（应用数学专业论文）哈密顿系统双曲无扭转环面的保持性.pdf

f i y i i i i i1175llllllllllllli13llllll9llliil6llllll攀 p e r s i s t e n c eo ft h eh y p e r b o l i c n o n t w i s ti n v a r i a n tt o r ii n h a m i l t o n i a ns y s t e m s s u b m i t t e dt os o u t h e a s tu n i v e r s i t y f o r t h ea c a d e m i cd e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e b y w a n gl e i s u p e r v i s e db y p r o f x uj u n x i a n g d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s ，s o u t h e a s tu n i v e r s i t y d e c e m b e r2 0 0 9 一、学位论文独创性声明 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果 尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 签名：王互 日期：1 2 = ! = 1 1 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复 印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包 括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理 摘要 本文考虑哈密顿系统双曲无扭转环面的保持性问题哈密顿函数为g ( p ，q ，乱，可) = h ( p ) + ；凳1 嗡( 嵋一哼) + ，0 ，q ，u ，口) 通过引进外部参数，线性化，k a m 迭代等思想方法，证明了 如果频率映射在某个丢番频率处有非零拓扑度，则以这个丢番频率为切向频率的低维双曲 不变环面在小扰动下保持下来 关键词：哈密顿系统；k a m 理论；双曲不变环面 ab s t r a c t t h i sp a p e rc o n s i d e r st h ep r o b l e ma b o u tt h ep e r s i s t e n c eo fn o n - t w i s th y p e r b o l i cl o w e rd i - - m e n s i o n a li n v a r i a n tt o r if o rh a m i l t o n i a ns y s t e m s h a m i l t o n i a nf u n c t i o ni sh ( p ，q ，札，口) = h ( p ) + 器1q j ( 嵋一喀) + f ( p ，q ，u ，口) b yu s i n go u t e rp a r a m e t e ra n dk a mi t e r a t i o n ，w ep r o v et h a ti f t h ef r e q u e n c ym a p p i n gh a sn o n z e r ob r o u w e r st o p o l o g i c a ld e g r e ea ts o m ed i o p h a n t i n ef r e q u e n c y ，t h e nt h eh y p e r b o l i ci n v a r i a n tt o r u sw i t ht h i sf r e q u e n c yp e r s i s t su n d e rs m a l lp e r t u r b a t i o n s k e yw o r d s ：h a m i l t o n i a ns y s t e m s ；k a mt h e o r y ；h y p e r b o l i ci n v a r i a n tt o r i n 摘要 a b s t r a c t 目录 第一章引言 1 1 1 预备知识 1 1 2 背景与主要问题 3 第二章主要结果 7 第三章引理 9 第四章定理证明 1 4 第五章致谢 3 2 参考文献 3 3 第一章引言 1 1 预备知识 为了叙述问题的方便：我们先引入一些记号和定义 定义1 1 ( d r ，。) 