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基于小波包的变形信息提取 冯清玲( 地图制图学与地理信息工程) 指导教师：万剑华( 教授) 曲国庆( 教授) 摘要 变形( d e f o r m a t i o n ) 是一种自然现象，它是指变形体在各种影响因素的作 用下，其形状、大小及位置在时空域中的变化。变形体的变形过大时有可能 造成一定的危害。因此需要对变形体进行变形监测，了解变形体的变形情 况。在对变形体进行变形观测时，由于主观因素及各种客观因素的影响， 变形监测得到的数据中常含有很多噪声及其他扰动，因此需要依靠一定的 处理方法来消除它们的影响，获得真实的变形数据。 小波包理论是9 0 年代初发展起来的一种信号处理方法，是小波理论的 推广。它提供了一种更为精细的分析方法，可以对数据进行全频域分析， 因此在信号处理和图像处理领域得到了广泛应用。本文把变形数据看成一 种信号，将小波包方法应用到变形信号处理中，内容如下： ( 1 ) 论述了变形分析的研究意义、研究现状及本文的内容。 ( 2 ) 论述了小波包分析理论、算法实现及其在信号处理中的应用。 ( 3 ) 探讨了小波包理论在变形数据消噪方面的应用。分析了小波包消噪 的基本理论和消噪模型，在原有小波包阈值消噪模型的基础上，提出了一 种改进的阙值消噪方法，通过仿真信号和变形信号实验分析，验证了阈值 的可行性，消噪效果良好。 ( 4 ) 探讨了小波包在变形信息提取方面的应用。针对变形数据受多种干 扰因素影响这一特点，利用谱分析方法得到了变形数据含有的主要频率特 征。利用小波包方法对变形数据进行了全频域分解，提取了主要频率信号 所在的频段。通过对信号周期及振幅等特征分析，提取出了变形体的变形 信息。通过实例验证，效果较好。 关键词：变形，小波包，消噪，阈值，信息提取 i n f o r m a t i o ne x t r a c t i o no fd e f o r m a t i o nb a s e do n w a v e l e tp a c k e tt r a n s f o r m f e n gq i n g - l i n g ( c a r t o g r a p h ya n d g e o g r a p h i ci n f o r m a t i o ne n g i n e e r i n g ) d i r e m e db yp r o f e s s o rw a nj i a n - h u aa n dp r o f e s s o rq u o a o - q m g a b s t r a c t d e f o r m a t i o ni so n ek i n do fn a t u r a lp h e n o m e n o n , w h i c hm e a n st h e c h a n g e so fs h a p e ，s i z ea n dl o c a t i o no f d e f o r m a b l eb o d i e s , c a u s e db yv a r i o u s f a c t o r s o n c et h ev a l u eo fd e f o r m a t i o n 麟c d si t sa l l o w a b l ev a l u e s o m e d a m a g ew i l lb ec a u s e d a st h ed e f o r m a t i o ni sc h a n g i n ga l lt h et i m e ，i ti s n e c e s s a r yt oo b s e r v et h ed e f o r m a b l eb o d i e ss oa st ok n o wa b o u tt h es i t u a t i o n o f d e f o r m a t i o n h o w e v e ra sar e s u l to f t h ei n f l u e n c eo f s u b j e c t i v ef a c t o r sa n d o b j e c t i v ef a c t o r s , t h ed a t ao b t a i n e df r o mo b s e r v a t i o nc o n t a i n sa l lk i n d so f n o i s e i no r d e rt oo b t a i nt h er e a li n f o r m a t i o no fd e f o r m a t i o n , w en e e d e f f e c t i v em e t h o d st oe l i m i n a t et h en o i s e s w a v e l e tp a c k e ta n a l y s i st h e o r y , w h i c hi st h ee x t e n s i o no fw a v e l e t a n a l y s i st h e o r y , i sa l s oas i g n a lp r o c e