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摘要 基于水平集的多材料结构拓扑优化设计方法与应用 摘要 结构的形状和拓扑优化设计是随着计算机软、硬件的发展，利用 数学和力学理论寻找工程问题中某个目标最优的过程。根据问题复杂 度的不同，结构优化可分为三个层次：尺寸优化、形状优化和拓扑优 化。其中，尺寸优化是最简单的，其研究工作已经基本成熟。在形状 优化中，结构的边界形状可以变化，然而，结构的拓扑是固定的。与 尺寸优化和形状优化相比，拓扑优化在设计前没有任何关于结构的几 何形状与拓扑信息。因此，拓扑优化在结构优化设计中最难、最具有 挑战性。 目前结构拓扑优化设计理论存在的主要问题包括结构形状和拓扑 控制方法尚未成熟，难以实现对求解过程中的形状和拓扑进行描述和 控制。目前采用的依赖不同坐标系下单元映射方法来控制边界形状， 不可能在形状和拓扑设计方面产生质的飞跃。它只能改变现有结构的 几何形状，而不能对结构进行自然的几何拓扑优化。其次，目前结构 拓扑优化的对象主要由单一的均质材料构成，随着对结构综合性能要 求的提高，由多种不同特性的材料组成的多功能材料，在工程实际中 具有日益广泛的应用前景。因此，如何优化结构的形状拓扑关系，将 不同性能和功能的材料配置在一起，以达到设计所要求的性能的研究 工作就变得日益紧迫。 针对上述结构拓扑优化领域中存在的问题，开展了深入的探索和 研究，提出基于水平集的散热结构与弹性结构拓扑优化设计及其改进 算法，通过数值仿真验证算法的可行性与有效性，主要的研究工作及 创新性成果总结如下： 一、介绍了基于水平集方法的动态界面处理技术、分析了水平集 方法计算和分析动态界面的优点。然后，研究了基于水平集方法的优 化原理变分水平集方法。针对以物理域的形状为变量的能量泛函变 分的计算，给出了形状灵敏度分析的两个重要形状导数引理。最后， 论述- f 看f j 用边界推进技术与形状导数理论进行拓扑优化的基本过程。 上海交通大学i g + - 学位论文 二、研究基于水平集的隐式描述材料边界方法，以温度梯度范数 平方的积分为目标函数，利用形状导数理论和伴随变量方法进行形状 灵敏度分析，构造基于水平集的最优化条件。针对拓扑优化结果对初 始拓扑猜测依赖性问题，引入以椭圆型偏微分方程为约束的拓扑导数 理论，在一定程度上抑制了初始拓扑猜测的依赖性。通过与s i m p 方法 的数值算例比较，证明方法的可行性与正确性。 三、对于弹性结构拓扑优化问题，提出根据v o nm i s e s 应力分布情 况进行开孔的策略，弥补了水平集方法本身不能开孔的缺陷。提出基 于极限窄带单元推进的结构拓扑优化方法，在保持优化过程中自然处 理拓扑变化优点的同时，不用求解h a m i l t o n j a c o b i 系统的偏微分方程 实现隐式边界推进，避免了求解重新初始化、速度扩展偏微分方程与 考虑重新初始化频率的问题，提高了拓扑优化过程的计算效率和收敛 速度。 四、研究了矢量水平集在多材料设计中的应用，构造了基于水平 集的多材料散热结构拓扑优化设计的模型，推导使目标函数下降的速 度场，通过求解多个水平集方程实现多材料散热结构拓扑优化设计。 对于弹性结构拓扑优化设计，根据各材料v o nm i s e s 应力分布情况，制 定各材料替换策略，产生新的拓扑，然后综合利用基于水平集的形状 优化理论实现弹性结构的多材料拓扑优化设计，从而抑制多材料的弹 性结构拓扑优化设计对初始拓扑猜测的依赖性。 五、针对工程实际中的三维空间问题，研究了基于s i m p 方法三维 结构拓扑优化的密度惩罚项和滤波半径对最终拓扑优化结果的影响及 其合理的取值范围。通过与基于水平集方法的三维弹性结构拓扑优化 结果比较，得出基于水平集的三维结构拓扑优化设计不存在初始拓扑 猜测依赖性问题。 关键词：水平集方法，拓扑优化，形状导数，拓扑导数，灵敏度分析 i l a b s t r a c t t h el e v e ls e tm o d e lb a s e dd e s i g nm e t h o d a n da p p l i c a t i o nf o rs t r u c t u r a lt o p o l o g y o p t i m i z a t i o nw i t hm u i j t i p l em a t e r i a ls a b s t r a c t s t r u c t u r a l s h a p ea n dt o p o l o g yo p t i m i z a t i o n u s e st h et h e o r yo f m a t h e m a t i c sa n dm e c h a n ic st of i n dt h eo p t i m a lr e s u l to fe n g i n e e r i n g p r o b l e m sa n di sp r o s p e r i n gw i t ht h ep r o g r e s so fc o m p u t e rs o f t w a r ea n d h a r d w a r e t h es