（控制理论与控制工程专业论文）非线性系统的鲁棒无源化控制.pdf

硕士论文非线陆系统的鲁棒光源化控制 摘要 耗散性系统理论自上个世纪七十年代提出以来，在系统的稳定性研究中起着重要 的作用，它实质上是一个非负的能量存储函数，使得系统内部存储能量总小于外部能 量供给，即系统中存在着能量损耗。从系统的状态空间描述来看，无源性是耗散性的 一个特例，耗散性另外一个特例就是y 一耗散，其在干扰抑制控制问题中有重要的应用。 本文就是从这两个角度分析了非线性系统的控制问题，主要傲了以下几个方面的工作： 1 在分祈不确定系统鲁棒耗散条件的基础上，给出了一类不确定非线性系统鲁棒 耗散的充分条件。并进一步讨论了此类系统可反馈鲁棒耗散的充分条件，给出了相应 的控制律。 2 基于李稚普诺夫函数递推设计方法，给出了相对阶为r ，具有特殊链式结构的 确定和不确定系统递推无源化算法进而得出了相应反馈鲁棒镇定控制器。 3 将基于无源化的非线性系统鲁棒镇定方法，应用到电力系统非线性控制系统中， 取得了较好的鲁棒镇定效果。 最后，总结了全文并提出了来来的工作方向。 关键词非线性系统耗散性鲁棒递推李稚普诺夫函数 硕士论文 非线性系统的鲁棒无源化控制 a b s t r a c t d i s s i p a t i v es y s t e m st h e o r yh a sb e e np r o p o s e ds i n c e19 7 0 s i tp l a y sa ni m p o r t a m r o l ei nt h es t u d yo fs y s t e ms t a b i l i t y i nf a c t ，i ti san o n n e g a t i v es t o r a g ef u n c t i o n ，s u c ht h a t t h ei n n e re n e r g yo fs y s t e m si sl e s st h a nt h ee n e r g yp r o v i s i o n i nf r a m ew o r ko fs t a t e s p a c e ，p a s s i v i t yi sas p e c i a lc l a s so fd i s s i p a t i v es y s t e m t h ep a s s i v i t yt h e o r yp l a y sa n i m p o r t a n tr o l ei nr o b u s ts t a b i l i z a t i o no fu n c e r t a i ns y s t e m s a n o t h e ri m p o r t a n ts u b c l a s so f d i s s i p a t i v ei sy d i s s i p a t i v e ，w h i c ho c c u p ya nc e n t r a lr o l ei nd i s t u r b a n c ea t t e n u a t i o n p r o b l e m t h i sp a p e rs t u d yt h er o b u s tc o n t r o lp r o b l e mo fn o n l i n e a rs y s t e mf r o mt h i st w o a s p e c t s t h em a i nc o n t e n t si sa sf o l l o w s ： f i r s t l y , o nt h eb a s eo ft h ea n a l y s i so fr o b u s td i s s i p a t i v ec o n d i t i o n so fu n c e r t a i n s y s t e m sw eo b t a i ns u f 矗c i e n tc o n d i t i o ns u c ht h a tac l a s so fu n c e r t a i n n o n l i n e a rs y s t e mi s r o b u s t l yd i s s i p a t i v e m o r eo v e r ，w ec o n s i d e rs u f f i c i e n tc o n d r i o n s ，i nw h i c ht h i sc l a s so f s y s t e mc a nb er o b u s t l yd i s s i p a t i v eb ys t a t ef e e d b a c ka n dt h e nw eg e t t h ef e e d b a c k c o n t r o l ，t h a tr e n d e rt h es y s t e m s e c o n