s s i n gm e t h o d i ti sd e v e l o p e dr a p i d l yi n r e c e n ty e a r s i tc a na n a l y s i ss i g n a lm o r ep a r t i c u l a r l yt h a nw a v e l e tm e t h o d i t c a na n a l y z es i g n a li na l lf a = e q u e n c yd o m a i n , a n di ti sa p p l i e db r o a d l yt os i 割| a l a n di m a g ep r o c e s s i n g i nt h i sp a p e r , d e f o r m a t i o nd a t ai sr e g a r d e da sas i g n a l w a v e l e tp a c k e ta n a l y s i sm e t h o di sa p p l i e dt ot h ed e f o r m a t i o ns i g n a l n w o r ki sd o n ea sf o l l o w s ： ( 1 ) t h em a i nt e c h n i q u e sf o ro b t a i n i n gd e f o r m a t i o nd a t ai si n t r o d u c e d , a n dt h ei n f l u e n c ef a c t o r si si n d i c a t e d t h e nt h em e t h o d si nd e f o r m a t i o nd a t a p r o c e s s i n ga l ei n t r o d u c e d ，a n dt h ea d v a n t a g ea n dd i s a d v a n t a g eo ft h e mi s d i s c u s s e d ( 2 ) w a v e l e tt h e o r ya n dw a v e l e tp a c k e tt h e o r ya r ei n t r o d u c e d a n d i i i a p p l i c a t i o n i ns i g n a lp r o c e s s i n gi sd i s c u s s e d ( 3 ) t h ea p p l i c a t i o no fw a v e l e tp a c k a g et h e o r y i n d e - n o i s i n gf o r d e f o r m a t i o ns i g n a li sd i s c u s s e d t h eb a s i cd e n o i s i n gt h e o r ya n dd e n o i s i n g m o d e lb a s e do l lw a v e l e tp a c k a g ei si n t r o d u c e d f u r t h e r m o r e ，b a s e do n o r i g i n a l t h r e s h o md e n o i s i n gm o d e l ，a l la d v a n c e dt h r e s h o l dd e - n o i s i n g m e t h o di sp r o p o s e d t h ef e a s i b i l i t yo ft h en e wt h r e s h o l di sv e r i f i e db yu s i n g s i m u l a t i n ga n d r e a ls i g n a l ，a n do b t a i n se x c e l l e n c er e s u l t ( 4 ) t h ea p p l i c a t i o no f w a v e l e tp a c k a g et h e o r yi ne x t r a c t i n gd e f o r m a t i o n i n f o r m a t i o ni sd i s c u s s e d f o rt h ec h a r a c t e r i s t i c ，t h a tt h ed e f o r m a t i o nd a t ai s i n f l u e n c e db yv a r i o u sd i s t u r b i n gf a c t o r s p e c t r u ma n a l y s i sm e t h o di su s e dt o g a i nt h em a i nf r e q u e n c yf e a t u r ei nt h es i g n a l t h e nt h ed a t ai sd e c o m p o s e d i n a l lf r e q u e n c yd o m