（控制理论与控制工程专业论文）通信中自适应噪声抵消方法的分析研究.pdf

摘要 摘要 信号在通信系统中传输时会受到各种噪声或干扰的污染，如何有效地从受到 污染的信号中提取有用信号始终是通信技术中迫切需要解决的问题。通常的做法 是让受到污染的信号经过一个滤波器，目的是抑制噪声或干扰而保留有用信号。 这种滤波器分为经典滤波器和现代滤波器，经典滤波器的特点是输入信号的有用 频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过一个合适的选频滤波器 就能达到滤波的目的；现代滤波器的特点是可以对干扰和信号的频带相互重叠的 情况下进行有效滤波，如维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等。 本文对通信系统中的噪声、自适应滤波理论和信号处理技术的应用进行了简 要的介绍，分析研究了自适应滤波器的基本原理、自适应噪声抵消系统的基本原 理、衡量自适应噪声抵消系统的技术指标、噪声相关性对自适应噪声抵消系统的 影响以及自适应滤波器的性能对自适应噪声抵消系统的影响。重点介绍了l m s 算法，分析研究了定步长l m s 算法、归一化l m s 算法、引入动量项的l m s 算 法、基于s i g m o i d 函数的l m s 算法等算法的优缺点，在此基础上提出了一种基于 c o s ( 0 ) 的变步长l m s 算法，并且对原来的算法进行改进。在m a t l a b 平台上面 对这些算法进行仿真研究，主要包括：( 1 ) 算法的降噪能力，( 2 ) 算法的收敛速 度、稳态误差等性能指标，( 3 ) 算法的参数的选择。通过仿真对理论分析得出的结 论给予证实。 图5 3表o参5 0 关键词：自适应算法；噪声消除：l m s 算法；学习曲线 分类号：t n 9 1 1 安徽理r t 火学硕士学位论文 a b s t r a c t s i g n a lt r a n s m i s s i o nw i l lb ee x p o s e dt om a n yk i n d so fn o i s eo ri n t e r f e r e n c e p o l l u t i o ni nc o m m u n i c a t i o ns y s t e m s ，i ti sa l w a y sa nu r g e n tp r o b l e mt h a th o wt oe x t r a c t u s e f u ls i g n a lf r o mb e i n gc o n t a m i n a t e de f f e c t i v e l yi nc o m m u n i c a t i o n a lt e c h n o l o g y t h e u s u a la p p r o a c hi st oa l l o wt h ec o n t a m i n a t e ds i g n a lp a s st h r o u g haf i l t e r ；t h ep u r p o s ei s t or e s t r a i nn o i s eo ri n t e r f e r e n c ew h i l er e t a i n i n gt h eu s e f u ls i g n a l t h i sf i l t e ri sd i v i d e d i n t oc l a s s i ca n dm o d e mf i l t e r , t h ec h a r a c t e r i s t i co ft h ec l a s s i ci su s e f u li n p u ts i g n a l f r e q u e n c yc o m p o n e n t sa n dw a n tt of i l t e r o u tf r e q u e n c yc o m p o n e n t si nd i f f e r e n t f r e q u e n c yb a n d s ，w ec a na c h i e v et h ep u r p o s et ot h r o u g ha na p p r o p r i a t es e l e c t e d f r e q u e n c yf i l t e r ；t h ec h a r a c t e r i s t i co fm o d e m f i l t e ri sa b l et os i g n a li n t e r f e r e n c ea n dt h e f r e q u e n c yb a n d so v e r l a pe a c ho t h e ru n d e rt h ee f f e c t i v ef i l t e r i n g ，s u c ha sw i e n e rf i l t e r , k a l m a nf i l t e r , a d a p t i v ef i l t e r , e