（地球探测与信息技术专业论文）横向各向同性介质有限差分法波场模拟方法研究.pdf

摘要 地震波数值模拟一直是人们理解和认识波在各向异性介质中传播特性的重要手 段。在数值模拟的方法方面，有限差分方法以其计算速度快、边界处理简单等优势受 到人们的青睐，但是有限差分数值模拟方法有两个关键问题需要考虑，即数值频散和 人工边界条件。本文重点研究了高阶交错网格有限差分数值模拟中的数值频散和人工 边界条件，给出了相应的改进策略，然后基于均匀横向各向同性( v e r t i c a lt r a n s v e r s e i s o t r o p y ，简称v t i ) 介质p 波、p s v 转换波和s h 波一阶速度一应力波动方程应用高 阶交错网格有限差分法进行了波场正演模拟，并实现了弹性波波场分离。 为了消弱数值频散，本文将紧致差分格式和交错网格技术相结合，推导了横向各 向同性介质一阶速度一应力波动方程的紧致交错网格差分格式，对比分析了紧致交错 网格差分格式、交错网格差分格式以及紧致差分格式的截断误差主项，并利用f o u r i e r 误差分析方法分析了上述三种差分格式的近似精度。基于最优化的理论，分别引入强 约束条件和弱约束条件，构造了l a g r a n g e 函数；然后通过求取条件极值得到了一阶 导数的交错网格优化差分算子，进一步提高了差分格式的计算精度。 针对人工边界造成的截断误差问题，本文总结了几种常用的人工边界条件，指出 了它们的优缺点；详细地分析了衰减边界条件吸收效果的影响因素，提出了改进的衰 减函数及其应用原则。基于完全匹配层( p e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r ，简称p m l ) 边界 条件，本文实现了二维v t i 介质p s v 波和s h 波一阶速度一应力波动方程的裂化p m l 边界条件，并将提出的衰减函数应用原则应用到p m l 边界条件中。分别应用改进的 衰减边界条件和p m l 边界条件进行数值模拟，均获得了较好的效果。 为方便分析波场特征，有必要对正演模拟得到的矢量波场进行分离。基于纵波为 无旋场、横波为无散场，本文实现了纵波和转换横波波场分离，数值算例证实了方法 的有效性。 关键词：有限差分，数值频散，紧致交错，优化系数，边界条件 f i n i t ed i f f e r e n c en u m e r i c a lm o d e l i n go fs e i s m i cw a v e f i e i d si nt a n s v e r s e l y i s o t r o p i cm e d i a w i t hav e r t i c a la x i s l ib i n ( g e o p h y s i c a lp r o s p e c t i n ga n d i n f o r m a t i o nt e c h n o l o g y ) d i r e c t e db yp r o f d uq i z h e n a b s t r a c t s e i s m i cn u m e r i c a lm o d e l i n gi sa ni m p r o t a n tt o o lt ou n d e r s t a n dt h ew a v ep r o p a g a t i o n c h a r a c t e r i s t i c si na n s t r o p i cm e d i u m i nt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nf i e l d ，b yv i r t u eo fi t sh i g h e f f i c i e n c ya n de a s yi m p l e m e n t a t i o no fb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，t h ef n i t ed i f f e r e n c em e t h o d i s a t t r a t i v e 。h o w e v e r , i th a st w ok e yq u e s t i o n s ，w h i c ha lec a l l e dn u m e r i c a ld i s p e r s i o na n d a r i t i f i c a lb o u n d a r yc o n d i t i o n s b a s e do nt h et h e o r yo fs t a g g e r e d g r i df i n i t ed i f f e r e n c e ， f i r s t l y , w ef o c u so nt h en u m e r i c a ld i s p e r s i o na sw e l la st h ea r t i f i c a lb o u n d a r yc o n d i t o n s ， a n dp u tf o r w a r dt h ec o r r e s p o n d i n gi m p r o v e m e n ts