（概率论与数理统计专业论文）具有线性红利界限的风险模型.pdf

摘要 具有线性红利界限的经典风险模型最早是由g e r b e r ( 1 9 7 4 ) 首先 提出的，他对经典风险模型做了如下修正：盈余一旦超过红利界限便 发放红利，直至下一次索赔发生，这样就使得盈余一旦超过红利界限 便驻留在边界上。g e r b e r ( 1 9 8 1 ) 考虑了此模型下的生存概率和红利付 款的期望分别满足的积分一微分方程。在此基础上，宗昭军研究了带 随机干扰的经典风险模型在引入线性红利界限后的一些类似结果。 他们的研究都是针对利息力为常数时的情况，在本文第2 章中， 通过标准w i e n e r 过程和p o i s s o n 过程来描述利息力的随机性。在这 类随机利息力的情况下，研究了( i ) 具有线性红利界限的经典风险 模型和( i i ) 具有线性红利界限的带随机干扰的经典风险模型。对这 两种模型，给出了破产概率的一个上界，并证明了生存概率、红利付 款的期望、破产前达到红利界限的概率所分别满足的积分一微分方 程，并就模型( i i ) 给出了索赔额服从指数分布时生存概率与红利付 款的期望现值的确切表达式。 关于具有线性红利界限的风险模型的研究大多是针对经典风险 模型的，假定保费率收取是一常数。在第3 章中，我们将此模型进行 推广，假定保费收入过程是一复合p o i s s o n 过程，研究了引入线性红 利界限后的双复合p o i s s o n 模型和带随机干扰的双复合p o i s s o n 模 型。给出了生存概率、红利付款的期望现值和破产前达到红利界限的 概率分别满足的积分一微分方程。 关键词：线性红利界限，积分一微分方程，利息力，红利付款，复合 p o i s s o n 过程 a b s t r a c t t h ec l a s s i c a lm o d e li nt h ep r e s e n c eo fal i n e a rd i v i d e n db a r r i e rw a s f i r s ti n t r o d u c e db yg e r b e r ( 1 9 7 4 ) t h ec l a s s i c a lm o d e li s m o d i f i e da s f o l l o w s ：翰e n e v e rt h es u r p l u sr e a c h e sac e r t a i nb a r r i e r , d i v i d e n d sa r e p a i do u ts u c ht h a tt h es u r p l u ss t a y so nt h eb a r r i e r ( u n t i lt h en e x tc l a i m o c c u r s ) g e r b e r ( 1 9 81 ) d e r i v e dt h ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o ns a t i s f i e d b yt h es u r v i v a lp r o b a b i l i t ya n dt h ee x p e c t a t i o no ft h ed i s c o u n t e dd i v i d e n d p a y m e n t s ，r e s p e c t i v e l y b a s e do nt h i s ，z o n gz h a o j u n s t u d i e dt h em o d i f i e d c l a s s i c a lr i s km o d e lp e r t u r b e db yd i f f u s i o ni nt h ep r e s e n c eo fal i n e a r d i v i d e n db a r r i e r s o m ea n a l o g o u sr e s u l t sw e r ed e r i v e d i nt h e i rs t u d y , t h ei n t e r e s tf o r c ei sa s s u m e dt ob eac o n s t a n t i n c h a p t e r2 ，w ed e s c r i b et h ei n t e r e s tf o r c er a n d o m n e s sb ys t a n d a r dw i e n e r p r o c e