a i n sb yw a v e l e tp a c k a g em e t h o d , a n dc h o o s et h ep r o p e r w a v e l e tp a c k a g eb a s i si nt h a tt h em a i nf i e q u e n c yb a n dl i e s f i n a l l y ，t h e d e f o r m a t i o ni n f o r m a t i o ni se x t r a c t e db yf e a t u r ea n a l y s i sf o rt i m ea n d a m p l i t u d eo fs i g n a l t h ei n f o r m a t i o no fd e f o r m a t i o ne x t m c t e db yu p p e r m e t h o di st e s t e dt ob eg o o d k e y w o r d s ：d e f o r m a t i o n , w a v e l e tp a c k a g e ，d e - n o i s i n g ，t h r e s h o l d ， i n f o r m a t i o ne x t r a c t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中国石油大 学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：圣盘竣四年6 月罗日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解中国石油大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留送交论文的复印件及电子版，允许论文被查阅和借阅；学校可以 公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 学牛签名：了马请拎 学生签名：望堕丝： 导师签名： 捌呼一 0 7 年6 月了 日 矽年 月乡 日 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 变形的内涵及研究的现实意义 变形( d e f o r m a t i o n ) 是一种自然现象，它是指变形体在各种影响因素 的作用下，其形状、大小及位置在时空域中的变化。变形体的变形在一 定范围内是允许的，如果超出允许值，则可能引发灾害。自然界的变形 危害现象非常普遍，如地震、滑坡、地表沉陷、溃坝、桥梁与建筑物的 倒塌等。 变形体的范畴可以大到整个地球，小到一个工程建( 构) 筑物的块体 ( 包括自然的和人工的构筑物) 【1 】硎3 j 。根据变形体的研究范围，变形监测 研究对象可分为三类：全球性变形研究，如监测全球板块运动、地极移 动、地球自转速率变化、地潮等；区域性变形研究，如地壳形变监测； 工程和局部性交形研究，如监测工程建筑物的三维变形、滑坡体的滑动、 地下开采引起的地表移动和下沉等。在精密工程测量中，研究的具有代 表性的变形体有大坝、桥梁、矿区、高层( 耸) 建筑物、防护堤、边坡、 隧道、地铁、地表沉降等【4 】。 人类社会的进步和国民经济的发展，加快了工程建设的进程，并且 对现代工程建筑物的规模、造型、难度提出了更高的要求。但是由于设 计中不可能对工程的工作条件及承载能力做出完全准确的估计，施工质 量也不可能完美无缺，工程在运行过程中还可能出现某些不利的变化因 素，建筑物就会产生不同程度的变形。当变形量超过变形体所能承受的 允许范围时，则往往会带来严重的危害。以大坝为例，2 0 世纪以来，美国 t e t o n 土坝、法国m a l p a s s e t 拱坝、我国板桥和石漫滩等一系列水库的垮 坝事件，给社会和人民生活造成了巨大的经济损失。可见，保证工程建 筑物安全是一个十分重要的问题1 2 j 。 目前，灾害的监测与防治已越来越受到全社会的普遍关注。经过广 大测量科技工作者和工程技术人员近3 0 年的共同努力，在变形监测领域 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章绪论 取得了丰硕的研究成果。例如，1 9 8 5 年6 月我国长江三峡新滩大滑坡的 及时准确预报，确保灾害损失减少到了最低限度。不仅使滑坡区内4 5 7 户1 3 7 1 人在滑坡前夕全部安全撤离，而且使正在险区长江上、下游航行 的1 1 艘客货轮及时避险，避免了一场灾难的发生 2 1 。 由此可见，科学、准确、及时地分析和预报变形体的变形情况是非 常重要的，对变形体进行变形分析具有重要的现实意义。 1 2 变形数据的获取技术及其发展 变形信息获取方法很多，选用哪种方法主要取决于变形体特征、变形 监测目的、变形大小和变形速率等。常用的获取技术有地面常规测量技 术与测量机器人、地面摄影测量技术以及o p s 空间定位技术等【4 】。 纵观国内外数1 0 年变形监测技术的发展历程，传统的地表变形监测 方法主要采用的是大地测量法和近景摄影测量法。 ( 1 ) 常规地面测量方法有了很大发展，全站仪已经得到了广泛使用。 