（机械电子工程专业论文）多级齿轮传动系统稳健优化研究.pdf

摘要 稳健设计方法是近年来发展起来的一种工程设计方法，其指导思想是在设计 过程中综合考虑到不确定性因素发生微小变差时对结果影响的不敏感性而做出最 佳设计，以得到最佳设计结果。由此可见稳健设计的实质是一种优化问题，故本 文将稳健设计亦称为稳健优化设计，它的实际效果是很有意义的，比如，使产品 性能对原材料的改变不敏感，使产品对制造上的变差不灵敏，使产品对使用环境 的变化不灵敏，这样就能改善产品的可靠性。稳健设计是一种有效的保证产品高 质量的工程方法。 文中是在结合近年来工程稳健设计的发展及前人研究成果的基础上，建立了 基于多级齿轮传动系统的灵敏度分析模型，通过对齿轮传动系统中的齿轮和轴的 不确定因素的灵敏度分析，在稳健优化设计过程中找到当参数发生变化时仍能保 持可行的最优解，并且能约束或减小偏差对目标函数或约束条件的影响。最后， 木文对常规优化设计和稳健优化设计所得的的结果进行比较、分析和讨论。 关键词：稳健设计优化设计不确定性齿轮 a b s t r a c t t h er o b u s td e s i g nm e t h o di sak i n do fe n g i n e e r i n gd e s i g nm e t h o dw h i c h d e v e l o p e d i nr e c e n t y e a r s ，t h eg u i d e l i n e sa r ei n t e g r a t e dt a k i n gi n t oa c c o u n t u n c e r t a i n t i e sf a c t o r sc h a n g ei nas m a l ls c a l ed on o ta f f e c tt h es e n s i t i v i t yo fd e s i g n o b j e c ta n dm a k et h eb e s td e s i g nf o rf i n d i n gt h eb e s td e s i g nr e s u l ti nt h ed e s i g n p r o c e s s t h e r e f o r et h ee s s e n c eo ft h er o b u s td e s i g ni sa l lo p t i m i z a t i o np r o b l e m r o b u s t d e s i g ni s am e t h o do fo p t i m u md e s i g nw h i c ha c t u a le f f e c ti s v e r ys i g n i f i c a n t f o r e x a m p l e ，i tm a k e sp r o d u c tp e r f o r m a n c ei n s e n s i t i v et om a t e r i a lc h a n g e ，i tm a k e s p r o d u c ti n s e n s i t i v et ov a r i a t i o ni nt h em a n u f a c t u r e ，i tm a k e sp r o d u c ti n s e n s i t i v et o e n v i r o n m e n t a lc h a n g e ，w h i c hi m p r o v e sp r o d u c ts r e l i a b i l i t y r o b u s t d e s i g ni s a n e n g i n e e rm e t h o dw h i c he n s u r e sh i 曲q u a l i t yo fp r o d u c t t h i st e x ti so nt h e b a s i so fc o m b i n i n gt h ed e v e l o p m e n to fe n g i n e e r i n gr o b u s t d e s i g ni nt h er e c e n ty e a r s ，e s t a b l i s h i n gm u l t i - s t a g eg e a rs y s t e ma n a l y s i sm o d e lb a s e d o nt h es e n s i t i v i t y b ya n a l y s i n gu n c e r t a i n t yf a c t o ro fg e a ra n da x e si ng e a rw h e e l t r a n s m i s s i o ns y s t e m t h ed e s i g n e rc a na p p l yt h em e t h o dt of i n da no p t i m u mt h a tw i l l r e m a i nf e