（地球探测与信息技术专业论文）地震资料的层序分析及谱分解方法研究.pdf

地震资料的层序分析及谱分解方法研究 冯磊( 地球探测与信息技术) 指导教师：宋维琪教授 摘要 目前，应用地震资料进行层序地层学研究，主要是层序组的识别和 划分，而对于准层序组的描述，沉积旋回与地震相的划分等方面，未能 形成一套相对有效的方法。论文在地震资料奇异性处理技术、小波时频 旋回技术、地震多属性综合预测技术等方法研究的基础上，应用层序地 层学的原理和方法，建立了一套划分层序体外部形态分界面和内部旋回 结构，检测地震相、岩相边界的方法和流程，为地震资料应用于层序地 层学研究进行了有意的尝试和探索。研究中，对所用到的连续小波变换、 k o n h o n e n 自组织网络以及b p 神经网络等的算法进行了一些改进，模型 测试表明，新方法算法稳定、速度快、精度高。此外，对地震资料的谱 分解技术进行了研究，采用具有自适应特性的匹配追踪算法进行时频分 解，能够更准确的反映地震信号在时间频率平面中的特征，观察地质目 标在不同频率下的响应，为烃类检测提供了一种有效的手段。在上述方 法研究的基础上，进行了软件开发，在多个工区进行应用，取得了较好 的效果。 关键词：地震层序，奇异性，地震旋回，地震相，谱分解 - u - s e i s m i cs e q u e n c ea n a l y s i sa n ds p e c t r a ld e c o m p o s i t i o n f e n gl e i ( g e o p h y s i c a lp r o s p e c t i n ga n di n f o r m a t i o nt e c l l z l o l o 劝 d i r e c t e db yp r o f e s s o rs o n gw e i - q i a b s t r a c t n o w , t h es t u d yo f s e q u e n c es t r a t i g r a p h ym a k eu s eo f s i s m i ed a t a , m o s t l y i nr e c o g n i s i n gs e q u e n c es e t s ，b mt h e r ei s n tas u i to fr e l a t i v e l ye f f e c t i v e m e t h o da b o u ts p a r a s e q u e n c es e t sd e s c r i p t i o n , s e d i m e n tc y c l e sa n ds e i s m i c f a c i e sc l a s s i f y i n g i nt h i sp a p e r , a d o p tt h et e c h n o l o g yo fs e i s m i cs i n g u l a r i t y p r o c e s s ，w a v e l e tt i m e f r e q u e n c yc y c l e s ，s e i s m i cm u l t i - a t t r i b u t ep r e d i c t i o n , u s es e q u e n c es t r a t i g r a p h yt h e o r ya n dm o t h o d ，e s t a b l i s has u i to f w o r k f l o wo f a n a l y s i n ge x t e r i o ri n t e r f a c ea n di n t e r i o rc y c l e ss t r u c t u r eo fs e q u e n c eb o d y ， i n s p e c t i n gs e i s m i ca n dr o c kf a c i e sb o u n d a r y t r yt op u ts e i s m i cd a t ai n a n a l y s i n gs e q u e n c es t r a t i g r a p h y i nt h es t u d y , c w t , k o n h o n e n ，b pn e u r a l n e t w o r ka r i t h m e t i cw e r eu s e da n di m p r o v e dw i t l laf e wc h a n g e m o d e lt e s t s h o wt h a tt h ef l e wm e t h o dl - u n w e l l f u r t h e r m o r e ，s t u d ys p e c t r a l d e c o m p o s i t i o nt e c h n o l o g y , a d o p tm a t c h i n gp u r s u i t a r i t h m e t i ci nt i m e f r q u e n c yd e c o m p o s i t i o n ，i tg i v em o r ea