t r a t e g i e s ；s e c o n d l y , w es i m u l a t es e i s m i c w a v ep r o p a g a t i o ni n2 dv e r t i c a lt r a n s v e r s e l yi s o t r o p i em e d i a , a n da n a l y z et h es e i s m i c n u m e r i c a lm o d e l i n gr e s u l t s ；f i n a l l y , w es u c c e s s f u l l ys e p a r a t et h ee l a s t i cw a v e f i e l d t od e a lw i t ht h en u m e r i c a ld i s p e r s i o n ，j c i r s t l y b yc o m b i n i n gt h es t a g g e r e d g r i d t e c h n o l o g yw i t ht h ec o m p a c tf i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e ，w ed e r i v eac o m p a c ts t a g g e r e d g r i d f i n i t ed i f f e r e n c es c h e m ei nv e r t i c a lt r a n s v e r s ei s o t r o p i cm e d i u mf r o mt h ef i r s t - o r d e r v e l o c i t y s t r e s sw a v ee q u a t i o n s w i t ht h ec o m p a r i s o no f t h ep r i n c i p a lt r u n c a t i o ne r r o rt e r m s o ft h ec o m p a c ts t a g g e r e d g r i df i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e ，t h es t a g g e r e d g r i df i n i t ed i f f e r e n c e s c h e m ea n dt h ec o m p a c tf i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e ，t h et h e s i sa n a l y z e st h ea p p r o x i m a t i o n a c c u r a c yo ft h ea b o v et h r e es c h e m e st h r o u g hf o u r i e ra n a l y s i s s e c o n d l y , b a s e do nt h e o p t i m i z a t i o nt h e o r y , w ec o n s t r u c tt w of o r m so fl a g r a n g ef u n c t i o nb yi n t r o d u c i n gs t r o n g a n dw e a kc o n s t r m n t ，r e s p e c t i v e l y , a n df u r t h e ro b t a i nt h e o p t i m i z a t i o no p e r a t o rf o r s t a g g r e d - g r i df i n i t ed i f f e r e n c ev i at h es o l u t i o no fc o n d i t i o n a le x t r e m u mv a l u e ，w h i c hi s a l s oc o m p a r e dw i t l lt h en o r m a lt a y l o re x p a n s i o no p e r a t o r i no r d e rt ow e a k e nt h ea r t i f i c a lb o u n d a r yr e f l e c t i o n ，w es u m m a r i z es e v e r a lk i n d so f t y p i c a la r t i f i c a lb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，a n dp o i n to u tt h e i rs h o r t c o m i n g s ，r e s p e c t i v e l y a f t e r a n a l y z i n gt h ei n f l u e n c ef a c t o r so ft h es p o n g em e t h o d si nd e t a i l ，w ep r