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中北大学学位论文 高分辨率i c t 重建技术研究 捅姜 工业计算机层析成像( 简称i c t ) 是一种先进的无损检测技术，它是以射线与物质 相互作用的规律和c t 断层成像理论为基础的，可以在工业领域直接检测物体断层图像 的高技术系统。因其具有无损、无接触和高分辨率等优点而得到广泛应用。 随着对工业产品检测速度和精度的要求日益提高，对快速、高分辨率c t 技术的需 求越来越强烈。因此，高分辨率、高精度c t 重建技术研究成为近几年该领域的热点。 本文从c t 图像重建的基本理论和影响重建图像质量的主要因素入手，针对常用的 滤波反投影算法和代数迭代算法，根据高精度、高分辨率重建的目的，分别提出了改进 方案。改进方案是在滤波反投影算法的反抹过程和迭代算法中投影矩阵的生成过程中， 考虑到射线宽度的影响，达到充分利用投影数据信息的目的。但是，这种方案增加了算 法的计算量和实现的难度。针对该问题，本文提出“再投影”思想并应用到算法中，在 保证了改进算法运算效率的同时，提高了重建图像的精度。 针对限定物理条件下重建高分辨率图像问题，为了提高投影过程中的采样频率，本 文结合c c d 相机的物理结构，对基于半像素错位扫描的c t 重建技术进行了研究和仿 真实验。采用多组低分辨率投影数据融合的方法得到高分辨率投影数据，然后进行图像 重建的方法，取得了很好的效果。 关键词：计算机层析成像，无损检测，再投影，半像素错位 中北大学学位论文 r e s e a r c ho nt h eh i g hr e s o l u t i o ni c ti m a g e r e c o n s t r u c t i o nm e t h o d s a b s t r a c t i n d n s 缸i a lc o m p u t e dt o m o g r a p h y ( i c di sa na d v a n c e dt e c h n o l o g yb a s e do nt h e p r i n c i p l e so f i n t e r a c t i o n sb e t w e e nx - r a ya n dm a t t e r sa n d t o m o g r a p h i ci m a g i n gt h e o r i e s i t h a sb e e na p p l i e dt oi n s p e c tt h et o m o g r a p h i c a li m a g e so fi n d u s t r i a la s s e m b l i e s i th a sv i r t u r e s o f n o n - d e s t r u c t i o n , n o n - c o n t i g u i t ya n dh i g hd i s c e r n i b i l i t y w i t ht h ee l e v a t i o no ft h ep r e c i s i o na n ds p e e du po fi n d u s t r i a li n s p e c t i o n e r i t e r i o n ， h i g h - p r e c i s i o na n dh i g h - r e s o l u t i o nc t i si nd i r en e e d t h e r e b y , h i g h - r e s o l u t i o na n d p r e c i s e c tt u r ni n t ot h eh n t s p o to f t h er e s e a r c hf i e l di nr e c e n ty e a r s s t a r t i n gf r o mt h ef u n d a m e n t a lo ft h ec ta n dt h ei n f l u e n c i n gf a c t o ro ft h er e c o n s t r u c t e d i m a g e a c c o r d i n g a st h ee n n l l l l o nf i l t e r e db a c kp r o j e c t i o na l g o r i t h ma n d a l g e b r a i c r e c o n s t r u c t i o nt e c h n i q u e s ，b a s e do nt h eh i g h - p r e c i s i o na n dh i g h - r e s o l u t i o nr e c o n s t r u c t i o na i m