（控制理论与控制工程专业论文）脉冲切换系统关于部分变元的稳定性研究.pdf

山东大学硕士学位论文 摘要 本文利用截断矩阵法和任意切换方法分析了线性和非线性脉冲切换系统关 于部分变元的稳定性对于线性脉冲切换系统，利用系统的c a u c h y 矩阵解研究 了其关于部分变元y 的性质，给出了关于部分变元的稳定性的充要判据；对于非 线性脉冲切换系统，用部分变元l y a p u n o v 函数研究了其关于部分变元y 的性质， 并给出了关于部分变元的稳定性的充分判据 本文首先介绍了混杂系统、切换系统、脉冲系统及部分变元稳定性的定义、 发展历程、研究现状、应用及所要解决的主要问题阐述了现阶段稳定性研究的 主要成果，研究现状，存在的不足和本文研究的创新点并说明了本文的主要工 作 其次介绍了本文对脉冲切换系统关于部分变元的稳定性研究所采用的主要 方法：单l y a p u n o v 函数法、多l y a p u n o v 函数法、线性矩阵不等式( l m i ) 方法、 截断矩阵法、任意切换方法等 对于线性脉冲切换系统，引入线性脉冲切换系统关于部分变元的c a u c h y 矩 阵解，用截断矩阵法研究了其关于部分变元的性质，给出了系统关于部分变元稳 定、一致稳定、一致渐近稳定、指数稳定的充要判据；并利用截断矩阵的思想给 出了基于l m i 的一类线性脉冲切换系统的部分变元渐近稳定的结论 对于非线性脉冲切换系统，引入部分变元的l y a p u n o v 函数，用多l y a p u n o v 函数法和任意切换方法研究了非线性脉冲切换系统关于部分变元的性质，给出 了系统关于部分变元稳定、一致稳定、渐近稳定、一致渐近稳定、指数稳定的充 分判据，并给出了实例说明：并用l y a p u n o v 一次近似理论将一类非线性脉冲切 换系统转化为一般线性脉冲切换系统，讨论其关于部分变元的稳定性 最后对全文进行了总结，并指出了脉冲切换系统关于部分变元的稳定性研 究中存在的一些问题以及今后的研究目标 关键词：截断矩阵；任意切换；脉冲切换系统；l y a p u n o v 函数；部分变元稳定性 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h es t a b i l i t yo fl i n e a ri m p u l s i v es w i t c h e ds y s t e m so i lp a r t i a l v a r i a b l e si sf i r s t l ya n a l y z e db yu s e i n gi n t e r c e p t i v em a t r i xm e t h o d t h e nt h es t a b i l i t y o fn o n l i n e a ri m p u l s i v es w i t c h e ds y s t e m so np a r t i a lv a r i a b l e si sp r o p o s e db ya r b i t r a r y s w i t c h i n gm e t h o d f o rt h e l i n e a ri m p u l s i v es w i t c h e ds y s t e m s ，c a u c h ym a t r i c e s s o l u t i o n so fs y s t e m sa l eu s e dt os t u d yi t sp r o p e r t i e so nt h ep a r t i a lv a r i a b l eo f y ；f o rt h e n o n l i n e a ro n e s ，p r o p e r t i e so nt h ep a r t i a lv a r i a b l eo fya r es t u d i e d t h es u f f i c i e n t c o n d i t i o n so ft h es t a b i l i t yo np a r t i a lv a r i a b l e sa r eg i v e nb a s e do nl y a p u n o vf u n c t i o n s a tf i r s t ，d e f i n i t i o n sa n dr e s e a r c hs u m m a r i z a t i