（测试计量技术及仪器专业论文）基于小波分析的光谱数据处理方法研究.pdf

南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 屠垮 劬年r 月z 7 日 摘要 摘要 随着数字信号处理技术的发展，各个相关领域为适应自身需求而不断寻找 更为合适的数字信号处理方案。从传统傅立叶时域频域变换n d , 波分析，各种 理论都在不断的进行修正以及自我修正，使得对数据处理的结果能够更好的满 足用户的需求。 在实验中得到的光谱数据不可避免的掺杂噪声信号、趋势项信息，有时信 号中也会包含重叠峰等现象。通过应用不同小波基函数对数据处理光谱信号所 得来的不同结果进行比较，得出最优的数据处理结果，从而找到最适合的小波 基函数。进而为实验人员对实验数据进行定性和定量的分析提供方法。本论文 中通过对实际采集的光谱信号进行处理，对比了使用几种常用小波基函数的处 理结果，并做出了最有的选择。 在基于m a t l a b 软件平台提供的算法实现这种功能之后，为适应将来的实验 数据处理的需要，可继续开发出独立的软件模块一动态链接库，以实现对光谱实 验数据进行自动分析处理。 关键词：小波分析光谱信号重叠峰除噪基线 a b s t r a c t a b s t r a c t a sm a i nd i 百t a ls i g n a lp r o c e s st e c h n o l o g y , f o u r i e rt r a n s f o r m ，w i n d o wf o u r i e r t r a n s f o r m ( w f t ) a n dw a v e l e t sa n a l y s i s8 1 eu s e di na r e a so fm a t h e m a t i c s p h y s i c s a n d e n g i n e e r i n g i n t h i s d i s s e r t a t i o n ，t h eo p t i m a lm e t h o do fd e n o i s i n ga n d d e - b a s e l i n ei sf o u n dw i t hc o m p a r i n gt h r e ed i g i t a l s i g n a l p r o c e s st e c h n o l o g y m e t h o d s a s i g n a lc o u l db ed e c o m p o s e di n t of r e q u e n c yc o m p o n e n t sb yf o u r i e ra n a l y s i s w i t ht h eb a s i cb u i l d i n gb l o c k sa ss i n ea n dc o s i n ef u n c t i o n s i nt h ef r e q u e n c ys p a c e ， m o r ei n f o r m a t i o no ft h es i g n a lc o u l db eg o t t e n h o w e v e r , r e a l i s t i cs i g n a l sc o u l dn o t b ea n a l y z e dq u i t ew e l lb yf o u r i e ra n a l y s i sa n d 、肝t e v e rs i n c et h el a s tt h r e e d e c a d e s ，w a v e l e t sa n a l y s i sh a sb e c o m eap o p u l a rt o o li nt h ea r e ao fs i g n a la n a l y s i s w i t ht h em e t h o do fm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i sa n ds e v e r a ld i f f e r e n tk i n d so fw a v e l e t s ， w a v e l e t e sa n a l y s i sc o u l dd od e n o i s i n ga n dd e - b a s e l i n ef o rs i g n a l sv e r yw e l l h a a rw a v e l e t ，d a u b e c h i e sw a v e l e t sm e y e rw a v e l e t ，e t ca r em a i n m o t h e r w a v e l e t t oa n a l y s