（固体力学专业论文）平面应变下弹塑性材料的折曲.pdf

中文摘要 应力导致的相变已有较长的研究历史，但连续介质模型主要限于热弹性材 料、非线性材料和超弹性材料。一些在弹塑性材料中发生的相变也多作为非线性 弹性相变进行处理。而本文的工作则着重致力于应用相变理论对平面应变下的弹 塑性材料的折曲进行研究。 e r i c k s e n 曾经对非线性弹性杆的相变进行了研究，并将m a x w e l l 应力成功地 应用到应力导致的相变理论中。z h a n g 等则对弹塑性杆中的相变分别进行了小变 形和大变形分析，并证明，对任一条假设的应变软化曲线，m a x w e l l 应力直线和 应变软化曲线所围面积的代数和总是等丁零，这和e r i c k s e n 对非线性弹性杆相变 研究得到的结论相一致。数值算例表明，当塑性切线模量与弹性模量之比较小时， 跨越相变界面的应变跳越较大，这时用小变形分析误差较大，应该进行大变形相 变分析。 借助于应力导致的相变理论，本文详细分析了在不同的载荷比例系数下的平 面应变下弹塑性材料的折曲，并推导出了一般情况下的控制方程。将非线性弹性 材料的应变能函数进行扩展，得到弹塑性材料的应力功函数，借助于应力功函数， 分析各向同性弹塑性材料在双向加载时产生的平面应变折曲。问题归结为寻求载 荷的最小值，使在该值下控制方程具有唯一的、物理上可以接受的实数解。借助 于同伦解法，控制方程被数值求解，证明了符合要求的解的确存在。发生折曲时， 相变的m a x w e l l 应力与g r e e n 应变，以及折蓝带方向角、折曲角均可求出，并给 出了它们在两组不同的应力应变软化系数下随载荷比例系数的变化曲线。结果表 明，相变的m a x w e l l 应力受应力应变软化系数的影响比较小，而折曲带方向角受 应力应变软化系数的影响则在载荷比例系数大于零时比小于零时显著。不论是 m a x w e l l 应力载荷比例系数曲线还是折曲带方向角一载荷比例系数曲线，它们都 是单调的。折曲角载荷比例系数曲线，受应力应变软化系数的影响较大，且在 载荷比例系数等于1 附近存在一个极值点。与前人的计算结果十分吻合，证明了 本文思路的正确性以及程序的正确性。当采用错误的m a x w e l l 关系时，程序能正 确识别此错误。 关键词：应力导致的相变折曲m a x w e l l 关系应力功函数应变软化 a b s t r a c t m a n ys t u d i e sh a v eb e e nd e v o t e dt ok i n k i n ga n dt h es t u d yo fs t r e s s i n d u c e dp h a s e t r a n s i t i o n ，b u tt h ec o n t i n u u mm o d e l su s e da r eu s u a l l yb a s e do nt h e r m o e l a s t i c i t y , n o n li n e a re l a s t i c i t yo rh y p e r e l a s t i c i t y i nt h i sp a p e r , w ew i l lp r o v i d eag e n e r a la n a l y s i s o fk i n k i n gi n e l a s t o p l a s t i c c o n t i n u au n d e rp l a n es t r a i nd e f o r m a t i o nb ym o d e l i n g k i n k i n ga sas t r e s s - i n d u c e dp h a s et r a n s f o r m a t i o n e r i c k s e nh a ss t u d i e do ns t r e s s - i n d u c e dp h a s et r a n s i t i o nf o rn o n l i n e a re l a s t i cb a r s u s i n gm a x w e l ls t r e s s p h a s et r a n s f o r m a t i o ni ne l a s t o p l a s t i cb a r sa r ei n v e s t i g a t e df o r b o t hi n f i n i t e s i m a ld e f o r m a t i o na n df i n i t ed e f o r m a t i o nb yz h a n ge t c i ti sp r o v e dt h a t f o ra n ya s s u m e ds t r a i n s o f t e n i n gc u r v et h ea l g e b r a i cs u mo ft h