全自动跟踪全站仪也得到了一定程度的应用，为局部工程变形的自动监 测和室内监测提供了一种很好的技术手段。它可进行一定范围内无人值 守、全天候、全方位的自动监测。 ( 2 ) 地面摄影测量技术在变形监测中的应用起步较早，但是由于摄影 距离不能过远，加上绝对精度较低，使得该技术的应用受到了局限。过 去仅应用于高塔、烟囱、古建筑、船闸、边坡体等的变形监测。近几年 发展起来的数字摄影测量和实时摄影测量为地面摄影测量技术在变形监 测中的深入应用开拓了非常广泛的前景。 ( 3 ) 光、机、电技术的发展，研制了一些特殊和专用的监测仪器用于 变形的自动监测，它包括应变测量、准直测量和倾斜测量。例如遥测垂 线坐标仪，采用自动读数设备，其分辨率可达o 0 1 m m ，采用光纤传感器 测量系统将信号测量与信号传输合二为一，具有很强的抗雷击、抗电磁 场干扰和抗恶劣环境的能力，便于组成遥测系统，实现在线分布监测【2 】。 ( 4 ) o p s 作为一种全新的现代空间定位技术，己逐渐在越来越多的领 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章绪论 域取代了常规光学和电子测量仪器。自2 0 世纪8 0 年来以来，尤其是进 入9 0 年代以后，g p s 卫星定位和导航技术与现代通信技术相结合，在空 间定位技术上引起了革命性的变化。用g p s 同时测定三维坐标的方法将 测绘定位技术从陆地和近海扩展到了整个海洋和外层空间，从静态扩展 到动态，从单点定位扩展到局部与广域差分，从事后处理扩展到实时( 准 实时) 定位与导航，绝对和相对精度扩展到了m 级、c m 级乃至亚n m l l 级， 从而大大拓宽了它的应用范围和在各行各业中的应用。 全球定位系统( g p s ) 能在全球范围内向任意多用户提供高精度、全天 候、连续实时的三维测速、三维定位和时间基准。它的工作原理是：将 无线电信号发射台从地面点搬到卫星上，组成一个卫星导航定位系统， 应用无线电测距交会的原理，由三个以上的地面已知点( 控制站) 交会出卫 星的位置，反之利用三颗以上卫星的已知位置又可交会出地面未知点( 用 户接收机) 的位置。 利用g p s 进行变形监测时，具有以下优点【2 】【4 】【5 】： ( 1 ) 测站间无需通视。对于传统的地表变形监测方法，点之间只有通 视才能进行观测，而g p s 测量的一个显著特点就是点之间无需保持通视， 只需测站上空开阔即可。这样使变形监测点位的布设方便灵活，也可省 去不必要的中间传递过渡点，节省许多费用。 c 2 ) 可同时提供监测点的三维位移信息。采用传统方法进行变形监测 时，平面位移和垂直位移是采用不同方法分别进行监测的，这样测量的 缺点是监测的周期长，工作量大，监测的时间和点位很难保持一致。采 用g p s 可同时精确测定监测点的三维位移信息。 ( 3 ) 全天候监测。g p s 测量不受气候条件的限制，无论起雾刮风、 下雨下雪均可进行正常的监测。配备防雷电设施后，g p s 变形监测系统 便可实现长期的全天候观测。它对防汛抗洪、滑坡、泥石流等地质灾害 监测等应用领域极为重要。 ( 4 ) 监测精度高。在变形监测中，如果g p s 接收机天线保持固定不 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章绪论 动，则天线的对中误差、整平误差、定向误差、天线高测定误差等并不 会影响变形监测的结果。同样，g p s 数据处理时起始坐标的误差，解算 软件本身的不完善以及卫星信号的传播误差( 电离层延迟、对流层延迟、 多路经误差) 中的公共部分的影响也可以得到消除或削弱。实践证明，利 用g p s 进行变形监测可获得( o 5 - 2 ) m m 的精度。 ( 5 ) 操作简便，易于实现监测自动化。g p s 接收机的自动化已越来 越高，趋于“傻瓜”，而且体积越来越小，重量越来越轻，便于安置和操 作。同时，g p s 接收机为用户预留有必要的接口，用户可以较方便地利 用各监测点建成无人值守的自动监测系统，实现从数据采集、传输、处 理、分析、报警到入库的自动化。 ( 6 ) g p s 大地高用于垂直位移测量。由于g p s 定位获得的是大地高， 而用户需要的是正常高或正高，它们之间有以下关系： k 常高= 上b 蚀高一占1 瑶膏= n x 地高一l 式中，高程异常占和大地水准面差距的确定精度很低，从而导致了转 换后的正常高或正高的精度不高。在垂直位移监测中，只需要观测到高 程数据即可，对于工程的局部范围而言，完全可以用大地高的变化来进 行垂直位移监测。 但是利用g p s 定位技术进行变形监测时，g p s 定位基准站和变形监 测点间的坐标差是依据两站的载波相位观测值和卫星星历经过复杂的计 算后求得的，定位结果往往受卫星星历误差、卫星钟差、接收机钟差、 对流层延迟、电离层延迟、多路径误差、接收机测量噪声以及数据处理 软件本身的质量等多种因素的影响。除此之外，还受到外界某些因素的 干扰，以建筑物的变形为例，建筑物本身的重量、日照、风荷载等作用 可能会使建筑物发生变形。因此，必须通过对监测数据进行综合处理分 析，去除各种影响，获取真实的变形信息嘲。 