c c u r a t er e s p o n s eo fg e o l o g i ct a r g e t a td i f f e r e n tf r e q u e n c y , t h i sc a nb eu s e di nh y d r o c a r b o ns e a r c h b a s e do nt h e s t u d y , as o f t w a r ew a sm a d e ，a p p l i e di ns o m ea r e aa n dg a v eg o o d r e s u l t s k e yw o r d s ：s e i s m i cs e q u e n c e ，s i g u l a r i 坝s e i s m i cc y c l i c a l ，s e i s m i cf a c e s ， s p e c t r a ld e c o m p o s i t i o n 1 1 1 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中国 石油大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意。 签名： 关于论文使用授权的说明 2 日 本人完全了解中国石油大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件及电子版，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手 段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 学生签名： 导师签名： 抄年岁月砑日 删年歹月巧日-i - ， 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 第1 章前言 随着勘探难度的加大，寻找隐蔽油气藏逐渐成为重点。层序地层学 的研究有助于提高储层的预测精度和隐蔽油气藏勘探的成功率。应用层 序的概念指导地震数据的解释，提供一个合理的地层框架，从而能够利 用地震资料深入研究地层内部结构及其岩性特征。储层预测中的地震层 序分析技术，就是根据层序地层学原理，利用地震资料划分层序体及其 组成部分。再根据层序体不同组成部分对含油气的意义，分析和圈定有 远景价值的储层分布。 地震信号包含了大量的地层信息，但通常只是使用其振幅特征进行 层位划分，而振幅可能会掩盖地下介质的真实情况，如何有效的利用地 震信号得到更多的地下地质信息，是广大地球物理人员所关心的问题。 小波变换的出现为地震信号的研究提供了方便【1 】。 传统的信号分析是建立在傅里叶变换的基础上的，它是研究稳定信 号处理的主要工具，并且在许多方面都有着很大的贡献但是傅里叶变 换也有它的不足，那就是在做变换时丢掉了时间信息，无法根据傅里叶 变换的结果判断一个特定的信号是在什么时间发生的。也就是说，傅里 叶变换只是一种纯频域的分析方法，它在频域里的定位是完全准确的。 所以它只能从整个时间域中来分析信号的变化，而对局部信号的研究有 着明显的不足。在实际中，地震信号通常含有大量的非稳态成分，而这 些情况往往是相当重要的，反映了信号的重要特征。所以在非平稳信号 分析和实时信号处理中，傅里叶变换往往是不够的。为适应这一需要人 们提出并发展了一些新的信号理论，其中，小波变换便是应传统的傅里 叶变换不能满足信号的处理要求而产生的，它也在一定程度上弥补了傅 里叶变换的不足 2 i d i 。 地震信号的突变点，也就是奇异性往往包含了大量地下岩层界面信 息，能够用来描述地层层序特征，引起了广大学者的关注【4 】【5 1 。h e r r r n a n n 及其合作者【6 1 1 7 1 1 8 1 最先提出了单尺度奇异性分析技术并且用它来估计孤 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 立奇点的奇异特征和提取地质信息。与多尺度分析方法不同，单尺度奇 异性分析保持固定的尺度，而改变分析小波的分数微积分的阶数，小波 的阶数就是对奇异特征的度量。d e s s i n g 【9 】在固定的尺度上用瞬时相位来 研究奇异性。l i n e r 、李春峰1o 】【1 2 1 1 3 1 通过连续小波计算h o l d e r 指数来研 究奇异性，提出地震数据奇异性属性，并申请了专利。h e r r m a n n ! 】、 l y o n s i h l 、j o h ns m y t h e i ”】等深入分析了地震信号奇异性属性的特点，在 层序地层识别，微弱断层检测，岩性划分等方面进行详细的地质应用， 并取得良好的效果。研究表明，地震数据经过奇异性处理后，得到的奇 异性属性能够更清楚的反映地下岩层的界面形态，捕捉岩层的微弱变化， 且可以用来识别一些微小断层，应用该方法可以有效地进行层序体界面 的识剐。 层序体的内部结构是识别层序的另一个关键要素。层序体由有成因 上的共同性和沉积上的旋回性的一组相对整合的地层连续体构成。一个 层序体开始发育在一个低水位不整合面上，结束于另次海( 湖) 平面 下降所形成的不整合面。层序体有3 个主要组成部分：层序界面、准层 序和体系域。