a s i b l ew h e ns u b j e c tt ov a r i a t i o n , a n dt h ed e s i g n e rc a nm i n i m i z eo rc o n s t r a i n t h ee f f e c t so ft o l e r a n c e sa so n eo ft h eo b j e c t i v e so rc o n s t r a i n so ft h ed e s i g np r o b l e m i n t h ef i n a l ，t h er o b u s to p t i m a lr e s u l t sa r ec o m p a r e dw i t ho p t i m a l re s u l t sa n dc o m m o n d e s i g nr e s u l t sa n dd i s c u s s e da n da n a l y z e d k e y w o r d ：r o b u s td e s i g no p t i m i z a t i o nd e s i g n u n c e r t a i n t y g e a r 西安电子科技大学 学位论文独创性( 或创新性) 声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他入已经发表或撰写过的研究成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名：辫 日期堡生且 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保 留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文：学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后 结合学位论文研究课题再撰写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在一年解密后适用本授权书。 本人签名：习蚣 本人签名：塑! 黝二 导师签名：篮堕 日期冱坦：尘墨 日期翌f 旦：z 第一章绪论 第一章绪论 1 1 课题来源及选题意义 本课题来源于工作实际中一个设备的伺服系统中的横滚伺服系统。 本课题的意义源于稳健设计问题中大量不确定性因素的存在，不确定性是工 程设计中经常遇到的问题，几乎所有物体( 或元件) 的性能都存在不确定性。在设 计一个系统过程中，一些参数的随机变化严重影响了设计的性能，因此不确定的 参数不容忽视，在产品的安全分析与设计中必须考虑不确定性因素对系统的影响， 需要建立不确定性因素的可靠性模型，而产品的性能与某个因素( 不确定) 有关 时，因素状态变化会使产品性能随之变化。当产品性能的变化相对于因素状态的 变化很小时，即产品性能对该因素的变化不敏感时，说明产品性能对该因素的变 化具有稳健性( r o b u s t n e s s ) 。自动控制等一些学科根据稳健性英文词的音译将其称为 鲁棒性。在实际问题中存在不少影响产品质量的误差因素，而消除这些误差因素 实际上很难做到，即使能做到也要花费很大力气和很高的费用。正确的做法是尽 量降低误差因素的作用，使产品性能对误差因素变化的敏感性最小。根据这种指 导思想，对产品性能、质量和成本作综合考虑，选择出最佳设计，既提高了产品 质量又降低了成本。稳健设计是一种最优化设计方法，它的实际效果是很有意义 的，比如，使产品性能对原材料的改变不敏感，这样在很多情况下能使用价廉的 低等级原材料：使产品对制造上的变差不灵敏，就能减少劳动成本，使产品对使用 环境的变化不灵敏，就能改善产品的可靠性，并减少操作成本等等，即使得不确 定性因素所引起的波动对于该系统的性能不敏感，也就是说是稳健的，达到对不 确定性参数的优化，减少对整个系统的影响，提高系统结构的性能【l 】。 介于本人的工作实际，由于长期从事发射装备操作和训练工作，在以往的操 作和训练过程发现一些不确定性因素会影响到发射进程，所以研究本课题对我很 有意义。 1 2 稳健优化设计理论的国内外研究现状 1 2 1 国外研究概况 稳健设计( r o b u s t dd e s i g n ) 方法是当前处理工程优化设计中的各种不确定性的 主流方法。稳健设计的概念由日本的t a g u c h i 首次提出，并给出了稳健设计的损失 2 多级齿轮传动系统稳健优化研究 模型法【2 1 。田日玄一傅士( d r g e n i c h it a g u c i l i ) p 】于本世纪7 0 年代创立了三次设计 ( t h r e es t a g e d e s i g n ) 。确立了稳健设计的基本原理，奠定了稳健设计的基础，并将稳 健设计方法广泛地应用于各种问题，成为日本工业迅速发展的重要因素。三次设 计法的内容无论是设计一个新产品还是一种新工艺，都可以分三个阶段进行第一 阶段系统设计( 又称第一次设计) ，提出初始设计方案：第二阶段参数设计( 又称第 二次设计) ，寻求参数的最佳搭配，提高产品性能的稳定性，它是三次设计的核心， 第三阶段容差设计1 4 1 。