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重庆人学硕士学位论文中文摘要 摘要 机械产品的设计将经历一个从总体框架设计到细节结构优化设计的过程，结 构优化设计始于拓扑优化，一个优良的拓扑能够为后续进行的形状和尺寸优化指 明正确的方向。近二十年来，渐进结构优化方法( e s o ) 在结构拓扑优化领域中扮 演着重要的角色，该理论方法的发展和完善引起了众多研究者的关注。 虽然渐进结构优化算法在理论研究和工程应用方面都取得众多研究成果，但 是该算法被认为是一种启发式算法，缺乏严格的数学理论基础。基于v o nm i s e s 应 力准则的e s o 的目标函数与优化准则之间模糊的关系至今未能用合理的显函数来 表示；设计变量的离散特性被视为破坏了目标函数和约束函数的连续性和可微性； 删除率和进化率等优化参数依靠经验取值的做法让算法的可靠性和通用性饱受质 疑；算例结果与m i c h e l l 桁架结构作粗略对比的验证手段比较缺乏说服力。 本文就e s o 方法有效性问题，以解析法推导出基于v o n m i s e s 应力的满应力准 则下的长悬臂式、短悬臂式以及槽型约束边界式等几种静定结构的最优拓扑和形 状，为验证结果是否为最优解提供了数学依据；基于e s o 算法的思想，分析了几 种不同边界条件的桁架结构和连续体结构的拓扑优化过程；以基于v o nm i s e s 应力 准则的e s o 算法的四条基本假设作为分析对象，从满应力与最小体积、v o n m i s e s 应力与材料效率、渐进方法的必要性及其效率、离散变量与连续变量的优化解法 等方面对e s o 方法的有效性进行了研究；本文研究从实例验证方面并在一定程度 上从理论方面证明了e s o 方法具有很好的寻优能力。 结构拓扑优化设计往往在得出比较粗略的结构后就终止，只关注最主要的承 载结构，而忽视了在承载结构间的孔洞区域内合理布置更细节的拓扑结构的重要 性。b e s o 对单元的恢复往往只能够沿着存活单元边界进行，很难在孔洞区域架起 新的支承结构。本文基于e s o 方法和变密度法提出了二次删除策略以对现有e s o 方法进行改进，该算法可在孔洞区域进行二次或者多次优化，具有更好的全局寻 优能力，并通过一个经典的简支梁算例验证了该方法的可行性。 关键词：渐进结构优化，v o nm i s e s 应力，最优拓扑，有效性，二次删除 a b s t r a c t a d e s i g no fm e c h a n i c a lp r o d u c tw i l lf i r s tg e n e r a lf r a m e w o r kd e s i g na n dt h e nd e t a i l o p t i m i z a t i o nd e s i g n ，s t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o nd e s i g ns t a r t sf r o mt o p o l o g yo p t i m i z e a n e x c e l l e n tt o p o l o g yc o u l dm a k et h e s h a p ea n ds i z eo p t i m i z ei nt h er i g l l td i r e c t i o n i n r e c e n tt w od e c a d e s ，e s op l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h ef i e l do f t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n ， d e v e l o p m e n ta n d1 m p r o v e m e n to ft h et h e o r ya t t r a c t e da t t e n t i o n so f m a n yr e s e a r c h e r s a l t h o u g ht h ee s oh a sm a d em a n ya c h i e v e m e n t si n t h e o r ya n de n g i n e e r i n g a p p j i c a t l o n s ，i t1 sah e u r i s t i ca l g o r i t h m ，l a c ko fr i g o r o u sm a t h e m a t i c a lt h e o r yb a s i s a m b i g u o u sr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h eo b j e c t i v ef u n c t i o na n dt h eo p t i m i z a t i o nc f i t e r i o no