ea r e a se n c l o s e db yt h e s t r a i g h tl i n eo fm a x w e l ls t r e s sa n dt h ea s s u m e dc u r v ei sa l w a y se q u a lt oz e r o ，w h i c h a g r e e sw i t ht h er e s u l tg i v eb ye r i c k s e nf o rt h ea n a l y s i so fp h a s et r a n s f o r m a t i o n si n n o n l i n e a r l ye l a s t i cb a r s n u m e r i c a le x a m p l e sd e m o n s t r a t et h a tt h ej u m po fs t r a i n a c r o s st h ei n t e r f a c eb e t w e e np h a s e si sv e r yl a r g ew h e nt h er a t i oo fp l a s t i ct a n g e n t i a l m o d u l u st oe l a s t i cm o d u l u si ss m a l l e r i nt h i sc a s ei ti sn e c e s s a r yt oa n a l y z et h ep h a s e t r a n s f o r m a t i o nu s i n gt h ef i n i t ed e f o r m a t i o nt h e o r yt oi n d u c ee r r o r s i nt h ep r e s e n tp a p e rag e n e r a la n a l y s i so fk i n k i n gi ne l a s t o p l a s t i cc o n t i n u au n d e r p l a n es t r a i nd e f o r m a t i o ni sp r e s e n t e db ym o d e l i n gk i n k i n ga sas t r e s s i n d u c e dp h a s e t r a n s f o r m a t i o n t h es t r a i n - e n e r g yf u n c t i o nf o rn o n l i n e a re l a s t i cm a t e r i a l si se x t e n d e d t oo b t a i nas t r e s s - w o r kf u n c t i o nf o re l a s t o p l a s t i cc o n t i n u a w i t ht h ea i do ft h e s t r e s s - w o r kf u n c t i o n ，p l a n es t r a i n k i n k i n gu n d e rb i a x i a ll o a d i n g i n i s o t r o p i e e l a s t o p l a s t i cc o n t i n u ai sa n a l y z e d t h ea n a l y s i si sr e d u c e dt of i n d i n gt h em i n i m u m v a l u eo ft h el o a d i n ga tw h i c ht h ej u m pc o n d i t i o n so fp h a s et r a n s f o r m a t i o n sh a v ea u n i q u e ，r e a l ，p h y s i c a l l ya c c e p t a b l es o l u t i o n t h ee q u a t i o n sa r es o l v e dn u m e r i c a l l yb y h o m o t o p yc o n t i n u a t i o nm e t h o d s an u m e r i c a lp r o c e d u r ei si l l u s t r a t e da n di ti sv e r i f i e d t h a tk i n k i n gc a n d e f i n i t e l y o c c u ri n e l a s t o p l a s t i cc o n t i n u a w i t hs t r a i n - s o f t e n i n g b e h a v i o r t h ek