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曲阜师范大学硕士学位论文 几类非线性常微分方程边值问题的可解性 摘要 非线性分析与常微分方程的解是分析学研究的两个重要的研究课题本文 我们研究了一类奇异边值问题的多重正解和超线性情形下正解存在的充分必 要条件全文分为四章 第一章是本文的绪论部分主要介绍了非线性分析基本理论和常微分方程 解存在性的研究现状，以及本文的主要结果 第二章主要考察如下含有a ，弘的一类非线性四阶微分方程组的两点边值 问题 fu ( 4 ( z ) + 卢让”一。仳= a 危l ( z ) ，( u ，u ) ， 茁j 刨4 ( z ) + 训”一q 口= p 2 ( 。) g ( ， ) ， 茁， 211 l “( o ) = 札( 1 ) = ( o ) = ( 1 ) = o 【u ”( o ) = ( 1 ) = 矿( o ) = ”( 1 ) = o 讨论了a ，卢对其正解存在性与多解性的影响，应用锥上的不动点指数理论，通 过相应线性问题的第一特征值建立了方程组( 211 ) 正解的存在性与多解性定 理以上定理改进了文f 1 1 中利用锥拉伸锥压缩等方法给出的四阶方程两点边 值问题的存在性条件： l i m 坦：o ，l i m 盟：。： l i m 地：o 1 i m 型：。， 当口= 卢= o 时的l 青形已有一些结论见f 1 2 j ，本文对 2 】进行了推广，使所得 结论适用于较广泛的函数类 曲阜师范大学硕士学位论文 第三章主要研究了四阶奇异方程组 f i t ) = 危1 ( ) ，( z ，) ，( o ，1 ) i 扩( t ) = 2 ( t ) g ( 。，) ，f ( o ，1 ) lz ( o ) = 。( 1 ) = 茁“( o ) 二z ”( 1 ) = o i 封( o ) = 9 ( 1 ) = 可“( o ) = 掣”( 1 ) = o 的正解存在的充分必要条件，四阶奇异方程组边值问题的研究结果相对较少， 对于超线性情形，本文得到了方程组( 3 1 1 ) 正解存在的充分必要条件，改进 并推广了文 6 中的结果。 第四章研究了超线性四阶奇异边值问题 jz ( 4 ( f ) = ，( ，。( ) ，一z ”( t ) ) ，t ( o ，1 ) 【z ( o ) = z ( 1 ) = o ，n z ”( o ) 一6 z ”( o ) = o ，c z ”( 1 ) + c h ”7 ( 1 ) = o 正解存在的充分必要条件，应用锥上的不动点定理，在更广的条件下，给出了 边值问题( 4 1 1 ) 正解存在的充分条件，简化了 8 中的条件，推广和改进了某 些已有的结果 关键词 两点边值问题正解锥不动点定理 u 曲阜师范大学硕士学位论文 s o l v a b i l i t yo fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o r s e v e r a lc l a s s e so fn o n l i n e a ro r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a b s t r a c t n o n 儿n e a ra n a l y s i sa n dt h es 。l u t i o no fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o na r e t w oi m p o r t a n tr e s e a r c hs u b j e c t so fo p t i m i z a t i o np r o b l e m i nt h i sp a p e rw e c o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i “v es 0 1 u t i o n sa n dt h en e c e s s a r ya n d s u m c i e n tc o n d i t i o no fac l a s so fs i n g u l a rn o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m t h i sp a p e ri sc o m p o s e do ff b u rc h a p t e r s c h a p t e r1 i st h ei n t r o d u