（控制理论与控制工程专业论文）迟滞非线性系统的建模与控制研究.pdf

ab s t r a c t ab s t r a c t p i e z o c e r a mi c a c t u a t o r s h a v e a d v a n t a g e s o f s o l i d s t a t e a c t u a t i o n , h i g h p r e c i s i o n a n d f a s t re s p o n s e s , a n d h a v e f o u n d a p p l i c a t i o n s i n m a n y a r e a s s u c h a s v i b r a t i o n c o n t r o l s , s h a p e c o n t r o l s , a n d m a c h i n e t o o l c o n t r o l s . l i k e m a n y o t h e r m a t e r i a l s , p i e z o c e r a m i c s p o s s e s s h y s t e r e s i s , a f o r m o f n o n l i n e a r i t y c o n t a i n i n g m e m o ry o f h i s t o ry . t h i s n o n l i n e a r i t y c o n s i d e r a b l y d e g r a d e s a s y s t e m s p e r f o r m a n c e , e s p e c i a l l y i n c a s e s w h i c h r e q u i r e p r e c i s i o n p o s i t i o n i n g , s u c h a s a t o m i c f o r c e m i c r o s c o p e s a n d m i c r o - m a n i p u l a t o r s . s o t h e r e s e a r c h e s o f m o d e l i n g a n d c o n t r o l l i n g h a v e p r a c t i c a l s i g n i fi c a n c e . w e u s e p i d c o n t r o l l e r , h - i n f i n i t y v a r i a b l e u n i v e r s e f u z z y c o n t ro l l e r a n d a c t i v e d i s t u r b a n c e r e j e c t i o n c o n t r o l l e r f o r t h e 场s t e r e s i s n o n l n e a r i t y s y s t e m . t h e h - i n f in i t y v a r i a b l e u n i v e r s e f u z z y c o n t r o l l e r a n d a c t i v e d i s t u r b a n c e r e j e c t i o n c o n t r o l l e r b o t h a r e n o t d e p e n d e n t o f t h e a c c u r a t e s y s t e m m o d e l , s o t h e 币 b u s i n e s s i s g o o d a n a t t e m p t i s m a d e t o c r e a t e t h e b r i d g e b e t w e e n t w o i m p o r t a n t d e s i g n t e c h n i q u e s , i . e . h - i n f in i t y c o n t r o l d e s i g n a n d f u z z y c o n t r o l d e s i g n , s o a s t o p r o v i d e h - i n f i n i t y