（控制理论与控制工程专业论文）超大规模集成电路中变化互连线分析.pdf

亘塞墨王丕堂亟主鲨室超大规模集成电路中变化互连线分析 摘要 随着科学技术的不断进步，在设计高性能电路时了解半导体制造过程中的变化变 得很重要。过程变化的知识对于最优化电路延时，减少时钟倾斜和降低串扰噪声很重 要。传统的电路技术用随机变量来表示互连线的参数变化。但是目前的研究表明存在 较强的空间相关性，尤其是在考虑化学机械打磨过程中的互连线变化时。因此，整个 变化分为系统部分和随机部分。在电路仿真时对不同变化源的系统部分建模和分析成 为减少设计不确定和最大化电路性能的关键。本文试图从分布参数系统理论的方法来 研究这个问题。 在阅读了大量文献的基础上，本文首先对现有互连线分析算法进行了归纳、分析、 比较和总结，并在此基础上详细介绍了两种算法分析方法。第一种方法在有限维的 h i l b e r t 空间用正交多项式展开模拟了随机响应，我们称之为g e t a ；第二种将基于模 型的线性部分变换用于互连线参数变化分析，这种方法用一个重复的标量不确定结构 来描述互连线不确定参数。 本文所取得的主要成果就是提出了一种新的算法，即用随机有限元来分析变化的 互连线，将方程按随机变量泰勒展开或者纽曼展开，从而化无限维为有限维；应用 m a t l a b 进行了算法仿真，并将结果与传统m o n t e c a r l o 与g e t a 进行了比较；最后写 了一篇文章( ( s t o c h a s t i cf i r t i t ee 1 e m e n tm e t h o df o ri n t e r c o n n e c ti n c l u d i n gv a r i a t i o n a l a n a l y s i s ) ) ，己投第1 1 届亚洲和南太平洋设计自动化会议。 关键词：互连线参数变化随机有限元 第1 页 南京理工大学硕士论文 超大规模集成电路中变纯互连线分析 a b s t r a c t a st e c h n o l o g ys c a l e s u n d e r s t a n d i n gs e m i c o n d u c t o rm a n u f a c t u r i n gv a r i a t i o nb e c o m e s e s s e n t i a lt oe f f e c t i v e l yd e s i g ni l i 曲p e r f o r m a n c ec i r c u i t s k n o w l e d g eo f p r o c e s sv a r i a t i o ni s i m p o r t a n tt oo p t i m i z ec r i t i c a lp a t hd e l a y ，m i n i m i z ec l o c ks k e w ，a n dr e d u c ec r o s s t a l kn o i s e c o n v e n t i o n a lc i r c u i tt e c h n i q u e st y p i c a l l yr e p r e s e n tt h ei n t e r c o n n e c ta n dd e v i c ep a r a m e t e r v a i l a t i o n sa sr a n d o mv a r i a b l e s h o w e v e r , r e c e n ts t u d i e sh a v es h o w nt h a ts t r o n gs p a t i a l p a n e md e p e n d e n c i e se x i s t ，e s p e c i a l l yw h e nc o n s i d e r i n gi n t e r c o n n e c tv a r i a t i o ni nc h e m i c a l m e c h a n c a ip o l i s - d n g ( c m p ) p r o c e s s e s t h e r e f o r e , t h et o t a lv a f i a 在o nc a nb es e p a m t e di n t o s y s t e m a t i ca n dr a n d o mc o m p o n e n t s ，w h e r eas i g n i f i c a n tp o r t i o no ft h ev a r i a t i o nc a l lb e m o d e l e db a s e do nl a y o u tc h a r a c t e r i s t i c s m o d e l i n gt h es y s t e m a t i cc o m p o n e n t so fd i f f e r e n t v a r i a t