（地质工程专业论文）基桩低应变动测空间三维问题的理论研究.pdf

基桩低应变动测空间三维问题的理论研究 摘要 在工程实践中，桩身是空间三维物体，其桩身材料性质，桩身缺陷以及桩周 土性质和激振力位置都不可能完全呈轴对称分布。为了更好的模拟实际动测情 况，并为实测结果的解释提供更为可靠的理论依据，文章中建立了空间三维坐标 系下桩土系统瞬态振动的三维计算模型，得到了桩土系统振动的三维定解问题， 并用交错网格有限差分法得出定界问题的数值解，可实现对基桩低应交动测的三 维模拟正演计算。通过计算分析，探讨了非轴对称缩径缺陷的深度、大小以及激 振力位置和桩长等因素对非轴对称缩径缺陷桩桩顶轴向动力响应的影响，并对实 际动测工作提出了相应建议。同时，通过理论计算与实测结果的对比，对文中的 算法和结论进行了比较和证实，证明了理论结果的正确性。 关键词：基桩动测三维模型交错网格有限差分法非轴对称缩径缺陷桩 t h e o r e t i c a ls t u d yo ns p a c et h r e e d i m e n s i o n a lp r o b l e mf o rl o w s t r a i nd y n a m i c t e s t i n go fp i l e a b s t r a c t a p i l ei ss p a c et h r e e - d i m e n s i o n a l ( 3 d ) o b j e c ti ne n g i n e e r i n gp r a c t i c e ，t h em a t e r i a l p r o p e r t ya n dt h ed e f i c i e n c yo fp i l e ，t h ep r o p e r t yo fs o i la n dt h el o c a t i o no fi m p u l s ea l e i n c o m p l e t e l ya x i s y m m e t r i c i no r d e rt o s i m u l a t et h es i t u a t i o no fd y n a m i ct e s t i n g b e t t e ra n dp r o v i d em o r ed e p e n d a b l et h e o r e t i c a lb a s i sf o rt h ee x p l a n a t i o no ft e s t i n g r e s u l t s ，t h e3 dc a l c u l a t i o nm o d e l i n go ft r a n s i e n tv i b r a t i o no fp i l e s o i ls y s t e mi ss e tu p i n3 dc o o r d i n a t e t h en u m e r i c a ls o l u t i o no fv i b r a t i o no f p i l e - s o i ls y s t e mi sw o r k e ro u t b yf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o do fs t a g g e r e d 鲥da n d3 ds i m u l a t i v ef o r w a r dm o d e l i n g c o m p u t a t i o nf o rd y n a m i ct e s t i n go fp i l ec a nb ec a r r i e do u tb yu s i n gt h i sm e t h o d t h r o u g hc o m p u t a t i o na n da n a l y s i s ，t h ee f f e c t so nl o n g i t u d i n a ld y n a m i cr e s p o n s eo nt h et o p o fn o n a x i s y m m e t r i cn e c k i n g p i l e ，w h i c hc a u s e db yt h ed e p t ha n dt h ee x t e n to f n o n a x i s y m m e t r i cn e c k i n gd e f i c i e n c y ，t h el o c a t i o no fi m p u l s ea n dp i l e sl e n g t h ，i s d i s c u s s e d ，a n dp r o v i d er e l e v a n ts u g g e s t i o n sf o rd y n a m i ct e s t i n g m e a n w h i l e ，t h e t h e o r e t i c a lc o n c l u s i o n