t c t h i sp a p e rh a sm a d eab r i e fi n t r o d u c t i o no ft h en o i s ei nc o m m u n i c a t i o n a ls y s t e m s ， a d a p t i v ef i l t e r i n gt h e o r ya n ds i g n a lp r o c e s s i n gt e c h n o l o g y ；a n a l y z i n ga n ds t u d y i n gt h e b a s i cp r i n c i p l e so fa d a p t i v ef i l t e ra n da d a p t i v en o i s ec a n c e l l a t i o ns y s t e m ，t h et e c h n i c a l i n d i c a t o r so fm e a s u r i n ga d a p t i v en o i s ec a n c e l l a t i o ns y s t e m ，t h ei n f e c t i o no fn o i s e c o r r e l a t i o no na d a p t i v en o i s ec a n c e l l a t i o ns y s t e ma n dt h ep e r f o r m a n c eo fa d a p t i v e f i l t e ro na d a p t i v en o i s ec a n c e l l a t i o ns y s t e m f o c u s e do nl m sa l g o r i t h m ，a n a l y s i st h e a d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e so fm a n ya l g o r i t h m s ，s u c ha st h e 钕e ds t e ps i z el m s a l g o r i t h m ，n o r m a l i z e dl m sa l g o r i t h m ，t h ej o i no ft h em o m e n t u ml m sa l g o r i t h m ， s i g r n o i df u n c t i o nw h i c hb a s e do nt h el m sa l g o r i t h m o nt h i sb a s i s ，av a r i a b l es t e p s i z eb a s e do nt h ec o s ( o ) l m sa l g o r i t h mi sp r o p o s e d ，a n dm o d i f yt h eo r i g i n a l a l g o r i t h m m a k eas i m u l i n k i n gr e s e a r c h o ft h e s e a l g o r i t h m s o nt h e p l a t f o r m o f m a t l a b ，m a i n l yi n c l u d i n g ，( 1 ) t h en o i s er e d u c t i o nc a p a c i t yo fa l g o r i t h m ；( 2 ) c o n v e r g e n c er a t eo fa l g o r i t h m ，s t e a d y s t a t ee r r o ra n do t h e rp e r f o r m a n c ei n d i c a t o r s ；( 3 ) t h es e l e c t i o no fa l g o r i t h m sp a r a m e t e r s c o n f i r m i n gt h eg i v e nc o n c l u s i o n sb yt h e s i m u l a t i o no ft h et h e o r e t i c a la n a l y s i s f i g u r e5 3 t a b l e0r e f e r e n c e5 0 k e y w o r d s ：a d a p t i v ea l g o r i t h m ；n o i s ec a n c e l l a t i o n ；l m sa l g o r i t h m ；l e a r n i n gc u r v e c h i n e s eb o o k sc a t a l o g ：t n 911 i l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方以外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 塞筮堡王太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示谢意。 