f e s ob a s e do nt h ev o nm i s e ss t r e s sc r i t e r i o nh a ss of a rf a i l e dt ou s e r e a s o n a b l ee x d l i c i t f u n c t i o nt o r e p r e s e n t ，t h ed i s c r e t en a t u r eo ft h ed e s i g nv a r i a b l ei s c o n s i d e r e dt o u n d e r m i n et h ec o n t i n u i t ya n dd i f f e r e n t i a b i l i t yo ft h eo b j e c t i v ef u n c t i o na n dc o n s t r a i n t f u n c t i o n s ，t h es e to fo p t i m i z a t i o np a r a m e t e r sv a l u es u c ha sr e m o v er a t ea n de v 0 1 u t i o n r a t er e l yo nt h ee x p e r i e n c ec a u s e st h ea l g o r i t h ms u f f e rq u e s t i o no ft h er e l i a b i l i t ya n d v e r s a t i l i t y , t h ev e r i f i c a t i o nm e a n so fr o u g hc o m p a r i s o no fn u m e r i c a lr e s u i t sw i t h m i c h e l lt r u s si s u n c o n v i n c i n g b a s e do nt h i sb a c k g r o u n d ，t h i sp a p e ru s ea n a l y t i c a l m e t h o dt oo b t a i nt h e o p t i m a lt o p o l o g ya n ds h a p eo fs e v e r a ls t a t i ci n d e t e m i n a t e s t r u c t u r e ，p r o v i d eam a t h e m a t i c a lb a s i sf o rt h ev e r i f i c a t i o no ft h er e s u l t sw h e t h e rt h e o p t i m a l ，m a k et h ef o u rb a s i ca s s u m p t i o n so fe s ob a s e do nt h e 、，o nm i s e ss t r e s s c r i t e r i o na so b je c t ，r e s e a r c ht h ev a l i d i t yo ft h i s m e t h o d 。f i n a l l y , p r o v e dt h ev a l i d i t y t h r o u g ht h et h e o r ya s p e c ta n de x a m p l e sa s p e c t t o p o l o g yo p t i m i z a t i o nu s u a l l ys t o p p e da f t e ro b t a i n i n gar o u g h s t r u c t u r e o n l y c o n c e r n e dw i t ht h em a i nl o a d - b e a r i n gs t r u c t u r e s ，w h i l ei g n o r i n gt h ei m p o r t a n c eo fa r e a s o n a b l ed e t a i l sl a y o u ti nt h eh o l er e g i o n t h er e c o v e r yo ft h er e m o v e de l e m e n t s u s i n gb e s oo n l yo c c u r sa l o n gt h eb o u n d a r i e so ft h es u r v i v ae l e m e n t s i ti sh a r dt ob u i l d n e w s u p p o r t si nh o l er e g i o n s b a s e do nt h ee s oa n dv a r i a b l ed e n s i t ym e t h o d ，t h i sp a p e r p r o p o