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结构工程可靠性原理浅析 摘要 基于坐标变换的几何意义和概率密度等高线的概念，本文提出了二维 正态相关变量条件下结构可靠指标计算的一种迭代法。经过适当的坐标 变换，二维正态相关变量的概率密度函数可以变换成更加统一的形式，从 而简化了计算。 用数值模拟的方法研究了可靠度运算的一些问题。研究表明，对于分 布参数未知的情况下，我们如果用样本去估计整体的参数，并以此来计算 可靠指标，那这种估计可能带来误差。从而，可靠指标用一个区间来表示 更加切合实际。本文用理论分析结合数值模拟的方法，讨论了可靠指标的 区间估计。 对于桁架结构，通过计算装配误差对杆件原始内力的影响，提出了结 构多余约束的概念。为判断结构系统的构件的重要性提供了一种方法。 关键词：坐标变卖哥靠藉，蒙特卡萝区间估氟多螽柬 b a s i ct h e o r y o f s t r i c t 【瓜a i ，r e l i a b i l i t y a b s t r a c t b a s e do nt h eg e o m e t r i c s i g n i f i c a n c ea n dt h ec o n c e p to f p r o b a b i l i t yd e n s i t y c o n t o u rl i n e ，an e wm e t h o dw a sf o u n dt oc a l c u l a t et h e r e l i a b i l i t yi n d e x w i t ht w o d i m e n s i o nn o r m a lc o r r e l a t i o nv a r i a b l e s w i t hp r o p e r c o o r d i n a t ec o n v e r s i o n , t h e p r o b a b i l i t yd e n s i t yf i m c t i o nc a nb et r a n s f o r m e dt ou n i f i e df o r mw h i c hw i l l s i m p l i f yt h ec a l c u l a t i o n i fw ec a l c u l a t er e l i a b i l i t yi n d e xw i t h p a r a m e t e r sg o tf r o ms a m p l e s ，i tm a y c a u s ee r r o r i tw i l lb eb e t t e rt og e ta n i n t e r v a le s t i m a t i o nf r o mt h e s es a m p l e s t h i s p a p e rd i s c u s s e dt h ei n t e r v a le s t i m a t i o no fr e l i a b i l i t yi n d e xw i t ht h e o r e t i c a l a n a l y s i sa n d n u m e r i c a ls i m u l a t i o n t h e c o n c e p to f r e d u n d a n tc o n s t r a i n ti si n t r o d u c e dw i t h t r u s s ，w h i c hp r o v i d e a w a y t o j u d g e t h ei m p o r t a n c eo f s m l c t u m ld e m e n t k e yw o r d s ：c o o r d i n a t ec o n v e r s i o n , r e l i a b i l i t yi n d e x , m o n t e - c a r l om e t h o d , i n t e r v a le s t i m a t i o n ，r e d u n d a n tc o n s t r a i n t 上海交通大学 学位论文原刨性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本入完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：曹伟超 日期：l 口叹年7 月，2 日 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在一年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密留。 ( 请在以上方框内打“4 ”) 学位论文作者签名：专传超 指导教师签名： 日期：l ，踱年7 月，2 日日期：2 一噼7 月，o 日 一、结构可靠性研究的背景 建筑结构设计的基本目的，是以最经济的手段，使结构在预定的使用期限内，具备预定的各 种功能。【l 】 结构设计的内容包括：作用及其效应的分析、结构抗力的分析、安全性分析。而结构安全性与 可靠性分析是整个工程结构设计理论的一部分，是联结结构上作用及其效应与结构抗力的纽带。长 期以来，应力分析( 即作用效应的分析) 和抗力分析( 即各类结构的设计) 吸引了大量的专门工作 者。随着工程与科学的发展，愈来愈多的人注意并投入了安全性和可靠性分析的工作中。 建筑结构设计理论正在迅速的发展之中，而结构安全性、可靠性理论的深入发展，正是其中 重要的组成部分之一。 = 、结构可靠性研究的三种模型 结构可靠性研究有三种模型：随机模型、模糊模型及非概率模型。【2 】随机性是人们首先考虑 到的一种不确定因素，它是由于因果关系不明确而形成的一种不确定性，考虑这种不确定性因素的 安全分析模型可称之为随机可靠性模型，它开始于本世纪4 0 年代，至今已发展得较为成熟，其理 论和应用都已取得了巨大的成功 而考虑模糊性这种不确定因素的可靠性模型则是7 0 年代末发展 起来的，模糊性是不同于随机性的一种强不确定因素，这主要是由于不可能给某些事物以明确的定 义和评定标准而形成的，模糊可靠性是当今可靠性学科研究的焦点，而非概率可靠性模型的建立则 是从9 0 年代才被提到可靠性学科中来的。随机可靠性模型与模糊可靠性模型都是从概率的角度来 度量结构的可靠度，而非概率可靠性模型则是用集合来描述影响结构安全的不确定因素，以一种非 概率的安全指标来描述结构的安全程度。 ( 一) 结构的隧机可靠性分析 结构随机可靠性分析可以分为两部分：其一是失效模式的确定，其二是计算结构发生失效的 概率。在随机可靠性模型出现之初，人们大部分的精力都放在模式的失效概率p f 的计算方法上，这 些方法有解析法( 如一次二阶矩法) 和数值法( 如蘩特卡罗法等) 。 以结构的失效概率为依据的结构设计方法，称为“概率设计法”。采用概率设计法时，结构可 靠度可以定义为：“结构可靠度是指结构在预定条件下和预定使用时间内完成规定功能的概率”。 ( 二) 结构的模糊可靠性分析 在随机可靠性模型已取得巨大成就的同时，人们也认识到在很多情况下这种模型的两个基本 假设：双状态假设和概率假设在很多情况下是不合理的。模糊性是一种客观属性，它是事物发展过 程中存在亦此亦彼或中间过渡状态的结果，考虑问题的模糊状态可以弥补传统可靠性分析中双状态 假设的不足。随机可靠性与模糊可靠性都是以概率为基础的，前者采用的是客观概率，后者采用的 是主观概率。当基本随机变量既具有随机性，又具有模糊性时，人们便发展了同时考虑模糊性和随 机性两种不确定因素的随机、模糊混合可靠性模型。它们的共同之处在于均是采用概率的方法来对 结构的完全程度进行描述。 ( 三) 非概率可靠性分析 概率可靠性模型在我们掌握有充分的统计数据且计算模型较精确时，是一种十分理想的结构 安全评定的模型，而对于一些大型贵重的结构，这种先决条件常常是不能得到满足的，于是概率可 靠性模型在变量的概率密度函数的确定、失效概率可接受水平的解释以及失效概率的计算精度上便 遇到了无法克服的困难。为了克服这种困难，在结构安全评定中就十分有必要发展一种与概率可靠 性并重的非概率可靠性分析模型，即非概率可靠性模型。 本论文将主要涉及结构的随机可靠性模型 三、结构随弧可靠性的三个水准 通常，各国规范安全度的理论水准分为水准一：半概率法 水准二：近似概率法：水准三：全 概率法。 水准一：分别在荷载效应和结构抗力基本变量的设计取值上考虑了概率原则，而设计安全系数 则主要是报据经验确定的。