i ss i g n a l s b yc o m p a r i n gt h er e s u l t so fm s ea n d p s n r ，t h eo p t i m a l m o t h e rw a v e l e t c o u l db ef o u n d i nt h em a t l a bs y s t e m a l lo ft h e s e m o t h e rw a v e l e t s a r ea v a i l a b l ef o ra n a l y z i n g i nt h en e a rf u t u r e ，ad y n a m i cl i n kl i b r a r yi n c l u d i n g s e a r c h i n go p t i m a ls i g n a la n a l y z i n ga l g o r i t h m sw i l lb ed e v e l o p e d k e y w o r d s ：w a v e l e t sa n a l y s i s ，s p e c t r u m s i g n a l ，d e - n o i s e ，b a s el i n e ， d o u b l e - a p e x 目录 目录 摘要i a b s t r a c t i i 目录i i i 第一章引言1 第一节研究开发背景1 第二节论文所完成的工作2 第二章光谱数据分析的理论基础3 第一节傅立叶分析3 2 1 1 傅立叶级数一3 2 1 2 傅立叶变换4 2 1 3 传统傅立叶分析的局限性的分析5 第二节窗口傅立叶变换7 2 2 1 窗口傅立叶变换的引入7 2 2 2 窗口傅立叶变换的时频分析8 2 2 3 窗口傅立叶变换中时频窗的讨论9 第三节小波变换1 2 2 3 1 从传统傅立叶变换分析n d , 波变换分析一1 2 2 3 2 小波变换分析的起源。1 3 2 3 3 小波分析的数学基础。1 4 2 3 4 连续小波变换16 2 3 5 二进小波。2 1 2 3 6 小波的多分辨率分析2 4 i 目录 2 3 7 小波变换分析的优点2 8 第三章常用小波母函数介绍2 9 第一节小波基函数选取的原则2 9 第二节几种常用小波基函数介绍2 9 第四章小波分析在光谱数据处理中的应用3 4 第一节小波分层模型3 4 第二节利用小波变换去除信号噪声方法介绍一3 6 4 2 1 信号去噪概述3 6 4 2 2 信号与噪声的特性。3 7 4 2 3 小波去噪的基本方法一3 7 第三节信号中趋势项的去除。4 3 第四节重叠峰的初步探讨4 6 第五节实验处理结果分析5 0 第五章总结与展望5 2 参考文献5 3 致谢5 4 个人简历5 5 i v 第一章引言 第一章引言 第一节研究开发背景 科学实验是现代学科理论的基础和重要组成部分，各种先进的理论大多是 在设计实验，分析实验数据以及对反复实验结果的对比过程中产生和不断完善 的。因此，加大对科学仪器的研发，加快对实验工艺的改进以及关注实验数据 处理技术已成为世界各个学科领域竞相投入的重点。 在科学实验及教学实习中所使用的科学实验仪器和实验技术都在不断的进 步和提高，然而实验误差和科学实验噪声以及其他的一些非人为因素仍然构成 了科学实验数据中不可避免的一部分。由于不同领域内对实验数据精度要求不 一致，各学科领域提出的实验数据处理方案没有普适性，这使得在实验数据处 理上仍存在诸多问题。 随着基于计算机软件技术的数字信号处理技术的进一步发展，用户对于实验 数据处理的精确度有了更高的要求，利用软件平台的实验数据信息分析技术正 逐渐成为科学实验中的重要部分。目前，在分析化学，生物科学，光学，电磁 学等领域对实验数据的要求都使得传统的实验数据处理方式进行改进。随着数 字信号处理技术的不断发展，小波分析技术也已经逐渐成熟。 实验数据处理本身的特点要求得到更精确的数据来对科学实验的结果进行 定性和定量的分析和判断。目前科学实验领域的发展趋势是通过不断改善实验 工艺，并逐渐与计算机技术相融合，数据处理过程越来越依赖于利用软件技术 快捷准确的特点进行分析以达到当前科学实验分析对实验数据的精度要求。 现阶段，对于性质随时间是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立 叶分析等传统的数字信号处理方法。实际应用中，大多数信号是非稳定的并且 是能量有限的，傅立叶变换无法很好的对其进行处理，而小波分析技术在该领域 则拥有较好的特性，使其成为处理非稳定信号的工具。并且，小波分析已经各 个领域发挥了日渐重要的作用，包括在数学领域的研究和应用；在信号分析方 面的滤波、去噪声、压缩、传递等方面的应用；在图象处理方面的图象压缩、 分类、识别与诊断在以及计算机分类与识别领域的应用等。 