s sa n dp o i s s o np r o c e s s o nt h i sb a s i s w ed i s c u s st w om o d e l s ： ( i ) t h ec l a s s i c a lr i s km o d e li nt h ep r e s e n c eo fal i n e a rd i v i d e n db a r r i e r ；( i i ) t h ec l a s s i c a lr i s km o d e lp e r t u r b e db yd i f f u s i o ni nt h ep r e s e n c eo fal i n e a r d i v i d e n db a r r i e r f o rb o t ho ft h e m ，a nu p p e rb o u n do fr u i np r o b a b i l i t yi s g i v e n t h ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s a t i s f i e d b y t h es u r v i v a l p r o b a b i l i t ya n dt h ee x p e c t a t i o no ft h ed i s c o u n t e dd i v i d e n dp a y m e n t sa n d t h ep r o b a b i l i t yo f r e a c h i n gt h eb a r r i e rb e f o r er u i na r ed e r i v e d ，r e s p e c t i v e l y f i n a l l y , t h ee x p l i c i tf o r m u l a ef o rt h e mo fm o d e l ( i i ) a r ep r e s e n tw h e nt h e c l a i ms i z ei se x p o n e n t i a l l yd i s t r i b u t e d m u c ho ft h el i t e r a t u r eo nt h et h e o r yo fal i n e a rd i v i d e n db a r r i e ri s c o n c e n t r a t e do nt h ec l a s s i c a lr i s km o d e l i nw h i c ht h er a t eo fp r e m i u mi s ac o n s t a n t i nc h a p t e r3 ，w em o d i f yt h er i s km o d e l ，i nw h i c hw ea s s u m e t h ep r e m i u mi n c o m ei sac o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s i nt h ep r e s e n c eo fa l i n e a rd i v i d e n db a r r i e r , w ed i s c u s st w om o d e l sw i t hc o n s t a n tf o r c eo f i n t e r e s t ：t h er i s km o d e lw i t ht w oc o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s e sa n dt h e r i s km o d e lw i t ht w oc o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s e sp e r t u r b e db yd i f f u s i o n w e p r e s e n tt h ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss a t i s f i e db yt h es u r v i v a l p r o b a b i l i t ya n dt h ee x p e c t a t i o no ft h ed i s c o u n t e dd i v i d e n dp a y m e n t sa n d t h