s ， t h eo p t i o n a li m p r o v e dp r o j e c ta r eg i v e n t h ei m p r o v e dp r o j e c ti n t r o d u c et h ew i d t ho f t h ex - m y i n t ot h eb a c kp r o j e c t i o na n dt h ep r o j e c f i o nm a t r i xc o n s t r u c t i o na l g o r i t h m t h e r e b y ，i tm a k e s u s eo ft h ei n f o r m a t i o no ft h e p r o j e c t i o nd a t af u l l y a tt h es a m et i m e ，t h ep r o j e c ti n c r e a s i n g t h ed i f f i c u l t ya n dc o m p l i c a t i o no ft h ea l g o r i t h m a 加a tt h i sp r o b l e m t h ep a p e rb r i n go u tt h e i d e ao ft h er e p r o j e c t i o na n di n t r o d u c et h i si d e ai n t ot h ef i l t e r e db a c kp r o j e c t i o na l g o r i t h ma n d p r o j e c t i o nm a t r i xc o n s t r u c t i o na l g o r i t h m t h ei m p r o v e da l g o r i t h mn o to n l ym e l i o r a t et h e q u a l i t yo f t h er e c o n s t r u c t e di m a g e , b u ta l s oe f f i c i e n t i na l l u s i o nt or e c o n s t r u c t i n gh i g hr e s o l u t i o ni m a g e si nt h el i m i t e dc o n d i t i o n s ，i no r d e rt o i n c r e a s et h es a m p l i n g 丘e q u e n c yo ft h ep r o j e c t i o n ，t h i sp a p e rr e s e a r c ha n ds i m u l a t ec t r e c o n s t r u c t i o nt e c h n i q u eo f h a l f - p i x e lo f f s e ti n s p e c t i o nc o n b i n a t et h es t r u c t u r eo fc h a r g ec o u p l e d e v i c e ，b r i n gf o r w a r dh o wt or e c o n s l l u c th i g hr e s o l u t i o np r o j e c t i o nd a t au s i n gm a n yg r o u p l o wr e s o l u t i o np r o j e c t i o nd a t a , a n dg a i nb e t t e re f f e c t k e yw o r d ：c o m p u t e dt o m o g r a p h y ，n o n l e s t r u c f i v ei n s p e c t i o n ，r e p m j e c f i o n ，h a f f p i x e lo f f s e t 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 论文作者签名：塞! l 堡日期：玉哑：i ：型 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解中北大学有关保管、使用学位论文的规定，其中包 括：学校有权像管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件； 学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文； 学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的，复 