（固体力学专业论文）压电材料中三维裂纹问题的超奇异积分方程方法.pdf

摘要 压电材料由于其良好的电机械耦合性，被广泛用作电一机械传感、致动等装置，是智能复 台材料结构中主要的功能材料。但是在制造过程中或在高的电力载荷作用下j ：作，难免会产生 诸如裂纹、位错和空洞等缺陷，缺陷的存在使得压电材料结构的强度及使用寿命大大降低。智能 结构的强度、可靠性及使用寿命依赖于对产生的电一弹性耦台场的认识。由于压电材料的脆性特 征以及压电材料构件内部产生的耦合电一弹性场的干扰，当裂纹产生时裂纹可能在工作载荷作 用下扩展，这不仅降低了结构的可靠性，同时也影响了智能结构的功能的发挥。近十儿年来，压 电材料断裂问题已受到了许多国内外学者的极大关注。因此，对压电材料进行断裂力学分析显得 尤为重要。 由于问题的复杂性以及数学上的困难，人多数研究只局限丁二维问题，二维裂纹问题的研究 j 一作还不是很多。本文使用超奇异积分方程和边界元法，研究了三维横观各向同性压电材料无限 体中的平片裂纹问题，给山了问题的电位移、应力强度困子的数值结果，主要1 作如下： 1 利用已有的三维压电材料无限体中的格林函数，以及s o m i g l i a n a 恒等式，给山了三维横观 各向同性压电材料裂纹问题的位移与电势的一股解，在此基础上，利用裂纹面上的边界条件，建 立了问题的超奇异积分方程组，其中未知量为裂纹面上的位移和电势间断。 2 在以上理论的基础上，利用有限部积分和边界元法，建立了二维横观备向同性压电材料裂 纹问题的超奇异积分方程组的数值求解方法。 3 应用上述方法，剥典型裂纹问题的i 型断裂问题和混合弛断裂问题进行了数值计算，得到 了裂纹前沿的电位移、应力强度冈子的数值结果。 4 为获得稳定的高精度数值结果。利片j 电势和位移间断在裂纹前沿附近的性质，使川平方根 模型对上述数值方法进行了改进，并对典型的i 型裂纹问题进行了数值计算，得到了裂纹前沿的 电何移、鹿力强度阏子的数值结果，结果令人满意。 关键词：压电材料，超奇异积分，边界元法，有限部积分，强度因子。 a b s t r a c t b e c a u s eo fc o u p l e de 腩c t sb e t w e e nt h ee l a s t i ca n dt h ee l e c t r i cf i e l d s ，p i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l sh a v e b e e nw i d e l yu s e da sa c t u a t o r sa n ds e n s o r s i ti sp o s s i b l et om a k eas y s t e mo fi n t e l l i g e n tc o m p o s i t e m a t e r i a l sb yc o m b i n gt h e s ep i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l sw i t hs t r u c t u r a lm a t e r i a l s ，w h i l em o s tp i e z o e l e c t r i c m a t e r i a l sa r eb r i t t l e ，a n db o t he l e c t r i c a la n dm e c h a n i c a ld i s t u r b a n c e sa r ep r e s e n tw h e ns e r v i c i n g ，t h e s t r e n g t ho ft h e mi sw e a k e n e db yt h ep r e s e n c eo fd e f e c t ss u c h a sv o i d sa n dc r a c k s t h er e l i a b i l i t y d e p e n d so nt h ek n o w l e d g eo fa p p l i e dm e c h a n i c a la n de l e c t r i cd i s t u r b a n c e s w h e nc r a c k sa r ep r e s e n t ， t h e ym a yg r o wu n d e rs e r v i c el o a da n da 腩c tt h ep e r f o r m a n c eo fs t r u c t u r e s i nr e c e n td e c a d e s f r a c t u r e o f p i e z o e l e c t r i c i t yh a sb e e np a i dm u c hm o r ea t t e n t i o n s oi ti sv e r yi m p o r t a n tt om a k es o m er e s e a r c ho n i t d u et om a t h e m a t i c