求数列的递推公式.doc

已知一个数列的递推公式、如何求解它的通项公式。悬赏分：0 - 解决时间：2009-8-22 17:25 提问者： 574128385 - 试用期 二级 最佳答案检举 公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法等等。 类型一归纳猜想证明 由数列的递推公式可写出数列的前几项，再由前几项总结出规律，猜想出数列的一个通项公式，最后用数学归纳法证明 类型二“逐差法”和“积商法” (1)当数列的递推公式可以化为an+1-an=f(n)时，取n=1,2,3,n-1，得n-1个式子： a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),an-an-1=f(n-1)， 且f(1)+f(2)+f(n-1)可求得时，两边累加得通项an，此法称为“逐差法” (2)当数列的递推公式可以化为an+1/an=f(n)时，令n=1,2,3,n-1,得n-1个式子，即 a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),an/an-1=f(n1)，且f(1)f(2)f(3)f(n-1)可求得时，两边连乘可求出an，此法称为“积商法” 类型三构造法 递推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不为零的常数)，可用待定系数法构造一个新的等比数列求解 类型四可转化为类型三求通项 (1)“对数法”转化为类型三 递推式为an+1=qank(q0,k0且k1,a10)，两边取常用对数，得lgan+1=klgan+lgq，令lgan=bn，则有bn+1=kbn+lgq，转化为类型三 (2)“倒数法”转化为类型三 递推式为商的形式：an+1=(pan+b)/(qan+c)(an0，pq0,pcqb) 若b=0，得an+1=pan/(qan+c)因为an0，所以两边取倒数得1/an+1=q/p+c/pan,令bn=1/an,则bn+1=(c/p)bn+q/p，转化为类型三 若b0，设an+1+x=y(an+x)/qan+c，与已知递推式比较求得x、y，令bn=an+x，得bn+1=ybn/qan+c，转化为b=0的情况 类型五递推式为an+1/an=qn/n+k(q0,kN) 可先将等式(n+k)an+1=qnan两边同乘以(n+k-1)(n+k-2)(n+1)，得(n+k)(n+k-1)(n+k-2)(n+1)an+1=q(n+k-1)(n+k-2)(n+1)nan，令bn=(n+k-1)(n+k-2)(n+1)nan,则bn+1=(n+k)(n+k-1)(n+k-2)(n+1)an+1 从而bn+1=qbn，因此数列bn是公比为q，首项为b1=k(k-1)(k-2)21a1=k!a1的等比数列，进而可求得an 总之，由数列的递推公式求通项公式的问题比较复杂，不可能一一论及，但只要我们抓住递推数列的递推关系，分析结构特征，善于合理变形，就能找到解决问题的有效途径类型一归纳猜想证明 由数列的递推公式可写出数列的前几项，再由前几项总结出规律，猜想出数列的一个通项公式，最后用数学归纳法证明 例1设数列an是首项为1的正项数列，且(n+1)a2n+1-nan2+an+1an=0(n=1,2,3,)，则它的通项公式是an=_(2000年全国数学卷第15题) 解：将(n+1)a2n+1-nan2+an+1an=0(n=1,2,3,)分解因式得(an+1+an)(n+1)an+1-nan=0由于an0，故(n+1)an+1=nan，即an+1=n/(n+1)an因此a2=(1/2)a1=(1/2)，a3=(2/3)a2=(1/3),猜想an=(1/n),可由数学归纳法证明之，证明过程略 类型二“逐差法”和“积商法” (1)当数列的递推公式可以化为an+1-an=f(n)时，取n=1,2,3,n-1，得n-1个式子： a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),an-an-1=f(n-1)， 且f(1)+f(2)+f(n-1)可求得时，两边累加得通项an，此法称为“逐差法” 例2已知数列an满足a1=1,an=3n-1+an-1(n2),证明：an=(3n-1)/2 (2003年全国数学卷文科第19题) 证明：由已知得an-an-1=3n-1，故 an=(an-an-1)+(an-1an-2)+(a2-a1)+a1=3n-1+3n-2+3+1=3n-1/2 所以得证 (2)当数列的递推公式可以化为an+1/an=f(n)时，令n=1,2,3,n-1,得n-1个式子，即 