i n k i n gs t r e s s ，t h es t r e s s e sa n ds t r a i n si n s i d ea n do u t s i d et h ek i n k b a n d ， t h ek i n kb a n do r i e n t a t i o na n g l ea n dt h ek i n ka n g l e ，a l lt h a tn e e dt ob ed e t e r m i n e df o r k i n k i n g ，a r ed e t e r m i n e d ad e s c r i p t i o na b o u tt h ev a r i a t i o no ft h e s es t r e s s e sa n da n g l e s t od i f f e r e n ts t r a i n i n d u c e dc o e f f i c i e n t sa n dl o a dr a t i o sa r ea l s os u p p l i e d t h er e s u l t s i n d i c a t e dt h a ts t r a i n - i n d u c e dc o e 瓶c i e n th a sl i t t l ei n f l u e n c eo nk i n k i n gs t r e s s w h i l ea b i g g e ri n f l u e n c eo nk i n kb a n do r i e n t a t i o na n g l ee x i s t sw h e nt h el o a dr a t i oi sg r e a t e r t h a nz e r oc o m p a r i n gw i t hs m a l l e rt h a nz e r o b o t ho ft h e s et w oc u r v e sa r em o n o t o n y i ta l s od e m o n s t r a t e st h a tt h es t r a i n i n d u c e dc o e f f i c i e n th a sa no b v i o u si n f l u e n c eo nt h e k i n ka n g l e ，a n da nu p p e rl i m i te x i s t sa r o u n dt h el o a dr a t i oe q u a l st on e g a t i v eo n e r e s u l t sc o i n c i d ew i t ho t h e r si n d i c a t et h em e t h o da n dt h ep r o g r a m sc o r r e c t n e s s w h e n w r o n gm a x w e l lr e l a t i o n s h i p i su s e d ，t h ew r o n gc a l c u l a t i o nr e s u l t sp o i n to u ti t c o r r e c t l y k e yw o r d s ：s t r e s s i n d u c e dp h a s et r a n s f o r m a t i o n ，k i n k i n g ，m a x w e l lr e l a t i o n s h i p ， s t r e s s - w o r kf u n c t i o nf o re l a s t o p l a s t i cc o n t i n u a ，s t r a i n - s o f t e n i n gb e h a v i o r 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特j j t l d l ：l 以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：饿蕊癌 签字日期：伽年肛月 声日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解基洼盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权盘盗盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：熊歧岳 签字1 7 1 期： 伽6 年p 月知日 导师签名孝投卫嘲 签字日期：尊和据仁月7 秒同 天津大学硕士学位论文 平面应变下弹塑性材料的折曲 1 1 引言 第1 章绪论 现代科学的发展与多学科的交叉应用，使人类社会发生了翻天覆地的变化。 