三次设计的主要工作一般在参数设计与容差设计中。三次设 计法在日本电子、化工、钢铁、纺织、汽车等行业被广泛应用，产生了巨大的经 济效益，三次设计法在欧美也得到了广泛应用，并被称为田口方法。进入9 0 年代 以来，稳健设计已成为各工业发达国家的热剧副。 由于稳健设计在提高产品质量方面的优良表现，使其在机械领域中得到了广 泛的应用，主要表现有：p a r k i n s o n 6 】提出两类工程稳健模型，七种稳健设计方法， 指出稳健设计的核心是一个优化问题。b e l e g u i l d u i7 】提出通过极小化灵敏度来实现 稳健设计，所用方法是在设计阶段通过选择适当变量使产品的质量对不确定性因 素的敏感性最小，从而使产品具有稳健性。t i n g 8 】研究了机构系统的性能质量和容 差灵敏度，提出系统性能质量对容差灵敏度的确定方法以及判定对容差最不敏感 的稳健设计的一般方法。 1 2 2 国外研究进展 随着计算机技术的发展，稳健设计方法也有了长足的进步，新的研究成果层 出不穷。主要成果有： 1 容差多面体法1 9 1 通过调整设计变量及其容差的大小来提高产品对一些因素干扰的不灵敏性， 以此降低产品成本，其核心是寻求一个能嵌入设计空间内的由设计变量及其最大 容差所定义的多面体的中心就是所求的稳健设计解，该方法虽然考虑了设计变量 的变差，但它与噪声因素的变差没有发生什么联系。 2 灵敏度分析法【1 0 】 其中心思想是估计出设计变量变差缸或约束变差g ( 由可控因素和不可控因 素引起的) 对质量性能指标影响的大小，文献【l l 】在此文的基础上研究了机构系统 的性能质量和容差灵敏度，提出系统性能质量对容差灵敏度的确定方法和判定对 容差最不敏感的稳健设计的通用方法。使用该方法，可以确定出受尺寸容差影响 最小的稳健机构，同时可获得高性能质量的闭合形式的理想容差分布。 3 响应面法【1 2 1 此方法对质量特性的函数表达式需经过响应面拟合得出。这种方法的缺点是 第一章绪论 首先要确定哪些交互作用是存在的，而实际工程中有些交互作用事先是不易确定 的。这一方法对产品间差异引起的噪声还难以安排试验，另外对于试验中缺少的 数据也很敏感。 4 最小灵敏度法【1 3 】 其基本思想是：在设计阶段就通过选择适当的变量，使产品的质量对不确定 因素的敏感性最小，从而使产品具有稳健性。该方法是以质量特性的灵敏度为目 标函数，该方法中没有假设变量的概率分布，但提出了两个定理，证明了如果把 不确定变量考虑成为具有概率分布的随机变量，那么灵敏度的降低就意味着失效 概率的减小。 5 变差传递法【1 4 1 提出稳健设计的一个关键概念是将设计变量的变差传递给设计函数，使目标 和约束都产生变差，将稳健设计转化为一个优化设计问题，求解目标函数变异的 最小值。稳健设计的目的是减小所诱发的变异。变差传递法非常有效地把设计变 量和噪声因素的变差传递给目标函数和约束函数，使数学模型比一般模型具有更 强的容忍因素变差的能力。 6 c h e nw e i 的稳健设计方法【l 5 】 此方法提出了一种稳健设计的途径：将由噪声因子( 不可控因子) 和可控因 子引起的变异进行极小化处理。指出稳健设计的基本原理是通过使变异造成的影 响最小而不必消除其产生的来源。 7 稳健概念探索法【l q 其基本原理也是响应面法、田e l - - - 次设计法及设计公理法( d e s i g n a x i o m s ) ，即 妥协的决策支持问题( c o m p r o m i s ed e c i s i o ns u p p o r tp r o b l e mm i s t r e e ，1 9 9 3 ；p e h l i n s k i ， 1 9 9 6 ) ，与前述c h e r tw e i 的稳健设计理论类似。它是为了解决在设计的早期阶段快 速地探索不同的设计方案并在保证设计结果质量的前提下生成高水平产品的特 性。这些产品的特性，即设计结果，不是一个答案，而是一个设计空间。在这些 设计空间中有一组设计变量及它们的可行范围。在这些可行的范围中的参数，都 是设计的方案。最后，可在这些设计空间中找出最优的和较好的方案。该方法现 已成功地应用于产品设计及生产过程设计中。 1 2 3 国内研究概况 1 9 8 4 年至1 9 9 1 年国内多家出版社先后出版发行了介绍田口方法的质量工程方 面的十几本译著和论著。数学界的中国现场统计研究会编著了两本推广三次设计 法的论著，一些有关实验设计的书籍中介绍了三次设计和稳健设计。1 9 8 9 年第1 期 的数学的实践与认识专辑进行了论述并刊登了部分论文机械工业出版社1 9 9 2 4 多级齿轮传动系统稳健优化研究 年出版了机电产品现代设计统一培训教材丛书中的三次设计一书，将三次设 计法介绍给机电行业的工程技术人员。韩之俊率先在三次设计一书中将田口 ( t a g u c h i ) 方法引入国内。陈立周等应用工程离散优化技术，对随机模型法的稳健 设计理论和应用进行了研究，并在稳健设计一书中系统地阐述了稳健设计的 基本概念、原理和方法。