制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内容 ( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 签名：划纭签名： 参j 缳一一 e l l u t ：玉蔓赴妻型 导师签氰，瞄羞 e i 其t l ： 川，；，叫 中北大学学位论文 1 1 课题目的及意义 第一章引言 计算机断层扫描成像( c o m p u t e dt o m o g r a p h y ，简称c t ) 是由投影重建图像，其理论 产生于1 9 1 7 年，奥地利数学家j r a d o n 在“论如何根据某些流形上的积分来确定函数” 文中【i 】，首先论证了由积分值( 投影数据) 确定被积函数( 重建图像) 的一套理论方法，为 c t 技术的形成和发展奠定了理论基础。但由于当时计算设备的缺乏，该理论一直没有 得到具体的应用。直到1 9 6 3 年，美国物理学家a m c o r m a c k 在j o u r n a l o f a p p l i e d p h y s i c s 上发表了“用线积分表示一函数的方法及其在放射学上的应用” 2 1 ，首次将r a d o n 的 理论应用到医学成像，进一步发展了从x 射线投影数据重建图像的解析数学表达式。 c o r m a c k 不仅证明了医学领域中x 射线投影数据重建图像的可能性，而且给出了相应的 实现方法，并完成了仿真和实验研究。同年d e k u h l 和r q e d w a r d s 在这一领域也作 了开创性的研究工作p 。直到1 9 7 1 年，第一台头部扫描c t 机由工程师g n h o u n s f i d d 设计并在英国一家医院安装成功。两年后，全身扫描c t 机在美国乔治镇大学医疗中心 问世。 c t 技术在医学上的成功运用轰动全球，被认为是自1 8 9 5 年r o e n t g e n 发现x 射线 以来放射医学领域里最重要的进展。为此，1 9 7 9 年的诺贝尔生理与医学奖授予c t 的发 明者h o u n s f i e l d 和c o r m a c k 两位没有医学资历的科学家。这一举动进一步促进了c t 技 术的发展，其理论、算法和技术手段的研究得到了更多领域学者的重视，其方法也被迅 速应用到建筑裂缝分析、地震勘探和工业探伤等领域。 工业计算机层析成像( 简称i c t ) ，是人们将医学c t 移植到工业上发展起来的。起初 的工业检测曾经是直接利用医学c t 的设备进行扫描，虽然已用c t 对人体检测可以提 供较高的质量，但在工业上并不尽然。工业c t 要检测的对象的大小、形状及材料密度 等的变化范围很大，材料对射线的衰减率也干差万别，同时i c t 对检测结果的精度要求 有的远高于医学c t ，这就要求，一方面，应考虑到射线源有足够大的能量，使得有一 定数量的光子能穿透被检物资；另一方面，也应考虑到探测器对光子的接收能力。由于 中北大学学位论文 工业c t 中接收到光子数目的局限性，所以重建图像不能照搬医学c t 的方法。当前工 业c t 主要应用于工业在线过程的实时检测以及大型工业部件的探伤，范围广及航空、 航天、国防、军工、机械制造、石油、化工、地质等领域。 目前，随着对工业产品检测速度和精度的要求日益提高，加之各种数字制造技术不 断发展以及质量数字化管理的需要，对快速、高分辨率i c t 技术的需求越来越强烈。但 是i c t 系统的空间分辨率受到诸如射线源焦点尺寸、探测器准直孔径、机械扫描精度和 采样几何等因素的限制，难以满足对产品高空问分辨率层析成像的要求。 空间分辨率和密度分辨率是i c t 系统的两个关键性指标霸e 辐射剂量一定的情况下， 为了提高空间分辨率，减小探测器的准直孔径、增大扫描矩阵是有效的方法，但此时接 收到的射线剂量减小，从而影响了密度分辨率。所以，试图通过无限制的减小探测器准 直孔径来达到高空间分辨率层析成像是不可行的。因此，通过改进扫描方式及相应的重 建算法来提高采样频率成为高分辨率层析成像研究领域的热点，并且已经取得了一定的 成果【4 。 本文主要对限定物理条件下如何改善重建图像的视觉效果、高分辨率重建技术展开 研究工作，首先对工业c t 图像投影及重建原理进行分析。针对改善重建图像的视觉效 果问题，将射线宽度这一因素考虑到图像重建算法中，并分别对滤波反投影算法和代数 迭代算法进行改进。针对如何重建高分辨率图像问题，主要通过像素错位扫描技术来提 高采样频率，以达到研究目的。f b p 算法中如何体现射线宽度的影响但又不影响重建速 度以及如何通过仿真实现像素错位扫描是研究的难点，本文针对该问题，提出了再投影 的思想，并将该思想应用到投影及重建算法中。 1 2i c t 研究背景 1 2 1i c t 系统的主要性能指标 c t 成像特别是工业c t 成像要经过大量的数学运算及复杂的技术过程，重建图像 受到设备、工艺及算法等多方面因素的影响。