学位论文作者签名：丕皿日期：丝啤年j 月1 1 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解塞邀堡王太堂有保留、使用学位论文 的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属于 塞邀理兰太堂。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的 复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权安徽理工大学 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位 论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 劣一，舛签字日期：w 脊f 月日 导师签名： 签字日期：砷年阴厂日 1 绪论 l绪论 1 1 研究背景及历史现状 信号在传输过程中，经常会受到噪声或干扰的污染。特别是在当今社会，各 种各样的噪声或干扰严重污染着通信系统。如何有效地从受到污染的信号中提取 有用信号已经成为通信行业中急需解决的问题。让受到污染的信号经过一个滤波 器，旨在抑制噪声或干扰而保留有用信号，这种滤波器的设计办属于最佳滤波器 的范畴。用于上述目的的滤波器，可以为固定的，设计必须根据信号和噪声( 干 扰) 的先验知识；也可以是自适应的，而自适应滤波器却具有自身调节参数的能 力，因而它们的设计要求很少或根本不需要信号和噪声( 干扰) 的先验知识。噪 声( 干扰) 对消是最佳滤波的变形，它具有极广泛的应用范围。自适应噪声对消 系统能从被严重污染过的信号中有效地提取有效信号。噪声( 干扰) 对消可完成 对时间域( 频域) 的滤波，也可以实现空间域( 方向角域) 的滤波。自适应噪声 ( 干扰) 对消是通过一个恰当的自适应过程加以控制的，它一般都能将噪声或干 扰抑制到用直接滤波难于或不能达到的程度。 早在2 0 世纪4 0 年代，就对平稳随机信号建立了维纳滤波理论。根据有用信 号和干扰的统计特性( 自相关函数或功率谱) ，以线性最小均方误差准则设计的最 佳滤波器，称为维纳滤波器。这种滤波器能最大程度地滤除干扰噪声，提取有用 信号。但是当输入信号的统计特性偏离设计条件时，它就不再是最佳的了，这在 实际应用中受到了限制。到6 0 年代初，由于空间技术的发展，出现了卡尔曼滤波 理论，即利用状态变量模型对非平稳、多输入多输出随机序列作最优估计。现在， 卡尔曼滤波器已成功利用到许多领域，它既可以对平稳的和非平稳的随机信号作 线性最佳滤波，也可以作非线性滤波。但设计卡尔曼滤波器时，必须对输入信号 和噪声的统计特性有先验知识，但在实际中，往往很难预知这些统计特性，因此 实现不了真正的最佳滤波。因此，维德罗等人于1 9 6 7 年提出的自适应滤波理论设 计出了自适应滤波器，自适应滤波器是一种能够在输入信号的统计特性未知，或 输入信号的统计特性变化时，能够调整自己的参数去满足某种最佳准则的滤波器。 即具有“学习 和“跟踪能力。 自适应滤波器的核心问题是自适应算法及其实现。自适应算法要具有好的 “自学习 和“跟踪”能力，而且运算量不能太大，以便能利用该算法设计出实 安徽理j ：大学硕士学位论文 时处理系统。自适应噪声对消系统，于1 9 5 6 年在斯坦福大学建成。这个系统的目 的在于对消心电放大器和记录输出端的6 0 赫兹干扰。1 9 7 5 年，维德罗、格罗夫、 麦库尔、考尼茨等人就自适应干扰对消原理和应用作了总结。自此以后自适应噪 声对消器的研究不断深入，理论方面的算法和结构不断丰富。在实际应用中，自 适应技术已广泛用于通信、语音信号处理、医学、雷达、声纳、遥感、控制等领 域。自适应噪声抵消器已成功应用于心电图干扰抵消，长途电话传输线上的回声 抵消，语音信号处理中的语音增强等领域。 目前，国内外学者已经在经理论上提出了各种各样的自适应算法，但有的算 法运算量太大，要想设计出实时自适应抵消系统就需要数字信号处理芯片或电路 具有很快的处理速度，在现有的条件下不能或不易实现：而有的算法是基于多个 学科的知识提出的，有待于进一步完善。因此，一个好的、实用的自适应算法的 提出及其实现是通信中翘首期盼的，也是本课题重点要解决的技术难点。 1 2通信系统中的噪声 通信系统中的噪声是一种不携带有用信息的电信号，是对有用信号以外的一 切信号的统称。也可理解为通信系统中对信号有影响的所有干扰的集合。 1 2 1 噪声分类方法 根据噪声的来源不同，可以分为：无线电噪声、工业噪声、天电噪声、内部噪 声。 ( 1 ) 无线电噪声。它来源于各种用途的无线电发射机。这类噪声的频率范围 很宽广，从甚低频到特高频都可能有无线电干扰存在，并且干扰的强度有时很大。 但它有个特点，即干扰频率是固定的，因此可以预先设法防止。 ( 2 ) 工业噪声。它来源于各种电气设备，如电力线、点火系统、电车、电源 开关、电力铁道、高频电炉等。