复区域d ，。= z ：i i m x i s ) x 可：i 耖1 1 r 2 ) x z ：i z l 2 r ) 乏：l 乏1 2 r ) c c n 2 7 r z n c nxc m c m ，其中 f 可1 1 = i = 1 l 玑i ，i z i 。o 2 ，m s 。a s x n i z t i ， 2 表示通常的欧氏范数 定义1 2 ( 范数) 函数( x ，y 忍丢) 关于变量z 是以2 1 r 为周期的，在复区域d r 。上解析设，的傅里叶展 式为f ( x ，y ，名，牙) = 惫，诞z 。，j ，l z mf k i j l y 手e 仃( 七，引，定义 川即= 。s u p i f k t j l l y z j 5 。e i k | s ， 龇 r 2 ，i z l 2 0 ，使得 ，训莳，v 0 # k 印n ， 其中= l k l i + + i k | ，则称频率u = ( u 1 ，u n ) 满足d i o p h a n t i n e 条件 定义1 4 ( k o l m o g o r o v 非退化条件) 设u = u ( ) ，a ，a 为r n 的有界闭连通区域，称d e t ( 甏) 0 或等价地r n 佗七( 赛) = 扎 为k o l m o g o r o v 非退化条件 定义1 5 ( r f i s s m a n n 非退化条件) 设u = u ( f ) 在a 上解析，a 为舻的有界闭连通区域，如u ( ) 不恒在任何一个经过原点 1 东南大学硕士学位论文 的超平面上，即 a l w l ( ) + n 2 u 2 ( 毒) + + u n ( 专) 0 ，v ( a l ，a 2 ，a n ) r n o ) ， 则称u 满足r f i s s m a n n 非退化条件 定义1 6 ( 辛结构) ocr 2 n 上的辛结构是指0 上的一个非退化的闭的2 形式若( q ，p ) = ( q l ，骱， p l ，陬) 为r 2 n 上的基坐标，则辛结构f = d qad p = 銎1d a ia 觑为标准辛结构由 d a r b o u x 定理知：设f 为开球上的辛结构，则存在辛基使f 在此基下为标准的辛结构 定义1 7 ( 哈密顿系统) 设h ( t ，p ，口) ，( t ，p ，q ) 0cr 1xr nxr n 是0 上的光滑实函数，称系统 圣= 耳，叠= 一 ( e l i = 瓢则) ，硪= 一面o h 舢h _ l 川， 为哈密顿系统日称为对应于哈密顿系统的哈密顿函数p = ( p l ，陬) ，q = ( q l ，) 称为 共轭变量 定义1 8 设，( z ) 是拟周期函数，则定义，的平均，= ( 击) n 詹丌f ( z ) d x l d x n 定义1 9 若q ( t ) = ( q l j ( t ) ) l i ，j n ，则囝= ( 奶) 1 t ，j 几称为q ( t ) 的平均，其中 奶= 去z r 蜘( 岫 2 定义1 1 0 ( w h i t n e y s 范数) vcr n 为一开集，ucv 为一闭集，令a m = 七缉u o ) ：0 k m ，m ) 设 g = g k k a 。为一族函数，g k ：u _ r 满足存在常数c 0 ，使得对任意k 4 m 及z ，y u 有 i g 老( z ) l c ，l 鳜( z ) 一鲰+ f ( 可) 坠群l c 忪一可i l m - j 卅1 ， i i l _ m i k l 。 其中坦产为通常的多重指标记胪( 矿) 为所有g 的集合定义l lg1 1 w = i n f c 设f c m ：v _ r 且满足存在常数c 0 ，使得对任意k a m 及z ，y v 有 i d 七f ( x ) l c ，i d 惫，( z ) 一d k + l ，( y ) i 兰亏掣i c l iz yi i m - i 詹i + 1 ， 东南大学硕士学位论文 3 记w m ( y ) 为所有，的集合定义0f1 1 w = i n f c 定理1 - 11 ( w h i t n e y s 延拓定理) 对任意闭集ucv 及v m ，存在一个线性扩展算子：w m ( u ) 弓ghf w m ( y ) 使得 d 七，i 【，= g k ，v k a m ，| lf1 1 w 0 ，使得如果j i 川即e ，则系统( 1 4 ) 有一个以o g o 为切向频率 的双曲不变环面 本文用【8 】8 中的k a m 迭代思想，通过引进外部参数得到一个新的哈密顿系统，对系统 ( 