形状记忆合金系列智能材料因其特有的形状记忆效应、感应、做功能力等优良 特性而在许多高新领域发挥了不可替代的作用。如n i t i 合金具有抗蚀性好， 疲劳寿命高等特点，适用于人体植入、生物、航天及原子能工程；c u - z n a i 合 金价格低廉、加工性好，普遍应用于各工业领域；铁基合金具有成本低，强度 高，塑性好，可焊接等优点，加入c r 、t i 等元素后还具有很好的耐腐蚀性能， 因此，铁基合金也受到国内外研究者的特别关注。 一般金属材料受到外力作用后，首先发生弹性变形，达到屈服点，金属就产 生塑性变形，卸除外力后，留下永久变形，不会回复原状，如图1 1 ；图中形 状记忆合金材料，在低温状态下经塑性变形后，通过加热到这种材料的某一临 界温度以上，材料恢复到变形前的形状，这种现象即为形状记忆效应。 t 羹囊盒囊钳鬻撕 黟款记亿龠纛 图1 1 形状记忆效应 这些材料强大的功能背后，都有一个共同的支持者，那就是“相变”。相变 和临界现象是物理学、力学以及材料学中充满难题和意外发现的领域之一。到 目前为止，对相变的实验和理论研究已经有一百多年的历史【。然而，正像相 第l 章绪论 变导致了自然界的丰富多彩一样，相变的研究也相当引入入胜。 1 2 折曲与相变 1 2 1 相变 相的概念最早产生于人们对水的固态、液态以及气态之间变化的认识。随后 伴随着冶金技术以及固体物理学的发展，相变的概念也随之扩展。在不同的学 科以及领域之中，对相以及相变的概念是不尽相同的。 在固体物理学中，对相以及相变的概念定义如下：现代科学已经证实，在这 千姿百态、变化多端的物质世界中，一切物质都是由大量微观粒子组成的。它 们在特定温度和压力下相互集聚，构成一定的稳定结构，这就是物质的一种状 态，简称物态。一般说来，任何一种物质在不同温度、压力以及外场( 如引力场、 电场、磁场等) 影响下将呈现不同的物态。有时一种物质在某种温度、压力下可 能有几种不同状态同时存在。在一定条件下，物质的各种聚集态之间可以相互转 化。物质中具有相同化学成分和晶体结构的部分被称为相。相在不同的状态之 间的转变叫相变。 对于材料科学，相的概念以及相变分析则主要集中于对形状记忆合金等智能 材料中马氏体相变的研究。一般的马氏体相变作为钢的淬火强化的方法从古代 便为人所用，就是把钢加热到某个临界温度以上保温一段时间，然后迅速冷却， 例如直接插入冷水中( 称为淬火) ，这时钢则转变为一种称为马氏体的结构，并 使钢硬化。这种马氏体相变有一个特别的性质，在一定的温度下一旦形成的马 氏体随着时间延长不再长大，为了增加马氏体的量，必须进一步降低温度，产 生新的马氏体。后来，在某些合金中发现了不同于上述的另一种所谓热弹性马 氏体相变，热弹性马氏体一旦产生可以随着温度降低继续长大。相反，当温度 回升时，长大的马氏体又可以缩小，直至恢复到原来的状态，即马氏体随着温 度的变化可以可逆地长大或缩小，由于马氏体的体积一般比原始状态要膨胀一 些，而且马氏体相变伴随着晶体中规则的改变，因此热弹性马氏体相变随之伴 有形状的变化【2 】【3 】【4 】。 形状记忆合金不仅具有理论上的重大意义，更重要的是工业中的应用价值。 形状记忆合金用于低质能源的利用上具有深远的意义。目前已将形状记忆合金 成功地用于医学上，作为牙科的齿形矫正器，还可用于矫正脊椎侧弯。静脉过 滤器是，把筛状过滤器在低温拉成直线，送入静脉，受体温加热后，变成筛状， 起到过滤凝血的作用。目前正在用形状记忆合金试制人造肾的微型泵、可以收 2 天津太学硕士学位论文平面应垒f 弹塑性材科的折曲 缩的人造肌肉及人造心脏等。形状记忆台金的发明与应用。使人们对于金属材 料的特性及功能丌嗣了眼界，神秘的被人们称之为机敏或智能材料的大门被打 开了。 r 诛杖乜每士。苊蚌在扣谨走t _ t 慢上c 图1 - 2 镰钍记忆台盒“花i ”在帽应的温度下慢慢绽艘 kb h a i l a c h a r y a ，r dj a m e s 等在形状记忆台金等智能材料的马氏体相变方 面做了重要丁= 作【5 h 1 。 1 2 2 折曲 折曲在实验和自然界中广泛存在。一种常见的折曲现象是筷子放在水中看起 来像是两段一样，不过这是光的折射原理在起作用是光线在跨越水与空气这 两种介质时所表现出来的一种传播路径的弯曲。本文中的折曲是另一种意义上 的不连续，属于力学范畴，是以应力的变化作为相变产生的主要原因。它描述 了在跨越某一界面时材料所表现出来的位移连续而变形梯度不连续这一太变 形现象。这种界面被称作折曲界面，被同一性质的两个折曲界面所包含的区域 被称作折曲带。折曲带的概念最初见于地壳、岩石等大变形研究中。 * l 绪论 h d | r 帆晰c c n r 倒】h d t 帅n e f 叭 图1 3 在地壳力作用下，岩石发生扭曲 图1 0 发生剪切破坏的岩石 一 围1 5 沉积水成岩折曲带 天津大学硕士学位论文平面应变下弹塑性材料的折曲 折曲是广泛存在的。例如，带有小折曲角的折曲见于单轴拉伸下的镍钛记忆 合金带由奥氏体到马氏体的相变【l l 】。