ep r o b a b i l i t yo f r e a c h i n gt h eb a r r i e rb e f o r er u i n ，r e s p e c t i v e l y k e yw o r d s ：l i n e a rd i v i d e n db a r r i e r , i n t e g r o d i f f e r e n t i a l ，i n t e r e s tf o r c e ， d i v i d e n dp a y m e n t s ，c o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s n 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的成果。尽我所知，除论文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 中南大学或其他单位的学位或证明而使用过的材料。与我共同工作的 同志对本研究所作的贡献已在论文的致谢语中作了明确的说明。 作者签名：z 童缸日期：兰! z 年 月坐日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论文；学校 可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：导师签名：e l 期：年月日 硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1风险过程的产生和发展情况 保险风险理论产生于保险公司承保项目的可行性研究，其研究对象来自保险 商业的各种随机模型。初期的风险理论主要与寿险有关，研究的是个体风险模型， 通常称为个体风险理论。集体风险理论把全体投保者看成一个整体，索赔的产生 为一个随机过程，如今在风险领域里研究的各种风险模型都是在此基础上逐步发 展起来的。风险理论作为保险精算的一部分，是当前精算界与数学界研究的热门 课题，主要处理保险事务中的随机风险模型并研究破产概率、调节系数等问题。 经典风险模型是主要的研究对象之一，国内外的学者们对其进行了大量的研究。 现已公认，其研究溯源于瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论文 【1 】。他首先进行了破产论的研究，提出了一类最重要的随机过程，即p o i s s o n 过 程。不过l u n d b e r g 的工作不符合现代数学的严格标准。它的严格化是以h a r a l d c r a m e r 为首的瑞典学派完成的，是c r a m e r 将l u n d b e r g 的工作奠定在坚实的数学 基础之上，同时他也发展了严格的随机过程理论。他们给出了l u n d b e r g c r a m e r 经典破产模型的确切表述、有关假定和主要结果。现已公认，l u n d b e r g 和c r a m e r 的成果为经典风险理论的基本定理。因此j 风险理论较为系统的理论形成应该说 始于l u n d b e r g 1 和c r a m e r 2 5 】。随机过程理论的逐渐系统和成熟为风险理论的 研究提供了强有力的方法和工具。继c r a m e r 之后，当代研究风险论的国际领先 学者h a n su g e r b e r 不仅将鞅方法引入到破产论的研究中，而且深化了经典破产 论的研究内容。他在2 0 年前写的数学风险论导引【6 】一书，已成为当今研究 这一领域的经典著作。对风险理论的系统论述当属于g e r b e r 7 1 1 】和c r r a n d e l l 【1 2 1 5 。 近年来，风险理论的研究十分迅速，研究问题的范围也逐渐扩大 1 6 2 0 。其 中一个方面是对模型设定一个界限 2 1 2 3 ，这样人们不仅考虑保险公司盈余低于 o 也即破产的概率，同时人们关心盈余达到界限的情况。根据设定的红利界限的 不同，研究通常从常数红利界限 2 4 2 7 、线性红利界限 2 8 3 1 、非线性红利界限 【3 2 3 3 几个方面进行。其中常数红利界限方面已有很多学者进行了大量的研究， 推出了很多有用结论。关于线性红利界限的相对较少，具有线性红利界限的经典 风险模型最早是由g e r b e r ( 1 9 7 4 ) 首先提出的。他对经典风险模型做了如下修正： 盈余一旦超过红利界限便发放红利，直至下一次索赔发生，这样就使得盈余一旦 硕士学位论文第一章绪论 超过红利界限便停留在边界上。