这类噪声的特点是干扰频谱集中于较低的频率范 围，例如几十兆赫兹以内。因此，选择高于这个频段工作的信道就可以防止受到 它的干扰。另也可以在干扰源方面消除或减小干扰的产生，例如加强屏蔽和滤波 措施，防止接触不良和消除波形失真。 ( 3 ) 天电噪声。它来源于雷电、磁暴、太阳黑子以及宇宙射线等。可以说整 个宇宙空间都是产生这类噪声的根源，由于这类自然现象与发生的时间、季节、 地区等有关系，因此受天电干扰的影响也是大小不同的。这类干扰所占的频谱范 围也很宽，并且不像无线电干扰那样频率是固定的，因此对它的干扰影响就很难 2 1 绪论 防止。 ( 4 ) 内部噪声。它来源于信道本身所包含的各种电子器件、转换器以及天线 或传输线等。例如，电阻及各种导体都会在分子热运动的影响下产生热噪声，电 子管或晶体管等电子器件会由于电子发射不均匀等产生器件噪声。这类干扰的特 点是由无数个自由电子作不规则运动所形成的，因此它的波形也是不规则变化的， 在示波器上观察就像一堆杂乱无章的茅草一样，通常称之为起伏噪声。由于在数 学上可以用随机过程来描述这类干扰，因此又可随机噪声。 根据噪声的性质不同，可以分为：单频噪声、脉冲干扰、起伏噪声。 ( 1 ) 单频噪声。主要是无线电干扰。因为电台发射的频谱集中在比较窄的频 率范围内，因此可以近似地看作是单频性质的。另外，像电源交流电，反馈系统 自激振荡等也都属于单频干扰。它的特点是一种连续干扰，并且其频率是可以通 过实测来确定的，因此在采取适当的措施后就有可能防止。 ( 2 ) 脉冲干扰。它包括工业干扰中的电火花，断续电流以及天电干扰中的雷 电等。它的特点是波形不连续，呈脉冲性质。并且发生这类干扰的时间很短，强 度很大，而周期是随机的，因此它可以用随机的窄脉冲序列来表示。由于脉冲很 窄，所以占用的频谱必然很宽，但是，随着频率的提高，频谱幅度就逐渐减小， 干扰影响也就减弱。因此，在适当选择工作频段的情况下，这类干扰的影响也是 可以防止的。 ( 3 ) 起伏噪声。它主要指信道内部的热噪声和器件噪声以及来自空间的宇宙 噪声。它们都是不规则的随机过程，只能采用大量统计的方法来寻求其统计特性。 由于它来自信道本身，因此它对信号传输性能的影响是不可避免的。 根据以上分析可知，尽管对信号传输性能有影响的干扰种类很多，但是影响 最大的主要是起伏噪声。因此，在分析信道干扰时也就是指这类干扰，它是信道 内的主要干扰源。通信系统模型中把噪声集中在一起就是概括了信道内所有的热 噪声、器件噪声和宇宙噪声等，并将它称为加性干扰。加性干扰是指这类干扰和 信道内传输的信号存在着相加的关系，它与乖性干扰的根本区别在于，加性干扰 是独立存在的，与信道内有无信号无关；而乖性干扰是依赖于信号存在的，当信 道内没有信号时它也随之消失。 1 2 2 通信理论中常用的几种噪声 l 高斯噪声 3 安徽理j ：大学硕士学位论文 高斯( g a u s s i a n ) 噪声是指它的概率密度函数服从高斯分布( 即正态分布) 的一类噪声，可用数学表达式表示成 m ) = 击e x p 【譬】 m 2 - 1 ) 其中，a 为噪声的数学期望，也就是均值；仃2 为噪声的方差：函数的图形如图1 所示。 v 八 f ( x ) 图1 高斯噪声的概率密度函数 f i g u r e1t h ep r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o no fg a u s s i a nn o i s e 由式( 1 - 2 - 1 ) 和图1 容易看到八力具有如下特性： ( 1 ) f ( x ) 关于直线x = 口对称，即有f ( x a ) = f ( x + a ) ； ( 2 ) ( x ) 在( 咱，口) 上单调上升，在( 口 佃) 上单调下降，且在点a 处达到最大 值，当x 一+ o o 时，厂( x ) 斗0 ； ( 3 ) e ( x ) 出= l 而且厂( 石) 出= f 厂( x ) 出= 石1 ； ( 4 ) 厂( 石) 的图形随a 的不同而左右平移，随仃的减小而变高和变窄； ( 5 ) 当a = 0 ，盯= 1 时，则称式( 1 - 2 1 ) 为标准化的正态分布。 2 白噪声 在研究通信系统时，经常要用到的噪声之一就是白噪声。白噪声是指功率谱 密度函数在整个频率域内是常数的噪声，不符合上述条件的噪声就称为有色噪声， 它只包括可见光频谱的部分频率。但是实际上完全理想的白噪声是不存在的，通 常只要噪声功率谱密度函数均匀分布的频率范围超过通信系统工作频率范围很 多，就可近似认为是白噪声。例如，热噪声和散粒噪声在很宽的频率范围内具有 均匀的功率谱密度，通常可认为它们是白噪声。 理想的自噪声功率谱密度通常被定义为： 4 l 绪论 只( 国) = 詈( 瑙 国 - ：( i - 2 n r ) 7 p 。1 ( 2 1 7 ) 利用矩阵的j 下交相似变换，并结合c + 1 ) = 【i 一2 a a e ( 疗) ，得： 研cq + 1 ) 】= 【i 一2 a 】“c 。( 0 ) 但1 8 ) 其中，c ( 刀) 为权矢量w ( 玎) 的主轴坐标形式，即经过平移和旋转变换后的 w q ) ，a 为自相关矩阵r 的对角阵形式，其对角元素为r 的特征值。