（数量经济学专业论文）控制最坏收益的优化投资组合.pdf

摘要 传统投资组合理论是建立在一系列的严格假没之上的，其中假设之一就是：投资 者可以随时调整自己的投资组合中各种资产的头寸。然而在实际中，由于各种因素的 制约，交易是有时问限制的。另外，传统的经典投资组合模型多阻收益率的方差来衡 量风险，而没有考虑最坏情况下的收益，这与投资者规避风险的心理也不符合。我们 知道，方差并没有把正偏差和负偏差区别开来，对投资者来说，他们规避的只是低于 平均值的偏差，因此，有必要把负偏差从方差中抽取出来单独研究，并把最坏收益引 入投资组合模型。传统投资组合理论对无摩擦市场情况下的投资组合理论研究比较成 熟，但他们的现实适用性比较差，因为在实际交易过程中，交易费是不能忽略的。这 样，就有必要把交易费引入投资组合模型，使其更具实用性。 针对传统投资组合模型的上述不足，在本文的研究中，把投资持有期等分为n 个 等长的时段，在每个时段末，投资者刊可以选择交易或不交易，这样，就可以借助经 典投资组合理沦来研究离散交易时刻的最优投资策略。另外，为了充分照顾投资者的 利益，模型把投资期末整个投资组合的最坏情况下的收益作为模型的一个决定变量。 另外，经典投资组合模型中，交易费往往被忽略，实证表明：交易费刘投资者的投资 策略影响非常重大。在考虑最坏收益，并引入交易费的情况下，投资者的目标函数就 变为：u - 甜u ( 预期收益) + u ( 风险) + ( 1 口) u ( 最坏收益)，投资者的目标 就是要追求期末效用的最大化。这里的u 代表投资者的期末效用，它是预期收益，风 险以及最坏收益效用的函数，系数凹，都是外部参数，他们反映了投资者的风险偏 好，投资者可以根据自己的风险偏好进行选择。本文运用模拟期权定价的方法，以一 个多种风险资产与无风险资产构成的投资组合为基础，得到了一个控制期末最坏收益 的动态优化投资策略。 在模型求解的过程中，首先用遗传算法对每个阶段寻优，并用神经网络得出定量 的函数关系，最后利用动态规划求解。并用一个算例演示了计算过程。 本文在理论上提出了一个在考虑投资组合期末最坏收益，并包含交易费的动态优 化投资策略。在实际的汁算过程当中，会遇到很大的困难，因此，本文只在理论上给 出了模型的求解方法，并没有给出模型的具体解。 关键词：交易费，最坏收益，优化投资组合，遗传算法，神经网络 a b s t r a c t 1 1 1 et r a d i t i o n a lp o r t f o l i ot h e o r yi sf b u n d e do nas e r i e so fs t r i c th y p o t h e s e s o n eo fw h i c h i st h ea s s u m p t i o nt h a tt h ei n v e s t o r sc a nc h a n g et h es o r ta n da m o u n to fd i f f e r e n ts e c u r i t i e s i n c o r p o r a t e di nh i sp o r t f o l i of r e e l y h o w e v e r , i t sn o tt h ec a s ei nt h er e a l i t y t h et r a d i t i o n a lp o r t f o l i ot h e o r ym a i n l yt o u c h e so nt h ef r i c t i o n l e s sm a r k e t ，s oi nt h e r e a l i t y ，t h e yd o n th o l dw e l l b e c a u s ei nt a c tt h et r a n s a c t i o nc o s ti sn o tn e g l i g i b l e s ot h e t r a n s a c t i o nc o s ts h o u l db ei n c o r p o r a t e di nt h ep o r t f o l i om o d e lt o i m p r o v et h ec l a s s i c a l t h e o r y i no r d e rt oi m p r o v et h et r a d i t i o n a lp o r t f o l i om o d e l sl i m i t a t i o n s ，i nt h i sp a p e r , t h e h o l d i n gt e r mi se v e n l yd i v i d e di n t om a n ys h o r t e rt e r m s ，t h ei n v e s t o r sc a no n l yt r a d ea tt h e e n do fe a c hs h o r t e rt e r m s ，s ow ec a l lr e s e a r c ht h eo p t i m i z e di n v e s t