t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o np r o b l e mi ss p e c i f i e da st h r e et y p e s ， t h es i z eo p t i m i z a t i o n ，t h es h a p eo p t i m i z a t i o na n dt h et o p o l o g yo p t i m i z a t i o n t h es i z eo p t i m i z a t i o np r o b l e mi s s i m p l ea n da l m o s tm a t u r e f o rs h a p e o p t i m i z a t i o n ，t h et o p o l o g yo fs t r u c t u r ei sf i x e db e f o r ed e s i g na n do n l yt h e s h a p eo fs t r u c t u r ec h a n g e sd u r i n gt h eo p t i m i z a t i o np r o c e s s h o w e v e r , t h e t o p o l o g yo p t i m i z a t i o nh a sn oi n f o r m a t i o no fs t r u c t u r a ls h a p ea n dt o p o l o g y b e f o r et h eo p t i m i z a t i o nd e s i g n s ot h et o p o l o g yo p t i m i z a t i o ni st h em o s t d i f f i c u l ta n dc h a l l e n g i n gf o rs t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o nd e s i g n o n eo ft h ed i f f i c u l tp r o b l e m si nt h es t r u c t u r a lt o p o l o g yo p t i m i z a t i o n f i e l di st h er e p r e s e n t a t i o nm e t h o do fs t r u c t u r a ls h a p ea n dt o p o l o g y t h e u s u a lr e p r e s e n t a t i o no fs t r u c t u r a ls h a p ei sr e a l i z e db yt h ef i n i t ee l e m e n t m a p ，w h i c hc a nn o tg e n e r a t en e wb r e a k t h r o u g hf o r t h ed e s i g no fg e o m e t r i c s h a p ea n dt o p o l o g yi ne s s e n c e t h ef i n i t ee l e m e n tm a pm e t h o dc a nn o t n a t u r a l l yh a n d l et o p o l o g i c a lc h a n g e sd u r i n gt h et o p o l o g yo p t i m i z a t i o n p r o c e s s n e x t ，t h ec u r r e n ts t r u c t u r a ld e s i g nf o c u s e so ns i n g l em a t e r i a l t h e m u l t i f u n c t i o nm a t e r i a lb e c o m e sm o r ea n dm o r ei m p o r t a n tw i t ht h e e n h a n c e m e n to fs t r u c t u r a lp e r f o r m a n c er e q u i r e m e n ti nt h ee n g i n e e r i n gf i e l d s ot h er e s e a r c ho fs t r u c t u r a ls h a p ea n dt o p o l o g yw i t hm u l t i p h a s em a t e r i a l s f o rs p e c i f i cp e r f o r m a n c eb e c o m e sm o r eu r g e n t i n o r d e rt oo v e r c o m et h e p r o b l e m sa b o v e ，w ei n v e s t