s c o r r e c t n e s si sp r o v e db yt h ec o m p a r i s o no ft h e o r e t i c a l c a l c u l a t i o nw i t hf i e l dv e l o c i t yc u r v e k e yw o r d s ：d y n a m i ct e s t i n go fp i l e t h r e e - d i m e n s i o n a lm o d e l i n g f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o do fs t a g g e r e dg r i d n o n a x i s y m m e t r i cn e c k i n gp i l e 图表清单 图2 1 柱坐标系下微元体示意图6 图2 2 直角坐标系下微元体示意图7 图2 3 桩土系统计算区域示意图8 图2 4 柱坐标系下桩土系统微元体采样示意图1 0 图2 5y - z 平面上桩侧自由面处聊的单元示意图1 2 图2 6r - z 平面上不同材料界面的等效参数示意图1 4 图3 1 完整桩过桩身纵轴的纵截面上的速度波场图1 7 图3 2 三维模型与一维模型计算所得桩项速度时域曲线的比较1 8 图3 3 非轴对称缩径桩缺陷处横截面与桩顶采样位置示意图1 9 图3 4 不同深度的非轴对称缩径缺陷桩的桩项轴向动力响应2 1 图3 5 不同缩径程度条件下浅部非轴对称缩径桩的桩顶轴向动力响应2 3 图3 6 桩顶激振力作用位置示意图2 4 图3 7 激振力不同位置对桩顶一点轴向动力响应的影响2 6 图3 8 非轴对称激振力与轴对称激振力对桩顶不同点轴向动力响应的影响2 8 图3 9 不同长度非轴对称缩径缺陷桩的桩顶轴向动力响应3 0 图4 1 完整桩理论计算速度曲线与实测速度曲线对比图3 3 图4 2 非轴对称缩径缺陷桩理论计算速度曲线与实测速度曲线对比图3 4 表3 - 1 不同桩长及缺陷位置条件下桩身纵波平均波速3 1 p 、p s , p s b y 、屹、 e v s 、v s b 九、p i f o h 6 、t o o 、t z ： 砭、 砖、v 0 、v z 符号与单位清单 桩长，m 桩身半径，m 桩身材料密度、桩周土密度、桩底土密度，k g m 3 桩身泊松比、桩周土泊松比、桩底土泊松比，无量纲 桩身弹性模量，n m 2 桩周土剪切波速、桩底土剪切波速，m s 拉梅系数，无量纲 激振力冲量，n s 激振力脉冲宽度，m s 平移算子 差分算子 径向、环向和轴向正应力，k p a 剪应力，k p a 质点振动的径向速度、环向速度和轴向速度，m s 缺陷处桩身波阻抗与桩身完好处波阻抗之比，无量纲 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 盒蟹工些态堂 或其他 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者虢段军 签字日期：必甜年弓月多日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金月巴三些盔堂有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文 被查阅和借阅。本人授权金魍工些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编 学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名殷旱 签字日期乒卅年与月对日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 朗、甲 签字日期：z , 积m 3 月2 蛐 电话： 邮编： 致谢 首先要衷心感谢我的导师刘东甲老师! 在攻读硕士阶段，无论在学习还是 生活方面，刘老师都给予了我莫大的关心和帮助! 刘老师治学严谨，在学习和 科研上，他对我们严格要求，一丝不苟，教导我们追求真理，实事求是；在生活 上，又如同慈父一般给予我们无尽的关爱和照顾，帮助我们解决了很多生活中 的困难。本次论文历时较长，其间遇到了许多难题和挫折，论文的最终完成是 和刘老师的指导和鼓励分不开的，刘老师总是孜孜不倦，言传身教，每一次进 步都渗透着他辛劳的汗水! 刘老师高深的理论造诣，丰富的学术成果以及高尚 的道德品质都令我钦佩，同时也深深地影响着我，使我受益终身! 执此机会， 我谨向恩师致以最崇高地敬意和最衷心地祝福! 衷心感谢安徽省高速公路试验检测科研中心主任胡钢高级工程师给予我 的殷切关怀；感谢安徽建筑工业学院岩土勘察研究院李永扬院长给我提供了宝 贵的实习机会；感谢李永柳工程师、孙佳工程师在实习期间的照顾。 感谢师兄柯宅邦、陈安国、廖旭涛，他们的指点和帮助使我获益良多；感 谢师弟荆韦庄无私地提供个人电脑给我，使得大量的程序数值计算得以实现： 感谢师弟周满兵，师妹奚亚男、龙丽丽；特别感谢研究生同学程晓东，由于他 的帮助，使我解决了不少实际困难，他出色的个人能力和无私助人的品质是我 学习的榜样。