c o n t r o l d e s i g n w i t h m o re i n t e l l i g e n c e a n d f u z z y c o n t r o l d e s i g n w i t h b e tt e r r o b u s t p e r f o r m a n c e . b y l y a p u n o v m e t h o d , t h e o v e r a l l c l o s e d - l o o p s y s t e m i s s h o w n t o b e s t a b l e . i n t h e s t u d y , t h e e ff e c t o f b o t h f u z z y l o g i c a p p r o x i m a t i o n e rr o r a n d e x t e rn a l d i s t u r b a n c e o n . t h e t r a c k i n g e r r o r i s a tt e n u a t e d t o a p r e s c r ib e d l e v e l b y a d e q u a t e l y s e l e c t i n g t h e w e i g h t i n g f a c t o r . t h e a c t i v e d i s t u r b a n c e r e j e c ti o n c o n t r o l l e r ( a d r c ) i s i n d e p e n d e n t o f s y s t e m m o d e l a n d o v e r c o m e s t h e s h o rt c o m i n g s o f c l a s s i c p i d c o n t r o l l e r , s o a d r c h a s g o o d p e r f o r m a n c e a n d s i m p l e a l g o r i t h m . i n o r d e r t o a c h i e v e h i g h d y n a m i c p e r f o r m a n c e o f c o n t r o l s y s t e m , a n e w s t r a t e g y f o r h y s t e r e s i s n o n l i n e a r i t y s y s t e m i s p r e s e n t e d b y u s in g a d r c i n t h i s p a p e r . t h e s t r a t e g y r e a l i z e s t h e d i s t u r b a n c e c o m p e n s a t io n w i t h o u t a c c u r a t e k n o w l e d g e o f t h e c o n t r o l l e d o b j e c t a n d t h e c o n t r o l l e r c a n b e d e s i g n e d w i t h o u t a c c u r a t e h y s t e r e s i s m o d e l . e x t e n d e d s t a t e s o b s e r v e r ( e s o ) i n adrc c a n r e a l - t i me c a l c f 9 t e t he v a l u e o f d i s t u r b a n c e . th e s i mu l a t i o n r e s u lt s s h o w 1 1 ab s t r a c t t h a t t h e c o n t r o l l e r s e n s u re v e ry g o o d r o b u s t n e s s a n d a d a p t a b i l i ty u n d e r m o d e l i n g u n c e r ta i n ty a n d p r o d u c e b e tt e r d y n a