这种方法称为半概率法。我国现行结构规范中采用的单一安全系数法、 容许应力法均属于这一水准。 水准二；将极限状态函数中有关荷载效应和结构抗力的基本变量均视为随机变量，并考虑了两 者的联合分布，以此建立与结构失效概率有内在联系的安全指标，作为衡量结构安全度的尺度。这 种方法通常称为近似概率法。当前，国内外已经开始在规范中应用的二阶矩法、j c 法，均属于 这一水准。 水准三：对各种基本变量分别采用随机变量或随机过程的概率模型来描述，对整个结构体系进 行精确概率分析，使其具有最大的可靠度。这种方法称为全概率法。 以上所述的基本概念、三个水准，主要是针对静荷载作用下的结构设计及其可靠度分析而言 的。 四、结构体系的司：l 譬性 以往，结构可靠性分析多停留在单一构件与单一失效模式上，对结构体系的可靠性的研究则 不足。 结构体系可靠度分析主要包括两个方面的内容：一个是主要失效模式的寻找；另一个是结构 体系失效概率的计算。总的来讲，结构体系可靠度设计的概念和思想己被人们接受，而目前突出的 问题是结构体系可靠度研究的现状与工程设计的迫切要求不相适应。因此结构体系可靠度仍将是目 前及未来一段时期的重要研究方向之。 五、本文涉及的些工作 1 、求解结构可靠指标的一些算法的研究及其误差分析。 在变量相关条件下，求解结构可靠指标，我们一般用坐标变换的方法，但是这要求特征值和 特征向量。本文利用坐标变换的几何意义，以及概率密度等高线的概念，得出了一种求二维相关变 量可靠指标的方法。 2 、可靠指标的区间估计 我们求解可靠指标时，是根据已知的统计参数来进行计算的。而大多数情况下，这种的统计 参数是利用样本进行估计的。由于样本是随机抽取的，这样，估计出来的统计参数也是一个随机量。 本文利用理论分析以及数值模拟的方法，讨论了用样本得出的统计参数来求可靠指标可能带 来的一些问题，并指出用可靠指标的区间估计来表示可靠指标更加符合实际。 3 、结构各个部件重要性的判别。 在一个结构中，各个部件的重要程度是不同的，如何找出一种方法来鉴别各个部件的重要性， 也是一个重要的问题。这样，关键部件我们就可以设计得保守一些取较大的可靠度，而不重要的部 件，我们就可以取相对较小的可靠度，以取得最佳的经济效应，所以，关键部件的识别问题， 也是一个重要问题。这里，我们将用多余约束分量矩阵的概念，对这方面进行尝试性的研究。 3 第二章求解结构可靠指标的一些算法及其几何解释 第一节结构的可靠度与可靠指标 在工程结构，尤其是土木工程结构的可靠性分析和设计中，结构的可靠指标口是一个十分重 要的概念。设r 为结构的广义抗力，s 为结构的广义荷载，则结构的安全裕量方程( 系统功能函数) 可表示为： z = r ，s 先研究最简单的情况。假定r 和s 均为一维正态分布随机变量，且相互之间统计独立。我们 来求结构失效的概率。 咆 bo 爪 1 阡 j、 从上图中我们可以看到 图2 1 ：结构可靠指标介绍 现把z 的正态分布n ( p z ，叮z ) 转换为标准正态分布n ( 0 ，1 ) 。 z 令户三丝，则有d z = d 2d t 以及z - - - - ，扛和捌，卢一丝。代入上式后得 叮z 仃2 妒去当 唧2 卜 4 出 中j 警 ，。r 唧 壶 r k 可见，用于换元法中的随机变量t 是一个标准正态变量。得b = 中( 一! 生) ，引入符号卢，并 。 a 。 令卢= 丝，后得p ，= 中( 一p ) ，式中卢为一无因次的系数，称为可靠指标。 d ， 由于可靠指标卢增加，结构可靠度e 增大：| b 减小，结构的可靠度也随着减小，因此，p 可以用来表示结构的可靠程度。工程上目前较多采用卢表示结构的可靠程度，并称之为可靠指标。 二、可靠指际口的几何意义 可以证明，对于r 和s 都是标准正态分布的情况下，均值点到失效边界( 线性失效边界的情 况) 上的最短距离就是口值。 例如：设失效边界为：r s - i 厕j 均值点( 即原点) 到它的距离是：生2 。 设z = r - s + i ，则z 的均值为l 方差为j 此时的口值为：l ，i 。如下图所示： r | z = _ r s a f es t a t e z o 【i 。 、 | f a i l u r es t a t e 矿z o 则：昙= y + 2 ，罢= x + 2 把z 在中心点展开得到 傩 砂 z = 2 x + 2 y + 3 ，这个平面与x d - y 的交线为2 x + 2 y + 3 = 一o ，我们知道，中心点法将用这条交线来 代替原来的失效边界来求卢。