i o ns o u r c e sa n di m p l e m e n t i n gt h e s ee f f e c t si nc i r c u i ts i m u l a t i o na k e yt or e d u c e d e s i g nu n c e r t a i n t ya n dm a x i m i z ec i r c u i tp e r f o r m a n c e i nt h i st h e s i s w ea t t e m p tt os t u d y t h i sp r o b l e mw i t hd i s t r i b u t e ds y s t e mt h e o r y a f t e rr e a d i n gl a r g en u m b e r so fr e l a t e dl i t e r a t u r e ，w ef i r s tp r e s e n t e dt h r e em e t h o d sf o r i n t e r c o n n e c tp a r a m e t r i cu n c e r t a i n t yi nt h i st h e s i s t h ef i r s ti sn a m e dg e t a ，t h et e c h n i q u e m o d e l st h es t o c h a s t i cr e s d o n s ei naf i n i t ed i m e n s i o n a lh i l b e r ts p a c ei nt e r m so fo r t h o g o n a l p o l y n o m i a le x p a n s i o n s s e c o n d ，w ep r e s e n tal i n e a rf r a c t i o n a lt r a n s f o r m ( l f f ) b a s e d m o d e lf o ri n t e r c o n n e c tp a r a m e t r i cu n c e r t a i n t y ，t h i sm o d e lf o r m u l a t e st h ei n t e r c o n n e c t p a r a m e t e ru n c e r t a i n t ya sar e p e a t e ds c a l a ru l lc e r t a i n t ys t r u c t u r e t h em o s tp n m a r ya c h i e v e m e n tw eg e ti st h a tw ep r e s e n tas i m p l eb u te f f e c t i v em e t h o d c a l l e ds t o c h a s t i cf i n i t ee l e m e n tm e t h o d s u p p o s e ds t o c h a s t i cv a r i a t i o n sa r ep e r t u r b e di na s m a l lr a n g e ，w ec a i lg e tan o n l i n e a re q u a t i o no ft h e s es t o c h a s t i cv a r i a t i o n sb yu s i n ga t a y l o rs e r i e so ran e u m a n ns e r i e se x p a n s i o no ft h es y s t e mm a t r i x t h ea p p l i c a t i o no f p e r t u r b a t i o nt e c h n i q u e st r a n s l a t e s t h i sn o n l i n e a re q u a t i o ni n t oap a i ro fc o n s t a n tl i n e a r r e c u r s i v ee q a a f i o n s t h e nw eh a v ew r o t eap a p e r s t o c h a s t i cf m i t ee l e m e n tm e t h o df o r i n t e r c o n n e c ti n c l u d i n gv a r i a t i o n a la n a l y s i s ”w h i c hh a sb e e nc o n t r i b u t e dt o1l t ha s i aa n d s o u t hp a c i f i cd e s i g na u t o m a t i o nc o n f e r e n c e k e v w o r d s ：i n t e r c o n n e c tp a r a m e l r i cu n c e r t a i n t yg e t as f e m 第页 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名：兽她亟一 一 湘年6 月。