模拟退火法应当从过去搜索的结果中得到 关于整个搜索空间的一些信息。 自适应模拟退火法与模拟退火算法本质上是相同的。鉴于以上a s a 算法相对 s a 算法的优越性，本课题薄膜测量程序的优化算法设计中直接采用了自适应模 拟退火法，其基本流程如下： s t p e l 首先设定初始退火温度被定为r ( o ) = 1 ，退火次数k = 0 。随机产生一个初 始解，p ( o ) p ，p ( 0 ) 的每一个分量是一个介于薄膜的相应层厚度和折 射率模型各参数可能取值的最大值和最小值q ，血，p ，一) 之间的随机值， 计算，( p ( o ) ) ，使初始接受温度乙。( d ) = 厂o ( o ) ) ，接受次数k t _ 0 。 s t e p 2 生成新解。生成新解可根据公式：p ，= p + 吼f 一一p ，m ) f = 1 , 2 ，3 m ，且p ”p 确定吼的公式为：吼= s g n ( v j o 5 ) 正( 七) 【( 1 + 帽 ) ) 2 “一1 】 式中正( _ | ) 为第i 个变量，第k 次退火温度，为 o ，1 均匀分布随机数， s g n 为符号函数。 1 5 浙江大学_ 颐士学位论文 第三章优化算法 如果p ”不在p 中，那么它将被舍掉，然后再执行s t e p 2 直到产生的新解 满足p “p 。 s t e p 3 计算v = 厂( p 一) 一，( p “) ，若v r a n d o m ( o ，1 ) 时，七为接受次数，贝t j p 0 3 = p “； s t e p 4 判断是否满足回火条件( 一般为新解的接受次数 乙。大于几百次或接 受次数和产生次数的比率大于某个规定值) 是，执行回火，转s t e p 5 ，否 则，重复s t e p 2 ： s t e p 5 回火，计算每个变量的灵敏度( 即梯度) ，岛= 万是步长，e i 是一个m 维向量，它的地f 个分量为1 ，其余均为o ，计算每 个变量的回火温度，正( _ j ) = ! 手互( j ) ，回火次数，屯_ 【丢城器r ， 同时，将接受初始温度乇。( o ) = 厂( p “) ，p “) 为上次接受解的评价 函数值，而接受次数七= 已c l n ( 等落：扣4 ：，( p ) 为迄今为止最好评价 ，i 口一 函数值。 s t e p 6 判断是否达到内循环停止条件，是，执行退火转s t e p 7 ，否则，继续内循 环，转s t e p 2 ； s t e p 7 判断是否满足停止规则：是，停止，输出变量值；否，退火： k = k + l ，霉( 七) = r , ( o ) e x p ( - c f 七1 加) ，七= k 。+ 1 ， 毛唰传。) = l ( 0 ) e x p ( - c k 厢) a s a 流程中需考虑的主要要点为： ( 1 ) 内循环停止条件的选择，可选择回火次数超过一定次数，或固定常数，即 迭代一定的次数后即执行退火。 ( 2 ) 终止规则，由于目标函数最优值可知为0 ，故可选择一极小数占，当 f ( p “) 工一时，算法停止。 ( 3 ) a 的选取，根据l e s t e ri n g b e r 在其a s al e s s o n sl e a r n e d 中的理论， q = a 。e x p ( - b , m ) ，其中a i 和以为与实际问题相关的自由量。 3 2 遗传算法 遗传算法( g a 算法) 是模拟生物在自然环境中的进化过程而形成的一种 自适应、全局优化的智能搜索方法。遗传算法的概念最早是由b a g l e yj d 在1 9 6 7 年提出的。1 9 7 5 年美国m i c h i g a n 大学的j h h o l l a n d 教授出版了专著自然系 统和人工系统的适应性( a d a p t a t i o ni nn a t u r ea n d a r t i f i c i a ls y s t e m s ) ，首次系统 阐述了遗传算法的基本理论和方法，并提出了极为重要的模式定理。