m i c p e r f o r m a n c e . k e y wo r d s : n o n l i n e a r c o n t r o l h y s t e r e s i s n o n l i n e a r i ty s y s t e m p r e i s a c h m o d e l v a r i a b l e u n i v e r s e f u z z y c o n t r o l a c t i v e d i s t u r b a n c e re j e c t i o n c o n t r o l l e r ( a d r c ) 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的 规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本;学校有权保存学 位论文的印 刷本和电 子版， 并采用影印、 缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 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二是利用某种机器学习的建模方法对具有迟滞特性的控制对象进行建模然 后利用 预测控 制等先 进控制算法对 对 象进行 控制， 如 赵彤2 5 等利用神 经网 络对 迟 滞 系 统 进行 控 制， 李 春涛 2 6 等 利 用 状态 全反 馈 对 迟 滞 系 统 进行 的 控 制 等; 三是采用对磁滞进行补偿的方法，大多数控制器的设计方法中在反馈控制 环 节中 加入h y s te r e s i s 模型 8 - 12 或 得 到 对象的 逆模 型 进 行 进一 步 分 析 和 控 制 1 13 . 四 是 利 用 模 糊 控 制 14 滑 模 鲁 棒 控 制 11 5 ， h 。 控 制 【 16 1 7 等 来 对 迟 滞 系 统 进 行控制，而这些控制方法不需要对迟滞进行建模。 第二、第三种方法都是基于模型的 控制， 其通过反馈环节能 够抵消全部或 部分迟滞特性，但需要大量的复杂计算，而且有时并不是 “ 恰好”地拟合迟滞 环， 所以 本文主要尝试了 鲁棒自 适应变论域模糊控制器和自 抗扰控制器来进行 迟滞系统的控制研究，这两种控制策略都是不依赖于模型的，后面会介绍这两 种控制技术的发展。 第三种逆补偿目 前很多学者有所研究， 并应用于迟滞系统， 现在介 绍其中 一种 基于支持向 量机的 逆模型 控制4 5 1 . 2 . 3逆模型控制技术 逆系统建模与 辨识在控制领 域中 得到了 广泛的 应用4 7 1 。 它的 主要思 想是利 用神经网络的逼近能力对系统的逆动态建模，以使整个系统的输入输出为恒等 映射，从而实现高性能的控制。基于统计学习理论的支持向量机在结构和功能 上与 神 经网 络有 类似。 文献 4 6 1 指出 ， 支持向 量机可以 逼近任意的 一 类非 线性 函数，这为利用支持向量机进行系统辨识和控制提供了理论根据。同时，支持 第一章 引言 向量机无局部最小点，不会象神经网络一样陷入局部解。近年来，支持向量机 在系统辨识及控制中己取得了突破性的进展。 支 持向 量 机 ( s u p p o r t v e c to r m a c h in e s v m ) 作 为 新 近 出 现 的 解 决 模 式 识 别问题的有效工具，其数学模型可以归结为一个有约束的二次规划问题。基于 数据的 机器学习是现代智能 技术中的 重要方面，研究从观测数 据 ( 样本)出发 寻找规律，利用这些规律对未来数据或无法观测的数据进行预测。支持向量机 在模式识别领域有两种突出的 应用， 一是将所得的 数据进行分析 进而将模型分 类; 二是利用所得的数据回归原 模型。 下面介绍一下文献 4 5 中所采用的支 持向量 机逆模型 控制。 ( 1 ) 支持向 量机逆模型建 模 支持向 量机和人工神经网络 均可以 很好地对非线 性系统的逆模型 进行建模 to n ， 文献中选择支持向 量机进行建模。 在迟滞系统逆 模型建 模中文中 选用双自 回归算法。支持向量机学习的输入维设置为 y k 一 y k y k - t 凡 ， 气 一 : 气 一 气 一 ， 1ry k - m u k - 1 u k - 2 u k - n f 输出 维设置为:x k = u k 文中 把当 前系统的 输出和历史 输入 输出 信号作为支持向 量机学习的 输入参 数 进行学习， 把当 前系统的输入 信号作 为目 标数据进 行拟 合。 