梁尚明等将基于正交设计的稳健设计应用于摆动活齿减 速器的模糊优化设计，提出模糊稳健优化设计方法。郭惠听将稳健设计理念和模 糊设计相结合，提出了模糊稳健设计的思想，并进行了相应的研究。总体来讲， 工程稳健设计方法在机械领域的应用获得了较大的发展。 1 2 4 国内研究进展 1 基于正交试验的稳健设计i l 7 】 文中对内啮合二级减速器建立了数学模型，但依然是借助正交表。选择了五 个主要的误差因素，使用混合水平正交表进行计算机模拟正交试验，通过对试验 结果分析，得出最佳方案。 2 基于随机优化的稳健设训博】 根据影响产品质量的因素，讨论了质量设计的准则和设计解的稳健性，并利 用随机建模原理提出一种工程稳健设计的新方法。 3 基于田口方法的稳健设计 该方法讨论了信噪比计算式可靠度的函数关系，通过插值拟合出两个信噪比 计算式与可靠度的函数曲线，运用正交表，通过方差分析得出参数最佳组合。但 在此文中所选的设计参数较少，也未考虑设计参数间的交互作用。 4 基于模糊综合评判的稳健设计【1 9 】 在稳健设计的第二阶段( 参数设计) 中采用了一种新方法一s n 比模糊综合 评判法，解决了以往采用显著性检验中的跨水平问题，即同一因素对不同指标出 现不同的水平效应是显著的情况。文中还指出了参数设计中望目特性的s n 比计算 式在机械稳健设计中的不足，并提出了更合理的计算公式： 5 基于灵敏度分析的稳健设计 2 0 1 。 提出了加入灵敏度分析产生的附加目标函数的方法实现稳健性设计，此方法 只对目标函数进行了处理，而约束函数没有变化。 6 基于随机抽样的稳健设计【2 l j 此方法通过平面尺寸链的随机抽样检验得出。 7 基于公差一成本的稳健设计l z 2 】。 提出了一种成本稳健性分析方法，试图以此来获得影响成本值及其稳健性的 关键因素。文中首先研究了公差设计中成本模型的误差因素，然后应用试验设计 第一章绪论 5 方法分析了这两类因素对成本最小值及其稳健性的影响，最后通过孔公差的设计 实例验证了该方法。 8 基于仿真模型的稳健设计【2 3 1 。 文中对汽车零部件半轴、后桥、前轴等典型汽车轴类零部件的可靠性进 行了稳健优化设计研究，并给出了计算仿真分析结果。 9 基于随机模型的稳健设计1 2 4 1 。 将设计变量作为随机变量，建立了连杆机构的稳健优化设计数学模型，并以 一个四杆机构为例进行了说明，将传统的确定性优化设计的结果与稳健性优化设 计的结果进行了对比。 近年来，随着优化设计、计算机技术以及计算智能的快速发展，在三次设计 的基础上逐渐形成了现代稳健设计方法。现有的有关机械稳健设计方法大致可分 为两大类：一类是以试验设计为基础的传统稳健设计方法，主要有三次设计法、响 应曲面法、双响应曲面法等：另一类是以工程模型为基础与优化技术相结合的稳健 优化设计，主要有广义线性模型法，容差多面体法、灵敏度法，变差传递法、随 机模型法以及其它方法等【2 5 卜【2 引。 1 3 目前存在的问题 从现有资料和实际应用看，机械稳健设计的研究还需深入进行，与实际应用 还有距离。主要问题为： 1 在传统稳健设计中，田口方法中信嗓比( s n 比) 公式在实际应用中有缺陷， 希望要达到的系统特性的目标值在公式中没有得到反映，反映的只是在所选参数 范围得出的系统特性的均值，与希望要达到的系统特性的目标值是两个概念。无 论是机械设计还是工艺参数的试验，一般事先并不能确定出可控因素( 设计参数) 优化的取值范围，使用田口方法望目特性的信噪比公式对于不同的设计参数取值 范围会得到不同的结果，有时还会因此选出不合乎目标要求的参数，无论是专家 还是普通应用者至今仍在沿用田口方法望目特性的信噪比公式。因此，应该引起 国内外学者的注意，纠正这一实际应用中存在问题。 2 文献【2 9 j 中对文献【l i 中的气动换向装置进行了“工程稳健优化设计 并将提 出的优化解( 均为连续变量的小数值) 和原稳健设计的结果进行了比较。从数字上 看该解似乎是最优的，可是将该解圆整成工艺工程实际需要的整数值后，其结果 比较原稳健设计的结果后不但没优化反而更差了，可见该最优解不符合实际应用 的要求。对于工程实际中轴的直径和长度，应选取离散的整数值，若设计出的结 果是小数值，无论怎样最优也不会在实际中采用，因而就失去了最优的意义。稳 健设计应能解决工程中的离散性、模糊性等多方面的实际问题，才会有实际应用 6 多级齿轮传动系统稳健优化研究 的前景。 3 从所看到的国内外文献看，所有的研究均没有涉及机械零件的形位公差问 题，仅限于尺寸公差问题。而形位公差对产品质量和性能有很大的影响，研究形 位公差和尺寸公差与产品质量和性能的关系，综合考虑形位公差和尺寸公差进行 稳健设计，是实际应用中不可忽视的重要问题。 4 现有文献研究的求解方法大都是单一目标下的求解方法，而实际工程问题 是多功能多目标多约束的复杂系统。多目标是优化设计研究中的一个重要课题， 如何在稳健设计中应用才能获得实用的结果，尚需进一步研究。 1 4 1 概述 1 4 稳健优化设计的建模 稳健优化设计是通过调整设计变量的名义值和控制其偏差来保证设计最优解 的稳健性，即一方面需要保证最优点的可行稳健性，当设计参数产生变差时仍能 保持最优点是可行的：另一方面使设计函数具有较低的灵敏度，即不灵敏性，使设 计参数的微小变动仍能保证质量性能指标在所规定的容差之内。 