e s e n tt h ei m p r o v e d d a m p i n gf u n c t i o n sa n dt h e i ra p p l i c a t i o np r i n c i p l e s t h ep e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r ( p m l ) a b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n ( a b c ) h a sb e e nw i d e l yu s e df o rs e i s m i cn u m e r i c a l m o d e l i n g i nt h ep a p e r , w ei m p l e m e n tt h es p l i tp m l sf o rt h ev e l o c i t y s t r e s sf o r m u l a t i o no f e l a s t o d y n a m i c s ，a n da d a p tt h ep r o p o s e da p p l i c a t i o np r i n c i p l e st ot h ep m l s t h es i m u l a t i o n r e s u l mh a v es h o w nt h ev a d i t yo ft h ei m p r o v e ds p o n g em e t h o d sa sw e l la st h ep m l s i no r d e rt oa n a l y z et h ew a v ep r o p a g a t i o nc h a r a c t e r i s t i c se a s i l y , i t sn e c e s s a r yt oc a r r y o u tt h es e p a r a t i o no ft h ew a v e f i e l d s t a k i n gt h ed i v e r g e n c ea n dt h ec u r lo ft h ev e c t o r i a l w a v e f i e l dd u r i n gt h ef i n i t ed i f f e r e n c em o d e l i n g ，w es e p a r a t ep a n dc o n v e n e ds v - w a v e si n 2 de l a s t i cs e i s m o g r a m sa n dg e tc l e a rw a v e f i e l d s b yi n t r o d u c i n go p t i m a ld i f f e r e n c e o p e r a t o r t h er u s u l t sh a sa l s op r o v e dt h ev a l i d i t yo ft h ei m p r o v e ds t r a t e g i e s k e yw o r d s ：f i n i t ed i f f e r e n c e ，n u m e r i c a ld i s p e r s i o n ，c o m p a c ts t a g g e r e d ，o p t i m a l c o e f f i c i e n t s ，b o u n d a r yc o n d i t i o n u l 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得 的成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致 谢外，本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得 中国石油大学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料。与我一同 工作的同志对研究所做的任何贡献均已在论文中作出了明确的说明。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名：墨参红 日期：矽秒7 年移月午日 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其 印刷版和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关 部门( 机构) 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位 论文被查阅、借阅和复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，采用影印、缩印或其他复制手段保存学位论文。 保密学位论文在解密后的使用授权同上。 学位论文作者签名： 指导教师签名： 尜宝 u i 、 日期：2 力。