i g a t e t h e d i s s i p a t e da n de l a s t i cs t r u c t u r a lt o p o l o g yo p t i m i z a t i o nb a s e do nt h el e v e l s e tm e t h o da n dt h e c o r r e s p o n d i n gi m p r o v e da l g o r i t h m s n u m e r i c a l d i s s e r t a t i o no fd o c t o r sd e g r e eo fs h a n g h a ij i a ot o n gu n i v e r s i t y s i m u l a t i o n sa r ep e r f o r m e dt od e m o n s t r a t et h ef e a s i b i l i t ya n dt h ev a l i d i t yo f t h ep r o p o s e dm e t h o d t h em a i nr e s e a r c h e sa n dt h en o v e lc o n t r i b u t i o n sa r e l i s t e da sf o l l o w s ： f i r s t l y , t h ei m p l i c i td y n a m i ci n t e r f a c et e c h n i q u ei si n t r o d u c e da n dt h e a d v a n t a g e so fc o m p u t a t i o na n da n a l y s i sf o rt h ep r o p a g a t i o ni n t e r f a c eb a s e d o nt h el e v e ls e tm e t h o da r el i s t e d t h e n ，t h el e v e ls e tm o d e lb a s e d o p t i m i z a t i o nt h e o r y , n a m e l yv a r i a t i o n a ll e v e ls e tm e t h o d ，i sp r e s e n t e d t h e t w oi m p o r t a n tl e m m a so fs h a p ed e r i v a t i v ea r ep r e s e n t e df o rt h es h a p e s e n s i t i v i t ya n a l y s i sw h i c hi sc r u c i a lw h e nt h es h a p eo fm a t e r i a lr e g i o ni s c o n s i d e r e da st h ed e s i g nv a r i a b l e a tl a s t ，t h ep r o c e s so fo p t i m i z a t i o nb a s e d o nt h eb o u n d a r yp r o p a g a t i o nt e c h n i q u ea n dt h es h a p ed e r i v a t i v ei sg i v e n s e c o n d l y , t h ei m p l i c i tr e p r e s e n t a t i o na p p r o a c hb a s e do nt h el e v e ls e t m o d e lo fm a t e r i a lb o u n d a r i e si sd i s c u s s e d f o rt h ed i s s i p a t e ds t r u c t u r a l t o p o l o g yo p t i m i z a t i o np r o b l e m ，t h ei n t e g r a lo fs q u a r eo ft h et e m p e r a t u r e g r a d i e n t i st a k e na st h e o p t i m i z a t i o no b j e c t i v e t h es h a p es e n s i t i v i t y a n a l y s i si si m p l e m e n t e db yt h es h a p ed e r i v a t i v et h e o r ya n dt h ea d jo i n t v a r i a b l em e t h o d t h e n ，t h eo p t i m i z a t i o nc o n d i t i o nf o rt h el e v e ls e te q u a t i o n i sc o n s