图1 1 给出了稳健设计中一般优化设计和稳健优化设计两个不确定性变量x ，和 x ，的最优点的关系。由于设计参数不可避免地存在偏差，而使约束函数值也发生 了变化衄，所以从可行稳健性来说，要求变动后的最优点x a x 仍能满足 g g 0 的约束条件。因此，稳健设计就是要使设计对象在一些参数值发生微小 的变动时仍能保证其质量性能指标稳定在允许范围内的一种工程方法，或者换另 一种说法，若作出的设计在经受各种因素干扰下质量是稳定的，或是用廉价的零 部件组装出质量上乘、性能稳定和可靠的对象，则认为该对象的设计是稳健的1 2 7 1 。 图1 1 稳健优化设计最优解 第一章绪论 1 4 2 数学模型 一般优化设计的问题的数学模型是： m i n f ( x ，尸) j 约束条件 s t g ，( x ，p ) 0 f = 1 , 2 ，i( 1 1 ) 魂( x ，p ) = 0 k = 1 , 2 9 0 0o * k l x u 式中：x 为设计变量，尸为不确定性变量。 在式( 1 1 ) 中约束条件有不等式约束g ，( x ，p ) o 和等式约束吃( x ，p ) = 0 。而约束 条件分为两类：边界约束( 即区域约束) 和性能约束，又称功能约束和状态约束。 满足约束条件的设计点，在实欧氏空间尺形成的集合称为可行设计域，简称可行 域。我们所说的“稳健调整 【3 0 1 ，即指给可行域的边界一个变异移动量。也就是， 可行的稳健设计是通过在对设计变量的优化过程中增加约束函数值来实现。这种 方法减少可行域的范围，随之降低了目标函数的优化值，当设计结果在约束边界 上或附近时，我们需要保证在制造和使用过程中引起的变量和参数的变化不会导 致设计不可行。在稳健优化设计中需要对约束范围进行“稳健调整 。从而使可 行域包容变异趋于“稳健”。而本文采用的是在约束条件中增加求敏度域半径的 约束附加进去，使目标函数更加稳健。 1 4 3 设计变量的选取 在常规优化设计中，通常是从某一质量特性出发，逐步递推与此特性相关的 设计参数，井将这些设计参数中对质量特性有显著影响，又能独立变化的若干参 数选为设计变量。用该方法确定的设计变量没有将参数的变异考虑其中。在稳健 优化设计中，我们把考虑了变异的设计变量称为可行性变量，并根据变量与设计 对象的质量特性的关系分为控制变量和干扰变量。对设计参数分类有些变量的设 计值在设计过程中选定，称为控制变量：有的变量由于在制造、使用过程中的种种 原因会产生一定的偏差，这样的变量称为干扰变量。 在机械设计中可用一组取值不同的参数来表示设计方案。这些参数可以是表 示构件形状、大小、位置等的几何量，也可以是表示构件质量、速度、加速度、 力等的物理量。在一项设计的全部参数中，可能有一部分参数根据实际情况预先 确定了数值，它们在优化设计中始终保持不变，这样的参数称为给定参数( 或称 为预定参数) ；另一部分参数则是需要优选的参数，它们的数值在优化设计过程 中是优选确定的，这类参数称为优化设计的设计变量。设计变量的数目越多，其 多级齿轮传动系统稳健优化研究 设计空间的维数越高，虽增大了设计的自由度，但优化设计的计算量也随之增加。 因此，应尽量减少设计变量的数目，即尽可能把那些对设计指标影响不大的参数 或允许变动范围很小的参数取为给定参数，只保留那些比较活跃的对设计指标影 响显著的参数作为设计变量，以简化优化设计的数学模型。 1 4 4 目标函数的确定 目标函数是优化设计中所追求的目标，是设计变量的函数。给定一组设计变 量的值，就可计算出相应的目标函数值。目标函数值的大小是评价设计方案优劣 的一个准则，因此，有时也称它为准则函数或评价函数。目标函数的一般表示式 为： ( x ) = f ( x l ，x 2 ，一j 。)( 1 - 2 ) 优化设计的目的是要求所选择的设计变量使目标函数值达到最优值，即厂( x ) 最优化。所谓最优值在许多情况下就是求目标函数的最大值或最小值。由于求目 标函数f ( x ) 的最大值等价于求目标函数一f ( x ) 的最小值，因此，最优化也就可统 一为最小化，即厂( x ) 专最小值。 根据工程设计问题中目标函数的多少，分为单目标优化设计和多目标优化设 计。当目标函数为只求一项设计指标最小值时，称为单目标优化设计；当要求多 项设计指标达到最优化时，即为多目标优化设计。单目标优化设计，由于指标单 一，易于衡量设计方案的优劣，求解过程比较简单明确，而多目标问题则比较复 杂。本文采用的是单目标优化设计。 1 4 5 约束条件的确定 设计约束是对设计变量取值范围的限制条件，约束条件分为两类：一类是边界 约束即区域约束，另一娄是性能约束，又称功能约束和状态约束。当一个约束条 件不仅与设计变量而且与另外一种参数有有关时，则称它为参数约束，有时根据 需要，可以补充约束条件，引入附加约束。当设计结果在约束边界上或附近时， 我们需要保证在制造和使用过程中引起的变量和参数的变化不会导致设计不可 行。在稳健优化设计中需要对约束范围进行“稳健调整 。满足约束条件的设计 点，在实欧氏空间r 形成的集合称为可行设计域，简称可行域。