（信号与信息处理专业论文）图像边缘检测算法的比较研究.pdf

电子科技大学硕士论文 搐要 在实际图像处理问题中，图像的边缘作为图像的一种基本特征，经常被 应用到较高层次的图像应用中去。它在图像识别，图像分割，图像增强以及 图像压缩等的领域中有较为广泛的应甩，也是它 f 的基础， 图像边缘检测的手段多种多样。但是，其大的框架不外乎两种，即传统 的基于图像亮度特征的算法和基于小波的多尺度边缘检测算法。对于基于亮 度的算法，是研究时间最久，理论发展最成熟的方法，它主要是通过一些差 分算子，由图像的亮度计算其梯度的变化，从而检钡0 出边缘，主要有 r o b e r t ，l a p l a c e ，s o b e ，c a n n y ，l o g 等算子。这些算法现在已经发展的比较成 熟了。再有一类就是随这小波理论的发展和成熟而兴起的基于小波交换的多 尺度的图像边缘检测算法。它利用小波变换，检测出图像的在行方向上和列 方向上的跃变边缘，并在一定的规则下形成图像的边缘；还有一种方法就是 利用小波的多尺度变换以及在小波变换下信号和噪声的l i p 指数的区别来提 取对我们有用的边缘信息，并除去噪声的干扰。不过近几年来，发展出了一 种新颖的基于图像像素相位的边缘检测算法。它不需要对图像进行任何先验 的假设，只是在傅立叶变换域内简单的按相位一致来寻找特征点，鲁棒性比 较强。 本文在第一章对图像的边缘进行了一个一般的摄述，接着，在第二章中 先介绍了比较经典的检测算子，并以l o g 算法为例子，介绍了定位误差产生 的原因，讨论了一种比较精确的边缘定位方法。在第三章中，在介绍小波理 论的基础上，分别介绍了抽样小波变换和非抽样小波变换在边缘检测中的应 用。其中菲抽样的小波变换侧重于保持国像优化的空间信息和利用l i p 指数 去除噪声，而抽样的小波变换则方便我们提取图像的主要轮廓。在本文的最 后一章，讨论了基于相位的边缘提取算法。利用l o gg a b o r 小波，构造了2 d 滤波器，成功的检测出了多种图像的边缘，甚至还检测出了马赫带现象，说 明这是一种优秀的检测方法，并且符合人类的视觉系统特性。 相信本文的工作对图像处理中的边缘检测方法研究以及应用有一定的参 考价值。 关键诃：边缘检测，图像处理，误差分析，主要轮廓，相位一致性 电子科技大学硕士论文 a b s t 俐托潭 i ni m a g ep r o c e s s i n g ，a sab a s i cc h a r a c t e r i s t i c ，t h ee d g eo ft h e i m a g e ，w h i c h i s w i d e l y u s e di nt h e r e c o g n i t i o n ，s e g m e n t a t i o n ， i n t e n s i f i c a t i o na n d c o i l l p r e s s o ft h e i m a g e i so f t e na p p l t e d t o h i g h 一1 e v e ld o m a i n t h e r ea r em a n yk i n d so fw a y st od e t e c tt h ee d g e a n y w a y ，t h e r ea r e t w om a t nt e c h n i q u e s ：o n ei sc l a s s i cm e t h o db a s e do nt h eg r a yg r a d eo f e v e r yp i x e l ：t h eo t h e ro n ei sb a s e do nw a v e l e ta n di t sm u l t i s c a e c h a r a e t e r i s t i c t h ef i r s tm e t h o d ，w h i c hi sg o tt h el o n g e s tr e s e a r c h ， g e tt h ee d g ea c c o r d i n gt ot h ev a r i e t yo ft h ep i x e lg r a y t h em a i n t e c h n i q u e sa r er o b e r t ，l a p l a c e ，s o b e l ，c a n n ya n dl o ga l g o r i t h m ，t h e s e c o n dm e t h o d ，w h i c hi sb a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r m ，u t i l i z e st h e l i p s c h i t ze x p o n e n tc h a r a c t e r i z a t i o no ft h en o is ea n ds i n g u l a rs i g n a l a n dt h e na c h i e v et h eg