感谢同学及好友马海春、刘刚、陈瑞、金诚、杨剑兰、冯益权、 徐文、许士娟，研究生学习期间同样也得到了他们的关心和帮助。 在研究生学习期间，还得到了资环学院岩土系各位老师的关心和帮助，在 此一并表示深深的谢意! 最后要由衷感谢我的父母，他们使我可以无忧无虑全身心地投入到学习中 去，在他们的鼓励和安慰下我才能度过每一个难关，他们是我前进的精神支柱! 致谢人：段军 2 0 0 8 年3 月4 日 1 1 前言 第一章概述 桩基础是历史悠久、应用广泛的一种基础形式，其力学原理简单，具有承载 力大、稳定性好、沉降量小及施工方便等特点。随着机械设备和施工技术不断得 到改进与发展，产生了各种新桩型和新工法，使得桩基础的应用领域也不断拓宽； 尤其在复杂地质条件和环境条件下，桩基技术更是蓬勃发展。目前，桩基础已经 成为高层建筑、大型桥梁、深水码头和海上石油平台等采用的主要基础形式，它 通过桩的形式充分发挥了深部地基土层的承载能力，能较好地适应各种地质条 件，能满足各种不同荷载的要求，因此被广泛应用于工程建设实践中。 桩基础属于地下隐蔽工程，其施工质量是否满足要求需要通过各种测试手段 来验证，其中桩的动测技术因具有费用低、测试周期短、设备轻便灵活等优点被 广泛重视和普遍应用。基桩的动力测试方法，根据作用在桩顶上的能量是否使桩 土之间产生塑性位移，可分为低应变和高应变两类。高应变方法主要包括锤击贯 入试桩法、波动方程法和静动法；低应变法有机械阻抗法、反射波法、动力参数 法和水电效应法等。目前应用最广的动测方法是利用高应变波动方程法测试基桩 的承载力，利用低应变反射波法检测基桩的完整性。 测定桩在受纵向瞬态激振力作用下桩顶的速度时域曲线是目前判定桩身完 整性的最常用和最准确的方法。目前最普遍的方法是采用低应变反射波法测定桩 顶的速度时域曲线，在这种方法的传统理论中是假设桩身为一维线弹性杆件，这 种理论只有在桩的长径比较大的情况下才较为适用；然而随着我国现代化进程的 加快和基础设施的大建设，工程实践中大直径桩的应用越来越多，尤其在高速公 路网和铁路网的建设中，桩径在1 5 m 、1 8 m 甚至是2 m 以上的大直径桥梁桩被广 泛的采用；在这种情况下，单纯地将桩身假设为一维线弹性杆件的理论已经不能 完全模拟桩身的实际情况，在工程实测中也越来越表现出缺陷性，这就为桩身的 完整性检测工作提出了新的更高的理论要求。本论文就是研究弹性应力波在桩中 传播的三维问题，通过建立更加符合实际情况的三维数值计算模型，计算并分析 在三维情况下弹性应力波在桩中的传播特性，完善桩身完整性检测工作的理论基 础，可为工程实测中一些常见问题提供更加合理的解释和解决方法，具有一定的 工程实践意义。 1 2 本论文研究内容在国内外的发展研究现状 上世纪8 0 年代以来，反射波法在国内外迅速普及，已成为基桩完整性检测 的重要方法。伴随着它在工程实践中的应用，应力波在桩中传播的理论和应用研 究，也已成为国内外学者研究的热点和前沿问题之一。国内的研究者在研究基桩 的纵向振动及其工程应用时，常用的方法是将桩周土用分布的彼此相互独立的弹 簧和粘壶等效表示，将桩看作一维杆件，通过解特定条件下的波动方程，得到应 力波在桩中传播的理论结果。这些研究成果发展了低应变法在动力测桩中的应 用。 国内，王靖涛在国外理论成果的基础上创立了w a n g - p i p 法用来反演分析一 维波动方程的桩系数，通过反演计算缺陷处波阻抗的变化来分析桩的完整性【l 刁】。 柴华友用特征线法计算桩顶速度理论值，由p o w e l l 法反演桩身波阻抗，并探讨 了土阻尼的影响【4 5 】。雷林源【6 。8 】应用分离变量法求出了均匀土中有限长完整桩的 瞬态纵向振动响应，分析讨论了桩的瞬态动测响应的五个基本特性，为动力测桩 的参数估计( 反演) 提供了较严格的理论依据。他还系统地研究了均匀土中完整 桩的瞬态或稳态纵向振动正反演问题。在求解波动方程方面，王奎华等采用分离 变量法研究了均匀土中完整桩的纵向振动，他用弹性支承来模拟桩底土对桩的作 用，求得了桩顶受稳态半正弦激振条件下桩纵向振动的解析解，并用叠加法推出 桩的瞬态振动解，分析了桩侧土阻尼因子、刚度因子、桩底土刚度因子等因素对 桩顶速度响应的影响【9 】。王宏志等利用积分变换法得到了桩周土沿竖向不均匀， 桩身材料均匀、截面可变的桩的瞬态振动半解析解，并研究了激振力持续时间和 变截面程度对桩顶速度时域响应的影响 1 m 1 1 】。刘东甲利用l a p l a c e 变换及矩阵理 论解析地求得瞬态激振力作用下多缺陷桩在不均匀( 层状) 土中振动的桩顶速度 传递函数，进而得到桩项速度频响函数( 速度导纳) 、桩顶速度频谱函数和时域表 达式，并提出采用单因素分析法解释较复杂的导纳曲线；他还严密地推导出纵向 振动桩侧壁切应力的表达式，提出了桩周土的等效参数 1 2 。4 1 。刘东甲等还研究了 缺陷长短对常用的峰一峰点反演精度的影响【1 5 1 ；研究了断桩【1 6 】和嵌岩桩【1 1 7 】的低应 变动测曲线特征。