这样得到的 系统 模型就变成了迟滞系统的逆模型。在逆模型的使用中，根据历史数据可以推断 出达到设定值需要下一时刻的输入是多少， 从而快速准确地使模型达到设定值。 ( 2 ) 支持向 量机逆模型控 制 文献中 设置最简单的控制率。首先 利用标 准p r e i s a c h 迟滞模型获得的输入 输出 迟滞环数据对双自 回归支持向量机 逆模型 学习。然后利 用学习 的结果 给出 系统的控制输入。 参考图1 . 5 ， 每一个采样时间获得一 组新的输入输出u k 和y k ， 根据逆 模型， 向模型输入: y k + 1 = y s p y k ， 二 y k - ra u k u k - 1 u k - 了 其中 协表示系统的设定 值， 将它 输入到 逆模型中理论 上可以 获得使得 下 一时 刻系统的输出 变为y s p 的 输入u k + ; 的 值。由 于算法需 要利用历史 数据， 在 系 统开 始的几个采样点其历史数 据过少， 如果将不存在的 历史输入( 例如在k = 1 时 刻要获得y k _ 二 的 值) 简单地设置为0 的 话很 可能将引起系 统的 不稳定乃至发 第一章 引言 散。 因此需要在系统开始的前若 干个时刻采用其他的 控制率对系 统进行 控制以 避免这种情况发生。具体采样点数n取决于输出自 回归阶数m和 输入自 回归 阶数n的最大值。 图 1 .5支持向量机逆模型控制原理图 文献中选取在采样点n之前， 使 用p i d 控制 器， 之后切换到逆模型 控制器， 系统模型如图1 . 6 。 图 1 .6支持向量机逆模型控制器结构图 文 献中的 仿真结 果可看出 在切换处系统相应有波动， 影响系统性能， 还存 在超调大的问题。 2 . 4变论域模糊控制技术 美 国 加 利 福 尼 亚 大 学l .a . z a d e h 教 授 于1 9 6 5 年 提 出 的 f u z z y s e t ) 1 开 创 了 模糊控制的历史， 从此模糊数学发 展起来了。 z a d e h 提出了 隶属函数 表示 事物模糊性的重要概念。1 9 7 4年，伦敦的 q u e e n m a r r y学院的马丹尼 第一章 引言 ( e . h . m a m d a n i ) 首次用模糊逻辑和模糊推理实现了第一个实验性的蒸汽机控制， 并取得了较好的效果。模糊控制是基于模糊推理和模仿人的思维方法， 来对数 学模型不知的对象进行控制，模糊逻辑本身提供了由 专家构造的语言信息并将 其转化成控制策略的一种系统的推理方法。 9 0年代以 来， 模糊控制系统的 研究取得了 一些比 较突出 的进展， 如模糊系 统的万能逼近特性，模糊状态方一程及稳定性研究，软计算技术等，这些研究 成果逐步丰富、发展了模糊系统的理论体系， 扩大其应用领域。 一般模糊控制器主要由 模糊化， 模糊规则， 模糊决策和去模糊四 部分 组成。 输入模糊化是将真实的确定量转换成一个模糊矢量，模糊控制规则是将专家或 熟练操作人员的经验按照人的直觉推理形成一种语言表示形式，模糊决策按照 模糊控制规则，由 模糊输入量获取模糊控制量。去模糊将模糊决策得出的模糊. 控制量转化成清晰的控制输出量。模糊控制的主要优点:不需要知道被控对象 的精确数学模型;适应于解决过程中的非线性、强祸合、时变、滞后等问题。 1 9 9 5 年， 北 京师 范 大 学 李 洪 兴 教 授首 次 提出 ， o f :目 前 常 用的 模 糊 控 制算 法 都可归结为某种插值方法，类似于数学物理问题中的有限元方法，是经典控制 论和现代控制论的直接方法或数值方法。这样，他为一类高精度自 适应模糊控 制器提供了理论基础。 1 9 9 7 年1 1 月， 李洪兴教授首次提出了一类高精度模糊控制器的设计思想一 一变论 域自 适 应模糊控制器2 7 2 8 。 它 是一 种基于模糊控 制的 插值形式，以 变论 域为手段的自 适应模糊控制器。李洪兴教授定义了控制规则与控制函数的单调 性，证明了作为模糊控制的插值函数的单调性等价于控制规则的单调性，从而 保障了在论域变化之下控制规则的无矛盾性。然后讨论了 变论域伸缩因子的构 造。最后给出了三种变论域自 适应模糊控制器的设计方法，即潜遗传自 适应模 糊控制方法、显遗传自 适应模糊控制方法以及逐步显遗传自 适应模糊控制方法。 