（固体力学专业论文）SH波作用下地表覆盖层对浅埋圆孔散射的影响.pdf

哈尔滨工程大学硕士学位论文 摘要 弹性半空间内圆形孔洞在稳态s h 波作用下动应力集中问题是弹性动力 学所关注的课题之一，选题具有理论意义和工程背景。 本文应用复变函数法、波函数展开法和大圆弧假定法研究了s h 波作用 下地表覆盖层对浅埋圆形孔洞的散射问题。该问题求解时首先利用半径很大 的圆来拟合地表覆盖层的直边界，将原问题由直边界问题转化为曲面边界问 题。然后借助h e l m h o l t z 定理预先写出问题波函数的一般形式解，再利用边 界条件并借助复数f o u r i e r - h a n k e l 级数展开把问题化为求解波函数中未知系 数的无穷线性代数方程组，截断该无穷代数方程组可求得该问题的数值结 果。通过算例讨论了地表覆盖层对浅埋圆孔动应力集中的影响。结果表明， 半空间地表覆盖层的存在，即使厚度很薄，对入射s h 波的散射也具有很大 影响，覆盖层刚度和厚度的变化可显著改变浅埋圆孔周边动应力集中的分 布。浅埋双圆孔时，当两圆孔排列方向在入射波方向时，对s h 波的散射有 屏蔽的作用，孔边动应力集中相对单孔减弱，当两圆孔排列方向不在入射波 方向时，则对s h 波散射有放大作用。 关键词：地表覆盖层；浅埋圆孔；s h 波散射：大圆弧假定法；动应力集中 系数 哈尔滨工程大学硕十学位论文 a b s t r a c t t h eq u e s t i o na b o u ts c a t t e r i n go fs h - w a v eb yc i r c u l a rc a v i t i e si nae l a s t i c h a l f s p a c ei so n eo fp r o b l e mc o n c e r n e db ye l a s t i cd y n a m i c s ，t h es u b j e c ts e l e c t e d h a sa c a d e m i cs i g n i f i c a n c ea n de n g i n e e r i n gb a c k g r o u n d t h ei n v e s t i g a t i o na b o u ts c a t t e r i n go fs h w a v eb yc i r c u l a rc a v i t i e si nae l a s t i c h a l f - s p a c ew i t hal a y e ra b o v ei sg i v e n ，b a s e do nc o m p l e xf u n c t i o nm e t h o d 、w a v e f u n c t i o ne x p a n s i o nm e t h o da n dc i r c u l a ra r cs u p p o s i t i o nm e t h o d ac i r c u l e ra r co f l a r g er a d i u si su s e df i r s tt oa p p r o x i m a t es t r a i g h tb o u n d a r yo fl a y e rs o a st ot u m s t r a i g h tb o u n d a r yq u e s t i o ni n t oc r o o k e db o u n d a r yq u e s t i o n b yu s i n gt h et h e o r yo f h e l m h o l t zt h e n ，t h eg e n e r a ls o l u t i o no fw a v ef u n c t i o ni sg i v e na n di n f i n i t el i n e a r a l g e b r a i ce q u a t i o n sw i t hu n k n o w nf a c t o r so fw a v ef u n c t i o nc a nb ef o u n db y f o u r i e r - h a n k e ls e r i e se x p a n s i o nt e c h n o l o g ya n db o u n d a r yc o n d i t i o n s ，s ow ec a n g a i nr e s u l tb yi n t e r c e p t i n gt h ee q u a t i o n s t h ed y n a m i cs t r e s sc o n c e n t r a t i o nf a c t o r s a r o u n dt h ec i r c u l a rc a v i t ya r ed i s c u s s e di nn u m e r i c a le x a m p l e s t h er e s u l ts h o w t h a te x i s t e n c