s e dt h es e c o n d r e m o v es t r a t e g yt o i m p r o v et h ee x i s t i n ge s om e t h o d ，t h e a l g o r i t h mc a r r yo u ts e c o n do rr e p e a t e d l yo p t i m i z a t i o ni nt h eh o l er e g i o n ，i th a sab e t t e r a b i l i t yo ff i n d i n gt h eg l o b a lo p t i m a ls o l u t i o n ，ac l a s s i c a le x a m p l eo f s i m p l ys u p p o r t e d b e a mh a sv e r i f i e dt h ef e a s i b i l i t yo ft h i sm e t h o d k e y w o r d s ：e s o ，v o nm i s e ss t r e s s ，o p t i m a lt o p o l o g y , v a l i d i t y , s e c o n d r e m o v e 重庆人学硕十学位论文1 绪论 1 绪论 结构优化设计旨在通过合理的布置材料，使材料得到更充分的利用，以找到 用料少性能佳的结构形式。结构形式中包括了拓扑、形状、尺寸等信息，一个完 整的优化将依次经历拓扑优化、形状优化和尺寸优化三个阶段。尺寸优化多以杆 件截面尺寸或板壳厚度等作为设计变量，形状优化以杆件的节点坐标、梁横截面 形状或者连续体的内外边界形状等为优化变量，拓扑优化的设计变量则是杆件的 个数及连接形式或者连续体结构的孔洞个数及位置等【2 。形状和尺寸优化的理论研 究已经比较成熟，拓扑优化的研究由于难度大并且起步较晚，其理论与工程应用 还处于改进与完善的阶段，是目前结构优化领域的研究热点。结构拓扑优化的研 究对象根据性质不同可以分为离散结构和连续体结构两大类，其中离散结构多指 桁架结构。 1 1 离散结构拓扑优化 结构拓扑优化的研究是从离散体结构开始的，1 9 0 4 年m i c h e l l 3 】提出的优化准 则被认为在离散体结构拓扑优化史上具有里程碑意义。1 9 6 0 年s c h m i t 4 j 在结构优 化中使用了数学规划方法，极大的推动了优化设计的发展。d o r n 等【5 j 在1 9 6 4 年提 出的基结构法( g r o u n ds t r u c t u r e ) 将数值方法引入到结构拓扑优化领域，基结构 法是一种退化 6 】算法，以杆件截面尺寸作为变量，将不必要的杆件逐步从初始设计 域中删除以实现拓扑优化。s v e d 和g i n o s 7 】在1 9 6 8 年对三杆结构拓扑优化时发现 了“奇异最优解”问题，s h e u 和s c h m i t 8 以及k i r s c h 9 1 对其进行了详细描述。程耿 东和郭旭【l0 】提出的占松弛法能够较好的解决这类问题。在离散结构拓扑优化领域 比较有代表的工作还有：孙焕纯等 1 1 提出了序列二重二级优化方法；柴山和孙焕 纯等 1 2 构建了包含截面和拓扑两类离散变量的拓扑模型；r i n g e r t z x 3 采用了分枝定 界法；许素强和夏人伟 1 4 采用了遗传算法( g a ) ；蔡文学和程耿东【l5 】采用了模拟 退火算法( s a ) ；段宝岩等 16 使用应变能密度函数建立了极大熵与拓扑优化间的联 系，将拓扑优化转化为应变能分布问题；隋允康 1 7 】等提出的独立连续映射方法 ( i c m ) 将桁架结构中的离散变量转换为连续变量，优化后再将连续变量转换为离 散变量，成功解决了多工况应力与位移约束下的桁架结构拓扑优化问题。 1 2 连续体结构拓扑优化研究现状 近二十多年来，比较具有代表性的连续体拓扑优化方法有：均匀化方法 ( h o m o g e n i z a t i o nm e t h o d ) 、固体各向同性材料惩罚法( s i m p ) 和渐进结构优化算 重庆人学硕士学位论文l 绪论 法( e s o ) 等。 1 2 1 均匀化方法( h o m o g e n i z a t i o nm e t h o d ) 1 9 8 1 年程耿东和o l h o f f 1 8 j 在研究最大刚度变厚度实心弹性板最优设计时，发 现最优解中包含许多各种尺寸的无限细密的加强筋，具有局部非光滑的特征，并 将由微结构构成的复合材料概念引入到优化设计空间。1 9 8 4 年l u r i e 等 19 】用g 一收 敛理论解释了拓扑优化过程中出现的非光滑现象。k o h n 和s t r a n g 等【2 0 】为处理拓扑 优化中的病态变分问题而引入松弛概念，并对这种松弛与均匀化之间的关系进行 了讨论。m u r a t 和t a r t a r 2 l j 将特征函数引入拓扑优化问题，同时指出采用均匀化进 行松弛的必要性。