o n so fs o m es y s t e m sa r ei n t r o d u c e d i nt h i sd i s s e r t a t i o n t h ed e s c r i p t i o no ft h ep a r t i a lv a r i a b l e si sa l s op r o p o s e d r e s e a r c h r e s u l t so ft h e i rs t a b i l i t i e sa r ei n t r u d u c e da n ds o m ed e f i c i e n c yi sa n a l y z e d t h e n ，t h e i n n o v a t i o no ft h i sd i s s e r t a t i o ni sp r e s e n t e d s e c o n d l y , s o m em e t h o d st oa n a l y z et h es t a b i l i t yo np a r t i a lv a r i a b l e sa r ep r o p o s e d t h e ya r em u l t i l y a p u n o vf u n c t i o nm e t h o d ，a r b i t r a r ys w i t c h i n gm e t h o d ，l i n e a r m a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) m e t h o d ，i n t e r c e p t i v em a t r i xm e t h o d ，r e s p e c t i v e l y f o rl i n e a ri m p u l s i v es w i t c h e ds y s t e m s ，c a u c h ym a t r i xs o l u t i o ni si n t r o d u c e d p r o p e r t i e so fp a r t i a lv a r i a b l e sa les t u d i e db yu s i n gi n t e r c e p t i v em a t r i xm e t h o d t h e s u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n so ft h es t a b i l i t yo np a r t i a lv a r i a b l e sa r eg i v e n , i n c l u d i n gt h eu n i f o r ms t a b i l i t y ，t h ea s y m p t o t i c a ls t a b i l i t ya n dt h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t y i na d d i t i o n ，b ym e a n so ft h ei d e ao fi n t e r c e p t i v em a t r i xm e t h o d ，ac o n c l u s i o no ft h e a s y m p t o t i cs t a b i l i t yo np a r t i a lv a r i a b l e si sg i v e nb a s e do nl m i f o rn o n l i n e a ri m p u l s i v es w i t c h e ds y s t e m s ，as u i t a b l el y a p u n o vf u n c t i o no n p a r t i a lv a r i a b l e si si n t r o d u c e d a p p l y i n gt h em e t h o do fm u l t i - l y a p u n o vf u n c t i o n ， p r o p e r t i e so fp a r t i a lv a r i a b l e su n d e ra r b i t r a r ys w i t c h i n ga r er e s e