c t i o no ft h i sp a p e r ，w h i c hi n t r o d u c e st h eb a s i c t h e o r i e so fn o n l i n e a ra n a l y s i s ，a n dt h em a i nr e s u l t so b t a i n e di nt h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n so fa c l a s 8o fs i n g u l a rn o n l i n e a rt w o - p o i n tb o u n d a 。y 、吼l u ep r o b l e mw i t ht w op a r a m p t 皂r s u ( 4 ( z ) + 卢u ”一q “= a l ( z ) ，( 扎，u ) ， z l ， u 4 ( 茁) + 卢 ”一训= p 2 ( z ) 9 ( u ，甜) ， z t ， 2 1 1 “( o ) = u ( 1 ) = ( o ) = u ( 1 ) = o u ”( o ) = u ”( 1 ) = 廿”( o ) = ”( 1 ) = o t h i ss e c t i o ne s t a b i i s h e st h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i t i v es 0 1 u t i o n so fs i n g u l a rn o n l i n e a rt w o p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ( 2 1 1 ) b yr r l e a n s o ft h e f i x e dp o i n ti n d e xt h e o r e mo nc o n e s t h e o r e m1 1 1i m p r o v e sa i l dg e n e r a l i z e s 曲阜师范大学硕士学位论文 t h ee x i s t i n gc o n d i t i o n so f 1 ： l i m 型：o 、l i m 盟：o 。、 l i 。n 地：o ，l i m 盟：o 。 o c c _ + 。 w h e nn = 卢= 0 ，l o t so fi m p o r t a n tr e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e d ，f o re x a m p l e ，【1 2 t h er e s u l t 8p r e s e n t e di nt h i sp a p e re s s e n t i a l l yi m p r o v ea n d g e n e r a l i z et h ek n o w nr e s u l t so f 2 ，s ot h a tt h er e s u l t sc a nb ea p p l i e dt om o r e k i n d so ff u n c t i o n s i nc b a p t e r3 ，w es t u d yt h en e c e s s a i - ya n ds u 册c i e n tc o n d i t i o no fe x i s t i n g p o s i t i v es o l u t i o n so ft h ef o l l o w i n gn o n l i n e a rt w o p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ： f0 4 i ) = 九l ( t ) ，( z ，掣) ，t ( o ，1 ) j 毋4 i ) = 2 ( j 9 ( z ，可) ，( o ，1 ) iz ( o ) = z ( 1 ) = z ”( o ) = z ”( 1 ) = o ig ( o ) = ( 1 ) = 可“( o ) 二可”( 1 ) = o t h er e s u l t sp r e s e n t e di nc h i sp a p e re s s e n t i a l l ye x t e n d st h ec o n c l u s i o ni n 6 i nc h a p t e r4 ，w ec o n s i d e rt h ee 血s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fp o s i t i v es 0 1 u t i o n s o ft h ef o l l o w i n gn o n l i n e a rt h r e e p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ： lz 社( ) = ，( ，z ( t ) ，一。