随着桩中纵波的理论与应用研究越来越深入，人们也发现用纵 波进行动力测桩具有局限性 15 r 愆，于是研究者们开展了利用扭转波进行基桩 动测的研究，这些成果 2 1 - 2 2 】丰富了应力波理论，为实践工作提供了理论依据。近 两年来，研究者对桩的纵向振动热情不减，充分考虑到桩周土、以及桩身材料的 各种本构关系对桩项动力响应的影响，得到了一系列有意义的结论【2 孓2 4 。 相对而言，国外开展桩土动力学的研究更早，他们的一些成果对国内研究者 产生了较大的影响。其中k o t e nhv a n 等人假设桩是半无限长的等截面均质杆、 桩侧土是均匀的，应用弹簧和粘壶组合模拟桩侧土对桩的作用。应用坐标变换和 黎曼函数得到在桩项纵向激振力作用下桩瞬态振动解析表达式【25 | 。桩底土对桩 2 的作用也可以用弹簧和粘壶等效表示，等效参数使用了l y s m e r 2 6 】的成果。n o v a k 研究了桩在简谐激振力作用下的稳态振动问题【z7 | ，他还研究了均匀粘弹性土对 作简谐振动的无限长刚性圆杆的作用，得到了桩侧土对桩振动影响的表达式【2 引。 m i l i t a n o 采用积分变换的方法研究了完整桩在瞬态轴向激振力作用下的动力响应 【2 9 】。此外，r a u s c h e 的研究成果【3 0 】对国内研究者研究桩中应力波问题也有较大的 影响。 上述大部分理论研究都是建立在“桩是一维杆 的假设基础上的，当桩的长 径比较大时，一维理论的假设基本可以满足。但随着工程技术的发展以及工程建 设的需要，大直径桩的应用越来越广，此时将桩当作一维杆件有时有较大的偏差， 因此有必要考虑桩是三维弹性体这一个更符合实际的假设，在这方面已有一些利 用有限元计算得到的结果。赵振东等 3 l 】用有限元法研究了激振力形式和桩身缺 陷对桩中应力波的影响。陈凡等人 3 二”】用有限元法研究了尺寸效应对基桩低应变 动测的影响。此外，刘孝敏等人【3 4 】、柴华友等人【3 5 】用动态有限元法对应力波在桩 中传播特性进行二维数值分析。黎正根探讨了低应变动测时波在桩中传播的弥散 效应及横向惯性效应，并通过实测曲线说明了大直径桩中三维效应的影响【3 6 】。 国外，y k c h o w 了7 】等也利用有限元计算并探讨了低应变测桩时的三维效应。此 外还有很多工程人员从实践结果上探讨了大直径桩实测结果和现有理论的偏差。 弹性应力波在桩中传播的弥散效应、横向惯性效应及三维效应等都对实测曲 线产生干扰，对桩身完整性判断的准确性产生影响；但由于应力波在三维空间中 传播特性的复杂性，要找到定解问题的解析解非常困难，因此采用适合各种条件 的数值计算方法是解决和分析问题的首选途径。国内在这方面最新的研究成果是 柯宅邦、刘东甲【3 8 ”】采用交错网格有限差分法计算了基桩低应变动测二维轴对 称问题，他们在假设桩身材料性质、桩身缺陷及桩顶激振力沿桩身纵轴呈轴对称 分布，桩周土沿轴向和径向不均匀的情况下，比较系统地分析了三维效应的来源 及影响因素，并讨论了波在桩中传播的波速问题及其对实测曲线反演结果的影 响，得出传感器放在桩项距桩心0 5 5 倍半径处可以得到干扰较小的信号、三维 效应和横向惯性效应会使桩中波速减小、桩周土性质对波速影响不大的结论。他 们的工作对弹性应力波在桩中传播的三维问题的研究具有较强的发展和借鉴意 义。 如上所述，对于弹性应力波在桩中传播的三维问题，虽然有人采用有限元法 进行了计算，但由于有限元法网格划分较粗且计算量较大，计算精度相对较低， 对于复杂的三维问题很难得到理想的结果；同时柯宅邦等虽然采用网格划分更 细，计算精度相对更高的交错网格有限差分法得到二维轴对称问题的数值解，但 是实际工程中，桩身是空间三维物体，其桩身材料性质，桩身缺陷以及桩周土性 质和激振力都不可能完全呈轴对称分布，所以采用交错网格有限差分的数值计算 方法计算在更符合实际的复杂条件下弹性应力波在桩中的传播的三维问题是有 必要也是完全有可能的。 1 3 本文的主要工作 基于柯宅邦、刘东甲对轴对称条件下桩土系统动力问题的数值解答，本文主 要做了以下工作： ( 1 ) 提出了空间三维坐标系下桩土系统受瞬态轴向激振力作用的振动定解问题； ( 2 ) 编制了相应的模拟计算程序，利用交错网格有限差分法实现了该定解问题的 数值解答； ( 3 ) 得到了桩身质点横向和竖向振动的速度波场图； ( 4 ) 给定计算参数，对三维坐标系下桩项一点的轴向动力响应进行了计算，探讨 并分析了非轴对称缩径缺陷的位置、大小以及激振力位置和桩长等因素对非 轴对称缩径缺陷桩桩顶轴向动力响应的影响，对实际动测工作提出了相应建 议： ( 5 ) 根据典型实测曲线，对本文的算法和结论进行了比较和证实。 4 第二章基桩低应变动测空间三维问题的理论基础 2 1 定解问题的提出 2 1 1 基本波动方程 假设：半径为，桩长为z 的桩嵌入在半无限土中，桩土界面连续不分离。 当桩项受轴向冲击力作用时，对柱坐标系下微元体( 图2 1 ) 进行受力分析，由 ， 图2 1 柱坐标系下微元体示意图 弹性理论可得柱坐标系下的平衡方程如下： p 鲁= 等+ 等+ 蔫+ 誓一等 专= 蔫+ 等+ 等+ 警+ 等 专= 誓+ 蔫+ 等+ 等 ( 2 1 ) 其中：p 表示材料质量密度；凯、屹分别表示质点振动的径向速度、环 向速度和轴向速度；易、正：分别表示径向、环向和轴向正应力；砭、 表示剪应力。 