a r c h e d t h es u f f i c i e n t c r i t e r i a so ft h es t a b i l i t yo np a r t i a lv a r i a b l e sa r eg i v e n ，i n c l u d i n gt h eu n i f o r m s t a b i l i t y ， t h ea s y m p t o t i c a ls t a b i l i t y ，t h eu n i f o r ma s y m p t o t i c a ls t a b i l i t ya n dt h ee x p o n e n t i a l s t a b i l i t y s o m en u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r o p o s e dt oi l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so f i i i 山东大学硕士学位论文 o b t a i n e dr e s u l t s t h es t a b i l i t yo fp a r t i a lv a r i a b l e si sd i s c u s s e db ym e a n so fl y a p u n o v f i r s ta p p r o x i m a t i o nt h e o r y b a s e do nt h i st h e o r y ，w et r a n s f o r mac l a s so fn o n l i n e a r i m p u l s i v es w i t c h e ds y s t e mi n t ol i n e a ri m p u l s i v es w i t c h e ds y s t e m t h el a s ts e c t i o ni st h ec o n c l u s i o n so ft h i sd i s s e r t a t i o n f o rb o t hl i n e a ra n d n o n l i n e a ri m p u l s i v es w i t c h e ds y s t e m s ，s o m ev a l u a b l ep r o b l e m so ft h es t a b i l i t yo n p a r t i a lv a r i a b l e sa r ep r o p o s e d m e a n w h i l e ，t h ef u t u r er e s e a r c ht a r g e ti si n d i c a t e d k e yw o r d ：i n t e r c e p t i v em a t r i x ；a r b i t r a r ys w i t c h i n g ；i m p u l s i v es w i t c h e ds y s t e m s ； l y a p u n o vf u n c t i o n s ；s t a b i l i t yo np a r t i a lv a r i a b l e s i v 附件一： 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明 的法律责任由本人承担 论文作者签名：丑型薛日 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：煎导师签名： 样业7 山东大学硕士学位论文 1 1 研究背景及预备知识 第一章概述 1 1 1 混杂系统的发展历程及其l y a p u n o v 稳定性方法 混杂动态系统简称混杂系统，它由连续时间或离散时间过程组成，并受逻辑 决策系统的影响连续或离散时间过程用微分差分方程或连续离散时间状态方 程描述，逻辑决策系统可以是一个有限自动机或一个一般的离散事件系统连 续或离散时间系统影响逻辑决策系统的状态变化，而逻辑决策系统影响连续时 间或离散时间过程的动态行为 现代社会日趋信息化、系统化，并且在工程技术、社会经济、生物生态等领 域出现了越来越多的混杂系统，如何对混杂系统进行控制和管理，以及如何对混 杂系统进行分析、预测、规划j 设计，以改善系统的运行状态，提高运行效益，这 