a ld i f f i c u l t i e st ot r e a tt h ec o u p l e de l e c t r o m e c h a n i c a lf i e l d si np i e z o e l e c t r i c i t y , t h em a j o r i t yo ft h el i t e r a t u r e sc o n c e r n i n gc r a c kp r o b l e m sa r eb a s e do nt w o d i m e n s i o n a la s s u r e p t i o n s c o m p a r a t i v e l y , f e wn u m e r i c a ls o l u t i o n sa r ea v a i l a b l ei nt h el i t e r a t u r e sf o rt h r e e d i m e n s i o n a lc r a c k p r o b l e m si np i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l s u s i n gh y p e r - s i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n sc o m b i n e dw i t hb o u n d a r y e l e m e n tm e t h o d ，t h i sp a p e rm a k e ss o m er e s e a r c ho bp l a n a rc r a c ke m b e d d e di nt h r e e d i m e n s i o n a l i n f i n i t et r a n s v e r s e l yi s o t r o p i cp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l ，a n dn u m e r i c a lr e s u l t so fe l e c t r i cd i s p l a c e m e n ta n d s t r e s si n t e n s i t yf a c t o r sa r eg i v e n t h em a i na c h i e v e m e n t sa r ea sf o l l o w i n g ： l ，u s i n gg i v e nt h r e e - d i m e n s i o n a lg r e e n sf u n c t i o n so fi n f i n i t et r a n s v e r s e l yi s o t r o p i cp i e z o e l e c t r i c s o l i da n ds o m i g l i a n ai d e n t i t y , h y p e r - s i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n sf o rt h r e e 。d i m e n s i o n a lc r a c ki n t r a n s v e r s e l yi s o t r o p i cs o l i d a r ed e r i v e d ，a n dt h eu n k n o w nf u n c t i o n sa r ed i s c o n t i n u i t i e so fe l a s t i c d i s p l a c e m e n t sa n de l e c t r i cp o t e n t i a l ； 2b a s e do nt h ea b o v et h e o r y , an u m e r i c a lm e t h o di sp r o p o s e dt os o l v et h eh y p e r - s i n g u l a ri n t e g r a l e q u a t i o n sb yc o m b i n i n gt h eb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o dw i t ht h ef i n i t e - p a r ti n t e g r a lm e t h o d ； 3 u s i n gt h e a b o v em e t h o d ，m o d e ia n dm i x e d m o d ec r a c k p r o b l e m so ft y p i c a l c r a c k sa r e n u m e r i c a l l yc a l c u l a t e da n dt h ee l e c t r o e l a s t i ci n t e n s i