t r u c t e d t h e t o p o l o g yd e r i v a t i v et h e o r yo ft h ee l l i p t i cp a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o ni s i n t r o d u c e dt or e s t r a i nt h ed e p e n d e n c eo fi n i t i a l t o p o l o g yg u e s s t h i r d l y , t h es t r a t e g yo fn e wh o l e sg e n e r a t i o ni sp r e s e n t e da c c o r d i n gt o t h ev o nm i s e ss t r e s sd i s t r i b u t i o n ，w h i c hc a ns u p p r e s st h ed e p e n d e n c eo f i n i t i a lt o p o l o g yg u e s sf o rt h ee l a s t i cs t r u c t u r a lt o p o l o g yo p t i m i z a t i o n a tt h e s a m et i m e ，t h en e ws t r a t e g yc a nm a k eu pt h ed i s a d v a n t a g et h a tt h el e v e ls e t m e t h o dc a nn o tg e n e r a t en e wh o l e si nt h em a t e r i a lr e g i o n t h ee l e m e n t p r o p a g a t i o no fe x t r e m en a r r o wb a n di sa p p l i e dt ot h es t r u c t u r a lt o p o l o g y o p t i m i z a t i o n t h i sm e t h o dn o to n l yc a nd e a lw i t ht o p o l o g i c a lc h a n g e s n a t u r a l l y , b u ta l s oa o v i ds o l v i n gt h el e v e ls e te q u a t i o n ，t h er e i n i t i a l i z a t i o n p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dt h ev e l o c i t ye x t e n s i o np a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ot h ee l e m e n tp r o p a g a t i o no fe x t r e m en a r r o wb a n db a s e d t o p o l o g yo p t i m i z a t i o ni m p r o v e st h ec o m p u t a t i o n a le f f i c i e n c ya n dt h e a b s t r a c t c o n v e r g e n tp r o c e s s f o u r t h l y , t h ev e c t o rl e v e ls e tm o d e li si n t r o d u c e df o rt h es t r u c t u r a l t o p o l o g yo p t i m i z a t i o nw i t hm u l t i m a t e r i a l t h ev e c t o r1 e v e ls e tf u n c t i o ni s i n c o r p o r a t e dw i t ht h et o p o l o g yo p t i m i z a t i o nm o d e lf o rt h eh e a tc o n d u c t i o n p r o b l e m a n dt h e n ，t h ev e l o c i t yf i e l do ft h ev e c t o rl e v e ls e tf u n c t i o ni s c o n s t r u c t e dw h i c hm a k e st h eo b je c t i v ef u n c t i o nd e s c e n t t h ef i n a lr e s u l to f m u l t i m a t e r i a ls t r u c t u r a lt o p o l o g yo p t i m i z a t