4 中国石油大学( 华东) 硕士论文第l 章绪论 1 3 变形分析的研究现状 多年来，对变形数据分析的研究非常活跃，回归分析法【7 】、时间序 列法、灰色系统理论【羽、神经网络法及卡尔曼滤波法等得到了一定程度 的应用【9 】【1 0 1 1 1 】【1 2 1 【1 3 】。如，应用灰关联分析方法研究多个因变量和多个自 变量的变形问题；应用灰色理论建模预测深基坑事故隐患；应用人工神 经网络建模进行短期的变形预测等。 回归分析法是处理变量之间关系最常用的数理统计方法，也是数理 统计领域内最活跃的分支之一，该方法为解决监测项受各种物理环境因 素的影响和观测序列随时间的变化提供了一种非常有效的模式【1 4 1 。李钢 【1 5 】利用广义回归网络模型建立大坝安全监测的径向基网络模型，实例分 析证明，该方法可以取得较好的分析结果。但是回归分析一般要求数据 量大，且数据需服从典型的概率分布，建立的是一种静态模型，当加入 新的观测数据时，需要全部重新计算，并且会引起回归系数的较大变动， 有时还会出现定量分析与定性分析不符的矛盾【1 6 1 堋。 时间序列分析是系统辨识与系统分析的重要方法之一，是一种动态 的数据处理方法。这种分析方法在变形数据处理中应用也比较广泛 【1 0 】【18 】【1 9 1 。但是时间序列模型在建模时，采用的是自动搜索的办法，其计 算量随数据量的增多成几何倍数增大，并且有时由于病态方程组或其它 问题存在而出现建模失败刚【2 n 。 灰色系统理论是把任何随机过程都看作是在一定幅值范围和一定时 区变化的灰色量，并把随机过程看成灰色过程，通过对原始数据的整理 来寻求其变化规律，利用灰色理论知识显现其规律性【1 0 1 瞄l ，在变形数 据处理中的应用较广泛。艾斯卡尔吾守尔【l o 】应用灰色系统理论对大坝 监测数据进行分析，并对大坝的变形态势进行了预测，得到了较好的预 测精度。高淑照例采用灰色系统理论模型，对虎门大桥2 7 0 米混凝土连 续钢构桥施工中的挠度变形进行了计算分析，效果较好。柏永岩口1 将灰 色系统分析方法应用于边坡系统研究中，为边坡工程设计中可能产生的 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章绪论 问题做出合理的预防措施提供了依据。但是灰色系统本身没有很强的并 行计算能力，系统的轻微变化都将导致重新计算，这是灰色理论应用的 一个弱点，且它对灰色信息的处理不够缜密，缺乏严格的数学理论支持， 还有待进一步改善【2 5 1 1 2 6 1 。 人工神经网络【2 7 】方法( a f t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k , 简称a n n ) 具有高度 的并行性、高度的非线性全局作用，能够进行复杂的逻辑操作，在变形 数据处理中应用也较广泛。周洪波【玎】将统计模型和混合模型作为应用人 工神经网络进行大坝变形监测正反分析研究的基础，应用 l - m ( l e n v e n b e n r y - m a r q u a r d t ) b p ( b a c k - p r o p a g a t i o nn e u r a ln e t w o r k ) 网络 建立紧水滩大坝变形监测模型实例，并与统计模型比较。结果显示，对大 坝变形进行预测时，l mb p 网络模型受观测值序列长短的影响更小。曲 永玲【2 s 】探讨了盾构隧道和基坑引起地面变形的影响因素，建立了基于神 经网络的地面变形预测模型，并运用该模型对上海、广州、南京等城市的 盾构隧道和基坑工程所引起的地面变形进行了实际预测，获得了令人满 意的预测结果。王琳1 2 9 1 利用b p 神经网络预测和有限元分析基坑，效果 较好。但是人工神经网络方法属于黑箱系统，机理分析困难，另外需要 先训练再使用。因此在实际应用中比较困难。 卡尔曼滤波法是目前应用最为广泛的实时动态数据分析方法，它把 消噪与预报结合在一起，在确定的模型下只需要少量的数据就可以进行 动态滤波与预测，且效果较好【1 4 】【3 0 1 【3 1 1 。高雅萍【3 2 】结合三峡一滑坡g p s 监测工程的实测数据，利用方差补偿自适应卡尔曼滤波对数据进行处理， 证明该方法除噪效果明显。但是卡尔曼滤波需要把模式应用于协方差矩 阵，其计算量和所需的内存，是当前甚至未来的一段时间内的大型计算 机都无法承受的，因此限s l i t 它的应用【3 3 1 1 3 4 1 。 诞生于2 0 世纪8 0 年代末的小波理论，是一种最新的时频局部化分析 方法，在测绘领域才刚刚起步。第2 l 届1 u g g 大会上，“小波理论及其应 用”被i a g 确定为大地测量新理论研究方向之一。在1 9 9 9 年召开的第2 2 6 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章绪论 届i u g g 大会上，“小波理论及其在大地测量和地球动力学中的应用”再 次被i a c 确定为g 分会( 大地测量理论与方法) 的新的研究小组。而在变 形分析方面，用小波变换提取变形特征的研究工作也有一定的开展，但 是有关文献较少。黄声享博士结合工程交形g p s 监测系统的实际资辩， 将小波变换应用于变形数据的滤波和基准相对变形趋势特征的提取，起 到了很好的效果。研究表明，在分析和处理强噪声、非平稳、非线性、 非等间隔数据序列的变形问题以及对复杂变形进行分离时，小波一变形分 析法将是一种有效方法，具有其它方法无法比拟的优越性川。