罗年石月日 日期：7 年月彳日 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 1 1 研究的目的和意义 第一章前言 各向异性研究是当今地震勘探与开发、地震预报、地球深部结构探测等研究领域 中的重要课题之一。早期地震勘探的目标是寻找大的构造油气藏，因此往往忽略了地 球介质的各向异性。然而各向异性是地球介质中广泛存在的，如果采用基于各向同性 介质的地震数据处理方法来处理各向异性介质的地震资料，就会导致地震分辨率降低 和地震成像误差。在当今勘探难度越来越大的情况下，为了寻找隐蔽性油气藏，就要 充分考虑地下介质的各向异性，弄清楚地下的复杂构造。因此，开展地震各向异性研 究是地震学家认知地球介质、进行地震学研究的发展趋势。 地震波传播理论是地震勘探的基石，研究地震波在地下介质中的传播是探明地层 内部结构的一个重要手段。地震正演模拟基于地震波传播理论，它不仅是研究复杂地 区地震资料采集、处理和解释的有效辅助手段，而且是研究地球深部精细构造的有效 工具。地震波场可以提供有关地层构造和岩石性质的大量信息，它能够反映不同类型 各向异性的成因，因此，地震波正演模拟是认识地震各向异性的重要途径之一。 作为地震正演模拟的一个重要分支，地震数值模拟是勘探地球物理学的一个重要 组成部分，其作用主要有两点：一是作为一种认知工具，有助于人们提高对复杂介质 中地震波传播规律的认知水平；二是作为一种检验工具，检验各种方法技术的应用效 果及适用范围l z j 。在众多数值模拟方法中，有限差分法以其独特的优势占据着重要的 地位。根据各向异性介质有限差分法数值模拟存在的问题和发展方向，本文主要针对 具有垂直对称轴的横向各向同性( v t i ) 介质开展工作，研究了有限差分数值模拟中 的频散问题和人工边界条件，并给出了改进的措施。另外，本文也将研究结果应用到 了各向同性介质波场分离数值模拟中，同样得到了较好的模拟效果。 1 2 地震各向异性 地震各向异性主要表现在地震波的速度随传播方向和偏振状态的不同而不同，同 时，它还表现在体波间的相互耦合。在各向同性介质中，p 波和s v 波是独立传播的， 而在各向异性介质中，二者相互耦合在一起传播。弹性波传播可能是各向异性一即速 度可能取决于方向的想法在1 7 5 年前就已经存在了【3 】o 最初这只是些项级科学家的 第一章绪论 研究项目，如柯西、菲涅耳、格林和开尔文等。从1 9 5 0 年开始，人们开始意识到地 震各向异性的重要性，逐渐开展对地震各向异性的研究，研究内容主要是薄层介质以 及由此引起的横向各向同性( t i ) 介质。 2 0 世纪的最后2 0 年，各向异性研究变得很有价值。c r a m p i n 4 】指出，岩体中的裂 缝产生了可观察到的效应，根据这些效应可推导出裂缝的方位和密度。由于这一信息 对研究岩石的储层性质有直接意义，人们逐渐对地震各向异性产生浓厚的兴趣。采集 技术的改进把早期的理念转变成了重要的勘探和开发工具。虽然地震各向异性通常比 较弱，但它仍然在现代数据中占有重要地位。 近几十年来天然和人工勘探领域的有关学者对各向异性作了大量的研究，同时将 各向异性的研究成果应用到了油气、天然地震检测、地壳结构探测等领域【5 1 。通过对 地下油气储层裂隙诱导各向异性的研究，有望弄清裂( 缝) 隙的分布和密度情况，甚 至弄清裂( 缝) 隙中充填物的性质，为油气勘探和开发提供重要的储层描述资料；通 过对地下岩石层裂缝诱导各向异性的研究，可以推断地下应力场的分布和变化情况， 从而为地震预报和大地动力学研究提供证据和资料。可见，地震波各向异性的研究在 地震勘探、地震预测和大地动力学等方面都具有很重要的理论意义和应用前景。 实际地球介质引起地震各向异性的因素很多、成因很复杂。许多地球物理学家和 地震学家通过对地震波在地球介质中的传播现象进行观测，研究地震波在各向异性介 质中的传播规律和形成机理，认识到地球介质存在各向异性，发现地壳上的大多数沉 积岩石展现出地震各向异性特征，并对此进行了较详细的论述【6 1 。综合起来，地下岩 石的地震各向异性成因主要来源于三个方面：固有各向异性、裂隙诱导各向异性和长 波长各向异性。 ( 1 ) 固有各向异性：各向异性的晶体或具有一定取向排列的各向同性矿物颗粒形 成的岩石内在的各向异性； ( 2 ) 裂缝诱导各向异性：应力诱导和定向排列的垂直或倾斜裂隙引起的各向异性； ( 3 ) 长波长各向异性：由不同各向同性薄互层组合而成的水平或倾斜的长波长等 效各向异性。 实际沉积岩石裂缝诱导各向异性( e x t e n s i v ed i l a t a n c ya n i s o t r o p y e d a ) 介质和 周期性薄互层( p e r i o d i ct h i nl a y e r - p t l ) 各向异性介质都可以归结为横向各向同性 ( t r a n s v e r s e l yi s o t r o p y t i ) 介质模型，其速度( 沿层面) 在垂直于介质对称轴的平面 内保持不变，在纵向上为非均匀性。