g e r b e r 考虑了此模型下的生存概率和红利付款的 期望分别满足的积分一微分方程 8 】。t o m a ss i e g l 和r o b e r tf t i c h y 在r e i n h a r d 带随机参数的风险模型的基础上，对g e r b e r 研究的模型进行了一般化，研究了 具有随机索赔频率的带红利界限的风险模型，讨论了该模型下生存概率和红利付 款的期望以及破产前盈余达到红利界限的概率所满足的积分一微分方程，并就索 赔分布服从g a m m a 分布的情况给出了它们的表达式，参看 2 s 】。 国内也有学者对引入线性红利界限的风险模型进行了研究。江五元【2 9 】在考 虑线性红利界限的情况了将经典的风险模型推广为双复合p o i s s o n 模型，研究了 模型的破产概率和l u n d b e r g 不等式。宗昭军，胡锋，元春梅 3 1 3 2 讨论了存在 线性红利界限并带随机干扰的经典风险模型，给出了破产概率的一个上界，证明 了生存概率及红利付款的期望现值分别满足的一个积分一微分方程，并给出了索 赔额服从指数分布时生存概率和红利付款的确切表达式。 1 2 经典风险模型及其主要结果 令( q ，只p ) 为一个完备概率空间，文中所有的随机变量和过程均在其上定义 定义1 2 1 经典风险模型 ( 1 ) 理赔到达过程 n i t ) ，r 0 是一强度为兄的齐次p o i s s o n 过程。 ( 2 ) 索赔额序列 置，扛1 ，2 是相互独立同分布的随机变量序列，它们有共 同的分布函数f ( x ) ，均值为 ( 3 ) ( f ) ，r 0 - q 五，i = i ，2 彼此相互独立 令： “1 r o ( o - - x + a - s ( o ，s ( f ) = 五 l - 1 其中x 0 为初始准备金，c 0 为常数，表示单位时间内收到的保险费，s ( t 1 表 示o ，f 1 内的理赔总额，则r o ( ，) 称为复合p o i s s o n 过程即经典风险模型 从盈余的角度看复合p o i s s o n 过程，一方面有连续不断的保费收入，另一方 面又有因索赔需要支付而形成的跳跃，因此风险过程成为一个跳跃过程，在两次 理赔发生时刻互书z 之间的时间( z ，z ) 内，过程随着时间在线性的增加，增加的 速度为保费收取率，在理赔发生时刻z 过程跳跃性的减少了与理赔相同的量，从 图卜1 中可以看出，r o ( f ) 可能出现小于。的情况，我们把这个事件称为破产，虽 然在实际中，这并不说明保险公司真的发生破产也不能说明其财务状况很差，但 是在简化的数学模型中，对破产事件的研究无疑是重要的。 硕士学位论文第一章绪论 殿( f ) 0 l 1 0 p ： t1 t 图1 - 1 经典风险模型的盈余过程的一条典型的样本轨道 定义1 2 2 破产时刻互= i i l f f ：f o e r o ( t ) 0 称为相对安全负载。 定义i 2 4 矩母函数 我们定义与随机变量x 有联系的一个函数 峨( ，) = e e r x = p “妒( x ) 它称为是x 的矩母函数。 我们再简单介绍一个我们在研究经典模型时用到的一个重要概念即调节系 “1 数。我们从r o ( f ) = x + c t 一罗置这个数学表达式中可以看出破产概率 一 百 缈( x ) = e ( e o ) 0 | ( n 现在我们对经典风险模型引入线性红利付款。为此我们设定一个线性红利界限 【6 】： y = b + 口， 其中b 为初值( x 6 ) ，口为递增速率( o 口 c ) 。 这样只要盈余在红利界限以下，便不发放红利。若盈余在红利界限以上，每 单位时间便发放c a 的红利，直到下一次索赔发生。这样的运作结果可使得盈 余一旦超过红利界限便驻留在边界上。于是有下面的关系： 哪) - i c 础d t - 刮d s ( t ) , ，蒜三二三 我们引入记号： m = m a x r 。( s ) 一( 6 + 础) ，o s t ，q = 孵，r ( f ) = 础( f ) 一口。 这里口表示到时间t # jd 所发放的总的分红。 丁= i i l f ，o k ( f ) o ) 表示破产时间，缈( x ，6 ) = p ( r 0 为常数，表示单位时间内收到的保险费。现在我 们对经典风险模型引入线性红利付款。为此我们设定一个线性红利界限： y = b + a t 其中b 为初值( z 6 ) ，口为递增速率( o o 、 尸，( ，) ，t o ) 、 尺( f ) ，t o 相互独立。 硕士学位论文第二章随机利息力环境下具有线性红利界限的风险模型 我们知道实际上利息力的随机浮动不可能很大，不失一般性，我们假定 艿 寺2 一五( 1 一p - ，) 。 