d l y , b a s e do nt h eb a c k s t e p p i n ga p p r o a c ha n dl y a p u n o vm e t h o d w ed i s c u s sa s p e c i a lc h a i n e dc o n s t r u c ts y s t e mw i t ho rw i t h o u tu n c e r t a i n t ya n di t sr e l a t i v ed e g r e ei s r ，w eg e tt h er e c u r s i v ep a s s i v i t ya r i t h m e t i ca n dt h ec o r r e s p o n d i n gf e e d b a c ks t a b i l i t y c o n t r o l l e r t h i r d l y , a p p l y i n gt h er o b u s ts t a b i l i z a t i o na p p r o a c h e so fn o n l i n e a rs y s t e mi nv i e w p o r to fp a s s i v i t yi n t ot h ec o n t r o lp r o b l e mo fn o n l i n e a rp o w e rs y s t e m ，w eg e te f f e c t i v e r o b u s ts t a b i l i z a t i o ne f f e c t f i n a l l y , c o n c l u d et h ew h o l ep a p e ra n dp o i n to u tt h ef u n l h e rw o r k k e y w o r d ：n o n l i n e a rs y s t e md i s s i p a t i v er o b u s tc o n t r o l b a c k s t e p p i n g l y a p u n o vf u n c t i o n 1 1 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本 学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或 公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使 用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文 中作了明确的说明。 研究生签名：尘主坐丝刀矿年5 月彳日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或 上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送交并 授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对于保密 论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：生毕! 堡垒巧年f 月矿日 硕士论文非线性系统的鲁棒无源化控制 1 绪论 1 1 引言 系统的无源性是电子网络的无源性概念的推广。直观地讲，系统的状态发散一般 需要能量。例如一个机械系统，如果我们能够证实，在没有外力施加能量的情况下， 其动能势能均趋近于零的话，那么该系统的位置和速度都会趋近于零，即该系统是稳 定的。或者，我们能证明不论外力如何施加能量，该系统只会消耗能量而不能将外部 提供的能量放大，那么只要乡卜力停止作用，则系统必逐渐衰减为零，从而系统稳定。 显然无源性有着直观的物理意义。“无源性最初由l u r i e 和p o p o v 引入控制理论中， 经y a k u b o v i c h 、k a l m a n 、z a m e s 、w i l l e m s 等人的发展形成现有的无源性理论。常用 的无源性定义有两种：一种是6 0 年代p o p o v 等人对输入输出描述系统的研究时，根 据网络中穿过正实网的能量是耗散的原理给出的基于输入输出的无源性定义。无源 系统的重要意义在于它与稳定性有密切的联系，从而非线性系统的镇定问题可以归结 为使系统无源化的问题。另一种是，7 0 年代，随着状态空例理论的迅速的发展，w i l l e m s 等人在研究系统的耗散性时，通过引入由系统状态描述的函数作为存储函数来描述系 统储能，引入由输入输出描述的函数作为系统的输入能量，并称之为供给率，由此定 义了耗散性。耗散系统在任意时刻所具有的能量总是小于等于系统初始时刻的能量与 外部提供的能量之和。耗散系统的这种物理意义与无源牲完全相同。