o a lo fr e m o v i n gn o t s ea n dd i s t i l l i n gt h er e a l e d g e1i n e s i nr e c e n ty e a r s ，an e wk i n do fd e t e c t i o nm e t h o d ，w h i c hb a s e d o nt h ep h a s ei n f o r m a tio no ft h ep i x e l ，isd e v e l o p e d w en e e dh y p o t h e s i z e n o t h i n ga b o u ti m a g e si na d v a n c e ，t h ee d g ei se a s yt of i n di nf r e q u e n c y d o m a i n 。i t sar e l t a b l em e t h o d i nc h a p t e r o n e ，w eg i v e a no v e r v i e wo ft h ei m a g ee d g e a n di n c h a p t e rt w o ，s o m ec l a s s i cd e t e c t i o na l g o r i t h m sa r e i n t r o d u c e d t h e c a u s eo fp o s i t i o n a le r r o ri sa n a l y z e d ，a n dt h e nd i s c u s s e dam o r e p r e c i s i o nm e t h o di ne d g eo r i e n t a t jo n i nc h a p t e rt h r e e ，w a v e l e tt h e o r y i si n t r o d u c e d t h ed e t e c t i o nm e t h o d sb a s e do n s a m p l i n g w a v e l e t t r a n s f o r m ，w h i c hc a ne x t r a c tm a i me d g eo ft h ei m a g ee f f e c t i v e l y ，a n d n o n s a m p l i n gw a v e l e tt r a n s f o r m ，w h i c hc a nr e m a i nt h eo p t i m u ms p a t i a l i n f o r m a t i o n ，a r er e c o m m e n d e dr e s p e c t i v e l y i nt h el a s tc h a p t e r o ft h i s t h e s i s ，t h ea l g o r i t h mb a s e do np h a s ei n f o r m a t i o ni si n t r o d u c e d u s i n g t h el o gg a b o rw a v e l e t ，t w o d i m e n s i o nf i i t e ri sc o n s t r u c t e d ，m a n yk i n d s o fe d g e sa r ed e t e c t e d ，i n c l u d i n gm a c hb a n d ，w h i c hi n d i c a r e si t i sa o u t s t a n d i n ga n db i o - s i m u l a t i o nm e t h o d m a ya 1 1t h ew o r ki nt h i sp a p e ri so fs o m ev a l u et or e s e a r c ha n d 1 i 电子科技大学硕士论文 a p p l i c a t i o n so fi m a g ee d g e d e t e c t i o n k e y w o r d s ：e d g ed e t e c t i o n ，i m a g ep r o c e s s i n g ，e r r o ra n a l y s i s ，m a i n e d g e ，p h a s ec o n g r u e n c y i l l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得电子科技大学或其它教 育机构的学位或证书丽使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 签名：日期：2 0 0 5 年惦月1 2 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查瓣和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、忙编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名： 导师签名：j 、4 主l 日期：2 0 0 5 年0 5 月1 2 日 电子科技大学硕士论文 第一章绪 1 1 图像边缘检测概论 论 图像边缘是图像最基本的特征之一，往往携带着一幅图像的大部 分信息。