我们记m = m a x r o ( s ) 一( 6 + 傩) ，o a s s t ，q = 埘，r ( f ) = r o ( ，) 一口， 这里d r 表示到时间t f f r dl l - 所发放的总的分红。 r = i 1 1 f ，o k ( ，) o ) 表示破产时间，y ( x ，6 ) = 尸( 丁 k ( o ) = x ) 为最终破 产的概率，可视为初始盈余与红利界限的函数。相对应的，u ( x ，b ) = 1 - 9 1 ( x ，b ) 为 生存概率。 m = f p 一 d d , 为直到破产为止所有分红的现值。w ( x ，6 ) ，o x 6 表示m 的 期望值，w ( x ，b ) - - e m 】。如果破产后仍然发放红利，我们用符号y 表示分红的 期望现值，显然矿= v ( u ) 是单变量甜= b - x 的函数。 ，( x ，6 ) = 尸( 尺( f ) = 6 + 口，i f 丁，天( o ) = x ) 表示破产前盈余能够到达红利界限 的概率，也即破产之前客户能够得到分红的概率2 8 1 。 2 1 2 破产概翠 我们来分析模型( i ) 的破产概率，首先我们证明两个引理 4 7 4 9 】： 引理2 1 1 如果函数v ( x ，f ) ，f o ，o x a b + a t 满足 c 罢+ 詈+ 名j c o ，( x - z , t ) d f ( z ) 一a 1 ，= o 坛 6 + 口r ( 2 - 1 _ 3 ) 与 口塞+ 詈+ 名j c o ，( x - z , t ) d f ( z ) 一加= o ，坛= 6 + 讲 ( 2 1 4 ) 则 v ( r ( f ) ，f ) ) 为一鞅。 证明：由g e r b e r ( 1 9 7 9 ) ，我们知道如果 l i m 垦坐坠坐垒) 二生生o( 2 - 1 - 5 ) o h 则y ( r ( f ) ，f ) 为一鞅。 我们在无限小时间段( o ，h 】内考虑，没有索赔发生的概率为( 1 2 h ) ，有一次 索赔发生的概率2 h ，超过一次索赔的概率d ( 办) ，【4 7 4 9 】。 当y r ) 令r o o ，对上式运用单调收敛定理与l e b e s g u e 控制收敛定理，我们有 p 一触( + e x p ( 一( r + s ) ( 6 一x ) ) ) = e x ( r i 丁 0 取极限，即可得到 a - c ) 以小( a + 万一j 1 肛( 1 彳7 ) ) 吩) + a j i o 脚_ 水( 沪。( 2 - 1 - 1 5 ) 特别的甜= 0 也即x = b 时，初始盈余达到初始时的红利界限，每单位时间便 枯前r d 的钉利此时 y ( o ) = e e e - o o y ，) 令rj ，对上式运用单调收敛定理与控制收敛定理，我们有 p 一触( - + 叁e x p ( 一( r + s ) ( 6 一x ) ) ) = e p ( z i 丁 a 证明：我们在无限小时间段( o ，a t 】内考虑，没有索赔发生的概率为l 一2 a t ， 有一次索赔发生的概率尬，超过一次索赔的概率d ( 出) ，由全概率公式得 ，( 毛6 ) = ( 1 一他) e j ( m ，+ 盯形( 址) , b + a a t ) ( 2 - 2 - 3 6 ) + 砌晒j c o ，( x + c 缸+ 仃形( 址) 一z ，6 + 口a t ) d f ( z ) + 。( f ) 由布朗运动的性质和t a y l o r 展开，我们可以得到 硕士学位论文第二章随机利息力环境下具有线性红利界限的风险模型 砸j ( 出+ 圳咄6 + 口出) 叫刈) + ( 。丽8 2 j + c 尝+ 口鼍卜啦) 他e j c o ，( x + c & + 川( ，) 一z ，6 + 口出) 扭( z ) = 他r ，( x z ，b ) a r ( z ) + 。( 址) 将上面两式代入( 2 2 3 6 ) 化简整理得 ( 。矿a 2 j + c 尝+ 口筹 址一刎( 毛6 ) + 触r ，( x z ，6 ) 卵( z ) + 。( 址) = 。 将上式两边同除以出，令& - - - 0 得 d 警+ c 罢+ 甏圳( 蛐) + 五r ，( x - z , b ) d f ( z ) 卸 边界条件很显然成立，不再证明。 注：取盯= 0 ，此时无干扰项，结论与定理2 1 5 相同，这与模型定义情况相 符。 