7 日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：毯蝗丞汹年5 月a 7 日 1 引言 近几年来最令人注目的是大规模集成电路迅速地向高速度和大规模的方向进 展，近期晶片的c m o s 技术所制成的芯片，时钟频率已达到1 g h z ，甚至达到1 5 g h z ， 已达到微波频率，而相应的脉冲信号的频谱高端则趋向更高的频率范围m 。 由于亚微米和深豫微米技术的应用，半导体器件和由若干器件组成的单元电路 ( 如门电路、触发器) 尺寸都非常小，因此由寄生参数引起的影响不算大，基 本上还可用一般的电路理论处理( 但高速器件的内部机理和模型较常规器件有所变 化) 。主要问题在于芯片中的各单元电路问、p c b 及m c m 的各块芯片间互连线的 相对长度比较可观，布线又比较密集，将引起相当严重的寄生效应。同时无论芯片 或组件，为保护电路及支撑整体电路结构的封装部分是不可避免的，些封装结构 如溃电线或板、接地线或板、芯片引出焊线或带、多层布线间的通孔、封装后的引 出线或插脚等对高速信号的传输亦产生非常明显的影响。互连和封装效应随着工作 速度的不断提高，逐渐从p c b ，m c m 最后向芯片内部延伸，最近在芯片范围内的 互连线效应也已日益明显，本文着重的就是对这方面的研究。 所谓高速电路理论，即是在高速脉冲作用的情况下，研究高速电缆系统互连和 封装结构和半导体单元电路通过接口构成的整体系统的电特性分析。由于半导体单 元电路的电特性机理和过去并无明显差别，因此研究的重点自然集中在互连和封装 结构这一部分。 互连和封装结构对系统电特性的影响可归结为所谓信号完整性( s i g n a l i n t e g r i t y ) 分析，即在理想的情况下，高速电路系统中的脉冲信号应按照单元电路 的作用并依据逻辑设计得到的单元电路连接关系进行动作。事实上由于互连和封装 结构的寄生因素的影响而导致信号完整性受到削弱和破坏，从而使系统的指标降 低，系统工作在潜在的不可靠状态，严重时甚至导致逻辑错误，系统的整体工作状 态受到破坏。 所谓互连效应，就是当信号速度的提高时，由于芯片中各单元电路间、p c b 及 m c m 的各块芯片间互连线的相对长度比较可观，布线比较密集，将引起相当严重 的寄生效应( 信号互连线产生的延时、波形畸变和线间互扰) 1 4 ”。 高速电路系统的信号完整性分析相当复杂，牵涉到规模巨大的电路( 成千上万 个电路单元) 、种类繁多的单元类型( 集中参数、分布参数、非均匀分布参数、二 维形式的电源板和接地板组合、各种非线性器件及由其构成的电路) 、多种多样的 分析方法( 电路方法、电磁场方法、混合方法、时域分析体系、频域变换体系等) 。 因此，在进行布线两信号传输线特性仿真时，将匾对数量很大的电路单元，用改进 第1 页 引言 硕士论文 节点法将涉及维数很大的矩阵处理，无论在占用内存及耗用计算时间方面均相当惊 人，为此所谓阶数缩减或规模缩减( o r d e rr e d u c t i o n ) 方法随之而出。其基本设想 即是在精确度允许的情况下，将代表一个庞大电路系统的高维数矩阵缩减为一个较 低维数矩阵，一个高阶有理函数缩减为低阶有理函数，则在时域分析中可非常有效 地减少内存和计算时间。阶数缩减问题最初集中于p a d e 逼近，以后逐渐扩展到 t a r l c z o $ ，a m o l d i ，g m r e s 等方法，寻求解决大电路系统的高效时域分析而保持电 路分析的精确度和稳定性【4 ”。 随着信号速度的提高，在超大规模集成电路的设计中，芯片中各单元电路间、 p c b 及m c m 的各块芯片间互连线的相对长度比较可观，布线比较密集，将引起相 当严重的寄生效应( 信号互连线产生的延时、波形畸变和线间互扰) 。这时需用传 输线的模型对互连线建模 4 ”。目前，国外已有大量的相关文献介绍芯片互连线的模 型建立、模型降阶，以及高速电路系统的时域分析。在微电子技术和电路与系统技 术迈向新的发展阶段的今天，高速电路理论有其特殊的重要性，某种程度上己成为 新一代微电子系统分析设计体系中的重要组成部分。目前高速电路理论及应用的研 究在海外已受到广泛的重视，尤其是p c b ，m c m 和芯片中信号完整性分析已成为 一个研究热点。 半导体制造业的变化使得过程参数偏离了其理想值，即设计值。过程变化一直 是生产可制造性，过程控制和电路设计的关键考虑因素。随着技术的不断进步，了 解这些变化也变得越来越重要。尽管c m o s 设备延时可测，但是互连线延时不可测。 缩减互连线的斜度和增加时钟频率以及芯片尺寸大大约束了电路设计及其相关技 术。另外，互连线的变化会导致更加严格的设计要求。