为了得到高质量的c t 扫描图像，需要 对相关知识有全面的了解。通常描述c t 图像的指标有：空间分辨率、密度分辨率和 检测时间【5 】a 2 中北大学学位论文 空间分辨率s p r ( s p a t i a lr e s o l u t i o n ) 是c t 系统鉴别和区分微小缺陷能力的度量， 它定量的表示能分辨两个细节特征的最小间隔，单位是l p m m ( 线对毫米) 。c t 图 像可以看成实际物体某切面图像的模糊再现，是实际切面图像函数与系统的点扩展 函数卷积的结果。于是，在c t 图像中两个很小的细节特征间的边界可能变得模糊不 清。 密度分辨率d s r ( d e n s i t yr e s o l u t i o n ) 是表征c t 图像再现实际物体内部材料密度 变化的能力。通常用图像上可以识别的最小物体对比度来定义： d s r ：丝：型 ( 1 1 ) p h芦b 其中： ，表示细节特征的衰减系数 肛表示背景材料的衰减系数 剧表示两者的实际对比度 检测时间是指获取一幅c t 图像所需要的时间，包括扫描时间和重建时间。 图1 1 空间分辨率和密度分辨率的关系 在辐射剂量一定的情况下，要提高空间分辨率，减小探测器准直孔径、增大扫 描矩阵( 像素数目) 是有效的，但是此时探测器接收到的射线剂量减小，从而影响了 密度分辨率，反之亦然。理论和实验均表明，在一定辐射剂量的情况下，空间分辨 3 中北大学学位论文 率和密度分辨率成反比例关系，如图1 1 所示。因此，所有c t 系统的最高空间分 辨率和最高密度分辨率均是分别测得的，不可能在同一测试条件下两者都达到最佳 值，在一定条件下，确保空间分辨率的同时要提高密度分辨率，只有延长扫描时间。 因此只可能在同一测试条件下达到最优组合的空间分辨率和密度分辨率。 1 2 2 影响i c t 系统一陛能的因素 如上一节所述，i c t 系统的主要性能指标有空间分辨率、密度分辨率和检测时间。 系统性能的优劣直接反映到重建图像的质量，下面我们分析其影响因素。 影响空间分辨率的主要因素有：射线源焦点的大小、探测器的准直孔径、机械扫 描精度、重建算法精度等。c t 断层图像是由扫描像素组成的，同一断层内的象素越多 ( 即减小探测器准直孔径，) ，空间分辨率越大，图像越清晰。射线源焦点尺寸的大小 对c t 图像质量有很大影响，焦点大、物体图像模糊不清，很难检测出细微缺陷，焦点 尺寸越小，缺陷图像越清晰，灵敏度越高。机械扫描精度( 如旋转角度误差、旋转中 心误差等) 越高，重建图像质量越好。 影响密度分辨率的主要因素是c t 图像的信噪比，投影数据噪声的来源主要是辐 射源的量子噪声、电子元件噪声以及重建算法造成的，其中量子噪声是最主要的。 检测时间与图像大小、扫描方式、重建算法直接相关。 由于射线在空气中也有衰减，因此应尽可能缩短被检测物体与探测器和射线源之 间的距离。然而由于被检测物体的材质、形状、尺寸不同，使用专用装置是不现实的， 应尽量扩大使用范围，使之具有通用性【“7 j 。 1 2 3i c t 系统的发展现状 由投影重建图像的技术可以追溯到很早的年代，但是其突破性的发展是在应用了 计算机技术，尤其是首台医用c t 问世以后取得的。c t 最引人注目的应用是在医学诊 断领域，其理论研究及设备制造技术在相当程度上与医学科学有关。医用c t 对人体 检测可以得到高质量的图像，但不适合检测大尺寸高密度的物体，所以，从2 0 世纪 4 中北大学学位论文 8 0 年代开始，美国军方就提出了制造检测大型或小型工件的c t 设备的研究计划，经 过大约2 0 年的发展，工业c t 已经成为一个专门的分支，并取得了飞速发展。 以x 射线为源的i c t 系统称为x 射线i c t ，由于其在航空、航天、军事工业、核 能、石油、电子、机械、考古等领域有广泛的应用潜力，因而日益被人们所重视。 i c t 系统是一种先进的无损检测设备，其组成结构复杂，配置方式多种多样，系 统性能主要由其组成结构及配置水平决定。目前i c t 在一些发达国家已经取得了比较 广泛的应用，虽然国外已经有现成的设备，但由于i c t 系统特别是高能i c t 系统能够 是检测高科技军事产品的一种重要手段，所以各国之间严密封锁了有关技术。 我国从2 0 世纪8 0 年代开始也在积极的研究i c t 的有关技术，清华大学、重庆大 学、中科院高能所、中北大学等单位已经研制出x 射线c t 装置，并进行了一些实际 应用。 综上所述，可以肯定随着c t 理论研究与计算技术的发展，c t 必将在造福人类健 康与国民经济建设中做出愈来愈大的贡献。 1 2 4 高分辨率i c t 重建技术理论的研究状况 随着对工业产品检测精度的要求日益提高，加之各种数字制造技术不断发展以及 质量数字化管理的需要，对高分辨率i c t 技术的需求越来越强烈。在现有的物理设备 的基础上，如何通过扫描方式和重建算法的改进来提高i c t 重建图像的分辨率成为研 究的一个热点。 