r o z v a n y 等【2 2 j 研究了将松弛引进加强板优化设计的含义。 基于均匀化理论及以上研究成果，1 9 8 8 年b e n d s o e 和k i k u c h i 2 3 提出一种用含 有微结构的单胞描述连续体结构的均匀化方法，通过对单胞微结构尺寸优化来实 现拓扑优化。其基本思想是：假设由各向同性材料的实体和孔洞复合而成的微结 构的周期排列组成了设计区域，在优化过程中首先对微结构进行均匀化分析，获 得材料弹性本构，然后对结构整体进行有限元分析，获得位移、应力等计算结果。 微结构的弹性本构与截面尺寸和方向有关，如图1 1 所示【2 4 1 ，将每个单胞中矩形孔 的长宽a 、b 和角度0 作为设计变量。通过对设计变量的优化可以使孔洞的位置和 形状发生改变以实现结构的拓扑优化。 图1 1 均匀化方法中的单胞结构 f i g 1 1m i c r o s t r u c t u r ei nh o m o g e n i z a t i o nm e t h o d 最初的均匀化方法以结构柔度最小为优化目标，体积值不超过给定值作为约 束条件，拓扑优化模型的数学表达式如下： f i n d x = a l , 6 l ，岛，a n 既，皖 1 m i nc = f t u s u b j e c tt o v = v v + ，i = 1 ，2 ，z ( 1 1 ) k u ( x ) = f 广1 口，岛 o ， ，口l0 三1 重庆人学硕士学位论文1 绪论 式中x 是设计变量，n 是单胞个数，k 是总体刚度矩阵，f 是载荷列向量，u 是 节点位移列向量，y 是体积，矿4 是给定体积，f 是单胞边长。 g u e d e s 和k i k u c h i 2 5 j 在1 9 9 0 年提出了二维和三维结构的均匀化优化方法的实 现算法。s u z h k i 2 6 1 和d i a z 2 7 3 提出了可以同时对结构和拓扑进行优化的方法和用于 解决多工况拓扑优化问题的均匀化算法。k r o g 掣2 8 1 和m i n 掣2 9 1 对以刚度和频率同 时作为优化目标的问题进行了研究。m i c h e l 等 30 研究出一种用均匀化方法计算材 料特性的简化方法。t e n e k 等 3 1 用四种不同的单胞形式研究了静力学和动力学问题 的拓扑优化。l a z a r u s 等【3 2 】将数学规划引入均匀化算法中，并对结构动力学问题进 行了计算。h a s s a n i 和h i n t o n 3 3 】对均匀化理论和算法进行了全面系统的总结。吴长 春等【3 4 】用均匀化法对复合材料、蜂窝材料的弹性模量等力学性能参数进行了数值 模拟计算，刘书田、程耿东等 35 】用均匀化理论对复合材料的性能进行了研究。 1 2 2 固体各向同性材料惩罚法( s i m p ) 由于均匀化方法设计变量多，方法复杂且计算量大，优化效率较低。有必要 对均匀化方法进行改进，以提高其优化效率。最具代表性的变密度法不引入微结 构的概念，以每个单元的相对密度作为设计变量，并将之与材料力学性能建立数 学关系，其中相对密度可以在0 和1 之间连续取值，常用的插值模型有固体各向 同性材料惩罚法( s o l i di s o t r o p i cm a t e r i a lw i t hp e n a l i z a t i o n ，s i m p ) 和材料属性的合 理近似法( r a t i o n a la p p r o x i m a t i o no fm a t e r i a lp r o p e r t i e s ，r a m p ) 。 s i m p 方法由r o z v a n y 等 3 6 】于1 9 9 2 年提出，通过单元的灵敏度改变设计变量 的取值，使单元材料属性随之发生变化，从而改变材料的分布情况实现拓扑优化。 由于相对密度在0 到1 之间均有取值，中间密度单元导致拓扑边界模糊，通过引 入惩罚因子使密度中间值向两端聚集来减少中间密度单元的数量，得到较为清晰 的拓扑结构。以结构最小柔顺度为优化目标的s i m p 法优化模型为： f i n d p = 几, 0 2 ，岛) t m i n c = f 卜u ( p ) s u b j e c tt ov = v i v + ，i = 1 ，2 ，甩 ( 1 2 ) k u ( p ) = f p p i 1 式中：n 是第i 个单元的相对密度；p 是设计变量的下限。 当单元相对密度p i = 1 时，表示该单元是实体材料；当p i = 0 时，表示该单元 处没有材料。在进行有限元计算时，为了避免单元刚度矩阵成为奇异矩阵，设计 变量下限p 取一个接近于0 的正常数。单元的弹性模量和相对密度之间存在如下的 幂函数关系： e = p p e o ( 1 3 ) 重庆人学硕士学位论文1 绪论 式中：e o 是实体材料的弹性常数；p 是惩罚因子，取值大于1 。 1 9 9 9 年b e n d s o e 和s i g m u n d 3 7 对惩罚因子及材料泊松比进行了研究，指出在 满足一定的条件时，能够使用微结构来模拟插值模型，从而给出了中间密度的物 理意义。