eo fa l a y e ra b o v eah a l f - s p a c e ，e v e ni fi ti sv e r yt h i n ，h a sg r e a te f f e c t o ns c a t t e r i n go fs h w a v e ，a n dv a r i a t i o no fs t i f f n e s sa n dt h i c k n e s so ft h el a y e rc a n r e m a r k a b l yc h a n g et h ed y n a m i cs t r e s sc o n c e n t r a t i o no fc i r c u l a rc a v i t y w h e nt a c t i c d i r e c t i o no ft w oc a v i t i e si si nt h es a m ed i r e c t i o no fi n c i d e n tw a v e s ，t h es c a t t e r i n g o fs h - w a v ei ss h i e l d e da n dd y n a m i cs t r e s sc o n c e n t r a t i o ni sw e a k e n e dt h a ns i n g l e c a v i t y s ；w h e nt a c t i cd i r e c t i o no ft w oc a v i t i e si sn o ti nt h es a m ed i r e c t i o no f i n c i d e n tw a v e s ，t h e r ei sa a m p l i f i c a t i o nt os c a t t e r i n go fs h w a v e k e yw o r d s ：l a y e ra b o v es u r f a c e ；s u b s u r f a c ec i r c u l a rc a v i t i e s ；s c a t t e r i n go fs h - w a v e ；c i r c u l a ra r cs u p p o s i t i o nm e t h o d ；d y n a m i cs t r e s sc o n c e n t r a t i o n f a c t o r 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下，由 本人独立完成的。有关观点、方法、数据及文献的引用己在文中 指出，并于参考文献相对应。除文中已注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体己经公开发表的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式表明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ：阜逃 日期：h o8 年6 月j8 日 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 本课题的研究背景 近年来由于工程实践的需要提出了许多迫切需要解决的问题。例如，在 抗震、抗爆工程中要求给出地下结构的动力分析，给震源定位，估计震源的 参数，认识地形和地壳厚度等对地震波的影响等等，以便改进防震、抗爆和 减少灾害的措施i l 】。 界面广泛存在于天然介质和工程材料中，如：地下不同岩层、复合材料、 多晶合金，各种焊接和粘接的复合结构等，此外，材料在生产、加工和使用 过程中都难以避免地要产生各种各样的缺陷，而且这些缺陷通常位于介质或 结构中材料性质变化剧烈的区域( 如地壳的层问、层合板的界面、各种焊接 和粘接面等) ，即界面区域，它的存在必然会影响材料和结构的宏观力学行 为。在动载作用下，含有界面的材料与结构将表现出某些特殊的性质，因而 关于界面动力学的研究受到人们的普遍关注【啦】。现今界面动力学的主要研究 内容包括界面波动问题和界面动态断裂动力学两大部分【3 】。 界面附近缺陷在动态荷载作用下，缺陷附近会发生动应力集中现象，对 p ( s v ) 波和s h 波入射的情况，缺陷与界面距离比较远时( 不考虑界面影响) 的计算方法较为成熟，并已开始指导工程设计；而对于界面附近缺陷( 必须 考虑界面影响) 的分析和计算，则尚不完善【4 1 。在诸多的界面附近缺陷结构 动力分析的成果中，多数为理论和数学方法的研究，直接提供数值结果和可 方便指导实践的资料甚少【4 5 1 。本文就弹性波散射中最简单的模型稳态 s h 波对界面附近圆形孔洞的散射问题进行了研究。它不但可以提供一个便于 工程实践的分析方法，而且还为研究相类似问题提出了一种新思路。 人们对界面缺陷进行动力分析，一般对两方面的内容感兴趣【6 】。一方面， 带有界面缺陷的复合材料受动态荷载作用时，材料破坏与否往往取决于界面 缺陷附近的动态应力场的性质，即弹性波在界面缺陷附近的散射特性。