地震勘探把层序体作为勘探目标，既既研究他的外形，又 研究它的内部结构和物质成分。外形主要是指层序体分界面及其构造轮 廓，而内部结构则主要是指沉积层的旋回性层理特征。物质成分与构造 特征和旋回性层理相联系，由沉积环境和沉积相所确定。根据沉积旋回 体的岩性、粒度成分及其方向变化，可以划分为单向和不同向的旋回体， 如正旋回( 海进型) 、反旋回( 海退型) 、正反旋回( 海进一海退型) 和反正旋回( 海退一海进型) 等旋回体模型。 从地震资料进行旋回分析的方法有很多，如沉积速率波动分析、频 谱分析、时频分析、波形分析和马尔可夫链分析1 2 0 1 其中时频分析的方 法最引人注意，最早的有穆申【捌、杜世通等f l s 】利用递推的三角形滤波器 进行时频分析。王永刚、张军华等【1 9 1 详细研究了这种三角形滤波器的频 谱特点以及参数的选择并和其它滤波器作了比较。夏竹澎1 ，刘传虎1 2 s l 等 对这时频分析方法进行了详细的地质应用，验证了该方法的可靠性。 随着小波变换这一数学工具的出现，利用小波变换进行时频分析逐渐被 人们所重视，并用在了地震资料的旋回分析上 2 3 1 2 6 1 ，取得了良好的效果。 2 中国石油大学( 华东) 硕士论文第l 章前言 时频旋回技术的研究为研究沉积旋回提供了有效的工具。 层序地层学中另一项重要的任务就是研究沉积相，地震相是特定沉 积相或地质体在地震剖面上的表现。它对油气勘探具有十分重要的意义。 在个地震层序内包含着不同的沉积相带。由于沉积环境的不同，在岩 性参量上会表现出很大的差异，包括岩石的组成、颗粒的大小和形状、 胶结程度、孔隙度、孔隙种的流体成分和饱和度、温度、压力、沉积厚 度等。岩性的变化引起弹性参量的变化，包括弹性模量、密度、速度、 泊松比、吸收特性等。弹性参量的变化又将引起地震剖面上的反射特征 的变化，包括振幅、波形、频率成分、波的干涉、相干性等。因此，在 地震剖面上表现为不同地震相属性，即不同地震相模式。提取和分析地 震层序内的这些地震相属性，将具有大致相同的地震相属性、属于同一 类地震相模式的地段识别出来，达到划分地震相的目的，再结合其它地 质和地球物理知识，可以进行沉积相和沉积模式的分析和推断【2 舯。 最初划分地震相的手工操作，即通过观察地震剖面出现的平行、发 散或杂乱反射的反射组合特征，进行“相面”法的地震相划分。这种方 法费时费力，特别当地震剖面上反射特征不明显时，此项工作更是困难。 后来发展用统计模式识别与模糊聚类为工具自动划分地震相的方法。由 于统谯模式识别对属性提取和选择要求高，模糊聚类方法又难以建立准 确合理的隶属度函数，且当数据量大时，运算时间长，有时几乎不能实 现。因而影响了上述两种方法的效果与应用。而人工神经网络可以处理 一些环境信息十分复杂、背景知识不清楚、推理规则不明确的问题、且 允许样本有较大的缺损与畸变，具有比一般模式识别更强的分类能力和 更少的局限性，故选用k o h o n e n 网络来自动划分地震相，使用效果良好。 如果该地区井数据较多时，可以通过地震资料研究砂泥的分布，进行有 利岩相的预测。实践表明，地震资料的属性，如振幅、相位、频率等， 每一种属性都只是从一个侧面反映沉积相或岩相的变化，并不能代表反 映地震信号的总体变化。所以综合利用各种属性的特征进行分析，有助 于提高预测的精度和可靠性。 时间和频率是表征地震信号的两个基本量。为了能在频率域内观察 地震信号的变化特征，早在1 9 7 9 年t a n e r 就提出复地震道概念，引出了 3 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 地震的三瞬属性，瞬时振幅、瞬时相位和瞬时频率。其中瞬时频率的应 用存在一定的局限性、不能表现出具有多频率成分地震信号的频率变化 特点。时频分解即谱分解技术的出现，为我们展现了一种全新的地震解 释方法。将地震数据通过时频分解转换到时间一频率空间，转换后产生 的振幅谱可以识别地层时间厚度的变化，相位谱可以检测地质体横向上 的不连续性。目前，谱分解技术已经得到了多方面的应用。p e y t o n 等人 ( 1 9 9 8 ) 利用谱分解技术描述沉积环境和相带，识别出了河道和下切谷 中的砂体。p a r t y k a 等人( 1 9 9 9 ) 对目的层进行谱分解，得到调谐立方体， 对薄互层进行检测。c a s t a g n a 等人( 2 0 0 3 ) 采用匹配追踪的时频分解方 法得到瞬时频谱，在气藏储层描述中得到了很好的应用。 由于时频分解的不唯一性，出现了许多的时频分析方法。广泛使用 的短时傅里叶变换( s t f t ) 方法通过对时窗函数内的信号进行傅里叶变 换得到时频谱。在s t f t 方法中，时频分辨率由窗函数的长度决定，而 不同的时窗长度将会产生较大的差别，为应用带来困难。利用小波变换 ( c w t ) 进行的时频分析，是在不同尺度下对信号分解，得到的是时间 一尺度图，因为尺度代表的是一个频段，如果要具体分析某一频率时刻 的信号，c w r 方法将会受到限制。s i n h a 等人( 2 0 0 3 ) 将c w t 方法进 行了改进，通过对c w t 的反变换进行傅里叶变换得到时间一频率图， 从而进行时频分解。 