2 0 0 1 年r i e t z 3 8 峙旨出在一定约束条件下s i m p 方法能够保证解的存在。2 0 0 4 年m a r t i n e z 3 9 给出了该方法的收敛定理。王健和程耿东 4 0 对应力约束下的平面弹 性结构使用了s i m p 方法进行拓扑优化。y a n g 4 1 将该方法应用在车身结构的拓扑 优化。袁振等人【4 2 】研究了基于杂交元和变密度法的结构拓扑优化问题。 1 2 3 渐进结构拓扑优化( e s o ) 1 9 9 3 年，x i e 和s t e v e n 4 3 提出了渐进结构优化算法( e v o l u t i o n a r ys t r u c t u r a l o p t i m i z a t i o n ，e s o ) 。e s o 的基本思想是：通过逐步删除结构中的无效和低效单元， 使结构逐步趋向最优。在优化的过程中，采用固定的有限元网格以避免重复划分 单元。通常有三种方式将材料从结构中去除：直接删除；将结构中存在的材料数 编号为非零数，不存在的材料数编号为零，在组装总体刚度矩阵时忽略所有编号 为零的单元；将单元材料的弹性模量变为接近0 的正数，软杀( s o f tk i l l ) 4 4 域者 硬杀( h a r dk i l l ) 4 5 】。 近几年，该方法的主要研究成果如下：x i e y m 和s t e v e ng p 等【4 6 提出了带有 应力、频率等约束条件的e s o 方法。c h ud n 等【47 】对约束条件为刚度和位移的拓 扑优化问题进行了研究。罗志，、l 等【4 8 】发展了基于主应力的e s o 方法以用于混凝土 和钢索不同的拉压属性材料的拓扑优化问题。荣见华等 4 9 】提出了基于v o nm i s e s 应力和应力灵敏度的e s o 方法。荣见华等 5 0 对基于人工材料单元的e s o 进行了研 究。杜海珍【5 l j 对基于应变能的e s o 进行了研究。q u e r i n 掣5 2 】提出的双向渐进结构 优化方法( b e s o ) 能够恢复被删掉的单元。y o u n gv 和q u e r i no m 【53 】提出了优化 参数单元删除率和添加率对最初的b e s o 方法进行改进。h u a n gx 和x i ey m 5 4 提出了基于收敛和独立网格的b e s o 法，以节点灵敏度作为添加单元的准则。k i m 等【5 5 j 对处理优化结果边界的方法进行了研究，在拓扑优化中使用了固定网格分析 技术。刘毅 5 6 发展了双向固定网格渐进结构优化方法。陈敏志 5 7 】提出了基于自适 应有限元的结构拓扑优化法。l i 等 5 8 】把e s o 法应用热力学拓扑优化问题。l i 等【5 9 对“棋盘格”现象进行了研究，并给出了解决方法。荣见华等【6 0 】使用e s o 方法对汽 车车架结构进行了拓扑优化，最终得出与实际车架相似的结构。倪晓宇等 6 1 使用 e s o 方法对机床床身结构进行了基于频率和刚度约束的拓扑优化设计。孙圣权【6 2 1 使用基于应力突变率的b e s o 对液压机下横梁进行了拓扑优化。 虽然渐进结构优化( e s o ) 算法在理论研究和工程应用方面都取得众多研究成 果。但是该算法被认为是一种启发式算法，缺乏严格的数学理论基础。2 0 0 1 年， z h o u 和g i n r o z v a n y 6 3 设计了一个1 0 0 单元悬臂拉杆式结构的算例，结果表明 4 重庆人学硕十学位论文1 绪论 在某些特定的限制条件下，e s o 算法得到的解是“非优化解”，即使b e s o 也不能 得出最优解。对于e s o 失败的算例，h u a n g x 和x i e y m 6 4 懈释其根本原因在于网 格划分不够细密，通过细化网格和降低进化率可以解决以上问题。g i n r o z v a n y e 6 5 提出通过细化网格并不能真f 的克服以上缺陷，因为在优化丌始之前，我们并不 知道多么细密的网格可以满足要求，同时过密的网格大大增加了计算时问，降低 优化效率，并认为算法的优化准则不够合理。h u a n gx 和x i ey m 6 6 】【6 7 在随后的文 章里指出e s o b e s o 方法对z h o u 和r o z v a n y 梁得出的解并非“非优化解”，而是“低 效局部优化解”，并证明了在以刚度作为优化目标时，e s o b e s o 其实是s i m p 方法 中惩罚因子p 趋于无穷大时的一种特殊情况。 1 3 论文的主要内容 本文主要研究内容有以下几个方面： 基于满应力准则，推导出几种静定桁架结构的解析最优解，以确定不同边 界条件下的最优拓扑构型，为后文的e s o 算法的有效性研究提供数学理论依据， 而不是简单的将优化结果与m i c h e l l 桁架作类比。 根据e s o 的基本原理，分别分析了桁架类离散体结构及连续体结构以v o n m i s e s 应力为优化准则的拓扑优化历程。 