文鸿雁阳 博士研究了基于小波理论的交形分析模型。 应用小波方法进行时频分析，可望有效地求解变形的非线性系统问 题，通过小波变换提取变形特征。从目前的应用研究来看，虽然小波分 析要求大子样容量的时间序列数据，但是，长序列数据可从g p s 、t p s 等集成的自动化监测系统中得到保障。小波分析为高精度变形信息提取 提供了一种有效的数学工具，对非平稳信号消噪有着其它方法不可比拟 的优点。小波包理论是小波理论的推广，它具有更好的信号分析能力， 因此，本文采用了小波包方法对变形数据进行消噪与信息提取。 1 4 本文的研究内容 在变形监测中，监测系统采集到的变形数据含有噪声，如何削弱或 消除变形数据中的噪声，提取真实的变形信息是变形分析的关键问题之 一。小波包分析具有良好的时频局部性特点，在信号处理中得到了广泛 的应用。因此，本文选用了小波包方法对变形数据进行分析，内容如下： ( 1 ) 论述了变形的内涵、研究的意义及研究现状，提出了本文的研究 内容。 ( 2 ) 论述了小波理论及小波包理论，分析了多分辨率分析的特点及其 m a l l a t 算法。在此基础上，深入研究小波包变换的基本原理及其实现方 法，并简要介绍小波包方法在信号处理中的应用。 ( 3 ) 研究基于小波变换的阈值消噪方法。在基础上，进一步深入研究 7 中国石油大学( 华东) 硕士论文第l 章绪论 基于小波包变换的阈值消噪方法。针对变形信号中含有的干扰和噪声， 提出一种改进的小波包阈值消噪方案。该方案弥牢b t d , 波包阈值消噪时 过多损失信号细节信息的缺点，能够取得较好的消噪效果。通过实验对 比分析，该方案消噪效果较好。 ( 4 ) 研究应用小波包方法对变形数据进行信息提取。变形监测获取的 变形数据包含多种因素引起的信号，很难提取出变形信号。针对这一问 题，本文利用小波包方法对数据进行全频域分解，通过对各个频带信号 周期、振幅等特征的分析，提取真实的变形信息并推断变形数据中的主 要影响因素。 1 5 本章小结 本章论述了变形的内涵及研究的意义，阐述了变形分析的研究现状， 最后提出了本文所做的工作。 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章小波及小波包理论 第2 章小波及小波包理论 在小波变换出现以前，傅里叶变换是信号分析中最重要的数学方法。 傅里叶变换实际上是将信号展开为不同频率正弦信号的线性叠加。从信 号的傅里叶变换能看出信号各种不同频率成分的强弱，信号能量在频率 域的分布，这是傅里叶在信号处理领域中的突出贡献。但是由于傅里叶 变换的核函数是正弦函数，它在时间域上是无限的，非局部化的。为使 傅里叶变换在时域内也具有一定的局部性，g a b o r 提出了短时傅里叶变 换( s 1 下1 ) ，又称加窗傅里叶变换。它将核函数乘以一个在时间域内衰减 很快的函数，即窗函数，并将窗函数沿时间轴移动以获得信号在整个时 间过程中任意局部范围内的频率的变化情况。由h c i s e n b e r g 测不准原理 说明，对任意窗函数，窗口面积不小于2 个平方单位，这限制了s 叮 的局部分析能力，其在时频分析的精细程度、自适应性等方面都有一定 的缺陷。小波变换继承和发展了短时傅里叶变换的局部化思想，在时间 域和频率域都是局部的，是一种比较理想的信号处理工具i 粥。 2 1 小波变换 2 1 1 小波 设妒( f ) r ( r ) ，r ( r ) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信 号空间，若其傅里叶交换y ( ) 满足允许条件： g ：i 拟- - = ) - f - d o , b e r( 2 - 2 ) 若尺度因子口和时移因子6 取连续变化的值，称j ( r ) 为连续小波函数， 简称小波。 r h , l 、波的定义可以知道，如果小波母函数妒o ) 的傅里叶变换y ( ) 在 原点口= o 是连续的，那么，容许性条件保证妒( o ) = o ，即 v ( t ) e t = o 。 孟 这说明函数妒有“波动”的特点。另外，函数空间本身的要求又说明 小波函数缈o ) 只有在原点附近的波动才会明显偏离水平轴，在远离原点 的地方函数值将迅速“衰减”为零，整个波动趋于平静，“小波”由此得 名。 2 1 2 连续小波变换 设9 ( f ) 是小波函数( 或母小波) ，则连续小波变换( c w l ) 定义如下： c w t f ( 调= ( 他，) = | 口r ii m e 巾切( 半弦 ( 2 - 3 ) 由上式可以看出，连续小波变换是取信号和核函数的内积，可以解释为 信号和核函数相关程度的度量。在连续小波变换中，尺度因子口决定了 时域和频域观测窗的大小，而平移因子b 影响时域内窗的位置。尺度口越 大，时窗越宽，频窗越窄且频窗中心往低频方向移动；n 越小，则时窗 越窄，频窗越宽且频窗中心向高频方向移动。为了获得信号的低频信息， 应做较长时间的观察，这样有较好的频域分辨率；做短时间观察时，将 获得信号的高频信息，这样有较好的时域分辨率，人们将小波变换的这 种性质叫做“数学显微镜”。 