些都是人们面临的重大课题控制理论的发展经历了经典控制理论、现代控制理 论和智能控制的阶段后，目前正面临着混杂系统的控制问题，如复杂工业生产过 程、计算机集中制造系统、机器人控制系统、交通控制等等混杂系统除了具有 很强的时变和非线性、不确定性等特征外，还具有结构复杂、行为复杂以及多子 系统集成的特点这类系统中，既有系统行为和特性上的复杂性，也有不确定性 导致的复杂性，同时还有多子系统集成和控制序列方面的复杂性 很多控制系统都可以被看作是混杂系统，混杂系统理论已在自动高速公路 系统、航空交通管理系统、制造业及计算机磁盘驱动系统、机器人、汽车发动机、 液罐液面控制、嵌入式系统、网络控制系统及化学过程等场所得到应用，在电力 系统上混杂动态系统也展示出其良好的发展前景近年来，计算机技术的飞速发 展和普及应用为混杂系统实施控制提供了坚实的物质基础和广阔的发展前景， 使混杂系统的研究受到了国内外学术晃的进一步关注，成为当今控制与计算机 科学界的前沿热点目前混杂系统的研究已趋于成熟，无论是理论创新还是实际 应用都是研究的热点混杂系统的种类繁多，研究范围广泛，有利于跨学科合作， 集控制、辨识、估计、通讯、计算机科学、人工智能等多领域理论和技术方法而 山东大学硕士学位论文 获得实质性的突破目前混杂系统的设计与分析主要集中在系统的稳定性分析、 优化设计、鲁棒性分析三类问题的研究上，其中又以稳定性问题的研究最多 关于稳定性的研究，俄国数学家力学家l y a p u n o v 做出了杰出贡献，他创立了 解决稳定性问题的两个方法l y a p u n o v 第一方法是寻求运动微分方程的通解或特 解，以级数形式将它表达出来，在此基础上研究稳定性问题；l y a p u n o v 第二方法 则不考虑微分方程解的形式，而仅借助于一个l y a p u n o v 函数及其导数的符号来 直接推断稳定性问题，也就是我们常说的直接方法l y a p u n o v 第一方法在理论上 是完整的，但在实际运用中有很大的局限性，寻求运动微分方程的通解或特解是 比较困难的l y a p u n o v 第二方法的函数y 引起了一系列要求解决的问题：1 ) 对于 一切运动方程组是否函数v 都存在? 如果存在，函数矿的构造方法如何? 2 ) 如 何借助于函数v 来确定吸引域? 稳定性理论的研究主要采用的是l y a p u n o v 第二方法，其基本指导思想是针 对微分方程，寻找一个具有某些特性的l y a p u n o v i 函数，后根据y 对时间的导数判 定其稳定性换句话说，不需要寻找方程的解，而是构造l y a p u n o v 函数用以控制 积分曲线的动向，以解决稳定性问题众所周知，l y a p u n o v 直接法是整个稳定性 理论的核心l y a p u n o v 于1 8 9 2 年在博士论文中( 秦元勋 1 l 是我国全面介绍 l y a p u n o v 的博士论文的第一人) 提出了稳定、渐近稳定和不稳定的4 个定理 ( l y a p u n o v 基本定理) ，这四个定理奠定了运动稳定性的基础对于l y a p u n o v 稳定 性基本定理讨论最多的是关于渐近稳定的条件，基本定理要求矿正定，矿负定且 矿有无限小上界，实质上后面两个条件可以减弱或以其它条件来代替，减弱这些 条件或寻找新的比较条件仍是正在研究的课题 随着社会和科学的日新月异，像大型通讯、交通、化工、生物、计算机、经 济管理等混杂系统模型相继被提出，从而混杂系统稳定性理论便自然成为了目 前稳定性理论与应用中十分活跃的研究课题处理混杂系统稳定性问题总的指 导思想是先把整个混杂系统适当地分解成若干个孤立子系统和耦合系统，利用 低维孤立子系统l y a p u n o v 数或c a u c h y 矩阵，以及和耦合项之间的某些代数 关系、积分关系，来判定整个混杂系统的稳定性我国秦元勋教授在1 9 5 9 年提出 了这种分解思想后来，m i c h e l 等【2 】系统总结了这方面的大量成果研究混杂系统 零解的稳定性，通常采用以下两种方法：1 ) 向量l y a p u n o v i 函数方法：以子系统的 2 山东大学硕士学位论文 l y a p u n o v 醒l 数作为矿的分量，用比较原理，由已知系统的稳定性来得到混杂系统 的稳定性；2 ) 标量l y a p u n o v 函数方法，取混杂系统l y a p u n o v 函数矿为子系统的 l y a p u n o v 函数v 的加权和，再利用l y a