第一章引言 第二节论文所完成的工作 本论文主要研究内容为对实验中采集到的光谱数据进行预处理，并为下一 步的分析做准备。特别对以下几方面的内容进行了阐述： 1 ，对实验分析平台采集的光谱信号的去除噪声的方法进行了阐述。 2 ，对实验分析平台采集的光谱信号的去除基线的方法进行了阐述。 3 ，对实验分析平台采集的光谱信号的重叠峰进行了峰位判断的探讨。 4 ，设计出自动搜寻最适合应用小波基的方案。 2 第二章光谱数据分析的理论基础 第二章光谱数据分析的理论基础 第一节傅立叶分析 傅立叶分析是数字信号处理的基础，同时也是现代信号处理的出发点。它 将信号分析处理从时间域变换到了频率域，使得信号处理的物理意义更为清晰。 随着计算机技术的发展，新的信号处理方法不断的在各个领域涌现。傅立叶分 析已经不是信息科学和技术领域唯一的变换域方法，但是傅立叶分析的理论分 析方法仍然在相关领域内有着广泛的应用，同时它也是其他变换方法的基础。 傅立叶分析方法不仅应用于电力工程、通信和控制领域之中，而且在力学、光 学、量子物理和各种线性系统分析等许多有关数学、物理和工程技术领域中得 到日益重要的应用。 2 1 1 傅立叶级数 根据传统的傅立叶级数定义，任何一个周期为丁的函数f ( o ，在满足狄里赫 里条件的情况下，都可以表示为多个正弦和余弦函数之和，即 4 a o 厂( f ) = 口。+ ( 口tc o s kc oo t + b 女s i nkc oo f ) ( 2 1 ) k = “ 争了巾，c o s 孚础小a 小f 2r j 邝墒孚础卜1 ，2 ， 其指数形式的傅立叶级数表示为： 巾卜童叩舯_ 国。= 等 苴中 3 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 第二章光谱数据分析的理论基础 c 。- i l 。is ( f ) p 一弦叫出 ( 2 5 ) 对于某一个固定的后而言，系数c 七表示的是原信号俐中第尼次谐波成分p w 的大小。因此，可以通过傅立叶级数系数c k 对原信号的谐波成分进行定量的分 析，因为在频率轴上傅立叶级数是一个离散信号。 2 1 2 傅立叶变换 傅立叶级数表征了周期信号的性质，并且把信号分解为离散谱上函数的叠 加。但在实际应用中，需要处理的大多是对频率变化敏感的非周期的信号，离 散的频率信息显得过于粗糙。傅立叶变换就是傅立叶级数在非周期情况下的推 广。针对满足狄里赫里条件的非周期信号的傅立叶变换定义如下，即 吧 f ( o j ) = if ( t ) e - j m t d t ( 2 6 ) 其傅立叶逆变换公式定义如下，即 厂( f ) = 圭f f ( r o ) p 埘d 国 ( 2 7 ) 刀二 在式( 2 6 ) 中，f ( c o ) 是对原信号f ( o 进行了频谱分析。对于某一个固定的频 率缈= 研，变换结果如下，即 吧 f ( c o ) i 彩咄= f ( 缈1 ) 2jf ( f ) p 叫吼d t ( 2 8 ) 式( 2 8 ) 给出了变换f ( r o ) 在缈= 幼处频率的大小，可以理解为原信号包含 频率分量e 7 q 的大小，因而可以通过傅立叶变换分析非周期信号俐各个频率上 的分量，傅立叶变换有着很明确的物理意义，其中引入的负频率只是为了方便 表示。傅立叶变换存在的条件是俐在尺上绝对可积，由式( 2 6 ) 可知，傅立 叶变换把信号完全转换到频域进行分析，并且为了某一点频率的频谱需要计算 过去和未来所有时间的信号，同时丢弃了时域的所有信息，目的是为在频域中 处理相关信号提供方法。 将连续信号f ( t ) = s i n ( n t 9 ) 的傅立叶变换表示为在频域下的离散信号，即 4 第二章光谱数据分析的理论基础 图2 1 连续信号的傅立叶变换 相对应的，离散信号f ( n ) = s i n ( n n 9 ) ，n = o , 1 ，2 的傅立叶变换在频域下表示为 连续的频谱，即 图2 2 离散信号的傅立叶变换 2 1 3 传统傅立叶分析的局限性的分析 传统傅立叶变换对理想的平稳信号的分析和处理时，可以将时间域内复杂 的信号分析转换为频率域内的具有相对简单参数的频谱密度的分析，或者分解 为频域内的具有简单形状的信号( 如正弦信号) 之和。即时域中的信号在频域 中可以理解为一系列不同频率上的能量脉冲的集合。 然而，对于非平稳信号，要求傅立叶分析区分各种频率成分，并且需要每 个时刻附近的频率成分。现实中的语音信号、地震信号、脑电波信号、光谱信 号等都是非平稳的，且频率会随着时间变化。对于这一类信号的分析处理，必 须使用具有局部化分析性质的时域和频域的二维亿c o ) 联合表示，即必须提取特定 时间段和频率段内的信号特性，因而可以通过频谱分析使得在任何希望的频率 范围或频带上取得确定时间间隔的频率信息。