那卢就是原点到这条直线的距离：卢：当罢。1 0 6 0 7 。 另外，z 的方程也可以写成：z ；工+ 2 一! 一 0 y + 2 贝l j ：亲- 1 鱼a y = 上( y + 2 ) 2 把z 神。点展开得到 & 。 抽【+ 丢y 十三，它与x - o - y 平面的交线为时三4j ，+ 吾= 0 ，即4 州= 0 。我们知道，中心点法 将用这条交线来代替原来的失效边界来求卢。那卢就是原点到这条直线的距离： 卢= 嘉= 乎乩。观。 而这一题，如果用验算点法计算，所得的口为 口= 压m 1 4 1 4 2 2 x + y 4 x + y + 6 = o + 3 = 0 一 v 一 0 fj 譬 r x 图2 4 ；不同极限状态方程的表达形式，用中心点法求得的8 也不同 如图所示，真实的失效边界是l 1 这条曲线，而中心点法，对于极限方程是z x + 2 ) 2 ) - 1 0 的表达式，将用2 她川卸这条直线来近似l 1 这条曲线。对于z _ x + 2 一歹毛 。的表达式，将 用4 x + y + 6 - - o 这条直线来近似l 1 这条曲线。也就是说，对于不同的极限状态方程的表达形式，用 中心点法求得的8 将不同。 上一节，我们用拉格朗日乘数法，得出了求验算点的公式。实际应用中，我们一般用迭代法 求解验算点。 5 】 一、变量恳际准正态分布的情况 迭代的步骤是； l 、假定一个口的值 2 、对全部i 值，选取设计验算点的初值，一般取x i = m 。 3 、计算剖，值 以1 4 、由a i = 霹 o x , 5 、由x ，= a ，p 计算新的z 。的值 计算口的值。 6 、重复步骤3 至步骤5 ，一直算到z 前后两次的差值在容许的范围为止 7 、将所得的置值代入原极限方程计算g ( x l ，x 2 ，x n ) 的值 8 、检验g ( 置户。的条件是否满足，如果不满足，则计算前后两次口和g 的各自的差值的比值 等，并由n 观一岛等估计一个新的卢值，然后重复步骤s 到，的计算，直到获得s “。 为止( 这里假定我们已经计算过两个_ b 值所对应的g 的值，若仅计算了第一个，那我们可再假定一 个卢以求得第二个，以后就可以用插值的方法估计新的p 了) 。 9 、最后由弓。d ( 卢) 计算失效概率。 对于一般正态分布，如果我们把极限方程变换到标准的坐标系中，那就与标准正态分布的情 况没有什么不同。但是这样我们就要多求一次在标准的坐标系中的极限方程，选初值点有时也不是 那么方便。而且，求出的设计验算点还要代到原来的坐标系中去求出在原来的坐标系中的设计验算 1 4 点。所以，并不是很方便。 下面，我们讨论一种，直接在原来的坐标系中计算的迭代的方法，可以不用求在变换后的坐 标系中的极限状态方程。 这种方法，在以后的变量相关条件下的迭代的算法中，我们也要用到。 设原来的方程为：f ( x l ，x 2 ，x 。) = 0 ，坐标变换后的方程为g ( t i ，r ：，t 。) = 0 。 那如果在变换后的标准的空间迭代与第一种情况没有什么两样。 不过，我们也可以不用求出g 的方程。 因为我们在迭代的过程中，只用到了警的值，以及g ( f l ，r 2 ，t n ) 的值，而这些值都可以 优 通过f 函数得出来。这样可以直接在原来的空间计算( 当然迭代的实质是在变换后的标准空间) 。 由于f ，= ( x 。一) 盯，则： t = + 仃。+ _ u f ，代2 , , f ( x t ，工2 ，) = 0 中得到； f ( t l 仃l + p ”t 2 + 仃2 + _ u 2 ，f 。+ o h + h ) = o 这个式子我们也把它记做g “，t ：，t n ) = o 根据复合函数求导的规则，可以得到； 。of，：窆堕晏of晏氇iof，类似的可以得出：o 西。鲁x i 钆砒钆1 阮。 从而a ：= 孥 a f 。 a r = a 缸 踊晒0 0 1 而f f = - - a ，卢，代a x ，= r f + 仃。+ _ u f 得= _ u f a 卢叮 这样，我们就把对t 的迭代，转为了对x 的迭代，这对我们选择验算点的初值等等方面均有好 处。而且，这样，我们就不用去计算坐标变换后的恤线的方程了。 