m a l l a t 等人在1 9 9 3 年提出的匹配追踪时频分解( 狂，d ) 算法，由于 具有自适应的分解特点，能够提供很好的时间、频率分辨率，成为目前 较好的时频分解技术，可以用来对储层进行更精确的地震成像，提高了 储层预测的精度，为勘探目标的确定以及并位的设计提供可靠有力的技 术手段。 - 正- 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章小波理论与计算机实现 第2 章小波理论与计算机实现 长期以来，傅里叶变换一直是信号处理的重要手段之一。但傅里叶 变换只是一种纯频域的分析方法，它在频域的定位性是完全准确的( 即 频域分辩率最高) ，而在时域无任何定位性( 或分辨能力) ，也即傅里叶 变换所反映的是整个信号全部时间下的整体频域特征。而不能提供任何 局部时间段上的频率信息。相反，当一个函数用6 函数展开时，它在时 问域的定位性是完全准确的，而在频域却无任何定位性( 或分辨能力) ， 也即6 函数分析所反映的只是信号在全部频率上的整体时域特征，而不 能提供任何频率段所对应的时间信息。对时变信号进行分析，通常需要 提取某一时间段( 或瞬间) 的频域信息或某一频率段所对应的时间信息。 因此，寻求一种介于傅里叶分析和6 分析之间的，并具有一定的时间和 频率分辨率的基函数来分析时变信号，一直是信号处理界及数学界人士 长期以来努力的目标。 为了研究信号在局部时间范围的频域特征。1 9 4 6 年g 曲o r 提出了著 名的g a b o r 变换，之后又进一步发展为短时傅里叶变换( s h o r tt i m e f o u r i e rt r a n s f o r m ，简记为s t f t ，又称为加窗傅里叶变换) 。 目前，s t f t 已在许多领域获得了广泛的应用，但由于s t f t 的定义 决定了其窗函数的大小和形状均与时间和频率无关而保持固定不变，这 对于分析时变信号来说是不利的。高频信号一般持续时间很短。而低频 信号持续时间较长，因此，我们期望对于高频信号采用小时间窗，对于 低频信号则采用大时间窗进行分析。在进行信号分析时，这种变时间窗 的要求同s t f t 的的固定时窗( 窗不随频率而变化) 的特性是相矛盾的。 这表明s t f t 在处理这一类问题时己无能为力了。此外，在进行数值计算 时，人们希望将基函数离散化，以节约计算时间及储存量。但g a b o r 基 无论怎样离散，都不能构成一组正交基，因而给数值计算带来了不便。 这些是g a b o r 变换的不便之处。但这恰恰是小波变换的特长所在。小波 5 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章小波理论与计算机实现 变换可以解决上述问题，小波变换可通过平移和伸缩参数实现对信号局 部信息的任意“放大”或“缩小”，从而可得到局部性信号的不同频率分 量的相同时频分辨率。小波变换的这一特点已经被广泛地应用于地震记 录的信号处理。小波变换不仅继承和发展了s t f t 的局部化的思想，而且 克服了窗口大小不随频率变化，缺乏离散正交基的缺点，是一种比较理 想的进行信号变换的数学工具。将小波分析用于地震信号分析有着广阔 的应用前景。i l j 2 1 小波的起源和发展 小波分析的首次应用是在1 9 8 4 年，法国地球物理学家m o r l e t 在分 析地震波的局部性时首次采用了小波变换。真正的小波变换热始于1 9 8 6 年，当时m e y e r 创造性的构造了具有一定衰减性的光滑函数，其二进制 的伸缩和平移构成了实轴上平方可积函数空间的规范正交基。其后， m e y e r 、m a l l a t 、d a u b e c h i e s 、g r o s s m a n a 等人为小波的研究和应用做 出了重要贡献，使小波应用得到了飞速发展。 小波分析源于信号分析，源于函数的伸缩和平移。它是傅里叶分析、 g a b o r 分析，短时傅里叶分析发展的直接结果。傅里叶分析是把信号投 影到一组正交基p ”上，投影系数即傅里叶系数，由于每个p “实际上是 一正弦波，具有单一的频率，所以傅里叶分析在频域上是完全局部化的。 由于单个正弦波在时域上具有全局性，因此傅里叶分析在时域上没有任 何局部化。针对傅里叶分析缺少时频分析功能，d g a b o r 在1 9 4 6 年通过 在傅里叶分析中引入窗函数，对信号的时域和频域进行局部化处理，即 产生了g a b o r 分析。其公式为 。四力) = e ，( f ) i 万丽磊 ( 2 1 ) 但g a b o r 分析仍有不足，因为g a b o r 分析的时窗宽度固定，理论上 要求高频时时窗应该窄，低频时时窗应较宽，即需要一个可调窗。由于 各种需要，必须选一个较大的窗，这就引出了短时傅里叶分析。在短时 6 - 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章小波理论与计算机实现 傅里叶分析中，不同的窗函数确定的时窗宽度各不同，但对任一固定窗 函数，其时窗仍然固定。因此，仍然缺乏一个宽窄可以灵活改变的时频 窗函数。这种灵活的窗函数由小波函数实现。 2 。2 小波变换的基本概念 2 2 1 连续小波变换( c w t ) 加窗后的傅里叶变换虽然有了时间分辨，但时间分辨和频率分辨之 间的矛盾无法克服，应用于实际信号分析，尚有不足之处。在分析信号 时，不同的频率上应有不同的分辨率。