a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),an/an-1=f(n1)，且f(1)f(2)f(3)f(n-1)可求得时，两边连乘可求出an，此法称为“积商法” 例3(同例1)(2000年全国数学卷第15题) 另解：将(n+1)a2n+1-nan2an+1an=0(n=1,2,3,)化简，得(n+1)an+1=nan，即 an+1/an=n/(n+1) 故an=an/an-1an-1/an-2an-2/an-3a2/a1=n-1/nn-2/n-1n-3/n-2 1/2=1/n 类型三构造法 递推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不为零的常数)，可用待定系数法构造一个新的等比数列求解 例4(同例2)(2003年全国数学卷文科第19题) 另解：由an=3n-1+an-1得3an/3n=an-1/3n-1+1 令bnan/3n，则有 bn=1/3bn-1+1/3 (*) 设bn+x=1/3(bn-1+x)，则bn=1/3bn-1+1/3x-x，与(*)式比较，得x=-1/2，所以bn-1/2=1/3(bn-1-1/2)因此数列bn-1/2是首项为b1-1=a1/3=-1/6，公比为1/3的等比数列，所以bn-1/2=-1/6(1/3)n-1，即an/3n-1/2=-1/6(1/3)n-1故an=3n1/2-1/6(1/3)n-1=3n-1/2 例5数列an中，a1=1,an+1=4an+3n+1，求an 解：令an+1+(n+1)x+y=4(an+nx+y)，则 an+1=4an+3nx+3y-x,与已知an+1=4an+3n+1比较，得 3x=3， 所以 x=1, 3y-x=1， y=(2/3)故数列an+n+(2/3)是首项为a1+1+(2/3)=(8/3)，公比为4的等比数列，因此an+n+(2/3)=(8/3)4n-1,即 an=(8/3)4n-1-n-(2/3) 另解：由已知可得当n2时，an=4an-1+3(n-1)+1，与已知关系式作差，有an+1-an=4(an-an-1)+3，即an+1-an+1=4(an-an-1+1)，因此数列an+1-an+1是首项为a2-a1+1=8-1+1=8，公比为4的等比数列，然后可用“逐差法”求得其通项an=(8/3)4n-1-n-(2/3) 类型四可转化为 类型三求通项 (1)“对数法”转化为 类型三 递推式为an+1=qank(q0,k0且k1,a10)，两边取常用对数，得lgan+1=klgan+lgq，令lgan=bn，则有bn+1=kbn+lgq，转化为 类型三 例6已知数列an中，a1=2,an+1=an2，求an 解：由an+1=an20，两边取对数得lgan+1=2lgan令bn=lgan则bn+1=2bn因此数列bn是首项为b1=lga1=lg2，公比为2的等比数列，故bn=2n-1lg2=lg22n-1，即an=22n-1 (2)“倒数法”转化为 类型三 递推式为商的形式：an+1=(pan+b)/(qan+c)(an0，pq0,pcqb) 若b=0，得an+1=pan/(qan+c)因为an0，所以两边取倒数得1/an+1=q/p+c/pan,令bn=1/an,则bn+1=(c/p)bn+q/p，转化为 类型三 若b0，设an+1+x=y(an+x)/qan+c，与已知递推式比较求得x、y，令bn=an+x，得bn+1=ybn/qan+c，转化为b=0的情况 例7在数列an中，已知a1=2,an+1=(3an+1)/(an+3)，求通项an 解：设an+1+x=y(an+x)/an+3，则an+1=(y-x)an+(y-3)x/an+3，结合已知递推式得 y-x=3, 所以 x=1, y-3=1， y=4，则有an+1+1=4(an+1)/an+3，令bn=an+1，则bn+1=4bn/bn+2，求倒数得1/bn+1=1/21/bn+1/4，即1/bn+1-1/2=1/2(1/bn-1/2) 因此数列1/bn-1/2是首项为1/b1-1/2=1/a1+1-1/2=-1/6，公比为1/2的等比数列 故1/bn-1/2=(-1/6)(1/2)n-1，从而可求得an 类型五递推式为an+1/an=qn/n+k(q0,kN) 可先将等式(n+k)an+1=qnan两边同乘以(n+k-1)(n+k-2)(n+1)，得(n+k)(n+k-1)(n+k-2)(n+1)an+1=q(n+k-1)(n+k-2)(n+1)nan，令bn=(n+k-1)(n+k-2)(n+1)nan,则bn+1=(n+k)(n+k-1)(n+k-2)(n+1)an+1 从而bn+1=qbn，因此数列bn是公比为q，首项为b1=k(k-1)(k-2)21a1=k!a1的等比数列，进而可求得an 例8(同例1)(2000年全国数学