只是耗散系统在 能量供给方式上更具有一般性。如果考虑s ( u , y ) - - u v y ，则系统的耗散性就等价于系统 的无源性。系统的耗散性是无源性概念的更一般的推广，后者是前者的特例。在有些 情况下李雅普诺夫函数可以成为保证系统耗散性的存储函数，而且解l 2 设计问题可 以不必求解h j i 偏微分不等式，存储函数实际上也是保证原点的渐近稳定的李雅普诺 夫函数。1 9 7 6 年，h i l l 等人指出一个零状态可观测系统的存储函数是正定时，系统是 稳定的并且该系统可以通过无记忆输出反馈进行渐近镇定，这为基于无源性的控制设 计提供了理论依据。因此问提的关键变为如何使系统无源化问题。【6 1 3 6 1 1 5 1 - 5 3 1 系统无源化问题在长时间内进展缓慢，直到1 9 9 1 年，b y m e s 等人将无源系统理 论同非线性几何理论结合起来，比较完善地解决了何时仿射非线性系统可以通过光滑 的状态反馈等价到一个无源系统的问题。他指出，输出函数中不含输入的仿射非线性 系统，若其全局定义的正则型存在，则其可通过光滑状态反馈为具有c 2 正定存储函 数的充要条件是系统相对阶为1 且是弱最小相位的。在此基础上，人们进行进一步的 推广研究，其主要涉及以下几个方面：输出函数中带输入情况、无正则型假设条件情 况下通过输出反馈等价到无源系统的条件、含未知参数的自适应反馈无源化问题、含 硕士论文 非线性系统的普棒无源化控制 参数不确定性或结构不确定性系统的鲁棒无源化问题。但大多数研究都具有系统的相 对阶为1 和弱最小相位等较强的前提条件，且都是针对仿射非线性系统，而对此系统 至今尚没有系统的结论。 2 訇 8 】【9 】1 3 】【2 8 - - 2 9 】【3 2 3 5 】 4 0 - 4 4 1 删 控制系统的设计都要以被控对象的数学模型为依据，然而严格来说，对任一被控 对象建模时都不可能做到完全精确，必然存在参数不确定性、结构不确定性和各种干 扰等，这些不确定性是无法回避的。因而在进行反馈控制系统的设计的时候就必须对 这些不确定性具有鲁棒性。因此鲁棒控制成为反馈控制理论中的一个重要的研究课 题。所谓鲁棒性( r o b u s t n e s s ) ，粗略地讲就是指系统的性能对不确定性的“强键” 程度。不确定性并不意味着一无所知，而是指对系统的某些部分了解得不够全面，只 知道不完整信息。鲁棒控制问题就是如何将这些不完整的信息用到系统设计中。事实 上，早在经典控制理论中，鲁棒性问题就已经引起了人们的重视。例如：系统频率特 性具有足够的稳定裕度，就是为了系统的稳定性不至受不确定性的影响而被破坏。六 十年代后，基于精确状态空间描述的现代控制理论获得长足的发展，尽管这种现代控 制理论能够以完美的数学工具，解析地给出精确满足理想品质要求的控制器，但真正 应用在工程上时，只有在用于设计的数学模型准确无误地描述了被控对象的动态特性 的情况下，这种理想的性能品质要求才能得以实现。理想化的数学模型与现实的被控 对象之间不可避免地存在偏差，这种不确定性的偏差的存在，有时会使理想变为空谈。 从八十年代开始，基于h 一优化方法进行系统的鲁棒控制设计取得了巨大的成功，目 前线性系统的h 。控制理论已基本成熟，形成了一套完整的频域设计理论和方法，而 时域状态空间的r i e c a t i 方法和l m i 方法，由于具有能揭示系统的内部结构、易于计 算机辅助设计等的优点而倍受关注。较之线性系统，非线性系统要复杂得多且没有 较完善的数学工具，使分析难度大大增加，尤其不确定性的存在，使控制系统的设计 异常困难。【8 1 1 扣1 9 】 2 3 】【2 7 】【2 9 1 1 3 4 1 4 5 4 7 微分几何方法的引入为非线性控制的研究带来了突破性的进展。理论上证明，基 于微分几何的非线性控制器在线性二次最优意义上与线性最优控制是等价的。随后产 生的直接反馈线性化、逆系统方法等理论更加丰富了菲线性控制领域的研究。【l l 由于 微分几何方法仅限于固定模型和参数，对于参数摄动不具鲁棒性，并且理论本身在非 线性解祸以及反馈引入等方面存在缺陷，因此当系统中存在着外部扰动或参数不确定 性时，非线性控制设计仍然得不到好的效果，对这个问题的研究，促使了非线性鲁棒 h 。控制理论的产生。如何在保证系统稳定的前提下最大程度地降低干扰对系统输出 的影响，这就是h 。控制研究所面临的问题，其问题的核心在于一类偏微分不等式一 h j i ( h a m i l t o n j a c o b i i s s a c s ) 不等式的求解。由于目前对于该不等式的求解在数学上 还没有通用的方法，同时反馈线性化系统性能并不能代表原系统的性能。人们开始尝 试开辟新的途径来绕过该不等式的求解。 硕士论文 非线性系统的鲁棒无源化控制 鲁棒镇定是非线性鲁棒控制问题的基本问题，其主要设计方法目前仍然以李雅普 诺夫稳定性定理为基础。利用这类方法设计鲁棒镇定系统时，首先假设不确定性因素 可以表示为有界的未知参数、增益有界的未知摄动函数或未知动态过程。