（光学工程专业论文）光子晶体中复能带结构的研究.pdf

山东大学博士学位论文 摘要 近二十年来，“光子晶体”引起了越来越多人的注意。光子晶体的概念是在1 9 8 7 年由e y a b l o n o v i t c h 和s j o h n 同时提出的，它是一种介电常数周期性分布的人工 “带隙”材料。与固体理论中研究的半导体类似，光子晶体被称为“光子”的半 导体。它最突出的特点是具有“光子带隙”，频率处于光子带隙中的电磁波是禁止 传播的。在光子晶体中精心设计缺陷可以在光子带隙中引入“缺陷态”，而这些缺 陷态使光子晶体具有更加丰富的应用，如光子晶体光纤、微谐振腔等。另外，光 子晶体也可以作为光子的导体。某些特殊结构的光子晶体在特定的频率范围内具 有异常色散特性，如超棱镜效应、负折射现象等。总之，光予晶体使成功地控制 光子成为可能，将为光集成的实现铺平道路。 用来描述光子晶体特性的主要手段有两个，一个是能带结构，另一个是复能 带结构。与传统半导体中电子的能带结构类似，光子晶体中光子的能带结构给出 了光子晶体中传播模的色散关系。通过光子晶体的能带结构，我们可以知道光子 带隙的频率范围，但不知道光子带隙中消散模的任何信息，如衰减系数等。传统 的平面波展开法是用于计算光子晶体能带结构的最经典的方法，由于它基于“无 限”、“周期性”的假设，通过它不能得到关于光子晶体中消散模的任何信息，所 以不能用于解释半无限和有限光子晶体中光的传输特性。光子晶体的复能带结构 可以看作能带结构的扩展，它除了给出光子晶体中传播模的色散关系外，还给出 了光子带隙中消散模的衰减系数。由于它的本征模既包含传播模又包含消散模， 所以能够用于半无限和有限厚度光子晶体的研究。 本论文的主要目的是给出一种计算光子晶体复能带结构方法，并系统地讨论 它在半无限和有限厚度光子晶体中的应用。论文的主要内容如下： 1 在论文的第一章对光子晶体的研究进展做了简单介绍。 介绍了光子晶体的概念、制备及应用、常用研究方法等。 2 在论文的第二章详细描述了本论文中用到的两种方法，即平面波展开法和基于 平面波的传输矩阵法。 在复能带结构的计算中，我们用平面波展开法来验证我们得到的复能带结构 山东大学博士学位论文 中传播模的色散关系是否正确，用基于平面波的传输矩阵法来验证复能带结构中 衰减系数的正确性。在第五章中，用基于平面波的传输矩阵法来验证复能带结构 的本征模在有限厚度光子晶体中的应用是否正确。我们用m a t l a b 语言对这两种方 法进行了编程，用文献上的数据证明了程序的正确性。 3 在论文的第三章中我们提出了一种基于平面波的用于光子晶体复能带结构计 算的方法。 从m a x w e l l 方程组出发，推导出了二维光子晶体t e 模和t m 模的复能带结构 的本征方程。分析了本征方程的特点，指出该本征方程除了可以得到光子晶体的 复能带结构之处还有一些其它的优点，如可以计算色散材料构成的光子晶体的复 能带结构及有利于计算某一特定频率的等频线等。计算了二维光子晶体( 包含正方 晶格结构和三角晶格结构) 的复能带结构，提出采用坐标变换的方法来解决计算沿 r m 方向复能带结构遇到的困难。用平面波展开法和基于平面波的传输矩阵法验 证了计算得到的复能带结构。我们还以二维正方晶格结构光子晶体为例，计算了 光子晶体中特定频率的等频线，分析了复能带结构本征方程的收敛特性。我们还 推导出了三维光子晶体复能带结构的本征方程。以空气中的介质球形成的简立方 晶格结构三维光子晶体为例，计算了三维光子晶体的复能带结构，并用平面波展 开法和基于平面波的传输矩阵法验证了复能带结构的正确性。 4 在论文的第四章中我们用复能带结构本征方程的本征模对半无限光子晶体中 光的传输进行了分析。 我们利用传播模的群速度对光子晶体界面处的折射现象进行了分析，并用 n o t o m i 提出的等频面( 线) 法和有限时域差分法( f d t d ) 进行了验证。我们发现利用 传播模的群速度可以很方便地研究光子晶体中的异常色散现象。相对于n o t o m i 的 方法和f d t d ，该方法更容易获得规律性的结论。 我们用复能带结构本征方程的本征模给出了光子晶体界面处的边界条件，并 利用它对电磁波穿过半无限光子晶体界面的传输谱进行了分析。我们分析的半无 限光子晶体系统有两种，一种由均匀介质和半无限光子晶体构成，另一种由两种 不同的半无限光子晶体构成。我们将计算结果与文献中的数据进行了比较，证明 了数据的正确性。对于由均匀介质和半无限光子晶体构成的系统，我们还给出了 一种“单模近似模型”来计算光从均匀介质中入射时的反射系数及反射光相对于 入射光的相位变化。 山东大学博士学位论文 5 在论文的第五章我们用复能带结构本征方程的本征模对有限厚度光子晶体中 光的传输进行了分析。 在由本征模表示的边界条件的基础上，给出了用于单层有限厚度光子晶体的 传输矩阵。我们针对三种结构讨论了电磁波穿过单层光子晶体时的传输谱，第一 种是单层光子晶体的两侧为均匀介质的结构，第二种是单层光子晶体的一侧为均 匀介质而另一侧为半无限光子晶体的结构，第三种是单层光子晶体的两侧均为不 同的半无限光子晶体的结构。我们将计算结果与基于平面波的传输矩阵法得到的 结果进行了比较，证明了该传输矩阵法的正确性。 在单层有限厚度光子晶体传输矩阵的基础上，给出了用于多层有限厚度光子 晶体的传输矩阵法。用该传输矩阵法计算了电磁波穿过多层有限厚度光子晶体时 的传输谱，并将其与基于平面波的传输矩阵法得到的结果进行了比较，证明了该 方法的正确性。 光子晶体量子阱结构是一种特殊的光子晶体异质结结构，我们讨论了光子晶 体量子阱结构中的谐振模。对于阱层为有限厚度的量子阱结构，我们可以用多层 有限厚度光子晶体的传输矩阵法来计算其中的谐振模。当阱层为无限厚度时，我 们不得不采用另外的方法。在这里我们利用谐振模的驻波特性，推导了谐振模对 应的本征方程。利用谐振模的本征方程，对多种不同的量子阱结构中的谐振模进 行了计算与分析，并用多层有限厚度光子晶体的传输矩阵法进行了验证对于对 称的量子阱结构，我们给出了判断谐振模奇偶性的方法。对于阱层为均匀介质的 光子晶体量子阱结构，我们给出了根据反射波相对于入射波相位差来计算其谐振 模的公式，并用它对垒层为不同晶格常数光子晶体的量子阱结构中的谐振模进行 了计算。 