然而，传统的傅立叶变换广义上 是针对具有固定周期的信号( 非周期的信号是周期为无穷大的周期信号) ，其傅 立叶变换的公式为 5 第二章光谱数据分析的理论基础 f ( ) = 了f p 柚d t ( 2 9 ) 可见，傅立叶变换描绘的是整个时间段内频率的特性，或者说是一种全局 的变换( 从负无穷到正无穷) ，而没有给出特定的时间段或者频域段的特性。这 就意味着傅立叶变换无法很好的处理频率会随时间变化的信号。并且，傅立叶 分析要求将所有信号采集完成才能给出相应的结果，这是不符合实际中处理实 时信号的要求的。再者，傅立叶变换也无法对具有突变点的信号进行局部分析。 例如在对方波进行去噪的时候，虽然傅立叶变换也可以对噪声进行一定程度的 剔除，但是对于信号本身所具有的拐点，傅立叶分析的效果并非十分理想。假 对此信 图2 3 待处理的方波信号 图2 4 叠加高斯白噪声的方波信号 利用傅立叶变换对该含噪声信号进行处理，即 图2 5 傅立叶变换去噪结果 作为对比，利用小波分析方法除噪，即 6 第二章光谱数据分析的理论基础 图2 6 小波变换的去噪结果 经过傅立叶变换分析的信号的平滑性十分显著，同时却也导致了信号阶跃 点的特性的丢失，小波分析则很好的保留了原信号的阶跃性质。可见，小波分 析方法对信号噪声的去除效果是优于傅立叶变换的。 第二节窗口傅立叶变换 2 2 1 窗口傅立叶变换的引入 由于传统傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息，因而 不能对信号的局部进行分析，而且傅立叶变换本身没有反映出随着时间的变化 信号频率成分的变化情况。实际信号表征着能量，因而都是有限的，所以需要 引入一种新的信号处理的计算方法，窗口傅立叶变换( w f t ) 。便是其中的一种， 它继承了傅立叶变换的积分作用因而可以平滑非平稳信号的突变部分，同时也 提供了局部分析方法，为最终引出小波变换分析的提供了过渡。 在进行非平稳信号的分析时通常采用时频处理方法，即将一维时域信号分 解为二维时域频域联合分布表示。传统傅立叶分析不适用于时变信号的分析， 但是可以在时域和频域内加窗处理，窗内的信号认为是准平稳的，因而采用平 稳信号的分析方法，如频谱分析和功率谱分析，这就是窗口傅立叶变换。窗口 傅立叶变换的定义如下，即 + = gr ( 彩，b ) = lf ( t ) g ( f b ) p 引d t ( 2 1 0 ) 窗口傅立叶变换的反演公式如下，即 1 邝) 5 焘儿g s ( o , b ) e j o ”t g ( 一6 ) d 缈d 6 ( 2 1 1 ) 其中，常系数为 7 第二章光谱数据分析的理论基础 a = g 2 ( f ) dt 置 2 2 2 窗口傅立叶变换的时频分析 ( 2 1 2 ) 窗口傅立叶变换优于传统傅立叶变换，因为其提供了对信号进行时频分析 的途径。如果将信号删在时域内进行分段，等效于用位置不同的窗函数g 与 原信号删相乘。如果将选定的窗函数g ( o 与原信号脚在时域内进行卷积，其结 果就等效于提取原信号的不同时间段内的信息而屏蔽了段外的信号。这样，就 可以将每一段内的信号看作是平稳信号，对其进行传统的傅立叶分析，从而得 到信号的频谱或者进行计算幅频特性的平方作为该信号的功率谱等处理 1 1 。 图2 7 信号与时间窗函数的性质 如图所表示的是最简单的时间窗，即矩形窗窗函数，当然也可以根据需要 选取其他的窗函数，如g a u s s 窗, h a n n i n g 窗, b l a c k m a n 窗等。这些窗有着非常好 的时域局部化特性： a 具有时域紧支集； b 窗内信号保持原样； c 窗外信号完全衰减为0 ，完全屏蔽了窗外信号； d 窗的过渡带为阶越跳变，因而没有平滑的衰减过渡带和窗拖尾。 测不准原理决定了不可能在时域和频域都获得任意的观察精度，即频率分 辨率的提高，必然会牺牲时域分辨率。测不准原理来自量子力学中的海森堡的 测不准原理，即： 仃f 。仃c( c 为一常数)( 2 1 3 ) 这意味着，窗函数理想的时域局部化特性必然影响了窗函数在频域中的性 8 第二章光谱数据分析的理论基础 质。时域中矩形窗函数在频域内的频谱为s i n c 函数，具有很长的拖尾，因而会 引入带外频谱干扰。对信号进行加频窗处理，等效于将信号通过涵盖信号所包 含的所有频率的带通滤波器组。带通滤波器组的作用就是提取信号在特定频率 段内的信息而屏蔽频带外信号。如果对每个滤波器的输出的包络取平方，反映 滤波器频带内信号的功率随时间的变化情况。同样，由于测不准原理，频窗的 选择也是受到限制的。因为时窗和频窗一般都选择了具有能量局部化特性的函 数，所以时窗和频窗是不能够孤立选取的。综合时窗和频窗的分析，选择一些 特殊的窗函数，将信号在局部时间段和频率段内同时进行加窗分析，得出信号 在该时间段和频率段内的分布特性。并且可以得到较好的联合时频分析结果， 这样选取的窗函数被称为时频窗，它在时域和频域内都具有比较好的局部化特 性。 2 2 3 窗口傅立叶变换中时频窗的讨论 在窗口傅立叶变换中，选取的窗函数删应当使得其时窗和频窗的能量集中 于某个特定的区间，而在此区间外，能量迅速衰减。