“( t ) ) ，t ( o ，1 ) 一 o ，且为常数； 4 曲阜师范大学硕士学位论文 ( h 4 ) o p 兄，0 = 一卢7 4 ，o 7 r 4 + 卢7 r 2 一丌2 设g 。( t ，s ) ( i = 1 ，2 ) 是下列线性边值问题的格林函数 一u ”( ) 十_ “。u ( t ) = o ，札( o ) = u ( 1 ) = o ， 则有以下引理 引理2 1 1g ：( t ，s ) ( i = l ，2 ) 满足下列性质 ( i ) g 。( t ，s ) 0 ，v t ，s z ( i i ) ( t ，s ) sc ：g ；( s ，s ) ，vt ，s ，q 为常量， ( i i i ) g ：( t ，s ) 瓯g i ( ，) g 。( s ，s ) ，vt ，s ，其中文 o 是常数 证明令岫= i ，若也 o ，则 g ：s ) 塑坐韭攀继! 型，o 墨ts 。1 u 2s 1 n n u 2 1 1 1 坐韭娑丛! 型，os 。t 1 u ls 1 n n u 2 s ) ， osfsssl 亡) ，0 s l 忙些业! 鲥! 二娑o 。 1 g 。s ) 2 任型羔鎏型2 ，。 lu ；s l n u l 5 ，il，l，l “ ，j(，ll = s 0 g 0呵n 则 胁 0 o ，vt ，s z 且易证 。器粼= 岛 o ，则q = 1 ，文= u ；s i n h 吣；若胁= 0 ，则c ；= 1 ，也= l ：若 一7 r 2 一 t6 、 幽 p融 s 扣 2 g ，凡 r i ， o z 0 扣 2 2 g g s s z z ，【，【 g g z z z z a p 第二章一类四阶奇异边值问题的多重正解 j ( u ， ) ( 。) = ( 耳1 扎( z ) ，k 2 u ( z ) ) ，v ( “， ) e ， f ( 札，u ) ( z ) = ( ，( u ，u ) ，_ c 土g ( u ，u ) ) ，v ( u ，射) p ， 又定义t ( u ， ) = k f ( “，u ) = ( 4 ( u ，u ) ，b ( ， ) ) 于是问题( 2 1 1 ) 的解等价于 算子t 的不动点 引理2 1 3 设( h 1 ) 一( h 2 ) 成立，则算子t 为全连续算子 证明首先证明k 是连续的令兄= m a x 瓯( t ，s ) ：，s ，) ，设“。，札o c ( ，) ，且“。_ u o ，则ve o ，j 礼o j v ，使当n 礼。时，有| j 乱。一“of | ( r l r 2 ( t ) d t ) ，则 l 噩“。( 。) 一u o ( z ) i sz 。z 1 g ，( z ，s ) g z ( s ，t ) ( t ) 让。( t ) 一咖( t ) l 出如 s ，v 石， 因此，当扎三n o 时，i f 托u 。一k u oi | o 使得z - ，z 。，：j ，1z ，一。zi a l ，p 9 0 a 2 ，a ，o 。 a l ，p a 2 ，且存在数p o ，使当 萨干否p 、历雨p 时，恒有a 2 ，2 ( u ，u ) + p 2 9 2 ( 可，。) | | l r 2p 2 ，其 由 fm a x ， kl 二m a x2 蚝。o “ i 。a x _ 厂 l z ，o ( i i ) a 厶 a l ，p 跏 a 2 ，a ，o 。 p 2 其中 虻学z 1 2 1 g l ( 刊g 。州岫d s l 江坤 9 、_il、，rj s s d d t d d 辞 ，【，l i 2 ， ， 、)、j 0 0 2 2 g g 曲 z z ，【，【 g g z z 第二章一类四阶奇异边值问题的多重正解 注2 12 以上定理改进了文【l 】中利用锥拉伸锥压缩等方法给出的四阶方 程两点边值问题的存在性条件： 1 i m 塑：o f 0t 1 i m 塑：o - o 。 、。，( t ) n m = o 。、 o _ o 。 l i m 业：o o _ t 注2 1 3 本文中，o ，厶，蜘，9 0 。