折曲存在于承受压缩或压剪组合的单向纤 维复合材料的一系列试验中，见文献及其参考文献、文献【1 3 】。承受单轴拉伸 的纯木纹钢条在形成l u d e r s 带时也会发生折曲l i l 4 1 。折曲带也见于高性能聚合 纤维中f 1 5 】。 1 2 3 研究方法与研究进展 为模拟镍钛记忆合金带从奥氏体到马氏体的相变，文1 1 l j 把合金带看作是带 有应变软化行为的弹塑性固体。合金带用二次的二十结点的三维块体单元离散， 并且在合金带一侧人为引入几何缺陷。通过数值模拟局部变形，来预测从奥氏 体到马氏体相变的发生及扩展。 文【1 6 】中提出一种唯象理论模型来描述记忆合金在应力导致的相变时的力学 行为，但为了简洁该模型没有包括塑性变形。 纤维增强复合材料折曲带的数字图像( 文献【1 3 】，图6 ) 显示折曲带界面处的 一些纤维受到破坏，因此在跨越相变界面时应变和应力是不连续的。折曲带的 内部和外部的变形曾被认为是相同的，但是实际上是不同的。折曲带的内部处 于塑性变形，而外部则仍然是弹性状态，参见文献【1 7 】【18 1 。 为模拟单向纤维增强复合材料在受到沿纤维方向压缩时的折曲，文1 17 j 中建 立了弹塑性固体模型，并考虑了跨越相变界面时位移和内力的连续性，给出了 临界折曲应力的计算公式吒：去( 文献【1 7 】，公式3 ) ，其中歹为初始时纤维 簪- i - y y 增强方向与载荷方向的夹角。在歹：0 时，此公式退化为文献【1 9 1 中的结果 以= g ，其中g 是复合材料的弹性剪切模量。但是，折曲是不是能发生在弹塑 性连续体中( 痧= 0 时) 仍有待解决。 实验表明折曲带初始应力( 也称为峰值应力) 与材料或结构的缺陷十分敏感， 但是折曲带的传播应力( 也称为折曲应力) 却是相对稳定的，见文献【2 0 】【2 2 1 。 文2 3 1 认为折曲带内部应力每单位体积内做的功与当折曲带形成及发展时外 部载荷每单位体积内做的功平衡，称为“锁定条件( 1 0 c k u pc o n d i t i o n ) ”，并预言 了在折曲带稳定时的折曲角。应该注意到“锁定条件”与m a x w e l l 关系非常相似。 文【2 4 l 中通过相变理论分析了纤维增强复合材料的折曲。将纤维增强复合材 料建立为一种不可压缩的、横观各向同性、弹性固体模型，并且把折曲带内部 5 第1 章绪论 和外部的材料看作为相同弹性材料的两相。折曲带内部的塑性变形未被考虑。 此外，为确定稳定时的折曲应力、折曲带方向角以及折曲角等，本文借助于 应力导致的相变理论，详细分析了在不同的载荷比例系数下的平面应变下弹塑 性材料的折曲，并推导出了一般情况下的控制方程。 在分析特定非线性弹性材料的相变时，需要为材料找到一个合适的应变能函 数，该应变能函数通常由单轴拉伸或扭转实验结果获取。此方面的研究很多， 如【2 5 】及其参考文献。要想预测弹塑性连续体内的相变，需要用公式给出适当的 应力功函数。 1 3 本文的主要工作 综上所述，固体材料中折曲以及应力导致的相变现象在理论及应用方面具有 广泛的应用前景，而且已经在理论和应用方面取得了丰硕的成果。但是，像其 它新兴领域一样，在某些方面，这些理论依然有待完善。迄今为止，对固体材 料中的折曲研究，依然只局限于弹性范围。由此，本文对于平面应变下弹塑性 材料中的折曲做了一些工作，内容如下： 第一章：对折曲、相变等概念从多个学科以及领域着眼，分别作了简要的介 绍，并对折曲的研究方法以及目前国内外的研究进展予以论述。 第二章：简要地阐述了有限变形的基本理论，包括变形梯度描述、应变描述、 应力描述等，并给出各种应力应变之间的关系。在此基础之上，介绍了一种大 变形各向同性弹塑性模型，包括弹性模型及塑性模型，它将在文中被采用。并 扩展了非线性弹性材料的应变能函数，以获得弹塑性连续体材料的应力功函数。 第三章：对应力导致的相变理论进行回顾，给出了相变的基本理论，包括相 变的控制方程、相变的发生条件等，并简要介绍出了椭圆性的相关概念以及横 观各向同性线性弹性固体中强椭圆条件成立的充分必要条件。最后是相变的稳 定性分析有关的理论。 第四章：借助于应力功函数、应力导致的相变理论，详细的分析了不同的载 荷比例系数下的平面应变下弹塑性材料的折曲，给出了求解控制方程的计算方 案，并给出计算示例，求出折曲应力、折曲带方向角、折曲角等特征量。 第五章：在最后一节里将对本文的主要工作进行简要的回顾，对结果给予总 结，并对进一步的研究提出设想与建议。 6 天津大学硕士学位论文平面应变下弹塑性材料的折曲 第2 章大变形弹塑性模型 2 1 有限变形的基本理论 在固体力学中，当物体所发生的位移远小于物体自身的几何尺度，应变远小 于l 时属于小变形，在此前提下，建立物体或微元体的平衡条件时可以不考虑 物体的位置和形状的变化，对应的几何方程和平衡方程也比较简单1 2 引。而几何 非线性问题中这些概念和方程都不再有效。在弹塑性材料的折曲分析中，折曲 带内的状态被认为是有限变形状态1 2 4 】，为正确地揭示变形过程中的规律，必须 采用非线性连续介质力学理论进行描述。