因为r 是 正定的，所以所有特征值均为正实值。对于对角阵( i 一2 ：t a ) ，只要它的所有对角 元素的值都小于1 ，则有： 鬟- m - h o d 【i 一2 a r = o ( 2 1 9 ) 一 ，。j 一_ 一u l 这样，主轴坐标下的权矢量c ( 刀) 的期望值达到最佳权矢量，即 c 0 = e 【c ( 以) 】_ o 收敛因子应满足下面的条件：0 “ 二- ( 2 1 一l o ) 其中，为自相关矩阵r 的最大特征值。因为k _ t r i a l = t d r ，所以上 式可以改写为： 。t r r 1 0 口 上 或 。 丽1 9 ( 2 一i - 1 1 ) ( 2 1 1 2 ) 安徽理j ：人学硕十学位论文 其中，t r 】表示矩阵的迹，圪为输入信号的功率。由式( 2 1 9 ) 可知，当收敛 条件式( 2 1 1 0 ) 得到满足时，c ( 刀) 将收敛于o ，由式( 2 1 2 0 ) - t 知c ( 刀) 专0 时， w ( 刀) 专w 掣= r 一1 p 即，此时l m s 算法收敛于维纳解。 2 1 3l m s 算法的学习曲线和自适应时间常数 ( 2 1 1 3 ) 由均方误差函数研p 2 0 ) 】= e f 2 ( ，2 ) 】+ w 7 ( 刀) r w ( 刀) 一2 p 7 1 ( 拧) w ( 拧) 和最小均方误 差表达式缸= e d 2 ( 拧) 】+ p 7 r 一1 p = e d 2 ( 刀) 卜p 7 1 w 叫，可以得到均方误差函数的另 一种表达式为： 孝= 毒m j n + ( w ( 刀) 一w 叫) 7 r ( w ( 刀) 一w 掣) ( 2 - i 一1 4 ) 按照误差矢量的定义c 0 ) = w ( 疗) 一w q 口| ，可将( 2 1 一1 4 ) 改写为： 孝= 点m i n + c r ( 刀) r c ( 门) ( 2 - 1 1 5 ) 再经过正交相似变换，将坐标轴旋转到主坐标系，得到： f = 缸+ c 7 ) r e ( 川( 2 - 1 1 6 ) 将c ( 刀) = 【i 一2 p a e ( o ) 带入( 2 1 1 6 ) 得： 孝= 善二+ ( i 一2 , u a ) ”c ( 0 ) 】7 1 a 【( i 一2 t a ) ”c ( o ) 】 = 缸n + c 7 ( o ) 【( i 一2 p a ) “r a 0 2 p a ) ”揪o ) ( 2 - 1 1 7 ) 由于矩阵( i 一2 a a ) 和矩阵a 为对角阵，因此有： 孝= 缸n + c 7 1 ( 0 ) a c ( 们( 2 - 1 1 8 ) 或写成标量形式 2 自适应信号的基本原理 m 孝= 缸+ c 2 ( o ) 丸( 1 - 2 从) 2 ” m = o ( 2 一i 一1 9 ) 其中，c ( 0 ) 为矢量c ( 0 ) 的第聊个分量，丸为对角阵a 中第m 个元素。上式 就是l m s 算法的自适应学习曲线。可见，均方误差函数孝是迭带次数刀的指数。 在满足收敛条件( 2 1 1 1 ) 的情况下，均方误差随着迭带的进行而指数下降，并最终 收敛于最小均方误差免。 定义：2 1 2 从，加= 0 l ，1 一，m ( 2 1 2 0 ) 其实为式( 2 。l - 2 0 ) 所示等比级数的公比。若用一指数包络曲线拟和这个等比 乞2 e 冲一 ，臃砒，m 圳 2 1 一i + 碡一砭+ ”。，脚= 0 ，1 ，一，m ( 2 _ 1 - 2 2 ) 若式( 2 1 2 2 ) i 玟前两项，得： 引一i ，m = o ，1 ，1 - , m ( 2 12 3 ，) ， 2 o ，一 佗 由( 2 - 1 - 2 0 ) 和( 2 - 1 - 2 3 ) , 得 2 2 p a r e ，历= 0 ，l ，一，m ( 2 1 2 4 ) 曲线式( 2 1 1 9 ) ，可以得到均方误差时间常数与权系数时间常数f 之间的关系： ( ) 。= ，m = o ，l 1 一，m ( t m s e ) m 一2 ，所= 0 1 ，m 这样，第m 模式的均方误差时间常数为： ( 2 1 2 5 ) 安徽理。j ：人学硕士学位论文 小击，历。，b 一，m 州6 ， 在上面各式中，和分别表示第m 个权系数和第m 个模式的权系数时间 常数均方误差时间常数。( t m s e ) m 为式( 2 1 1 9 ) 所表示的学习曲线的公比，定义为： ( r m s e ) m = ( 1 2 砘y ，所= o , l ，m ( 2 - 1 2 7 ) 在l m s 算法中，每次梯度估计是基于一个输入数据样本进行的，所以，关 于输入数据的时间常数( ) 臃就与算法均方误差的时间常数( ) 。相等，即 c 姒= c 小去，所。，m 时间常数的大小决定自适应学习过程的长短，即收敛的快慢。 2 1 4 最陡下降算法 通常称性能函数的曲面为自适应滤波器的性能曲面。在性能曲面上有全局的 最优点，即性能函数存在最小值，且这个最小值对应着最佳权矢量。