的定义中的极限可用上极限或下极限代替 结论仍成立 2 2 定理的证明 令q = ( ( u ，”) p 襞 札( z ) 盯l l 钍 l ，哩 l ”( z ) 。l ! ”忆其中 口= 尝，则q 为e 中的锥，且q cp ，下证t ( q ) cq c c l c ，j 对v ( u ， ) q ，由引理2 1 2 知 丁( “，啦器洲i 丁( 邺圳训t ( 川， 所以哩p a 心，”) ( z ) 一i 4 ( ”) 囊 b ( u ，。) ( z ) 2a | | b ( u ，u ) ，故 t ( 0 ) q 由于耳t 的谱半径r l2 寿 o ，尬的谱半径r 22 素 o ，从而根据 k r e i n r u t m a n 定理，它们有相应的正特征元妒- 妒。，且z 1 ( z ) 妒。( z ) 如 。 否贝4 ，若 。( z ) 妒。( z ) 如= o ，贝4 r ：慨( z ) = 甄妒i ( z ) = z 1z 1 g 。( z ，s ) g z ( s ，t ) ： ) 妒，。) d t d s sm t 叫z z l 矧岫扎 1 0 盹阜师范大学硕士学位论文 矛盾不妨设 ( u ，甜) = 则有 i ；( z ) 忱( 。) 出= l ，i = l ，2 在e 上定义泛函 l 妒1 ( 。) a l ( z ) u ( ) + 妒2 ( z ) 2 ( 。) u ( z ) 】如，v ( u ， ) e ( k ( u ，u ) ) = z 1 妒t ( 。) h - ( z ) z 1 2 1 g - ( z ，s ) g 。( s ， ，( 砷乱( ) d t d s + 似m 。( z ) z 1z 1 g 。( 叩) g 2 ( 州) 似洳( f ) 删小z = z 1 危，( 功札( t ) z 1z 1 g t ( t ，s ) g 。( s ，z ) ，( z ) 妒- ( z ) d 。d s 舶z 。) 叭) zzg 1 。，旬g 2 ( s ，劫扛如。扛) d 州s d 九( 脚，州= z 1 帅) 啡) w m ) + 似咖唧。( f ) 冲 2 ，2 1 而且，v ( u ，u ) q ，有 h ( “，”) 兰盯( l “l j z 1 。( z ) 妒t ( z ) d z + i f ”| | z 1 。( z ) 妒z ( z ) d z ) 若记。t = 上1 九- ( z ) 妒，( z ) 出，n 。= z 1 z ( z ) 妒。( z ) 如，n = m i n ( 盯。，盯。z ，则 ( i ) 由a a 1 ，弘g o a 2 知， j6 zp o ，使得当、萨而5sp 时， 有a ，( u ，u ) ( 1 + 巧) a ，( u 十u 2 ) ，姆( u ： ) 芝( 1 + d ) a 2 ( 让2 + 刨) ，贝0 当( u ，u ) q ，| | ( “， ) | j 户时，vz ，恒有 a ，( “( 。) ，u ( z ) ) 2 ( 1 + 占) a l ( u ( z ) + 口2 ( z ) ) 9 ( u ( z ) ， ( z ) ) ( 1 + d ) a 2 ( 2 ( z ) + ( z ) ) z z 第二章一类四阶奇异边值问题的多重正解 再令b = ( u ， ) e 川( u ， ) l f o 矛盾，故假设不 成立，根据不动点指数的缺方向性知，当p 充分小时，有 i ( 丁，q n b p ，q ) = o 22 3 由a ，o o a 1 ，卢9 。 a 2 知， jd z p 0 ，使当佤2 + 口2 p 时，有 a ，( u ，削) ( 1 + d ) a l + 、历) ，p 9 ( “， ) ( 1 + 占) a 2 ( 扣+ u ) 又当、2 + 口2 卢 时，( u ，u ) ，9 ( u ， ) 有界，故存在数g o ，当、札2 + 2 p 时，有a ，( u ，u ) ( 1 + 6 ) a 1 ( u + 石) 一c ，肛9 ( 扎，u ) ( 1 + d ) a 2 ( 石+ ) 一e 所以对一切的 ( 札，u ) q ，。