i o ni so b t a i n e db ys o l v i n gt h e m u l t i p l el e v e ls e te q u a t i o n s f o rt h ee l a s t i c i t yp r o b l e m ，w ee s t a b l i s ht h e s t r a t e g yo fm a t e r i a ls u b s t i t u t i o na c c o r d i n gt ot h ed i s t r i b u t i o no fv o n m i s e s s t r e s sw h e nt h ec u r r e n tm a t e r i a lv o l u m e se x c e e dt h ev o l u m ec o n s t r a i n t s ， w h i c hc a ns u p p r e s st h ed e p e n d e n c eo fi n i t i a l i z a t i o nf o rm u l t i - m a t e r i a l d e s i g nt os o m ee x t e n t f i n a l l y , t h es i m pm e t h o db a s e dt h ep e n a l i z a t i o np o w e ra n dt h ef i l t e r r a d i u so ft h r e e d i m e n s i o n a ls t r u c t u r a l t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n f o rt h e p r a c t i c a le n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o ni se x p l o r e d t h e n ，w ed i s c u s st h er a t i o n a l r a n g eo ft h ep e n a l i z a t i o np o w e ra n dt h ef i l t e rr a d i u sf o rt h r e e d i m e n s i o n a l s t r u c t u r a l t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n t h e t h r e e d i m e n s i o n a ls t r u c t u r a l o p t i m i z a t i o nr e s u l tu s i n gt h es i m pm e t h o di sc o m p a r e dw i t ht h a tb a s e do n t h el e v e ls e tm o d e l t h et h r e e d i m e n s i o n a ls t r u c t u r a lt o p o l o g yo p t i m i z a t i o n b a s e do nt h el e v e ls e tm o d e lh a sn op r o b l e mo fd e p e n d e n c eo fi n i t i a l t o p o l o g i c a lg u e s s k e yw o r d s ：l e v e ls e tm e t h o d ，t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n ，s h a p ed e r i v a t i v e ， t o p o l o g yd e r i v a t i v e ，s h a p es e n s i t i v i t ya n a l y s i s i i i 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 l 学位论文作者签名：忍刎 日期： 叼年7 月 燮 一翟j譬一令斋 p p翟弘 第一章绪论 a n a n t 磷u r e s h 1 2 、w a n gg , dw a n g 9 ”，m e i 和w a n g 1 研究了基于水平集方法的多 材料柔性结构拓扑优化设计。王晓明和刘震字 ”。j 等研究基于均匀化方法的柔性结 构拓扑优化设计。 圄卜8 自热膨胀系数材料2 计 f i g 卜8 d e s i g no f a m a t e r i a l w i t hn e g a t i v e t h e r m a l - e x p a n s i o nc o e f f i c i e n t 夏再忠、过增元和程新广1 1 ”4j 等提出了导热优化过程中的“生命”演化思想。 过增元基于热量传递现象本质，从传热学的角度定义了热量传递势容和搏量传递 势窑耗散函数，针对以提高导热效率为目标函数的导热过程优化，提出了最小热 量传递势容耗散原理。