2 0 0 2 年4 月，李洪兴教授采用变论域自 适应模糊控制的 方法设计了 一类非 线 性系 统的 稳 定自 适 应 控制 器 【2 9 。 他使 用 积分 调节 原 理 设 计 作 用 于 推 理 后 件的 伸缩因子， 并用l y a p u n o v 方法证明了 变论域自 适应模糊控制是稳定的自 适应控 制。 变论域自 适应模糊控制器给模糊控制邻域的发展带来了新的契机。变论域 自 适应模糊控制的主要思想是: “ 可变论域”就是在规则形式 ( 形状) 不变的前 提下， 论域随着误差变小而收缩自 行进行调整以生成任意多条规则，以 达到缩放 第一章 引言 论域的目的。 这是一个动态的逐点从收敛的逼近器，对控制来说己经足够了。 特别是这种模糊控制器几乎无需什么精明的经验和专家知识，只要知道规则的 大致趋势就可以了， 这使得它有着广泛的应用前景。 变论域自 适应模糊控制器， 为自 适应模糊控制的应用奠定了理论基础，并已经成功的 应用到了 4级倒立摆 的 实 际 控 制 中 3 0 1 本文 这种新 型的 变论 域自 适应 模糊控制器， 和鲁棒控制器相结合 3 1 ， 将此 控 制方 法 应 用到 迟 滞系 统中 。 自 适 应 变 论 域模 糊控制 器 起到“ 粗 调” 的 作 用， h 控制起到 “ 微调”的作用，不仅保证了自 适应模糊系统的稳定性，而且将逼近 误差和外部扰动对跟踪误差的影响减小到任意给定的标准。 1 . 2 . 5自抗扰控制技术 自 抗 扰 控 制 器( a d r c ) 3 2 -3 8 是中 科院 系 统 所韩京 清 教 授 经过1 0 多 年的 由 对 线性系统到非线性系统的 研究而逐步形成的非线性控制结构。 韩京清教授从传 统的p i d 原理及其结构进行分析， 针对传统p i d 的优缺点， 将其优点得以 继承， 缺点 进行改 进， 逐步 形成了自 抗扰 控制策略。自 抗 扰控制技术己 在倒 立 摆4 0 1 异 步电 机 4 1 14 2 )绕 头 系 统 4 3 1 ，电 力 系 统 4 4 1 ， 大 射电 望 远 镜 4 8 1航天 器 4 9 等 方 面都有所仿真或实验研究。 9 0 年 代 初 期， 韩 京 清 教 授 成 功 研究出 非线 性 跟踪 微 分 器 3 3 3 4 1 。 他 认 为 不 管 对象是否线性，控制系统的设计思想应该从极点配置等线性配置观念转移到非 线性配置上， 对模型己知的对象， 用反馈效应的观点建立了非线性状态观测器， 并用这种状态观测器和非线性配置方法实现了非线性系统的状态反 馈控制。 这 种思想亦可推广到对象模型未知或者结构己知参数未知的系统。 韩京 清教 授通过 分析经典p i d 调节 器的 结构3 2 1 ， 发现 其中p i d 控制器的 误 差的选取、 微分信号的提取、 加权和策略和积分反馈四个方面的问题有待改进。 采用适当的 非线性组合以 及反馈律等相应的改进措施，提出 新型的 非线性p i d 控制 算法3 5 1 ， 这种 控制器 具有较强的 适 应性和鲁棒性。 接 着， 又 提出了 一种观 测器形式的 跟踪微分器，并将其有效地用于不确定性系统的状态估计器和非线 性系统时变参数的估计上。 这种对不依赖于不确定对象模型的控制方法事实上 己经是自 抗扰控制器的雏形了。 第一章 引言 9 0 年代中期， 韩京清对观测器形式的跟踪微分器进行改 造而获得了 一类不 确 定 对象的 扩张 状 态 观 测 器( e x t e n d e d s t a t e o b s e r v e r , e s o ) 3 7 o e s o 不仅 能 得到不确定对象的状态， 还能获得对象模型中的内扰和外扰的时一实作用量， 将这个时实作用量补偿到控制器中，而取消了非线性p i d 中的积分作用，并进 一步将控制器用于高阶对象的控制，一种新的控制律非线性状态误差反馈 律( n o n l i n e a r s t a t e e r r o r f e e d b a c k , n l s e f ) 3 6 产生t 。 经 过前 述 研究， 形 成了自 抗 扰控 制 器( a c t i v e d i s t u r b a n c e s r e j e c t i o n c o n t r o l l e r , a d r c ) 3 2 3 8 。 它 是 一 种对 系 统内 扰 和外 扰 鲁 棒的 非 线 性 控制 结 构。 