也就是说，在时域和频域 同时达到局部化的特点。将具有上述特点的信号作用于原信号，则蜊和g 俐 分别起到时窗和频窗的作用。在时频二维坐标系中，时窗和频窗共同作用的结 果，就形成了时频斟1 1 。无论对于时窗g 还是频窗g 俐，从物理概念上，窗口 外信号的介入也可以看成是有限长信号样本俐在开始和末尾部分不连续引起 的。为了尽可能减小这种干扰，目前采用的主要措施有：采用具有平滑起始和 截止特性的窗函数；对周期函数减小整周期截断；增加窗函数的长度 2 1 。 6 j c o , b ) 是关于自变量泖b 的函数，描述的是信号f ( o 在t = b 附近、频率缈附 近的分布特性。改变硼b 的值，就可以得到信号的加窗时频二维分析结果。在 实际应用中，泖b 都取离散值，而且要使得平移后的多个时频窗在时频平面上 能够较好地覆盖该信号的时间段和频率段。由于窗函数过渡带的影响，相邻窗 之间通常有部分重叠，即相互部分重叠的窗函数集在时频域上很好的覆盖信号 俐。以时域中的d a u b e c h i e s 系列小波表示两个小波窗体g 伊6 和g 弘动的重叠 图像如下，即 9 第二章光谱数据分析的理论基础 图2 8 时间窗函数相互重叠示意图 利用不同的窗函数对信号进行处理的效果是不同的，这与窗函数本身的性 质关系密切。 即 图2 9 待进行加窗处理的信号 利用矩形窗对该信号进行加窗处理，并描绘时频分析结果，可得该信号的 时频谱图的等高线如下，即 图2 1 0 矩形窗处理后的信号示意图 利用b l a c k m a n 窗对该信号进行加窗处理，并描绘时频分析结果，可得该信 号的时频谱图的等高线如下，即 图2 1 1b l a c k m a n 窗处理后的信号示意图 利用h a m m i n g 窗对该信号进行加窗处理，并描绘时频分析结果，可得该信 1 0 第二章光谱数据分析的理论基础 号的时频谱图的等高线如下，即 图2 1 2h a m m i n g 窗处理后的信号示意图 可见，加矩形窗的分析结果具有明显的干扰，加b l a c k m a n 窗的处理结果则 更为平滑。这是和两种窗体不同的时频分析特性相关的，虽然矩形窗有着很好 的时域特性，但由于测不准原理的限制，矩形窗的频谱具有衰减缓慢的拖尾， 因而其频域的局部化特性不如b l a c k m a n 好，拖尾受到相邻频段的干扰比较大。 所以实际应用中较少使用矩形窗，而使用时频局部化特性较好的b l a c k m a n 窗和 h a m m i n g 窗等。 h a m m i n g 窗的时频特性如下，即 自_ _ h? ，甲” b l a c k m a n 窗 图2 1 3h a m m i n g 窗的时频特性示意图 图2 1 4b l a c k r n a n 窗的时频特性示意图 窗i ：1 傅立叶变换的主要的缺陷是，时频窗的大小是固定的，即窗函数g 确 1 1 第二章光谱数据分析的理论基础 定后，时频窗的宽度吼和6 都是常量，不会随着窗的中心位置t o 和0 3 0 而改变。 如图所示，即 图2 1 5w f r 时频窗特性示意图 虽然对信号进行分析处理的功能上，窗口傅立叶变在传统傅立叶变换的基 础上有了改进。理论上，满足粥叩窗函数选取的条件的函数都可以用作窗函数， 并可以获取较好的数据分析处理效果。但实际应用中往往希望可以提高时频分 析的分辨率，即希望时窗和频窗的宽度6 。和g 都足够小以提取更加局部化的时 频信息。然而海森堡不确定决定了时窗宽度砚和频窗宽度6 之间存在式( 2 1 3 ) 的关系。因此，使用窗口傅立叶变换中的时频窗时，分辨率在时频两域内不可 能同时减小。即窗口宽度在一个域内的压缩必然导致它在另一个域内的拉伸， 不能同时减小。用户在应用中希望达到的效果是，在低频部分具有较高的频率 分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率 分辨率。但由于窗口傅立叶变换传统傅立叶变换都是单一分辨率的，因而是无 法达到用户要求的。于是，我们进一步引入了小波变换方法来分析光谱信号。 第三节小波变换 2 3 1 从传统傅立叶变换分析到小波变换分析 传统傅立叶变换不能做局部分析，式( 2 6 ) 可以表示有关频率为的谐波分量 的振幅，它是由信号的整体决定的，因而无法知道信号在任意一点附近的状态。 这根源于一研对变量t 并不是局部化的。因而需要寻找一种新的正交展开，使得 其既保留傅立叶变换的优点，又能弥补傅立叶变换的不足，小波展开就是这样 一种新的正交展开【3 1 。 1 2 第二章光谱数据分析的理论基础 小波分析理论认为，存在小波函数i 删，具有足够强的光滑性，它本身与它 的导数在无穷远处速降( 或者它本身有紧支集) ，具有高阶的消失矩，其傅立叶 变换集中在原点附近，使得j f ，( f ) ： ( 三二三) ，口 0 ，f r ，即由斌行平移与展 口 a 缩所得到的函数系 ) ，构成倒的一组完备的正交基( 简称小波基) 。