本节即对反映折曲带内变形特征的若 干度量张量的定义以及这些度量物理量的特点和内在联系作简要介绍。 2 1 1 物体变形的物质描述 物体发生大变形时，必须考虑前后构形的变化。为确定物体初始构形中点的 位置，通常引入拉格朗日( l a g 删1 9 e ) 坐标眠置墨( 亦称为物质坐标系) 【2 7 】。初始 构形中任意一点x 位置由物质坐标五( f = l ，2 ，3 ) 确定。为确定物体在现时构形 中的位置，引入欧拉( e u l e r ) 坐标系n _ j c 2 坞( 或称为空间坐标系) ) 【2 7 1 。现时构形中 任意一点的位置由空间坐标x j ( f = l ，2 ，3 ) 确定。用物质坐标五作为自变量来描述 物体的变形和运动时，称为拉格朗日方法，用空间坐标作为自变量的描述方 法称为欧拉方法，这两种坐标系和描述方法是建立度量张量和研究大变形的前 提和基础。 在固体力学中常采用拉格朗日描述。为度量物体的运动和变形，需要选取一 个特定的构形作为初始参考构形。不失一般性，可以取f = 0 时刻或未变形形态 的构形作为参考构形。在选定一个固定的空间坐标系后，运动物体中的每一质 点的空问位置王可以用初始时刻f o = o 时质点的物质坐标置( ，= 1 ，2 ，3 ) 和时间变 7 第2 章大变形弹塑性控制模型 量f 来表示，即质点的运动可以用下列方程表示： 毛= 葺( 五，置，五，f ) ，i = l ，2 ，3 ( 2 1 - 1 ) 如果己知物体内所有质点方程，就可以完全了解物体的运动和变形。图2 1 初 始态和变形态物体的构形所示为采用参考构形与现时构形相同坐标架下表示的 初始形态与变形形态物体的构形。 矿 2 1 2 变形梯度 初始构形现时构形 图2 1 初始态和变形态物体的构形 物体中质点的运动可由公式( 2 1 - 1 ) 表示，当物体中各质点之间存在相对运动 时，物体就会产生变形。 图2 2 两个无限接近的质点 一8 天津大学硕士学位论文 平面应变下弹塑性材料的折曲 考虑两个无限接近的质点x 和x + d x ，它们的位置矢量差为d x ，如图2 2 所示。经过变形后其位置矢量差从d x 变为出，在现时构形y 中，它们分别占 有空间位置j 和d r ，f h ( 2 1 - 1 ) 式有 x = x ( x ，t ) ( 2 1 2 ) x + d x = x ( x + d x ，t ) ( 2 1 - 3 ) 在参考构形中的两个相邻质点x 和x + d x ，在t 时刻，这两个质点在现时 构形中的距离是： d x = x ( x + d x ，t ) - x ( x ，t ) ( 2 1 - 4 ) 对上式中的x ( x + d x ，) 在x 点处进行泰勒展开，并略去高阶小量，可得： 出褂 o x i 以l o x 2 瞄 眈 粥 o x , o x 2 o x 2 a x 2 甄 0 3 ( 2 o x , o x 3 o x 2 o x 3 纸 瞄 ( 2 1 - 5 ) 卧似 亿m ， 其中f 为变形梯度2 羽。由式( 2 1 6 ) 可以看出变形梯度是一个线性变换矩阵，它 把参考构形中质点x 的邻域映射到现时态构形中x 的一个邻域。，将初态线元 d x 变换到变形态线元出，它既包含了线元的伸缩，又包含了线元的转动，因 此变形梯度f 描述了物体在这个变化过程中的变形。 2 1 3 应变描述 物体变形中，一个质点邻域内的相对变形的描述很重要，这就是应变度量的 问题，在小变形中的应变度量在几何大变形中已经不能适用，在经典的几何非 线性理论中应变的表达主要有格林( g 阳阴) 应变和阿耳曼西( 么砌绷s f ) 应变2 9 1 。 考虑变形前物体内任意一个质点尸与邻域内的另外两质点p 。和p 。，它们分 别构成无限小物体线元即和p p ，并且分别用矢量d x 和6 x 表示。变形后， 9 鹕 盟玛 +扰 盟啦 +捌 堕瓯 | i 如 式形 阵矩成写或 第2 章大变形弹龌性控制模型 在f 时刻，线f r e e 和即。分别移到q q 和q q ，此两线元矢量变为出和融，如 图2 3 所示。 而变形前 变形后 图2 - 3 变形前和变形后物体内线元 由即和即构成的物质三角形在现时构形和初始构形之间的差别可用两 矢量标积之差来表示 d x r 8 x d x 7 万x = d x r ( f 7 f i ) 6 x = 2 d x r e s x ( 2 1 7 ) 式中上标丁表示转置，为单位矩阵。如将( 2 1 7 ) 写成分量形式为： d 万t d x k s x i = 2 e j x , 8 x ， ( 2 1 - 8 ) 物质三角形在现时构形和初始构形之间的差别还可以表示成： 出r 万x 一趔r 8 x = 出r ( j 一( ，) 1 ) 融= 2 出r p 融( 2 1 - 9 ) 其分量形式为： 出k 6 x t d x k s x t = 2 e 口出i 6 x q 1 1 0 ) ( 2 1 7 ) 式和( 2 1 - 9 ) 式中的e 和e 为无因次的量： e = 去( f7 f 一，) ( 2 1 - 1 1 ) p = 三( ，一( 巾) 叫) ( 2 1 q 2 ， 式中e 和e 为二阶对称张量，分别是基于初始构形描述的应变张量和基于现时 构形描述的应变张量。