1 4 ) 做变换 p = 毒协口一，等等= 磊 且线性化后我们得到新的哈密顿函数 日( p ，q ，乱，移) = 危( 毒+ y ) + ( 1 2 z ，乏) + ，( z ，y ，z ，丢) = e + u ( ) ，y ) + ( q z ，牙) + p ( f ；z ，y ，z ，丢) 其中e = ( ) ，u ( ) = h p ( ) ，p ( ；z ，y ，z ，牙) = ( y ，毒) + ，( ；z ，y ，z ，乏) ，其中f d 是参数这里 e 是能量常数，不影响系统的动力学性质，在本文的讨论过程中，通常将其省略，叫：一u ( ) 被称为频率映射，p 是小扰动项设 h = f dl 垅5 t ( ，a d ) 盯 其中口 r 0 是小常数，设盯是在c n 中的半径为矿的复邻域，即 h 盯= 毒c nld i s t ( f ：h ) 伊) 则，哈密顿函数日( 荨；z ，y 牙) 在i i 仃d ( r ，s ) 上是实解析的，其对应的哈密顿系统变为 ! 圣= 以= u ( 毒) + 局( f ；z ，y ，z ，丢) 沪也一蹦乐而弘幺动 ( 2 2 ) 言= 也= q z + p z ( f ；z ，y 忍牙) 【乏= 一凰= 一1 2 z 一岛( ；z ，可，z ，乏) 东南大学硕士学位论文 因此，系统( 1 4 ) 的不变环面问题被转化为系统( 2 2 ) 的依赖参数i i 的不变环面问题从 而定理2 1 可转化为下面的定理2 2 定理2 2 ：设日( ；z ，y ，z ，牙) = ( ) ，y ) + ( 1 2 z ，丢) + p ( f ；z ，y ，z ，牙) 在h 盯d ( r ，s ) 上实解析， 其中h r n 是有界单连通区域设6 0 0 = u ( 岛) ，岛i i 假设0 j 0 满足( 2 1 ) 且 d e g ( w ，h ，u o ) 0 则存在充分小的正数e 0 ，如果0pi i n 。d ( r i s ) e ，则存在& i i 使得哈密顿系统( 2 2 ) 在参 数= 处有一个以w 0 为频率的不变环面一 在第四章我们将给出该定理的详细证明 8 第三章引理帚= 早ji 璀 本节我们给出定理证明要用到的一些引理，为了方便阅读，我们尽量给出它们的证明 这些结论都是k a m 迭代中经常用到的设是定义在带状复区域 d ( 8 ) = z c n ：i i m x o o s ) 上的解析函数空间，即 = ，( z ) i ，( z ) = 厶e ( 七，引，i i ，眦= l i e 帅 。o ) k e z n k e z n 令 刃= _ ( f ( x ) l f ( x ) ，【，】= f o = o ) 引理3 1 ：若，的傅里叶展式为南加 e ( 七，们，这里i = 厂= t 关于，的傅里叶 系数有下列估计 l i j j ，i f 。e - 川5 ，v k z n 证明：厂的傅里叶系数可由下列积分表示 “2 南i p f ( o ) e - i ( k , o ) d 9 | 我们知道解析函数在解析区域上沿闭路积分为0 ，所以 = 赤二。f ( o - i v ) e - i ( k o - i 妒) d p ， 其中妒为任意常实向量满足剧 5 选取妒= 0 一p ) ( e l ，) 满足0 k s0 川。e - i 七i p - - i i 川。4 i 舻1 e p l k l kl k l = t k c k n e k pl l 川s ， 其中常数c 仅依赖于n 引理3 3 ：记 q a r2 扣：u ) i 斋，v o # k 矿) 假设u q a ，r ，g ( x ) 田则方程 有唯一解，( z ) u o p 。嗣但p ，且 i i ，i i s - p _ 而c l s ， 其中常数c 仅依赖于n ，丁 证明：将，和g 展成傅里叶级数 由 ，= e ( 七引， k 6 z ” g = g k e ( 如) 知z n 钆，= 酏u ) e 撕 。) = g k e ( 七引， 知z n七z n 我们解得 ，=赤e“t引，0=if=ookezi 。、。，一 其中【，】= 南厅nf ( x ) d x 由引理3 1 得 i i ，| i s p 丽i g k l e l k l ( s - p ) k # o ii 警三r e 咔i p 、“一 “ 七0 警叫。