如果过程变化没有处理好， 为达到预制的电路性能说明书上的要求就必须付出大量不必要的代价。因此，在给 定的设计中过程变化如何存在以及它对电路性能的影响是一个关键的问题。 1 1 互连线变化的来源c 5 0 l 互连线变化可分为空间和时间两大类 5 。时间变化源是时变的，而且随着电路 运行条件的变化而改变，主要包括开关活动，温度变化和可靠性的影响。空间变化 源产生的影响在时间上是固定的，它取决于物理因素如在电路层上的芯片结构变 化、周围的环境等。空间变化源影响结构的几何学而且可能导致让人不快的效果如 收得率损失。牧得率损失可能是函数的或者参数的，导致电路的失灵或性能上的降 级。结构变化对互连线和设备都有影响，这里我们主要讨论它对互连线的影响。 互连线的结构变化包括三个部分：金属线厚度( t ) ，层内电介质厚度( i l d 或h ) ，以及线宽( w 或者l w ) ，如图1 1 所示。另外，几何形状如斜面和表面 及边缘韵粗糙度的影响也需要考虑，但是本文不作考虑。注意线的空间距离( s 或 第2 页 童塞堡王盔堂堡主堡文超大规模集成电路中变化互连线分析 l s ) 不是一个独立变量，因为线宽的变化自然影响了线的空间距离。互连线的交化 导致了其参数的变化，包括阻抗( r ) ，电容( c ) 和电导( l ) ，这些参数的变化 直接影响了电路的性能。重要路线常包含长线，电路仿真时需要精确的互连线几何 变化的模型。 地平面 i 1 2 动机瞄1 l h ，l 地平面 ( a )( b ) 图1 1 在地线上的并行互连线横截面：左图( a ) 是理想情况 右图( b ) 是存在某种类型变化的互连线 先前，人们针对过程变化对电路性能的影响做了很多工作。早期的研究大多主要 集中在设备的变化，而互连线变化是在最近开始变得重要的5 1 1 跚。传统的随机分析 一般假定电路参数是满足高斯分布的独立的随机变量。设x = i x ，x2 ，x ，】表示均 值为。方差为o - i 正态分布的随机变量输入，其中，i = 1 , 2 ，n 。输入向量由互连线 的几何参数( 如l w ，t ，k ) 或者电参数( 如r ，c ) 组成蝴4 9 1 。输出向量 y = k ，y 2 ，】是x 的函数包含电路性能变量如信号延时，时钟倾斜和串扰噪声。 确保满足性能要求的最简单的方法是倾斜偏区模型。这里的目标是为输入量x ； 选择偏区使得满足一个合适盼场或性能标准。然而，如果输入x ；是相关的，或者输 出变量i 是x ，的非线性函数，则很难选到真正的偏区。考虑图1 2 的双变量的例子， 输入为x 。和x 。，输出为y 。我们的方法是基于最坏例子有限来选取偏区( 图1 2 中 矩形的四个偏区) ，取偏离均值几个标准差0 ，忌吼) 。例如，k = 3 用于得到一个9 9 7 3 的信用级，然而，这个方法会导致对输出性能的悲观估计：如果输入是相关的，所 引言 硕士论文 有的采样点都位于图1 _ 2 的椭圆中。这样的话， 大限制得到的要小。因为没有输出性能分布， 难确定哪个更加理想。 真实的变量散布范围会比由最小和最 如果不知道函数y = f ( x ，x ：) ，也很 图l2 输入变量和随机分布，当输入是相关的，采样点位于图中矩形区域 y 图1 3 由输入x ，和x ，的随机采样得到的输出分布 如果函数y = 厂( x ) 可以_ 解析或者可以数值计算，一个很有用的方法就是m o n t e - c a r l o 仿真蛔( 4 8 【4 9 】。用这种方法，可以随机采样输入变量x ，。进行大量试验，对每个 序列输入计算输出，得到一个分布的结果。m o n t e c a r l o 方法的优点就是可以得到输 出的实际分布。用这个分布，通过设置输出的信用级可以得到更多的输入的实际偏区。 m o n t e c a r l o 方法的缺点在于仿真时间的大大增加。图1 3 从量上说明了如何用 m o n t e c a r l o 方法得到输入偏区。 大部分研究在分析变化对电路性能影响时，仍然使用的是上面提到的用于随机性 能分析的方法。尽管在倾斜偏区方法上通过应用变化源的随机分布可以获得较少的设 计代价，但是他们没有考虑系统变化的影响，而系统变化才是整个变化的大分支。下 第4 页 亘茎堡兰盔堂亟圭鲨耋超太规模集成电路中变化互连线分析 面讨论不同的变化成分。 1 2 1 、系统变化和随机变化嘲 虽然假定随机的变化参数对于大部分设备变化源是一个很好的方法，但是一般 对互连线参数不合适。直到最近，因为主要集中在设备上，m o n t e c a r l o 分析方法 才是合适的。然而，随着技术的不断发展，互连线对信号延时的影响日益增加，而 这一影响很大程度上来源于互连线变化。研究表明互连线变化的一大分支就是层特 征的函数口9 1 3 0 。不同于将变化看作是一个纯粹的随机源，一些参数有系统的或者确 定的部分。以前的研究强调在互连线之间，晶片之间的和晶片内部的变化( 如图1 4 所示) ，然而模内的变化最近变得很受瞩目。对任何一个参数，设整个变化的主要 部分是系统的，则可对变化的系统部分用确定的模型来预测大部分变化。