然后根据其 上界值或界函数以及被控对象的标称模型来构造一个适当的李雅普诺夫函数，使其保 证整个系统对于不确定性集合中的任何元素都是稳定的。这种设计方法的关键是如何 给出构造理想的李雅普诺夫函数的一般方法。近年来鲁棒控制理论的研究表明，如果 系统满足一定的链式结构，就可通过递推设计的方法逐步构造出理想的李雅普诺夫函 数。而利用基于微分几何的非线性系统理论，我们可以结出判定一个系统本质上是否 具有上述链式结构的几何条件，并给出通过坐标变换将系统的数学模型变成显式的链 式结构的一般方法按照这种思路可以解决不确定性可用未知参数描述或用未知的非 线性摄动函数来描述时的鲁棒镇定问题这种设计思想还可推广到不确定性具有动态 过程的情况以及多个非线性子系统相互串联构成的大规模复杂系统的鲁棒镇定问 题无源性，耗散性，增益分析和李雅普诺夫函数法都是分析设计非线性系统的常用 工具。这些工具之间有许多本质的联系，系统无源性和有限增益可以相互转化。耗散、 无源系统的存储函数在许多情况下可以用作系统的李雅普诺夫函数。或者更确切地 讲，前面所述李雅普诺夫函数的构造过程正是使系统无源化的过程，而此时的李雅普 诺夫函数正是保证系统无源性的存储函数f 4 i 【坫1 2 3 i 1 2 无源性理论研究现状 随着系统反馈无源化方法的发展，基于无源性理论的控制设计也获得较大的发 展。在镇定控制方厦，h i l l 等人指出一个零状态可观测系统的存储函数是正定时，系 统是稳定的并且该系统可以通过无记忆输出反馈进行渐近镇定，这为基于无源性的控 制设计提供了理论依据。再有上段的讨论知，根据仿射非线性系统的k y p 引理可知 对于零状态可检测、零动态稳定的仿射非线性系统，可以通过负反馈- - l g v ( x ) 镇定。 然而通过上段讨论可知，仿射非线性系统可反馈无源化的条件是相对阶为l 且是弱最 小相位的，这样苛刻的条件在很大程度上限制了基于反馈无源化进行控制系统设计的 发展。为了去掉上述苛刻条件的限制，人们进行了更深入的研究，针对相对阶为1 的限制提出了所谓的b a c k s t e p p i n g 递归设计方法；针对弱最小相位限制，提出了所谓 的f o r w a r d i n g 递归设计方法。b a c k s t e p p i n g 递归设计方法需要系统满足相当特殊的下 三角结构，逐步运用l g v ( x ) 思想进行递归设计：f o r w a r d i n g 递归设计方法则要求系统 满足特殊的上三角结构，且要求子系统的交叉项满足线性增长假设、子系统满足局部 指数稳定等相当强的条件，逐步运用k y p 引理递归计算存储函数。这两种递归设计 方法无一例外地，都要求系统满足相当特殊的结构，具有局限性i 但它们给非线性控 硕士论文非线怿系统的鲁棒无谭化控制 制系统设计提供了有用的思路。在鲁棒控制方面，判定非线性系统无源性的k y p 引 理提示了对于非线性系统可以递归构造存储函数的可能性前述有关鲁棒镇定问题的 结果正是这种设计思路的一个推广，进一步推广我们还可以得到判定具有不确定性系 统的鲁棒无源性的鲁棒k y p 引理。有前面的讨论知，无源性是系统耗散性概念的一 个特例。对于给定的能量供给率，如果存在一个依赖于系统状态的非负能量存储函数， 使得耗散不等式成立，则称该系统是耗散的。无源性正是供给率为输入输出信号之乘 积形式的特例。工程中常用的另一个特例是供给率由输入到输出信号的范数之差结出 的情况。如果系统对于这类供给率是耗散的，那么该系统由输入到输出就满足l 2 增 益约束条件。因此，许多与l 2 增益约束有关的控制问题。如l 2 综合问题、h 一控制 以及干扰近似解耦或l 2 干扰抑制等，都可以归结为使系统成为耗散系统的问题。一 般，这类设计问题都需要解适当的h j i 偏微分不等式，而该不等式目前尚无有效的解 析求解方法。如果我们将上述构造存储函数的方法加以推广，使其满足所对应的耗散 不等式，就有可能不必通过求解h j i 不等式得到鲁棒l 2 增益控制器。最新的研究成 果有具有参数不确定性和有界函数摄动情况下鲁棒l 2 干扰抑制问题、不确定性的界 函数满足三角结构时的干扰近似解耦或干扰抑制问题和非线性鲁棒h o o 控制问题不 必求解h j i 的设计方法。综上，现有的反馈无源化结论是基于仿射非线性系统的，且 系统可反馈无源化的具有苛刻的条件：系统相对阶为l 且为弱最小相位的。递归设计 方法的出现，在一定程度上缓解了这个矛盾。【2 列然而递归设计方法对系统的结构也 有很特殊的要求，且通过递归设计的控制器也过于复杂，这仍然制约无源系统理论的 发展。虽然有关无源系统理论和不确定非线性系统控制设计的成果越来越多，但仍然 存在许多问题要解决，需对其进一步完善。基于无源性分析的非线性系统的鲁棒控制 的研究具有重要的意义，其理论体系也急待完善，这方面的工作方兴未艾。 