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探求正四面体外接球、内切球半径 正四面体是特殊的正三棱锥，所有的棱长都相等，四个面是全等的等边三角形，有外接球、内切球，且球心重合.已知正四面体棱长为，设外接球半径为，内切球半径为，球心为，则正四面体的高是，外接球半径是 即；内切球半径是即. 外接球半径是内切球半径的3倍. 下面从不同角度、用不同方法进行探求：方法一：（勾股定理） 作高，设为球心，则 连结在中，即， 方法二：（三角正切倍角公式） 作高，设为球心，则 连结在中，在中， 方法三：（分割等体积） 作高，设为球心，则 连结得到四个以为顶点的小棱锥，它们的底面是正四面体的一个面，高是内切球的半径，设正四面体每个面的面积为，则即 方法四：（侧棱、高相似或三角） 作高，设为球心，则设是的中点，连结，又， ，即 或：设，则在中，在中， ， 以下同上. 方法五：（斜高、高相似或三角）作高，设为球心，则设为中点，连结，作于点，则是中心，是的三等分点， 且 ， 即 ， 或：设，则在中，在中， 以下同上. 方法六：（斜高、侧棱相似或三角）作高，设为球心，则设为中点，连结，延长交于，则是的三等分点， 且平面则 即 = ， ， 又 或：在中，在中， 即， 又 方法七：（构造正方体） 正四面体的四个顶点是正方体的顶点，此时正四面体的外接球也是正方体的外接球，正四面体的棱长为，则正方体的棱长为正方体的体对角线等于外接球直径，有，方法八：（相交弦定理）设外接球球心为，半径为，过点作球的直径，交底面于，则为的外心，求得 由相交弦定理得解得 以上从不同角度针对正四面体的外接球半径、内切球半径作了讨论，从而从不同方面对思维作了训练，不仅对正四面体
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