e s o 思想包含了四条基本假设：满应力结构为最优结构；低应力单元为低 效或者无效单元；采用逐步优化的渐进方式可收敛于最优解；采用离散设计变量 不会导致最优拓扑丢失。本文从以上四个方面对e s o 的有效性展开研究。 b e s o 只能够沿着存活单元边界对误删单元进行恢复，无法在空洞区域架 起新的支承结构。本文基于e s o 方法和变密度法提出了二次删除策略以对现有 e s o 方法进行改进。 1 4 论文的研究意义 渐进结构优化( e s o ) 算法被认为是一种启发式算法，缺乏严格的数学理 论基础，引起学术界对其合理性产生质疑。r o z v a n y 认为e s o 删除准则( 如v o n m i s e s 应力) 与目标函数之间并不存在严格的逻辑的关系，因而可能得到完全非优 化解。本文对e s o 算法的有效性进行了研究，研究成果对于解释e s o 算法合理性 具有重要参考价值。 在传统e s o 算法的基础上，提出了一种新的渐进算法，该优化算法将目光 瞄准空洞区域的单元，通过二次或者多次渐进优化以构建新的支承结构，实现了 在承载结构间的孔洞区域内合理布置更细节的拓扑结构，并大大降低了优化过程 丢失最优拓扑的概率。本文提出的新方法是对e s o 方法的一个较好的完善。 重庆人学硕十学位论文2 桁架结构解析最优解 2 桁架结构解析最优解 2 1 引言 桁架类离散体结构拓扑优化首个重要的贡献是由m a x w e l l 和m i c h e l l 作出的 6 8 1 。m a x w e l l 6 9 】在1 8 5 4 年对应力约束下最小重量桁架结构的基本拓扑进行了分析。 m i c h e l l 3 在1 9 0 4 年根据m a x w e l l 定理，用解析法研究了受单一载荷的带应力约束 的结构，提出了满应力和同步破坏的概念，并得到了最优桁架所应满足的条件， 后称为m i c h e l l 准则，符合m i c h e l l 准则的桁架被称为m i c h e l l 桁架，也称为最小重 量桁架。c o x 7 0 1 证明了m i c h e l l 桁架也是最小柔顺度设计。h e m p 7 1 1 纠正了其中一 些错误，并求解了多种不同荷载形式下m i c h e l l 桁架的具体形式；r o z v a n y 7 2 对 m i c h e l l 桁架的唯一性等问题进行了讨论，并求解了多种不同边界约束条件下的 m i c h e l l 桁架。在结构拓扑优化研究中，m i c h e l l 理论具有里程碑的意义。 2 2m i c h e l l 理论 m a x w e l l 指出在给定的约束边界和载荷这一系统中，不论桁架是何种拓扑形 式，所有的拉压杆件总满足一种等量关系，这种关系被定义为m a x w e l l 定理，其 表达式见公式( 2 1 ) 。m i c h e l l 理论【3 正是建立在m a x w e l l 定理之上的。 厶厶一岛厶= c ( 2 1 ) 式中：是第p 个受拉杆件的长度，厶是第p 个受拉杆件的内力，m 是受拉 杆件的总数；岛是第q 个受压杆件的长度，。尼第q 个受压杆件的内力，n 是受压杆 件的总数；c 是与桁架组成形式无关，只与载荷大小和作用点相关的函数。 对于静定桁架结构，满应力状态下的体积见公式( 2 2 ) ： p = l 等+ q = l 岛苦叫 q 2 1 z 式中：p 是材料许用拉应力，q 是材料许用压应力，矿是总体积。 由于p 、q 和c 均为与拓扑形式无关的常量，故以体积最小作为优化目标的 表达式可以等效为公式( 2 _ 3 ) ，将公式( 2 1 ) 和公式( 2 2 ) 代入式( 2 3 ) 得式( 2 4 ) ： m i n s ( v ) = 2 p q - y + ( p q ) c ( 2 3 ) m i n 厂( 矿) = 2 p q 莓告+ 喜岛鲁j ：+ ( 尸一q ) 芝p = l 如厶一窆q = l 岛石 。2 4 ， = ( p + q ) 厶+ 岛厶 对公式( 2 4 ) 作进一步化简，得出最终的寻优表达式为： 重庆人学硕十学位论文2 桁架结构解析最优解 m i n g ( v ) = 正 ( 2 5 ) 式中：f f 是第i 个杆件的长度，i 万i 是第f 个杆件的内力的绝对值，m + 即是所有 杆件的总数。 在相同的设计区域内，边界和载荷已经给定的情况下，桁架的组成形式有无 数种，为了找到最优的那一个，采用虚功原理进行分析。在载荷作用点施加一个 微小的力，使其产生单位虚位移，此时各杆件会在原有变形的基础上产生微小的 虚应变蜀，伸长时应变取值为正，缩短情况取值为负。所有虚应变中绝对值最大 的量用符号忪占。i 表示，则任意杆件i 的虚应变晶满足公式( 2 6 ) ： i 占r l 忪x |( f _ 1 ，2 ，3 ，聊+ 玎) ( 2 6 ) 根据虚功原理可知，载荷作用点在虚位移下产生的外力功与杆件虚应变产生 的应变能在数值上相等，见公式( 2 7 ) ： 8 w = a e , l i f ( 2 7 ) 式中：万形是虚位移下的虚功，只与载荷大小及虚位移有关，与拓扑形式无关。 