2 7 1 【3 4 1 4 4 l 【3 8 1 1 3 本文所做工作 综上所述，无源性理论还尚未成熟，本文通过对无源性理论的学习和研究，了解 了非线性系统常用分析设计方法，对有些方面做了相应的推广，主要做了咀下几个方 面的工作： 第l 章简要介绍了无源性理论的发展历史和其在非线性系统鲁棒控制中的应用 思想，分析了其研究现状，展望了其发展方向。 第2 章主要介绍了无源性理论的基础知识和非线性系统处理的常用数学工具，着 重介绍了一种具有特殊链式结构的非线性系统，本文的大部分工作都是在对这类链式 结构的系统进行讨论的。 第3 章分析了不确定非线性系统鲁棒无源的条件的基础上，给出了一类相对广泛 硕：e 论文菲线性系统的鲁棒无源化控制 的不确定非线性系统无源的充分条件，并在此基础上讨论了一类不确定非线性系统可 反馈鲁棒无源的充分条件。采用同样的方法，讨论了一类不确定非线性系统y 一耗散 的充分条件。 第4 章主要将具有链式结构的非线性系统的递推无源化方法，推广到更为一般的 具有相对阶r 的系统中，并推导出了相应迭代公式并采用算例与仿真相结合的方法， 验证了递推算法的正确性。 第5 章针对电力系统中带有励磁控制的单机无穷大输电系统，电机阻尼不能精确 测量从而带有不确定性问题，采用递推无源化方法，设计了鲁棒镇定控制器，通过仿 真分析，验证了控制器对系统的不确定性具有很好的鲁棒性。 第6 章总结了全文，分析了以后需要迸一步傲的工作。 硕士论文非线性系统的鲁棒无源化控制 2 基础理论 2 1 耗散性基础知识 2 1 1 耗散性定义”“”m “ 考察非线性系统 f 膏= f ( x ) + g ( x ) u 【y = ( x ) 其中，状态向量z r ”；输入向量“r p 分别为适维矩阵。分别记为： ，( x ) = i ( z ) ( x ) 工( z ) g ( x ) 9 1 1 ( x ) 9 2 l ( x ) 9 1 2 0 ) 9 2 2 ( x ) ( 2 11 ) 输入向量y r ”；厂( x ) ，g ( x ) 和h ( x ) g l 。( x ) 9 2 。( x ) g 。1 ( x ) g 。2 ( x ) g 。( x ) 肼x 、= ( x ) 如( z ) h ( x ) 对于非线性系统( 2 1 1 ) ，如果存在半正定标量函数矿o ) ，使得不等式 d 7 矿( x ( r ) ) 一y ( x ( o ) ) 【s ( f ) ，y ( t ) ) d t ， v t 0 对于任意的输入“r 9 成立，则称系统是耗散的。v ( x ) 成为能量存储函数，不等式称 为耗散不等式。 i 当供给率s ( “( f ) ，y ( ，) ) = u r y 时称系统无源，当s ( “( 味y ( r ) ) = 妻( y 2 怯 2 一j 1y 时， z 称系统为，一耗散。无源性和，一耗散性是耗散理论中应用最多也是最为成熟的理 论，本文中主要讨论系统无源性，及基于无源化的系统镇定，在第2 章中对y 一耗散 性也略作讨论。 2 。1 2 无源性与稳定性 对于严格无源的系统，如果存在光滑可微且正定的存储函数，那么该系统就是渐 进稳定的，且相应的存储函数就是对应的l y a p u n o v 函数。如果只知道系统是无源的， 则只能得到系统是l y a p u n o v 稳定的结论。但是在一定的条件下，通过施加适当的反 馈控制可使存储函数成为闭环系统的l y a p u n o v 函数。从而使系统渐近稳定。 定义2 2 1 。3 对于系统( 2 1 1 ) 若当u ( t ) = 0 ，y ( f ) = 0 时，必有l i m x ( t ) = 0 ，则 称系统( 2 1 1 ) 是零状态可检测的。 硕士论文非线性系统的鲁捧无源化控制 对于零状态可检测系统，若系统是无源的，则可通过单位输出负反馈镇定。 2 2 微分几何基础 2 2 1 非线性系统标准形“”“”1 同样讨论系统( 2 1 1 ) ，若满足下面条件： 心弓 ( x ) = 0 ， v o sk 0 ，有下式成立： 9 硬士论文非线性系统的鲁棒光源化挎制 l v ( x ) + 掣恺m 州2 + 赤旷 0 ( 3 3 2 ) 批) + 掣 l 鬈酬h 赤川2 + 赤| i 砭蚓 2 + 丽1 珊+ 而1 悒一晰) ) 7 忙。 ( 33 3 ) 则系统鲁棒无源。 证明： 由鲁棒无源性定义知，系统( 3 3 1 ) 鲁棒无源指存在半正定函数v ( x ) 0 有： y ( 工) l 门3 1 1 y 7 “ v u ，盖尺”，每( x ) q ， ( 33 4 ) 现对( 3 3 1 ) 系统进行分析，可知v 矿( x ) 2 0 ，v 谚( x ) q ，有 矿( 工) f 口3 1 1 一y 。