我们所说的“稳健 调整 ，即指给可行域的边界一个变异移动量，从而使可行域包容变异趋于“稳 健，也就是，可行的稳健设计是迈过在对设计变量的优化过程中增加约束函数 值来实现。这种方法减少可行域的范围，随之降低了目标函数的优化值。 加入变异移动量( 附加约束) 后把问题又转化为寻找稳健优化值。如果移动 第一章绪论 9 量是一个常数，则说明稳健优化值与常规优化值之间相差不大或两者的导数不会 发生较大变化。若在计算时忽视两个阶导数的值，那么模型就与线性模型更相似。 变异移动量促使优化值进入稳健可行性域内，这样，设计出来的产品质量特性值 就更稳健。 1 5 1 主要内容 1 5 本文的主要内容和章节安排 基于以上研究现状和存在的问题以及参考有关国内外文献，本文运用优化设 计复合形式的有关思想，采用基于灵敏度分析方法的优化设计，提出了一种稳健 优化设计的理论和方法，并将其运用到多级齿轮传动系统中。 本文的主要工作如下： 1 建立齿轮传动系统的模型，并就该系统的一些不确定性因素进行分析。 2 对系统模型的齿轮和轴进行灵敏度分析，就其灵敏集合、敏度域、敏度域 半径分别进行分析讨论。 3 对齿轮传动系统进行基于灵敏度的稳健优化设计计算，得出优化设计结果， 并用计算结果和常规优化设计结果进行对比和分析。 1 5 2 本文的章节安排 第一章对选题的来源以及意义进行论述，阐述稳健设计理论的基本知识及 其国内外发展概况和存在的问题，并对稳健设计的数学模型进行论述。 第二章对多级齿轮传动系统进行不确定性因素的分析。 第三章对敏度域分析方法进行论述，并用齿轮和轴进行实例分析。 第四章对齿轮传动系统进行优化设计计算，并对结果进行分析比较。 第五章结论与展望 第二章齿轮传动系统模型及计算分析 1 1 第二章齿轮传动系统模型及计算分析 2 1 引言 齿轮系统包括齿轮副、传动轴、支承轴承和箱体，也可以包括与齿轮传动有 关的联轴器、飞轮、原动机和负载等齿轮系统中零部件结构及相互连接关系是 一个复杂的弹性机械系统齿轮系统的动力学行为包括轮齿动态啮合力和动载系 数，以及齿轮系统的振动和噪声特性等通过齿轮系统动力学的研究，可以了解 齿轮系统结构型式、几何参数、加工方法等对这些动力学行为的影响，从而指导 高质量齿轮系统的设计与制造齿轮系统中动力和运动是通过轮齿齿面间连续的 相互作用而传递的，因此齿轮副啮合传动问题是其核心问题之一。齿轮系统是各 种机器和机械装备中应用最广的动力和运动传递装置，其力学行为和工作性能对 整个机器有重要影响因此，齿轮系统动力学问题近百年来一直受到人们的广泛 关注，对此问题进行了大量深入的分析研究，取得了相当的进展，已经形成了一 个完整的理论体系。 齿轮系统作为弹性的机械振动系统，以振动理论为基础，分析在啮合刚度、 传递误差和啮合冲击作用下系统的动力学行为，从而奠定了现代齿轮系统动力学 的基础。在线性振动理论的范畴内，人们以平均啮合刚度替代时变的啮合刚度， 并由此计算齿轮副的固有频率和振型，利用数值积分法计算系统的动态响应，这 一过程不考虑由时变啮合刚度引起的动力稳定问题，且避开齿侧间隙引起的非线 性，忽略多对齿轮副、齿轮副与支承轴承、支承间隙等时变刚度的相互关系和相 互作用对系统动态特性的影响。而齿轮系统的非线性振动理论则考虑了啮合刚度 的时变性以及齿侧间隙、齿轮啮合误差等非线性因素，把齿轮系作为一种非线性 的参数振动系统研究其基本理论、基本方法和基本性质。 齿轮传动的优化设计问题是人们研究得比较早的领域。齿轮传动的形式很多， 有直齿圆柱齿轮传动，斜齿圆柱齿轮传动，人字齿齿轮传动以及圆锥齿轮传动等， 较常用的有斜齿( 或直齿) 圆柱齿轮传动和圆锥齿轮传动，而且二者在设计过程中 有一定的相似性，可以采用同一个设计模块。传统的齿轮传动优化设计一般是以 常规设计的安全系数或许用应力为基础的。由于安全系数主要是根据设计人员的 使用经验或相关的资料确定的，缺乏定量的数学基础，具有明显的不确定性。因 此，常规的优化设计往往难以反映产品运行的真实情况。与此相对应的是，目前 齿轮传动的趋势是向高速、重载方向发展。软齿面正逐步被硬齿面取代。尤其在 一些特殊行业，由于行业的特殊性，要求齿轮传动具有较高的可靠性。这时，齿 多级齿轮传动系统稳键优化研究 轮传动的可靠度指标就显得非常重要。为了弥补常规优化设计的缺点且不失一般 性，本文在这里将现代设计方法的优化技术与灵敏度理论相结合，作为一种可靠 性优化设计方法来研究( 其实质仍然是优化问题) 。这样设计优化出来的结果，既 具有一定的可靠性，又能使优化对象的功能参数获得优化解，两种方法相辅相成， 既是一种具有工程实用价值的设计方法，又能体现优化设计的优点。 2 2 系统模型 该伺服系统的原理如下图2l 所示 图2l 伺服系统横滚齿轮机构结构图 该伺服系统由单电机驱动，动力由电机输出，经过齿轮箱的两级减速，虽后 输出到负载端。所有的齿轮都是直齿渐开线齿轮，同一个伺服系统内的齿轮的旋 转轴线都是同方向的，所以在模型的建立上，都来可以描述为一个二阶传动系统。 在齿轮中，相互啮合的齿面的材料为钢。要求齿轮的转速不超过6 0 0 j ，而电机 的转动惯量为13 5 1 0 。培m 2 。