根据反映应变一位移关系的几何方程，将其两端同时对f 求一阶导数，可得 到反映应变一速度关系的几何方程，如下： a h o v r 一= = a f却 a 易一沁= = 二 碗 a z 监= 兰+ 韭 a fr r o o 监= 韭上韭一 d t r 0 0 o r 监= 韭上堕 m 玉却 监= 韭韭 ( 2 2 ) 上式中，铆、0 0 、分别表示径向、环向和轴向正应变；、跑、啪表示剪 应变。 假设桩和土的材料都是线弹性的，材料的弹性常数用拉梅系数九和p 表示， 并记体积形变娜8 巾：，由虎克定律，可得到反映应力一应变关系的物理方 程： 乙= 勉+ 2 , u e ， = 勉+ 2 乏= 3 a + 2 e = 乙= t e 璧 = e r 口 乃：= 魄 ( 2 3 ) 将式( 2 3 ) 两端同时对f 求一阶导数，并将式( 2 2 ) 代入其中，然后与式 ( 2 1 ) 联立，整理得： 每b t r o ob z b r r 0 0b z ( 2 4 ) 。 ，一i p 鲁= 2 等+ 等+ 蔫+ 警 旺4 ， p 莘：互+ 盟+ 亟+ 堡i a f， 西 l 6 见 警+ 蔫+ 争+ 誓 + 2 等 旯( 誓+ 蔫+ 手+ 警) + 2 ( 蔫+ 争) + 2 挚 o z ( 2 5 ) 以上两式就是柱坐标系下，桩土系统中应力波传播的三维波动方程。 对直角坐标系下微元体( 图2 2 ) 进行受力分析，按照上述相同的方法， z 图2 2 直角坐标系下微元体示意图 可得到直角坐标系下桩土系统中应力波传播的三维波动方程，如下： 7 ( 2 6 ) 一一 竖m l l 盈斑 弛i + 、1 山， 上r 著荆寺立r 十 + ， 一 争沁f m丽、饥一一 一一、r“l厂飞 “ 眈百暖百冯百暖百 强芘翌芘 竖砂竖孤 暖i 一砂 毗瓦吨百 蔓砂 + 竖叔 + 堕如 = 玑百 p p p 等= 名( 豢+ 鲁+ 誓 + 2 誓 鲁= 名( 豢+ 等+ 誓 + 2 等 等= 名( 豢+ 等+ 誓 + 2 誓 孥= 芸 等= 以誓+ 熹) 孥= 4 誓+ 熹 ( 2 7 ) 上式中，v x 、v r 、屹分别表示x 方向、y 方向、z 方向的质点振动速度；如、 砀、砭分别表示石方向、y 方向、z 方向的正应力；码、表示剪应力；五 和表示材料介质的弹性常数。 2 1 2 边界条件、初始条件与衔接条件 z 图2 3 桩土系统计算区域示意图 图2 3 表示桩土系统的整个计算区域，其中：，、r 分别表示桩长和桩半径； 三、尺分别表示整个计算区域的长度和半径。在计算区域的侧表面和底面满足外 边界条件，为； v rl 脚= l ，：月= v z l ，：r = 0 vi 越= i ：= 屹i ：= 0 在计算区域的顶部满足自由边界条件，为： 砭1 2 ：o = 乙= o ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 而当桩顶受到轴向瞬态激振力以力作用时，设其在作用范围内均匀分布，则桩顶 面的轴向正应力可表示为： 乏驴，p ，z ) l ：o = 一尸( f ) ( 万疗) ( 2 1 1 ) 其中：佝表示p ( 力的作用半径；p ( 力可用如下式的升余弦脉冲删形式来表示： p ( t ) ：肿t s 等t rp 钆卧“ 1 2 ) ) = ol o。 ” ” ( 2 1 0 ，其它 式中，和t o 分别是激振力冲量和作用时间。 初始条件：桩土系统开始处于静止状态，所以计算区域内部各个点处的速度 与应力皆为零。 衔接条件：在小应变假设条件下，桩土界面连续不分离，因此在此界面上， 桩和土单元的法向正应力相等，剪应力相等，位移与速度也相等。 上述波动方程、边界条件、初始条件与衔接条件就构成了桩顶在受到轴向瞬 态激振力作用的情况下的定解问题。 2 2 定解问题的差分方程 2 2 1 网格划分及波动方程的差分离散化 对空间三维坐标系下大直径桩纵向振动的定解方程，采用交错网格有限差分 法进行微分方程的差分离散化。柱坐标系下，微元体上应力与速度的采样位置如 图2 4 所示。 9 r 一易、 o 一如 一 一 、i _ 坼 上叫： 呻0 图2 4 柱坐标系f 桩土糸统微兀体米样不蒽图 根据上图，有：所有正应力分量的采样位置位于微元体的的中心，采样时间为 ( 豫+ 去) 缸，记作弓( ，一+ 圭，只z + 丢) ，此处豇代表、卯和z z ；剪应力分量采 样位置在单元棱边中点，采样时间f ，z + 去1 出，分别记作乙n - w ：- ( r ，0 ，z ) 、 毋( r ，p + 三1 ，z + 匀、( ，+ 丢，p + 丢，z ) ；速度分量采样位置在单元表面中心， 采样时间为 出，分别记作嵋( ，见z + 三) 、嵋( ，+ 互1 ，秒+ 丢，z + 圭) 、彬( ，+ 丢，9 ，z ) 。 材料参数p 、a 、的采样位置与正应力的采样位置相同。 