m e n ts t r a t e g yo ft h e d i s c r e t ew i t bt h eh e l po ft h ec l a s s i c a lt h e o r ) ib e s i d e s ，i no r d e rt os a r i s f yt h ei n v e s t o r s ，t h e m o d e li n c l u d e st h ew o r s t c a s eo u t c o m eo ft h ep o r t f o l i oa tt h ee n do f t h eh o l d i n gt e l 1 2 1a n d t r a n s a c t i o nc o s t w i t ht h a t ，t h ei n v e s t o r s o b j e c t i v ec a nb ef o r m u l a t e da s ：u = a u ( e x p e c t e d y i e l d ) u ( r i s k ) + ( 1 - 口- ) u ( t h ew o r s t c a s eo u t c o m e ) ，s ot h ei n v e s t o r s o b i e c t i v ei st o o b t a i nt h em o s tu t i l i t y i nt h ep r o c e s so ff i n d i n gt h ea n s w e rt ot h em o d e l ，g e n ea r i t h m e t i ci sf i r s tu s e dt of i n d t h eo p t i m i z e da n s w e rt oe a c hs t a g e ，t h e nn e r v en e t w o r ka r i t h n e t i cf o l l o w i n gt ob eu s e dt o f o r m u l a t et h ef u n c t i o nb e t w e e nt h ef i r s tp a r a m e t e r sa n dt h e o p t i m i z e dr e s u l t ，a tl a s t ， d y n a m i cp r o g r a m m i n gi su s e dt of i n dt h em o s ts u i t a b l ea n s w e rt ot h el a s te n di no r d e rt o f o r m u l a t ei te x p l i c i t l y , a ne x a m p l ei sg i v e ni nt h i sp a p e r t h i sp a p e rt h e o r e t i c a l l yf o r m u l a t e sad y n a m i co p t i m i z e di n v e s t m e n ts t r a t e g y , w h i c h i n c o r p o r a t e st h ew o r s t c a s eo u t c o m ea n dt r a n s a c t i o nc o s t i nt h ep r o c e s so ff i n d i n gt h e a n s w e r , al o to fd i f f i c u l t i e sw i l lb ee n c o u n t e r e d s o ，t h i sp a p e rg i v e so n l yt h et h e o r e t i c a l a n s w e r , n o tb u tt h en u m e r i ca n s w e r , w h i c hi st h ed e f i c i e n c yo ft h i sp a p e r , a tt h es a m et i m e ， i sw h a tis h o u l dp u r s u i ti nt h ef u t u r e k e yw o r d s ：t r a n s a c t i o nc o s t ，t h ew o r s t - c a s eo u t c o m e ，o p t i m i z a t i o np o r t f o l i o ，g e n e a r i t h m e t i c ，n e r v en e t w o r k 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得j 直至些太堂或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：李红艳签字日期：2 0 0 6 年4 月2 0 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北方工业大学有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权j e 直工些盔堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：李红艳 导师签名：彩厶弹 签字日期：2 0 0 6 年4 月2 0 日签字日期如p g 年弘月n 日 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 通讯地址： 电话 邮编 北方工业大学硕士学位论文 1 1 投资组合理论发展 第一章导论 众所周知，投资者投资的最直接的动机是获取收益，因而投资决策的目标 是收益的最大化。