而边缘存在于图像的不规则结构和不平稳现象中，也即存在 于信号的突变点处，这些点给出了图像轮廓的位置，这些轮廓常常是 我们在图像处理时所需要的非常重要的一些特征条件，这就需要我们 对一幅图像检测并提取出它的边缘。而边缘检测算法则是图像处理问 题中经典技术难题之一，它的解决对于我们进行高层次的特征描述、 识别和理解等有着重大的影响；又由于边缘检测在许多方面都有着非 常重要的使用价值，所以人们一直在致力于研究和解决如何构造出具 有良好性质及好的效果的边缘检测算子的问题。 在通常情况下，我们可以将信号中的奇异点和突交点认为是图像 中的边缘点，其附近灰度的变化情况可从它相邻像素灰度分布的梯度 来反映。根据这一特点，我们提出了多种边缘检测算子：如r o b e r t 算子、s o b e l 算子、p r e w i t t 算子、l a p l a c e 算子等。这些方法多是 以待处理像素为中心的邻域作为进行灰度分析的基础，实现对图像边 缘的提取并已经取得了较好的处理效果。但这类方法同时也存在有边 缘像素宽、噪声干扰较严重等缺点，即使采用些辅助的方法加以去 噪，也相应的会带来边缘模糊等难以克服的缺陷。 随着小波分析的出现，其良好的时频局部特性被广泛的应用在图 像处理和模式识别领域中，成为信号处理中常用的手段和有力的工 具。通过小波分析，可以将交织在一起的各种混合信号分解成不同频 率的块信号，而通过小波变换进行边缘检测，可以充分利用其多尺度 和多分辨率的性质，真实有效的表达图像的边缘特征。当小波变换的 尺度减小时，对图像的细节更加敏感；而当尺度增大时，图像的细节 将被滤掉，检测的边缘只是粗轮廓。该特性在模式识别中非常有用， 我们可以将此粗轮廓称为图像的主要边缘。如果能将一个图像的主要 边缘清晰完整的提取出来，这将对目标分割、识别等后续处理带来极 大的便利。 总的说来，以上方法都是基于图像的亮度信息来作的工作。在众 多科研工作者的努力下，取得了很好的效果。但是，由于图像边缘受 到光照等物理条件的影响比较大，往往使得以上诸多基于亮度的边缘 电子科技大学硕士论文 提取方法有着一个共同的缺点，那就是边缘不连续，不封闭。考虑到 相位信息在图像中的重要性以及其稳定的特点，使得利用相位信息进 行图像处理成为新的研究课题。在本文中即将介绍一种基于相位的图 像特征检测方法一一相位一致性方法。它并不是利用图像的亮度信 息，而是其相位特点，即假设图像的傅立叶分量相位最一致的点作为 特征点。它不但能检测到阶跃特征、线特征等亮度特征，而且能够检 测到由于人类视觉感知特性而产生的的马赫带现象。由于相位一致性 不需要对图像的特征类型进行任何假设，所以它具有很强的通用性。 1 2 图像边缘的定义 图像的大部分主要信息都存在于图像的边缘中，主要表现为图像 局部特征的不连续性，是图像中灰度变化比较剧烈的地方，也即我们 通常所说的信号发生奇异变化的地方。奇异信号沿边缘走向的灰度 变化剧烈，通常我们将边缘划分为阶跃状和屋顶状两种类型( 如图1 l 所示1 。阶跃边缘中两边的灰度值有明显的变化；而屋顶状边缘位于 灰度增加与减少的交界处。在数学上可利用次度的导数来刻画边缘点 的变化，对阶跃边缘、屋顶状边缘分别求其一阶、二阶导数。 图1 1 阶跃性边缘和屋顶状边缘处一阶及二阶导数变化规律 ( 其中第一排为理想信号，第二排对应实际信号) 2 一 皋牟 电子科技大学硕士论文 对一个边缘来说，有可能同时具有阶跃和线条边缘特性例如在 一个表面上，由一个平面变化到法线方向不同的另一个平面就会产生 阶跃边缘；如果这一表面具有镜面反射特性且两平面形成的棱角比较 圆滑，则当棱角圆滑表面的法线经过镜面反射角时，由于镜面反射分 量，在棱角圆滑表面上会产生明亮光条，这样的边缘看起来象在阶跃 边缘上叠加了一个线条边缘由于边缘可能与场景中物体的重要特征 对应，所以它是很重要的图像特征。比如，一个物体的轮廓通常产生 阶跃边缘，因为物体的图像强度不同于背景的图像强度。 1 3 论文选题的理论意义 论文选题来源于在图像工程中占有重要的地位和作用的实际应 用课题。所谓图像工程学科是指将数学、光学等基础学科的原理，结 合在图像应用中积累的技术经验而发展起来的学科。图像工程的内容 非常丰富，根据抽象程度和研究方法等的不同分为三个层次：图像处 理，图像分析和图像理解。如图1 2 所示，在图中，图像分割处于图 像分析与图像处理之间，其含义是，图像分割是从图像处理进到图像 分析的关键步骤，也是进一步理解图像的基础。 图1 2图像分割在图像工程中的地位和作用 图像分割对特征有重要影响。图像分割及基于分割的目标表达、 特征提取和参数测量等将原始图像转化为更抽象更紧凑的形式，使得 更高层的图像分析和理解成为可能。