t yf a c t o r sn e a rt h ec r a c kf r o n ta r eg i v e n ，a c c u r a c yo f r e s u l t sa r ef o u n dt ob ev e r yh i g h ； 4 t og e tas t a b l en u m e r i c a lr e s u l t sw i t hah i g h e ra c c u r a c y , s q u a r e r o o tm o d e l ，w h i c hi sc o n s i s t e n t w i t ht h es i n g u l a ri n d e xo fd i s c o n t i n u i t i e so fe l e c t r i cp o t e n t i a la n de l a s t i cd i s p l a c e m e n t sn e a rt h ec r a c k f r o n t ，i su s e dt om o d i f yt h ea b o v em e t h o d ，t h e ns o m en u m e r i c a lc a l c u l a t i o n so ft y p i c a lm o d e - ic r a c k p r o b l e m sa r em a d ea n dn u m e r i c a lr e s u l t so fe l e c t r i cd i s p l a c e m e n ta n ds t r e s si n t e n s i t yf a c t o r sn e a rt h e c r a c kf r o n ta r eg i v e n t h er e s u l t sa r ep r o v e ds a t i s f a c t o r y k e yw o r d s ：p i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l ，h y p e r - s i n g u l a ri n t e g r a l ，b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ，f i n i t e - p a r t i n t e g r a l ，i n t e n s i t yf a c t o r - i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中国农业大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示了谢意。 研究生签名：氛迎拟时间：力神f 年月a 阿 关于论文使用授权的说明 本人完全了解中国农业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复 制手段保存、汇编学位论文。同意中国农业大学可以用不同方式在不同媒体上发表、 传播学位论文的全部或部分内容。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名 导师签名： 东盥彻 秀乒毪 时间：厕年月f o 日 时间：力西r 年多月，o 日 第一章绪论 1 1 本文研究的目的和意义 自1 8 8 0 年c u r i e 兄弟首次发现压电效麻以来，压电材料得到了越来越多的关注。由丁二压电材 料具有良好的电一机械耦台性，它被广泛用作电机械传感、致动等装置，是智能复合材料结构 中主要的功能材料。近十几年来，随着智能结构在航空、航天及民用j ：业中的赢羽，压电材料作 为一种新型功能材料已成为国内外学者的研究热点。乐电材料结构在制造过程中或在较高的电一 机械载荷环境下服役，在压电材料的内部以及复合材料界面上，难免会有诸如裂纹、夹杂或空洞 等这类缺陷产生，压电材料的强度及使用寿命因裂纹或空洞等缺陷的出现而人人降低。智能结构 的强度、可靠性及使用寿命依赖于对产生的电一弹性耦合场的认识。由于压电材料的脆性特征以 及压电材料构件内部产生的耦合电一弹性场的干扰，当裂纹产生时，裂纹可能征l 作载荷作用下 扩展，这不仅会降低结构的可靠性，同时也会影响到智能结构的功能发挥。为了避免裂纹扩展或 断裂，就必须了解电一机械载苟作用f 禽裂纹结构的断裂行为，为结构的安全设计提供理论基础， 也为结构的寿命预测及可靠性评估提供科学依据。冈此，研究电一机械载荷作用f 的压电材料裂 纹问题就成为断裂力学中的一个重要研究课题。 应力强度冈子和电位移强度冈于是一个评价含裂纹压电材料结构的强度和可靠性的重要参 数，求解应力、电位移强度网子是断裂力学的一个重要研究任务。由下压电材料的数学和力学上 的复杂性，要获得压电材料断裂问题的解析解是非常凼施的，特别是对于_ 二维裂纹问题，闻此， 寻求压电材料断裂问题麻力、电位移强度因子的高精度数值求解方法，就显得非常重要，具有十 分重要的理论价值和实际意义。 超奇异积分方程法是一种有效解决断裂问题的解析数值方法，已被厂泛应用于解决线弹性断 裂力学问题。