一般来说，投资者在进行投资决策时，要形成对收益的估计， 即期望收益。但是投资与收益之间存在时问上滞后，使得预期收益的实现受许多 不确定性因素的影响，使得投资者可能得不到预期的收益，甚至面临亏损的危险， 这种危险便是投资证券所具有的风险。一般情况下，预期收益越高的证券，风险 也越大。因此进行证券投资时，不能一味地选择收益最高的证券，同时必须考虑 风险因素，这便是著名的现代证券投资组合原理。 1 9 5 2 年，马柯维茨提出了证券组合优化均值方差模型，他被公认为现代证 券投资组合理论的创始者，为现代证券组合理论奠定了基础。马柯维茨，夏普， 米勒三人作为金融经济学和公司理财的理论的先驱者，荣获1 9 9 0 年度诺贝尔经 济学奖。此外，大批的证券投资者和数学工作者，以数学、统计学为手段和工 具，深入地研究了各种投资决策问题，极大地丰富和促进了证券组合理论及证 券投资分析工作的发展，建立了一系列数学模型和各种算法。 在证券投资组合优化的决策问题中，投资者通过选取不同的证券分散风险， 为了使分散化的利益最大化，还须考虑证券组合的最佳规模以及交易成本。本文 给出了求解这类问题的两种优化模型，并给出了理论解。这里所用的模型以及方 法，也适合于其他各种具有风险的投资决策问题。 马柯威茨于1 9 5 2 年在他的论文投资组合选择中提出了指导投资的均值一 方差模型( m v m ) ，该模型经提出，就开创了现代投资组合理论( m p t ) 的先 河。在这个模型里，用期望回报的均值来表示收益，用期望回报的方差来代表风 险。构造了一个均值一方差的有效前沿。从这个有效前沿可以得出最适合投资者 风险承受与回报期望的投资组合。 该模型的提出，有严格的前提条件：l - 投资过程不存在交易成本，即买卖任 何资产都没有用于交易的费用：2 资产可以无限细分，即不论投资者拥有多少财 富，都可以广泛投资；3 投资者完全根据证券组合的预期收益率和标准差做出投 资决策，即他们是根据一个时期的预期收益率和标准差对投资组合做出估价，而 除此之外不考虑其它因素；4 投资者的风险规避性和收益不厌足，即在两个其它 条件都相同的证券组合中，他将选择标准差及风险较小的那个；在两个其它条件 北方：f 业大学硕士学位论文 都相同的证券组合中，他们将选择预期率较高的那个；5 每种资产都有风险：6 投资者完全用自有资金进行投资。 对于以上假设4 ，5 来说，现实生活中很容易满足：但对其他几项假设来说， 现实中往往很难成立。因此，均值一方差模型不适用于实际的投资者。为了使该 模型更加具备实用性，许多理论工作者以及业内人士分别在某一方面放宽均值一 方差模型的假设，提出了新的最优投资组合模型。为该模型的实用性做出了自己 的贡献。这些贡献概括起来主要有以下几项： 1 在均值一方差模型中加入无风险资产，就得到了c m l ，不同的借贷利率对 应了不同的c m l ，也得到了不同的摄优投资组合。 2 在均值一方差模型中加入交易手续费和最小交易单位的限制，研究了新的 投资组合有效前沿。 3 ，拓展了单期投资限制，研究了多期动态投资条件下新的投资组合有效前 沿。 在均值一方差模型中，以资产组合未来回报的方差来度量风险，存在明显的 缺陷：( 1 ) 模型的不合理性。m v m 的不合理主要表现在风险度量指标方差的 不合理。方差反映的是各个可能取得的实际收益率相对于平均收益率的偏差，它 又可分为两部分，一部分是低于平均收益率的偏差( 定义为负偏差) ，一部分是 超过平均收益率的偏差( 定义为正偏差) 。正偏差是达到平均水平之外的额外收益 而负偏差却相反，所以正偏差与负偏差是两种截然不同的偏差。而m v m 却把二者 同等看待，这显然是不合理的。再者，方差是二次的，这样使得少数较大的偏差 对总体方差产生过大的影响较大的方差只说明某证券收益率相对于其平均收益 率有较大的偏离，并没有反映投资损失，对不同证券来说，由于平均收益率不 同，它们之间的风险大小不能由方差大小来比较。因此，应当选择一个固定的基 本收益率作为判断风险大小的标准。( 2 ) 模型的局限性。m v m 是一个二次规划模 型，在求解过程中，需要估计各证券收益率的概率分布，并且要计算收益率协 方差矩阵及其逆矩阵，这要花费大量的时间，尤其是当投资组合中包含证券种 类较多时，其计算量更为巨大。 对于m v m 模型中以方差度量风险的缺陷，国内外学者纷纷对其进行改进。 