t i 介质的对称轴为水平时，称其为水平对称轴 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 的横向各向同性( t r a n s v e r s ei s o t r o p yw i t hah o r i z o n t a la x i so fs y m m e t r y h t i ) 介质， 如沿垂向排列的平行裂缝；t i 介质的对称轴为垂向时，称其为垂直对称轴横向各向 同性( t r a n s v e r s ei s o t r o p yw i t hav e r t i c a la x i so fs y m m e t r y v t i ) 介质，如周期性沉积 的薄互层；两种情况结合在一起形成正交各向异性( o r t h o r h o m b i ca n i s o t r o p y - o a ) 介质。 1 3 地震波数值模拟 正演模拟技术一直是人们直观、形象地理解和认识波在各向异性介质中传播特性 的主要手段。各向异性介质中正演模拟主要集中在数值模拟上。所谓地震数值模拟， 就是在假定地下介质结构模型和相应的物理参数已知的情况下，模拟研究地震波在地 下各种介质中的传播规律，并计算在地面或地下各观测点所应观测到的数值地震记录 的一种地震模拟方法。弹性波场的数值模拟是地震勘探和地震学的基础，同时也是地 震反演的基础。它对人们理解波动传播规律，解释实际地震资料，表征地下介质结构 与岩性以及开发石油资源等方面均具有重要的理论研究价值和实际意义。 地震数值模拟的发展非常迅速，目前已经有许多种地震数值模拟方法在地震勘探 和地震学中得到广泛而有效的应用。这些地震波场数值模拟方法可以归纳为三大类， 即几何射线法、积分方程法和波动方程法【7 1 。几何射线法也即射线追踪法是建立在以 射线理论为基础的波动方程高频近似理论基础上的，其数学表达形式为程函方程和传 输方程。积分方程法是以惠更斯原理为基础的，其数学表达形式为波动方程的格林函 数域积分方程表达式和边界积分方程表达式。波动方程法是建立在以弹性或粘弹性理 论和牛顿力学为基础的双曲型偏微分方程一波动方程的理论基础上的，对波动方程进 行数值求解可以得到地震波场记录。 由于地下介质性质不同，其相应的地震波传播方程也不同。波动方程法数值模拟 实质上是求解地震波动方程，因此模拟的地震记录包含了地震波传播的所有信息。波 动方程的解法有解析法和数值法两种，一般波动方程的解很难用解析的形式表达，因 此，数值法成为求解波动方程的主要方法。波动方程数值模拟的方法主要有有限差分 法、有限元法和伪谱法等。 有限差分法是一种最常用的数值模拟方法，它能够较准确地描述地下介质分布状 况及地震波在各种介质中的传播规律。19 7 0 年，a l t e r m a n 等【8 】首先将有限差分法应用 于地震波动方程数值模拟中，之后，a l f o r d 掣9 】研究了有限差分法的精度。在弹性波 3 第一章绪论 数值模拟中，除了使用二阶波动方程，还常常采用一阶速度一应力弹性波方程，它的 主要优点是勿需对弹性常数进行空间微分。在波动方程的差分解法上，除了规则的网 格外，一种更为先进的交错网格最早由m a d a r i a g a 1 0 】提出，其差分精度为o ( a t 2 + a x 2 ) ， v i r i e u xf i l l 2 应用交错网格法对非均匀各向同性介质s h 波和p s v 波的一阶速度一应力 弹性波方程进行了数值求解，其差分的精度同样为o ( a t 2 + a x 2 ) 。l e v a n d e r 应用交错 网格法求解了p s v 波波动方程【1 3 】，将差分精度提高n to ( a t 2 + a x 4 ) 。c r a s e 1 4 1 发展 了精度可达任意阶的高阶交错网格法。f a r i a 等【1 5 l 应用交错网格法模拟了横向各向同 性介质中波场传播特征，并分析了交错网格的优点。董良国【1 6 。8 】将高阶差分解法和交 错网格差分技术相结合，用于求解一阶双曲型弹性波方程，可以显著提高计算精度。 为了解决裂缝问题，s a e n g e r 等1 19 】发展了旋转交错网格，并将其用于模拟孔隙介质。 至今，交错网格有限差分法得到了很，大的发展，成为一种应用十分广泛的有限差分技 术。 有限元法( f e m ) 也是偏微分方程的主要数值解法之一。它是工程力学领域发展 得很完善的一种计算方法，其特点在于它的稳定性、收敛性，并可以任意逼近地层界 面，保证复杂地层形态模拟的逼真性，因此，不少学者致力于这方面的工作。m a r f u r t 2 d 1 研究对比了模拟弹性波传播的有限差分法和有限元的精度，s e r o n 等【2 i j 给出了弹性波 传播的有限元数值模拟方法，s a r m a 等【2 2 1 给出了弹性波传播有限元数值模拟的无反射 边界条件。张美根等【2 3 1 研究了各向异性弹性波有限元正演系统的精度和效率问题。杜 启振等【2 4 】针对标准线性黏弹性体模型，应用有限元方法进行了数值模拟，给出了黏弹 性波在地球介质中的波场传播特征。杨顶辉【2 5 1 基于双相各向异性介质模型，推导了双 相各向异性介质中弹性波传播的动力学方程及其g a l e r k i n 变分方程和有限元运动方 程，对双相p t l 介质和双相各向同性介质中的弹性波传播进行了数值模拟。有限单 元法的运算量极大，对计算机的计算速度和内存要求极高，不是一般计算机设备所能 承受的，因此，有限元在地震波勘探领域受到了一些限制。 伪谱法是g a z d a g 2 6 】和k o s l o f f 等【2 7 】发展起来的一种算法，它是通过对空间坐标的 偏导数实施快速傅氏变换、对时间导数作差分计算，进而求解波动方程的一种数值方 法。