包含跟踪微分器( t d ) 、扩张状态观测器( e s o ) 、非线性状态误差反馈律( n l s e f ) 三 个环 节: 跟踪 微 分 器 3 3 3 4 安 排 过 渡 过 程 3 9 并 给 出 过 程的 微 分 信号 ; 扩 张 状态观测器3 7 给出 对象 状态变 量的 估 计 值和系 统 未知 模型 及外 扰的 总 和 作用的实时估计值，将对象化为 “ 积分器串 联型” 结构;非线性状态误差反馈 律3 6 一对化为“ 积分器串 联型” 结构的 对象进行控制。 自 抗扰控制器的 提出， 综合了经典调节理论与现代控制理论的优点，可有效处理系统中的非线性与不 确定性问题，同时配合非线性的反馈方式，提高控制器的动态性能。自 抗扰控 制是一种不依赖系统模型的新型控制技术，结合特殊的非线性反馈结构实现良 好的控制品质，具有超调小、响应速度快、精度高、抗干扰能力强及算法简单 等优点。 本文通过仿真研究及几种控制器的 控制效果的 对比，可看出，自 抗扰控制 器将系统的不确定部分，即将复杂的迟滞环节当作系统内 扰，不需知道精确模 型，同样能实施补偿，得到很好的控制效果。 第三节 论文结构安排 本文的研究工作是:第一章对迟滞系统的有关概念、 研究意义和当前对其 进行建模与控制的研究现状的综述;第二章主要介绍迟滞的p r e i s a c h 模型:第 三章进行了p i d控制的 研究并进行了仿真; 第四章主要对迟滞对象采用鲁棒自 适应变论域模糊控制策略进行控制; 第五章介绍了自 抗扰控制器，并将其应用 于迟滞系统，并通过仿真，可以 看到控制效果比 较理想;第六章，是全文工作 的总结以及对今后研究工作的展望。 第二章 迟滞系统数学模型 第二章 迟滞系统数学模型 第一节 p r e i s a c h模型 迟滞系统在相同的输入下可能会有不同的输出，有相同输出时的输入值可 能不同， 它的输入一 输出是一个多映射的关系。 迟滞系统的输出 不单与输入的瞬 时值有关系， 还与输入信号的历史情况有关，如过去的极值及递增递减的变化 情况， 这就使得迟滞系统带有记忆性。 迟滞系统如此特殊的性质，增加了建模 与控制的难度与精度问题。 迟滞对象如此强的非线性特性，对系统的稳定性有重要的影响。为了减少 迟滞特性对输出的影响，国内 外学者提出了多种策略对非线性迟滞进行补偿。 而对这种非线性进行补偿的首要准备就是要对迟滞系统有着充分和深入的了 解。 1 9 1 6 年w e i s s 等最初提出 一 种迟滞模型， 1 9 3 5 年f e r e n c p r e i s a c h 给出t, 其几何图形解释并描述了 主要特征， 称该模型为 p r e i s a c h m o d e l ( p m ) e3 1 1 9 1 ， 来 描述铁磁材料中的迟滞数学模型。p r e i s a c h模型是目 前应用最广泛的一种迟滞 非线性模型。 p r e i s a c h 模 型 可以 看 作 是 一 系 列 带 有 权 重 的 迟 滞 单 元7 0 叠 加 的 结 果 ， 如 图 2 . 1 所示，即 y ( t ) = 仃 ,u ( a ,8 ) y . q u ( t ) d a d , 3 ( 2 . 1 ) 第二章 迟滞系统数学模型 图2 . 1 p r e i s a c h 模型示意图 其中可 a , ( a , ,6 ) 来决 定， 单元是半平面 16 ) 为 迟 滞单元y a a 的 权重函 数。 a 、16 是上、 下切换值，a? q 每一个迟滞单元都由一对开关量 ， 如图2 . 2 所示。 所以每一个迟滞 p - l ( a ,/6 ) la 2 ,6 中 确 定 的 点 。 图2 .2 迟 滞 单 元场 根 据y . h(r)的 输出 情况 将 积 分区 域p 分 为 : 第二章 迟滞系统数学模型 p _ (t ) = ( a ,/3 ) e p i y , u l(t) 一 ， p 十 ( ) 一 ( a , ,6 ) e p y , u ( t ) = + 1 ( 2 . 2 ) 当输入信号增大时， 边界线表现为沿轴a 正向移动:当输入信号减小时， 边 界线就将沿轴q 负向 移动 的积分边界线。因此式( 2 如图2 . 3 所示。 p 十 和p _ 之间的曲 线为p r e i s a c h 模型 1 ) 变为 ， ( ， ) = j j ,u ( a , a ) y a 66 u ( t ) d a d /3 ,u ( a , ) i d a d ,t3 - p ( a , ,6 ) d a d ,8 ( 2 . 