j h h o l l a n d 根据达尔文的自然选择和蒙德尔的遗传学引入了一个研究自适应系统和设计人 工自适应系统的方法，通过有意保留最佳或接近最佳的个体，再将优良个体的 特性重新加以组合得到更好的个体，而淘汰较差个体，形成了今天的简单遗传 算法( s i m p l eg e n e t i c a l g o r i t h m ，s g a ) 的基础。8 0 年代g o l d b e r g 对以前的研究 进行归纳总结，形成了遗传算法理论的基本框架。目前，遗传算法已成为进化 计算研究的一个重要分支，在控制系统设计、参数寻优等方面日益得到广泛的 应用。g a 作为一种通用的全局寻优智能计算方法，与传统随机搜索方法不同 的是g a 是一个群体优化过程，它不是从一个初值出发，而是从一组初始值出 发进行优化，且这些初始值好比一个生物群体，优化的过程就是这个群体繁衍、 竞争和遗传、变异的过程，是一个有指导性的搜索过程，可以保证搜索过程向 更优的方向发展。 3 2 1g a 算法的基本理论 遗传算法本质上是一种不依赖具体问题的直接优化搜索方法。遗传算法基 本思想是基于达尔文进化论和蒙德尔的遗传学说。达尔文进化论最重要的思想 是适者生存原理，在环境变化时，只有那些能适应环境的个体特征方能保留下 来。蒙德尔遗传学说最重要的是基因遗传原理，经过存优去劣的自然淘汰，适 应性高的基因结构得以保存下来。 1 7 浙江大学硕士学位论文 第三章优化算法 3 2 1 1g a 算法中的一些概念 由于遗传算法是由进化论和遗传学机理而产生的直接搜索优化方法，故而 在这个算法中要用到各种进化和遗传学的概念。这些概念如下： ( 1 ) 串( s t r i n g ) ：它是个体( i n d i v i d u a l ) 的表示形式，在算法中为二进制串， 并且对应于遗传学中的染色体( c h r o m o s o m e ) ( 2 ) 群体( p o p u l a t i o n ) ：每代所产生的染色体的总数，包含了该问题在这一代 的一些解的集合 ( 3 ) 群体大小( p o p u l a t i o ns i z e ) ：在群体中个体的数量称为群体的大小。 ( 4 ) 基因( g e n e ) ：基因是串中的元素，基因用于表示个体的特征。例如有一 个串1 0 0 1 1 ，则其中的1 、0 、0 、l 、1 分别称为基因它们的值称为等位 基因( a l l e t e s ) 。 ( 5 ) 基因位置( g o n ep o s i t i o n ) ：一个基因在串中的位置称为基因位置，有时 也简称基因位。基因位置自串左向串右计算。 ( 6 ) 基因特征值( c r v n ef e a t u r e ) ：在用串表示整数时，基因的特征值与该基因 在二进制数中的权一致。 ( 7 ) 适应度( f i t n e s s ) ：构成个体的生存环境，是群体中个体生存机会选择的 唯一确定性指标。根据个体的适应值，就可决定它在此环境下的生存能力。 一般来说，好的染色体位串结构具有比较高的适应度函数值，可获得较高 的评价。具有较强的生存能力。 3 2 1 2g a 算法的特性 遗传算法与传统优化算法相比有很多不同之处，其主要特征主要体现在以 下几方面【1 8 】： ( 1 ) 遗传算法采用群体搜索寻找最优解，可以在一个具有不确定性的空间上寻 优。与一般的随机型优化方法相比，遗传算法不是从一点出发沿一条线寻 优，而是在整个解空间同时开始寻优搜索，覆盖面大，利于全局择优，可 有效地避免陷入局部极小点，具备全局最优搜索性。 ( 2 ) 遗传算法寻优求解时利用适应度函数值( 与评价函数有关) 信息，而不是 利用其导数等与问题直接相关的信息建立寻优方向。因此它对优化设计问 题的限制较少，即使所定义的函数不连续、多峰或不可微的情况下，也能 l s 浙江大学硕士学位论文第三章优化算法 以很大的概率收敛到全局最优解。 ( 3 ) 遗传算法是以决策变量的编码作为运算对象。在优化过程中借鉴生物学中 染色体和基因等概念，模拟自然界中生物的遗传和进化等机理，应用遗传 操作，可方便求解无数值概念或很难有数值概念的优化问题。 ( 4 ) 遗传算法有极强的容错能力遗传算法的初始解集本身就带有