对于二次性 曲面，可以通过求导数求得极值；对于性能函数，可以通过求其梯度，根据二次 型的性质，当梯度为零时，函数取得最小值得： v ：芒：o e e 2 ( n ) ：i 堕婺善j = 2 r w ( n ) 一2 p 钿c 3 w o w o 挑帆j f 2 1 2 9 i 令上式等于0 ，即可求得最佳权系数矢量为： w 叫= r 一1 p ( 2 - 1 3 0 ) 式( 2 1 3 0 ) 称为维纳一霍夫方程。将该式代入，即可得到自适应滤波器的最小 均方误差为： = e 【p 2 ( 刀) 】m i n = e m 2 ( n ) + w o r a r w 掣- 2 p r w 叫 = e 【d 2 ( 刀) 】+ 【r 一1 p 】7 r r 一1 p 一2 p 7 1 r 一1 p ( 2 - 1 3 1 ) 上式可化简为： 缸= 耐( 甩) 】+ p7 r - l p = 剐。) - p t w 啊 ( 2 1 3 2 ) 1 2 2 自适应信号的基本原理 由式( 2 1 3 2 ) 可知，只要知道输入信号的自相关矩阵r 和期望响应与输入信 号的互相关矢量p ，就可以由该式直接求得最佳权矢量w 叫。但是在实际应用中， 这种方法往往难以实现。一方面，我们通常很难得到有关信号和噪声的统计先验 知识，另一方面，当r 的阶数较高时，直接计算其逆矩阵有一定困难。因此，最 佳权矢量的实现一般都采用迭代的方法，一步一步地在性能表面上搜索，并最终 达到最小均方值，得到最佳权矢量。通常在性能表面上搜索的方法为梯度下降的 跌代算法，如牛顿法、共轭梯度法和最陡下降法等，下面简要介绍最陡下降法。 最陡下降法从几何上来说就是迭代调整权矢量，使系统的均方误差沿其梯度 f 的反方向下降，并最终达到最小均方误差5 曲。在最小均方误差实现时，权矢量 变为最佳权矢量w o p t 。最陡下降法可以用反馈系统来表示，从这意义上来说，最 陡下降法是递归的。当把最陡下降法应用于维纳滤波时，可以得到一种能够跟踪 信号的统计量随时间变化的算法，而不必在每次统计量变化时都求解维纳一霍夫 方程。在自适应滤波器的性能表面搜索过程中，最陡下降法沿性能表面最陡下降 方向，即梯度的负方向，梯度矢量可以表示为： v ( 刀) ：笪塑塑 、 o w ( n ) ( 2 1 3 3 ) 这样，最陡下降法可以表示为： w ( n + 1 ) = w ( 刀) 一a v ( n ) ( 2 一l 一3 4 ) 其中，为正常数，称为收敛因子，用于调整自适应迭代的步长。为了证明 最陡下降法满足f ( w ( 拧+ 1 ) ) 孝( w ( 力”，即在迭代的每一步都满足在性能曲面上下 降，将性能函数在w 【疗) 处进行一阶泰勒展开，并利用式( 2 1 3 4 ) ，得到： f ( w ( 拧+ 1 ) ) 孝( w ( 刀) ) 一l l v ( 以) 1 1 2 ( 2 - 1 - 3 5 ) 由于收敛因子为j 下常数，因此，随着刀的增加，性能函数孝( w ( 行) ) 不断减小， 当甩哼时，f ( w ( 刀) ) 专。 把式( 2 1 2 9 ) 代入式( 2 一l 一3 4 ) 得到最陡下降法的自适应迭代公式： w ( n + 1 ) = w ( 丹) + 【p r x ( n ) 】 ( 2 1 3 6 ) 1 3 安徽理 二大学硕十学位论文 最陡下降法的稳定性取决于收敛因子的取值和自相关矩阵r 的特性。定义 权误差矢量c ( 刀) 为： c ( 甩) = w ( 刀) 一w 叫 ( 2 一1 3 7 ) 利用上式和w 叫= r - i p ，消去( 2 1 3 6 ) 中的p ，得： c 0 + 1 ) = ( i 一2 p r ) c ( n ) ( 2 1 3 8 ) 其中，i 为单位阵。由式( 2 1 3 8 ) 也可以看出最陡下降法的稳定性是由和r 控制的。利用正交相似变换，可以将自相关阵r 表示为： r = q a q 一 ( 2 1 3 9 ) 其中，q 为正交阵，满足q = q7 和q q = i ，矩阵q 的各个列矢量为自相 关矩阵r 的特征值相对应的特征矢量。a 为一对角阵，其对角元素为矩阵r 的 特征值。通常将这些特征值表示为厶， ，知，且均为正实值。每一个特 征值对应矩阵q 中的一列特征矢量。将式( 2 1 3 9 ) 代入式( 2 1 3 8 ) ，得： c q + 1 ) = 【i 一2 p q a q q 】c ( 刀) 陀1 - 4 0 ) 上式两边左乘q 一，并利用正交矩阵的性质，得： q c 0 + 1 ) = i 一2 p a i q 。1 c ( 以) 陀1 - 4 1 ) 定义c ( 刀) = q - c ( 玎) = q 一1 w ( 刀) 一w q 口f 】( 2 - 1 - 4 2 ) 为： 则， c + 1 ) = 【i 一2 p a c ( 胛) ( 2 一l - 4 3 ) 设c ( 刀) 的初始值为： c ( o ) = q 一1 【w ( 0 ) 一w 掣】 ( 2 1 4 4 ) 再假设自适应滤波器的权矢量的初始值w ( 0 ) = 0 ，则上式化简为： c ( 0 ) = 一q 一1 w 叫( 2 - 1 - 4 5 ) 考虑到c ( 疗) 矢量的第肌个模式，则( 2 1 4 3 ) 所示的最陡下降法的迭代公式变 1 4 2 自适应信号的基本原理 艺( 珂+ 1 ) = 【l 一2 砘e ( 川，m = o i ，1 。