对这组 正交基，不仅可以进行频谱分析，逐项微分与积分，还可以进行局部分析。从 性质上，小波变换使用的小波窗函数，时频窗面积不变，但形状可改变。小波 函数根据需要调整时间与频率分辨率，具有多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ) 的特点，克服了单一分辨率的窗口傅里叶变换分析非平稳信号的困难。广义上 讲，小波变换也属于窗口傅立叶变换的一种，但是小波变换选取了有更优化的 局部分析特性的窗口函数。 实际上，我们需要的是通过频谱分析使得在任何希望的频率范围或频带上 取得确定时间间隔的频率信息。因为一个信号的频率与其周期长度成正比，那 么对于高频信息，时间间隔要相对小以给出比较好的精度，而对于低频信息， 时间间隔要相对宽以保持信息的完整，这就是小波变换分析的根本出发点【4 】。 2 3 2 小波变换分析的起源 小波分析( w a v e l e t s ) 是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理 论深刻和应用十分广泛的双重意义。并且，小波分析是第一个在地质研究领域 应用于分析地震波信号的处理手段。通过小波变换，地质学家可以获得关于岩 层的三维的信息。同时通过得到岩层的表面特性的图片样本，小波分析也大量 应用于石油和矿物的开采。并且，在类似对地震波信号进行处理的过程中，人 们发现小波变换是比傅立叶变换更为可靠和合理的处理方法，因为傅立叶变换 只能处理周期性的信号，而且也没有给出足够的信号细节分量。诚然，窗口傅 立叶变换很大程度上改进了傅立叶变换的缺点，不可变的时频窗宽度窗口傅立 叶变换无法检测和处理短时、高频的信号突变。和窗口傅立叶变换一样，小波 变换分析也可以同时分析信号的时域信息和频域信息，并且，小波变换是一种 时间尺度分析方法，而且在时间、尺度( 频率) 两域都具有表征信号局部特征 的能力，在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分 1 3 第二章光谱数据分析的理论基础 具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的 瞬间反常现象并展示其成分。随着小波的实用性的普及以及数学家对其不断的 研究，小波分析逐渐成为了一种数字信号处理的方法【5 1 。 2 3 3 小波分析的数学基础 小波分析首先在物理应用中被发现其价值，而当小波分析的数学理论基础 慢慢建立和完善起来之后，小波分析迅速发展成为了成熟的数据分析理论。小 波理论涉及数学分支中的泛函分析，它是以集合论为基础的现代分析手段。其 基本概念涉及空间、基底和框架等。 1 ，函数空间 小波分析的理论基础是泛函分析理论。它的基本出发点就是函数空间，如线 性空间，平方可积空间等。函数空间是由函数构成的集合，并在集合上赋予了 一定的代数结构。平方可积空间属于函数空间的一种，即 ：( r ) ： m ，l + fi 厂【了) = d ，则称x , y 相互正交，简记为石上y 。内积的定义为： = x l y l + x 2 y 2 十+ 毛y 。= x i y f ( 2 1 5 ) t = 1 在傅立叶级数的展开中已经涉及到了类似的概念。周期函数的傅立叶级数 的分解公式，即 厂( f ) = 口。+ ( 口t coskqt + b ts i n 七qf ) ( 2 1 6 ) i = 一 其中，a i i 和坟分别代表了第k 次谐波的正弦分量和余弦分量的大小。如果将其 在频域中进行表示，例如连续函数f ( t ) = s i n ( 3 m 8 ) + t 3 的频谱表示如下图，即 1 4 第二章光谱数据分析的理论基础 图2 1 6 连续信号的傅立叶变换示意图 可见，连续信号的谱线是离散的，如果我们将离散信号的每一个点看做该 信号在某一频率下的分量的话，那么频率谱就可以间接表示了信号在频域内的 频率分布情况。并且可以认为，在频域内以的纽2q 3q ，n 昭7 就是一组基。 频域内信号的表示，也可以看做是信号在这一组基下的分解。 - 一万 在数学上，由公式：【c o s n t s i n m t d t = 0 ，其中刀，m z 。且由于c o s n t , s i n m t 州 都是函数空间l 2 ( o , 2 ；r c ) 中的元素，该空间中的内积定义为 ，一 - rf ( t ) g * ( t ) d t ，即是说c o s n t 和s i n m t 是正交的。那么，c o s k c o o t 和s i n k a _ o t 就构成了一组正交基底。物理意义上，a 七和玩则代表了在信号某一分 量上的能量分布。傅立叶展开就是以两个三角函数族为基底的展开。 