用生命演化准则“用进废退”和“优选劣态”进行高导材 料的几伺形状优化。l i 和s t e v e n 1 35 1 等将进化结构拓扑优化算法扩展到稳态热传导 结构拓扑优化设计。通过运渐移除对目标函数贡献小的热导捌料逐步实现热结 构的拓扑优化设计。b e n d s o e 和s i g m u n d ”】建立了热传导结构的拓扑优化数学模型， 设计具有最佳散热效果的结构用s i m p 方法实现了稳态热传导结构的拓扑优化设 计。g a u n a o u i 和a l l a i r e ”用均匀化方法研究了气体冷却反应器的设计问题。顾元 宪和赵红兵等 1 3 7 研究稳态瞬念热传导灵敏度分析、以及热与机械载荷同时作用 的热结构应力灵敏度分析问题，提出温度场与结构热应力耦合问题的灵敏度计算 方法。陈飚松和林巍等【i ”1 在传导灵敏度分析的直接法的研究基础上进一步探讨 了稳态和瞬态热传导问题灵敏度分析的伴随法，并提出了伴随方程的精细积分法。 同时，拓扑优化方法也被广泛应用到电磁设备的设计1 1 3 9 , 1 蚰l ，对于拓扑优化方法在 s t o k e s 流、弹性波、声波等中的应用，可以参考文献 5 7 。 上海交通大学博士学位论文 1 5 课题研究意义与目的 结构拓扑优化正成为许多工程设计中必不可少的工具。其应用涉及航空航天、 机械、土木、水利、汽车、能源工业等诸多领域，主要处理复杂结构系统中的设 计问题，如航天器、飞机、射电望远镜等。随着结构拓扑优化技术的发展，将极 大地促进相关领域的工程设计自动化水平，提高产品的性能、可靠性、经济性和 缩短产品开发周期。 本课题将基于水平集模型，建立一种能兼顾拓扑变化的边界描述方法，和对 复杂形状和拓扑变化的表达方式，研究在处理拓扑变化、边界表达精度、自动化 程度及多材料设计方面高性能的结构优化方法。将这种综合考虑几何模型和物理 模型的拓扑优化方法应用到基本的连续体结构拓扑优化( 最小柔度设计) ，同时将 该方法扩展应用到温度场的单材料以及多材料的拓扑优化设计问题。通过对拓扑 优化算法的改进，将有能力处理更一般、更复杂的结构拓扑优化设计问题，可为 工业产品设计提供一个技术平台，具有广阔的工业应用前景。长远来看，该课题 的研究将推动基于多材料的结构设计领域的理论和技术，对机械结构设计科学和 散热结构设计领域的推动具有十分重要的意义。 1 6 本文主要研究内容与本文结构 由于传统的结构拓扑优化领域存在的问题( 如1 2 节所述) ，本文研究基于水平 集的结构拓扑优化设计及其相应算法的改进，研究了变分水平集方法在结构优化 设计中的应用。相对于传统拓扑优化方法，水平集方法应用到结构拓扑优化设计 具有如下优点： 1 、具有清晰的几何边界，不存在传统拓扑优化方法的中间密度问题。基于水 平集的弹性结构拓扑优化设计没有中间密度，如图卜9 所示( 图形引自文献 【9 6 ) ，而图卜5 因为滤波作用，存在中间密度材料； 2 、几何边界在优化过程中自然处理拓扑变化，如图1 1 0 所示( 图形引自文献 【1 4 7 ) ，曲线在运动过程中边界自然合并与分离，即在不同的边界推进时 间，截取不同的水平集，自然产生拓扑变化： 3 、几何边界的描述不再依赖物理模型； 4 、容易扩展到三维空间结构拓扑优化设计，不需要特殊的数值技术； 1 4 第璋绪论 5 、通过矢量水平集方法可以方便的进行多区域分割，为多材料设计提供有效 的几何模型。 藩霪 图卜9 基于水平集的结构拓扑拓扑优化 f i g 卜gs t r u c t u r a l t o p o l o g y o p t i m i z a t i o nb a s e do n t h e l e v e ls e t m e h t o d 囊蔓鼻 飞师y 图卜10 曲线拓扑变化 f i g 卜1 0t o p o l o g i c a lc h a n g e so f s g e c ec u f v e s 本文用水平集方法隐含表示材料区域的几何边界，通过形状导数理论或变分 原理进行形状灵敏度分析，通过求解水平集方程使材料边界推进，逐步获得最优 的材荆分布，满足目标函数最优；由于基于变分水平集方法的优化问题是非凸的， 所以最终收敛结果依赖于结构的初始化( 初始拓扑猜删的依赖性) 。对热传导问题， 引入拓扑导数理论，根据拓扑导数的分布情况，在优化的过程中逐步产生新的拓 扑，通过边界推进实现形状优化：针对初始拓扑猜测依赖性，对弹性问题，根据 v o r t m i s e s 应力的分布情况，在 c o n m i s e s 虑力分柑小的地方去除材料，产生新的 拓扑然后通过与基于水甲集的形状优化循环迭代，逐步实现结构的拓扑优化； 利用矢量水平集函数隐式描述多材料域，各材料域之间没有重叠，没有中间密度 材料出现，使用矢量水平集技术研究多相材料热传导问题与弹性问题的拓扑优化 设计。 本论文的具体研究内容分以下几章介绍： 第二章：讨论弹性结构与散热结构的连续体拓扑优化模型。描述了利用水平 集方法隐式表达运动边界的优点与基于水平集方法的优化理论的基本原理，讨论 上海交通大学博士学位论文 了以形状为设计变量的灵敏度分析的两个主要形状导数定理，最后给出基于变分 水平集方法的结构拓扑优化的基本过程： 第三章：研究基于水平集方法的散热结构拓扑优化设计。