而边缘检测是图像分割的核心内 容，所以边缘检测在图像工程中占有重要的地位和作用。因此边缘检 测的研究一直是图像技术研究中热点和焦点，而且人们对其的关注和 投入不断提高。 1 4 本文主要工作 1 、介绍和分析了经典的图像边缘检测算法，总结了各个算 法的优缺点，给出了图像边缘的检测结果，并着重以l o g 算法为 例，从噪声和边缘形态的观点出发分析了边缘定位误差产生的原 电子科技大学硕士论文 因；介绍了种l o g 算法中比较精确的确定边缘的方法。 2 、研究了小波的基本理论，总结了信号以及噪声的l i p 指 数的性质，并在基于非抽样小波变换的图像特征提取算法的基础 上，结合自适应的去噪方法，对该方法作出了一定的改进，取得 了比较满意的效果，去噪能力有了比较大的提高；接着介绍了一 种基于抽样小波检测图像主要边缘的方法。 3 、系统研究了一种比较新颖的基于相位的图像特征提取算 法一一相位一致性算法，并给出了其简便算法。给出了在一维情 况下的算法仿真步骤，分析了扩展到二维方法，并由边缘检测结 果说明了相位一致性算法更符合人类视觉的特征。 1 5 本文内容安捧 在第一章，作者对图像边缘检测作了一个概要的说明，并说明了 进行图像边缘检测的重要意义。 第二章中，系统介绍了比较经典的图像边缘检测算予及其具体的 实现原理，由边缘检测的结果分析了各个算法存在的不足。最后，从 噪声影响和边缘的形态入手，以l o g 算法为例，分析了虚假边缘以 及边缘移位产生的原因。最后介绍了一种l o g 算法中比较精确的确 定边缘的方法。 第三章中，作者系统介绍了目前比较流行的小波理论，并着重介 绍了多尺度的概念和信号的l i p 指数，并由噪声和信号l i p 指数的特 点，在非抽样小波变换的基础上对图像的边缘进行提取。为了加强边 缘图像的抗噪能力，还对此算法进行了一定的改进，将自适应的去噪 方法用到了边缘提取中，取得了令人满意的效果。最后还介绍一种基 于抽样小波检测图像主要边缘的方法。 在本文的第四章，介绍了一种比较新颖的基于相位的图像特征提 取算法一一相位致性算法。从一维的算法介绍入手，给出了一维信 号下的仿真结果，并逐步扩展到二维。通过仿真结果说明了此算法的 鲁棒性比较强，而且符合人类的视觉系统特性。 电子科技大学硕士论文 第二章经典图像边缘检测算法 本章首先在2 ，l 节简单介绍了经典一阶边缘检测的基本方法。然 后的2 2 节和2 3 节分别具体阐述了经典微分算子和线性滤波算子的 实现方法，并在2 4 节给出了各种算法的结果比较。在2 5 节，比较 具体的分析了噪声和边缘形态对边缘定位精度的影响以及伪边缘产 生的原因，并给出了维情况下的仿真结果，得出了结论。在2 6 节 中，利用l o g 算法检出的图像的正负边缘，比较精确的定位出了图 像的真实边缘，最后输出的是二值单像素图像。 2 1 经典边缘检谢的基本方法 我们知道，边缘检测的实质是采用某种算法来提取出图像中对象 与背景间的交界线。我们将边缘定义为图像中灰度发生急剧变化的区 域边界。图像灰度的变化情况可以用图像灰度分布的梯度来反映，因 此我们可以用局部图像微分技术来获得边缘检测算子。 边缘检测算法有如下四个步骤( 其过程如图2 1 所示) ： 图2 - 1图像边缘检测流程 滤波：边缘检测算法主要是基于图像强度的一阶和二阶导数，但导数的计算 对噪声很敏感，因此必须使用滤波器来改善与噪声有关的边缘检测器的性能。需 要指出，大多数滤波器在降低噪声的同时也导致了边缘强度的损失，因此，增强 边缘和降低嗓声之间需要折衷。 增强：增强边缘的基础是确定图像各点邻域强度的变化值。增强 算法可以将邻域( 或局部) 强度值有显著变化的点突显出来。边缘增 强一般是通过计算梯度幅值来完成的。 检测：在图像中有许多点的梯度幅值比较大，而这些点在特定的 应用领域中并不都是边缘，所以应该用某种方法来确定哪些点是边缘 点。最简单的边缘检测判据是梯度幅值阈值判据。 定位：如果某一应用场合要求确定边缘位置，则边缘的位置可在 子像素分辨率上来估计，边缘的方位也可以被估计出来。 在边缘检测算法中，前三个步骤用得十分普遍。这是因为大多 电子科技大学硕士论文 数场合下，仅仅需要边缘检测器指出边缘出现在图像某一像素点的附 近，而没有必要指出边缘的精确位置或方向。边缘检测误差通常是指 边缘误分类误差，即把假边缘判别成边缘而保留，而把真边缘判别成 假边缘而去掉。边缘估计误差是用概率统计模型来描述边缘的位置和 们的计算方法完全不同，其误差模型也完全不同。 边缘检测是检测图像局部显著变化的最基本运算在一维情况 下，阶跃边缘同图像的一阶导数局部峰值有关梯度是函数变化的一 此，同一维情况类似，图像灰度值的显著变化可用梯度的离散逼近函 数来检测梯度是一阶导数的二维等效式，定义为向量 川= 阱圈 仁， 有两个重要的性质与梯度有关：( 1 ) 向量g ( x ，y ) 的方向就是函数 f ( x ，y ) 增大时的最大变化率方向；( 2 ) 梯度的幅值由下式给出： i g ( x ，y ) i = + g ，2 ( 2 1 2 ) 在实际应用中，通常用绝对值来近似梯度幅值： i g ( x ，y ) i = i g ，h g ，l ( 2 1 3 ) i g ( x ，y ) i m a x ( 1 q 炉，i ) ( 2 1 4 ) a ( x ，y ) = a r c t a n ( g ，g ，)( 2 1 5 ) 注意梯度的幅值实际上与边缘的方向无关，这样的算子称为各 向同性算子( i s o t r o p i co p e r a t o r s ) 对于数字图像，方程2 1 的导数可用差分来近似最简单的梯度 q = f i ，j + 1 卜f i ，j g 。