使用超奇异积分方程的解析理论，可以分析位移间断等未知解在裂纹前沿的性态， 精确地模拟裂纹前沿的奇性电位移场和应力场。边界元法是一种比较成功的数值方法，由丁它在 数值计算上尽可能多地采用了解析运算，最后主要涉及边界上的信息，它具有计算量小、精度高 的特点。与一般弹性问题相比，由于压电材料本构关系的复杂性，求解三维压电材料裂纹问题难 度更大。本文将采用超奇异积分方程与边界元结合的解析数值方法，系统地研究三维压电材料平 片裂纹问题，建立其解析数值求解方法，并给出了典型例子的应力、电位移强度因子的数值计算 结果。 1 2 压电材料断裂问题的研究动态 1 2 1 裂纹面边界条件 裂纹面边界条件是导出求解裂纹问题的积分方程的必要条件。对于压电材料的断裂问题，其 边界条件包括面力和电边界条件两部分，其中面力边界条件同弹性材料相同，但对丁- 电边界条件， 到目前为【 ：，有几种不同形式的条件，常用的有以r 两种： ( 1 ) 渗漏边界条件( p e r m e a b l eb o u n d a r yc o n d i t i o n ) ：由p a t t o n 提出，他认为由于裂纹面之间 的距离很小，裂纹面的电边界条件应上下连续，即上一f 表面电势和法向电位移分量相等，即： 研= 环庐+ = 妒一 其中，球，环分别为上、下裂纹面的法向电位移，+ ，一分别为上、f 裂纹面的电势。这 一边界条件得到m c m e e k i n g ”、z h a n g 吐d u n n 4 1 、z h a n g 和t 0 n g i ”、高存法【6 1 等人的支持。 ( 2 ) 非渗漏边界条件( i m p e r r h e r a b l eb o t m d a r yc o n d i t i o n ) ：由d e e g 7 嘲p a k ( 8 】提出。认为上f 裂纹面的法向电位移均为零，即： d ：= d ：= 0 压电介质断裂力学分析晶系统的r 作始于d e e g 【”，在其博士论文中，d e e g 系统地分析了压 电介质中的位错、裂纹和夹杂问题，使_ j 了电学真空边界条什，即认为裂纹不导通电流，裂纹面 电位移法向分量为零。这一边界条件首先被p a kl sj 引入压电介质反平面断裂分析中。目前一般称 此种边界条件为d - p 边界条件。因为这个边界条件在数学上简化了计算，所以得到了欧美人的认 可。 s u e 等【9 1 详细分析了压电介质中几类裂纹问题的边界条件，包括可导通边界条件、d p 边界 条件。进一步的研究指出，在裂纹极扁的情形下，d - p 边界条件是不适用的。一般地，可引入参 数m = ( ef e 。) ( a b ) ，其中ef ，e 。分别为裂纹及基体材料的电导率，a b 为裂纹欧高比。 对一般的裂纹问题，虽然ef e 。讣常小，但a b 可以很火，因此往往m 的值并非很小，也 就是说d p 边界条件通常是有问题的。但由丁- 此边界条件人人简化了边值问题的求解，所以仍然 得到广泛的应用，通常，当m 较小时，d p 边界条件是可靠的。当m 较火时，需采用可导通边 界条件。对于压电陶谠，由丁其介电常数比环境( 例如空气或者真空) 的高1 0 3 倍，所以此时采 月jd p 边界条件是合理的。此外，后来陆续还有些学者采用更精确的电边值条件进行了断裂分析， 如p a r o n 和k u d r y a v t s e v 嘲，h a o 和s h e n t s o s a ”1 ，g a o i 唑z h a n g t 4 等。 1 2 2 压电材料断裂力学的研究进展 随着压电材料的广泛应用，对压电材料断裂问题的研究也越来越多。尽管有不少学者致力于 压电材料断裂问题的研究，但是由于压电材料固有的电力耦合性，使得从数学上很难解决较为复 杂的三维裂纹问题，所以，大多数研究都局限于二维问题研究，= 维裂纹问题的研究【作还不是 很多。d u n n 等【4 】使用势函数法，将位移和电势用两个势函数表示，进而得到了横观各向同性压电 材料的格林函数的封闭解。p a k h l 采用d - p 边界条件，研究了无限大压电介质的反平面裂纹问题， 给出了用与路径无关的积分形式所表达的线性压电介质i l 型裂纹能量释放率，发现电载荷对裂纹 扩展是起促进作用还是抑制作用要取决于电载荷的大小、方向和作用方式。此外，p a k l l 5 j 还研究 了无限大压电介质中的圆柱形压电夹杂问题，对远场反平面机械载荷及平面电载荷作用的情形， 给出了问题的封闭解。s o s a t l 6 1 利用复势方法，给出了二维线性压电体裂纹尖端的力电耦台场渐近 解，分析了电场对裂纹的止裂和偏折效应。s u o 等p 1 用虚功原理和复变函数方法，得到了压电介质 界面裂纹的基本解，详细地分析了界面裂纹尖端的振荡奇异性。z h a n g l l t o n g 5 1 使用复变函数法 2 表述了压电介质内椭圆柱体t l p f _ 近的应力场和电场以及孔内的电场，发现孔内的电场是均匀的但 随椭圆形状的改变而改变，当短半轴长与长半轴睦的比值小于孔内介质的介电常数与材料的介电 常数的比值时，就可以使用沿裂纹面的电场等于远端电场这一电边界条件，于是可以发现，用丁 判断裂纹扩展的能量释放率只与施加的应力有关，电荷载是促进还是抑制裂纹的扩展取决于电场 的存在是增加还是减少施加的应力。