以温度梯度范数平 方的积分作为目标函数，利用形状导数理论进行灵敏度分析，构造优化问题的最 优解条件。由于最终优化结果对初始拓扑猜测的依赖性，同时水平集方法不能在 设计域上产生新的孔，引入拓扑导数理论辅助产生新的拓扑，然后求解水平集方 程实现形状优化，通过拓扑分析与形状优化的逐步迭代实现散热结构的拓扑优化 设计； 第四章：研究基于水平集方法的弹性结构拓扑优化设计。研究组合应用v o n m i s e s 应力分布情况进行开孔与水平集方法的结构拓扑优化技术，在一定程度上抑 制初始拓扑猜测依赖性；使用基于材料单元隐式表达嵌入边界，利用极限窄带内 的单元更新实现边界推进，通过使用极限窄带的单元推进方法极大的提高了结构 拓扑优化效率： 第五章：研究热传导问题与弹性问题的多材料设计。使用矢量水平集表达多 材料区域，这种表示方法没有材料域的重叠，没有中间密度的出现。研究了多材 料的散热结构拓扑优化设计和根据v o nm i s e s 应力分布情况开孔的多材料弹性材 料设计问题； 第六章：将基于s i m p 方法的二维弹性结构与散热结构拓扑优化扩展到三维空 间。给出三维弹性结构拓扑优化条件，研究三维空间中密度惩罚项与滤波半径对 优化结果的影响。最后，给出基于s i m p 方法的弹性结构与散热结构的三维空间拓 扑优化数值算例，通过与基于水平集方法的三维弹性结构拓扑优化设计比较，得 出基于水平集模型的三维结构拓扑优化问题不存在中间密度与初始拓扑猜测依赖 性问题； 第七章：最后，对全文工作与创新之处进行总结，对今后的研究工作进行展 望。 本论文综合运用水平集方法、形状导数理论、拓扑导数理论、最优化方法、 偏微分方程( p d e ) 及其数值解、数值分析、有限元等基本理论，以多材料的散热结 构和线弹性结构的拓扑优化理论和方法为主，通过计算机仿真验证算法，开展本 课题的研究工作，全文的组织结构与创新内容如图1 - 1 1 所示。 1 6 第一章绪论 图卜1 1 全文组织结构与主要创新内容 f i g 1 1 1t h es t r u c t u r eo f t h ed i s s e r t a t i o na n dt h em a i nn o v e lc o n t r i b u t i o n s 1 7 本章小结 本章综述了结构拓扑优化的国内外发展情况与结构拓扑优化方法的扩展应 用，阐述了基于水平集方法的结构拓扑优化发展概况。根据课题的研究目的与意 义，说明本课题研究的必要性。最后，阐述了本论文研究的内容，给出本文的主 体结构。 1 7 第二章拓扑优化问题与水平集方法理论基础 第二章拓扑优化问题与水平集方法理论基础 本章阐述了连续体弹性结构、散热结构的拓扑优化问题模型。讨论了水平集 方法与基于水平集方法的优化原理。利用形状导数理论，阐述了基于水平集方法 的优化的基本过程。 2 1 拓扑优化问题定义 2 1 1连续体弹性结构拓扑优化问题定义 本文研究两类问题的拓扑优化设计卅性问题与热传导问题。 题，结构的柔性( 外力功) 作为目标函数，柔性定义为【5 6 】： ( q ) = 厂u d x + f 。h u d x = c s ( “) s ( “) 出 式中： 工目标函数 q 一开区域，q c 吼2 f 坤力 h 表面力 c 1 单性常数 g 应变张量 “弹性体位移，为下面弹性问题的解： 一d i v ( c r ( u ) ) = f 甜q “= 0 u f d ( c r ( “) ) ，z = hu f ， p ) ) = 0 u f 式中： 仃应力张量 r d 书i r i c h l e t 边界 f 刊e u m a n n 边界 r 自由边界 1 9 对于弹性问 ( 2 - 1 ) ( 2 - 2 ) 上海交通大学博士学位论文 公式( 2 2 ) 中的区域q 的边界由三部分组成，孢= f d u r ，u r ， 界r 在优化的过程中不受任何约束的作用。应变占和位移u 的关系为： 占( “) = 寺( v l + v f 甜) 式中： v 梯度算子 丁矩阵转秩 应力仃和应变占的关系为： 仃= 五矗f v ( “) j + 2 占( 甜) 式中： 咖散度算子 ，砷位矩阵 力与1 ，口垅垂常数，与材料物理性质有关 定义扩展设计域d 包含所有可能的优化形状与拓扑结构， 与拓扑结构u a d 定义为【9 l 】： u a d = q c d l l q l 其中自由边 ( 2 - 3 ) ( 2 - 4 ) 则所有可能的形状 式中： 兹允许体积约束 根据以上优化目标函数的定义( 2 - i ) 与线弹性问题的定义( 2 - 2 ) ， 拓扑优化问题的优化模型定义为柔度最小( 刚度最大) 5 6 , 9 1 , 9 5 】， 埘以砌i z ej l f 2 ( q ) e u t 、， s u b j e c t t o ： a ( u ，v ) = ，( v ) ，v q t 、 u 。