：f i ，月一f i + 1 ，刀 ( 2 1 _ 6 ) 请注意，对应于x 轴方向，而i 对应于负y 轴方向。这些计算可用 下面的简单卷积模板来完成： 电子科技大学硕士论文 g x = 田q2 崮 亿、 在计算梯度时，计算空间同一位置x 和y 处的真实偏导数是至关 重要的。然而采用上面公式计算的梯度近似值g ，和g 。并不位于同一 位置，q 实际上是内插点f f ，+ 1 2 处的梯度近似值，g 。是内插点 【i 十1 1 2 ，j 】处的梯度近似值由于这个缘故，人们常常使用2 x 2 一阶差 分模板( 而不用1 x 2 或2 x 1 模板) 来求x 和y 的偏导数： g z = 团q = 团 用上式计算x 和y 方向梯度的位置是相同的，这一点位于内插 点 ，+ 】2 ，j 十1 2 处，即在2 x 2 邻域的所有四个像素点之间。 根据以上基本理论，在最近的二十年里发展了许多边缘检测器， 下面将讨论常用的几种边缘检测器0 8 , 3 9 1 。 2 2 经典的边缘检测算子 2 2 1 差分边缘检测 当我们处理数字图像的离散域时，可用图像的阶差分直接代替 图像函数的导数。二维离散图像函数在x 方向的一阶差分定义为： f ( x + 1 ，y ) 一f ( x ，y ) ( 2 2 1 ) y 方向上的一阶差分定义为： f ( x ，y + 1 ) 一f ( x ，y ) ( 2 2 2 ) 利用图像灰度的一阶导数算子在灰度迅速变化处得到的极值来 进行奇异点的检测。它在某一点的值就代表该点的“边缘强度”，可 以通过对这些值设置阈值来进一步得到边缘图像。但是，用差分检测 边缘必须使差分的方向与边缘方向垂直，这就需要对图像的不同方向 进行差分运算，增加了实际运算的繁琐性。般可以分为垂直边缘、 水平边缘、对角线边缘检测： 电子科技大学硕士论文 2 2 2r o b e r t s 算子 由r o b e r t s 提出的算子是一种利用局部差分算子寻找边缘的算子， 它在2 2 邻域上计算对角导数， a i ，j 】= ( ，【f ，j - f i + l ，+ 1 】) 2 + ( ，【f + 1 ， 一， f ，j + 1 】) 2( 2 2 3 ) g 陋j 】又称为r o b e r t s 交叉算子。在实际应用中，为简化运算，用梯度函 数的r o b e r t s 绝对值来近似： 6 ，刀= 1 月f ，歹 一巾+ 1 ，歹+ 1 】+ 1 巾+ 1 ，刀一以f ，j + 1 1 ( 2 2 4 ) 用卷积模板，上式变成： a i ，j 】- l g ，h g y l ( 2 2 ) 其中g 。和g ，由下面的模板计算： 口口 图2 - 2r o b e r r 边缘检测算子 差分值将在内插点处计算。r o b e r t s 算子是该点连续梯度的近似 值，而不是所预期的点处的近似值。由上面两个卷积算子对图像运算 后，代入( 2 9 ) 式，可求得图像的梯度幅度值g i ，j 】，然后选取适当的 门限t h ，作如下判断：g i ，j 删， f ，】为阶跃状边缘点， g i ，刀 为一个二值图像，也就是图像的边缘。 2 2 3s o b e l 算予 考虑到采用3 x3 邻域可以避免在像素之间内插点上计算梯度，设 计出下图2 - 4 中所示的点【f ，力周围点的排列。s o b e l 算子即是如此排 电子科技大学硕士论文 夕u 的一种梯厦幅值， g i ，】= 厨 ( 2 2 6 ) 其中 殴= f x + l ，y 一1 + 2 f x + 1 ，y 】+ 厂【j 十1 ，y 十1 】) 一 f x - 1 ，y 一1 + 2 f x - 1 ，y + f x - 1 ，y + l 】 j ，= ，【x 一1 ，y + 1 】+ 2 以x ，y + 1 】+ 门x + 】，y + l j 一 f x - 1 ，y - l l + 2 f x ，y - l l + f x + l ，y 一1 ) ( 227 ) 其中的偏导数用下式计算( 如图2 - 4 ) ： j ，= ( a 2 + c a 3 + a 4 ) 一( a o + c a 7 + a 6 ) s ，= ( a o + c o l + 口2 ) 一( d 6 + c a 5 + 0 4 ) 其中常数c ；2 和其他的梯度算子一样，屯和s y 可用卷积模板来实现 1- 2- 1 o00 l21 121 o00 12l ( 2 2 8 ) 圈2 - 3s o b e l 边缘检测算子 请注意这一算子把重点放在接近于模板中心的像素点。s o b e l 算 子是边缘检测器中最常用的算子之一。 