石玉梅嗍给出了流体饱和多孔隙介质中弹性波传播数值模拟的伪谱法。张文生等 【2 9 1 用伪谱法进行了二维横向各向同性介质波动方程的正演模拟。t a k e n a k a 等t 3 0 1 禾t j 用 伪谱法计算了球对称全球模型中地震波的传播。杜启振【3 i 】给出了各向异性黏弹性介质 4 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 模型的波动方程，推导了伪谱法波场正演模拟的递推公式，并利用伪谱法实现了地震 波波场数值模拟。伪谱法可以被看作是传统的二阶时间差分法的推广，它的主要优点 是利用空间的全部信息求解波场函数的空间导数，模拟精度较高；缺点是它不适用于 横向变速剧烈的介质模型，并且其计算速度较慢，边界处理较困难。 1 3 1 数值频散 有限差分数值模拟是将微分方程离散为差分方程进行求解。当空间网格间距或者 时间网格大小不合适就会引起波形畸变，地震波在传播过程中，波前形状就会发生变 化，并且逐渐散开，这就是数值频散现象。数值频散的本质是离散化波动方程产生的 伪波动，这是有限差分方法所固有的本质特征【3 引。 为了消弱数值频散，许多地球物理工作者对其进行了分析【3 3 】。a l f o r d 等【9 1 在研究 声波方程有限差分模拟精度时指出，为了消除数值频散，在与子波能量谱上半能量频 率对应的一个波长内，二阶精度的有限差分不能少于1 1 个网格节点，而时间二阶精 度、空间四阶精度的有限差分不能少于5 5 个网格节点。d a b l a i n 3 4 】采用高阶有限差 分算子模拟标量波动方程，通过数值试验得知，时间四阶精度、空间十阶精度的中心 有限差分格式在源子波的n y q u i s t 频率所对应的波长内，网格节点不少于3 个就能得 到无数值频散的解。b o r i s 和b o o k l 3 5 】用有限差分法求解流体力学连续性方程，并利 用f c t ( f l u x c o r r e c t e dt r a n s p o r t ，通量校正传输) 技术来压制数值频散。当波场变化 剧烈甚至不连续时常规有限差分算法会造成严重的频散误差，而应用f c t 技术却能 获得满足精度的解。f e i 3 6 】发展了f c t 技术并将其用于声波和弹性波模拟，同时指出 空间有限差分算子和时间有限差分算子起着反作用，空间离散导致频散误差落后于真 实信号，时间离散导致频散误差领先予真实信号。 1 3 2 人工边界条件 在波场数值计算中，除了地表为自由边界外，有限计算区域的其它边界都是人工 截断边界。人们总是针对一个有限空间区域进行计算的，而实际地球介质则是被看作 横向无限纵向半无限的区域，这样有限的空间计算区域无形之中便引入了介质边界， 从而产生了一些毫无实际意义的边界反射，严重干扰了有效波的信息，甚至引起计算 区域的局部不稳定，直接影响数值模拟结果的精度，不利于波场特征分析以及对地震 波传播规律的认识。这些人工边界既不能当作刚性边界( d i r i c h l e t 边界) 处理，也不 能当作自由边界( n e u m a n n 边界) 处理，必须要消除人工边界反射。现有的吸收边 5 第一章绪论 界条件主要有两大类：透射边界条件和衰减边界条件【3 7 。 透射边界主要是在人工边界上给出一种透射波场的近似表达式，从而使向外传播 的波场透过边界而不被反射回去。c l a y t o n 等【3 8 1 、廖振鹏等3 9 1 提出的边界条件属 于此类，该方法对小角度入射波吸收较好，但对大角度不能完全吸收。衰减边界是指 在边界部位设一衰减( 粘滞) 带，使向外传播的波及其反射波在此带中同时被衰减， 以致于没有明显的反射波回传到计算区域中，c e r j a n 等【4 0 】提出的扩边衰减边界以及 b e r e n g e r 4 1 l 提出的p m l ( p e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r ) 吸收边界属于此类，这种方法可以 较好地吸收入射到边界上的地震波。 1 9 9 4 年，b e r e n g e r l 4 i 】对海绵吸收边界条件做了进一步的改善，提出一种新的人工 边界条件一最佳匹配层法( p m l ) 吸收边界，这种方法几乎达到零反射。2 0 0 4 年，吴 国忱和梁锴【4 2 1 阐述了特征分析方法的基本原理，讨论了边界上的反射系数与入射角的 度量准纵波、横波各向异性强度因子关系，构造了准p 波波动方程在不同边界和角点 的频率域吸收边界条件，利用最佳匹配层法构造了衰减边界条件。2 0 0 6 年，郝奇和 何樵登【4 3 】基于位移方程给出了分裂的最佳匹配层法，把最佳匹配层法应用到了伪谱法 数值模拟中，得到了理想的模拟结果。目前该方法已被广泛应用于有限差分和有限元 数值模拟中。 1 4 主要内容 在前人地震各向异性数值模拟的基础上，本文应用有限差分法对v t i 介质一阶 速度一应力波动方程进行了数值求解，模拟了地震波在地下介质中的传播；重点研究 了有限差分方法中的数值频散、人工边界条件，并给出了有效的处理方法。通过数值 模拟分析了地震波场特征，研究了复杂介质地震波传播规律。并进行了各向同性介质 波场分离，同样得到了较好的结果。