4 n l r l n - l e - t p 赤怕， q q 口t “” 1 0 对“ = z ，如 = 厶 吣 n 芦 l l ，瓦 东南大学硕士学位论文 其中c 仅依赖于n ，丁 注：引理3 3 可得到更好的结果，事实上有| i ，i i s - p 嘉i i9i i s , 0 p 0 ，g ( x ) 则存在一 个充分小的e o = e o ( q ) ，使得对v f i ( z ) ，当i l 壳i i s 0 ，从而算子己可逆：且 l l ：一 是有界算予取e o 充分小使i i _ 1 怪击令 t f = l - 1 ( g ( z ) + f i f ( x ) ) 下面证算子t 存在不动点 对任意的 ，厶，有 i it a 一? ，2l i = l ll - 1 孬( 一，2 ) i i = u 三一1i i i i 孬i i i i 一，2i i 去。| i 一尼| 1 5 壹i l 一，2 i i 11 从而在b a n a c h 空间上，由压缩映像原理，算子z 存在唯一不动点又 l l ，i l = i il - 1 ( 9 ( z ) + f i f ( x ) ) i i l ll 一1i i i i9 ( z ) + 孬，( z ) i i i il 一1i i ( 1 1g ( x ) 忡i i 洲f ( x ) 雌去( 1 1 9 ( 圳i + e 。l i ，( 圳i ) ， 于是 | i ，( z ) i i l l 夕( z ) l l ci l9 ( z ) i i ， e 0 c = 石1 引理证毕 引理3 5 ：记o h = 扣：l u q q l h ) cc n 假设，是从o h 到c n 的实解析映射若在 o h 上l ，一到o o 6 鲁，则，在o h 。上存在实解析逆映射妒并且在o h 。上有 i 妒一i d i 。，龛 d l i o - ，d i 。6 ， 东南大学硕士学位论文 1 2 这里i d 是恒等算子，尉是佗n 恒等矩阵 证明：先证，是单射令t 7 = 冬，t ， 0 2 叩且，( u ) = ，( 移) 则我们得到 t 上一口= ( t l 一，( 札) ) 一( 一，( t ，) ) ， 因此i u 一秽is2 6 2 叩 t 一t ，= ( f i d ) ( u ) 一( ，一i d ) ( v ) = ( d f 一，) ( 1 5 ) u + s 口】( u t ) ) ， 且 ( 1 一s ) u + s t ，0 8 1 ) c0 3 斗，由c a u c h y 不等式 9 = m a x d f - i b 考 0 由拓扑度的同伦不变性知 d e g ( h l ，0 2 ，7 ，0 ) = d e g ( h o ，0 2 叩，0 ) = 1 则由正则性知，h i = 0 在0 2 竹中有解，即，( z ) = y 在d 2 叩中有解所以，在上存在逆映射 妒，且i 妒一i d i 6 此外 i d 妒一，i 叶i ( d ，) 一1 一j 1 2 吁 日杀面一1 去一l 考- c a u c h y 估计：令dcc n 为开集，d r = z c 孔：l z d i 7 ) 为d 的半径为r 的邻域 设，为d r 上的解析函数，且有上确界范数为l f l r 则对所有的0 p r 及1 j 7 , 有： i 厶l r p 丢l f l ， 东南大学硕士学位论文 证明：由于厶是一阶偏导数，故只要证明一元函数的情形由f 是解析函数，由柯西不 等式得 则对任意z 0 d r 嘞 f n ( 幻) i ，7 ( 加) i 掣， 一矿 m l f f ， 2 ) 的项及关于z 和乏的二次项从而 哈密顿系统( 4 1 ) 有以c 口为切向频率的双曲不变环面圣( ，a ；t n ，0 ，0 ，o ) 下面我们先用定理4 1 证明定理2 2 ，把定理4 1 的证明留在后面事实上，令刃= w 0 ，则 我们有方程入4 - 叫( ) 4 - ( 亭j 入) = w 0 定义的解析曲线l 。：h 一入( ) ，由隐函数定理我们 有： 入( 专) = w 0 一u ( 毒) 4 - 又( ) ，v i i 进一步，如果e 充分小，我们有l 爻( ) l 8 e r 2 且艮( ) l 4 e r ，通过假设我们有 d e g ( w o u ，i i ，0 ) 0 所以如果e 充分小，我们有： d e g ( a ? i i 0 ) = d e g ( w o u ，i i ，0 ) 0 由拓扑度的小扰动不变性得： 存在& 使得入( ) = 0 所以以日( ；z ，y jz ，牙) = 日( ? 入( 已) ；z ，y ，z ，牙) 为哈密顿函数的哈 密顿系统( 2 2 ) 有一个以u o 为频率的双曲不变环面圣( ，入( ) ；t n ，0 ，0 ，0 ) = 圣( ? 