比起使用 最坏例子偏区或者m o n t e - - c a r i o 方法来约束变化，可用系统变化成分来建模，因 此降低了整个不确定度l 。变化可以由统计度量来划分。 块对块 晶片问： 晶片内： 模内 圈1 4 不同成分的变化 文献 2 8 里描述了一种方法用于变化分解，如图1 5 所示。将单个晶片来加工 的数据作为输入，过程中对每一阶系统变化的成分建模。余下的留到下一阶，建立 另一个模型。顺序依次为晶片级估计到模内估计最后是晶片和模串扰估计，在过程 第5 页 三堡乙一 堡主笙兰 末端剩下的可假定为随机源，可以不用考虑。应用不同类型的估计来提取各种各样 的成分。晶片级的变化比较平缓，它们来源于过程和设备因素。基于估计器的下采 样平均移动、方栓和衰退可用于这里。模f i j 部分由于层样式上小范围效果通常包含 高频成分。为估计模内变化，通常采用快速傅立叶变化，因为模在晶片内是周期的。 最后晶片和模的交叉可以用方栓和快速傅立叶分析。 分 图i 5 变化成分 图1 6 从量上说明了系统变化建模方法如何降低设计中的不确定。在图1 6 ( a ) 中，从单个模的采样点中得到输入变量的分布。在m o n t e - - c a r l o 分析中，假定这个 分布是随机的，但是，实际上整个变化可能是模内空间位置的函数( 如图1 6 ( b ) 所示) 。这里，模内每个点都有一个x ，的均值，这个均值取决于层模式，比从模内 采集各种各样的点得到的分布更窄。可以通过采集晶片内或这几个晶片间多模的模 内同一位置来得到这个分布。如果是这样，则模内成分认为是系统的而其它源则是 随机的。本文中，我们讨论系统变化的几个源。变化的一个主要源就是互连线的二 维性，包括层内电介质或金属厚度变化。 第6 页 南京理工太学硕士论文 超太规模集成电路中变化互连线分折 随机采样： 变化分解： ( a ) 一x y 。、x x r x ( b ) 图1 6 ( a ) 图为单模随机采样用来统计输入变量x 1 ( b ) 图为晶片内多模交叉的模内采样 1 2 2 互连线变化对电路性能的影响 互连线变化对电路性能有着直接的影响。它们会影响高性能数字电路如微处理 器的三个重要的标准。第个标准是信号延时，如图1 7 所示。长线用于芯片闻通 讯，而临界的路线通常由互连线来限制鲴。互连线中的变化影响了它的电参数( 阻 抗，电容，导纳) ，会增加延时。如果信号没有在规定时间内到达输出会发生电路 故障。长线限制了信号到达输出的时间总量，而且当设计指导方针中包含变化的影 响时，需要加强合适的电路操作。 互连线 ? 竺年三三j 托訾冲 图1 7 互连线延时是整个电路延时的一大分支 另外一个电路标准就是时钟倾斜。这个涉及到在树的输出时匹配信号延时。因 为时钟在同步设计时至关重要，所以对任何电路来说减少时钟倾斜具有最高的优先 级。可用一种最小化倾斜的方法让树两边对称。这个可以由h 树的结构来保证( 如 引言硕士论文 图1 8 所示) 。为了阻抗匹配，树的结构是锥形的，所以当遇到分叉时，下一节分支 的宽度是原来的一半。一个好的时钟首先要考虑的一点就是信号到达输出的时间差 要尽量的小，完全延时没有关系。然而，由于互连线变化，即使是对称设计，时钟 倾斜也很敏感。 图1 8 时钟分布的h 树 第三个重要的电路标准就是串扰噪声。当相邻的一根线无意中影响了另一根线 时，就会产生串扰噪声，如图1 9 所示。信号状态的小摄动通常不会影响电路的性 能。然而，过多的噪声会使得信号改变其状态( 如由高至h 低) ，从而引发电路故障。 这些取决于能忍受的噪声极限，而且这个在小摇摆电路如功能放大器中是一个很大 的问题。因为串扰受到相邻线的侧面耦合的影响，所以互连线线宽变化会使得噪声 到达不能容忍的范围。 7 防三茎 i n 2 - - _ ，e 搴一 7 ：爿 三兰c c j o u p 咿 2 1 3 文章内容安捧 图1 9 信号串扰 v o u “ v o u t 2 v 。u t 3 本文的结构和所探讨的内容安排如下： 第一章是序论部分，首先介绍了超大规模集成电路的发展概述以及互连线变化 对电路的影响。 第8 页 南京理工大学硕士论文超大规模集成电路中变化互连线分析 第二章首先介绍了互连线模型的建立，电路分析方法以及系统阶数缩减并总结 了过程变化中互连线分析的一些算法。 第三章介绍了一种用于变化过程中互连线时域分析的方法( g e t a ) 。g e t a 用 于商业测试案例所得的结果与经典m o n t ec a r l os p i c e 和摄动方法所得的结果相一 致。另外，g e t a 表现了优良的计算效率。 第四章提出了如何将随机有限元方法( s f e m ) 用于互连线的随机响应分析中， 这个算法的特色在于包含了r l c 互连线的参数变化，确保近似传递函数的稳定性， 比g e t a 更小的维数。s f e m 和s p m c 取得了一致的实验结果。s f e m 表现出其简 单性和良好的计算效率。 第五章介绍了将基于模型的线性部分变换( u 叮) 用于互连线参数变化分析。 这种方法用一个重复的标量不确定结构来描述互连线的不确定参数。