，m ( 2 - 1 - 4 6 ) 其中，厶为自相关矩阵r 的第m 个特征值，( 甩) 为矢量c ( 以) 的第加个元素。 上式为( 功的一阶齐次方程。若设t ( 拧) 的初始值为蠢( 们，则该差分方程的解为： 艺( 甩) = 【l 一2 砘】“蠢( 0 1 ，m = o ，i ，1 一，m ( 2 - 1 - 4 7 ) 由于尺为正定阵，其特征值均为正实值。所以，c 肼( 川，m = 0 ，1 ，m 就构成 一个等比级数，其公比为1 2 a x 。为了保证最陡下降法稳定收敛，必须有： 一l 1 2 从 1 ，朋= 0 ，l ，1 一，m ( 2 1 - 4 8 ) 当迭代次数刀j 时，自适应滤波的权矢量趋于最佳权矢量w 叫。将式( 2 1 - 4 7 ) 改成矢量形式，有： c ( 刀) = 【i 一2 p a “c t ( 0 ) ( 2 1 - 4 9 ) 由式( 2 1 - 4 8 ) 可得到最陡下降法的收敛因子的限制条件为： 0 - 1 7 k ( 2 1 - 5 0 ) 其中，为自相关矩阵r 的最大特征值。 2 2自适应滤波器的基本原理 噪声消除是信号处理的核心问题之一，通常实现最优滤波的滤波器为维纳滤 波器与卡尔曼滤波器，它们均要求己知信号和噪声的先验知识，但在许多实际应 用中往往无法预先得知这些先验知识。为此，发展了自适应滤波器，随着计算机 技术与集成电路技术的进步，自适应算法的不断完善，自适应噪声抵消在理论和 应用上都得到了很大发展，自适应噪声抵消技术是一种能够很好地消除背景噪声 影响的信号处理技术。应用自适应噪声抵消技术，可在未知外界干扰源特征，传 1 5 安徽理工大学硕士学位论文 递途径不断变化，背景噪声和被测对象声波相似的情况下，能够有效地消除外界 声源的干扰，获得高信噪比的对象信号。 自适应的最基本的特点就是它具有自学习和自调整即所谓的自适应能力。一 般来说，自适应滤波器能够依据某些预先确定的准则，在迭代过程中自动调整自 身的参数或结构，去适应变化的环境，以实现在这种最优准则下的最优滤波。自 适应滤波器的原理如图1 所示，图中离散时间系统表示一个可编程数字滤波器， 它的冲激响应为坝刖，或称其为滤波参数；自适应滤波器输出信号为少【卅，所期 望的响应信号为d ( 川，误差信号p ( 刀) 为d ( 疗) 与y ( 刀) 之差。其中，期望信号d ( 疗) 根 据不同用途来选择，自适应滤波器的输出信号y 【门j 是对期望信号d ( 刀) 进行估计 的，滤波器的参数受误差信号p 【刀) 的控制并自动调整，使y l 删的估计值多( 一) 等于 所期望的响应d 【川。因此，自适应滤波器与普通滤波器不同，它的冲激响应或滤 波参数是随外部环境的变化而改变的，经过一段自动调节的收敛时间达到最佳滤 波的要求。但是，白适应滤波器本身有一个重要的自适应算法，这个算法可以根 据输入、输出及原参量值，按照一定准则修改滤波器参数。以使它本身能有效地 跟踪外部环境的变化。通常，自适应滤波器是线性的，因而也是一种线性移变滤 波器，当然，它也可推广到自适应非线性滤波器。 图2 臼适应滤波器原理图 f i g u r e2s c h e m a t i co fa d a p t i v ef i l t e r 在图2 中的离散时间线性系统可以分为两类基本结构，其中一类为非递归型 横向结构的数字滤波器，它具有有限的记忆，因而称之为有限冲激响应f i r ) 系统， 即自适应f i r 滤波器。另一类为递归型数字滤波器结构，理论上，它具有无限的 记忆，因而称之为无限冲激响应( i i r ) 系统，即自适应i i r 滤波器。 2 3 白适应噪声抵消系统 自适应噪声抵消( a n c ) 系统是自适应最优滤波器的一种变形j 自适应噪声滤 波是指从信号被噪声干扰所淹没的环境中检测和提取有用信号，而自适应噪声抵 1 6 2 自适应信号的基本原理 消是以噪声干扰为处理对象，将它们抑制掉或进行大幅度衰减，以提高信号传递 和接收的信噪比质量。自适应噪声抵消系统已经得到了广泛的应用，主要包括： 语音信号传输中的噪声抵消，天线旁瓣干扰的对消，长途电话线路中的回波抵消， 电话或视频会议中的回波抵消，生物医学信号检测中的干扰抵消等。 2 - 3 1 自适应噪声抵消系统的基本原理 自适应噪声对消的基本原理如图3 所示。它有两个输入端，第一个输入端除 接收到信号s 【刀，外，还接收到一个与信号不相关的噪声刀( 刀) ，即输入为 j 【刀) + 玎( 玎) ，组成对消器的“主通道输入”。第二个输入端接收与信号不相关的而 与噪声疗( 甩) 具有一定相关性的噪声啊) ，该传感器给对消器提供“参考输入 。 伟( 拧) 通过自适应滤波器，并且通过采用具体的自适应滤波算法调整其输出刀协) ， 使滤波器的输出刀( 力) 在最小均方误差意义下最接近主通道的干扰噪声刀( 刀) 。这 样，通过减法器，将主通道的噪声分量疗o ) 尽量抵消掉，就得到系统输出y ( 刀) 。 图3 自适应噪声抵消原理 f i g u r e3s c h e m a t i co f a d a p t i v en o i s ec a n c e l l a t i o n 假设：占( 疗) 、拧( 玎) 及，l l ( 玎) 是零均值的平稳随机过程，s ( 刀) 与刀( 刀) 及码( ，z ) 不相关， 刀( 刀) 与啊仰) 相关。