这两种迭代算法很相似，我们把这两种情况下的迭代算法做一比较： 1 5 妒一飙 钳 笪谚 表2 1 ：两种迭代算法的比较 标准正态变量的情况一般正态变量的情况 极限状态方程g ( t l t 2 ，a l 产0坟x 1 ，x 2 ，x a ) = o a ；值的计算 o g 篆呱a f 2 摆莓r5 接葛： 迭代的公式 t l = 吨f px 。= “ 一盯：a f p 其实，这两种迭代的方法本质是一样的。第二种是由第一种推导得来的。而第一种是基础( 而 第一种方法是我们用拉格朗日乘数法推导出来的) 。 第四节有关验算点法的迭代算法的讨论 一、有关迭代自瞄的选取 当用迭代法求验算点时，对初值的选择有一定的要求，否则，可能收敛到不正确的点上去。 例如，考虑失效的边界是：( x + 2 x y + 2 ) - 1 = 0 那这代表的是两条曲线，其实真实的失效边界应该 是其中的一条如下图所示的l 1 ，我们这里仅仅是讨论计算时可能出现的情况，所以把两条曲线都 画出来了。这样，如果选择的迭代的点的初值不对，那可能会收敛到不正确的值上去。 y l l | 一 一 一 一 i【1 0 il ，k 一 一 一 一 一 一 x 图2 5 ：验算点法可能收敛到不同的点 例如，图中失效边界的方程为o 叱) 2 ) _ l = 0 。如果我们选择的验算点的初值在a 点( 一1 ，一1 ) 附近，那验算点将收敛到( - 1 ，- 1 ) ，求出的卢的值为2 ，如果我们选择的初值在b 点( - 3 ，一3 ) 附近， 那验算点将收敛9 ( - 3 ，3 ) ，求出的j b 的值是3 2 。当然，那个3 2 的解是不对的，因为失效的边 界是只有上边的那一条。我们可以从p 的几何意义排除p = 3 4 2 的那种情况。所以，选择初值时， 有时可以根据问题的几何意义做出大蕺的估计，这样不容易出错。 例如，用以下的q b a s i c 程序进行迭代时，如果口的初值选1 ，x 和y 的初值选取它们的均值， 那迭代收敛后得到的口的值为1 4 1 4 2 ，验算点的值为( - 1 ，1 ) 。而我们如果设b 的初值为5 ，x 和y 的初值依然选( 0 ，o ) ，这时，迭代收敛后的值为：4 2 4 “，验算点的值为( - 3 ，- 3 ) 。 可见，迭代点的初值以及口的初值的选取，有时会影响到最后的计算的结果。 1 7 d e c l a r ef u n c l l o n l i m i t f u m f i o n ! ( 日，w ! ) d e c l a r es u b c a l 知( b o a ! ，f ! ，w 0 n t t l c n u m = 0 0 0 0 1 b c t a = l m r = 0 m w = 0 f = r a f w = m w b e 诅l = b c t a p r i n t ”b e f o r e ：”，”b c t a = ”，k t a ”仁”，”w _ ，w c a l l c 面f w ( b m l ，w ) z l = t i m i t f u n e t i o n ( 、v 1 p r i n t ”b c t a = ”，b c t a ”# ”，l i m i f f u n c t i o 嘏w ) b e t a 2 = b e t a 1 b e t a = b e t a 2 r e m f = m f r e m w = m w c a l l c a j 向( k t a 2 ，w ) z 2 = l i m i t f u t m i o i l ( 讷 p r i n t ”b c t a _ ”，b e t a , ”，l j 蚶血随嘣w ) i = 1 d ow h i l e a b s ( b c m 2 一b c t a o i i n l a m b e t a 3 = b e t a 2 + ( ( o z 2 ) ( 7 - 2 一z 1 ) ) + ( b e t a 2 一b e t a 0 f = m f w = n l w c a l l c a l 瓤k t a 3 ，w ) z 3 = l i m i t f u n c f i o n ( w 、 1 3 p r i n t ”b e t a = ”，b e t a 3 ，”z d ，z 3 h 哪 b c t a l = t r