口0qd 2 d ， i ，j 吗 口6吒 吼 图2 4 用于说明s o b e l 算子和p r e w i t t 算子的邻域像素点标记 s o b e l 算予很容易在空间上实现，s o b e l 边缘检测器不但产生较好 9 电子科技大学硕士论文 的边缘检测效果，同时，因为s o b e l 算子引入了局部平均，使其受噪 声的影响也比较小。当使用大的邻域时，抗噪声特性会更好，但是这 样做会增加计算量，并且得到的边缘也较粗。 s o b e ! 算子利用像素点上下、左右相邻点的灰度加权算法，根据 在边缘点处达到极值这一现象进行边缘检测。因此s o b e l 算子对噪声 具有平滑作用，提供较为精确的边缘方向信息，但是，正是由于局部 平均的影响，它同时也会检测出许多伪边缘，且边缘定位精度不够高。 所以，当对精度要求不是很高时，这是一种较为常用的边缘检测方法。 2 2 4p r e w i t t 算子 p r e w i t t 算子与s o b e l 算子的方程完全一样，只是常量e = l 。所以 其卷积模板为 一111 0o0 ll1 101 101 - lo1 ( ! 。1 2 11 ， g 二1 = ；，1 g ： ( i 子- 1 ； 2 方向 r 一1 11 、r 一1 f 一1 _ 2 1 ff 一1 l1 1 1 jl l 6 方向 i 1 匪11 ： 7 方向8 方向 i 句 匈加。之，蒯 i 电子科技大学硕士论文 图2 4p r w i t t 边缘检测算子模板 八个算子样板对应的边缘方向如下图所示： 2 方向1 方向8 方向 中心 3 方向7 方向 点 4 方向5 方向6 方向 图2 - 5 八个算子样板对应的边缘方向 2 3 线性滤波边缘检测方法 前面讨论了一些比较经典的算子，它们都是计算一阶导数的边缘 检测器。其基本思想都是：如果所求的一阶导数高于某一阈值，则确 定该点为边缘点。但是这样做会导致检测的边缘点太多。一种更好的 方法就是求梯度局部最大值对应的点，并认定它们是边缘点，如图 2 - 6 所示。在图2 - 6 中，若用闽值来进行边缘检测，则在a 和b 之间 的所有点都被记为边缘点。 。，il ，一 4 r ，l ：j ，： ? ， ； 一f r t 一一7 ； ； 一竺乏鞲 图2 - 6 用阈值进行边缘检测和用= 阶导数的零交点进行边缘检测示意图 所以，总的来说，造成经典边缘算子不能准确判定边缘的存在及 正确位置的原因在与： l 、实际的边缘灰度与理想的边缘灰度值间存在差异，这类算 子可能检测出多个边缘 2 、边缘存在的尺度范围各不相同，这类算子固定的大小不利 于检测出不同尺度上的所有边缘 电子科技大学硕士论文 3 、 对噪声比较敏感 为了解决这一问题，发展并产生了平滑滤波边缘检测方法，也就 是边缘检测中理论最成熟的线性滤波方法，也称线性边缘检测算子。 在线性滤波边缘检测方法中，最具代表性的是m a r t h i l d r e t h 提出的 l o g ( l a p l a c i a no fg a u s s i a n ，l o g ) 算法、c a n n y 最优算子及m a l l a t 等提出的小波边缘检测方法。其中小波边缘检测方法将在下一章中具 体叙述。 在这里，我们先解释一下基于二阶导数的两个算子做为预备知 识。 2 3 1 二阶微分算子 我们知道，一阶导数的局部最大值对应着二阶导数的零交点。这 意味着在边缘点处有一阶导数的峰值，同样地，有二阶导数的零交叉 点。这样，通过找图像灰度的二阶导数的零交叉点就能找到边缘点。 在二维空间，对应二阶导数有两种算子：拉普拉斯算子和= 阶方 向导数。 拉普拉斯算子 拉普拉斯算子是二阶导数的二维等效式。函数f ( x ，_ y ) 的拉普拉斯 算子公式为： v 2 ，= 雾+ 等y o x 。o 使用差分方程对x 和y 方向上的二阶偏导数近似如下： 铲 8 g l 万2 百 ( 2 3 1 ) o ( f i ，+ l 卜f i ，川 o x( 2 3 2 ) 矛， f ，- ，+ 1 8 f i ，j 】 一。一 8 x8 x = ( f i ，j + 2 卜2 f i ，j + 1 1 ) + f i ，_ ，】 这一近似式是以点【f ，j + l 】为中心的。 万8 2 f = ( ，【f ，j + 1 】一2 巾，皿+ 巾，一】 用，一1 替换，得到 它是以点 i ，力为中心的二阶偏导数的理想近似式，类似地， 电子科技大学硕士论文 等圳川- 2 ， f 如坝f - 1 明 把这两个式子合并为个算子，就成为下面能用来近似拉普拉斯 算子的模板： 叽匮 有时希望邻域中心点具有更大的权值，比如下面的模板就是一种 基于这种思想的近似拉普拉斯算子： 当拉普拉斯算子输出出现过零点时就表明有边缘存在，其中忽略 无意义的过零点( 均匀零区) 。原则上，过零点的位置精度可以通过线 性内插方法精确到子像素分辨率，不过由于噪声，以及由噪声引起的 边缘两端的不对称性，结果可能不会很精确。具体情形将在本章的最 后作为专题论述。 考虑图2 7 中所给的例子。图中表明了对一幅具有简单阶跃边缘 的图像进行拉普拉斯运算的结果。