0 ；t n ，o j0 ，o ) 下面我们将完成定理4 1 的证明，证明的方法是标准的k a m 迭代 引理4 1 ( 迭代引理) 考虑下面的哈密顿函数 日( ，入；z ，留，z ，丢) = ( 毒，入；y ，z ，孑) 4 - p ( ，入；z ，y ，名，丢) ， 1 5 东南大学硕士学位论文 这里( ，x ；y ，z ，丢) = 细( ，入) ，y ) + ( f t z ，乏) 其中仍( 毒，入) = “j ( ) + 入+ 九( ，入) 假设下面的条件 成立： a 1 和p 分别在m 和m d ( s ，r ) 上解析令0 e 1 , 0 p s 5 ，且p 满足： l lpi i m d ( s l r ) se = q r 2 p r + n + l e a 2 函数h 满足下式 j 危a ( f ，a ) i + i h ( f ，入) j 去，v ( ，a ) m ( 4 2 ) 且对每个口o a ，下面的函数 刃( ，入) = u ( ) + a + 危( ，入) = 刃 隐式定义了下面的解析映射： a ：i i 口一入( 亭) b ( 0 ，2 d + 1 ) 使得f 面= 0 ( 满足e - k p = e ) ，否= 鼎，三= 1 + r n a x 1 i ，l 吣( ) l 和6 = 否l ，我们有： v ( r 仍，6 ) = ( 荨，a 7 ) 盯c n | | a 7 一a ( 亭) i j cm 则存在帆cm 和d ( s + ，r + ) cd ( s ，r ) ，使得对任意的( ：a ) 地，存在一个辛映射 圣( f ，入；，) ：d ( s + ，r + ) 一d ( s ，7 ) ， 这里圣在珥d ( s + ，) 上实解析，使得 ( ，入；z ，y ，z ，君) = 日( f ，入；西( f ，a ；z ，y ，z ，丢) ) = ( f ，a ；y ，z ，丢) + p i + ( 毒，入；z ，秽，z ，牙) 其中 ( ，a ；y ，z ，丢) = ( 刃+ ( ，a ) ，y ) + ( q z ，君) ，这里的四十( 亭，入) = u ( ) + 入+ 危( f ，入) + 磊( 毒，a ) ，且 有下面的结论成立： ( i ) 新的扰动项p + 满足 j i 尸l + l i 肘4 d ( s + ，r + ) e + = q 7 + p n + 1 耳 其中 s + = s 一5 p ，叼= 涠肌= 扣r + = y r ，耳= c e ， 1 6 东南大学硕士学位论文 且 阻= 骶a ，) c n c n 睢盯一吉6 ，( f ，a ) r ，i x 7 一h i 扣cm 这里f = u w e o 。f 面 ( i i ) h 满足 | 五i 薯= 4 q ，栅+ 1 e ，v ( 专，入) m 且 帆，a ) i + i h 幽a ) i 甭1 6 e ，v ( ，入) 珥 因此，如果有 8 q 矿懈1 e 和 ( 4 3 ) 则方程 刃+ ( 亭：a ) = u ( 亭) + 入+ 危+ ( 亭，a ) = 刃 隐式定义了解析映射 a + ：毒盯十一a + ( ) b ( o j2 d + 1 ) 其中盯+ = 盯一 占，满足 阻一a ( f ) l 8 e = 8 q ，+ 州e 丢6 ( 4 4 ) 且 r 刍= ( ，入十( 车) l 玎0 + ) c 4 ( 4 5 ) 令“= 獗昂其中珥满足e p + k + = 4 如果 4 丢6 ( 4 6 ) 则对全部的刃o n 有u ( r 去，4 ) ca 4 注：上面的引理足一步k a m 迭代，如果( 4 3 ) ，( 4 6 ) 成立，h + 满足( 4 2 ) 式，且日+ 满足a 1 ，a 2 ， 则k a m 迭代能够继续 引理4 1 的证明： 日( ，a ；z ，y ，z ，虿) =( 留，y ) + ( q z ，乏) + p ( f ，入；z ，y ，z ，乏) = ( 钌，y ) + ( q 名，乏) + q ( 亭，入；z ，z ，虿) + p 7 ( ，入；z ，y ，z ，乏) 1 7 东南大学硕士学位论文 其中q + p = p 且q 仅含p 中的关于z ，乏的二次项，即q ( ：x ；x 乏) = 虫邋z 2 + q 2 ( ，a ；x ) z - 乏+ 掣_ 27 ，而( 留j 可) + ( q z ，_ ) + q ( ，a ；x ，z ，乏) 仍记为n ，p 7 仍记为p a 截断 考虑p 在d r 。