w a n g tt l 用g r e e n 函数和e s h e l b y 本征应变理论解决了压电机体 中含有椭球夹杂的三维问题，得到了以积分表示的解析解，井把结果退化到椭圆片状裂纹的情况 1 8 1 ，得山在裂纹前缘，电位移和应力具有r 。”的奇异性。王旭、王子昆”9 i 研究了压电介质反平 面应变状态下的椭圆夹杂与界面裂纹问题，利剧复变函数解析延拓技术，得到了问题的封闭解。 c h e n 等口”采用d p 边界条件，利辟j 积分变换法求解了不同压电介质的反平面界面裂纹问题。王子 昆口l 】通过引 势函数，将横观各向同性压电介质空间轴对称问题的位移、电势函数用一个满足六 阶偏微分方程的势函数来表示，对一般三维问题得到以4 个准调和函数表示的通解。此外，他们 还分析了横观各向同性压电介质中圆币型裂纹在轴对称载荷下的力电耦合行为，导出了裂失应力 场和电位移场。王的t 作被进一步推广到压电介质中圆币型裂纹在拉、弯联合作用“以及横向剪 切作用下的裂纹分析。z h a o 等1 2 4 , 2 5 l | 还利用h a n k e l 变换分析了压电材料中三维裂纹问题：s h i n d o 等 2 6 1 研究了当中心裂纹垂直于边界时，均匀压电狭长条在平面内机械载荷和电载荷作用下的i 酗 静态断裂问题。d i n g 等口使用试错法，得到了以调和函数形式表示的横观各向同性压电材料的基 本解，并以该基本解为基础，使用边界元法进行了一些数值计算。基_ 丁文献f 2 7 】给出的基本解， c h e n 2 8 1 采n d p 边界条什，使用超奇异积分方程方法首先对压电材料无限体中的三维裂纹问题进 行r 一些理论方面的研究。q i n p w 以d u n n 等”1 的。i ：作为基础，采用d p 边界条件，使用超奇异积分 方程方法，对非渗漏裂纹体进行了理论分析，给出了裂纹前沿处的奇性场的奇异性态指数并进 一步从理论上给出了裂纹前沿处的强度囡子表达式以及裂纹体的应力场和电场的袭达式。d i n g 笛 3 0 1 使用镜像法得到了横观备向同性双相压电材料的格林函数，并进一步给出了半无限体的m i n d i i n 解和l l o r e n t z 解。p a n 等p 1 1 给出了各向异性取相压电材料体的格林函数。l e e 等”“人给出了二维压电 材料的位移和电势的边界积分方程，然后使用积分变换法给出了二维问题基本解的封闭形式。此 外，q i n l 3 3 l 希l z h a n 酽4 1 分别对他人的_ i = 作做了比较详尽的综述。 众所周知，能够求得解析解的问题是极其有限的。对于一般实际问题，由于边界条件的复杂 性，要借助数值方法来求解。比较常用的数值方法有有限元法和边界元法等。虽然有限元法已基 本成熟，但用有限元法处理压电材料断裂问题的报道并不多，如k u n a j f 口s h a n g 口”l 使用该方法分 析了在电一力联合载荷作用下硬币形或椭圆形裂纹情形。相对于有限元法，边界元法在处理应力 集中、庶力奇异问题时十分有效97 ”j ，但是到目前为i e ，人多数研究都是使用边界元法来处理压 电材料二维裂纹问题，研究三维裂纹问题的并不多。l e e 3 9 1 在：r 作1 3 2 1 的基础上，使用样条边界元 法对压电材料平面问题中的电- 力相互影响关系进行了数值分析，d i n g 自q 1 4 0 基丁压电学的基本方 程，通过互等功定理得到了边界积分方程，然后针对平面问题，得到了用调和函数表示的通解， 并进一步得到了其基本解。最后运用边界元法进行了系列计算给出了宙有圆孔的压电无限平 面的应力集中系数，以及位于无限平面中的中心裂纹的应力强度因子和电位移强度因子。c r o u c h 等人 4 1 , 4 2 1 将超奇异积分方程方法应用于断裂力学中该方法以裂纹面上的位移间断为基本来知 量，裂纹问题的解析分析和数值求解比较直观、方便和高效，因此，该方法被广泛用于求解断裂 力学问题 4 2 - - 4 5 1 ，在压电材料断裂问题方面，近年来已有一些报道1 2 8 2 9 1 。在数值求解超奇异积分方 程组方面，目前有两种行之有效的数值解法。其是使用有限部积分与边界元结合的方法【4 “，它 具有计算萤小、精度较商的特点，但要获得更高的精度，就必须细分网格，从而会使得计算量变 火，到目前为止，还没有将该方法推广到压电材料断裂问题中的报道；其一是使用多项式展开法 ”“，它是将裂纹面上的不连续位移表示位移间断基本函数与另个函数的乘积，然后将位移间 断基本函数用泰勒公式展开，然后进行一系列数值计算，该方法具有精度商、收敛性好的特点， 但计算工作量犬，基丁文献i ，c h e n f ”1 使用该方法求解了非渗漏型裂纹体问题，其中裂纹为 椭圆形或矩形的，给出了裂纹前沿处的强度囡子以及能量释放率。以文献口”的j ：作为基础，本文 将使用有限部积分与边界元结合的方法，来研究横观各向同性压电材料无限体断裂问题，并给出 一些典型算例。 