，恒有 a ，( u ( z ) ，u ( 。) ) ( 1 + 6 ) a t ( “( z ) + u ( z ) ) 一c 肛9 ( “( 。) ，u ( z ) ) q + 6 ) a z ( u ( z ) + ”( z ) ) 一g 取数r 等，令b r = ( u ， ) e ( “， ) i l 2 e ，矛盾故当r 充分大时 i ( 丁，q n b r ，q ) = o 224 令b p = ( 札， ) e | | | ( u ， ) i f p ) ，贝0 当( “，u ) q n a b ，时，v z ，有 “2 ( z ) + 2 ( z ) | | “1 1 2 + | | i | 2 = | | ，u ) i 2 = p 2 再由a 2 ，2 ( 乱，削) + p 2 9 2 ( 可，名) i i k 旷2p 2 ，得 | f ( “，钉) | | 2 = l ( a ，( 乱， ) ，卢9 ( u ， ) ) | f 2 = 料a 2 ，2 ( “( 。) ，”( z ) ) + 肾芦2 9 2 ( u ( z ) ，”( z ) )z t 0 i lk 俨p 2 ， 从而有| | t ( 札，u ) l 【 | f ( u ，”) i i | | k | ji l 旷1p = p = | | ( u ，w ) | | 故由 锥压缩定理知 识q n 岛，q ) = 1 2 2 5 综上( 223 ) ( 2 24 ) ( 2 25 ) 式，再由不动点指数的可加性，得 i ( t ，q n ( 岛百p ) ，q ) = 1 一o = 1 o ， i ( 丁，q n ( b 丑耳) ，q ) = o l = l o 由不动点指数的可解性知，t 在q n ( 岛百，) 和q n ( b r 耳) 中分别至少 有一个不动点，所以问题( 2 1 1 ) 至少有两个正解 ( i i ) 由a ，0 玎# 与，充分小矛盾根据不动点指数的同伦不变性 i ( t ，q n b ，q ) = i ( 日，q n 耳，q ) = 1 2 2 6 由a ，矗 0 充分大，使d o r 2 ( 1 一d ) r + 2c ，假设存在( “l ，u 1 ) q n a b r 和z l ，满足( u l ， 1 ) = 奶t ( 扎1 ，u i ) ，则由( 2 2 1 ) 式得 ( u l ，u i ) = z i ( k f ( h l ，训1 ) ) ( 1 6 ) ( u 。，叽) + ( 1 6 ) v 石i 可 ，( z ) 吼( 。) 一 j o + u l ( z ) 2 ( z ) 妒2 ( z ) d 。+ 2 a 所以 d ( u ，u 。) ( 1 6 ) 、i i 可 l ( z ) 妒l ( z ) + 、7 i i 可 2 ( z ) 妒z ( z ) d z + 2 c 2 ( 1 6 ) l fu 1 | | 2 + l | il 2 + 2 e = 2 ( 1 一d ) 、r + 2 c 从而d o r 2 ( 1 6 ) 兄+ 2 e 这与r 的选取矛盾，故当r 充分大时，有 i ( 丁】，q n b r ，q ) = 1 2 2 7 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 另外，当( “，u ) q n a b p 时， vz ，都有0 p = 一f | ( u ，”) l l 瓦汀羽p ，从而由条件6 i a 2 ，2 ( u ，刨) + 6 ；“2 9 2 ( 可，z ) p 2 ，得 忪( u ，圳降学( z 1z 1 g l ( ) g 2 ( 矗) 州u ，吣) ) 删s ) 2 + 学( z 1z 1 g t ( ) g 2 ( 州) 州蚺删舭) 2 2 堵d 器。， a 2 ，2 ( u ， ) + 碹以舞】“2 9 2 ( 乱，口) p 2 = i | ( “， ) 悒 所以| l 丁( u ，”) | l | | ( u ，”) 由锥拉伸定理，则 i ( 丁，q n 岛，q ) = o 22 8 综上( 2 2 6 1 f 2 2 7 ) ( 2 2 8 1 式，则结论成立证毕 第三章 四阶奇异边值问题正解存在的充分必要条件 应用锥上的不动点定理，对于超线性情形，得到了方程组( 3 1 1 ) 正解存 在的充分必要条件，改进并推广了文 6 中的结果 3 1 引言 常微分方程奇异边值问题的正解的存在性已有了一些研究，但四阶奇异方 程组边值问题的研究结果相对较少，对于超线性情形，其正解存在的充分必要 条件研究进展缓慢，本文受文 2 的启发，研究了四阶奇异方程组 f 叠4 i ) = l ( t ) ，( z ，可) ，t ( o ，1 ) ii 哪( t ) = 2 ( t ) 雪( 。，可) ，( o ，1 ) l 。( o ) = z ( 1 ) = z ”( o ) = z ”( 1 ) = o i 可( o ) = 可( 1 ) = 9 ”( o ) = 掣”( 1 ) = o 的正解存在的充分必要条件，改进并推广了文 6 中的结果 其中，g g ( o ，。) o ，o 。) ，f o ，) ) ， 。