研究高采样频率扫描技术以及相应的重建算法是高分辨率i c t 成像的有效途径。 下面就高采样频率扫描技术及其重建算法的国内、外研究现状做一简要分析。 对于三代扫描扇束2 d i c t ，增加采样频率的一种有效技术是探测器中，t l , 偏置四分 之一像素的扫描技术，在这种扫描方式下，探测器中心相对旋转中心偏置四分之一个探 元间距，然后完成一次三代扫描。这样，探测器在前1 8 0 。采集的投影和后1 8 0 。采集的 投影部分重叠，经过数据重排处理后，实现采样频率加倍。另一种是射线源焦点摆动法， 在该方法下，首先采集一个正常的三代扫描投影，然后扫描台旋转到一个位置，使得探 测器探元位置正好位于获取前一幅投影时位置的中间，这是将射线源焦点移动回获取 5 中北大学学位论文 前一幅投影时的位置，再采集第二幅投影。利用这两幅投影，可实现采集频率加倍。这 两种扫描技术生成的投影数据等效于一次三代扫描获取的数据，故均可采用三代扫描 对应的扇束滤波反投影重建算法进行层析重建。尽管这两种方法都实现了采样频率加 倍，但这种效果都具有位置依赖性，而且，第二种方法在i c t 系统中也难以实现，因 为i c t 系统很少采用周期性移动的射线源，且探测器和射线源一般固定，只物体旋转。 另一类增加采样频率的有效技术是像素错位检测技术，它来自数字图像超分辨率重建 技术：根据多帧互有位移的低分辨率图像，可重建出一帧高分辨率图像。首先完成一 次完整的三代扫描过程，然后，探测器向水平方向偏置一个距离，在完成一次完整的 三代扫描：如此重复下去，直到满足要求。该方法相当于将探元宽度细分，每次移动 距离等于探元宽度细分数目。这几组数据经过相应的处理后，可以使采样频率增加， 从而保证系统1 b w ( 系统的有效射束宽度) 频率的细节信息不受欠采样的影响 【8 9 1 0 j h 。 上述三种高采样频率扫描技术中，前两种方法都是基于一次三代扫描完成的， 对系统的检测时间不会有影响，但是，这两种方法对有很强的位置依赖性，而且第二 种方法对设备的要求很高，难以实现，不宜推广。像素错位检测技术，在每一投影角 度下必须进行探测器的n 次平移，也就是说通过牺牲系统的检测时间来换取重建图像 的高分辨率。 1 3 论文的结构及主要内容 本论文主要分为六章。 第一章主要介绍本论文的目的及意义、i c t 系统的性能指标及其影响因素、 c t 的研究状况及高分辨率i c t 重建技术的国内外发展的情况。 第二章主要基础知识介绍，包括c t 检测的基本理论和c t 图像重建算法的基本理 论。重建算法中主要介绍滤波反投影算法和代数迭代算法。 第三章详细介绍了基于再投影的投影数据仿真算法。首先，总结了几种最常用的 投影数据仿真算法，并分析比较了几种算法的优缺点。经分析，像素驱动的面积近似 6 中北大学学位论文 方法有很高的精度，但是该算法计算过程复杂，效率低。针对这一问题，本文将“再 投影”思想应用到像素驱动的面积近似方法中，该算法不但能够在计算精度上很好的 近似像素驱动面积近似方法上述算法，而且还大大的提高了数据运算的效率 第四章将“再投影”思想应用到滤波反投影算法中，有效的克服了反投影重建过 程中投影数据细节信息的丢失，提高了重建图像的精度。将“再投影”思想应用到投 影矩阵的生成算法中，同样得到了较好的效果。 第五章利用错位检测技术来提高重建图像分辨率的问题。 第六章总结全文，给出文章所解决的问题和创新之处，提出尚未解决的问题为以 后进一步的研究工作指明方向。 7 中北大学学位论文 第二章c t 图像重建的基本理论 r a d o n 变换发源于积分几何，所谓“积分几何”就是根据“流形”的几何性质( 包括 几何形态和几何布置) 研究函数在此“流形”上的积分。在x - i c t 中，积分几何的意义 是：根据x 射线的几何性质研究x 射线穿过工件的衰减系数分布函数卢( x ，y ) 在此“流 形”各直线上的积分，即研究获得投影数据。 x 射线穿过工件，由于吸收和散射，它要衰减，又由于工件内材质差异，衰减系数 随之不同，就在这个意义上，我们把工件内材质结构等同于衰减系数分布。积分几何的 反问题，就是求此衰减系数的分布问题。如果能算得工件内部衰减系数分布，就能描绘 缺陷，实现无损探伤。 下面我们将详细介绍r a d o n 变换及其反演形式。 2 1r a d o n 变换 2 1 1 投影过程及r a d o n 变换 厂o ，y ) 表示物体内部的断层分布，通过r a d o n 变换就得到物体的旋转投影数据，是 ，沿已知位置的直线的积分值，下面给出r a d o n 变换的解析表达式【1 3 】。 定义2 1 若f ( x ，y ) 是广义函数，在r o y 平面上的线积分 p ，( s ，力= i f ( x , y ) d l ( 2 1 ) 对于所有的s 和p 是己知的，其中 l ：s = x c o s 伊+ y s i n 伊( 2 2 ) 则称p ，( s ，矽) 是函数，( x ，y ) 的r a d o n 变换，记为n f = p ，( s ，力 这里e 是x o y 面上的直线，s 是原点到l 的距离，妒是的法线与x 轴正向的交角。 