“ ( 3 3 5 ) ：上，+ 掣矿( 苒) + k + 衄v ( x ) u 一( 矗( x ) + 矗( x ) + d ( 工) “) 7 “ = l s + 4 ，v ( x ) + l g + 衄v ( x ) u 一矿( x ) u - a h 7 ( x m 一“d ( 石) “ = l r + g 矿( x ) + ( 上f 矿( x ) 一h2 ( x ) ) “+ 厶p v ( x ) u - a h 7 ( 石) 一“7 d 7 ( 工) 村 硕士论文非线性系统的鲁棒无源化控制 田弓i 耻l j 厶2j ，口a il 叫 u ，渖l ，厶j ，j 以丁 州、从釉她埋： l + e v 矿( 石) 2l 矿( x ) + o v ( x ) = 0 矿( x ) + 上。矿( x ) 点( x ) l t v + 半1 1 蚓卜赤川2 k v ( x ) u = t ：y ( x ) 嘎( x = 一圭( 一2 k m ) 嘎( 咖) = 一圭( 也( 工) k 矿( x ) 矿( x ) 一2 厶：y ( z ) 嘎( z m + i b ( x 墁( x ) “) 十掣l l 眨酬1 2 十赤，i l 6 ：( 圳阳 = 一扣厢琏瞰) 一丽1鳅咖扩+ 掣l 砭俐1 2 + 丽1 忪z 酽“ 掣1 1 琏恻卜丽1 协z 旷“ 锄) g = - - 9 3 ( 鹕( 咖掣删卜丽1 “r | 州“ 将上面不等式带入( 3 3 5 ) 式有： 矿 ) 1 ( 33i ) - - y “ l f v ( 卅掣| | 乓m 川2 + 赤旷也吣m “ + 掣l i 暖酬卜丽1 “姒圳 + 掣怕如川2 + 丽1 一1 1 2 u _ u r d r “ 一州+ 半1 1 笔酬 2 + 赤怕胁川1 十掣1 1 恻1 2 + 2 ( x ) i i p 3 ( 圳r 硕士论文 1 f 线件系统的鲁棒无源化挎制 + ( k 矿o ) 一自7 ( x ) ) “一去u r ( 2 d7 ( x ) 一五( z ) l j 慢( z ) 1 1 2 一丑o ) l l 乜( x ) 【1 2 ) “ 故当2 d 7 ( x ) 一 o ) i i 珂2 ( x ) i 2 一冯( ) i | ( x ) i i2 = k2 ( x ) 0 时 ( 3 ，3 6 ) ( 上。矿( x ) 一 7 ( x ) 一寺“7 七2 ( x 啊 = 一i 1 ( _ 7 ( t y ( x ) 一九石) ) “+ “7 七2 ( 工) “) ；( 志( 坝沪以砌( k m ) 圳( 砌q ( l g v ( 矿( 瑚u + u r k 2 ( 咖) + 丽1 一怖) ) 。| 1 2 一扣志( 坝垆( 硝“( 洲2 + 志忆l g v ( 垆( 埘旷 志k m 2 p ( x ) f “l r v ( 小掣l 鬈酬h 丽1 ( 圳+ 赤l i 砭嘲i 2 + 丽1 如州2 + 赤舨坝炉嘶扩旷 ( 3 2 由上面的推导过程可知，若系统( 3 3 1 ) 存在适当的f 值函数丑( x ) 0 ，i = l ，2 ，3 满足式( 3 3 6 ) 和( 3 3 3 ) ，则有式( 3 3 4 ) 成立，即系统鲁棒无源。得证。 3 3 2 一类不确定非线性系统可反馈无源化充分条件 考察如下更一般的s l s o 不确定非线性系统： 扣，( 。) + 簟。) + ( g ( x ) + g ( x ) m ( 3 3 8 ) i y = h ( x ) + 劬( x ) + d ( x ) u 其中，状态向量上r ”：输入向量“r ；输入向量y r ；厂( z ) ，a f ( x ) ，g ( z ) ， a g o ) 和h ( x ) ，a h ( x ) 分别为适维矩阵。 ，_ ( 工) = q ( x ) 点( x ) g ( x ) = e 2 ( x ) 疋( 工) 矗( z ) = e 3 ( x ) 也( z ) j | 4 ( x ) l 蔓| | ( x ) 忆v x r n , i = 1 ，2 ，3 ： 同样的方法讨论系统( 3 3 8 ) ，由前面的讨论知道，如果系统( 3 3 8 ) 非鲁棒无 源的，但可由反馈变换“= a ( x ) + v ，反馈等价与一鲁棒无源系统，则系统( 3 3 8 ) 可 由“= 口( x ) 一y 鲁棒镇定，显然系统( 3 3 8 ) 的反馈鲁棒无源控制律的研究，有现实 硕士论文 非线性系统的鲁棒无源化控制 明葸5 4 a 定理3 3 2 对于系统( 3 3 8 ) ，若存在适当的正值函数 ( x ) 0 ，i = l ，2 ，3 ，4 ，5 ，使下面 式子成立 丽1 x ) 1 1 2 + 圳= o 3 2 一赤怕：旷一志怕如川2 一赤趴圳瑚咖0 ( 3 - 3 1 o ) 一2 k 1 1 ( x ) 1 1 l g m 川2 + 扣志觏咖张班( 珊+ 扣坝矿矿( 郴 + l r v + 掣1 1 乓酬n 丽1 懈) 2 + 半i 盔m ) 1 1 2 + 掣怕如川2 o ( 3 3 1 1 ) 则系统可由“2 口( x ) = 一百茜矿( x ) + v 状态反馈鲁棒无源化。 证明： 对系统( 3 3 8 ) 作状态反馈“= 甜( x 1 + v ，变为下系统： j j = 厂( 茗) + 厂( 工) + ( g ( 。) + 船口( 。) + ( g ( 。) + g ( 。) ) 。