总之，我们在本论文中给出了一种基于平面波的方法来计算光子晶体的复能 带结构，并讨论了它在半无限和有限厚度光子晶体中的应用。通过分析发现，虽 然复能带结构本征方程的得到也是基于“无限”、“周期性”的假设，但复能带结 构及其本征模包含了足够的信息来描述光在半无限或有限厚度光子晶体中的行 为。 关键词： 光子晶体：能带结构；平面波展开；传输矩阵；量子阱。 i 山东大学博士学位论文 a b s t r a c t i nt h ep a s tt w od e c a d e s ， p h o t o n i cc r y s t a l s h a v ea t t r a c t e dm o r ea n dm o r ep e o p l e s a t t e n t i o n ap h o t o n i cc r y s t a l ，p r o p o s e ds i m u l t a n e o u s l yb ye y a b l o n o v i t c ha n ds j o h n , i sa n a r t i f i c i a l b a n dg a p m a t e r i a li nw h i c ht h ed i e l e c t r i cc o n s t a n ti sa r r a n g e dp e r i o d i c a l l y a n a l o g o u st ot h es e m i c o n d u c t o r sc o n s i d e r e di ns o l i ds t a t et h e o r y , p h o t o n i cc r y s t a l sa r ec a l l e d s e m i c o n d u c t o r so fp h o t o n s ap h o t o n i cc r y s t a li sc h a r a c t e r i s t i co f p h o t o n i cb a n dg a p ，i n w h i c ht h ep r o p a g a t i o no fe l e c t r o m a g n e t i cw a v ei sh i # yp r o h i b i t e d t h ed e f e c t sm o d e sc a n b ei n t r o d u c e di n t ot h ep h o t o n i cb a n dg a pb yf a b r i c a t i n gc 掣e f u l l yd e s i g n e dd e f e c t si np e r f e c t p h o t o n i cc r y s t a l ，a n dt h e s ed e f e c t sm o d e s a r eo f m o p l e n t i f u la p p l i c a t i o n s ，s u c ha sp h o t o n i c c r y s t a lf i b e r , m i c r or e s o n a n tc a v i t ye t c a d d i t i o n a l l y , ap h o t o n i cc r y s t a lc a na c ta sac o n d u c t o r o fp h o t o n s s o m ea b n o r m a ld i s p e r s i v ep h e n o m e n ah a v eb e e nf o u n di nc e r t a i nf r e q u e n c y r a n g ei ns o m ep h o t o n i cc r y s t a l so fs p e c i a ls t r u c t l r e s ，s u c ha ss u p e rp r i s me f f e c ta n dn e g a t i v e i n d e xp h e n o m e n ae t c i naw o r d p h o t o n i cc r y s t a l sg i v eu sa p o s s i b i l i t yt os u c c e s s f u l l yc o n t r o l p h o t o n s ，a n dw i l lp a v et h er o a df o ro p t i c a li n t e g r a t i o n t h e r ea t w om a i nw a y st od e s c r i b et h ep r o p e r t yo f ap h o t o n i cc r y s t a l t h ep h o t o n i cb a n d s t r u c t u r ea n dt h e c o m p l e xp h o t o n i cb a n ds t r u c u n e a n a l o g o u st ot h eb a n ds t r u c t u r eo f e l e c t r o n si nt r a d i t i o n a ls e m i c o n d u c t o r , t h ep h o t o n 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t e m a t i c a l l y t h em a i nc o n t e n to f t h ed i s s e r t a t i o ni sg i v e nb e l o w ： 1 ab r i e fi n t r o d u c t i o na b o u tt h er e s e a r c hp r o g r e s so fp h o t o n