s 和妒是直线的位置参数，给定s 和伊时l 被唯一确定( 如图2 1 ) 。 8 中北大学学位论文 为了便于计算，现将坐标系x o y 绕原点逆时针旋转妒得到s o t 坐标系( 如图2 2 ) ，此 时直线的参数方程可以写为 lx = s c o s c a - t s i n c a( 2 3 ) i y = s s l n c a + t c o s 矽 结合式( 2 1 ) ，由对弧长曲线积分的计算公式得，阮y ) 的r a d o n 变换可以表示为 p s ( 5 ，力= ，( s c o s 妒一t s i n c a , s s i n 矿+ f c o s c a ) a t 弋 y 绘。 。 j s 。 。 图2 1 f 0 ，y ) 沿直线l 的积分图2 2 坐标系冽和s o t 的关系 ( 2 4 ) 式( 2 4 ) 中p y o ，力表示投影数据，尹表示投影角度、j 表示探测器探元位置，在r a d o n 变换过程中，二维的物体内部断层结构通过投影转化为一维投影数据，这相当于将一个 二维分布函数变换到r a d o n 空间中。 2 1 2r a d o n 变换的反演形式 c t 是根据投影值确定物体内部各点的密度，就是由函数在某一区域内的许多曲线 积分值来求被积函数，此即r a d o n 变换的逆变换。如果被积函数没有什么限制条件， 要确定它需要无穷多个曲线积分值，但是这在实际应用中是不可能的。1 9 1 7 年，奥地利 数学家j r a d o n 巧妙的运用平均值的思想，建立a b e l 积分方程并解之，获得了求逆公 9 中北大学学位论文 式，称为r a d o n 定理【1 4 】。 r a d 。n 定理：假设厂( x ，) 是广义函数，；! ；兰磐绝对可积，并且，在以任意一点k y ) z 2 + y 2 为中心，r 为半径的圆周上积分平均值为 歹( 硼咖去f 8 m + 仍y + r s i n 撕 ( 2 5 ) 有 l i m 歹( z ，_ y ；，) ：0 ( 2 6 ) 则函数f ( x ，y ) 的值完全由它的r a d o n 变换唯一确定，而且 肥j ，) ：一土f 塑堕迪 ( 2 7 ) , r e4 口 其中亏也y ；g ) 表示以o ，_ y ) 为中心，q 为半径的圆的切线p = x c o s q ，+ y s i n o + q 上 f ( x ，) 的积分值的平均值，即 亏“y ；扩去r 7 j r ( x c o s 矿+ y s i n 尹圯州尹 ( 2 8 ) 由r a d o n 定理可得r a d o n 逆变换的解析表达式为 砌= 专砖c o s1 尹) ( s 舭却 ( 2 9 ) 上式中p j ( s 力表示对s 的偏导数，于( r ，o 是，( 而y ) 的极坐标表示。 在实际工作中，投影到r a d o n 空间的数据经过r a d o n 反变换就转化为物体内部断 层图像：由于实际的投影角度是不连续的，因此无法对投影直接作r a d o n 反变换运算。 为此，人们发明了很多种方法来实现离散数据的r a d o n 变换以便计算机执行运算，其中 最为著名的有滤波反投影算法和代数迭代算法。 2 2 中心切片定理 实际工作中，存在平行束投影和扇形束投影两种工作方式，其中扇形束的计算是在 平行束投影基础上进行校正。因此，我们在本论文中以平行束为例来说明中心切片定理。 1 0 中北大学学位论文 对投影做一维傅里叶变换，并注意到它等于原函数的二维傅里叶变换的一个切片， 我们可以由此推导傅里叶中心切片定理。首先，我们定义目标函数的傅里叶变换为 h 蚝v ) = e 厂( y ) e - 2 a i ( u x + v y ) 批 ( 2 1 0 ) 就象定义在角度妒处的投影p ，0 ，力一样，它的傅里叶变换可表示为 s ，( 卯) = p ，o ，纠e - 2 “西 ( 2 1 1 ) 中心切片定理的个最简单的例子是矿等于零时的情形。首先，考虑目标函数的傅 里叶变换沿着频域中的直线v = 0 的情形，现在，傅里叶变换的积分简化为 f ( ，0 ) = “x ，y ) e - 2 “d y d x ( 2 1 2 ) 由于像因子不再依赖于，我们可将积分分解为两部分 f ( u , o ) = e 他y ) d y e - 2 “d x ( 2 1 3 ) 由r a d o n 变换的定义可知括号内的部分正是沿着z 取常数的直线的投影，即 乃( j ，o ) = e 厂化力咖 ( 2 1 4 ) 将这一结果代入式2 1 3 得 f ，o ) = f 。p l ( s , o ) e 一2 “4 d x ( 2 1 5 ) 方程的右边表示投影角度为零时的投影的一维傅里叶变换。