将信号基于正交基底展开之后的信号序列与原信号符合能量守恒原理，而 将信号基于非正交基底展开之后的信号序列则会产生一定程度上的能量重叠和 冗余。传统的傅立叶分析属于正交展开，而小波分析的自由度更大，因为小波 变换分析既可以根据需要根据实际情况进行基于规范正交小波基底的正交展 开，或者进行基于非正交小波基底的非正交展开。 如果从内积的角度分析信号按照小波基底展开，例如将信号脚和小波基函 数制都视为矢量信号。在不考虑制的矢量大小而只考虑其方向的情况下， 我们把信号f e ) 基于基函数制的展开表示为r r r a ，砂，则其可以视为矢量刑 在基矢量制方向上投影的大小，当的系数a 和f 变化时，信号删在不同矢量 方向上的投影，例如下图表示的是倒在基与基。，( f ) 两个方向上的投影 【1 1 。 1 5 第二章光谱数据分析的理论基础 ，嘎“ 矿弓弛。f ) 图2 1 7 信号在矢量空间上的分解示意图 可见，当信号f ( o 在一组正交基底或者非正交基底下展开，就相当于信号在 不同空间层面上的分解。而信号的能量也分布在与基函数一致的“空间 内。 3 ，小波分析理论中的一些重要的概念【6 】 a 正则性。由于信号的奇异性或非正则结构通常包含了其本质的信息，而 小波变换可以聚焦于信号的局部结构。并且，信号的局部正则性可以由其小波 变换幅值随尺度参数的衰减性来刻画，奇异性和边缘可以通过跟踪小波变换在 细尺度下的局部极大模来检测。为了刻画正则性，我们必须对信号f ( o 正则性给 予精确的量化描述，l i p s c h i t z 指数可以用来度量信号在时间区间的一致正则性， 也可以度量信号在某一时刻，的正则性。如果信号f ( o 在时刻v 有奇异性，则表 明信号f ( o 在时刻1 ，是不可微的，因而在v 点的l i p s c h i t z 指数刻画了该奇异性行 为。 b 消失矩。若设小波函数为删，且满足下式，即 m i 少( f ) f “d t = 0 ， m = 0 ，1 ，2 ，n ( 2 1 7 ) 则称小波函数j 删具有阶消失矩。 c 支集与紧支集。函数f ( o 的支集是函数定义域中的一个子集，即函数 f ( t ) 0 的点所成集合的闭区间，若f ( o 的支集为有界集，则称f ( o 为紧支集函数。 2 3 4 连续小波变换 l ，成为母小波的条件 小波分析方法是一种时频联合分析的方法，不同于纯时域的方波分析与纯 频域的传统傅立叶分析方法，它同时具有时域和频域的很好的局部化特性，其 时间窗在高频时自动变窄，在低频时自动变宽，因而小波分析是对非平稳信号 处理的有效方法，可以获得良好的分析效果。连续小波变换是最初的小波变换 1 6 第二章光谱数据分析的理论基础 方法，并且可以通过对连续小波变换引申出小波变换的基本概念。 设g j ( t ) 是平方可积函数，即g z ( t ) 亭( r ) ，如果删的傅立叶变换汐佃) 满足下 列容许条件： 巳= e 臀佃 ( 2 1 8 ) 则称俐为一个基本小波( b a s i cw a v e l e t ) 或母小波( m o n t h e rw a v e l e t ) 刀。 2 ，带通性质【1 】 对于函数纠矽，当缈专。时，丝型必须有意义，则必然有h my ( 缈) 专o 。 l 印o 这意味着沙 = o ) = 0 ，物理意义上说明信号在零频处为0 。因此，纠动将是一 个带通滤波器或者高通滤波器。 3 ，零值特性和波动性【l 】 由公式少( 国= 0 ) = 沙( 彩) i 埘；。= 0 引申出如下的关系，即， i ( f ) p 吖肼以b = 0 ，亦即，f g ( t ) d t = 0 ( 2 1 9 ) 三五 由此可知，母小波函数所代表的信号的直流分量为零。在实际应用选取的 母小波中，母小波删必然是正负交替的，而且正负两方向的波动是均定的，相 互抵消使得直流分量为0 。数学上意味着小波母函数的积分为零。以上表征了小 波母函数的波动性和零值特性。 4 ，时频局部化特性【l 】 虽然理论上只要满足小波容许条件的能量有限函数都可以作为母小波，但 是在实际应用中的限制却要更多一些。小波变换广义上属于窗口傅立叶变换的 一种，即小波基函数则是广义的窗口傅立叶变换的窗函数的一种。因此，要求 在母小波的选取时要求找寻紧支集或者近似紧支集的，并具有正则性的实函数 或者复函数，使得小波母函数在时域和频域同时具有局部化特性，以满足时频 分析的需求。即希望小波母函数在满足容许条件以外，还需要其代表的信号能 量在时域和频域内比较集中。这种特点越明显，时频窗窗口面积越小，越有利 于数据分析。海森堡不确定原理决定了时域和频域的集中是不能无限进行的， 时窗宽度和频窗宽度的集中和扩散程度存在着相互制约的关系。一旦选定了小 波母函数，就是选定了一个用于信号处理分析的时频窗函数，其时窗和频窗宽 1 7 第二章光谱数据分析的理论基础 度是可以改变的，但其窗口的面积是确定的。因而，合理的母小波应该是时窗 宽度和频窗宽度之间做一定的折中。 