p u n o v 定理，以得出混杂系统的稳定性稳 定性理论除了上述理论与应用外，还有其它如l y a p u n o v 函数构造以及最优，l 晒界 稳定性这些理论以及在人口、经济、生态、力学，控制等系统中的应用，都有 待于我们去研究和实践 1 1 2 切换系统的应用及其研究现状 切换系统是一类重要的混杂系统，它一般由一系列连续的动态子系统结合 一定的切换模式构成连续的动态子系统，通常可以由单个或多个微分方程表示 它是与现代控制理论联系最为密切的一类混杂系统，主要研究内容包括切换系 统的建模、分析和控制等，切换系统是混杂系统理论与应用研究中非常活跃的一 个分支在现有的混杂系统稳定性分析结果以及其它一些研究中大多是面向切 换系统的，此外对于切换系统仿真的研究也是一个重要的分支切换系统有着广 泛的实际应用背景，广泛存在于交通运输、航空调度、工程技术等领域，这些系 统的典型例子包括计算机硬盘驱动器系统、受限机器人控制系统、汽车转向系统、 飞机的多工作点控制系统等现实世界里，由于各种原因，在很多生产或事物发 展的过程中会不可避免地出现脉冲现象( 如气候突变对生物种群生长的影响、大 经济环境的突变对商品供求的冲击、动物自然保护区短期开放狩猎等原因则会导 致状态发生瞬间的跳跃) ，即发生脉冲时刻，而且在很多时候脉冲、切换会不可避 免地同时发生 近年来，切换系统已经吸引了众多学者的关注，研究的重点多集中在切换系 统的稳定性分析以及切换律的设计，并取得了丰硕的成果h y e 等【3 】提出了混合 动力系统的不变集的概念以及不变集的各种类l y a p u n o v 稳定性的概念，建立了 混合动力系统的不变集的一致稳定、一致渐近稳定、指数稳定和不稳定定理d l i b e r z o n 和a s m o r s e l 4 1 归纳了1 9 9 9 年之前关于切换系统稳定性和切换律的设计 的一系列结果，提出了研究切换系统稳定性和切换律设计的三个基本问题：对一 个切换系统，如何针对系统本身给出条件，使得系统在任意切换律下零解稳定； 找出使系统零解稳定的切换律；构造一种切换律使得给定系统在此切换律下零 山东大学硕士学位论文 解稳定这为切换系统的稳定性研究和切换律的设计指明了一个方向此文还介 绍了一种研究切换系统稳定性的有效方法慢切换方法( s l o w i n gs w i t c h i n g m e t h o d ) ，并指出，若每一子系统零解渐近稳定，当任意两个连续切换时刻之间的 间隔足够大时，能更有效地保证切换系统的稳定性这个结论的提出对以后切换 系统的研究起了很大的推动作用对含有不稳定子系统的切换系统，g s z h a i 等 【5 】，d z g u a n g 和q w y u 6 采用驻留时间( d w e l lt i m e ) 或平均驻留时f 司( a v e r a g e d w e l lt i m e ) 处理技巧分析系统稳定性并设计切换律，亦即通过调整每一子系统的 驻留时间实现系统的稳定性这种方法对研究此类切换系统具有很好的实用性 和有效性，并且容易实现慢切换，有利于切换模式的设计对子系统均为定常系 统的切换系统稳定性的研究孙洪飞等【7 】采用单l y a p u n o v 函数方法，赵胜芝和姜 晓艳【8 1 采用多l y a p u n o v 函数方法，讨论了切换系统的稳定性，而景丽和高立群【9 】 利用l m i 技术研究了线性定常切换系统的稳定性m m a r g a l i o t 和d l i b e r z o n 州 利用李代数方法讨论了切换系统的稳定性 切换律或切换模式的设计问题是一个热点问题但到目前为止，没有一种统 一的方法而且对子系统是时变系统的切换系统稳定性的研究结果不多王仁明 等f l l 】利用线性时变微分系统的c a u c h y 矩阵讨论了由有限个线性时变微分系统构 成的线性时变切换系统及由有限个带非线性扰动项的非线性微分系统构成的非 线性扰动切换系统的指数稳定性问题，得到了系统在任意切换律或者某种切换 律下全局指数稳定的充分条件高立群和景丽【1 2 】提出等时切换和周期切换两个 概念，并基于矩阵测度理论给出线性时变切换系统于周期切换下稳定、不稳定的 判定条件 总之，切换系统特别是其稳定性的研究和切换律的设计问题已经吸引了很 多学者的关注，是混杂系统中非常活跃的一个分支 1 1 3 脉冲系统的研究现状 许多实际的工程系统由若干个子系统组成，只允许在有限个子系统中按时 或按量地切换，这类系统称为切换系统通常在切换时刻带入脉冲跳跃( 自发的 或人为的) ，这种系统即为脉冲切换系统 脉冲系统是能更好地描述状态具有瞬间跳变现象的事物发展过程或生产过 4 山东大学硕士学位论文 程的类系统，人们对脉冲系统的研究已经取得了很多成果。