论文主要内容分为以下几个部分： ( 1 ) v t i 介质弹性波方程 首先从弹性波动力学三个基本方程( 几何方程、本构方程和运动微分方程) 出发， 总结了一般各向异性介质中用位移表示的弹性波方程，然后介绍了自然界常见的几种 各向异性介质( v t i 介质、h t i 介质以及o a 介质) 、相应的弹性波方程以及v t i 介质的t h o m s e n 参数表征，最后给出了v t i ( 横向各向同性) 介质中一阶速度一应力 波动方程，为后面的章节奠定了理论基础。 ( 2 ) v t i 介质有限差分法数值模拟 6 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 针对二维均匀v t i 介质p s v 波和s h 波一阶速度一应力波动方程，应用交错网格 技术对其进行了差分离散。在差分离散过程中，将高阶差分法和交错网格技术相结合， 同时将速度( 应力) 对时间的高阶导数转化为应力( 速度) 对空间的高阶导数，实现 了空间和时间的高精度差分离散，得到了高阶差分格式；给出了各向同性介质弹性波 场分离方程的差分格式；最后分析了交错网格差分格式的稳定性条件及波场数值模拟 的震源条件。 ( 3 ) 波场数值模拟中的两个关键问题 针对数值模拟中的两个关键问题( 数值频散和人工边界条件) 展开研究。为了消 弱数值频散，提高波场数值模拟的精度，本文采取以下两种措施：将紧致差分格式 和交错网格技术相结合，推导出了弹性波方程的紧致交错网格差分格式，并对比分析 了差分格式的误差；基于最优化的理论，分别引入强约束条件和弱约束条件，构造 了l a g r a n g e 函数，通过求取条件极值得到了优化的一阶导数的交错网格差分算子， 并将其与标准的交错网格差分算子进行了比较分析。 为了消弱人工边界反射，在c e r j a n 及周竹生f 删衰减函数的基础上，本文详细地 分析了衰减函数吸收效果的影响因素，提出了改进的衰减函数及其应用原则；p m l 边界条件对人工边界反射的吸收效果较好，但是受到衰减因子和波动方程的限制，结 合本文提出的衰减函数的应用原则对衰减因子进行改进。 分别对文中提出的数值频散和人工边界条件的改进方法进行了数值模型试算，验 证了它们的有效性。 ( 4 ) 地震弹性波场数值模拟 结合本文提出的关于数值频散和人工边界条件的改进方法，设计了不同的v t i 介质模型进行数值模拟，分析波场特征，研究弹性波在v t i 介质中的传播规律，期 望能够识别地下复杂构造。 基于波场分离原理，利用标准模型进行了数值模拟，得到了切实可用的数据体。 ( 5 ) 结论及展望 最后对全篇的内容进行了总结，并对本文方法的改进方向作了简要叙述。 7 第二章v t i 介质弹性波方程 第二章v tl 介质弹性波方程 非均匀性、非完全弹性、各向异性、多相态是真实地球介质的写真【4 引。地震学的 研究对象是地球介质，其理论的发展和地球模型紧紧联系在一起。地震学理论的发展 历程正是由简单介质的波动理论向真实地球介质波动理论步步逼近的过程。 波动方程是描述“波动 这一类物理现象和过程的偏微分方程，它表达了波动所 服从的最普遍规律。波动方程和定解条件一起组成波动方程的定解问题( 又称边值问 题) ，反映某一具体波动规律。研究特定条件下某一具体波动过程的规律，需要求解 相应的波动方程。在弹性、粘弹性、各向同性、各向异性等不同的介质中，地震波传 播所满足的波动方程有所不同。本章首先介绍了一般各向异性介质弹性波方程，然后 给出v t i ( t r a n s v e r s ei s o t r o p yw i t hav e r t i c a la x i so fs y m m e t r y ) 介质中的一阶速度一应 力波动方程，为后面几章奠定了理论基础。 2 1 各向异性介质弹性波方程 地震波传播所依赖的介质形变可归结为弹性形变，属于弹性动力学的范畴。弹性 动力学提供了三个基本方程：几何方程、本构方程、运动微分方程【1 1 0 它们控制了弹 性介质内部位移、应变和应力之间相互联系的普遍规律，是建立各向异性弹性波波动 方程的基础。 ( 1 ) 几何方程( 柯西( c a u c h y ) 方程) 几何方程所描述的是位移与应变之间的关系，其表达式为【1 】： 占= u( 2 1 ) 式中，占= ( q l ，岛2 ，岛3 ，岛3 ，岛l ，蜀2 ) r 为应变向量，其中1 、2 、3 分别表示双弘z 三个坐 标轴方向；u = ( 虬，z l y ，”：) 7 1 为位移向量；l 为3 6 的偏导数算子矩阵，它有如下形式： 三= 旦oo 苏 。旦。 砂 oo 旦 瑟 。旦旦 o z 旦。旦 抛o x 旦旦o r 为偏导数算子矩阵三的转置。 8 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 ( 2 ) 本构方程( 广义虎克( h o o k e ) 定律或物理方程) 本构方程表示应力与应变之间的关系，它反映了介质所固有的物理性质。其表达 式为【1 】： 盯= c s( 2 2 ) 式中，0 - = ( q i ，0 - 2 2 ，o - 3 3 ，o 2 3 ，o - 3 i ，o 1 2 ) 7 为应力向量，占为应变向量，c 为一6 x 6 的矩阵， 称为刚度矩阵，又称弹性矩阵，其元素称为弹性刚度常数，简称弹性常数。 