为了使微分方程( 2 4 ) 和( 2 5 ) 差分离散化后的形式简便，定义平移算子 h 和差分算子6 ；对于函数f ( 石) ，如果经过离散后在采样点x = ( & 1 2 ) a x 得到采样值，算子h 和6 分别定义为： h厂：f(1x+12)ax+f(1x-12)ax ( 2 1 3 ) 6 。= f ( l x + 1 2 ) k x 五 - f ( 1 - 一1 2 ) a x 且可用两个采样值的平均值近似采样点之间的函数值，即有： f ( 1 。a t ) ( t ，a x ) = h ：f 于是微分方程( 2 4 ) 、( 2 5 ) 可写成如下具有二阶精度的差分方程： 1 0 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 矿州= + 舡+ 6 r 一嘴i 审i ，妒i 托1 嵋+ 1 = 嵋 + 芳 2 h ，托办+ 吾6 口毒吨番 州+ 淞城咖i 吾6 口番蟪一 l n 卜一 已2 l n + - - 2 1 ”+ _ 乏2 l n + - - 砭2 1 n + - - 2 l , 1 4 - - - 2 + r ( 名+ 2 ) 6 ，彬+ 吾6 p 嵋+ 五h ，v ? + 2 , 5 ；彬 ( 力+ 2 ) ( 吾6 一嵋+ h ，彬) 嘲，v f + 2 8 z j ( 五+ 2 ) 6 ：彬+ 手6 护嵋+ 旯h ，彬 + 缸( 6 ，嵋+ 吾6 口彬一h r 嵋) + r ( 6 ：嵋+ 导6 口) 其稳定收敛条件需满足m 】： c a t l + 2 6 ，彬l j ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 上式中：c 表示应力波在桩中传播的波速：r m i 。表示计算点距离z 轴的最小半径。 同理，按照上述方法可以将空间三维直角坐标系下的微分方程( 2 6 ) 和( 2 7 ) 写成具有二阶精度的差分方程，如下： v x n + ! - - + 钟善q 番 咿钟q 时钟一q l l ( 2 1 9 ) ，l。l 出 & + + 。一2 一2， 。一2 p弓 n *乏 = = = 、l， 泸，疋 + 妒； 配 ，f-l、 出+ 1 2 。砭 i i 一2 ，一2 p = = 咒n + - - 2 = 1 + a t f - ( 旯+ 2 ) 6 ：嵋+ 名6 ，彬+ 力6 ：咒2 = 已2 +l ( 旯+ 2 ) 6 ：嵋+ 名6 y 彬+ 力6 ：l = 墨+ 让( 兄+ 2 ) 6 y 彬+ 舶，嵋+ 筋：彬 气= 1 + f ( 见+ 2 ) 6 ：彬+ 彳6 ，+ 2 8 ，彬 妒= 孛+ a t f l ( 8 。v ：+ 6 ，)2 = 乙2 。v ：+ 6 ，) 砭n + - z = 砭n - - ：+ 弛( 6 ，彬+ 6 ：)砭2 = 砭2 + 弛( 6 ，彬+ 6 ：) 一2 = 孛+ m v ( 。a ，彬+ 6 ：1 ，；)乙= 乙2 + ，彬+ 6 ：彬) ( 2 2 0 ) 其稳定收敛条件需满足： c a r 1 厅两百不万而可 2 ， 2 2 2 自由边界的差分方程 在实际工程中，有时经人工挖掉桩周土使得桩顶向下部分桩身出露于地表， 此时在地表土层以上桩身侧表面为自由面；如果桩是自由的，即桩侧和桩底均无 土，则桩侧和桩底的外表面为自由面；此时在桩侧和桩底满足自由边界条件： 巧l r = r = 砭| ，= ，= l ，= o 乏i ：，= 砭l ：爿= l z ，= o 对于桩侧自由面的边界条件，采用下述方法进行处理：划分网格时，使径 向速度和剪应力在自由侧面上取值，并用角标( e ) 表示，如图2 5 所示。 z ， ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 图2 5 心平面上桩侧自由面处v ，的单元示意图 由于正应力采样点不在自由面上，因此在差分法计算时该点值未知；而在桩侧自 1 2 由面上径向正应力的值可由该点相邻两侧点( 分别用角标( f ) 和俐表示) 的算术 平均值近似表示，其中妒可由差分法计算，而为虚设的。由式( 2 2 2 ) 得： 磅= ( 磷+ 砰) 2 = 0 则有：砂= 一t ，( i ； 另由泰勒公式可以近似表示出桩侧自由面上的环向正应力为： ，r ( 。) 一3 碴一嗜 0 0 一i 一 将上述各式代八式( 2 1 6 ) 甲弟一式，并结合式( 2 2 2 ) ，司得剑： 哆k i ：v l 一告( 譬+ 笔磐) 同理，可得桩底自由面上v z 的近似表达式： 1 ，引= 1 ，川 a t2 t z ( t ) 。芦川+ 1 ) 凸4 。 。忙珂2 v p a z 式中，l 力表示桩底自由面e 侧相邻一点轴向正应力的值。 2 2 、3 桩顶面边界条件的差分方程 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 桩项面为自由边界，由式( 2 1 0 ) 已知桩顶面上剪应力为零。