1 9 9 1 年k o n n o 和y a m a z a l d 以绝对离差，4 d ，而不是方差来衡量投资组合的风 险，提出了基于期望收益一绝对离差rm a d j 标准的资产选择模型。胡杨， 彭怡在汪券投资的最优组合( 西南交通大学学报，t 9 9 8 年6 月) 中引入了一 北方： 业大学硕士学位论文 种风险度量指标组合偏差，构造出寻求最优投资组合的两目标决策模型， 并采用约束法将其转化为线性单目标规划模型。该模型与均值一方差模型相比较， 无论是在模型的合理性，还是在求解模型的方便性等方面，都有所改善，证明 了线性单目标规划模型存在最优解，求解浚模型等价于求解相应的线性规划模 型。通过上述对新数学规划模型的讨论，可以看到，该模型与m v m 相比有以下 优点：第一，该模型在经济意义上更为合理，与投资者实际行为相符。因组合偏 差爿真实地反映了投资风险的大小；第二，该模型在求解难度上大大降低，求解 相应的问题很简单，而m v m 模型求解则需要求解二次规划问题，不仅算法复杂， 而且计算任务很繁重；第三，m v m 的非劣解集中可能会包含一些真实的风险意 义上的劣解，因为方差只反映相对于期望值的偏差，并没准确反映风险大小。总 之，该模型与m v m 相比，无论是在合理性、有效性方面，还是在求解模型的简 便性方面，都有所改进。而且，由该模型还可导出与c a p m 近似的线性关系，这 是与基本的金融理论相一致的。赵贞玉，欧阳令南在基于m s e m i a d 组合投 资模型及对上海股市实证研究( 中国管理科学2 0 0 4 年2 月) 提出了半绝对离差 ( s e m i a d ) 概念，并以此对m v 模型进行改进。通过对上海有代表性的5 0 支股票 复权价进行分析，得到：在每个期望收益率水平上，基于m s e m i a d 模型的投 资组合都优于m v 模型中的投资组合，并且有效投资组合满足两基金分离定理。 若在m a r k o w i t z 最初的风险资产选择模型中加入无风险资产，有效投资组合 边界变成了以无风险资产收益率为起点、与风险资产的有效投资组合边界相切的 射线，这条射线便是资本市场线( c m l ) 。根据c m l 和两基金分离定理，s h a r p 推 导出资本资产定价模型( c a p m ) ，从而奠定了现代金融理论的框架。 1 2v a r 介绍 布雷顿森林体系崩溃以来，浮动汇率制下汇率，利率等金融产品价格变动日 益频繁和无序。8 0 年代以来随着金融创新的发展和世界各国金融自由化，金融市 场更趋动荡。为此，作为分散金融风险的金融衍生工具应运而生。但是，一种明 显的趋势是：衍生工具越来越不被当作一种套期保值的手段而被当作投机的工 具，从而诱发了更大的金融危机。由于上述原因，金融风险的管理越来越受到重 视，日益成为全球关注的课题。近年来，在我国社会主义经济从传统的计划体制 向市场经济体系过渡的过程中，国内金融风险也呈现出扩大的趋势，对金融风险 更加控制和防范正日益受到人们的重视。 v a r ( v a l u e a t r i s k ) 方法是近年来在国外兴起的一种金融风险管理工具。目 前它不仅被全球各主要的银行，金融性公司接受作为金融风险管理的手段之一， 北方工业大学硕十学位论文 而且被很多国家和地区的中央银行采纳为宏观金融风险管理的一种举措。 受险价值简称v a r ( v a l u e a t r i s k ) ，是数量化市场风险的重要量度工具。所 n v a l u ea tr i s k ，按字面意思解释，就是“处于风险中的价值”。v a r 值就是 在一定的持有期及一定的置信度内，某金融投资工具或投资组合所面临的潜在 的最大损失金额。 1 2 1v a r 自o 原理 1 v a r 的含义。v a r 是指在正常的市场条件和给定的置信度( 通常是9 5 或9 9 9 6 ) 下，在给定的持有期间内，某投资组合预期可能发生的最大损失。 一般定义受险价值v a r 是对已知头寸或组合，经过一段时间间隔，在一定的 显著水平下的虽大可能损失。v a r 的直观解释简单易懂，对于一定显著水平p ， 经过持有期a t ，v a r 是组合价值损失的显著水平的分位数，即 p r a p ( t ，a x - - 3 一v a r ) = p ( 卜1 ) 由式( 卜1 ) ，v a r 可定义为f 概率分布显著水平为p 的分位数。 从v a r 定义，可看出风险价值的度量有两个重要参数：置信度( 1 p ) 和持有期 t 。前者取决于金融机构对于风险的偏好( p r e f e r e n c e ) ，一般取9 5 一9 9 后者 由金融机构的交易性质决定。此外，v a r 计算中最大的困难还是关于确定资产收 益分布的特征( p r o p e r t y ) 。 因此，v a r 计算的核心在于估计证券组合未来损益的统计分布或概率密度函 数。在大所数情况下，直接估算证券组合的未来损益分布较为困难，通常将证券 组合用其市场因子来表示( 证券组合价值是其所有市场因子的函数) ，通过市场 因子的变化来估计证券组合的未来损益分布或概率密度函数，这叫做映射。