( 3 3 1 2 ) i y = h ( x ) + a h ( x ) + d ( x ) a ( x ) + d ( x ) v 现对( 3 3 1 2 ) 系统进行分析，可知vy ( z ) 0 ，v4 ( x ) q ，有 矿o ) l o z 8 ) - y 7 “ ( 3 3 1 3 ) = l f + a f 矿( x ) + 工g + 姆矿( x ) c r ( 工) + l g a e v ( x ) v 一( 矗( x ) + a h ( x ) + d ( x ) c r ( x ) + d ( x ) v ) 7v = “矿( x ) + 。+ p z ( x ) a ( x ) + 上。+ 。v ( x ) v h r ( x ) v a h 7 ( z ) v d 7 ( x ) d 7 + ( x ) v v r d 7 ( 石) v 采用前一节的放缩方法，可以有下面不等式，简短起见略去中间步骤有： l f + e ，v ( 班- m ) + 掣l f 鬈m ) 2 + 丽1 旷 l g + n g v ( 咖k m m 咖掣i l 酬1 2 + 丽1 a 川姒州吣) 硕士论文 非线性系统的鲁棒无源化控制 川x ) v 0i = 1 ，2 ，5 ，满足式( 3 3 1 4 ) ，( 3 3 1 5 ) 时，系统( 3 3 8 ) 可由反馈变换 鲁棒无源化。得证。 “刮加一赤m ) + v 3 4 一类不确定非线性系统鲁棒y 一耗散性分析 3 4 1 一类不确定非线性系统，耗散充分条件 ( 3 3 ，1 6 ) 考察如下更广泛的s i s o 不确定非线性系统( 3 4 1 ) ： 七。m ) + ( 。) + ( g ( z ) + g ( 。) m( 3 4 1 ) 【y = h ( x ) + d ( x ) u 其中，状态向量x r ”；输入向量“r ：输入向量y 庄r ：厂( x ) ，a f ( x ) ，g ( x ) ， g ( z ) 和h ( x ) ，a h ( x ) 分别为适维矩阵。 ，1 ( x ) = 8 l ( x ) 4 ( x ) ，a g ( x ) = 9 2 ( z ) 岛( x ) ，| | 4 ( x ) i l q l _ ( 工) l ，v x r “，i = 1 ，2 ； 定理3 3 1 对于系统( 3 4 1 ) ，若存在丑( x ) 0 ，i = 1 ，2 ，有下面的式子成立 一_ i | | h 2 ( x ) 1 1 2 一d r ( x ) = k 2 ( x ) 0 ( 3 42 ) l j l i v ( 卅掣】| 附圳2 + 丽1 圳j 2 + 掣 l 艺m 川2 + j 1a 7 ( 踟( z ) 硕士论文非线性系统的鲁棒无源化控制 + 志( v ( 小( 圳( 卅( 珊( 瑚) 。 ( 3 4 t 3 ) 则系统( 3 4 】) 鲁棒y 一耗散。 证明： 由鲁棒耗散性定义知，系统( 3 4 1 ) 鲁棒耗散指存在半正定函数y ( x ) 2 0 有： 矿( x ) b ) 专( y 2l u 1 1 2 一i t y l l 2 ) v u , x e 月”，瓯( x ) q ， ( 344 ) 现对( 3 ，4 1 ) 系统进行分析，可知vy ( x ) 0 ，v4 ( x ) q ，有 矿( x ) i ( ，。j 一了1 ( y 2 l j “i | 2 一l l y l l 2 ) ( 3 4 5 ) = l f + 。c v ( x ) + k 船y ( 咖一号 7 “+ ；( m ) + m ) ( 佩) + d ( 咖) = 卜酊矿( x ) + k + g 矿( x ) “一，2 “。“ + 妄( 矗7 。( z ) 南( x ) + ( 磊7 ( x ) d ( z ) + 矗7 ( z ) 磊( x ) ) 群+ “7 d7 ( x ) 封) v 丑( x ) 0 ，i = 1 ，2 l ，+ 矿( x ) 上t v ( x ) + 掣| |毛忆丽1 珊 l g + 姆v ( 咖乞陬肌掣i 置酬2 + 丽1 “嘣圳阳 从而有： 矿( x ) i ( 。，) 一j 1 l 厂2o “1 1 2 一| 1 y 1 1 2 ) 铒瞰) 十掣i 嘲| 2 + 丽1 心川2 + 掣l i ：俐卜扣m ( x ) + ( l y + 妒( 州( 咖巩踟抛一扣一志慨( 珊( 枷 设其中有下面不等式成立： 一赤训卅1 加般咖。 ( 3 4 6 ) 硕士论文 非线睦系统的鲁棒无源化拄制 矿( x ) i ( ，。，) 一j 1 ( y 2 | 1 “1 1 2 一| | y 1 1 2 ) l i v + 掣】| 坛俐卜赤协心川2 + 掣l i 墨酬卜扣m + 赤( m ) + 妒( 圳( 小( 啪( 瑚) 故而有，若式( 3 4 3 ) 成立，显然有系统( 3 4 1 ) 鲁棒y 一耗散。