1 3 本文的主要工作 本文采用超奇异积分方程与边界元结台的方法，研究了二维横观香向同性压电材料中的平片 裂纹问题，主要上作包括： ( 1 ) 以d u r r a 等【4 给出的基本解为基础，根据压电介质的s o m i g l i a n a 恒等式，给出了介质内 任一点处位移和电势的般解。进而给出了三维横观各向同性压电介质无限体裂纹问题的咀位移 间断和电势间断为基本来知簧的超奇异积分方程组，井分析了裂纹前沿处未知解的奇异性态指 数； ( 2 ) 在以上理论的基础上，采用线性三角形和四边形单元，对裂纹面进行网格剖分，实现 了三维横观各向同性压电介质无限体裂纹问题的超奇异积分方程绸的边界元法，并针对椭圆形平 片裂纹羊| _ | 矩形平片裂纹，给出了不同载荷作用f ( 在无穷远处受到均布拉伸荷载口：、剪切荷载 口：和口：以及法向电荷载d ：) 裂纹前沿处的应力强度因子和电位移强度因子； ( 3 ) 由于上述数值方法在处理问题时存在定的不足，在理论分析的基础上根据裂纹前 沿附近位移间断和电势间断的特点，采用平方根模型，对上述数值求解方法作了改进，并对几种 典型裂纹问题进行研究，给出了裂纹前沿处的应力强度因子和电位移强度因子的数值结果。 一4 第二章横观各向同性压电材料裂纹问题的理论分析 本章从压电材料的基本方程出发，利用已有的三维横观各向同性压电材料的格林函数以及 s o m i g l i a n a 恒等式，给出了三维横观各向同性压电材料裂纹问题的位移与电势的般解，并给出 了对应的应力与电位移的积分表达式，进而利用裂纹面上的面力和电边界条件，建立了求解三维 横观各向同性压电材料无限体中裂纹问题的超奇异积分方程组，其未知量为裂纹面上的位移和电 势间断。最后，利用超奇异积分方程的奇性分析理论，给出了裂纹前沿点处的位移利电势间断的 奇异性态指数，在此基础上给出了裂纹前沿强度因子的计算公式。 2 1 压电材料的基本方程 2 1 1 各向异性压电材料的基本方程 在静态平衡的条件下，各向异性压电材料的控制方程为： 篡 、 p 。一g = o ”。 式中f ，j = 1 ，2 ，3 ，q ，是应力张量，是体积力，口是电位移矢量，o 是单位体积的电荷密度。 本构方程为： 仃f ，。归知k , e , 蚴 d ? = 8 t h 一me k ?。 式中毛= ( “+ 叶，) 2 表示弹性应变张姑，巨表示电场强度矢量- 。州，e 蛐和分别表示弹 性模量( 在恒屯场f 测得) ，压电常数( 在恒应变或恒电场的情况下测得) 和介电常数( 在恒应 变f 测得) ，“表示位移矢量。其中 葺=一妒，(2_3) 式中西表示电势。 边界条件为： 窖。们nf t 。q ”嘉；o n2 仁。， m = “f o nl u妒= 妒 l dl 式中t ，表示面力，q 表示表面电荷密度，“一”表示边界上的给定值，吩表示边界f 的外法线方 向余弦。并且有r ，+ r 。= f 。+ r = f 。 为书写方便起见，对于位移矢量和电势、应变张量、电场强度矢量、应力张量、电位移矢量、 以及压电材料参数，引入如下记号： 吣悟篙乩2 ，3 仁s ， 和协篙乩2 ” b s ， = 莓 ， l e ，k = 1 ，2 ，3 e 。= je 。t 。l j 。j ：= 。1 , 2 , 3 ：k ，i ，： c z s ， l 一。j = 4k = 4 利用以上记号，本构方程可以重新表示如下： 类似地，基本方程可简写如下 式中6 ，定义如p u = e z “ u ，+ 6 ，= 0 ，f f ，= ，= l ，2 ，3 驴1 一刍，：4 2 1 2 横观各向同性压电材料的本构方程 对于横观各向同性压电材料，独立的压电材料只有1 0 个本构方程可具体表示如下 ( 2 9 ) ( 2 ，l0 ) ( 2 1 1 ) 0 1 1 = c l l 1 + q 2 屯2 + q3 岛3 一岛1 吗 0 2 2 = c 1 2 占1 1 + c l l 岛2 + c l3 c 3 3 一w 。3 l 乜 o - 3 3 = c 1 3 ( 蜀l + 乇2 ) + c 3 3 岛3 一龟3 占3 q 3 = 2 c 4 4 劫一e l5 臣 盯1 3 = 2 c 4 4 蜀，一e 1 5 e( 2 ，1 2 ) 仃1 22 ( c l l c 1 2 ) s 1 2 d 1 = 2 e 1 5 s 1 3 + l le 1 d 2 = 2 e l5 + l le 2 d 3 = 岛l ( q l + 岛2 ) + 已”岛，+ 3 3 乓 为简便起见，可采用式( 2 。2 ) 的表示法，这时只需将压电材料参数作如下处理 e l 口= e a l 8 0 6 s l + e ls ( 8 ，6 ，+ 8 s t b s ，) + ( 8 ”一e 3 1 2 e l5 ) 63 8 玎6 3 = 6 “8 + ( 3 3 一) 6 3 ，6 3 式中c 6 6 = ( q l c 1 2 ) 2 ，岛为k r o n e c k c r 符号，其具体意义为 气= ； 2 2 三维横观各向同性压电材料有限体裂纹问题的一般解 2 2 1兰维压电材料有限体中裂纹问题的一般解 x ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 图21 三维横观各向同性压电材料有限体中的一般平片裂纹 设在三维横观各向同性压电材料有限体中嵌有一任意形状的平片裂纹s 岱+ ) ，在裂纹上表 面矿放置一个直角坐标系( f = 1 ，2 ，3 ) ，使码轴与s + 垂直，如图2 1 所示。