计算 v a r 时，首先使用市场因子当前的价格水平，利用金融定价公式对证券组合进行 估值( 盯市) ：然后预测市场因子未来的一系列可能价格水平( 是一个概率分布) ， 并对证券组合进行重新估值：在此基础上计算证券祝贺的价值变化证券组合 损益，由此得到证券组合的损益分布。根据这一分布就可以求出给定值新水平下 的证券组合v a r 。 1 2 2v a r 的计算 1 v a r 计算的基本模块。计算v a r 的关键在于确定证券组合未来损益的统计 分布或概率密度函数。这一过程有三个基本模块构成：第一个是映射过程把 组合中每一种头寸的回报表示为其市场因子的函数；第二个是市场因子的波动性 北方工业大学硕士学位论文 模型预测市场因子的波动性；第三个是估值模型根据市场因子的波动性 估计组合的价值变化和分布。 在三个模块中，波动性模型和估值模型是核心和难点。不同的波动性模型和 估值模型构成了v a r - c , - - 算的不同方法。 一、市场因子的波动性模型 ( 1 ) 历史模拟法。历史模拟法假定回报分布为独立分布，市场因子的未来 波动于历史波动完全一样。其核心在于用给定历史时期上所观测到的市场因子的 波动性，来表示市场因子未来变化的波动性。它不需要假定资产服从的统计分布 形式。 ( 2 ) 蒙特卡洛模拟法。蒙特卡洛模拟法( m o n t ec a r l os i m u l a t i o n ，简称m c 法) 是一种随机模拟方法，它用市场因子的特定历史路径产生有限的未来波动情 景。虽然正态分布是其最常用的分布假定，但m c 法无须既定市场因子服从正态分 布。 ( 3 ) 情景分析。情景分析采用市场因子的波动的特定假定( 如极端市场事 件) 定义和构造市场因子的未来变化情景。压力试验是最为常用的情景分析方法。 ( 4 ) 风险矩阵方法( r i s km e t r i c s ) 。风险矩阵法采用移动平均方法中的指 数移动平均模型预测波动性。它假定过去的回报分布可以合理地预测未来情况， 可用历史数据的时间序列分析估计市场因子的波动性和相关性。风险矩阵假定市 场因子服从正态分布。 ( 5 ) g a r c h 模型。g a r c h 用于对市场因子波动的条件异方差建模，它可 以更好地预测市场因子的真实波动性，如波动集聚效应。虽然g a r c h 常采用的 是正态分布，但也可以采用其他分布假定。 ( 6 ) 隐含波动性模型。隐含波动性是指期权价格中隐含的波动性，它是对 未来波动性的预测，而不是对当前波动性的估计。隐含波动性模型认为当前的市 场数据蕴含了市场对未来波动性的预测，而不采用前述各种方法所依据的历史信 息。 ( 7 ) 随机波动模型。随机波动模型是描述事变波动性的有效模型，近年 来由于计量经济学的发展而得到广泛的应用。 2 证券组合的估值模型。根据市场因子的波动性估计证券组合价值变化和 北方工业大学硕士学位论文 分布的方法主要有两类，即分析方法( 局部估值模型) 和模拟方法( 全值模型) 。 ( 1 ) 分析方法。分析方法主要是依据金融工具的价值和其市场因子闻的 关系，即根据灵敏度确定组合价值的变化： a v = f ( s ，r j ( 卜2 ) 其中，a v 是证券组合的价值变化；s 是灵敏度：，是市场因子的变化。宣 用灵敏度来近似估计证券组合价值变化的分析方法，简化了计算。但只有当市场 变化范围较小时，灵敏度才能较好地近似于实际变化，因此该分析方法是一种局 部模型。 ( 2 ) 模拟方法。模拟方法是在模拟市场因子未来变化的不同情景基础上， 给出市场因子价格的不同情景，比纳在不同情景下分别对证券组合中的金融工具 重新定价，在此基础上计算证券组合的价值变化。由于模拟方法采用的是金融定 价公式而非灵敏度，可以处理市场因子的大范围变动( 当然必须保证定价公式的 适用性) ，反映了市场因子变化而导致的证券组合价值的完全变化，是一种全值 模型。在模拟方法中，产生情景的方法有多种，如历史模拟法、m c 法、情景分 析法( 如压力试验) 等。 3 v a r 计算的假设条件。在v a r 计算中，选择上述方法时必须考虑两个关 键因素。一是市场因子的变化与证券组合价值变化间的关系是否呈线性关系。线 性类证券价值的变化可以通过灵敏度近似；对于期权类显著非线性金融工具，可 通过模拟方法描述其价值与市场因子间的非线性关系，也可在一定情形下采用近 似的方法处理。如在期权定价公式成立条件下，取其一阶或二阶近似。二是市场 因子的未来变化是否服从正态分布。如果市场因子的变化服从多元正态分布，则 可用方差和谐方差描述市场因子的变化，同时证券组合的价值变化也服从正态分 布，v a r 的估计可大为简化；如果不服从正态分布，则只能采用较为复杂的其他 分布形式。在上述两种因素的各种组合中，线性、正态情况是最简单也是最常用 的v a r 模型。在这种正态、线性情况下v a r 计算的解析公式为： p 臼r = z 。、国。y 由， ( 1 3 ) 一 其中，是与置信度相对应的分位数，如标准正态分布，z 。= 2 ，3 3 。为 组合头寸权重的n 1 向量；y 为头寸每年回报的协方差矩阵，出为持 有期。 1 2 37 a r 的分布 1 一般分布中的v a r 。考虑一个证券组合，假定只为证券组合的初始价值 北方工业大学硕士学位论文 月是持有期内的投资回报率，在持有期末，证券组合的价值可以表示为 p = e or 1 + 彤。