a m 2 b e t a 2 = b c m 3 z l = z 2 z 2 = z 3 i = i + l l o o p p r i n t ”o u ts i d el o o p ”，i - 1 ，”t i l x m $ ” b e t a = b e t a 3 f = m f w = m w c a l l c a l f w ( b c m 3 ，w ) p r i n t ”b c l a = ”，b , t a 3 ，”f ”，z 3 p r i n t ”掣，”w o ；w s u b c a l f w ( b e w ) l i t t l c n u m 2 = 0 0 0 l f l = f w l = w j = 0 d o a l = y + 2 a 2 = x + 2 c o s l = - a l s q r ( a l “2 + a 2 “2 、 e m s 2 = a 2 s q r ( a l “2 + a 2 “2 1 t 2 = b e t a + c o s l w 2 = b e r n + c o s 2 i fr a b s ( o - f 1 ) 0 数值模拟的思路是：产生2 组随机数，一组是代表r ，它的均值为3 ，方差为2 。而后再产生 另一组随机数，它代表s ，它的均值为2 ，方差为3 。再计算r - s 的值，统计r - s 0 & x - 2 & y - 2 ) s a m p l e n u m 五日y 卜2 ； c = s u m ( z 2 = o 代表平面上的一条曲线。坐标轴逆时针旋转日( 或者说，曲线顺时针旋转日) ， 我们来推导一下坐标轴旋转前后点的坐标的关系。 | 菇。 7x 1 图3 1 ；坐标系旋转的示意图 如图3 1 所示，设p 点在原来的x 1 - o - x 2 坐标系中的坐标是( _ ，x 2 ) ，坐标系逆时针旋转8 角得到的坐标系为t i o - i 2 ，p 点在新的坐标系中的坐标是“，t 2 ) 。设o p 长为r 。 则：x i = r c o s a ，x 2 = r s i n a f 1 = r c o s ( a o ) = r ( c o s a c o s o + s i n as i n o ) = x 1c o s o + x 2s i n o f 2 = r s i n ( a 一9 ) = r ( s i n a c o s o c o s as i n o ) = 一x ls i n 0 + 石2c o s o 写成矩阵的形式： r ，1 1rc o s o u 3 i s j n 日 s i n o y x l1 c o s 日人工：j 因啦；= 一是啦：等 7 = ( 黧嚣) 。 胝= c o s ；等煳 即：2 t lc o s o t 2s i n o ：x 2 = t 1s i n o + t 2c o s o 坐标旋转后的方程为：f f t lc o s o t 2s i n o ，t ts i n o + f 2c o s o ) 穹。 一般日g 坐标燹挟均司以通过以上的三种变换复合而成。 二、把坐标变换的概念窿用于理解正态分布的函数 我们知道，一般正态分布是： m ，= 击唧c 一为 而标准正态分布是 删= 去吲一争 显然，一般正态分布可以看做是由标准正态分布由x 盯代x ，再由x 一“代x ，最后，把所得 的图象的纵坐标除以仃得到的。也就是说，把横坐标伸展c r 倍，右移“个单位，纵坐标降为原来 的1 g 。显然，虽然横坐标伸展了，但由于纵坐标下降了，所以，曲线与x 轴所围成的面积还是 不变的( 因为概率密度函数要满足i 。厂( x ) 出= l 的要求) 。 j 咖 我们看一下二维以及多维的情况。 二维正态分布的密度函数： m 2 焘吲一上2 ( i - 0 2 ) r 咝o 2 一 也可以看做是二维的标准正态分布经过类似的变换得到的。 2 p ( x p ，) o 一u ，) 叮j 6 r ， + 掣) ) 盯。 那我们为了求结构的可靠指标，可以把这个一般的二维正态分布的函数，用坐标变换的方法， 变成标准二维正态分布的函数。这里边有一个坐标旋转的角度的问题，需要我们通过计算来确定( 其 实，我们为了把相关的变量变成不相关的变量，从而求矩阵的特征值和特征向量，与这里求旋转的 角度是本质上是一样的，只不过求旋转的角度从几何意义上更加明显) 。 