( t ) e ( ( o ，1 ) ， o ，。) ) ， ：( t ) 在 t = o ，l 处奇异，本文假设以下条件 ( 日1 ) ，( t ( 1 一t ) ，f l f ) ) o ，9 0 ( 1 一t ) ，t ( 1 一) ) o ，o 詹k ( t ) d l ，a = 1 ，2 ，- n 1 6 曲阜师范大学硕士学位论文 函数( z ( t ) ，g ( ) ) 俨 o ，1 】g 2 o ，1 称为奇异边值问题( 3 1 1 ) 的正解， 是指( 。( ) ，可( ) ) 满足奇异边值问题( 31 1 ) 且z ( t ) o ，( t ) o ，9 ”( t ) o ，t ( o ，1 ) 现列出本文的主要结果 定理311 假设条件( h 1 ) 成立，则奇异边值问题( 3 11 ) 有c 2 o ，1 】正 解的充分必要条件是满足下列积分条件 o t ( 1 ) l ( t ) ，( t ( 1 一t ) ，t ( 1 一t ) ) 。 3 1 3 o t ( 1 ) 2 ( t ) 9 0 ( 1 一t ) ，t ( 1 一) ) o 。 3 1 4 为叙述方便，我们列出g r e e n 函数 ，泸! ；。 s 设e = c 2 o ，1 j e 2 o ，l 】，q = ( z ，可) e z ( ) 芝o ，可( t ) o ，一z ”( ) 三 o ，一州t ) o ，v t o ，1 ) ) 记 a ( z ，g ) ( t ) = 片g ( t ，) 詹g ( ，s ) l ( s ) ，( z ( s ) ，可( s ) ) d s d f v ( z ，可) 7 ， b ( z ，) 0 ) = 尉g ( t ，) 片g 托，s ) 2 ( s ) g ( z ( s ) ，( s ) ) d s d v ( z ，) q ， 西z ( ) = 片g ( t ，) 片g ( ，s ) ( 5 ) z ( s ) d s 武忱c r 2 o ，1 ， i = 1 ，2 ， ( z ，g ) ( t ) = ( k 1 。( t ) ，9 ( ) ) ，v ( z ，”) e ， f ( z ，口) ( t ) = ( ，( 。( ) ，( t ) ) ，9 ( z ( t ) ，( t ) ) ) ，v ( z ，g ) q 又定义丁( z ，) = f ( z ，) = ( a ( z ，) ，b ( 。，) ) 3 2 定理的证明 必要性设( 。( ) ，( ) ) q 是奇异边值问题( 3 1 1 ) 的正解，则由边 值条件知，存在o ( o ，1 ) ，使得z ( 3 ( t o ) = o ，由z ( 4 ) ( t ) o ，( o ，1 ) 得 1 7 第三章四阶奇异边值问题正解存在的充分必要条件 z ( 3 ( ) o ，t ( o ，t o ) ，z ( 3 ( t ) o ，t ( t o ，1 ) ，从而扩( ) o ， o ，1 】1 这意味 着存在常数i 和如，o ，l 如满足 1 z ( 1 一t ) z ( t ) 茎2 t ( 1 一) ， 0 ，l j ， 32 1 同理存在常数和e ，o 丘满足 t ( 1 一t ) ”( ) t ( 1 一t ) ，t o ，1 ， 设c 0 正常数满足c o 丘l ，c 0 e 1 ，1 c o 1 ，由( 31 2 ) ，( 3 21 ) 式得 m 州啪( ( 揣h 耥”1 - t ) ，印叫) 3 2 2 豸“一1 耳( “) “，( t ( 1 一f ) ，t ( 1 一t ) ) ，t ( o ，1 ) 对奇异边值问题( 3 11 ) 积分并利用( 3 2 2 ) 式得 z 3 ( ) = l ( s ) ，( 。( s ) ，掣( s ) ) d s ，t ( t ，z o ) 3 2 3 。 z “九- ( z ) ，( ( 1 一t ) ，( 1 一) d t = z “d t ，圯 t ( s ) ，( s ( 1 一s ) ，s ( 1 一s ) ) d so 上。九l ( 2 ) ，( ( 1 一。) ，。( 1 一。) ) 出2z 出， 1 ( s ) ，( s ( 1 一s ) ，s ( 1 一s ) ) d 8 厂“出“磊 一一( ，“) 一“ 。( 。) ，( 。( 。) ，( 。) ) d 。：。：一一( 。) “( 一。”( 如) ) 。 j 0j p 32 4 。