假定回报率胄的期望回报和波动性分别为，盯。如果在某一置 信水平c 下，证券组合的最低价值为p + = p or l + r j ，则根据v a r 的定义，可定义 相对于证券组合的价值均值( 期望回报) 的v a r ，即相对v a r 为： v a r 。= e 仔一p = 一p 俾+ 一 ( 1 4 ) 如果不以期望回报为基准，可以定义绝对v a r 为： v a r a = e o p + = 一p o r + ( 1 5 ) 根据以上定义，计算v a r 就相当于计算最小值，或最低回报率r + 。考虑证 券组合未来日回报行为的随机过程，假定其未来回报的概率密度函数为，对 于莱一置信水平c 下的证券组合最低值p + ，有： c = 倒咖或1 一c = e 倒印 无论分布式离散的还是连续的，厚尾还是瘦尾，这种表示方式对于任何分布 都是有效的。 2 正态分布中的v a r 。假定分布是正态分布形式，则可以简化v a i l 的计算。 在正态分布条件下，可以根据置信水平选择一个对应的乘子，用组合的标准差与 该乘子相乘，可求得v a r 。这种方法是基于对参数标准差的估计，称为参数方法。 首先，把一般分布纠变换为标准正态分布中阳j ，其中s 的均值为o ，标准 差为l 。用最低回报r 表示的组合价值的最小值p4 = p or i + r j 。r 通常为负值， 可以表示为一l r 。l 。将r + 与标准正态分布的偏离口 0 相联系： 一口：坚也陋 o j ( 1 _ 6 ) r = 一位仃+ 王仪 o ) 等价于： 1 一c ：( 倒勿= p ”f ( o d r = e 西何如 ( 1 - 7 ) n 6 一l 给出积累密度函数，是从o ( a = 一o o ) l ( a = + ) 的单调增函数， 当d = 0 时为0 5 。在标准正态分布下，当给定一个置信水平如9 5 ，则对应1 ，6 5 盯， 通过公式可计算相应的最小回报r + 署 i v a r ，假定参数，盯是以一天的时间间隔 北方工业大学硕士学位论文 计算出的，则时间间隔为f 的相对v a r 为： v a r 。= e 倒一p = 一p 俾一= 只d 口五 因此，v a r 是分布的标准差与有置信水平决定的乘子的乘积。 同理，对于绝对v a r ，可表示如下： v a r 。= e o p + = 一p o r + = b 向倪d r 一脚砂 这种方法适用于正态分布和其他积累概论函数，只要o - 中包含了所有的不确 定因素。其他分布限定了不同的口值，正态分布代表许多经验分布而最易处理。 这一方法尤其适用于样本容量大，多样化程度高的投资组合。 n d ) l - 6 5 0 - 一 j 1 5 5j 0 图卜1 累计正态概率分布( d 为标准正态分布变量) 算例6 1 ：一个投资组合的现值只是5 亿美元。以一天为时问间隔的u ，盯分 别为0 和o 0 3 2 1 ，置信水平为9 5 ，计算该组合的v a r 。 p + = e or l + r + j = p o ( 1 一a a ) = 5 r 1 1 6 5 x 0 0 3 2 1 ) = 47 4 r 亿美元j v a r = p o p + 5 4 4 7 o 2 6 ( l 美元j 1 2 4 利用d a l t a 一正态模型计算v a r d a l t a 一正态方法假定资产服从正态分布，由于有价证券组合是正态分布变量 的线性组合，因此，他也服从正态分布。当资产组合发生变动时，可采用泰勒展 开式来估计其变动。 北方工业大学硕士学位论文 用p 。j 表示资产组合的线性价值函数，x 。表示n x l 为向量因子。 j p 。j 对每一个向量因子取一阶导数， 瓦- 1 掣，掣掣j ，“。1 1 f 1 - i j 设e c x ；, 。t ) = p ( x ，“) + 6 j ( x j 。t x 。) + o ( 2 ) 其中d 仞为包含二阶导数在内的误差项，因为p ( x 。，j 是线性的，所以该项为 0 ，泰勒展开式变为： p 。j ) = 巧z x 。j 又p l 。，j ，x 。均服从正态分布，则p k 。，j n ( 0 ，万。占， v a r = z 。盯p t ，r 仃p = 占。占j ( 1 8 ) 利用d a l t a - 正态模型计算v a r 包括以下主要步骤 1 风险映射识别基础市场因子，将证券组合中的金融工具映射为一系列 只受单一市场因子影响的标准头寸。 2 市场因子的方差一协方差矩阵估计假设市场因子的变化服从正态分布， 估计分布的参数( 协方差和相关系数) ，得到方差一协方差矩阵。 3 估计标准头寸的d a l t a 。 4 估计标准头寸的方差一协方差矩阵根据估计出的d a l t a s l l 市场因子的方 差一协方差矩阵，计算相应的标准头寸的方差一协方差矩阵。标准头寸的方差由 市场因子的方差和标准头寸对市场因子的d a l t a 决定，相关系数与市场因子之问 的相关系数数值相等，但有时符号不同。 5 组合价值变化与v a r 估计根据标准头寸的方差、协方差求取组合价值的 变化，得到v a r 估计结果。 