3 ) 图2 3积分边界线变化情况 第二章 迟滞系统数学模型 u o ) 砰 v ( t ) 图2 . 4迟滞非线性 第二节 迟滞特性 迟滞系统再相同的输入下可能会有不同的输出， 有相同输出时的输入值可能 不同，它的输入一 输出是一个多映射的关系。迟滞系统的输出 不单与输入的瞬时 值有关系，还与输入信号的历史情况有关，如过去的极值及递增递减的变化情 况，这就使得迟滞系统带有记忆性。 由于迟滞系统的多映射和记忆性， 即使得它比 较难控制。 前一部分已 经引入 p r e i s a c h 模型来模拟迟滞系统， 现在我们用p r e i s a c h 平面中的 积分边界 线来解 释p r e i s a c h 模型中的两个重要特性:局部记忆性和次环全等性。 2 . 2 . 1局部记忆性 ( w i p i n g o u t p r o p e r t y ) 当 系 统的 输 入 信 号v ( t ) 在时 刻t 超 越了 其 历 史 极 值时( 大 于 极 大值 或 者 小 于 极 小值) ，则此历史极值不再影响该t 时刻以后的系统输出，p r e i s a c h 模型的这种 特性称为局部记忆性。 用p r e i s a c h 平面的积分边界线来说明迟滞p r e i s a c h 模型的局部记忆性。 这 里我们对在某时刻系统输入信号超越历史极大值的情况进行分析，对于超过历 史极小值时原理是相同的。迟滞系统的输入信号如图2 . 5 所示，输入信号变化 第二章 迟滞系统数学 模型 时引 起的p r e i s a c h 平面积分边界线的变化情况如图2 . 6 中 所示。 从0 时 刻开始， 输入信号逐渐增 大， 积分边界线沿a 正向移动，t : 时刻的边界 线为a b ， 此时 信 号为极大值， 之后 逐渐减小，积分边界线沿轴fl 负向 移动， 到达t : 时刻，边界 线为a c ，此时信号为 极小值，随着信号的 增大， 积分边界线到d e ，信号 又开 始 减小， 边界线到d c ，当 输入信号增大到i s 时刻， 此时的极大值 超过了 历史极大 值 ( t , 时刻的) ， 边界线 变化到了f g ， 随着输入信号变小， 积分边界线沿轴,6 负 向 移动， t 时刻边界 线是f h i ， 可见此时 积分 边界线只与气时刻的极大 值形成的 边界线有关， 与t : 时刻的 无关，体 现了系统的局部记 忆性。 图 2 . 5川 t , t 2 t , t , i s 局部记忆性的 p r e i s a c h模型输入 图 2 .6局部记忆性的边界变化 第二章 迟滞系统数学模型 2 . 2 . 2次环全等性 ( c o n g r u e n t m i n o r l o o p p r o p e r t y ) 当输入信号在极大值与极小值之间变化时， p r e i s a c h 平面上所形成的封闭轨 迹就是次环。而次环全等则是指 输入信号在某两个可能不等时长的 时间 段内 具 有相同极值时， p r e i s a c h平面上将形成形 状相同， 大小相等的与主环相 连的次 环。 用 p r e i s a c h 平面的积分边界线来说明迟滞 p r e i s a c h 模型的此环全等性。迟 滞系统的输入 信号 如图2 . 7 所示， 输入信号 变化时引 起的p r e i s a c h 平面 积分边 界线的变化情况如图2 . 8 中所示。 从 0 时刻开 始， 输入信号逐渐增大， 积分边 界线沿a 正向 移动， t ， 时刻的 边界 线为a b ， 此时信号为极大值， 之后逐 渐减小 ， 积分边界线沿轴刀 负向 移动，到达t : 时刻， 边界线为a d c ，此时信号为极小 值， 从极大值到极小 值过程，积分边界线变化了图 2 . 8中阴 影部分: 随着信号的 增 大， 积分边界线到e f ， 信号又开始减小，t ; 时 刻到达极小值，边界线为 e g c , 当输入信号增大到t ， 时 刻， 此时的边界线为e g d b ， 从极小值到极大值过程， 积 分边界线也变化了图2 . 8 中阴影部分。石 到t z 与t ; 到i s 具有相同的 极大值和极 小值，它们在 p r e i s a c h平面上的 积分边界线变化围 成的区 域相同， 则在输入 - 输出平面上会是大小相等，形状相同的次环。 图2 .7次环全等性的p r e i s a c