由能量约束条件可知，弹性势能为应变的一个单值函数，可以得出刚度矩阵c 是 对称的，因此，其独立的弹性常数减少到2 1 个，这是极端各向异性介质弹性矩阵所 需的独立常数个数。当介质的对称性增强时，描述介质弹性性质所需的独立常数的个 数还会减少。如果介质内任意一点处沿任何方向弹性性质都一样，也就是说，表示介 质弹性性质的弹性系数中每个分量q ，的值都不随坐标系的选择不同而改变时，只需要 两个独立的系数就可以描述介质，这就是自然界中最简单的各向同性介质，刚度矩阵 为乞，其中，q 2 = q l - 2 c 4 4 。c 和气表示如下： c = c j $ o = q 1c 1 2q 2 q 2c i lc 2 q 2c , 1 2q 1 0oo o0o ooo 0o0 0 0o ooo 0 0 0 0 0 0 c 4 4 在地球物理勘探过程中，不可能测出所有的弹性系数，但是在各向异性研究过程 中不需要去测出所有的非零值，而只需测量独立的弹性系数，再通过它们与其它非独 立系数的关系就可以求出所有的弹性系数。 ( 3 ) 运动微分方程( 纳维尔( n a v i e r ) 方程) 运动微分方程3 7 】描述的是位移、应力和体力之间的关系： p 害乩仃桫( 2 - 3 ) 其中，p 为介质密度；t y 0 时i n 变量；u 为位移向量：f = ( z ，六，z ) 7 为介质单 位质量元素上的体力向量；仃为应力向量；三为偏导数算子矩阵。 ( 4 ) 各向异性介质弹性波方程 结合公式( 2 1 ) 、( 2 2 ) 和( 2 3 ) ，可以得到各向异性介质弹性波方程【3 7 】： 9 6 6 6 6 6 6印彩础跏细瞄 5 5 5 5 5 5 岛勿彩以彩靠 4 4 4 4 4 4 臼以以办以靠 2 2 2 2 2 2 白比以如彩靠臼勿乃“岛繇 第二章v 耶介质弹性波方程 p 警叫c f u 帅f ( 2 - 4 ) 式( 2 4 ) 即为以位移表示的一般各向异性弹性介质的波动方程，它表示了均匀 各向异性完全弹性介质中各质点在不同时刻的位移情况，从而可研究弹性波在介质中 的传播规律。弹性波方程再配以定解条件( 初始条件和边值条件) ，就构成了特定的 弹性波动力学问题。 2 2 几种常见的各向异性介质及其波动方程 2 2 1 常见的地球各向异性介质 勘探地球物理学家认为：地球介质的各向异性主要是由裂隙和薄互层引起的，裂 缝诱导各向异性和周期性薄互层各向异性均属于六方各向异性( 又称横向各向同性) ， 相应的介质称为t l 介质【1 】。具有垂直对称轴的t i 介质称为v t i 介质，如图2 1 所示。 具有水平对称轴的t i 介质称为h t i 介质，h t i 介质可以看成是v t i 介质的对称轴旋 转9 0 0 得到的，如图2 2 所示。水平薄互层岩层和具有垂直定向裂隙的岩层分别为常 见的v t i 介质和h t i 介质。如果薄互层中发育有定向裂隙组，并且裂隙面与薄层面 正交，这时就会产生正交各向异性，这种岩层属于o a ( 正交各向异性) 介质，有人 称之为p t l + e d a 介质，如图2 3 所示。图2 1 、图2 2 和图2 3 据参考文献 1 】。 图2 - 1v t i 介质图2 - 2h t i 介质 图2 - 3o a 介质 v t i 、h t i 、o a 介质的弹性系数矩阵分别为： = q lc 1 2c 1 3 q 2q lq 3 c 1 3q 3c 3 3 o o0 000 ooo 0oo o00 o o0 c 4 4 00 0 c 4 4 0 00 c 6 6 c 嘲= 1 0 q lq 2 q 2c 2 2 q 2c 2 3 oo 00 0 0 ooo 0oo 0oo c 4 4 00 0 c 5 5 0 00 c 5 5 = 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 从上面三个刚度矩阵中可以看出：当o a 介质的弹性矩阵参数满足乞：= c 1 ， 6 5 = c 4 4 ，巳3 = c t 3 ，q 2 = c l l - - 2 c 6 6 时，其独立的弹性常数变为5 个，o a 介质就变为 v t i 介质；当o a 介质的弹性参数满足岛2 = 巳3 ，9 5 = ，q 3 = q 2 ，c 2 3 = c 3 3 2 0 4 时，其独立的弹性常数有5 个，o a 介质就变为h t i 介质。因此，v t i 和h t i 这两种 介质可以看成是o a 介质的特例。 2 2 2 常见各向异性介质的弹性波动方程 将对应的弹性矩阵带入公式( 2 4 ) ，就可以得到相应的各向异性介质的波动方程， 下面给出三维均匀v t i 、h t i 和o a 介质的波动方程1 3 7 1 ，即为 ( 1 ) v t i 介质 ( 2 ) h t i 介质 + + c “ + + q 。警坞等+ 乏，誓讹，+ 巳：，亳+ ( c 1 3 + c 5 5 ，丽a 2 z + 以 ( 3 ) o a 介质 ( 2 5 ) 一a 2 畋 吖 ：p 鼻( 2 - 6 ) 2 p 蒂 ) 0 o o 0 0 o o o o o o 0 o 钆o 0 3 3 3 0 o 0 2 2 气吃龟o 0 0 i 2 o 0 o 盟铲生扩 d d 塾酽 p = i | = 疋 以 斫 以 + + + 一勃 玑一瑟 q 一出 魄丽魄一驰杈一弛 p p 心 + + + 一耖虬一砂一瑟铲一舭铲一锄扩一苏 ，