5 ，连续小波变换的引入 满足小波的容许条件的母小波y ( f ) 经过平移和伸缩后产生一个小波函数族 制： 少。( f ) = | c ，( 上与，口 o ，f r ( 2 2 0 ) 吖a “ 式中a 为尺度因子，由函数基本性质可以知道，系数a 会影响小波母函数 的幅度和伸缩度，a 越大，则纠矽的波形越宽，而幅度则与口成反比。式中t 为平移因子。，是一族与删具有相似形状但具有不同支集的带通函数族， 虽然它们的时频窗的宽度与小波母函数不同，但也是符合容许条件的。函数例 的连续小波变换( c o u n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m ) 定义为： 形o ( 口，f ) - ( 邝枷) 2 去p 誓( 孚胁( 2 2 1 ) 式中g r i ( a ，砂称为小波变换系数。向是删的复共轭啊。另外有等价的频域的 定义式，即 矿o ( 口，f ) = 鲁c f ( 缈矽( a 0 2 ) p d ( 2 2 2 ) 由小波的时域表达式可见，小波母函数的窗体的幅度以及跨度是可以随着a 的变化而变化。即当a 由小变大时，小波母函数的幅度将变小，而同时卅将 被拉伸。如下图所示，即 图2 1 8 小波随尺度伸缩示意图 对于小波母函数在时域中的表示删而言，若设俐的时宽为4 ，中心为t o ， 频宽为么矿，中心为o ，则的时宽为口4 垆中心为a t o + r , 频宽为么加，中 心为c o d a 。相位空间中，时间窗口是 a t o + r - a a 泐a t o + r + a a c ，频窗窗口是 1 8 第二章光谱数据分析的理论基础 r o o a 4 以r o o a + a 妒a 。任意函数在某一尺度a 、平移点r j ：的小波变换系数， 实质上表征的是在位置赴，时间段口4 上包含在中心频率r o o a 、带宽为4 砌频 窗内的频率分量的大小。随着尺度a 的变化，对应窗口的中心频率c o a a 以及窗 口带宽4 砌也发生变化，但是小波母函数所代表的时频窗的窗口面积是固定的。 如果把小波母函数代表的窗体的时窗宽度和频窗宽度的变化看做现实意义上的 针对信号分辨率的变化，那么小波变换的本质就是一种变分辨率的时频联合分 析方法。当分析低频信号时，其时窗宽度变大，而当分析高频信号时，其频窗 宽度变大。这符合实际的信号具有高频部分往往持续时间短，而表征了主要信 息低频部分往往持续时间较长的特点。小波变换的时频窗图示如下，即 图2 1 9 小波变换时频窗变化示意图 时频窗的位置不同，其时窗宽度仍与频窗宽度是变化的，但是口面积是 不变的，即c r t o m = c ，其中c 是常量。 6 ，信号的分解与重构 从传统傅立叶变换n d , 波变换分析，对信号处理的方式都可以分为三步， 即变换分解，信号处理，信号的重构。实际应用中，只有通过重构过程的信号 才是有意义的，才可以通过对重构信号和原信号的对比分析以及相关分析来判 断分解方法的优劣。对于连续小波变换分析而言，信号的分解过程是基于过度 冗余的连续小波基的，因此其重构过程也必须考虑到这一因素。 由于尺度系数a 和位移系数韵连续变化而使得小波基函数制形成了一 组非正交的过度完全基，即这组基函数含有很强的冗余性，并可以完全覆盖整 个尺度位移平面。因此，我们实际应用中遇到的任何一个信号都可以用这些基 来分解表示。分解信号所使用的公式，即小波变换的定义公式 w t i ( a ，f ) = ( 厂( f ) ，妙 ( f ) ) = f 厂( f ) 缈( 旦) d f ( 2 2 3 ) 1 9 第二章光谱数据分析的理论基础 而与信号分解相对应的，则是信号的重构，对于连续小波变换，它的逆变 换，即重构公式为： f ( t ) 2 古r 。笋cv e r ，( 叫) 去( 等卜( 2 2 4 ) 其中c 抄由小波的可容许条件决定。 由于通过尺度系数a 和位移系数柏变化可以确定一组非正交的过度完全 基，这表示如果信号按照这样的一组非正交的过度完全基展开的话，其小波展 开系数之间会有相关的关系。在尺度位移平面上任意两点( 口，叻和( 口2 ，功，其对 应的小波基函数为这一组非正交的过度完全基中任意两个小波基函数汉口j ，r 1 ) 和 “口2 ，砌，计算他们之间的相关性就需要再生核k d a j ，r l ；a e , r e ) 来刻画【l 】 7 】，再生核 的定义式如下，即 ky ( f i ；r 2 ) = 。缈a l f l ：d ( 2 2 5 ) k 。灰征了连续尺度系数a 和连续时移系数r 取两个不同值时，两个小波基函 数之间的相关关系，其中系数c l ，： i ( c 秒) l - a 缈。 7 ” 国 再生核的数学意义相当于计算函数的内积 1 ，m z ，对信号进行离散化，而位移系数坝i j 可以 保持位移连续也可以进行一定的离散并对信号做均匀采样。在满足奈奎斯特