至于如果从物理上去解释，可以把求一维随机变量的概率看做求线质量，而概率密度函数看 作线密度，在坐标变换时，线密度将发生改变，但整条线的质量依然是1 。 二维的情况，可以把概率密度函数看做是面密度。求失效概率要做面积积分。积分后求得一 个板块的质量。 三维的情况，可以把概率密度函数看做是体积密度，求失效概率要对空间做体积积分。积分 后，求得一个体积的质量。高维的情况，可以看做是类似三维的情况。 对于坐标的伸缩变换，例如埂x i ，x 2 ，) 变换成坟口1 而，a 2 x 2 ，a n x 。) ，那每一个相 应的坐标收缩为原来的口f 倍，但这一点的体积密度变为原来的口 a ，a 。倍，所以对一个体积 积分来说，将不会改变体积积分的值，这也就是说，坐换变换后，体积积分的值依然是1 ( 概率密 度函数的特点要求对整个区域积分得到的值为1 ) 。 这样，我们就可以知道，为什么我们可以用坐标变换的方法来求结构的失效的概率。因为失 效边界也进行坐标变换，那坐标变换后用新的失效边界及新的概率密度函数求出来的失效概率，与 用坐标变换前的失效边界和概率密度函数所求得的失效概率是一致的( 只要失效边界起变换，那 坐标变换并没有改变失效区域内的概率密度函数的体积积分的值，也就是没有改变结构的失效概 率) 。 丽往往我们把坐标变换成标准的正态分布，对于标准正态分布的情况，我们的体积积分的计 算还可以进一步简化：如果失效边界的线性的，那直接求原点到失效边界的距离，就是可靠指标。 如果失效边界不是线性的，那我们找曲面到原点的最近的点。用这个距离做结构的可靠指标( 其实， 也就是用曲面的切面代替曲面来做失效的边界了) ，在失效边界的非线性程度不高的情况下，也可 以得到比较好的近似的结果。 这样，我们就把一个求体积积分的阀题，转换成了一个求距离的问题，从而大大简化了计算。 第二节利用概率密度等高线来理解结构的可靠指标 对于z - - - f ( x , y ) 这样的概率密度分布函数。概率密度等高线【8 】是指用一个垂直于z 轴的平面 去截硪y ) 这个曲面，所得的曲线。如果z 是一个二维正态分布，那截得的曲线是一个椭圆， 如果盯z = 叮r 且两个变量相互独立的话，那这样截出来的曲线将是一个圆。 之所以称之为概率密度等高线，是因为它和地形图中的等高线有点类似。 一、x 和y 均为标准正态分布的情况 先考虑一个最简单的情况，如果x 和y 均为标准正态分布，在这种情况下，原点到边界曲线的 距离就是可靠指标8 ，而我们知道，这种情况下，概率密度等高线是一组同心圆，以原点为圆心。 从而，概率密度等高线与边界曲线相切的那个切点，就是设计的验算点，而此时圆的半径，就是结 构的可靠指标口。 如下图所示： | 失效边界 概率密度等高线，一一 泰、 f - j 心铲 | | ， x 图3 1 2 ：x 和y 都是标准正态分布时的概率密度等高线 圈中，o p 的长度即为结构的可靠指标口。 二、x 和y 是般芷蠡分布的情况 如果x 和y 是一般正态分布，那概率密度等高线将是一组椭圆。我们先讨论x 和y 不相关 的情况。设x 的方差是仃j ，y 的方差是仃r ，我们计算卢的值是通过将x 和y 变换成标准化的变 量完成的。 坐标变换前的概率密度等高线是一组同心的椭圆。 3 l 由于坐标变换后，概率密度等高线是一组同心的圆，且有一个圆与失效边界相切，而如果坐 标变换后的边界与一个概率密度等高线的圆相切，那么坐标变换前的边界就与原来的一个概率密度 等高线的椭圆相切。因为这里的坐标变换是平移以及伸缩变换，那么，如果两条曲线在变换前相切， 那它们在变换后也相切。反之亦然。在这里，我们看到，如果我们能找到坐标变换前的概率密度等 高线与边界相切的那一条的话，那这个切点就是验算点了。而且，容易理解，这一点是失效边界上 概率密度函数值最大的鄢一点。只是这个切点并不容易求得。反而是坐标变换后的物理意义很明显， 原点到边界曲线的距离就是j b 的值。 但是知道变换前的验算点其实是变换前的概率密度等高线( 椭圆) 与变换前的边界曲线的切 点。也有助于我们理解验算点的性质。一般来说，在坐标变换前，均值点到验算点的连线并不与失 效边界垂直。 例如：下图为一个x 与y 的方差不等的例子，x 的方差比较大，所以概率密度等高线是一组 同心的椭圆，椭圆的长轴与x 轴平行。