小波变换在时一频平面上的分析频率随口值变换有高有低，但在各频 段内分析的品质因数q 却保持一致，即中心频率与带宽的比值始终不变， l o 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章小波及小波包理论 当采用的小波满足容许性条件q = 鲜p 锄时，连续小波变 ，o ) 2 百1 土孑d ae 聊j ( 口，纯，( f 坳 ：三c q ，：r o 生a 2 r t ：去烨动 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第2 章小波及小波包理论 存在一一对应的关系。此外，小波变换的核函数即小波函数仍。( r ) 存在 多种可能选择删【4 ”。 2 1 3 离散小波变换 连续小波变换存在信息冗余，所以在不丢失原信号信息的前提下， 要尽量降低小波变换系数的冗余度。在实际应用中，特别是计算机信号 和图像处理方法的实现中，考虑采取离散抽样。对于上式的连续小波变 换，取尺度a = a j o ，a o 0 ，_ ，z ，可实现对4 的离散化。取6 = k b o ，k z ， 可实现对6 的离散化。b o 的选择应保证能由d 瞩( ，k ) 重构出砸) 。 ( f ) 就变为： 啄衅研啄7 ( ，一缸j 6 0 ) 】= a o j r 2 妒( 面7 t - 胁0 ) j = o ，1 ，2 ，k z ( 2 - 5 ) 则离散小波变换定义为： d 矸乃( ，七) = j 厂( r ) 妒地( t ) d t ( 2 - 6 ) 若取= 2 ，i r m a = l ，2 1 , 2 2 ，2 7 。当口= 2 。时，则沿f 轴的相应采样间 隔是4 = 2 j 勋o ，此时，q o o ( f ) 变为： 2 - 7 ”矿( 2 - j r 一胁0 ) 即 竹 o ) ，j = o ，l 2 一，七z ( 2 7 ) 把6 轴用b o 归一化，= 1 ，于是有： 纺 ( r ) = 2 7 2 矿( 2 t 一七) ( 2 - 8 ) 此时，对应的d 喝为： d w r r o s 0 = j ，( r ) 矗( t ) d t ( 2 - 9 ) 重构公式为： 1 2 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章小波及小波包理论 厂( f ) = c d 吗u ，j | ) 纡( f ) ( 2 1 0 ) 式中，c 是与信号无关的常数 3 6 1 1 4 z l 。 为减少连续小波变换系数的冗余量，离散小波变换在时间一尺度平 面上适当选取了尺度和时移的一些离散点的小波变换系数值来描述信 号，但是离散化将丢失一些信息。为了保证重构信号的精度，所以q 。和b o 应尽可能小( 即网格点尽可能密，网格点越稀疏，使用的离散小波系数就 越少，信号重构的精度就会降低) ，为此对母小波提出了更为严格条件， 同时对离散化步长参数a o ，6 0 也加以限制。 2 1 4 二进小波变换 对于前面所提到的尺度和时移均离散化的小波序列，如果取离散栅 格a o = 2 ，b o = o ，即相当于连续小波只在尺度口上进行量化，平移参数b 仍 然连续不被离散，称这类小波为二进小波，表示为【4 1 】： 吩 妒芋鹤( 2 - 1 1 ) 2 1 1 ) 吩j o ) = 2 烈书 但是这个小波函数必须满足以下条件，即存在常数彳和b ，当 0 a b 肚。z ，。z + 中选取的能构成亭( r ) 的正交 小波基叫做小波包基当固定n = l 时， 吩，j ( f ) ) j 知：，i 实际上就是 纺 ( r ) ) 肚e z ，它正是r ( r ) 的正交小波基，所以小波包基是小波基的推 广形式 4 s l 。 2 3 6 小波包分解与重建 对于正交小波包分析，其算法类似正交小波分析的m a l l a t 算法。 信a 邑yf ( t ) 的正交小波分解的公式为h 1 】： f ( t ) = p j f ( t ) + d j ( t ) ( 2 - 4 4 ) 其中 d j f ( t ) = 趣力伊o ) k 系数彬和碰力的递推公式为： f 妒= 。，坪川 一 l 碰力= 啊。：州掣。 弓一。巾) = 蟛缸( r ) k ( 2 - 4 5 ) ( 2 - 4 6 ) ( 2 - 4 7 ) 中国石油大学 华东) 硕士论文第2 章小波及小波包理论 正交小波的重建公式为： 舻= k ：罐+ k 黯， i = 岛( ”一2 t ) 掣“+ g l ( n - 2 k ) 掣“ i 设g ；f ( t ) e 叼 q ，( d = l 影4 知( 2 - q - i ) ( 2 - 4 9 ) 因为q n ，v j = 2 + n t 八f ，+ 2 n 。+ 1 ，所以小波包系数递推公式为： f 邶“= 往，4 。d 。k j 4 q , 2 n + l 一_ 毫嘲矿 倍5 所以小波包的重建公式为： 彰4 = 【讲) “知+ 噍( f - 2 ) “3 “】 ：岛0 2 k ) a l 椰一十p 一2 k ) d l “2 n ，( 2 - 5 1 ) tt 2 4 小波包方法在信号处理中的应用 小波方法作为一种时频分析工具，在信号处理、模式识别、图像分 析、数据压缩、语音识别与合成等诸多方面都取得了很有意义的研究成 果。但是小波变换只适用于信号的主要信息集中在低频域的情况。小波 包方法则能进行全频域的信号分解，因此它比小波具有更强的信号分析 能力，在故障诊断、信号特征提取、信号消噪等方面取得了良好的应用 效果。