在基于线性矩 阵不等式的一般平稳截断实现的帮助下，新方法降低了原互连线网络的阶次的同时 保留了稳定性。 第六章对本论文所做的各项工作进行了简要的总结，并对今后的研究工作提出了 一些改进建议。 第9 页 壹室堡三查堂堡士论生超大规模集成电路中变化互连线分析 2 超大规模集成电路中参数变化的互连线分析方法 在超大规模集成电路( v l s i ) 中，随着设备尺寸地不断减少，电路的性能也变 得难以估计了。由于制造过程中物理设备和互连线特征的不可控，很难建立准确的 模型。同时制造过程中这些不确定性最终会导致电路的寄生效应。电路的寄生效应 可分为模内和模外成分和布线模式附属。例如，设备材料，几何学上的变化( k ， 工。，w ) ，以及掺杂层和剖面的变化，这些变化都对m o s f e t 的行为有直接的影 响。同时由于材料和几何变化，互连线也会变形。线宽的变化影响阻抗，夹层的变 化影响电容，而线内距离的变化会明显降低信号的完整性。层内氧化物的布线模式 变化和c m p 加工也会对互连线寄生效应产生影响。各种各样的变化源对电路性能 产生了一系列随机的和系统的影响【7 】。 2 1 互连线的模型的建立 2 1 1 互连线模型断j 互连线的延时与晶体的电阻，设备负载电容和互连线负载有关。互连线负载是 分布的，是金属线阻抗和电容的函数( 当频率很高时，也是导纳的函数) ，阻抗和 电容取决于金属线几何形状。在频率较低时，互连线可由分布的r c 网络来建模恻。 为了表示互连线的分布本质，仿真时将互连线分解为小的集总电路，表现形式 有n 型，t 型网络。如图2 1 所示，互连线分成了n 节，随着n 的增加仿真的结果 越来越精确。如果信号上升时间太快或者线太长，会产生电感，要用r l c 网络来 对互连线效果建模，如图2 2 所示。 r 2r 2 1 一 一c 5 c o ) r t c ( c ) 图2 + 1 互连线的型( a ) ，t 型( b ) ，梯型( c ) 模拟， 为近似分布效应电路仿真对将长线分成n 个小节( d ) 第1 1 页 1 r h i 。 声了 1 超大规模集成电路中参数变化的互连线分析方法 硕士论文 r nu n r nl 小 _ 二 _ 一 蜊丁r r n u n 蜊丁 图2 2 ：用分布r l c 对互连线f 日络建模，高频时才有电感 2 1 2m n a 电路分析方法 4 7 l 对互连线建立模型后，接下来就是建立电路方程了。而在电路分析中，m n a 方法是一个公认的应用较广的电路分析方法，著名的s p i c e 程序就是建立在m n a 算法的基础上。本文中所用到的例子也都是用这种方法来建立模型的。该方法的基 本思想即是在节点电位法的基础上加以扩展，将电路变量由节点电位扩展到包含电 感支路电流和独立电压源电流，其结果不仅克服了节点电位法应用中的某些局限， 使之适用于绝大多数类型的电路，更为重要的是使电路方程得到一个规范的形式， 便于分析和处理【4 “。 对于图2 3 所示的电路，由l ，c ，r 元件及一个电压源e 组成，其中共有4 个节点，包括节点电位、电感支路电流和电压源电流共7 个变量。根据克希荷夫定 律及电磁感应定律，可写出含有上述变量的7 个独立电路方程： 图2 3 一个集中参数电路 g 。( k 一心) + s c 3 ( h k ) 一e = 0 g l ( 一u ) + g 2 ( 一) + s c 3 ( k h ) + j c l k + ，= 0 g 2 ( 坞一也) + s c z v 3 一，l l + ，l 2 = 0 g 3 k 一乙= 0 2 1 1 ) 豳，l ，一也+ k = 0 也2 ，l 2 一k + k = 0 矿一e = 0 如果将上述7 个变量表示为列矩阵x ，即为 第1 2 页 南京理工大学硕士论文 超大规模集成电路中变化互连线分析 x = k ，k ，l ，k ，j j l 2 ，j e 7 ( 2 1 2 ) 在上述变量中取其中之一( 例如k ) 作为需要的输出变量，则可将m n a 方程 和输出方程以下列矩阵方程表示 g x + j c x = b e y = 1 7 x ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 其中式( 2 1 3 ) 实际上为方程组( 2 1 1 ) 的矩阵表示式，b 和z 各为激励源和输出 变量的选择矩阵，当激励源和输出变量均只有一个时，它们均为只有一个非零元素 1 的列矩阵。对上述电路实例，式( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) 中各个矩阵为： g = c = g ，一g ，0 000 1 g lg 1 + g 2 一g 2 0100 0一g g 2 0 110 o00g ，01 1 0110000 00 11000 1 000000 c 3一c 3 一c 3c 3 + c l 0o oo oo 0 o oo 00 00 c 2 0 00 0 0 00 oo 000 000 000 0 00 厶0 0 0 如0 oo0 b = 【0 0 0 0 0 0l i r ，= 【o 0 010 0o g 对单个激励源e 一单个输出变量y 的传输函数，根据式( 2 1 3 ) ， ( 2 1 4 ) 可 表示为： 踯) = 考i f 椰c ) 场 2 2 模型阶数缩减 ( 2 1 5 ) 在超大规模集成电路中，经常会涉及维数很大的矩阵处理，在对变化的互连线 第1 3 页 塑查塑壁叁壁垒堂! 