e 称为格林应变张量，p 称为阿耳曼西应变张量。 由( 2 1 - 6 ) 式，e 和e 的分量可以表示为： 毛= 玎簧象一叫 亿3 ， 1 0 天津大学硕士学位论文 平面应变下弹塑性材料的折曲 白= 如一等孝 由图2 1 ，初始构形与现时构形之间的关系可用位移材表示， 毛( x ，t ) = 王+ u j 互( x , t ) = 薯一 相应的变形梯度可以写成： 毒害+ 磊 薏寸考 由此格林应变张量和阿耳曼西应变张量可以写成： 岛= 三 羞+ 薏+ 瓦o u k 酉。锄k 白= 虱1 ( c 钆a u j 一+ 考一瓦9 u ki o u k ( 2 1 - 1 4 ) 其分量形式为： ( 2 1 - 1 5 ) ( 2 1 1 6 ) ( 2 1 1 8 ) ( 2 1 - 1 9 ) ( 2 1 2 0 ) 在计算格林应变时，被看作是x ，的函数，即未变形的初始构形内质点位 置一的函数，在计算阿耳曼西应变时，被看作是变形后的现时构形位置x ，的 函数。 如果是小变形问题，即满足下列条件时， 婴1 ，堕1 a xi 二a x 格林应变和阿耳曼西应变退化为柯西( q 龇缈) 应变3 0 1 ： 毛= 岛= 勺= 三( 善+ 每) _ 三( 鲁+ 考 t 2 小2 t ， 2 1 4 应力描述 有限变形的应力度量有多种形式，主要有欧拉( e u l e r ) j 亚j t j 、拉格朗日 第2 章大变形弹塑性控制模型 ( 工昭阳馏洳) 应力和基尔霍夫( 船，c j ，办够) 应力。 2 1 4 1 欧拉应力 欧拉应力是定义在现时构形的每单位面积上的接触力，它是与变形相关的真 实应力。考虑物体在时刻f 的现时构形内的一个有向面元_ 鲋，在该面元两侧 的介质通过面元的相互作用为力元z ，这个力元除以面积就定义了该面元上的 应力矢量) 。 怍l i ma 石t , = 鲁( 2 1 - 2 2 ) 。 m o 彳d 彳 如果这个面元与另外的三个垂直于坐标轴的面元耐以，砰妣和霄心构成一 个四面体，如图2 4 所示，那么根据这个四面体的平衡条件可以证明面元n , d , 4 上 的应力矢量f ! ”可用其它三个面上的应力矢量表示。设 = q 。，学) = 吒：，= t 。( 七= l ，2 ，3 ) ，则有： 彳= 勺乃妇= 勺j d a ( 2 1 2 3 ) 图2 _ 4 欧拉应力张量 这里由垂直于坐标轴的三个面上的应力矢量的九个分量勺定义的一个张 1 2 天津大学硕士学位论文平面应变下弹塑性材料的折曲 量，叫做欧拉应力张量。该张量是对称的。 2 1 4 2 拉格朗日应力 拉格朗日应力是定义在初始构形上的一种应力张量。类似于( 2 1 2 2 ) 式，但 采用变形前( 初始) 构形中这个物质面元的面积戤来定义，该应力矢量的定义 是： f m ：l i m 盟：亟( 2 1 - 2 4 ) 。 蛳剐馘弛 其中的力元矢量够是在变形后构形的i 面元n , d a 上作用的力元矢量。图2 5 给出 了二维情况的示意图。在变形前的构形上，面元m 妣与三个垂直坐标轴的面元 构成一个四面体( 变形后这三个面元未必保持垂直) 。这三个面元按照上式定义 的应力分量为： f ，) ：l i m 堡：堕 b a - - ，0 馘纸 它们的整体构成一个张量可，叫做拉格朗日应力张量，也被称为第一皮奥拉一 基尔霍夫( 乃妇一尉砣砌够) 应力张量【3 2 1 。考察四面体平衡条件可得： f = ”，d r , = f 幽 ( 2 1 - 2 5 ) 五而 五墨 图2 - 5 拉格朗日应力的定义 比较( 2 1 - 2 3 ) 式和( 2 1 - 2 5 ) 式可得欧拉应力”和拉格朗日应力，之间的转换 1 3 第2 章大变形弹颦性控制模型 关系： y - , , n = j o x 靛, j r r ? r o = j - i 吼o x j ：删 拉格朗日应力一般不是对称张量，这给某些应用带来了不便。 2 1 4 3 基尔霍夫应力 ( 2 1 - 2 6 ) ( 2 1 - 2 7 ) 基尔霍夫应力是在拉格朗日应力的基础上定义的。将( 2 1 - 2 6 ) 与a x , 矾相 乘，这样就得到了另外一种应力度量一基尔霍夫应力张量： = 等o x 删等o x 等o x ( 2 1 - 2 8 ) ； 。 既叫做基尔霍夫应力张量，也被称作第二皮奥拉一基尔霍夫应力张型3 3 1 。 它是相对于初始构形的对称的应力张量，同样有： 勺= 厂1 毒惫( 2 1 - 2 9 ) 如果把作用在初始构形上的v , d a 的那个面元上的力元记为d r , o ，那么它与 基尔霍夫应力的关系是： d t ：= s h v , d a 由( 2 1 2 5 ) 和( 2 1 2 8 ) 式，上式可以写为： d t _ ，。= o 出x ；id t(21-30) a x 。 