i ec r y s t a li s g i v e ni n c h a p t e r l i nt h i sc b a p t e r , w eg i v ea 蜥c fi n t r o d u c t i o na b o u tp h o t o n i cc r y s t a l s s u c h 勰c o n c e p t , f a b r i c a t i o nm e t h o d sa n da p p l i c a t i o n s ，r e s e a r c hm e t h o d s ，e t c 2 ad e t a i l e dd e s c r i p t i o no ft w om e t h o d su s e di nm y d i s s e r t a t i o n p l a n ew a v ee x p a n s i o n m e t h o d ( p w mo rp w e m ) a n dp l a n e - w a v e - b a s e dt r a n s f e rm a t r i xm e t h o d ( t m m ) ，i s g i v e ni nc h a p t e r2 ht h ec a l c u l a t i o no fc o m p l e xp h o t o n i cb a n ds t r u c t u r e , p w mi su s e dt ov e r i f yt h e d i s p e r s i v er e l a t i o no f p r o p a g a t i n gm o d e sa n dt h ep l a n e - w a v e b a s e dt m m i su s e dt 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e - b a s e dt m m f o r2 dp h o t o n i c c r y s t a lo fs q u a r el a t t i c e , t h e v 山东大学博士学位论文 e q n i - f r e q u e n c yc u r v e sh a v e b e e nc a l c u l a t e d ，a n dt h ec o n v e r g e n c ep r o p e r t yo fp r e s e n t a p p r o a c hh a sb e e nd i s c u s s e d w eh a v ea l s od e d u c e dt h ee i g e ne q u a t i o nf o rc o m p l e xp h o t o n i c b a n ds t r u c t u r eo f 3 d p h o t o n i cc r y s t a l s , n ec o m p l e xp h o t o n i cb a n ds t r u c t u r eo f a3 dp h o t o n i c c r y s t a lo fs i m p l ec u b i cl a t t i c e ( d i e l e c t r i cs p h e r e si na i r ) h a sb e e nc a l c u l a t e da n dv e r i f i e dw i t h p w ma n dp l a n e - w a v e - b a s e dt m m 4 w eh a v ea p p l i e dt h ee i g e nm o d e sf o rc o m p l e xp h o t o n i cb a n ds t r u c t u r et o s e m i - i n f i n i t es y s t e m so f p h o t o n i cc r y s t a l si nc h a p t e r 4 嚣 b a s e do nt h eg r o u pv e l o c i t yo fp r o p a g a t i n gm o d e 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h el i g h tb e h a v i o ri ns e m i i n f i n i t ea n d f i n i t es y s t e m so f p h o t o n i cc r y s t a l s k e y w o r d s ： p h o t o n i cc r y s t a l ；b a n ds t r u c t u r e ；p l a n ew a v ee x p a n s i o n ；t r a n s f e rm a t r i x ；q u a n t u mw e l l v i l 山东大学博士学位论文 论文中常用符号说明 晶格常数 晶格常数 晶格基矢 晶格基矢 晶格基矢 倒格基矢 倒格基矢 倒格基矢 真空中光速 电磁场电场分量 填充比 倒格矢 电磁场磁场分量 单位矩阵 平面波波矢 光子晶体的厚度 矩阵 平面波数目 介电材料的折射率 振幅反射系数 介电柱的半径 1 r 偏振的反射系数 丫偏振的透射系数 散射矩阵 传输矩阵 群速度 b l o c h 波的波矢 i x 口 6 m 眈 以 巩幻 b c e 厂g 日 七 工 m 疗 r ， 一s r 咯声 山东大学博士学位论文 x 真空介电常数 相对介电常数 真空磁导率 入射角或折射角 电磁波频率 相位 介电常数倒数的付里叶展开系数 第一布里渊区中对称点 第一布里渊区中对称点 第一布里渊区中对称点 第一布里渊区中对称点 第一布里渊区中对称点 珊 g 枷p 矿 玎r m j x r 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名： ；幽