低频处应有较高的频率分辨率， 而在高频段频率分辨率可降低，使频率分辨率矽随频率，而变。小波变 换( w a v e l e tt r a n s f o r m ，w t ) 正具有这样的特性1 2 】。 设x ( f ) 是平方可积函数 记作x ( t ) r ( 固 ，妒( f ) 是被称为基本小波 或母小波( m o t h e rw a v e l e t ) 的函数。则 r v r a 口, b ) = 辜) 妒仁与d t = ( 工( f ) ，j ( f ) ) ( 2 2 ) 吖a a 称为x ( f ) 的小波变换。式中a 0 是尺度因子，b 反映位移，其值可 正可负，在实际工程应用中负值无意义，因此我们在讨论过程中只取正 值。符号 代表内积，表示工) 与y g ) 的相似程度。上标代表取共 轭。i f o o ) = 专妒( 掣) 是基本小波的位移与尺度伸缩，上式f 不但是连 吖a “ 续变量，而且4 和b 也是连续变量，因此称为连续小波变换( c o n t i n u o u s w a v e l e tt r a n s f o r m ，简记c w t ) 。 当尺度a 增加时，表示以伸展了的小波去观察整个z ( f ) ；反之当尺度 a 减小时，则以压缩的小波去衡量x o ) 的局部。 时移b 的作用是确定对x ( t ) 分析的时间位置，也既时间中心，尺度 7 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章小波理论与计算机实现 因子口的作用是把基本小波妒( f ) 作伸缩。由妒变成y ( t l a ) ，当口 1 时， 口越大，则缈( ，口) 的时域支撑范围( 即时域宽度) 较之少( f ) 变的越大； 反之，当口 o ，口= l ；( c ) b 不变，4 = z ；( d ) 分析范国 需要说明以下几点： ( 1 ) 基本小波( f ) 可以是复数信号，特别是解析信号 ( 2 ) 吵。( f ) 前加因子l 石的目的是使不同a 值下的。 ( f ) 的能量保 持相等。e p i c = 1 ( f ) 1 2 d t 是基* d 、波的能量，则妙( f ) 的能量是 8 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章小波理论与计算机实现 弘惦* = 吉槲州 。， ( 3 ) 以上内积往往被不严格的解释成卷积。如果y ( f ) 是关于t = o 对称 的函数，则计算结果无区别；如非对称，在计算方法上也没有本质的区 别。 小波变换的频域表示为 m r x ( 啪) = 尝p ( 卵如咖胁如( 2 - 4 ) 如果w ( c o ) 是幅频特性比较集中的带通函数，则小波变换便具有表征待分 析信号x ( 缈) 频域上局部性质的能力。 从频域上看，用不同尺度作小波变换大致相当于用一组带通滤波器 对信号进行处理。带通的目的既可能是分解，也可能是检测。 对小波变换而言，所采用的小波必须满足所谓“容许条件” ( a d m i s s i b l ec o n d i t i o ) ，反变换才存在。即只有当少( f ) 满足容许条件 = 掣 。， 时才能由小波变换v e l ( a ，6 ) 反演源函数x ( t ) 。由容许条件可以推论出： 能用作既不那小波妒9 ) 的函数至少必须满足v p = o ) = 0 ，也就是说 壬， ) 必须具有带通性质，且矿o ) 必是由正负交替的振荡波形，使得其平 均值为0 ，这便是称之为“小波”( w a v e l e t ) 的原因。 另外，为了适应实际的高要求，y ( f ) 还应满足“正规性条件”，以便 甲 ) 在频域上表现出较好的局域性能。为了在频域上有较好的局域性， 要求i 阡( 口，6 ) i 随口的减小而迅速减小，这就要求y ( f ) 的前阶原点矩为0 ， 且n 值越高越好，也就是要求 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章小波理论与计算机实现 k ，妒( r ) 西= 0 ，p = l n ，且n 越大越好。 ( 2 6 ) 此要求的相应频域表示是：甲) 在国= 0 处有高阶零点，且阶次越高越 好( 一阶零点就是容许条件) 。即 甲 ) = c o ”1 ( ) ， = o ) o ，n 越大越好 ( 2 7 ) 式( 2 - 6 ) ，( 2 - 7 ) 就是正规则条件 2 2 2 c w t 与s t f t 的比较 为了说明c w t 和s t f t 作局部分析时性质有何不同，对它们作时频局 部分析的特点作一比较。 对于c w t ，若y ( f ) 的时间中心是b ，时宽是血，甲 ) 的频率中，f i , 是 m o ，带宽是，那么l f ( t l a ) 的时间中心变为a t o ，时宽变为a a t ，o 口) 的频谱a v e ( a c o ) 的频率中心变为，4 ，带宽变为a o a ，这样，v ( t l a ) 的时宽一带宽积仍是a t a c o ，与口无关。这一方面说明小波变换的时频关 系也受到不定原理的制约，但另一方面，也即更主要的揭示y d , 波变换 的一个性质，即恒q 性质。