当桩顶受到在 作用范围内均匀分布的轴向瞬态激振力p ( t ) 作用时，由微分方程( 2 5 ) 中第三式 及式( 2 1 1 ) 可得： 鲁= 一面1 了d p ( t ) = 名( 誓+ 蔫+ 争+ 誓) + 2 誓 汜2 6 ， 将上式中后一等式在桩项面处离散，就可以得到任意时刻桩顶一点也的差分方 程。 2 2 4 不均匀介质界面上材料参数的差分格式 在桩土系统中，桩、土的材料参数p 、a 、在径向、环向、轴向方向上均有 可能不同，即在整个计算区域内可能存在不均匀介质的分界面，这时界面处的材 料参数如何确定直接关系到差分格式的收敛性。实践证明：只有保证材料参数的 离散采样点和正应力重合，也即把剪应力的采样点置于界面上时，才可能得到稳 定的解，这时可以采用下述方法来解决介质的不均匀性带来的问题。 。1 - - - 1 - 硝砑。厂，；，；土 竺簦i 蔓冀， l 型2 j z 图2 6 心平面上不同材料界面的等效参数示意图 在如图2 6 所示的差分网格中，径向速度采样点位于两种不同材料的分界面 上，由于界面处力和速度都是连续的，因此有： p 一影。l j i m 三，。r p 。妒纠+ 影。 ( 2 2 7 ) 式中：v ( c 士6 r ) 表示界面处左右紧邻两点的径向速度值；由于在该点处速度连续， 因此有： l i r a9 ：删= l i m9 ；& - - - + o 砌= ( 2 2 8 ) 口r _ u l z 上o ， 将上式代入式( 2 2 7 ) ，就可以得到在不同材料交界面处材料参数的等效计算值 ( 此处p 俐和p 倒分别表示界面左右两侧材料的质量密度) 1 p 。= 妻 p 佃+ p “】 ( 2 2 9 ) z 同理，按照上述相同方法，可得到环向速度、轴向速度采样点位于两种不同 材料的分界面时，材料参数的等效计算式。 由上述可知：计算不同材料交界面处的径向、环向、轴向速度值时，其差分 格式不变( 见式( 2 1 6 ) ) ，只是将该点质量密度用对应等效值表示。 当剪应力采样点处于四种不同材料单元的交点处，利用类似的方法，有： 警j 署讨簪+ 等+ 簪+ 等，眩3 。， 此处( f 6 ) 、 ( i t ) 、( o b ) 和( d 力分别代表采样点四个邻近单元( 见图2 6 ) 。由于剪应 力在该点连续，于是： 2 1 i t 万( + 1 + 1 而+ l l ( 2 3 1 严 曲) ( 打)( 曲) 们 、。j 17 同理可得到，剪应力如、的采样位置位于四种不同材料单元的交点处时， 其材料参数的等效计算值。 对于正应力，由于其采样位置和材料参数的实际采样点一致，而拉梅系数a 和在相应采样单元是均匀不变的，因此计算不均匀介质的正应力的差分格式保 1 4 持不变。 通过上述的处理方法，对于不均匀介质中的波动方程，只需调整对应界面处 的材料参数计算值，而不需要单独考虑界面处的连续条件；且差分格式保持不变， 不仅保持了计算的紧凑性，同时也大大的减少了计算量，提高了计算效率。 2 2 5 奇点的规避 由图2 4 可看出：径向速度诈，剪应力在z 轴( 桩身纵轴) 上分布有采 样点，此时采样点与z 轴的距离r = 0 ；而由微分方程( 2 4 ) 中第一式、( 2 5 ) 中 第五式可知此时将无法计算，即在柱坐标系下，径向速度v r ，剪应力在z 轴 上出现奇点。 当桩身与桩周土的性质、桩身缺陷及激振力沿环向均匀分布时，可得到： t r p i ，= o = 0 ( 2 3 2 ) 同时，根据弹性力学中半空间体在边界上受法向集中力的布希涅斯克解答【4 ， 有： ) = 去l 警一等i 撕一= 笋 熹) 其中：p 表示激振力；尺表示计算采样点与激振力作用点之间的距离；，表示计 算采样点到z 轴的距离；z 表示计算采样点在z 轴方向上的深度。则由上两式可 得到： 1 i m 量丝= 0(233)u 3 3 1 1 m _ = ( 2 于是将式( 2 3 2 ) 、式( 2 3 3 ) 代入式( 2 4 ) 中第一式及( 2 5 ) 中第五式，再将 所得方程离散化，便可得w 、在奇点处的差分离散方程。 上述方法实际上解答的是在空间轴对称条件下桩的振动问题，当桩身与桩周 土的性质以及桩身缺陷沿径向、环向、轴向都不均匀或激振力不为轴对称时，奇 点处的处理较为复杂；大量理论与实践证明当空间网格划分的很小时( 本文中取 计算步长a x = - a y = 0 0 2 m ，a z = 0 0 5 m ) ，空间三维直角坐标系可以用来近似解答 柱坐标系及球坐标系下的问题，而且近似效果比较理想，因此我们采用空间三维 直角坐标系来近似解答桩的空间三维振动问题，从而规避了奇点。 至此，利用上述差分格式，取初始时刻速度值为零，就可以迭代计算出任意 时刻桩中任一点的速度和应力值。 1 5 第三章基桩低应变动测空间三维问题的计算结果与分析 3 1 完整桩桩顶的轴向动力响应 根据上述算法所编制的程序，就可以实现对桩身振动的三维正演计算。图 3 1 是采用三维模型计算得到的完整桩过桩身纵轴的纵截面上的速度波场图；其 中( a ) 图表示纵截面上质点沿径向振动的速度波场图，( b ) 图表示纵截面上质点沿 轴向振动的速度波场图。