vl a k s h m i k a n t i l a m 和x z l i u t l 3 对脉冲系统及脉冲微分方程的基本理论及应用进行阐述a a m a r t y n y u k 和v i s l y n i k o 【1 4 】建立非线性脉冲系统稳定及渐近稳定的充分条件c k o u 等【1 5 1 应用变l y a p u n o v 方法对双测度脉冲时滞方程进行研究，得到系统稳定 及系统不稳定的充分条件z l u o 和j s h e n 1 6 】以及x z l i u 和g b a l l i n g e r l l 7 1 应用 l y a p u n o v i 函数和r a z u m i k h i n 技术分别研究一类脉冲微分方程和脉冲时滞微分方 程的稳定性问题x z l i u 等【l8 】讨论了带脉冲的切换系统的稳定性问题刘斌等 概述了脉冲混合稳定性的一些主要结果，介绍了研究脉冲混合系统稳定性的 方法b l i u 等【2 0 】利用l y a p u n o v 函数方法和融c c a t i 不等式建立了一类拟线性脉冲 混合系统稳定和鲁棒稳定的充分条件z h g u a n 等 ；1 】利用切换l y a p u n o v 函数建 立了一类新的混合脉冲与切换系统在任意脉冲切换或在满足一定条件脉冲切换 下指数稳定、渐近稳定的一些新结果，得到了非线性系统的一个新的混合脉冲与 切换控制策略冯伟贞【2 2 】利用线性时变系统的c a u c h y 矩阵及具体例子对线性时 变脉冲切换系统稳定性的基本问题作了分析，对系统稳定性定义及切换模式、脉 冲模式在系统稳定性上的作用作了基本的概括，给出了系统零解稳定性的充要 或充分判据 从理论上说，切换系统是脉冲切换系统的特例，而且在生产或事物发展过程 中，脉冲和切换两种因素往往是不可避免地同时存在的近年，脉冲切换系统的 稳定性分析受到重视。目前对这类系统的稳定性分析主要采用类l y a p u n o v 函数 或分段l y a p u n o v i 函数，张艳燕和傅希林【2 3 1 采用局部线性化的方法处理自治非线 性切换系统的稳定性问题 总之，脉冲系统越来越受到人们的重视，对脉冲系统的研究进入一个全新的 阶段，它也是混杂系统的一个活跃分支 1 1 4 部分变元稳定性的问题研究及其发展现状 早在1 8 9 2 年，l y a p u n o v 论述五= 屯= = = 0 对全体变元的稳定性时曾提 过：“可以研究更一般的问题，这一运动稳定性不是对所有变元，而仅是对其中某 些变量，例如对五，吒，靠仰 0 ，对魄0 且v x e r ”；矿( o ) = 0 ； _ d r ( x ) o ，对垤o 且坛；。( o ) = o ； 坐每堕 o ，rd + 。( 工) o 最后，部分变元l y a p u n o v 函数k ( j ) ( 七= 1 ，2 ) 若能满足第四章定理4 2 1 ，定 理4 2 2 ，定理4 2 3 ，定理4 2 4 ，定理4 2 5 ，定理4 2 6 的条件，则脉冲切换系统 关于部分变元满足相应的稳定性 文献 3 7 】，【3 2 ， 3 3 1 等都是采用多l y a p u n o v 函数方法研究切换系统稳定性的 2 3 线性矩阵不等式( l m i ) 方法 l m i 即线性矩阵不等式，一个线性矩阵不等式就是具有形式 f ( x ) = 磊+ 毛鼻+ + 巴 0 的一个表达式其中_ ，是m 个实数变量，称为线性矩阵不等式的决策变量， x = ( 五，) 7 r ”是由决策变量构成的决策向量，e = f r ，i = o ，l ，m 是一 组给定的实对称矩阵，式中的不等号” 说明矩阵f ( x ) 是负定的，即对所有的 非零向量v ，v r f ( x ) v o 而对于l y a p u n o v 矩阵不等式 f ( x ) = a r x + x a + q - 0 ，b a ( t o ，占) o ，使得l 当l l x ot 1 o ，了万( 占) o ，v t o o ，当l lx o1 1 t o 时，有 | lj ，( f ，f o ，x o ) i i g p 一2 0 一| o ， 则称( 3 1 4 ) 式的平凡解关于部分变元) ，是指数稳定的 3 2 线性脉冲切换系统稳定性研究的主要结论 3 2 1 基于截断矩阵的线性脉冲切换系统的部分变元稳定性定理 定理3 2 1 ( 3 1 4 ) 式的平凡解关于部分变元y 稳定( 一致稳定) 的充要条件 是：当t 气时，o 。