那么，我们有如下关于垂直 投影与二维目标函数傅里叶变换之间的关系 f ，0 ) = s 。o ( m ) ( 2 1 6 ) 这是最简单的中心切片定理，如图2 3 所示。 如果( t , s ) 坐标系被旋转一个角度妒，由式( 2 1 4 ) 确定的关于投影的傅里叶变换等于 目标函数的二维傅里叶变换在一条被旋转了p 角度的直线上的值，这导致了以下的中心 切片定理【1 5 】 图像j ，) 以妒角的平行投影的傅里叶变换给出它的二维傅里叶变换在与”轴成 伊角的一个切片上的值。即投影p ，( s ，纠的傅里叶变换给出了f ( u ，d 沿图2 3 中直线b b 的信。 中北大学学位论文 投影 卒间域 叶峦换。 图2 3 中心切片定理示意图 额率域 以上结果表明，分别对目标函数在角度仍，仍做投影，然后再对每一组投影做 傅里叶变换，我们能确定出它的二维傅里叶变换在径向直线上的值。如果做目标函数的 无穷多个投影，则它的二维傅里叶变换在“一v 平面上的任意点处的值都能知道。知道了 f ( u ，v ) ，也能利用傅里叶逆变换恢复原目标函数 厂( x ，y ) = f 以，v ) e 2 嘶“哪d u d v ( 2 1 7 ) 如果函数，y ) 被限制在一罢 x 罢，一罢 k w t ，有防“一彰k - 1 ) i ( j = 1 ，2 ，l ，) 糸 图2 9 迭代序列的形成 值得注意的是，对步骤( 1 ) ，初值沙) 的选取在算法的实际运行中是相当重要的，初 值赋的合理，能使迭代结果口忸) 很快收敛于真值。应当充分利用重建图像的一切己知信 息，对步骤( 5 ) ，应当利用先验知识，增加约束技巧，以提高收敛速度。 以上介绍的是加法a r t ，还有一种方法是乘法a r t ，二者只是修正方法不同，其它 基本一致，这里不再赘述。 中北大学学位论文 第三章基于再投影的投影数据仿真算法 为了得到理想的投影数据并利于单独研究投影过程中不同的物理现象，我们需要用 计算机模拟c t 系统的工作过程。 在进行投影数据仿真之前，我们必须构造物体模型，物体可以是二维断层也可以是 三维容积。目前在投影数据仿真过程中最常用的有矢量模型和点阵模型口”。矢量模型是 用数学的方法来描述物体，以二维断层为例，它可以看作一系列具有不同灰度的椭圆、 三角形和矩形的组合，通过改变各种几何图形的参数可以构造出不同的断层模型。不同 区域的灰度值代表该区域的线性衰减系数。点阵模型是用像素来描述物体断层，像素的 灰度值代表该区域的线性衰减系数，改变像素的值可以表示不同的断层模型。 就算法而言，使用矢量模型有许多优点。首先图像文件较小，在处理大尺寸高分辨 率断层时将大大减少对计算机内存的需求；其次由于矢量模型用一系列数学公式表达图 像，使得积分计算可以直接用解析方法进行，既提高了速度又使结果更精确。但是矢量 模型也有其自身的缺点，主要是不适合表示复杂的物体。因此，点阵模型就现其优势， 它可以表示具有复杂结构的真实物体，但是在计算投影时是将射线穿过的所有像素的灰 度值累加到相应的位置，因此算法上要复杂一些。为了能够最大限度的模仿真实物体并 能够单独研究投影过程中的物理现象，所以在本课题中我们采用了点阵模型。 3 ，1 投影数据仿真算法 3 1 1 几种仿真算法的比较 在不考虑噪声和各种误差时，投影仿真算法主要集中在计算沿制定路径线衰减系 数( 区域灰度值) 的积分上。由于矢量模型可以表示为一系列几何图形，因此只要解决在 任意方向上直线和几何图形交线的长度即可。对于点阵模型，其仿真算法相对复杂， 我们要考虑任意方向上的直线经过断层图像中的哪些像素，根据不同的算法还要作相应 的处理后再加到相应的投影值上。下面就详细介绍一下常用的几种针对点阵模型的投影 仿真算法【2 3 2 4 。 2 4 中北大。j 学位论文 为了讨论方便，我们作如下假设： ( ，y 。) 表示断层图像中任意像素，该像素确 定的区域是以( 靠，y 。) 为中心，以缸为边长的正方形内部，m 为投影数，为抽样点 数。 方法一：二值近似方法 对于给定的一条射线( 不考虑宽度) ( 屏，幺) ，判断该射线是否经过像素( 靠，y 。) 所 包含的区域，如果经过，则把该像素的灰度值累加到相应的投影值上，反之则加零。对 于所有投影角度下的所有射线，遍历整个图像，重复上述判断过程，我们将得到m n 的投影数据矩阵。 方法二：像素驱动的距离近似方法，描述如下 对于给定的一条射线( 不考虑宽度) ( 屏，只) ，首先判断射线是否经过像素 ( ，y 。) 所包含的区域，如果经过，则计算该射线经过像素的距离d ( 0 s d s 2 缸) ，然 后将该像素的灰度值与d 的乘积加到相应的投影值上，反之则加零。对于所有投影角度 下的所有射线，遍历整个图像，重复上述判断、计算过程，我们将得到肘x n 的投影数 据矩阵。 方法三：像素驱动的面积近似方法，描述如下 对于给定的一条射线( 考虑射线宽度) ( , o r ，只) ，首先判断射线是否经过像素 o 。