叁鍪茎堂三垄丝坌堑查兰 坚主笙苎 进行分析时也同样遇到这个问题会难以计算，这时可以考虑阶数缩减方法。这里我 们简单介绍一种l c l r y l o v 子空间变换用于阶数缩减的方法。它与我们第五章提到的模 型降阶是完全不同的。两者的本质区别在于这里我们考虑的是确定性系统的阶数缩 减，而第五章针对的是不确定系统m 。 2 2 1k r y l o v 子空间变换4 刀 本节中首先将k r y l o v 子空间变换理论连同常用的a r n o l d i 算法、l a n c z o s 算法 作一简要叙述，在下一节中再对利用这一方法进行电路阶数缩减作更具体的叙述。 为便于理解，首先简述子空间映射在解大型线性方程中的应用。设一个线性方 程组以下面盼矩阵方程表示： a x = b ( 2 2 1 ) 其中a r “”为系数矩阵，xe r “为待求变量列矩阵，b r “为常数列矩阵。 令k 是甩维空间中m 个线性无关的n 维矢量， k = v 1 ，v 2 ，v 。 ( 2 2 2 ) 旯 而置。= i v l ，v 2 ，v 。】 ( 2 2 3 ) 则为以上述m 个r t 维矢量作为基底在n 维空间中展成的m 维子空间。利用向子空间 投影的概念可求上述方程( 2 21 ) 的近似解。设x ( 郴表示利用子空间投影的近似解， 此时可将求解方程改写为： x ( ”) k 。 ( a x ”- b ) 上v ；j = l ，2 ，肌 ( 2 2 4 ) 令x ”= y 1 ( 2 2 5 ) 式中y ( “为一个m 维矢量，则可将方程( 2 2 4 ) 改写为： 螺( a v o r 一曰) = 0 ( 2 2 6 ) 或蝶a v , , y = 嵋b ( 2 2 7 ) 如果解得y ( ，可立即求出x ( ，因此原穆维线性方程组的求解通过向m 维予 空间浃射( 或交换) 后，等效为降阶的拼维线性方程组的求解，由于遁常研( ( j 2 ， 第1 4 页 故子空间映射方法可在相当程度上简化大型线性方程组的近似求解。 在后面一节中要具体涉及用k r y l o v 子空间解决电路系统的阶数缩减问题，此时 可以将复杂系统网络函数展开为部分分式问题变成一个系数矩阵的特征值问题。而 k r y l o v 子空间可将一个很大维数矩阵的特征值问题近似等效为一个相对低阶矩阵 的特征值问题。在数学上的基本表示形式为 爿屹= c 式中a r “，月”，c 月一。 而k 。= s p a n ( v 1 ，v 2 ，v 。) 为由l 的m 个矢量为正交基底张成的子空间。 ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 j 式( 2 2 8 ) 表示较低阶矩阵c 为由较高阶矩阵a 向子空间晨_ 埘的跌射，也可称 为矩阵的压缩，设c 的特征值为a ，特征矢量为m 维矢量y ，则有： c y = 勿 ( 2 2 ，1 0 ) 以左乘上式则有 l = 五k y 或a 0 0 y ) = 五( y ) ( 2 2 1 1 ) 上式表明对矩阵a ，具有和c 相同的特征值和相关的特征矢量。 但数学理论和推演说明：并非在任意情况下以上的映射关系均能满足，其中对 矩阵a 和c 的形式以至对予空间形式都有一定的要求，其中子空间形式必须为： k 。= s p a n ( b ，a b ，a 2 b ，a “扫) ( 2 2 1 2 ) 其中b 为任意矢量，具有以上形式即称为k r y l o v 子空间。 有关k r y l o v 子空间的映射方法，此处着重介绍a m o l d i 和l a n c z o s 方法。 2 2 1 1a r n o l d i 方法 首先介绍广义h e s s e n b e r g 方法，它是一种化一般矩阵为压缩型的矩阵特征值算 法，其基本思想为： 给定一组线性无关的矢量v 。，v ：，v 。r 4 ，它们为矩阵y 的列矢量，从任意矢 量v ，开始，实旌类似的旃密特正交化的迭代过程： 忌，“v ，+ 1 = a v ，- y h i ，v t ( 2 _ 2 ，1 3 ) 第1 5 页 超大规模集成电路中参数变化的互连线分析方法 硕士论文 其中h i ，为h e s s e n b e r g 矩阵的元素，可由以下内积决定： 。h i ，= ( a v t ，v f ) ( 2 2 1 4 ) 而。为一个规整化因子。式( 2 2 1 3 ) 的递归过程一直进行至= n ，形成了一组 k r y l o v 矢量【y 。v 。，v 。 ，则满足下列矩阵方程 h 。啊：啊，啊。 k 2 h 2 2h 2 3 h 2 。 a i r l ，v 2 ，v 。】