基于小波包的这一优势，本文将小波包方法应用到变形数据处理 中。 2 5 本章小结 本章论述了小波及小波包的基本理论，重点阐述了小波包基本概念、 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章小波及小波包理论 小波包的性质、分解与重构算法，并探讨了小波包在信号处理方面的应 用情况，为小波包方法应用于变形监测数据处理提供了理论依据及可行 性分析。 中国石油大学( 华东) 硕士论文第3 章基于小波包的变形信号消噪 第3 章基于小波包的变形信号消噪 在变形监测系统中，受观测条件、观测仪器等诸多因素的影响，观 测所得的变形数据中含有不同程度的噪声。假设其由有用信号和随机噪 声两部分组成，具体模型为【4 】： x = s ( f ) + n o ) ( 3 一1 ) 式中，砸) 为观测数据，s ( f ) 为有用信号，甩( f ) 为随机噪声， 行( f ) 一n ( o ，盯2 ) 。在有用信号中，既有可能是实际变形信号( r ) 或确定性 噪声晶( f ) ( 如g p s 动态监测中的多路径效应) ，也有可能是两者的混合， 即s = + o ) 。 随机噪声可理解为白噪声，如何有效地削弱乃至消除白噪声是变形 分析研究的重要内容之一。小波包方法是信号处理的有效工具，本章应 用小波包方法对变形数据中的随机噪声进行消噪处理。 3 1 小波消噪的基本原理 有用信号和噪声在小波域中具有不同的表现特性，它们的小波系数 幅值随尺度变化的趋势有明显的差别。随着尺度的增加，噪声系数的幅 值快速衰减，而有用信号系数幅值基本不变。根据信号和噪声的小波系 数在不同尺度上具有的这种特性，构造相应规则，在小波域中采用某种 数学方法对含噪信号的小波系数进行处理。处理的实质是减小甚至剔除 由噪声产生的系数，同时最大限度地保留真实信号的系数，利用处理后 的小波系数重构原信号，彳导到真实信号的最优估计 3 7 1 。 3 1 1 小波消噪的数学模型及基本方法 假设观预0 数据 z = 9 1 + 岛，f = 1 , 2 ，n ( n = 2 ”) ( 3 2 ) 中国石油大学( 华东) 硕士论文第3 章基于小波包的变形信号消噪 由有用信号& 和噪声组成，其向量形式表示为f = g + 占。在理想情况 下，q 为( 1 ) 正态噪声；( 2 ) 不相关的噪声；( 3 ) 方差为常量。实际情况 可能并非如此，因此上述假设条件都可以适当放宽，以满足实际应用的 需要。 小波消噪的核心是按照一定的准则对小波系数进行处理，在不损失 过多信号的前提下，达到消噪的目的。由于信号和噪声在不同尺度上有 不同的特征表现，m a l l a t 、x u 和d o n o h o 等各自提出了自己的信号处理 方法。分别是：m a l l a t 提出的模极大值重构消噪方法；x u 提出的空域相 关消噪方法；d o n o h o 提出的小波域阈值消噪方法。 m a l l a t 提出的模极大值重构消噪方法是根据信号和噪声在小波变换 下随尺度变化呈现出的不同特性提出来的，有很好的理论基础。消噪性 能较为稳定，对噪声的依赖性较小，不需要知道噪声的方差，特别是对 低信噪比的信号消噪更能体现其优越性。但是该方法的缺点是在消噪过 程中存在一个由模极大值重构小波系数的问题，从而使得该方法的计算 量大大增加。另外，实际消噪效果也并不十分令人满意。 空域相关消噪方法是基于小波系数尺度之间的相关性原理实现的。 实现原理较简单，但计算量较大，需要进行迭代，并且用到了小波域阈 值消噪的一些思想。在实际应用时，需估计噪声方差，才能设定适当的 阙值。 小波域阈值消噪方法是实现较简单，计算量较小的一种方法，应用 较为广泛。但其阈值的选取比较困难，虽然d o n o h o 在理论上证明并找 到了最优的通用闽值，但实际应用中效果并不十分理想。另外，阙值的 选取还依赖于噪声的方差，需要事先估计口7 】。 由于小波域阈值消噪方法实现起来较为简单，本文采用了小波域阈 值消噪方法对变形监测信号进行消噪。 中国石油大学( 华东) 硕士论文第3 章基- t - , l , 波包的变形信号消噪 3 1 2 小渡域阈僵消噪原理 该方法认为有用信号经过小波变换后，小波系数包含信号的重要信 息，其幅值较大，但数目较少，而噪声对应的小波系数幅值较小，个数 较多。在不同尺度上选取一合适的阈值，将小于该阈值的系数置为零， 而保留大于阈值的小波系数，使信号中的噪声得到有效抑制，利用处理 后的小波系数进行重构，得到消噪后的信号。 3 1 3 小波域阈值消噪算法 对观测数据消噪，d o n o h o 提出了两个前提条件口7 】： ( 1 ) 光滑性：在大概率情况下，舍至少跟g 有相同的光滑度。 c 2 ) 适应性；雪是最小均方差估计。 由条件( 1 ) 可以推出，当n 哼0 0 时，下式几乎以接近1 的概率成立： ，- - c , m ，( 3 - 3 ) 式中c 1 为一常数。这在小波域中意味着防，i - 1 0 , 。i 成立，式中1 f 为 位置，为尺度，屯表示真实信号在尺度_ ，上的第f 个小波系数。 对于条件( 2 ) ，可以理解为对e 嗬i 缶n 陋 一z i ) 求最小值，这等价于求 e 峪一口8 的最小值。d o n o h o 证明，此时誊、务必须满足