得证。 3 4 2 一类不确定非线性系统可反馈y 一耗散充分条件 考察如下系统： 量= ( 。) + 厂( x ) + ( 昌( 。) + a g ( 。) ) w + ( g z ( 。) + a g z ( 。) ( 34 7 ) l z = h ( x ) + k ( x ) w + d ( x ) u 其中，状态向量x r ”；输入向量r ；输入向量y r ；扰动输入w r ； f ( x ) ，a f ( x ) ，g ；( x ) ，品( x ) ，9 2 ( x ) ，9 2 ( z ) ，d ( 石) ，k ( x ) 和h ( x ) 分别为适维矩 阵或向量函数。 厂( x ) = 9 1 ( x ) 4 ( z ) ，a g l ( x ) = g ：( z ) 疋( x ) ，a 9 2 ( x ) = p 3 ( x ) 岛( x ) | | 4 ( x ) i i - - 0 ，i = 1 ，2 ，3 ，满足下面的 式子 产志胁：( 圳以( 班硝少。 ( 1 4 8 ) 】， 高。姒z ) 1 1 2 + o m o 卜霹( 曲 0 3 4 堡主堡奎 堇望竺竖! 堕墨堡墨塑些兰型一 l r v + 掣l i 酬卜赤忡川2 + 掣l l 砭酬1 2 + 掣憾酬h 扣劝+ 赤归批川2 赤憎渺0 ( 3 - 4 lo ) 则系统( 3 4 7 ) 可由状态反馈口( z ) = 一赤n 矿( ) 鲁棒，一耗散。 对系统( 3 4 7 ) 作状态反馈“= 口( z ) ，系统( 3 4 7 ) 闭环系统如下： f j = 厂( 工) + 。鲈( 工) + ( 。乳( 工) + 9 2 ( x ) ) 口( 石) + ( 岛( 工) 十g f ( 石) ) w( 34 1 1 ) l y = ( x ) + d ( x ) 口( x ) + k ( x ) w 对( 3 4 1 1 ) 系统进行分析有： 矿( 砒。一i 1 ( ，2 1 1w l l 2 一t ly l l 2 ) = ，+ 吖：y ( x ) + ：+ 。乳y ( x ) 搿( 工) + h + 却；y ( x ) w 一专y 2 w 7 w + 当( 而( x ) + d ( x ) a ( z ) + 七( x ) w ) 7 ( 向( z ) + d ( 工) 口o f ) + 七( x ) w ) = ，+ y ( x ) + k + 姆：矿( x ) 口( x ) + l a + 螭矿( x ) w 一；y 2 w y w + 圭 7 ( x ) 厅( 茁) + 圭c r 7 ( x ) d ( x ) d ( x ) 口( x ) + j 1 w 。t7 ( x ) 女( x ) w v 丑( x ) 0 ，i = l ，2 ，3 瞰) 。 志慨旷( 彬( 加t ； 。莳，有： r t ( x ) i ( 34 1 1 ) - - = 1 ( ，21 1 w ir 2 一h y l l 2 ) l v + 掣l i 酬卜赤刈2 + 掣1 1 名俐1 2 十掣i iz , i m ) f 1 2 + 扣瑚 + 赤幡转川2 一赤憎积洲+ 扣丽1 f g , v ( 卅姒班旷 显然，当系统( 3 4 7 ) 满足定理3 4 2 所述条件时，系统可由口( x ) = 一面击r 。矿( x ) 反 馈鲁棒y 一耗散。 3 5 本章小结 本章中，分析了几类相对较厂泛的不确定非线性系统的鲁棒无源性和y 一耗散， 并分析了它们可反馈无源和耗散的充分条件，给出了相应的反馈控制律。采用这样的 方法，可将不确定性分析，转换为参数不确定性分析。但本章中只是采用放缩的方法， 给出了充分条件，远非充要条件，充要条件的构造则显得更有意义。 硕士论文 非线性系统的鲁捧尤舔化控制 4 相对阶为r 的非线性系统的递推无源化 4 1 引言 鲁棒镇定是非线性鲁棒控制问题的基本问题，其主要设计方法目前仍然以李雅普 诺夫稳定性定理为基础。利用这类方法设计鲁棒镇定系统时，首先假设不确定性因素 可以表示为有界的未知参数、增益有界的未知摄动函数或未知动态过程。然后根据其 上界值或界函数以及被控对象的标称模型来构造一个适当的李雅普诺夫函数，使其保 证整个系统对于不确定性集合中的任何元素都是稳定的。这种设计方法的关键是如何 给出构造理想的李雅普诺夫函数的一般方法。近年来鲁棒控制理论的研究表明，如果 系统满足一定的链式结构，就可通过递推设计的方法逐步构造出理想的李雅普诺夫函 数。而利用基于微分几何的非线性系统理论，我们可以给出判定一个系统本质上是否 具有上述链式结构的几何条件，并给出通过坐标变换将系统的数学模型变成显式的链 式结构的一般方法。这种设计思想还可推广到不确定性具有动态过程的情况，以及多 个非线性子系统相互串联构成的大规模复杂系统的鲁棒镇定问题。上述李雅普诺夫函 数的构造过程正是使系统无源化的过程，而此时的李雅普诺夫函数f 是保证系统无源 性的存储函数。并提示了对于非线性系统可以递推构造存储函数的可能性。