_ v 1 ，v 2 ，v 。】| 0 k 3k i ： ： 0- 一0 k 。h 。 即a v = v h 式中耳即为上三角h e s s e n b e r g 矩阵。 a m o l d i 方法即为上述广义h e s s e n b e r g 方法的推广， 件： ( 2 2 1 5 ) ( 2 2 1 6 ) 令矩阵y 满足以下正交条 v r v ：1 ( 2 2 1 7 ) 式中1 为单位矩阵，而v 为正交矩阵。 按式( 2 2 1 3 ) 1 递推计算过程中，如果在第q 步( q 则 w ”h 。丁一 ，+ l ，j 否则停机 ( 2 2 2 1 ) ( 2 2 2 2 ) 第1 7 页 超大规模集成电路中参数变化的互连线分析方法 硕士论文 经过口步a m o l d i 过程后，得到列矢量矩阵ke 尺”以及压缩后的上h e s s e n b e r g 矩阵日。r “，这些矩阵满足 a k = 日目+ h q + l , q 【o 0 ，v q + l 】 上式右边第2 项数值很小，基本上可以忽略， 2 1 1 2l a n c z o s 方法 如果有q + 1 个线性无关列矢量族 v 。，v ：， 为双重正交，即 ，i 万，如j = k w ；”t 2 t o 。如j 女 则有 a k = k + o 一0 ，v p p 州 a w 。= k + 【o ，o 一，w 。+ 。 玎。“ 这里k = v 1 ，v 2 ，v 口 比= w i ，w 2 ，w 日 l = 瓦= 啦尾 p 2 叱 0 p 3 _ _ o一 刁2 0 r 3 o 0 屈 0 0 扎 。 0 0 ； 0 _ b 。 o ： 0 仉 矩阵和间则满足以下关系 第1 8 页 ( 2 2 2 3 ) 因此达到矩阵的压缩。 v g ，v 目+ 1 】及 w l ，w 2 ，w q ，w q + 1 ，它们 ( 2 2 2 4 ) ( 2 2 2 5 ) ( 2 2 2 6 ) ( 2 2 2 7 ) ( 2 2 2 8 ) ( 2 2 2 9 ) ( 2 2 3 0 ) m ” p ( 叫= h， 卫堕莲錾丕兰堡主笙奎一 墼盔望堡塞壁垒壁主窒垡至垄垡坌堑 = d q 巧1 ( 2 2 3 1 ) 而珐= 盱k - - d i a g ( 8 ，谚，吒)( 2 2 3 2 ) 一般而言，式( 2 2 2 5 ) 、( 2 2 2 6 ) 右边后项可忽略，故可认为矩阵l 为矩阵a 的压缩矩阵，尊为矩阵a 的( q x q ) 阶最佳近似。如果由矢量族 v ，v ：，v 。，v 州 及 【w 1 ，w 2 ，k ，w 州 为基底张成以下k r y l o v 子空间： 置口( a ，v 1 ) = s p a n ( v l ，a v 】，a z v l ，a 2 v 1 ) ( 2 2 3 3 ) 置口( w 1 ，a r ) = s p a n ( w 1 ，a 7 w i ，( ) 州w 1 ) ( 2 2 3 4 ) 而矩阵瓦则为矩阵a 在以上两个相互正交的k r y l o v 子空间的斜投影。 2 , 2 2 利用k r y l o v 子空间变换进行系统阶数缩减 以上简单介绍了k r y l o v 子空间变换的原理及其两种基本方法，通过子空间的变 换或映射，将一个阶数较高矩阵的特征值问题等效为个压缩后矩阵的特征值问 题，本节中将叙述如何将其实际应用于电路系统的阶数缩减。 在本节中考虑由集中参数元件构成的线性系统，将频域的集中参数m n a 方程 写成： s c x = 一g x + 6 u( 2 2 3 5 ) l ，= 2 7 x ( 2 2 3 6 ) 式中y 为输出变量矩阵，u 为激励波形的拉氏变换，b 和2 为决定连接关系的矩阵， 对单个输入单个输出系统，b 和强旮为单位非零元素选择列矩阵，仅有一个元素为1 ， 其余为零。 定义传输函数日( s ) = 器罟，则由以上两式可得日( s ) 为： h ( s ) = f ( g + s c ) 一1 b ( 2 2 3 7 ) 如果为复平面上任意点，如果矩阵( 6 + j c ) 为非奇异矩阵，则可将j 。作为级 数展开点，如令j = s o + s ，且令 a = ( g + s o c ) 。1c ( 2 2 3 8 ) 第1 9 页 超大规模集成电路中参数变化的互连线分析方法硕士论文 ，= ( g + s o c ) 。b ( 2 2 3 9 ) 则 日( s 。+ ) = 1 7 ( g + s o c + j c ) 一1 ( g + s oc ) r ( 2 2 3 9 ) = l r ( g + j o c ) 一1 ( g + s o c + s c ) ) 一1r = l t ( ，一，a ) 一r 如设矩阵a 可以对角化，可得 a = s - 1 a s = d i a g ( a ，丑，乃) 贝01 一s a = s ( 1 一一a ) 。1 s 。 ( 2 2 4 0 ) ( 1 一s a ) = s s ( 1 一一a ) 】= s ( 1 一a ) - 1 s _ 1 故式( 2 2 3