其中，有一个椭圆与失效边界相切，这个切点，就是设计 验算点。 f 0 一失_ 图3 3 ：x 与y 方差不等时的概率密度等高线 三、x 和y 是相关的正糊蹴n 变量自撇 如果x 和y 是相关的正态随机变量，那概率密度等高线将是一组椭圆。并且，这个椭圆的 长轴并不与坐标轴平行。这时，我们可以通过坐标旋转变换，把椭圆变成长轴与坐标轴平行的椭圆， 再通过坐标的伸缩变换，把椭圆变成圆。这个变换的过程，也是把x 、y 变换成不相关的标准正态 变量的过程，只不过我们把这个变换过程的几何意义在这里指出来。在这个变换的过程中，失效边 界也随着变换，这样，坐标变换后的椭圆的中心到坐标变换后的失效边界的距离，就是结构的可靠 指标8 。 下图为变量相关条件下的概率密度等高线的例子。 | 一等：坳 f 7 0多 、 x 图3 4 ：x 和y 相关时的概率密度等高线 类似的，这个切点也是设计验算点。因为这里的概率密度等高线变换后将变成圆，而坐标变 换后的概率密度等高线( 圆) 与失效边界的切点，将是设计验算点。 第三节变量相关条件下结构可靠指标的计算 一、简介 变量相关条件下求结构的可靠指标，一种方法是用坐标变换的方法，把相关变量变换成不相 关的变量。这种方法的几何意义很明白，不过这种方法要求特征值和特征向量，比较麻烦。 还有一种方法是用广义坐标的方法。 另外，有一种方法与坐标变换有些相似，但从几何上更加直观，这种方法就是我们要介绍的 图形变换的方法。图形变换，其实也是坐标变换的一种，只不过其几何意义更加明显。在这一节， 我们将找到坐标变换的几何意义，并利用这种几何意义，找到一种新的迭代的算法。 二维正态相关的箍机变量，经过适当的坐标变换，可以得出一个比较一致的步骤。也就是说 相关的公式只要推导一次就可以了，不用每次都去求特征值和特征向量。这样的话，就兼顾了几何 意义的明晰和求解过程的方便。 相关变量，我们可以用图形变换的方法，把相关变量变换成不相关的变量，并进一步变换成 标准正态分布的变量。我们对概率密度函数进行坐标变换时，只要把失效边界和概率密度函数一起 变换，那最后我们还是可以求出结构的可靠指标。 以二维的情况为例，对于一个概率密度分布函数，如果我们对它施加一系列的变换，让它变 成标准的概率密度分布函数，而在这种变换的同时，也变换那个失效的边界。因为我们所求的失效 概率可以理解为在失效区域的二重积分，也就是可以理解为一个体积。那如果在变换的过程中，这 个体积保持不变，就可以用变换后的失效概率来计算变换前的失效概率。 另外，也可以从比例的角度来理解。对于这种变换来说，在整个区域上的二重积分的值总是1 ， 那如果可以保证有效区域与失效区域的= 重积分值的比例不变，那最终失效区域的二重积分的值也 不会改变。 二维正态分布的密度函数： 一赢唰一高c 警一鼍掣+ 半， 可以看做是二维标准正态分布经过坐标变换得到的。 这样的概率密度分布函数，其概率密度等高线是组椭圆。我们进行坐标变换的思路是把它 变成圆。因为标准正态分布函数的概率密度等高线是一组圆。 二、坐标变换的步骤 整个变换的思路是：把概率密度分布函数变换成标准正态分布的函数，而极限方程也一起变 换的话，那原点到变换后的极限方程的距离，就是结构的可靠指标。一般情况下，二维正态分布的 概率密度等高线是一组椭圆，而二维标准正态分布的概率密度等高线是一组圆。 二维正态分布的密度函数： 胞力= 赢吲一志c 警一等掣+ 华， 我们进行坐标变换，把这个，( y ) 变换成标准的正态分布。( 当然，那个极限状态曲线也 要一起变换) 1 、先平移，以x + 儿代x ，以y + _ u 。代_ ) ，得到方程为： m 棚2 赢时高专一嚣+ 净 2 、再傲图形的伸缩，以仃：x 代x 以仃，y 代y ( 也就是图象x 向收缩叮，倍，y 向收缩仃， 倍) 。当然，为了保证厂( x ，y ) 这个概率密度函数对x 和y 在整个平面区域上二重积分的值为1 ，要 把z 坐标乘以盯，a ，这样，( 工，y ) 的方程变成： m 朋2 司寿e 醑杀而( 矿刚+ y 2 ) ) ，下面的变换要通过坐标旋转来 实现了。 我们研究一下这个方程。 对于这个概率密度分布函数，它的概率密度等高线的方程是： x 2 2 p d + y 2 = c ，如果我们让c = i 的话( 反正概率密度等高线是一组同心的椭圆，我们画 其中的一条示意。) 可以发现，这个方程是一个椭圆的方程，而且，它过