定义妒( f ) 的品质因数为： q = a r o t o o = 带宽中心频率 则；v ( t l a ) 有 带宽中心频率= _ a o _ l ：a = a c o o j 。= q m 。，口 因此，不论a 为何值( 口 o ) ，i v ( t l a ) 始终和y ( r ) 具有相同的品质因 数。恒q 性质是小波变换的一个重要性质，也是区别于其它类型的变换 且被广泛应用的一个重要原因。 图2 - 2 ( a ) 即反映了小波变换在不同尺度下的时宽、带宽、时间中心、 1 0 - 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章小波理论与计算机实现 频率中心的关系。由于小波变换的恒q 性质，在不同尺度下，图中的时、 频分析区间( 即图中矩形) 的面积始终保持不变。由此看到，小波变换 提供了一个在时、频平面上可调的分析窗口。该分析窗口( 图中2 c a 。) 的频率分辨率不好( 矩形窗的频率边变长) ，但时域的分辨率变好( 矩形 的时间边变短) ：反之，在低频端( 图中。2 ) ，频率分辨率变好，时间 分辨率变差。但在不同的a 值下，图中分析窗的面积保持不变。由此可 见，信号的时、频分辨率可以随分析任务的需要作调整。 由上可知小波变换的特点，当4 值小时，时轴上观察范围小，而在 频域上相当于用较高频率作分辨率较高的分析，即用高频小波作细致观 察。当a 值较大时，时轴上考察范围大，而在频域上相当于用低频小波 作概貌观察。分析频率有高有低，但在各分析频段内分析的品质因数却 保持一致。这是一项很符合实际工作需要的特点，因为如果希望在时域 上观察的愈细致，就愈要压缩观察范围，并提高分析频率。 口 砜 矾 ，2 t 2t 2 t t l ( a ) 图2 - 2 信号分析的时频区间 ( a ) c w t 对信号分析的时频区间；( b ) s 1 1 可对信号分析的时频区间 s f t f 的处理方法是对信号x ( t ) 施加一个滑动窗g ( t 一订( f 反映滑动 窗的位置) 后，再作傅里叶变换： 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章小波理论与计算机实现 s z 甄( f ，0 2 ) = l 工( f ) g ( r - t ) e - i 4 , d r = ( x ( f ) ，g ( f f ) e ”) ( 2 8 ) 由于该式中只有窗函数的位移而无时间的伸缩，因此，位移量的大 小不会改变复指数e ”的频率。同理，当复指数e 变成口”( 即频率发 生变化) 时，这一变化叶不会影响窗函数g ( o 。这样，当缈由0 2 0 变成2 时，对x ( t ) 分析的中心频率改变，但分析的频率范围不变，也即带宽不 变。因此，s t f t 不具备恒q 性质，当然也不具备随着分辨率变化而自动 调节分析带宽的能力，如图2 - 2 ( b ) 所示。 2 2 3 离散小波变换( d w t ) 从前述讨论可知，一维信号x ( ，) 作小波变换成为二维的聊：( 口，f ) 后 其信息具有冗余的，我们希望在一些离散的尺度和位移下计算小波变换， 而有不致丢失信息。【2 】 先讨论尺度的离散化。目前通行的办法是对尺度按幂级数作离散化。 即令a 取a o o = l ，口：，a o ，。此时相应的小波函数是 a 0 2 舛口一( f f ) 】，j = o , 1 ，2 。 再看位移的离散化，当a = a ：= l ( 也就是，= 0 时) ，f 可以某一基 本间隔o 作均匀采样。应适当选择使信息仍能覆盖全f 轴而不丢失( 例 如不低于n y q u i s t 采样率) 。在其余各尺度下由于a i 7 t 】的宽度是o ) 的 口j 倍，因此采样间隔可以扩大倍。也就是说，在某一_ ，值下沿f 轴以 为间隔作均匀采样仍可保证信息不丢失。这样，虬，o ) 就改成： 兰 a o2 纠a g j o 一妇；f o ) 】= 4 0 2 纠啄t k r o 记作, k t a ( f ) ( 2 9 ) 在这些点上计算得的w t 记作： 鸭( “, k r o ) 2 ) y 二q ( ) 以y = o ，l ，2 ，后z ( 2 1 0 ) 上式常称为离散小波变换，但此时r 并未被离散化，仅能称为离款 一1 2 - 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章小波理论与计算机实现 a ，f 栅格下的小波变换。 离散正交小波函数族在小波分析中占据重要地位，它形成了平方可 积函数的一组正交基。x ( f ) 的小波级数表示为 x ( f ) = c 肚 ( ，) ( 2 - 1 1 ) j , k - - 帕 所以小波系数为：巳，= ( x ) 专，吉) ( 2 - 1 2 ) 可见，对平方可积的函数x ( f ) ，它被分解为小波族2 v ( 2 j t 一七) 的 线性和，其系数e j 。由小波变换在具有二进伸缩a = 2 7 的二进位置 f = 砉计算给出。和傅里叶分析一样，小波分析实际上是对小波系数的 研究。 这样，正交小波函数的额- s t * 缩和平移形成了平方可积空间工2 的 规范正交基，即：r = s p a n ( v s 。o ) ) 。当，一定时，构成了r 上闭子空间嘭的正交基。