使用s o m i g i l i a n a 公 式，域内某点p 处的弹性位移和电势可表示为 5 1 】： u 1 ( p ) = 一l 巧( p ，q ) ( q ) 出( q ) + l u z ，( p ，q ) 乃( q ) d s ( q ) 一t * + s - 瓦，( p ，q ) u s ( q ) d s ( q ) + t * + s - u “( p ，q ) t j ( q ) d s ( q ) ( 2 1 6 ) + l ( p ，q ) b ，( q ) d a ( o ) ，j = l ，2 ，3 ，4 式中q 为压电体所占据的域，f 为其外边界，t 表示边界上的面力( t ，= 1 ，2 ，3 ) 和表面电荷密度 ( t ，= 4 ) t 厂和死分别为压电材料的位移和面力基本解，用压电丰才料的格林函数表示如f 【5 1 j ： 0 小bq a“峨 屯心如a 锄 墒 熵心广扣岛 h 蚧 陆+ t 卢 + 屯 十 炉 6a 蝇 a = 屯 咖 u ( 善一x ) = ( 0 ( 一x ) ( 2 1 7 ) ( 一曲= 最m 垦掣仇 ( 2 1 8 ) t 一托= o s ：e s o = j = l ，2 ，3 。一1 9 = 口啊 ，：4 ( 2 - 1 9 ) u 。和巧的具体意义如下； ( 和弓( j ，j = 1 ，2 ，3 ) 分别表示在乎点作_ 坶 f 方向单位集中力时，盖点，方向位移和面力； u 一，和e ，( ，= l ，2 ，3 ) 分别表示在舌点作用单位点电荷时，x 点，方向位移和面力： u 。和( f = 1 ，2 ，3 ) 分别表示在# 点作月；| f 方向单位集中力时，z 点电势和表面电荷密度： u a 和。分别表示在孝点作用单位点电荷时，x 点电势利表面电荷密度； 引入裂纹面上的位移间断和电势间断： 玩： ；7 。一兰j 。7 = 1 2 ，3 (：。)4 【= + 一一l ，= 、” 在裂纹面上有关系：t ，( p ，p + ) = 一t ，( p ，q 一) = 巧( p ，q ) 和u u ( p ，q + ) = u ，( p ，q 一) ，丁 u ( p ) = 一f 正，( n q ) v ，( 9 出( q ) + f 嵋，( p ，q ) 乃 ，q ) d s ( q ) 一+ 巧( n o ) o ，( q ) 幽( 9 ) + l u ：，( p ，q ) 屯( q ) 出( g ) 2 。2 1 将式( 2 - 2 i ) 代入到本构方程( 2 8 ) 中，于是可以得刘廊力和电位移的表达式，如f 所示： “( p ) = i ，( p ，q ) u ，c ( q ) d s ( q ) 十f d 。( b q ) 耳( g ) 凼( q ) 一+ ( b q ) o t 。( q ) d s ( q ) + ( b q ) b x ( q ) d c 2 ( q ) ，【甲，捌分樱函数5 k ，( p ，9 和z ) 妇( b 分别表示如f ： 蹦p q ) = 冬警一巨。毪警 ( 加m 。鼍竽一学 ( 2 ：。) 如果能够求出或得到三维横观备向同性压电材料问题的基本解或者格林函数，那么利用上述 公式即可得到含有裂纹的三维横观各向间性压电材料体中任意一点的位移和电势以及应力场和 电场的具体表汰式 8 2 2 2 横观各向同性压电材料的基本鳃 已有一些学者给出了三维横观各向同性压电材料的基本解f 4 j 【2 ”。这里使用由d 。n n 和 w i e n e c k e ”悃过势函数方法给出的基本解。位移和电势的基本解可用势函数表示如下： 州嘛，彘莓+ 跏鹄，飞h 最驴老 吲铲，去玺+ 釉c 溉砒悔w 蠢鼢署 屿。h 伟丢+ 毒卜善+ 瞰q s 吩，+ 、c 噶i f , 砰0 2 + 簧，担 = h q ，莓+ 蓦n 岛善+ 向一q ，一，善c 蓦+ 蓦腿 式中g 和妒均为势函数，且满足如r 条件： ( 22 5 ) c 爵a _ l + 器+ 可1 爵0 7 ，c 毒+ 蓦+ i 1 ；彰0 2 ) t 、爵8 2 + 嚣+ 专簧肛。 c z 舶， c 嚣+ 毒+ 专簧，v = 。 ( 22 7 ) 这里v 。= 止吾7 i ，而且一l v l 一1 v ；和一l v ；为如f 一元三次方程的根： s 3 + 詈s 2 + 号s + 詈= o ( 2 。8 ) 式中a ，b ，c ，d 分别为 d = c i i ( 1 = 1 1c 3 3 + 2 q 5 岛3 ) 一q l iq 3 ( q 3 + 2 c “) + ( 碡( 弼c 1 1 + 1 ) - 2 e , j c 【3 ( 岛l + e i5 ) 6 = q 3 【q l 巳4 + 气3 q j + e 3 1 ( 岛l + q 5 ) 卜c 1 3 ( c 1 3 + 2 0 4 4 ) + ( q 5 + e 3 1 ) ( c 3 3 q 5 2 c 1 3 岛3 ) + e 3 3 ( q l e 3 3 2 q 4 e 3 1 ) c = ( 吒+ 磅) d = c 1 i ( l lc 4 4 + 磙) ( 2 2 9 ) 由一元三次方程的根的特点可知，0 中至少有一个数是实数，不失一般性，假设p 是实数。 