第一阶减速主动齿轮的转动惯量为 i2 7 x 1 0 “艇m2 ，本文要求对该伺服系统的齿轮转动系统和轴进行稳健优化分析 并计算出齿轮的各项参数。该模型的简图如下2 2 如示：明显看出，该系统由四 个齿轮，三个轴承组成的二阶齿轮传动系统。其中齿轮1 为高速级小齿轮，齿轮 2 为高速级大齿轮，齿轮3 为低速级小齿轮，齿轮4 为低速级大齿轮。 第二章齿轮传动系统模型及计算分析 1 3 齿 轴 图2 2 伺服系统横滚齿轮机构结构示意图 2 3 轮齿接触强度分析 轮齿面接触强度不够，齿面将产生点蚀、剥落、塑性变形等损伤。为了防止 这些损伤，必须限制齿面的接触应力不超过许用值，进行齿面接触强度计算。为 了进行齿面的接触强度计算，分析齿面的失效和润滑状态，必须首先分析与计算 齿面的接触应力。 1 两弹性圆柱体接触时接触表面的最大接触应力 两平行轴弹性圆柱体接触时，接触区表面最大接触压力的计算公式由h e r t z 于1 8 8 1 年导出的，称为h e r t z 公式。此公式是齿轮面接触强度计算的理论基础【3 l j 。 公式的假设条件如下： ( 1 ) 两圆柱体为均匀的各向同性的弹性体； ( 2 ) 两圆柱体的接触面与圆柱表面比是微小的； ( 3 ) 作用力与接触面垂直； ( 4 ) 加载后材料中的应力不超过比例极限； ( 5 ) 圆柱体为无限长； ( 6 ) 表面干燥、无润滑剂； ( 7 ) 无初应力和残余应力。 由h e r t z 公式，最大接触压力为 p 雠= ( 2 - 1 ) 1 4 多级齿轮传动系统稳健优化研究 式中p 耐综合曲率半径，p 蒯：j 掣l 。岛，p 2 分别为两轮的曲率半径。 p l + p ， 而 若两轮均为钢制时，巨= 易= e ，h = 屹= o 3 ，则得= 0 4 1 8 ，f 生皇。 yp 删 2 齿面接触应力 一对渐开线齿轮啮合时，其轮齿齿廓的接触，可以看作是以两齿廓在接触点 处的曲率半径的两圆柱对相接触。因此，可以h e r t z 公式为基础来建立齿面接触 应力基本值的计算公式。为此，只需将式( 2 一1 ) 中的最大接触应力代以齿面接 触点处的当量曲率半径，于是计算齿面接触应力基本值的计算公式，即： 仃2 ( 2 - 2 ) 由上式可知，为了计算齿面接触应力基本值仃，必须首先确定齿面接触点处 的综合曲率半径p 耐和单位齿宽上的载荷c ，下面分别进行讨论。 ( 1 ) 综合曲率半径p 耐 随齿廓啮合点位置的改变，齿廓接触点的曲率半径是不同的，因此其综合曲 率半径及接触应力也是不同的，考虑到综合曲率的变化和载荷分配的综合影响， 以及齿面间的相对滚动、滑动及由此形成的润滑状态对齿面承载能力的影响，加 上点蚀多首先出现在节线附近的齿根表面上的实际现象，并且从计算上来说，节 点处的曲率半径不随重合度而变化，因此，按节点处接触应力比较方便。 直齿轮在节点处的曲率半径为： o pf=睾sinapis m a r 。 ( 2 - 3 ) f = r u 。j j d 2 n z 2 芎8 1 眦t- 式中：磊，吐主从动轮的节圆直径； a ，端面啮合角。 ( 2 ) 单位齿宽上的载荷c 单位接触线长度上的法向力e 按下式计算 c = 争 式中：e 。：= l ，三：上 式中以2 去凡。虿矗 ( 2 - 4 ) ( 2 - 5 ) 一 箜三童堕丝堡塾至堑堡型垄盐竺坌堑 ! ! ( 3 ) 齿面接触应力基本值的计算公式 对于直齿轮，内齿轮 咿编互释慨2 倍6 ， 肯由7 一 、i 。o 日一 z e = 孕再 吼= 去k 。( 伽一t a i l ) - ( 伽a 扩t a i l 口) 】 对于两轮材料相同时： 弘氤写 乙节点区域系数 乙弹性系数 z 重合度系数 f 端面内分度圆周上的名义切向力 b 工作齿宽 碣小齿轮的分度圆直径 , 齿数比 a ，端面分度圆压力角 成基圆螺旋角 口：端面啮合角 端面重合度 e 弹性模量， e22 0 6 8 g p a 1 ，泊松比，v = 0 3 ( 除尼龙取0 7 外，其余材料都取o 3 ) 【3 2 】 3 许用接触应力 齿轮极限应力作为计算齿轮的接触许用应力，并用p 】表示。 【吲= 等z l z ，乙z z x ( 2 - 7 ) 1 6 多级齿轮传动系统稳健优化研究 式中：仃日陆试验齿轮的接触疲劳极限，单位为n m m 2 z 接触强度计算的寿命系数 z ，润滑剂系数 乙速度系数 z 。粗糙度系数 乙工作硬化系数 z r 接触强度计算的尺寸系数 品曲接触强度计算的最小安全系数 2 4 齿轮的刚度分析 轮齿的刚度是影响齿轮动载荷的一个非常重要的因素。使一对或几对同时啮 合的齿轮在每单位齿宽上产生单位挠度所施加的载荷称为轮齿刚度【3 3 1 。设齿轮宽 度为b ( m m ) ，齿轮所受的载荷为f ( ) ，齿轮的总变形量为a ( w n ) ，轮齿上载荷集 度，即轮齿单位齿宽上的载荷c o 为： 国= 詈( ) ( 2 - 8 ) 齿轮挠度为： ：!(朋朋聊)nq n 2 一【p m 朋聊 c o ( 2 - 9 ) 则轮齿刚度为c = 一1 = 一0 9 ：f ， n ( m m w n ) 。