1 2 5 利用现金流映射计算v a r 1 现金流映射的概念。在v a r 模型中，资产组合在每一天的变动率是无法提 供的，风险矩阵提供固定试点的变化率，当计算单一资产或资产组合现金流时， 应将其映射到这些固定时点上，以便计算其风险。 风险矩阵提供固定时点如下：1 月、3 月、6 月、1 年、2 年、3 年、4 年、5 年、 北方工业大学硕士学位论文 7 年、9 年、l o 年、1 5 年、2 0 年、3 0 年。 这些断点有两个重要特征： ( 1 ) 无论现在起算还是在未来末各式可起算，不管是线性工具还是非线性 ： 具，他们都是固定不变的。 ( 2 ) j p 摩根的风险矩阵数据库提供了这些端点的波幅和相关系数。 对于一个世纪的现金流映射以为将其分解到最近的两个端点上。如图6 3 所 示，第6 年的现金流可分解为第5 年和第7 年。 流 56 7 年 1 到卜2 现金流的映射分解 对现金流的映射分解应采取三原则 相同。 ( 1 ) 现值不变，两端点现金流市值之和与初始现金流现值相等。 ( 2 ) 风险不变，端点现金流组合的市场风险必须与初始现金流的市场风险 ( 3 ) 现金流符号不变，分解后现金流的符号不须与初始的相同。 2 分解的现金流的计算。 ( 1 ) 用插入法计算实际现金流的收益率。用风险矩阵提供的5 年$ u 7 年期的 收益率，用线性插值法得到6 年期收益率： 名= d 吩+ f 1 一砂r 7 ，o 甜l ( 1 9 ) 其中：r 6 是插入法得到的6 年期零息收益率，n 是线性权重系数，是5 年期 年 一 一 北方工业大学硕士学位论文 零息收益率，r 7 是7 年期零息收益率。 现值。 ( 2 ) 计算实际现金流的现值。已知6 年期的零息收益率咋，可求得其现金流 3 计算实际现金流现值分布的标准差。用5 年和7 年期现金流的标准差，可 以用线性插值法求得6 年零息收益债券收益的标准差，风险矩阵提供的盯；，盯，分 别表示风险统计中的1 6 5 0 - ；，1 6 5 0 - ，。 盯6 = a o - 5 + f 1 一训仃7 ，0 d 兰1 ( 1 1 0 ) 4 计算相同波幅时的映射权重。用上面线性方法求出的分配权重，使得求 出的投资组合的风险与原来的不同，如果想得到有相同风险的分配权重，需采用 下述公式： 仃；= 云2 盯，+ 2 可1 一矽岛7 盯s 口7 + r 1 一a - ) 2 盯7 2 ( 1 1 1 ) 其中p ，是5 年和7 年收益率的相关系数，由风险矩阵提供，盯6 2 由式( 卜1 1 ) 提供。 式( 卜1 1 ) 可被写成如下形式： a 酉2 + b f f + c = 0 ( 1 1 2 ) 其中：a = o ；+ o ；一2 p s 7 0 - 5 盯7 ，b = 2 p 5 ，7 盯5 盯7 2 仃；，c = 盯；一o - ： 则：瓦：- b + x b 2 - 4 a c( 卜1 3 ) 2 口 求出的酉应满足现金流的映射分解的三原则。 1 2 6v a r 的优点、作用及应用 v a r 方法最大的好处在于利用一个结构性的方法论及一个单一的指标来更 精确地衡量一个组合的风险，并将其用货币单位表示，具有风险度量的直观性和 一致性，能对各种不同类型的资产给出统一的风险度量。因而v a r 能对不同类 型的资产进行比较，逐渐成为联系整个企业或机构的各个层次的风险分析和度量 的方法。它因此能够用来对整个企业和跨行业的各种风险进行全面量化。 v a r 主要有以下作用：信息报告的工具、资源配置的工具和绩效评价工具。 v a r 的应用非常广泛，它对于任何面临金融风险的机构都会有所帮助，无论是 金融机构或监管当局，也无论是非金融公司还是资产管理者。 北方工业大学硕士学位论文 1 2 7v a r l 拘研究成果及现状 v a r ：e 我国的研究起步较晚，但在广大研究者的辛勤努力下，也取得了丰硕 成果。它们包括基础性的研究，也有探索性的研究，也有应用上的研究。比较典 型的有：市场风险的量度：v a r 的计算与应用( 詹原瑞1 9 9 9 年1 2 月系统 工程理论与实践) 文中集中讨论在两类假设条件下，数量化市场风险的量度受险 价值( v a r ) 的计算与应用，提出计算v a r 的主要流程，这将有利于我国金融机 构应用v a r 控制市场风险：v a r 方法及其在股市风险分析中的应用初探( 范 英中国管理科学第8 卷第3 期2 0 0 0 年9 月) 一文讨论了度量投资风险的v a r 方法 的概念和计算方法，在股票价格随机游动的假设下计算了深圳股市在不同置信水 平下的风险值，并与实际投资收益做了对比。在算例分析的基础上，对v a r 方法在 我国股票投资中的应用进行了初步探讨；风险价值方法在金融风险度量中的应 用( 预测2 0 0 1 年第2 期马超群1 ，李红权1 ，张银旗2 ) 一文提出了计算风险 价值的一种新方法完全参数方法，它本质上是参数方法和极值理论的结合 运用，在证券市场上的实证研究表明该方法优于目前流行的r i s k m e t r i c s 参数方 法：股市风险值估计的e w m a 方法及其应用( 范英预测2 0 0 1 年第3 期) 一文讨论了估计v a r 的e w m a 方法，即指数加权移动平均法。