2 2 6 例子 设个体索额分布为f ( x ) = l - e - , x 0 ，我们对该情况下模型( i i ) 的生存概 率、红利付款的期望现值进行求解。 1 ) 生存概率 由边界条件( 2 2 1 5 ) 我们有 。l i m 。u ( 、x ，6 ) = 1 一g e x p 一墨x ) _ c 2 e x p 一是x 舯墨* 瑚+ 卜) 2 + 哥是* 瑚一卜) 2 + 哥 c l ：尝c ：百( 1 - r 2 ) r t ，d = c r y 2 ，孝：d 1 尼一冠 ， 冠一足 77 将f ( x ) - l - e 一。代入方程( 2 2 1 1 ) 中并令y = x z ( 2 2 3 7 ) 。害+ c 罢+ 口署棚+ 旯r u ( y 卅，砂= 。( 2 - 2 - 3 8 ， 将上式对x 求导得 d 害+ c 害+ 口塑一五一o u + a u + 名r u ( 加) e - ( x - y ) o x o bo x 砂：o ( 2 - 2 - 3 9 ) 苏锄2 山 v 7 。7 。 2 7 硕士学位论文第二章随机利息力环境下具有线性红利界限的风险桴! 竺 将( 2 2 3 8 ) ( 2 2 3 9 ) 两式相加消去积分项，得到偏微分方程 。丽a 3 u + ( 脚) 害+ 口丽0 2 u + ( 一) 警= 。 ( 2 2 4 0 ) 的特解具有如下形式 矿 4 + 4 + 4 其中，i ，r 2 ，r 3 是下述方程 d r 3 + ( d + c ) ，2 + ( 娜+ c a ) ，+ 伽= o 的解，并且4 ，4 ，以是任意的常数。 ( 2 2 - 4 0 ) ( 2 2 4 1 ) ( 2 2 4 2 ) 由u ( o ，b ) - - o 知，4 + 4 + 4 = o 。再将( 2 - 2 - 4 1 ) 代入( 2 2 - 3 8 ) 式知 l + l + l ：o 1 + ，l1 + ，21 + r 3 故( 2 2 3 8 ) 有如下形式的特解 c p 曲 p j 一渊p 气j i ( f 1 + i 丽r 3 ) ( r l - r 2 ) p f ) 综合所述生存概率有如下形式且满足条件( 2 2 1 3 ) 及( 2 2 - 3 7 ) u(x，6)=薹gebp水)t一一p。i)j i 霉0 iil + ，i 、7j i 吃、7 一吩、j ( 1 + r 3 p ) ( ，i 似) - 吒似 ( 1 + o ) ( 吃o 一吒似 p 扩k ( 2 2 4 3 ) c o = 1 ，s ( o ) = 吒( o ) = o ，= 一置，r 3 ( o ) = 一是 则k ：0 的项恰好是( 2 2 3 7 ) 的右端，若对于任意的七1 ，s ( ) 0 ，则( 2 - 2 - 3 7 ) 式满足。若 s ( 七) + 吃( 七) = ：s ( + 1 ) + 吒( + 1 ) ，s ( ) + 吩( ) = = s ( 2 + 1 ) + 吃( + 1 ) 一一书 2 8 硕士学位论文 第二章随机利息力环境下具有线性红利界限的风险模型 则边界条件罢k 曲= o 满足，下面给出，i ( ，吃( ，0 七) 的关系式。 o x ( 2 2 - 4 2 ) 式可以改为 d r 3 + ( d + c - a ) r 2 + ( 口( ，+ s ) + c 一五一口) ，+ 口( ，+ s ) = o ( 2 - 2 - 4 4 ) 由( 2 2 - 4 2 ) 式，知 由递推公式及( 2 2 硝) 得 水垆) - - 譬 删m w m ) - _ 掣掣，h c 州k t 川) - - 丁d + c - a 由上面两式得 眨= 再由( 2 2 4 2 ) 知 2 d 一妒峭+ ) ：一百a s ( k + o ：一a ( s ( k ) + r 广a ( k ) - r 2 ( k + 0 ) ，i ( w hr a ( k + 0 = d + c - a 1z3 dd l| u 这样可以确定，i ( ) ，r 3 ( m ) 这样由，i ( ) ，r 2 ( ) ，r 3 ( ) ，s ( ) ，q + l 的递推公式就可以确 定生存概率的确切表达式。 2 ) 红利付款的期望现值v ( u ) 、w ( x ，b ) - 对于y ( 材) 满足的方程( 2 2 - 2 1 ) 将f ( x ) = 1 一p 叫代入得 ( “) + ( ) ( 甜) 一( , z + 8 - 1 p 2 “( 1 彳，) ) y ( ”) + 名j c o 矿( ) p 嘞= 。 令y = u + z ，则 ( 小( ) 以矿( n 万一互1 肛五( 1 可，) ) 吩) + 旯f 吣) e - ( y - u ) 咖= 。 ( 2 2 - 4 5 ) 对其求导我们得到 - 2 9 硕士学位论文 第二章随机利息力环境下具有线性红利界限的风险模型 d y ”( 材) + ( 口一c ) y 。( 材) 一( 旯+ 万一丢2 + a ( 1 一p 一7 ) ) y ( “) 一名y ( “) + 五亡y ( y ) p - ( y 一。) 咖：。 。 ( 2 - 2 _ 4 6 ) 将( 2 2 4 5 ) 与( 2 2 4 6 ) 两式相减 。y _ ( “) + ( a - c - d ) 矿。( “) + ( c 一口一旯一万+ 三1 2 一名( 1 一p 一，) ) y ( 材) 由条件( o ) = - i ，知 + ( 万一丢2 + 五( t p 一7 ) ) 矿( 材) = 。 矿( ”) = 刖 其中厂= p 是方程 所3 + ( a - c - d ) ，2 + ( c - a - 允- 8 + 1 , 6 2 纠( ，可7 ) ) n 力7 ( 巧，) = 。 的负根。 _ x t w ( x ，6 ) 运用同样的方法，整理得到 。可0 3 w 巾罟+ 口纛+ ( c - 2 - 6 + 1 f 1 2 训可，) ) 警 + 口尝一( 万一吉踟小p 一，) 卜。 它的特解具有形式 其中，i ，r 2 ，r 3 是下面方程的解 矿 4 p 1 。+ 4 p 屹。+ 4 p v d ，3 + ( 。卅 1 i 产旯( 1 可，) ) ，- + 傩一p j 1 砰名7 ( h 一7 ) ) = 。 由边界条件形( o ，b ) = o ，我们知道形具有如下的形式 w ( x ，b ) = p 吃( 七) ( ，i ，i 似) ( 吃( 七 3 0 盟， 吩 ) c 吩( 七) ( 七 吒似) ( 吩 p k 型廿 卜一卜卜一” 6 一 g 。脚 硕士学位论文第二章随机利息力环境下具有线性红利界限的风险模型 我们取 ，( o ) ： 2 j c o ：三，j ( 。) - - - p , r l ( 。) ：p p 一( d + c + d p ) 千 2 d 2 如果w 1 ，i ( ) + ) 0 ，吃( 七) + s ( ) o ，吩( ) + s ( 七) o ，边界条件( 2 2 3 1 ) 满 足。若v 七0 ，s ( 七) o ，则条件( 2 2 3 0 ) 满足。 利用递推公式 s ) + 吒( ) = s ( + 1 ) + ，i ( + 1 ) ，0 ) + 吩( ) = = s ( 。+ 1 ) + 吒( 七+ 1 g “= q 而( i + r 2 嘶( k ) ) ( q 砑( k ) - - r 3 ( 则条件( 2 2 2 9 ) 成立。我们得到 r ( i + 1 ) 一 ，2 一 ，i ( 。+ 1 ) 其中墨“，“满足 2 d 一垆- 垆t ) _ 一了a s ( k + 1 ) = 一a ( s ( k ) + r 厂3 ( k ) - r 2 ( k + 1 ) ) 似+ 1 ) + 吃o + l + 0 k + 1 ) - - 一d + 矿c - a 这样可以确定，i ( m ) ，吩( m )由吒( m ) ，( m ) ，吃( m ) ，j ( m ) ，g + l 的递推公式就可以确定生 存概率的确切表达式。 3 1 、i-，一、ll， d 一” 硕士学位论文 第三章具有线性红利界限的双复合p o i s s o n 模型 第三章具有线性红利界限的双复合p o is s o n 模型 经典风险模型建立以后，很多学者对其进行了推广，其中一方面是对保费收 取情况进行推广 5 0 5 2 。如果保费收入也为复合p o i s s o n 过程那么我们得到双复 合p o i s s o n 风险模型，很多学者对双复合p o i s s o n 模型进行了研究 5 2 5 8 】。在关 于引入线性红利界限的模型的研究中，g e r b e r ，t h o m a ss i e g l 2 8 】，宗昭军 3 0 ， 3l 】等都是围绕经典的风险模型的，在本章中我们对有无干扰两种情况下的双复 合p o i s s o n 风险模型引入线性红利界限，对这两类模型的生存概率、红利付款的 期望现值、破产前到达红利界限的概率分别进行了研究。 3 1 具有线性红利界限的双复合p o is s o n 模型 3 1 1 模型引入 在经典风险理论建立的复合p o i s s o n 风险理论中，总是假设保险公司在单位 时间内按常数速率取得保单且每张保单的保险费也相同。但在实际运作中，不同 单位时间内到达的保单数是一个随机变量，服从某一个分布；另外，每一保单收 取的保险费未必相同，也是一个随机变