( 3 ( t ) = h l t s ) ，( 茁( s ) ，g ( s ) ) d s ，t ( t o ，l j 3 2 5 。 o ， 。( ) c ( ( o ，1 ) ， o ，。) ) 存在o o 32 7 这里山= f ，纠 令p l = z 。c 。 o ，l 】，z ( o ) = z ( 1 ) = o ，z ( t ) o ，。0 ) t ( 1 一t ) i z l o ，一z ”0 ) 2 o ，一。”( t ) 2t ( 1 一t ) 2 ，则p l 是g 2 o ，1 中的锥易知g ( t ，s ) 满足 g ( t ，5 ) 2e l = ( 1 一卢) o ，( t ，s ) 山如 32 8 g ( t ，s ) 2t 【l 一“【，s jv t ， ，s 32 9 对于固定z ( ) p l ，有 t ( 1 一t ) | 。 。茎。( t ) ：厂1g o ，s ) ( 一z ，( s ) ) d 。茎；i 。j 。t ( 1 一t ) 3 21 0 t ( 1 一t ) | z o 茎。( t ) = g 0 ，s ) ( 一z “( s ) ) d s 茎；i zj 2 t ( 1 一t ) 3 21 0 一0 对。p l ，t 山，有 一 球) = z 1 印，s ) ( ，( s ) ) d s z 9 印，s ) ( ，( s ) ) d s 揖( 卢一酬乩3 洲 从而 s i ( 卢一。) i 。l 。i 。i 。( ；) i 。i ：， v z p ( 3 2 1 2 ) ， 设对于v ( z ，口) e ，| | ( 。，g ) | i = m a x l ( z ，) | o ，i ( 茁，) 1 。) ，其中 l ( 茁，可) i o = i z i o + 封i o ，j ( z ，可) 1 2 = l z l 2 + l | 2 ， 1 9 第三章四阶奇异边值问题正解存在的充分必要条件 m ，g ) s ( 去) 2 “，( c - 叩，g ) ( c - ) 2 ( 冲( 扣。) 1 ( 新。) 1 巾( 1 一t ) ，t ( 1 一) ) f g ( t ，s ) 。( s ) ，( 。( s ) ，( s ) ) d ss 。i 。“厂1s ( 1 一s ) l ( s ) ，( 。( 1 一。) ，s ( 1 一s ) ) d s 一 g ( ，s ) 九2 ( s ) 9 ( 。( s ) ，g ( s ) ) d s c i 2 “s ( 1 一s ) 2 ( s ) 9 ( s ( 1 一s ) ，s ( 1 一s ) ) d s o ，j n o ，使当n n o 时，有l l z 。一t o | ( m 2 詹也( t 池) ，则 ，1r l 匮。0 ) 一z o ) | | s g 0 ，) g 幢，s ) 风( s ) l | z 。( s ) 一z o ( s ) l i d s d f o ，使当l ，2 ， o 1 ，i l t 2 l 1 ， 由( 3 21 0 ) ( 3 2 1 1 ) 式可得 。，( z ，g ) ，( t ( 1 一) l ( z ，可) i o ，( 1 一t ) i ( 。，可) i o ) j ( z ，) 1 3 ，( f ( 1 一t ) ，t ( 1 一t ) ) ， i ( z ，) 1 2 ( g i ( 卢一血) ) 一1 ，山， 3 2 1 7 由( 327 ) ，( 3 2 8 ) ，( 3 2 1 2 ) 式可知，当t 如，l ( z ，) 1 2 ( i ( 卢一) ) - 1 时，有 舻 一a ( z ，可) ”( t ) g ( t ，5 ) l ( s ) ，( z ( s ) ，可( s ) ) d s j o r 口 e 1 l ( z ，g ) 伊d s j a 和e ；1 + 1 ( 卢一q ) 2 1 + 1 l ( z ，可) l 尹， 因a l ，若选择r ，= m a x 2 ，啦 ( 卢一n ) ) ， 2 丁0 e p + 1 ( p n ) 2 1 + 1 志) l ， 且使用( 3 2 1 3 ) 式，则 i a ，) | | = i a ，g ) | ：i ( z ，g ) l z = j l 扛，) j | ，v ( z ，) p ，l ，) i 。= r l ， 同理，若取r 2 = m a x ( 2 ，i e ；一。) ) ， 2 丁1 e ：蚺1 ( 卢一a ) 2 1 + 1 一志) 1 ，有 j | b 扛，) | | = l b ( z ，) | 。；l ( z ，) 1 2 = i l