m 上的傅里叶展式 p 的截断为 p = r 讲( ，入) 扩夕乏e 仃k , x 七，i e z n , j ，i e z m r= ( p k o o o ( f ，a ) + ( p k l o o ( ，入) ，y ) + ( r 0 1 0 ( 亭，入) ，z ) + ( 最0 0 1 ( f ，a ) ，丢) ) e v r ：- i ( k , z ) k e z n ，i k l 2 ，i 1 + 1 1 1 2 由引理3 2 及c a u c h y 估计知 d 1 | i d ( r , s - - p ) m c k n e k ， l | d 2l i d ( = 叩r i s ) m c 7 7 3 e b 同调方程 下面我们将寻找f ，使得日在由x f 生成的流映射x 刍l t = l = 圣变换下，能消掉r 关于 y ，z ，方的一次项，使得 ho 圣= n + + p + ， 这里+ 是新的规范项，p + 是比p 更小的扰动项 令f = f 0 ( f ，a ；x ) + 毋( 荨：a ；x ) v + 易( ，a ；x ) z + 扇( 亭，入；z ) 牙由 ho 西=n o 叉皇l _ 1 + ro 叉皇l - 1 + ( p r ) o 叉皇l ：1 = + ，f 卜+ - 冗+ z 1 ( 1 一t ) 【 f ) ，f 】| 。x t f d t + z 1 r ，f ) 。砟出 + ( p r ) ox 刍i 拄1 = + ：f + r + 上1 兄，f 。x 刍班+ ( p r ) 。圣， 1 8 东南大学硕士学位论文 和f 的p o i s s o n 括号积 我们得到 ：f )= ( 虬，乃) 一( ，疋) + ( 也疋) 一( 飓，疋) = ( q z ，f 1 ( z ) ) 一( 刃，f o ( z ) + ( z ) 可+ ( z ) z + ( z ) 乏) + ( q 牙，扇( z ) ) + ( q ；，扇( z ) ) 一( f l z ，f 2 ( x ) ) 一( q 三，毋( z ) ) 日。圣 = + ，f ) + r + z 1 冗，f ) 。x 刍出+ ( p - r ) 。垂 = n + ( q z ，f 1 ( z ) ) 一o w ( f o ( ) + f 1 ( z ) 秒+ f 2 ( z ) z + 恳 ) 乏) 一( d z ，岛( z ) ) 一 ( q 2 ( 5 ，入；z ) z ，尼( z ) ) + ( q l ( ，a ；z ) z ：扇( z ) ) + ( n 乏，扇( z ) ) + ( q 2 ( 荨，入；z ) 乏，恳( z ) ) 一 q 3 f f ，入；z ) 丢，f 2 ( z ) ) + r + z 1 r t , f ) 。x 夤出+ ( p - r ：) 。西 为消掉r 关于y ，z ，丢的一次项通过解同调方程 ，f 】= 一r = 一r o r l y r 2 z 一_ 2 牙， 我们得到： a = f o ( x ) = 嘞一【凰】 ( 4 7 ) a 四f l ( x ) = r 1 一【r 1 】 ( 4 8 ) a 刃f 2 ( x ) + ( 刃，f 2 ( x ) ) 十( q 2 ( 荨，入；z ) ，兄( z ) ) 一( q 1 ( 亭，入；z ) ，扇( z ) ) = r 2( 4 9 ) a 曰恳( z ) 一( q ，扇( z ) ) 一 q 2 f f ，入；z ) 岛( z ) ) + ( q 3 ( f ，入；z ) ，屁( z ) ) = 詹2 ( 4 1 0 ) 对于方程( 4 7 ) 和( 4 8 ) ，我们由引理3 3 ，很容易解得f 0 ( z ) 和f 1 ( z ) 设 f 0 ( z ) = e 仃( ，引， k e z ” 岛( z ) = 凰南e 丹( 七，引， k e z ” 其中系数依赖于，a 和仿则我们得到 f 0 ( z ) = 厂i ( 七，刃) 昂七e 厅( 七，z ) = 凰詹e 凡( k , x ) k e z “ k e z n 且有钌：( ，a ) u ( r ，6 ) _ 仍( f ，入) 吼否 1 9 东南大学硕士学位论文 事实上：对于任意的( ，入) u ( r 5 ) 存在仍o q ，入1 使得( ，入) u ( r ，6 ) ，所以有( ，入1 ( ) ) f 仍即u ( ) + a 1 ( 莓) + ( ，a 1 ( ) ) = 留( 毒，a 1 ) ，且i a a 1 i 5 ，贝0 l 钌 ，入) 一刃i i 入一a 1 i + i 忍 ：a ) 一 ( ，入l ( ) ) i 6 + i a i i 入一入1 l ：三善型否否 ( 当e 充分小时，i h l m a k i i ，i 吣( f ) i ) 因此我们有 ( ) i 赤，v ( ) u ( r v 0 k 时，令f k = 0 即可从而解得 眦) _ 。 蒹k 万r 丽o k e 佛力 同理可解得f 1 ( z ) 对于f 2 ( x ) 和岛( z ) ，由引理