式中d r , 表示在现时构形的物质面元吩出上作用的真实的力元。( 2 1 3 0 ) 式表达 了真实力元妇和在初始构形物质面元，戤上定义基尔霍夫应力使用的力元 媚。之间的关系。这种关系和初始构形中物质线元变形前后的关系 拭= ( 越o x j ) 啦是完全一致的。通过上面的讨论可以看到，在定义基尔霍夫 1 4 - 天津大学硕士学位论文平面应变下弹塑性材料的折曲 应力时力元以按与变形相同的方式被“伸长和转动”，基尔霍夫应力正是这种 “变形”了的力元矢量除以初始构形的面元m d a 来定义的应力。这种定义看 起来不是很自然，但它有着与格林应变在能量上共轭的物理含义。另外根据基 尔霍夫应力的物理含义，很容易得出结论：当物体做刚体运动的时候，在空间 固定坐标系内基尔霍夫应力分量保持不变。 2 2 弹性模型和塑性模型 2 2 1 弹性模型 设每单位质量h e m h o l t z 自由能函数为 甲= 甲( e ，口) ( 2 2 一1 ) 其中e 为g r e e n 应变张量，0 为绝对温度。在等温情况下，有矽= 0 ，此时h e m h o l t z 自由能只依赖于g r e e n 应变张量。由h e m h o l t z 自由能、壬，描述的弹性模型有如下 形式 t = 岛筹 = 岛焉 仁2 国 其中岛是参考构形下的材料密度。当自由能甲仅与g r e e n 应变张量e 的一次项 e 和二次项e 2 有关时，就得到了描述大变形各向同性线性弹性模型应力应变 关系如下 t = l e ，l b = l 脚 ( 2 2 3 ) 这里l 为四阶弹性刚度张量且有如下形式 l = 2 g i + k 6 6 ，l a 叱d = 2 g ia b c d + k 6 a b 6 c j q 2 - 4 ) 其中g 为弹性剪切模量，k 为体积模量，6 为k r o n e c k e r 符号，i 为四阶特殊等 同张量，其分量形式为 - i a b c d ：三( 一c 十) 一三一占 ( 2 2 5 ) 大变形各向同性线性弹性模型( 2 2 3 ) 的逆形式为 1 5 第2 章大变形弹塑性控制模型 e = m t , e b = m b 巴疋d 其中m 为四阶弹性柔度张量且有如下形式 m = 去g i + 上9 k 6 6 ，肘月肋= 上2 g 无黝+ 土9 k 以口2 f l 月咒，口 dl u 大变形各向同性非线性弹性模型应力应变关系一般形式如下 t = f 。( e ) 2 2 2 塑性模型 ( 2 2 - 6 ) ( 2 2 - 7 ) ( 2 2 - 8 ) 关于塑性的一般理论可参阅文献1 3 4 1 。本文中采用l 主t r i c e & h i l l 提出的大变形 塑性本构模型，绷, h w a n g & h w a n g l 3 5 1 ，h i l l & r i c e 3 6 】f 3 7 1 ，r i c e 3 8 】f 3 9 1 。在此模 型中，g r e e n 变形率宦分解为两部分：弹性g r e e n 变形率张量( 竞) 。与塑性g r e e n 变 形率张量( 它) p ，即 e - - ( e ) 9 + ( 意) p ( 2 2 - 9 ) 对于各向同性硬化材料，累积塑性变形率妒与累积塑性变形e p 分别定义为 和 应p = 吾护 ( 意) p ( 宦) 户 “2 e p = p d t 其中t 为时间类变量。 参考构形下的屈服准则为 、 乙= 】，( e p ) 这里乙为等效应力，其定义为 乙= 三护( t t 7 ) 2 其中r 为第二p i o l a k i r c h h o f f ) 勤张量t 的偏应力张量 t = t l ( t r t ) 6 y ( e p ) 描述材料的应变硬化，可以通过单轴拉伸实验进行测定。 ( 2 2 - 1 0 ) ( 2 2 - 1 1 ) ( 2 2 - 1 2 ) ( 2 2 - 13 ) ( 2 2 - 1 4 ) 天津大学硕士学位论文 平面应变下弹塑性材料的折曲 由r i c e & h i l l 提出的模型给出了宦和t ( 第二p i o l a k i r c h h o f f 应力率) 之间 的关系如f 宦= m 甲r i ( 2 2 1 5 ) 其中m 甲为四阶弹塑性柔度张量，对加载情形有如下形式 胪圳一硕榆r r g 二1 6 4 锋【e pj ly 【e p ji 其中m 、e p 、】，( e p ) 分别由式( 2 2 7 ) 、( 2 2 - 11 ) 、( 2 2 一1 2 ) ) 给出，e ( e p ) 为塑 性模量，其定义为 乓( e p ) ：型d e p ( 2 2 - 1 7 ) 塑性模量乜、弹性模量e 和切线模量互有如下关系 i 厢12 可1 可一一1 ( 2 2 - 1 8 ) ei 厢2 可可一 模型( 2 2 1 5 ) l 簦j 逆形式为 童= l e p l 已 ( 2 2 1 9 ) 其中酽为四阶弹塑性刚度张量，对加载情形有如下形式