轮齿变形弯曲、剪切、接触变形等， q 仃o c t 轮齿的总变形是这些变形的总和，因此总挠度是这些挠度的和，即 旦：丛：g ，：q ( 2 1 0 ) 0 9 0 9 。一 载荷f 和变形c o 的切向值不同于法向值，因此轮齿刚度有切向刚度和法向刚 度两种。设法向刚度为c 。= e ( b c r 。) ，则切向刚度为： ：善：粤：。2af(2-11)ct cc o s 2 _ l2 了三二2n a f o o f口o c o s o f 其中：a ，为载荷作用角 在啮合过程中，轮齿的刚度是周期变化的。一般来说，节点附近只有一对齿 啮合，刚度的数值接近最大，它的刚度称为单对齿刚度，常用c 表示。端截面啮 合过程的平均刚度常称为啮合刚度，用c ，表示。 为了求得单对齿刚度和啮合刚度，必须研究齿轮在不同位置时的瞬时刚度。 瞬时刚度是通过分析不同时刻的轮齿变形，即瞬时挠度得到的。分析轮齿变形的 方法很多，有当量齿形法、复变函数保角映射法、能量法、有限元法、边界元法 第二章齿轮传动系统模型及计算分析 1 7 等。由于各种方法均程度不一地采用了某些假设，分析结果也就大同小异，与实 测值比较，其误差一般在2 0 之内。 2 5 齿轮回差分析 所谓回差，就是当输入轴( 或主动轮) 反向转动后到输出轴( 或从动轮) 亦 跟着反向时，输出轴在转角上的滞后量。实际上，回差并不一定只在反转时才有 意义，即使是在单向回转过程中，当输出轴受到一个与其回转方向一致的足够大 的外力作用的话，由于回差的存在，输出轴可能会产生一个超前量，或者当输入 轴突然减速时，若输出轴上的惯性力矩足够大的话，输出轴转角亦有可能产生一 个超前量。所以当有反向运动或机构在变载荷、振动条件下工作时，回差会直接 影响传动的准确性，而且在数值上往往超过位置误差。此外，过大的回差还会引 起传动机构的不规则运动、冲击和振动等不良后果。因此，回差是精密齿轮传动 的一个重要技术性能指标。设计时必须力图消除或减小它【3 4 j 。 产生回差的原因：齿轮传动中产生回差主要又两个原因，一是齿侧间隙，二 是传动件的弹性变形。齿侧间隙的一部分是设计时给定的，一部分时由其他因素 造成的。齿轮本身的几何形状误差以及轴之间的互相位置误差，都可能增大齿侧 间隙。此外，传动件各滑动副之间的间隙、滑动部分的磨损也可造成传动链的回 差。下面，计算几项主要的几何偏差所能引起的回差。 ( 1 ) 齿厚负偏差引起的回差 设相互啮合的一对齿轮，其中一个齿轮的齿厚减小血，则由厶所引起的回 差为： 9 ：a s ( 2 - 1 2 ) 1 2 ) d = ， 式中：r 为计算回差转角的齿轮的分度圆半径。 ( 2 ) 周节误差引起的回差 设在啮合处，一齿轮的周节增大ap ，则在此处引起的回差为： 卸：垒( 2 1 3 ) ， 式中：，为计算回差转角的齿轮的分度圆半径。 因为周节差在齿轮转一转中有正有负，即在某处有正偏差在相对的另一面就 有负偏差，所以周节偏差引起的回差是变化的。 ( 3 ) 齿形误差引起的回差 设在齿面法线方向上渐开线齿形误差为z ，则由z 引起的回差为： 1 8 多级齿轮传动系统稳健优化研究 a t p = 一3 s ( 2 - 1 4 ) 式中：r b 为相对应的齿轮基圆半径。 ( 4 ) 中心距的正偏差引起的回差 当两齿轮中心距增大血时，由此产生的回差角度为： a 妒。：2 a a t g a ( 2 - 1 5 ) 式中：口分度圆压力角o r 吼角所对应的齿轮的分度圆半径； 系数2 考虑到在同一齿的两侧面都出现同样的间隙。 ( 5 ) 齿轮安装偏心引起的回差 齿轮安装偏心时，相当于两个齿轮周期地靠近、分离，即相当于中心距变化。 在安装一对齿轮时，设齿轮l 无偏心，齿轮2 有安装偏心，偏心量为p 。其几何 中心为o 。，回转中心为o 。当它回转时，两齿轮啮合处的侧隙周期性变化。它可 假设为由中心距变化而引起。“中心距变化量“为： a c t 。( + p ) 一k c o s y + 、r 2 1 - ( e s i n r ) 2 p ( 1 一c o s y )( 2 1 6 ) 式中： 齿轮1 的节圆半径。 y 齿轮l 的转角。 由a 。值引起的回差为 瓴：塾：型兰型舭 ( 2 - 1 7 ) 1 ( 6 ) 由侧隙引起的回差 当两齿轮之间有法向侧隙c 。存在时，则由c 。引起的回差为： a t p 。= 盐( 2 - 1 8 ) 厂6 式中：吃是产生吼回差角的齿轮的基圆半径。 由前面的计算可以看到，为了使齿轮传动回差小，选用较小的压力角比较好。 压力角小，由中心距变化等引起的回差都小。 第二章齿轮传动系统模型及计算分析 1 9 2 6 齿轮固有频率分析 齿轮传动副固有频率是指齿轮系扭转振动的固有频率。包括单个齿轮的固有 频率；单组齿轮啮合的固有频率，多组齿轮啮合的固有频率。在齿轮传动过程中， 当齿轮的啮合频率等于或接近固有频率时，齿轮将会产生强烈的振动【3 5 1 。 单个齿轮的固有频率是指齿轮轴向的固有频率，把齿轮近似地看作是周边自 由、中间固定的圆板时，其轴向振动的固有频率可近似地用下式计算 厂：堕 j 2 放2 式中：r 齿轮的分度圆半径； ( 2 1 9 ) e 齿轮材料的弹性模量； r 齿轮厚度； j l l 齿轮材料的泊松比； p 。齿轮的单位面积质量 a