由图3 可见，自适应滤波器的输出刀协) 为，z i ( ，z ) 的滤波信号， 因此自适应噪声抵消系统的输出少( 刀) 为： 少( 功= s ( 功+ 疗( 疗) 一行t ( ，1 ) ( 2 3 1 ) 对上式两边平方得： 1 7 安徽理t 大学硕士学位论文 y 2 ( 玎) = 5 2 ( 力) + 【玎( 刀) 一玎( 拧) 】2 + 2 s ( 甩) 【行( 刀) 一珂( 疗) 】( 2 - 3 2 ) 对( 2 3 2 ) 两边取数学期望，由于s ( 门) 与刀( 刀) 及( 以) 不相关，且s ( 以) 与疗( 胛) 不相 关，故有： e y 2 ( 刀) 】= e s 2 ( ，1 ) 】+ e 【( 甩( 疗- n ( 刀) ) 2 】( 2 - 3 3 ) e s 2 ( 刀) 】为信号功率，与自适应滤波器的调节无关。因此，调节滤波器使e 陟2 ( 刀) 】 最小，等价于使研0 ( 拧) 一刀协) ) 2 】最小。这样由式( 2 3 1 ) 可以得到： y ( 疗) 一s ( 刀) = 以( ，z ) 一玎( 刀) ( 2 3 4 ) 由此可见，当e ( 刀( ，z ) 一以( 玎) ) 2 】最小时，研( y ( 刀) 一s ( 以) ) 2 】也达到最小，即自适应噪 声抵消系统的输出信号y ( 功与有用信号j ( 刀) 的均方误差最小。在理想情况下，当 刀( 刀) = n ( n ) 1 e f ，有y ( 刀) = s ( ，1 ) 。这时，自适应滤波器自动调节其权系数，将，z i ( 刀) 变换为刀( 聘) ，与主通道输入信号d ( 胛) 中的噪声以( 玎) 相减，使输出信号y ( 功中的噪 声完全被抵消，而只保留有用信号s ( 力) 。 2 3 2 衡量自适应噪声抵消系统的指标 图4 所示的自适应抵消系统中，主通道输入由有用信号s ( 甩) 和加性噪v ( 刀) 组 成，参考输入”( 挖) 与1 ( 刀) 统计相关。 图4 自适应噪声抵消系统 f i g u r e4s y s t e mo f a d a p t i v en o i s ec a n c e l l a t i o n 1 8 ) + 6 ( 疗) 2 自适应信号的基本原理 抵消系统输出包括有用信号j ( 刀) 和残余噪声6 ( ，z ) ，即y ( 刀) = s ( 以) + 6 ( 刀) ，其 中残余噪声为： 6 ( 刀) = 1 ，( 行) 一“( 刀) 搴似力) ( 2 3 5 ) 式中，似以) 为自适应滤波器的单位脉冲响应。 自适应噪声抵消系统的抵消能力用系统增益g 或功率增益g ( 厂) 来衡量，其中 系统增益g 定义为 g ： 听 ( 2 3 6 ) 其中，砖表示主通道输入中的噪声功率，彳表示残余噪声功率。功率谱增益g ( 厂) 定义为： 一船 p 3 乃 由于 q 2 = 研妒2 ( 七) 】= 己( 力矽( 2 - 3 - 8 ) 砖= e v 2 ( 七) 】：已( 力矽 ， 因此，系统增益g 与功率增益g ( 厂) 有如下关系 g ： 重 【岛( 门g ( ) 】矽 2 3 3 噪声的相关性与a n c 的抵消畿力 ( 2 - 3 - 9 ) ( 2 - 3 - 10 ) 为了便于分析两路噪声统计相关性对自适应噪声抵消系统的影响，假定自适 应滤波器形( 门在稳态时达到了非因果的最优解，使得均方误差2 最小，即形( 力 满足维纳滤波器的最优解： 哪2 船 州， 其单位脉冲响应以门) 满足： 1 9 安徽理一j ：大学硕士学位论文 ( 以) = 屯( 甩) w ( 力) f 2 3 1 2 ) 1 ) 系统增益的时域表示 由式( 2 3 5 ) 、式( 2 3 6 ) 、式( 2 3 8 ) 、式( 2 3 9 ) 和式( 2 3 1 2 ) ，可以得到系统增 益： g = 1 一专咒，( 玎) w ( 刀) 】一 u r 一一 ( 2 3 1 3 ) 由上式可见，当甜( 咒) 与v ( 玎) 不相关时，r “r ( 以) = o ，g = i 。这l l d s f fb ( n ) = 1 ，( 刀) ， “( ，z ) w ( ，z ) = 0 ，即以疗) = o ，表示自适应滤波器关闭，系统没有任何增益。反之， 若甜( 聆) 与v ( ，z ) 线性相关，即存在一个线性时不变系统，使得v ( 甩) 是“( 玎) 通过该系 统的输出，达到自适应最优的形( 力即为该系统的传递函数。故有： ，( 刀) = 甜( 刀) w ( 刀) ( 2 3 1 4 ) 这时，根据平稳随机过程通过线性系统的理论有： 氐( 甩) = 咒，( 刀) 幸w ( 一以) 佗3 15 ) 上式中另n = 0 ，得： 蠢= 如( o ) = p k ( o - m ) w ( - m ) = 咒，( 甩) w ( n ) 由式( 2 3 1 3 ) 和式( 2 3 1 4 ) 得，此时g = ，6 ( 刀) = 0 ，即噪声被完全抵消。 2 ) 系统功率谱增益 对式( 2 3 5 ) 所示的残余噪声6 ( 厅) 求自相关函数，在对其求傅里叶变