其计算参数如下：桩长l = 7m ，桩身半径r = 0 4m ，桩 身密度p = 2 4 0 0k g m 3 ，桩身泊松比v = o 2 8 ，桩身弹性模量庐3 2 6 7 9 1 0 n m 2 ； 桩周土密度、剪切波速及泊松比为p s = 2 0 0 0k g m 3 ，v s = 1 0 0r n s ，矿。= o 3 5 ；桩底 土密度、剪切波速及泊松比为p 。b = 2 0 0 0k g m 3 ，v s b = 10 0m s ，y 。- - - - - 0 3 5 ；激振力 冲量i = 1n s ，激振力作用时间t o = 0 8m s 。 卢0 0 58 m s 卢0 4 m s 户0 1 4 m s 户0 5 m s 2 0 2 m s t = 0 6 m s 户0 3 m s t = 0 8 9 6 m s 户1 4 m st = 2 0 m s t - = 3 0 m s t = 3 5 m s ( a ) 纵截面上质点沿径向振动的速度波场图 t = o 0 5 8 m st = - o 1 4 m st = - o 2 m s t = o 3 m s t = o 4 m st = o 5 m s t = o 6 m sf = 0 8 9 6 m s 户1 。4 m s t = 2 o m st = 3 o r e s t = 3 5 m s ( b ) 纵截面上质点沿轴向振动的速度波场图 图3 1 完整桩过桩身纵轴的纵截面上的速度波场图 由上图可以看出：当桩受到作用于桩顶面中心的轴向瞬态激振力作用时，应 力波在桩中传播，其一部分能量较强，沿轴向向下传播，遇到桩底后又反射回桩 顶面，在基桩动测中传感器所采集到的桩顶入射波、缺陷反射波以及桩底反射波 主要是由这部分能量引起；另一部分能量相对较弱，其质点沿径向横向振动，在 遇到桩土界面时部分能量反射回桩中一t l , ，并在中一t l , 又形成反射沿径向向四周传 播，这种质点的横向振动必然会引起桩身的横向惯性效应，同时质点的横向振动 也需消耗部分能量，这会导致波在桩中传播发生弥散效应，这些都使得在实际动 测中传感器需要采集的沿轴向传播的应力波( 纵波) 的能量被削弱，从而降低了 纵波在桩中转播的平均波速。 通过对比图3 1 中的( a ) 图和f b ) 图，还可以发现：无论是沿轴向传播的应力波 还是沿径向传播的应力波，其都会有部分能量在桩顶面沿径向来回传播，这种现 象在质点振动的初始阶段表现的尤其明显，当这种波动信号被传感器采集，就会 在桩顶入射波与桩底反射波之间形成较为复杂的波形振荡，即通常所说的三维效 应干扰波：同时，( a ) 图中在桩项面上沿径向传播的应力波比( b ) 图中在桩项面上 沿径向传播的应力波传播的快，这是由于( a ) 图中桩顶面上质点振动速度方向与 其应力波传播方向相同，在桩顶面上以纵波的形式传播，而( b ) 图中桩顶面上质 点振动速度方向与其应力波传播方向垂直，在桩顶面上以横波的形式传播，所以 在激振力作用的初始时刻，质点沿径向振动的应力波总是先于质点沿轴向振动的 应力波到达传感器。 图3 2 是分别由三维模型和一维模型计算得到的完整桩桩项速度时域曲线的 对比图。其计算参数如下：l = 6m ，v s = 5 0m s ，v s b = 5 0r n s ，其余参数同上例。 岔 童 图3 2 三维模型与一维模型计算所得桩顶速度时域曲线的比较 通过图3 2 可以看出，三维计算结果与一维计算结果最大的区别在于三维结果在 桩项入射波与桩底反射波之间存在有微小的波形振荡，即干扰波的成分。三维计 算结果的桩底反射波比维计算结果的滞后，反射波脉冲较宽，幅值也较小，这 是因为如前所述，在桩中传播的应力波的部分能量沿径向传播，同时应力波还会 引起桩周土的振动( 图3 1 ( a ) 、( b ) 图) ，这些都消耗了激振力的能量，使得桩底 反射回桩顶的纵波的能量相应减弱，也降低了纵波在桩中传播的平均波速；由“峰 一峰 法可得到图中一维结果的纵波平均波速为3 7 1 2m s ，三维结果的纵波平均 波速为3 5 5 8m s ，而由计算参数得到的理论杆纵波平均波速为3 6 9 0m s 。由三维 计算曲线还可发现，在其桩顶入射波之前、初始时刻之后有一微小的反向波峰， 其速度幅值为负，这是由于三维干扰波在桩顶面来回传播，其首先到达传感器所 引起的负向振动信号；而一维计算曲线则没有这种现象，是因为一维模型理论采 用的是平截面假设，其不考虑质点的横向振动，所以无法模拟三维效应对桩中应 力波传播的影响。 3 2 非轴对称缩径桩桩顶的轴向动力响应 在工程实践中，桩、土性质很多时候并不是完全呈轴对称分布，尤其是桩身 缺陷处的性质及激振力位置往往在环向分布不均匀。柯宅邦等已经系统讨论了轴 对称条件下桩、土性质和不同激振力条件对桩顶轴向动力响应的影响，并且鉴于 缩径类缺陷是基桩动测中最常见问题且对桩身完整性影响较大，本节主要探讨非 轴对称缩径桩的桩顶轴向动力响应。 3 2 1 缩径位置对非轴对称缩径缺陷桩桩顶轴向动力响应的影响 利用本文中的三维算法便可实现对非轴对称缩径桩的正演计算，计算时取缩 径处桩身波阻抗与桩身完好处波阻抗之比p = z 2 z l = o 5 ，其他计算参数如下：桩 身半径r