即 = s p a n ( g ，：, o ) ) kez ( 2 一1 5 ) 这样，空间r 被分解为系列子空间形，的直接和： r = + 睨2 + + ( 2 1 6 ) 2 2 4 多分辨率分析 由小波函数的伸缩形成了系列闭包，考虑如下的闭子空间： 巧= ”+ 2 + + ( 2 一1 7 ) 该组闭子空间若满足以下条件啪： 1 ) 单调性：c c ckc 2 ) 逼近性：n 一= o ) ，u 巧= r ( r ) ，j z 3 ) 伸缩性：x ( t ) 巧铮x ( 2 t ) 巧十l ，j z - 1 3 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章小波理论与计算机实现 4 ) 平移不变性：工( r ) 营x ( t 一| i ) v o ，j z 5 ) r i e s z 基存在性：存在妒v o ，使得 妒p 一七) ) i e z 构成的r i e s z 基。 则该组嵌套的子空间 巧) 冉：构成r 的多分辨率分析。为巧在。 中的正交补空间，即y 0 = o 巧。由上述条件知，如同小波函数( ，) 的 伸缩和平移生成了序列空间眵一样，存在尺度函数妒( f ) 的伸缩和平移生 成了嵌套子空间。即： 巧= s p a n ( e p j ( f ” ，七z( 2 - 1 8 ) 其中伊肚( ，) = 2 j n c p ( 2 t 一_ i ) 。分析多分辨率可知，f h 于- x ( t ) 可在上 无穷逼近，其余项部分可在上给出，通过减小，上能量将向上 转移。该过程巧妙的通过多分辨率分析实现。 设信号x p ) 的离散采样序列x ( 功玎= 1 , 2 ，n ，若以x ( 帕表示信号在 尺度j = 0 时的近似值，记为c o ( 万) = x ( n ) ，贝l j x c t ) 的离散二进小波变换由 下式确定； c “( 功= ( 七一2 n ) e ， 2 【z 一1 9 a ) t + l ( 力= g ( k 一2 n ) c j ( k ) kez(2-19b) 式中，h ( n ) 和g ( n ) 为由小波函数y 确定的两列共轭滤波器系数。 此时尺度函数由两尺度关系： 妒( f ) = h ( k ) e ( 2 t - k ) ， 完全确定，其中 ( j | ) = 占妒6 ，矿( ，一0 ) 其傅里叶变换日) ：艺厅( 七2 弘彳有如下特点： p ) n 日( 国+ 万1 2 l _ 疆i h ( o ) 1 2 = 1 尺度函数伊o ) 的变换如下给出：痧o ) = f i h ( 2 9 ) 相应的，小波函数由：i f ，( d = g 【七) 妒p = l 一 完全确定，其中g ( 七) = ( - 1 ) ( 1 一七) 肛哪 一1 4 ( 2 - 2 1 ) ( 2 - 2 2 ) ( 2 - 2 3 ) 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章小波理论与计算机实现 由此可以看出，一个多分辨率分析决定了相应的尺度函数，进而决 定了相应的小波函数，而滤波器系数序列则完全决定了多分辨率分析。 找出满足要求的序列，就可以构造相应的规范正交基。 式( 2 1 9 ) 中，c 和d 分别称为信号在尺度上的近似部分和细节部分 离散信号经过尺度的分解，最终分解为，它们分别包含了信号从高频到 低频的不同频带的信息，所以被称为多分辨率分析同时它们各自都包 含了原信号的时间信息，因而是信号的时频表示。 由小波分解的结果重构信号的算法也由m a l l a t 给出。记 风i = 玩m ，g 。 = g i 2 。，则有矩阵h _ ( h ”。) ，g ：( g ” ) 。式( 2 1 9 ) 重新 记为： c j + l ( h ) = h c j ( k ) 且d 川0 ) = g c j ( k ) ( 2 - 2 4 ) n 有c j ( k ) = h c + i + g d ，+ l ( 2 2 5 ) 上式即为重构算法。 由此可见，多分辨率分析的基本思想是把信号投影到一组互相正交 的小波函数构成的子空间上，形成了信号在不同尺度上的展开，从而提 取了信号在不同频带的特征，同时保留了信号在各尺度上的时域特征。 虽然多分辨率分析是一种有效的时频分析方法，但它每次只对信号的低 频部分进行分解，高频部分保留不动，而且它的频率分辨率与2 成正比， 因此高频部分频率分辨率差。小波包分析对此进行了改进，它同时可在 低频和高频部分进行分解，自适应的确定信号不同频段的分辨率。小波 包分析的基本原理与小波分析相同，只是分解不只对低频成分，也要对 高频进行，从而使信号的高频部分的频率分辨率也得到提高。 2 3 小波变换的计算机实现 2 3 1 小波的选取 由前面的讨论可知，可以作为小波的函数矿，它一定要满足容许条 1 5 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章小波理论与计算机实现 件，在时域一定是有限支撑的，同时，也希望在频域也是有限支撑的， 当然，若时域越窄，其频域必然是越宽，反之亦然。在时域和频域的有 限支撑方面往往只能取一个折中，此外，希望由母小波y ( 力形成的y 。 是两两相交的，或是双正交的；进一步，希望y ( f ) 有高阶的消失矩，希 望与y ( f ) 相关的滤波器具有线性相位，等等。