将公式( 2 6 ) 代入式( 2 7 ) 可得： m 蚤+ n il = m 蚤+ n 蚓l ii f ii a m 。l 蓦厶 (26w a e , z , ff 8 ) il = l 岛l。l 厶蚓 ( 8 ) 将式( 2 8 ) 化简得到： 詈7 ff 晶 ( 2 9 ) 将该设计区域里所有的拓扑定义为集合a ，那么总能够从这个集合中找到这 样一个拓扑结构m ，使其满足各个杆件的虚应变绝对值相等，见公式( 2 1 0 ) ，并 且虚应变与内力同号，见公式( 2 1 1 ) ，那么上式( 2 9 ) 取等。 i a c i i = 忪。i = a c( f - 1 ，2 ，3 ，m + n ) ( 2 1 0 ) a & f = 险s f l( i = 1 ，2 ，3 ，m + n ) ( 2 1 1 ) 拓扑m 将是集合a 中体积最小的拓扑，见公式( 2 1 2 ) 。因此，得出一个结论： 在给定的设计区间和载荷作用下，如果能够找到一种拓扑，在作用一个适当小的 虚位移时，使结构中所有的杆件发生与长度成相同比例的变形，则可以称已从集 合a 中得到了最小体积桁架。 m 善+ n k 阱罱菩乙 ( 2 2 ) 当所有杆件应力值为同号时，实现公式( 2 1 0 ) 并不困难，只需要施加标准的 拉长或者压缩方向的虚位移。在这类特殊情况中，以下几种最小体积桁架是最简 单的形式： 重庆人学硕士学位论文2 桁架结构解析最优解 拉杆和压杆，承受一对大小相等方向相反的载荷。 三角形和四面体桁架，载荷作用在每个轮廓角处，沿着交叉于此角的边的 方向。 一般的垂曲线，给定了载荷的大小和作用点。 以上几种情况下的桁架最小体积公式为： ：到l + n 一8 w ：掣k 竺= ! ：丕k 2 竺! 眩 “一p i a 占ip i a 占ip p 、。“。7 式中：k 是虚载荷的个数，厅是施加的第，个虚载荷，r j 是e 作用点r 与任 意一个固定点o 之间的距离，臼，是r o 与e 作用方向之间的夹角，尸是材料的许 用应力。 一般能够满足公式( 2 1 0 ) 的结构是由在变形前后都能形成正交曲线系统的桁 架组成的。在这样一个系统中，虚应变可能大小相等方向相同，也可能大小相等 方向相反。当方向相反时，如果旯和一旯是主方向上的虚应变，那么，与主方向夹 角为臼方向上的虚应变是：旯= 旯c o s2 0 。因此，防l 川。 二维正交系统能够在它的两个系列曲线分别产生大小相等方向相反的变形量 以后继续保持正交，需要满足的条件是任意的同一系列相邻的两条曲线之问的倾 角沿他们长度方向保持不变。如图2 1 所示，s 系列曲线中的在尺系列曲线足、 尺：之间的长度为，角度的改变值为矽；r 系列曲线中的风在s 系列曲线& 、& 之 间的长度为m ，其中m 的值远小于，。 图2 1 二维正交系统一 f i g 2 1t w o d i m e n s i o n a lo r t h o g o n a ls y s t e mo n e 将s 系列曲线以较小的比例系数旯伸长，如果围成的单元仍然保持为长方形， 角度矽的改变量必须与r ，、r 2 之间倾角的改变量相等，因此： 郦：掣：一旯考生：旯矽。214)m 谢：j 型：一元旦：旯矽 ( 2 ，咒口 重庆人学硕士! 学位论文2 桁架结构解析最优解 图2 2 是另一类单元形式，由曲线尺。、尺：和& 、& 组成，边长，和胛大小比较 接近。曲线r - 在曲线s 、& 之问的角度改变值用v 表示，r 系列曲线以比例九7 伸 长。 图2 2 二维正交系统二 f i g 2 2t w o - d i m e n s i o n a lo r t h o g o n a ls y s t e mt w o 同理可得：6 杪= 旯y ；沿着单元边界的回路，所有角度值改变量保持相等， 因此： 五坐胛一无，坐，：0 ( 2 1 5 ) d nd l 在产生虚位移之前，有等量关系见公式( 2 1 6 ) ，由于兄旯，所以作公式( 2 1 7 ) 的假定： 坐俨业，：0( 2 1 6 ) d nd l 坐：坐：0 ( 2 1 7 、 d nd l 有两种常见类型的曲线满足以上条件，分别见图2 3 和图2 4 ： 图2 3 经典m i c h e l l 桁架一 f i g 2 3c l a s s i c a lm i c h e l lt r u s so n e 9 重庆人学硕士学位论文 2 桁架结构解析最优解 图2 4 经典m i c h e l l 桁架二 f i g 2 4c l a s s i c a lm i c h e l lt r u s st w o 2 3 有限元方法建立m i c h e l l 桁架 直接由m i c h e l l 准则形成m i c h e l l 桁架是一个十分困难的数学问题。为了寻求 虚应变场，需要求解双曲形偏微分方程组，目前还缺乏一般的有效求解方法。周 克引7 3 1 利用有限元方法获得相应的应变场；利用引入的正交异性复合材料中纤维 的分布，获得等价形式的杆件分布，从而获得待求的m i c h e l l 桁架。 