并以我国股 票市场为例，从实际数据出发分别计算了深沪两市的衰减因子的最优取值，并 在此基础上计算了上海股票综合指数和深圳股票综合指数的每日风险值，对在 大盘上考虑股市风险和指导投资具有重要意义。传统上人们利用正态分布方法来 近似得出金融机构面临的市场风险v a r 值，然而对于非对称的金融衍生工具( 如 期权及其组合) ，这些方法显然有一定的缺陷，非对称金融衍生工具的风险度 量指标v a r 研究( 杨春鹏崔援民预测1 9 9 9 年第4 期) 给出了度量期权 这类非对称型金融衍生工具市场风险的v a r 计算公式，拓宽了v a r 的用途。v a r ： 金融资产市场风险计量模型及其对我国的适用性研究( 曹乾何建敏中央财 经大学学报2 0 0 4 年第5 期) 介绍了v a r 模型，并分析了v a r 的产生背景、概念、特 点、计算方法以及使用局限性等，最后探讨了该模型在我国的适用性问题，得出 结论：该模型在我国具有广阔的应用前景。 股票收益率是用来刻画股票市场价格变化的，在计算风险资产的v a r 参数方 法中，对资产收益分布的假设是至关重要的对金融资产收益率，人们常常以正 态分布作为其参数模型，从而用方差来度量风险然而，m a n d e l b o r t ( m a n d e l b r o t b t h ev a r i a t i o no f c e r t a i ns p e c u l a t i o np r i c e s j 】jo f b u s i n e s s ，1 9 6 3 ) 在1 9 6 3 年发 现：高额的金融资产收益率不是正态的，而是“厚尾”的，非对称的，正态分布 的假设将严重低估极端情形下的v a r 值。此后，大量文献证明了m a n d e l b o r t 的观 北方： 业大学硕士学位论文 点是正确的，从而说明了传统的正态分布假设无法反映金融资产收益率的厚尾 性和非对称性这样，基于正态分布假设计算出来的v a r 就存在低估风险的缺陷。 于是，许多学者就致力于寻找能准确刻画金融时间序里数据特征的模型，并取得 了很大的成果。许多研究发现金融资产的回报分布并非服从正态分布，而具有分 布的厚尾性、波动的集聚性( 异方差) 及杠杆效应等特征。因此，为了准确估计v a r ， 必须充分考虑收益率的概率分布及其波动性。为捕获金融时间序列通常具有的波 动性，e n g l e ( 1 9 8 2 ) 首先提出了自回归条件异方差( a r c h ) 模型( e n g l er a u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s c e d a s t i c i t yw i t he s t i m a t e so ft h ev a r i a n c eo fu k i n f l m i o n 【j e c o - n o m e t r i c a ，1 9 8 2 ，5 0 ：9 8 71 0 0 8 ) 。但许多实证表明，为了更好地 捕获条件异方差性，应该选取高阶的a r c h 模型，这将增加要估计的参数，从而降低 参数估计的效率。针对这个问题，1 9 8 6 年，b o l l e r s l e v 在a r c h 模型中增加了自回归 项，对a r c h 模型的条件方差函数进行拓展，这个模型被称为广义a r c h 模型 g a r c h 。相对于a r c h ，g a r c h 模型的优点在于：可以用较为简单的g a r c h 模型来 代表一个高阶a r c h 模型，使待估参数大为减少，从而使得模型的识别和估计都 变得比较容易。然而，g a r c h 模型仍然未能充分捕获高频金融时间序列的尖峰厚尾 性，对于股市中所存在的杠杆效应也无法刻画。d i n g 、g r a n g e r 年i l e n g l e ( 1 9 9 3 ) 提出 了一个不对称的g a r c h 模型( d i n g z ，g r a n g e r c w j ，e n g l e r f al o n gm e m o r yp r o p e r t y o fs t o c km a r k e tr e t u m sa n dan e w m o d e l j j o u r n a l o f e m p i r i c a l f i n a n c e ，1 9 9 3 ，1 ：8 3 1 0 6 ) ，目o a p a r c h 模型( t h ea s y m m e t r i cp o w e ra r c h ) 。事实 上，许多条件异方差模型，p 口a r c h 模型、g a r c h 模型、g j r 模型、t a r c h 模型、 n a r c h 模型以及l o g a r c h 模型等，都是a p a r c h 模型的特殊情形。a p a r c h 模 型除了具有般g a r c h 类模型的特点外，还可以捕捉股市中所存在的杠杆效应。 1 2 8v a r 的缺陷 然而经过很多学者的不断探索和实际运