此外，本文还进一步假设r e ( 一) 0 “= 1 ，2 ，3 ) 。换言之，k ( f = l ，2 ，3 ) 必须满足如下条竹： u 0 或v i o ，= 巧且r e ( v , ) 0 如果方程( 2 2 6 ) 和( 2 2 7 ) 得以求解，那么就可以从“。和的解中得到其格林函数。 单位点电荷 在点孝皤，乞，象) 处作用有一单位点电荷时，x ( x 1 ，屯，x 3 ) 处的弹性位移和电势可表示为 式中 驴蔷3 群嚣 驴蕃34 丽x 2 - - 害2 驴善饼砉 札。善4 奇 r ，= ( 一直) 2 十( z ：一岛) 2 + z ? 群= r ，+ z ， i = 0 ，1 ，2 ，3 z 。= t ( 墨一岛) 硝= 【( c 1 3 + c 4 4 ) 巳3 - - c 3 3 ( e 1 5 + 岛1 ) 】矿+ ( c 4 4 巳l c 1 3 e 1 5 ) u 硝= 一c 4 4 e ”一一 岛1 ( c 】3 + c 4 ) 一e 3 3 q 1 + e 15 q 3 1 订一c l i e l5 ，矿= c 3 3 c 4 4 口+ 【q 3 ( c 1 3 + 2 c 4 4 ) - - c 1 1 c 】印+ c 4 4 c l l 而4 由下列方稗组来确定 3 善4 硝= o 喜4 禹1 = 。 f - i ” 喜4 焉= 磊1 式中的彬，矿为： f 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) ( 23 2 ) r 2 3 3 ) 篡箬麓+ e 1 骞篇麓羔 y 1 5 ：v 纂i 。愁， 群= 2 【一( 岛15 哼) + k 五”( p ”) 十 1 1 一3 ) ) j j y 。= ( e l i 一仨”) 【q 1 ( c 4 4 一c ”) + q 4 ( c ”+ 2 q 3 ) + 】+ c + c 拈( 岛1 + e 1 5 ) 2 一c 4 4 ( 8 3 3 + 已3 1 ) 2 + 2 c t 3 t e l 5 ( 8 i s + e 3 4 ，4 可通过轮换f 标1 ，2 ，3 求出。 一 钾 一一嵋 圬= 瓣挲 得 丘 求丁 式 根据h 自身所具有的特点，运用共轭复数运算的有关性质，对a “，五”，刀，彬和嘭( j = 1 ，2 ，3 ) 进行分析，不难发现，它们均具有如r 特征： 当v i 均为实数时，上述各数也必定为实数；当u 只，v 2 = 巧时，则o 月，硝= 刁，其余 诸数也具有同样的特征。 将以上各数代入到4 ( i = 1 ，2 ，3 ) 的表达式中，同理，可以看出a ，亦具有上述特征。不仅如此， 而且下面将要出现的数日，口也具有该特征。 2 沿屯方向作用单位集中力 在点考( 眚，岛，岛) 处沿x 3 方向作用有单位集中力时，点x ( x 。，x 2 ，墨) 处的位移和电势可表示 为： 驴善3e 万爵 铲善3e 冒丽x 2 - - 孝2 圹再3e 寺 ”善3e 万1 式中昱满足如卜条件： 善3 e f = 。 喜骂苦= 瓦1 喜马矗= 。 r 2 3 5 ) 于是，石】以求出 且= ( 砰帅；列( 嵋- 1 ) 。鸭e il 纠2 ) 1 去 式中 心= ( 嵋一1 ) 爿( 嚆一巧a 他ej + l 屹2 1 ) 趔( 孵群一群嚆) + ( 培1 ) 趔( ”? 一呓臂) 髓，皿可通过轮换“f 标1 ，2 ，3 求出。 3 沿五方向作用单位集中力 在点善( 螽，岛，磊) 处沿x 。方向作用有单位集中力时，点x ( 五，x 2 ，x 3 ) 处的位移和电势可表示 为： 铲珐嚎一等，一喜纠畴一等， 铲( _ 吲 z ) ( d 0 寿十萎d j 胃丽1 ) 铲蕃3p 硝学 驴蔷3d j 等 这里 式中 d 0 + d ，u = 0 d j 丑”= 0 d j 硝= 0 d 0 + 善3 口生v 7 - l = 磊1 研= v f 九? ( 4 一q 1 ) + x ? ( 0 4 + c 1 3 v ；) + x ? ( q5 + e 3 1 v ；) d ：! 篓二篓! ! 筮二生1 1 4 石c 4 4 一 一= u 硝( 看霹一刀霹) 十正( 刀砑一硝霄) + 屹刊( 硝霄一可霹) d 2 ，q 可通过轮换下标1 ，2 ，3 求出。 2 3 三维横观各向同性压电材料无限体裂纹问题的超奇异积分方程 ( 2 3 7 ) 佗3 9 ) 由图2 1 可知，在含有平片裂纹的三维压电材料有限体中存在两类边界，一为外边界r ， 为裂纹面s + 。当外边界r 趋于无穷远时，此时的裂纹问题即为无限体裂纹问题，在不计体积力 和单位体积的电荷密度的情况下t 由式( 2 2 1 ) 知，含有裂纹的压电材料无限体中任一点p 处的位 - 1 2 鼍 是t 移和电势可表示为： u ( p ) = 一【+ 巧(