输出图像中的一行是： 口亚巫卫互田 在本例中，对应于原始图像边缘的零交叉点位于两个中心像素点 之间。因此，边缘可以用其左边的像素或右边的像素来标记，但整幅 图像的标记必须一致。在多数情况下，零交叉点很少恰好在两像素点 中间，因此边缘的实际位置要通过内插值来确定。 2222288888 2222288888 2222288888 2222 288888 2222288 888 2222288888 一幅包含垂直阶跃边缘的图像 n_刊 0 4 2 4 电子科技大学硕士论文 000o66 oo00 0o0o66 0o00 o0o066o00o oo00660000 000066o000 0000660 000 图2 - 7 垂直方向的阶跃边缘拉普拉斯响应 现在考虑一下图2 8 所示的例子。该图给出了拉普拉斯算法对斜 坡边缘的响应，其中的一行输出是： 口丑亚工工皿 零交叉点直接对应着图像中的一个像素点。当然，这是一种理想 情况，图像边缘的实际情况要比这个复杂的多。 222225 8888 2222258888 2222258888 2222258888 2222258888 2222258888 一幅包含垂直斜坡边缘的图像 _ 0o0o303000 000o30300o 0o0030- 30o0 0ooo3030o0 00o030- 3oo0 0ooo303oo0 图2 - 8 垂直方向的斜坡边缘拉普拉斯响应 拉普拉斯算子有两个缺点：其一是边缘方向信息的丢失，其二是 它是二阶差分，双倍加强了图像中噪声影响。所以，后来才有人提出 了改进的l o g 算法。 二阶方向导数 已知图像f ( x ，y ) ，其曰( 与y 轴夹角) 方向的方向导数在( x ，y ) 点 的值为： 1 4 电子科技大学硕士论文 o f ：重型越s i n 0 + 重堑业c o s 口 a 曰舐 砂 其二阶方向导数为： a 2 。f ：a 2 f ( x , y ) s i n 2 8 + 2 翌：丝s i n o c o s 0 + a 2 f ( x y ) c o s 2 口 a口。aa埔v a y 一 可表示为： a 2 ，f a ，1 2 a 2 ，o fo f a 2 ，f 可1 2 芝：生：! 堡堡复壁垒塑：! 型( 2 3 9 ) 一 ， o 0 2 r 矽 2 f 丫 l 出l 砂j 但是拉普拉斯的二阶方向导数算子在图像边缘检测中并不常用。 因为任何包含有二阶导数的算子比只包含有一阶导数的算子更易受 噪声的影响。甚至一阶导数很小的局部峰值也能导致二阶导数过零 点。为了避免噪声的影响，必须采用特别有效的滤波方法。这就是我 们将在下一节讨论的高斯滤波与二阶导数相结合的边缘检测方法。 2 3 2l o g 算法 正如上面所提到的，利用图像强度二阶导数的零交叉点来求边 缘点的算法对噪声十分敏感。所以，希望在边缘增强前滤除噪声。为 此，m a r r 和h i l d r e t h ”。将高斯滤波和拉普拉斯边缘检测结合在一起， 形成l o g ( l a p l a c i a l lo fg a u s s i a n ，l o g ) 算法，也有人称之为拉普 拉斯高斯算法。 l o g 算法理论是从生物视觉理论导出的方法。其基本思想是：首 先在一定范围内做平滑滤波，然后利用差分算子检测在相应尺度上的 边缘。滤波器的选择取决于两个因素，一是要求滤波器在空间上平稳， 空间位置误差缸要小，二是要求平滑滤波器本身是带通滤波器，在 其有限带通内是平稳的，即要求频域误差a o j 要小。由信号处理中的 测不准原理知，血与是矛盾的，达到测不准下限的滤波器是高斯 滤波嚣。m a r r 和h i ld r e t h 提出的差分算予是各向同性的拉普拉斯二 阶差分算子。 l o g 边缘检测器的基本特征是 1 、平滑滤波器是高斯滤波器 2 、增强步骤采用二阶导数( 二维拉普拉斯函数) 电子科技大学硕士论文 3 、 边缘检测判据是二阶导数零交叉点并对应一阶导数的较 大峰值 这种方法的特点是图像首先与高斯滤波器进行卷积，这一步既 平滑了图像又降低了噪声，孤立的噪声点和较小的结构组织将被滤 除。由于平滑会导致边缘的延展，因此边缘检测器只考虑那些具有局 部梯度最大值的点为边缘点，这一点可以用二阶导数的零交叉点来实 现。拉普拉斯函数用作二维二阶导数的近似，是因为它是一种无方向 算子。为了避免检测出非显著边缘，应选择一阶导数大于某闽值的 零交叉点作为边缘点。 l o g 算子的输出h ( x ，y ) 是通过卷积运算得到的： h ( x ，y ) = v 2 g ( x ，y ) 厂( x ，y ) 】 根据卷积求导法有： h ( x ，y ) = 【v 2 9 ( x ，y ) 】厂( x ，y ) 其中： v z 如，y ) ：f ，生冬堡 8 等 ( 2 3 1 2 ) 仃 称之为墨西哥草帽算子( 见图2 - 9 ) 。 由以上分析知，下面两种方法在数学上是等价的： 1 、求图像与高斯滤波器卷积，再求卷积的拉普拉斯变换 2 、求高斯滤波器的拉普拉斯变换，再求与图像的卷积 图2 - 9 墨西哥草帽算子剖面图和立体图，盯= l 如果采用第一种方法，就要用到高斯平滑滤波器。