( f ，t o ) 有界( 一致有界) 证明：先证充分性，即当f ，o 时，。( f ，t o ) 有界( 一致有界) ，贝u j ( 3 1 4 ) 式的平 凡解关于部分变元少稳定( 一致稳定) 由3 1 节所述可知，( 3 1 4 ) 式的平凡解关于部分变元y 的任意扰动解j ，( f ，t o ，x o ) 可表示为 y ( f ，岛，x o ) = 。( f ，t o ) x ( t o ) ， 当f 气时，。( f ，f o ) 有界( 一致有界) ，故存在常数口( f o ) o ( 口 o ) ，使得当t t o 时， 存在： i i ，( f ，t o ) l l a ( t o ) ( 1 1 。( f ，t o ) l l o ，i 双8 ( t o , s ) = 去( 艿( 占) = 三) ，则当| | i i 0 使得当i ix c t o ) 1 1 o 使得当i | 而1 1 0 ( f 佃o ) 即。( f ，f 0 ) 一o ( f 一佃) 得证 再证充分性，即若v f o o ，。( f ，f o ) 一oo 寸伸) ，贝j j ( 3 1 4 ) 式的平凡解关于部 分变元y 渐近稳定 由条件知( 3 1 4 ) 式的平凡解关于部分变元y 吸引则对于任意给定的t o 0 ， 存在8 ( t o ) o ，使得当| l 而i i 0 ，使得i i 。( f ，t o ) l l - t o ) 证明：先证充分性，即若存在m l ，名 o ，使得| | 。( f ，t o ) l l - t o ) ， 1 9 山东大学硕士学位论文 则( 3 1 4 ) 式的平凡解关于部分变元y 指数稳定 由于存在常数m l ，五 0 ，使得i i 西。( ，t o ) h t o ) ，所以 i i y ( t ，t o ，x o ) l l = l l 苁。) ( f ，t o ，x o ) t t = l i 西。( f ，t o ) x ( t o ) l l m | i x ( t o ) l lp 一2 卜b 瓴- t o ) ， 当 ix ( t o ) i t 0 ，使得i | 。( f ，t o ) l l t o ) 由定义3 1 5 可知，若( 3 1 4 ) 式的平凡解关于部分变元y 指数稳定，则存在常 数m 1 ，五 o ，使得对任意的t o 0 ，x ( t o ) r “，有 y ( f ，岛，j c o ) l i = t i 欺。) ( f ，t o ，x o ) 1 1 = 1 i 。( f ，t o ) x ( t o ) l | m i i x ( t o ) i ie 一。卜岛( f l t o ) ， 从而有 i i 。( f ，t o ) l l t o ) 为了说明上述定理的有效性，我们用下面的例子进行验证 例3 2 i 对于线性脉冲切换系统( 3 i 4 ) 式，取n = 3 ，即三个变元五，x 2 ，x 3 ； 取m = 2 ，即讨论( 3 1 4 ) 式关于部分变元而，x 2 的稳定性 4 删 ； 4 = | ；1 ； s = ( ，1 ) ，( 吒，2 ) ，( ，1 ) ，( ，2 ) ，( 屯。一l ，1 ) ，( r z i ，2 ) ， ，0 m 。， l ie k ( f ，t o ) l l = e 心， i i 瓦k 2 ( t ，t o ) l l = e 7 ， 山东大学硕士学位论文 取 则 辟；f 0 。0 0e - s 脚, ，k 1 , 2 ， 辟= j o i ， = ， 1 00 p 一l 。( f ，t o ) 删( f ，t o ) i i l l 乜墨( ，彳) 瓯日i i - | ll k 。( t 1 ，右) i 已鼠 = p 7 ( ) p 一5 m e 3 ( t t t o ) = p 摹“一 p ( ，一 ) p 一蛳e 4 ( 一南，p 一( ，i 一龟， e a m i e - 5 m p w i e - ( 一t o ) = e 7 m t e - ( t - 则令m = p w l ，2 = 1 ，得忡。( f ，t o ) l l - m e “卜，所以系统的平凡解关于部分变元五，艺 指数稳定 定理3 2 5 设4 。( f ) k = l ，2 ，刀是f 在( 咖，佃) 上的有界连续函数，则系统