该方法的计算步骤为： 将设计区域分割成矩形的有限元单元； 以每个单元的材料主轴方向谚及主轴方向的纤维密度t n ，t c ，为设计变量， 设定初始值：醴= o ，t n = t l - 1 ( f _ 1 ，2 ，咒) ； 进行有限元分析，得到各单元形心处的主应变的大小巩，昆及方向 口小= 1 ，2 ，2 ) ； 转动各单元的材料主轴到主应变方向，调整两个材料主轴方向的纤维密 痒f ，又0 重复、两步直到收敛，其中对长悬臂梁型的m i c h e l l 桁架结构构建结果见 图2 5 。 1 丑 图2 5 有限元法构造的长悬臂式m i c h e l l 桁架 f i g 2 5al o n gc a n t i l e v e rm i c h e l lt r u s sg e n e r a t e db yf i n i t ee l e m e n t m e t h o d 重庆大学硕士! 学位论文 2 桁架结构解析最优解 2 4 静定桁架解析最优解 无论是直接由m i c h e l l 准则形成m i c h e l l 桁架，还是由有限元法构建m i c h e l l 桁架，其求解过程都是十分困难的。从图2 5 可以看出，有限元法构造出的长悬臂 式m i c h e l l 桁架是由一系列的f 交曲线组成的网格式结构，在精度足够高时，可以 达到无限细密的程度。一般情况下，其优化结果并非工程意义上的桁架，而是非 均质各向异性连续体( 称为类桁架结构) ，不便于在工程中直接应用。目前主流的 连续体拓扑优化方法为了避免出现棋盘格式，通常采用了过滤方法，最终得到的 优化结构往往是轮廓清晰，基本不含有网格形式的更接近工程实际的类桁架结构， 而不是真正意义上的m i c h e l l 桁架。因此，那种粗略的将优化结果与m i c h e l l 桁架 作比较的方法缺乏数学依据。 本节以确定最少材料使用量作为优化目标，基于满应力准则用解析法推导出 几种静定桁架结构的最优拓扑形式。单工况下的满应力是指结构所有组成构件的 应力都达到材料的许用应力，显然这是理想的设计指标。进一步地，我们将对应 于所有构件都达到满应力状态时构件的体积定义为满应力体积。 根据载荷作用点到约束边界距离( 长) 与约束边界长度( 宽) 比例，以及约 束边界分布位置的不同，将所研究的桁架结构的初始设计区域分为三类：( 1 ) 长 悬臂式( 长宽比大于4 2 ) ；( 2 ) 短悬臂式( 长宽比小于4 2 ) ；( 3 ) 长方形设计区 域，其中三条边处理为约束，另外一条边承受载荷的槽型约束边界式。 2 4 1 长悬臂式 长悬臂式桁架结构是一种比较复杂的结构，杆件的数量不固定，且其布置方 案有无穷种，没有一个通用的求解最优拓扑的解析方法。本节采用穷举法，从无 数的拓扑中，选择了其中五种对称且静定的拓扑结构使用解析法进行分析( 见图 2 6 ) 。以求解拓扑“d ”的解析最优解为例说明求解过程，其余四种拓扑的求解方 法相同。 对拓扑“d ”中的所有杆件以及交点进行编号和命名( 见图2 7 ) ，根据几何关 系，计算出各杆件的长度，见公式( 2 1 8 ) 。 厶= 厶= 丽 厶= 厶= x 2 厶= 厶= x l ( 2 18 ) 厶= 厶= 4 + 厶= 厶o = 1 + 砰 分别对与h 点、o 点和p 点相连接的所有杆件进行受力分析，由于结构具有 对称性，杆件1 、2 、7 、8 、9 、1 0 在竖直方向所承担的载荷的大小均为f 2 ，根据 力分解的平行四边形原则，得出这六个杆件的内力大小，见公式( 2 1 9 ) ： 重庆人学硕士学位论文2 桁架结构解析最优解 后= 最= 三2 瓜芗 局= 尽= 丢而 局砥兰圭瓜 c e 图2 6 五种长悬臂式桁架 f i g 2 6f i v ek i n d so fl o n gc a n t i l e v e rt r u s s 图2 7 长悬臂式桁架拓扑“d ”编号图 f i g 2 7t h es e r i a ln u m b e ro fl o n gc a n t i l e v e rt r u s st o p o l o g y “d ” ( 2 1 9 ) 以j 点、n 点作为分界点，截取右边部分作为一个独立的系统进行分析，图 2 8 是这一系统所受外力示意图，根据绕o 点的力矩平衡条件，可以建立等量关系， 重庆大学硕十学位论文 2 桁架结构解析最优解 见公式( 2 2 0 ) ： f i 吉x 2 + x 3 = e + 曩 ( e = 日) 同理，可通过绕p 点的力矩平衡条件建立关系式求出杆件5 、 式( 2 2 1 ) 给出了杆件3 、4 、5 、6 的内力大小： e = 只= 圭( 圭娩+ 均) e = r = 吉三 图2 8 拓扑“d ”绕o 点结构受力分析示意图 f i g 2 8d i s s o l u t i o no ff o r c e sa r o u n dp o i n t0 i nt o p o l o g y “d ” ( 2 2 0 ) 6 的内力大小， ( 2 2 1 ) 陆ha , - - - 善尚厶 2 2 曩是第f 个杆件的内力绝对值， 仃】，是第f 个杆