对已经提出的小波可以分 为三大类，第一类是经典小波，如h a a r 小波、m o r l e t 小波等；第二类是 d a u b e c h e i s 构造的正交小波，第三类是由c o h e n ，d a u b e c h i e s 构造的双 正交小波。 本文采用的小波基于m o r l e t 小波 4 1 ， o ) = 石“p 哪p 。1 2 ( 2 2 6 ) 它是一个具有高斯包络的单频率复正弦函数，其时、频两域的局部性能 都比较好( 虽然严格是说它并不是有限支撑的) ，平且也不满足允许条件， 因为甲白= 0 ) 0 ，在实际应用中，当矾25 时，可近似满足条件，在这 里取矾= 6 来满足允许条件( f a r g e1 9 9 2 ) 。 为了能够调整小波变换在时间域和频率域中的分辨率，对经典的 m o r l e t 小波稍微改进，引入了阻尼因子c ， 妒= 石- 1 h 口4 衄r 口n 稚( 2 - 2 7 ) 其中t 是时间，f o 是频率参数，c 是以时间为单位的阻尼参数，这个方程 描述了由高斯和复指数组成的时间域函数，它的中心频率是f 0 。 从方程中，可以看出这是一个逐渐振荡衰减到零的过程，阻尼参数 c 控制着时域波形和频域频谱的衰减速率。当c 增大时，时域局部性增 大，频域局部性减小：当c 减小时，时域局部性减小，频域局部性增大。 该参数对c w t 的结果有同样的影响。因此，可以通过选择不同的c 值来 满足时域或频域局部性的要求。实际上，当c 哼时，这里定义的m o r l e t 小波就变成了傅里叶核函数。 1 6 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章小波理论与计算机实现 图2 3 显示了改进的m o r l e t 小波在不同的阻尼因子c 下，时频两域 分辨率的特点，该例子中，所用的l n o r l e t 小波的中心频率为4 0 h z ，图 2 - 3 ( a ) 为阻尼因子c = o 0 1 时的波形，实线是实部，虚线是虚部。图2 3 ( b ) 是图2 3 ( a ) 对应的频谱图，频谱中心在4 0 h z 。图2 3 ( c ) 为阻尼因子c = 0 0 2 时的波形，实线是实部，虚线是虚部。可以看出它的时域宽度要 大于图2 3 ( a ) 中的波形。图2 - 3 ( d ) 是图2 3 ( c ) 对应的频谱图，频谱中 心在4 0 h z ，这时的频谱宽度要小于图2 3 ( b ) 中的频谱。由此得出，如果 需要提高时间分辨率，可以使用较小的阻尼因子；如果需要提高频率分 辨率，则使用大的阻尼因子即可。 o 囊o o f - 一 、： 能卜1 y ? v ： 、 i l 时同 ( c ) 几、 ?。jq ! ，、k u 7if 髟 v ? k j o o 蠢o 。 o 乒一! | i ”；7 。 f_n￥ 一k ；l 、 一 i | | 一， 对同疑率 图2 - 3 不同阻尼参数下的) d o r l e t 小波波形与频谱 在进行连续小波变换计算时，采用方程( 2 - 2 7 ) 的小波，小波函数为 y 。p ) ，阻尼参数c 的影响的两方面的，对于实指数部分，尺度与阻 尼参数相乘，有效的扩展了小波时域范围。对于复数指数部分，尺度与 1 7 ， 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章小波理论与计算机实现 频率相除，降低了它的精度来维持时域的振荡。 2 3 2 算法的实现 在连续小波变换计算中，假设有一时间序列x n ，采样间隔是6 。n = 0 n - 1 ，小波函数用y 。表示，采用式( 2 2 7 ) 的m o r l e t 小波，离散序 列的连续小波变换可以定义为】【- 与离散尺度位移下的( f ) 的褶积： 删= 耖斜 ( 2 - z s ) 其中宰表示复共轭，通过公式( 2 - 2 8 ) ，便可以计算不的小波变换，但实际 应用中，为了快速计算，通常在频率域中计算。 利用( 2 - 2 8 ) 式计算小波变换，在每一个尺度下需要计算n 次，n 是 时间序列的点数，x n 的离散傅里叶变换( d f r ) 为： 屯2 亩萎e 4 砌“( 2 - 2 9 ) 其中k = 0 卜l 是频率下标，令小波函数( f j ) 的傅里叶变换为 矿g 万) ，由褶积理论可知小波变换可已用下式表示： w o ( = ) - - 文痧g a x 吼裙 ( 2 3 0 ) 其中角频率。定义为： f 丝：七翌 吼= 镶，2 ( 2 - 3 1 ) 【一面捕 i 通过式( 2 3 0 ) 并利用快速傅里时变换的函数，就可快速的计算所给尺度 s 下】【i i 的小波变换。 1 8 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章小波理论与计算机实现 2 3 3 小波变换的标准化 为了能使小波变换( 2 - 3 0 ) 在不同尺度s 下能够相互比较，需要对小 波函数进行标准化，标准化的方法有很多，可以对振幅进行标准化或者 对能量进行标准化，即可以在时域实现，也可在频域实现。本文采用对 能量标准化的方法，使小波函数在每个尺度s 下具有相同的能量： 如办( 爿2 ( 2 - s z ) 使各尺度下的小波函数瓯定义为： c | 痧。吲2 耐= l ( 2 - 3