，y ，) 所包含的区域，如果经过，则计算该射线经过像素部分面积s ( 0 ss 缸2 ) 与 像素区域面积x 2 的比值卵，然后将该像素的灰度值与s r 的乘积加到相应的投影值上， 反之则加零。对于所有投影角度下的所有射线，遍历整个图像，重复上述判断、计算过 程，我们将得到m n 的投影数据矩阵。 以上三种仿真算法中，方法一和方法二都是将射线考虑成没有宽度的几何线，这两 种方法都会丢失部分信息，投影数据中会出现明显的高频抖动( 如图3 1 ( b ) ) ，重建图像 将出现不同程度的星状伪迹。实际投影过程中，探测器所得到的投影值是各探元区域内 积累光子转换成的电流或电压值，在这种情况下，射线是有宽度的 2 5 1 。方法三就很好的 模拟了实际情况，能够增加投影的信息量，有效的抑制了高频抖动( 如图3 1 ( c ) ) ，使得 重建图像的边缘更清晰。但是方法三的运算量大，而且实现起来比较困难。 中北大学学位论文 ( a ) 图3 1 各种方法对图像( a ) 在投影角度为4 5 度投影数据比较 ( b ) 是用方法二对( a ) 进行投影，出现了明显的高频抖动 ( c ) 是用方法三对( a ) 进行投影，明显的抑制了高频抖动 3 1 2 基于再投影的投影数据仿真算法 如上节所述，为了使投影数据能够包含尽可能多的图像信息，我们采用像素驱动的 面积近似方法来进行投影仿真。该方法与其它两种方法最根本的区别就是将射线考虑成 有定宽度的( 如图3 2 ) ，这样会有效的保留图像信息并能够有效的抑制投影数据中的 高频抖动现象。但是对算法而言，判断射线经过哪些像素以及如何快速的计算射线经过 某像素的面积就成为难点。 本文作者提出一种基于再投影的投影数据仿真算法，很好的解决了上述难题 2 6 2 - 7 2 - 8 2 - ”。我们以平行束投影为例介绍该算法，首先建立坐标系：以图像的中心为坐标原 中北大学学位论文 点建立直角坐标系，假设图像大小为r x n ，则图像在坐标系中的区域被限制在 盟2 - x , yi n 。图像被分成2 个边长为l 的正方形，每一个小正方形代表图像的一个 像素，每个像素的灰度值代表该区域内的线性衰减系数。探测器探元宽度为l ，则每条射 线的宽度也为1 。 、 射线 、 、 、 、 探测器 图3 2 ( a ) 将射线考虑成理想的几何直线 ( b ) 将射线考虑成矩形射线束，射束宽度等于探元宽度 在建立了上述坐标系后，我们开始进行投影数据仿真。本算法中“再投影”的意思 是对所有投影角度，我们将探测器和像素同时投影到工轴或y 轴，然后根据探测器和像 素的投影坐标值来判断某条射线束经过哪些像素以及经过像素的面积。 实际计算时，我们将探测器边缘和每一行( 列) 像素边缘的中点投影到x 轴或y 轴上。 图3 3 是投影角度一定的情况下，部分探测器及部分像素投影到z 轴的情况。我们定义 探测器边缘中点投影到j 坐标轴的坐标为d ；( i = 012 m ，m 为抽样次数) ，像素 边缘中点投影到x 坐标轴的坐标为p ，( k 0 1 2 n ) 。几+ 。表示图像中某一行第i 个像素的灰度值，该像素在z 轴上的投影是由p 。和p 。两点确定的。d 。+ ，表示第f 个探 测器的测量值，该探元在x 轴上的投影是由d ，和d 。，两点确定的。下面，我们将详细介 绍投影值计算步骤： 中北大学学位论文 在某一投影角度下，我们先将探测器投影到z 轴或y 轴，再将图像的一行或一 列也投影到工轴或y 轴，记录投影坐标值p ；和d ；。 判断d 。和p ，的位置关系，并根据( 3 1 ) 式原理进行投影值计算。 d ；。+ 1 = ! ! i ：! l 一p i 一+ p 。+ 。+ ! ! ! ! ：! ：! l p ；+ 1 ，；+ 2 ( 3 ，1 ) p j p i 一1p i + 2 一p i + i 取图像的另一行，沿投影方向进行投影得到另一组p ，值，然后重复第 ( 2 ) 步操作，并且将算得的投影值累加。 改变投影角度，重复( 1 ) 一( 3 ) 步操作，直到所有投影角度都计算完毕。 探测器 飞 图像的一行 嵴瀚 ( a ) 图3 3 下面给出上述步骤的算法： ( b ) ( a ) 探测器和图像沿投影方向投影到z 轴 ( b ) 投影到x 轴上的坐标关系 l 、f o r 所有的投影角度d o 2 、 计算探测器各探元的边缘在x 轴或j ，轴的投影坐标，并存储在数组d 中 3 、f o r 所有的图像的行( 列) d o 4 、f o r 图像行( 列) 中所有像素d o 5 、 计算各像素边缘在x 轴或y 轴的投影坐标，并存储在数组尸中； 6 、e n df o r 2 8 曲 ( ( 孛j e 大学学整论文 7 、f o r 数组d 中的坐标值d o 8 、比较d 中坐标值与尸中的坐标值，判断其位置关系，计算投 影值， 并将投影值累加到二维数组p r o j e c t i o n 的相应位嚣上。 9 、e n df o r 1 0 、e n df o r l 王、