u oo nld 上出v o 式中： v 川位移 乩罐位移空间 a 能量的双线性形式 ，载荷的线性形式 2 0 ( 2 5 ) 线弹性结构 ( 2 - 6 ) 第二章拓扑优化问题与水平集方法理论基础 能量的双线性形式口( 材，v ) 和载荷的线性形式，( 甜) 分别定义如下： 口( 材，y ) = s a c g ( 掰) 占( v ) 出 砸) = l 厂甜出+ f 。h “d f ( 2 - 7 ) ( 2 - 8 ) 2 1 2 连续体散热结构拓扑优化问题定义 散热结构对设备正常运转具有重要影响，在机械、电子与医疗设备的许多产 品中要考虑散热结构的设计问题。例如，现代电子产品的运行速度加快、功能增 强，然而其体积与重量却大大减小，体积的减小意味着单位体积的热生成率和表 面热流量增加，因此，电子产品的散热结构设计对保证电子设备的正常、可靠的 工作有重要的意义【1 4 i 】。 散热材料域qc 孵2 ，q 的边乔由三部分组成，即孢= r du r ur ，则材料 域的温度口是下面边值问题的解， 一趟g = z i nq q = g o nf d( 2 9 ) ka ，、q = 壳o nf a n 式中： 茁热导率( 导热系数) g 设计域的温度 z 结构内部热源 g 咖i r i c h l e t 边界条件f d 上的温度 疗珈界的外法线方向 壳刊e u m a 衄边界条件r 上的热流密度 温度g 是方程( 2 9 ) 的解，引入虚温度w eo ) w ( 相应弹性力学问题的虚位移v ，瓯为 虚温度场) ，由方程( 2 9 ) 的第一式得： 一( t c _ a q + z ) w d x = 0 ( 2 一l o ) 由式( 2 - 1 0 ) 得： - ( t c a q ) w d x l e w = 0 ( 2 1 1 ) 由分布积分法与g r e e n 公式，公式( 2 - 1 1 ) 左边第一项为： 2 l 上海交通大学 尊士学位论文 ( 幽) w 出= v ( x v q ) w d x = v ( k v q w ) d x l ( 胛g ) 。v w d x ( 2 - 1 2 ) = 工；r 。u r 。( i c v q w ) 靠d e 一i h ( t c v q ) v w d x 由于在d i r i c h l e t 边界r d 上虚温度满足w = 0 【1 4 2 1 ，应用公式( 2 9 ) ，公式( 2 1 2 ) 为： l ( , v a q ) w d x ：“胛g w ) ，2 d f l ( 胛g ) v w d x = f 。k 熹w d r 一( 冈g ) v w 出( 2 - 1 3 )嚣h a n b 、 _ = f 。h w d f 一q c v q ) v w d x 将公式( 2 1 3 ) 代入公式( 2 - 11 ) 得： 一工。h w d f + ( 押g ) - v w d x e w = 0 ( 2 - 1 4 ) 定义对称的双线性形式彳( g ，w ) 与热载荷的线性形式三( w ) 分别为： a ( q ，w ) = 上( t c v q ) v w d x ( 2 1 5 ) 三( w ) = l z 脓+ f 。h w d f ( 2 - 1 6 ) 将公式( 2 1 5 ) 和( 2 一1 6 ) 代入公式( 2 - 1 4 ) 得： a ( p ，w ) = 三( w ) ( 2 1 7 ) 公式( 2 1 7 ) 为热传导边值问题( 2 - 9 ) 的弱变分形式。 为了提高散热效率，本文以温度梯度范数的平方( 热量传递势容耗散函数) 作 为优化目标函数d o s , 1 3 4 , 1 4 3 - 1 4 5 1 ， j 2 ( q ) - - 上盯 v g ( z ) 陋( 2 - 1 8 ) 根据最小热量传递势容耗散原理【1 3 4 1 ，为了使导热过程最优、散热效率最高， 就是使材料域的温度梯度范数的平方最小，即材料域的温度梯度趋于均匀。散热 结构拓扑优化的模型描述为， m i n i m i z e 以( q ) q e ”一 s u b j e c t t o ： 彳( g ，w ) = 三( w ) ，w ( d w ( 2 1 9 ) g = go 1 r d l 出圪 第二章拓扑优化问题与水平集方法理论基础 公式( 2 - 1 9 ) 中最后一项表示散热材料的体积约束。 2 2 水平集方法简介 2 2 1 水平集方程 水平集方法是o s h e r 和s e t h i a n 1 4 6 1 首先提出的用来分析和计算运动界面的一种 数值方法。水平集方法的主要思想是将研究的曲线或曲面嵌入到高一维空间的水 平集函数中去。在一定的速度场驱动下，通过求解水平集方程实现曲线或曲面的 边界运动分析与跟踪。图2 1 表示二维曲线嵌入到三维空间中的水平集函数中1 4 7 】。 z e r ol e v e l s e t e m b e d e dl e v e ls e tf u n c t i o n ( x ，y ，t ) ( x ，y ，f = 2 ) = 0 ( x ，y ，t = 1 ) = 0 o ( x ，y ，t = 0 ) = 0 图2 - 1 基于水平集方法的隐式曲线表示 f i g 2 1l e v e ls e tm e t h o db a s e di m