直接实现l o g 算法的典型模板见图2 1 0 。 滤波( 通常是平滑) 、增强、检测这三个边缘检测步骤对使用l o g 边缘检测仍然成立，其中平滑是用高斯滤波器来完成的；增强是将边 缘转换成零交叉点来实现的；边缘检测则是通过检测零交叉点来进行 的。 电子科技大学硕士论文 可以看到，零交叉点的斜率依赖于图像强度在穿过边缘时的变 化对比度。剩下的问题是把那些由不同尺度算子检测到的边缘组合起 来。在上述方法中，边缘是在特定的分辨下得到的为了从图像中得 到真正的边缘，有必要把那些通过不同尺度算子得到的信息组合起 来。 00100 0一i一21o l一21 621 o一】 一2 一】o o0一loo 图2 1 0 典型拉普拉斯高斯模板 这里介绍一下尺度空间概念。高斯平滑运算导致图像中边缘和 其它尖锐不连续部分的模糊，其中模糊量取决于盯的值。仃值越大， 噪声滤波效果越好，但同时也丢失了重要的边缘信息，影响了边缘检 测器的性能。如果用小尺度的滤波器，又有可能平滑不完全而留有太 多的的噪声。大尺度滤波器在平滑相互邻近的两个边缘时，可能会将 它们连在一起，这样只能检测出一个边缘。因此，在不知道物体尺度 和位置的情况下，很难准确确定滤波器的尺度。 使用多尺度滤波模板并在滤波器的不同尺度上分析边缘特性的 方法仍在研究中。这些方法的基本思想是，通过使用大尺度滤波模板 产生鲁棒边缘和小尺度滤波模板产生精确定位边缘的特性，来检测出 图像的最佳边缘。关于多尺度图像边缘检测的问题，我们将在下一章 中详细讲述。 2 3 3c a n n y 边缘检测器 c a n n y 检测阶跃边缘的基本思想是在图像中找出具有局部最大 梯度幅值的像素点。检测阶跃边缘的大部分工作集中在寻找能够用于 实际图像的梯度数字逼近。由于实际的图像经过了摄像机光学系统和 电路系统( 带宽限制) 固有的低通滤波器的平滑，因此，图像中的阶 跃边缘不是十分陡立。图像也受到摄像机噪声和场景中不希望的细节 的干扰。图像梯度逼近必须满足两个要求：( 1 ) 逼近必须能够抑制噪 声效应，( 2 ) 必须尽量精确地确定边缘的位置。抑制噪声和边缘精确 电子科技大学硕士论文 定位是无法同时得到满足的，也就是说，边缘检测算法通过图像平滑 算子去除了噪声，但却增加了边缘定位的不确定性；反过来，若提高 边缘检测算子对边缘的敏感性，同时也提高了对噪声的敏感性。有一 种线性算子可以在抗噪声干扰和精确定位之间提供最佳折衷方案，它 就是高斯函数的一阶导数。 c a n n y 根据检测的要求，定义了下面三个最优准则： l 、最优检测。对真实边缘不漏检，非边缘点不错检，即要求 输出信噪比最大 2 、最优检测精度。检测的边缘点的位置距实际的边缘点的位 置最近 3 、检测点与边缘点一一对应。每一个实际存在的边缘点和检 测的边缘点是一一对应的关系 c a n n y 首次将上述判据用是数学的形式表示出来，然后采用最优 化数值方法，得到最佳边缘检测模板。对于二维图像，需要使用若 干方向的模板分别对图像进行卷积处理，再取最可能的边缘方向。 现在我们对c a n n y 边缘检测器作一概括说明。用厂瞳刀表示图 像。使用可分离滤波方法求图像与高斯平滑滤波器卷积，得到的结果 是一个已平滑数据阵列 s i ，月= g i ，；仃】 f i ，j 】 ( 2 3 1 3 ) 其中o i ，j ；o 】代表一个高斯滤波的过程，而盯是高斯函数的标准 差，它控制着平滑程度。 已平滑数据阵列s i ，j 】的梯度可以使用2 2 一阶有限差分近似 式来计算x 与y 偏导数的两个阵列p i ，j 】与q 【j 】： p i i ，】z ( 研，+ l 】一s i i , j 】+ s ，+ 1 ，+ 1 1 一s i + l ，j ) 2 q i ，_ ，】“( s i ，j - s i + l ，歹】+ s 【f ，+ 1 一s i + i ，j + 1 ) 2 在这个2 2 正方形内求有限差分的均值，以便在图像中的同一点 计算x 和y 的偏导数梯度。幅值和方位角可用直角坐标到极坐标的坐 标转化公式来计算： m i ，小沥历丽 研f ，j 】= a r c t a n ( q i ，门p 【f ，力) 其中，反正切函数包含了两个参量，它表示一个角度，其取值 范围是整个圆周范围内。为高效率地计算这些函数，尽量不用浮点运 电子科技大学硕士论文 算。梯度的幅度和方向也可以通过查找表由偏导数计算。反正切函数 的大多数计算使用的是定点运算，很少的几个计算是基本浮点运算， 其中的浮点运算是由整数和定点算术通过软件实现的。 在上式中，m l f ，州反映了图像上的点 f ，门处的边缘强度，口【f ，力是 图像点k ，1 的法向矢量，正交于边缘方向。根据c a n n y 的定义，中心 边缘点为算子a i ，；盯】与图像【f ，j 的卷积在边缘梯度方向上的最大 值，这样就可以在每一个点的梯度方向上判断此点强度是否为其邻域 的最大值来确定该点是否为边缘点。当一个像素满足下面三个条件 时，则被认为是图像的边缘点： l 、该点的边缘强度大于沿该点梯度方向的两个相邻像素点 的边缘强度 2 、与该点梯度方向上相邻两点的方向差小于石4 3 、以该点为中心的3 x 3