因此 界面缺陷对于弹性波散射问题一直受到众多动力学研究者的重视；另一方面， 界面缺陷产生的散射场也携带了缺陷的特征参数，如位置、形状、尺寸、方 哈尔滨工程大学硕士学位论文 位等，因此散射波场的研究对于地质勘探、震害预报、无损检测及探伤( n d t ) 等领域也有重要作用。 1 2 弹性波散射问题研究概况 弹性波是应力波的一种，扰动或外力作用雩| 起的应力和应变在弹性介质 中传递的形式。弹性介质中质点间存在着相互作用的弹性力。某一质点因受 到扰动或外力的作用而离开平衡位置后，弹性恢复力使该质点发生振动，从 而引起周围质点的位移和振动，于是振动就在弹性介质中传播，并伴随有能 量的传递。在振动所到之处应力和应变就会发生变化。弹性波理论已经广泛 应用于地震工程、地质勘探、采矿、材料的无损探伤、工程结构的抗震抗爆、 岩土动力学等方面。 弹性波在弹性介簸中传播，懑其遇到障碍物( 夹杂、孔漏、裂纹等) 时， 将与障碍物发生相互作用，这种相互作用的结果使障碍物表面上任何一点成 为一个新的波源，这些次生的波源向各个方盎发生次波，这种现象称为弹性 波的散射，次生波称为散射波，障碍物也被称为散射体。 研究弹性介质内异质物对弹性波的散射阀题在许多工程领域中其有重要 意义。例如，矿产勘探、石油勘探及定量无损检测，雷达、声纳和爆炸等技 术的应用和发展，归根到底需要弄清楚弹性波的教射效应与埋藏的异质物的 几何、物理特性之间的关系，即研究散射效应与某些断裂力学参数的相互关 系等。从工程应用的观点来看，很多弹性波散射问题是弹性动力学的反问题， 即是在已知弹性波散射效应的前提下反推诸如散射体( 埋藏物) 的位置、大 小及方向，以及介质特性、发射源等。要系统地解决这些反问题，毫无疑问， 首先要对相应的正阕题进行系统深入的研究，得到问题的固有规律和特性， 从而为反问题的最终解决奠定基础。对弹性波问题进行分析研究最早的是著 名学者a c l e b s c h 。旱在1 9 世纪中叶，c l e b s c h ( 1 8 6 3 ) 研究了光波的教射， 分析了球状夹杂物对矢量波的散射效应。9 年后，l r a y l e i g h 于1 8 7 2 年首次 对声波的散射阀题采用波函数展开法进行了研究，讨论的敖射体是网l j l 生或充 气的球状夹杂物。对弹性波的散射给出一般分析的首先是s e z a w a 【”。他在 1 9 2 7 年完成了对球、圆柱和椭圆柱体引起的入射p 波的散射的研究，利用特 殊波函数构造了闯题的解。在这以后，这方面的问题一直很少有入问津。 2 哈尔滨1 = 程大学硕十学位论文 弹性波的散射问题真正成为物理及工程领域中活跃的研究课题是在本世 纪4 0 年代末和5 0 年代中期。w o l t = 【8 1 ，n a g a s e 9 1 和k n o p o f f 1 0 1 先后对球体的散 射作了研究，内容偏重地球物理学中的应用。n i s h i m u r a 和j i m b o 【1 1 】解决了各 向异性介质中球体孔洞的动应力集中问题。他们沿用s e z a w a 早期工作的研究 步骤，通过假设一个随时间变化的谐波入射到一个无限弹性空间内嵌有刚性、 真空或弹性的球形上产生散射，从总的波来确定球体外各处的应力和位移。 他们得到了随入射波长变化的应力分布，对于频率趋于零的无限大波长的情 况，结果与相应的静力情形相吻合。 同一时期，在声学领域，w 1 l i t e 【1 2 】和k a t o 1 3 】分别运用实验和理论的方法 对弹性圆柱体的散射给予了分析。p a o 等【1 4 】、m o w 等【1 5 】还探讨了圆柱体内含 物体的动应力集中问题。b a r o n 等人 1 6 , 1 7 1 率先对弹性介质中圆柱形空腔引起 的脉冲散射问题进行了分析，使用积分变换和波函数展开法给出了压缩波散 射的解析解。 j a i n 和k a n w a l 1 8 , 1 9 还全面研究了圆柱形缺陷( 或内含物) 和球体对弹性 波的散射，得到了长波长情形下的位移场、应力场、远场幅值、动应力强度 因子及散射横截面的近似公式。这里，对圆柱体和球体，求解的途径仍是采 用波函数展开法。 d a r t 等人提出采用匹配渐进的方法分析了半空间内含柱形孔洞对p 波、 和s v 波和s h 波的散射问题，给出了远场的渐近表达式及相应的数值解。此 方法的基本思想是将原问题转化成对应于散射近场和远场的内外两个问题来 考虑，而这个问题的解是应用不同的级数展开形式的解为依据，通过一定的 条件匹配而得到的。k r i e g s m a n n 等人【2 l 】近年来利用这一方法讨论了声介质中 的散射问题。 刘殿魁等人【2 2 】于1 9 8 2 年成功地将弹性静力学中的复变函数法推广n - - 维散射问题的分析之中。对于单个和多个任意形状的孔洞，该方法可有效地 解决动应力集中问题。 1 3 波动问题的研究方法 近几十年来，一大批有识之士致力于弹性波散射问题的研究，已提出多 种分析方法用于弹性波散射的远近场分析【2 3 1 。这些方法多数可推广用于界面 3 哈尔滨工程大学硕士学位论文 波动问题的研究，其中主要有： ( 1 ) 波函数展开法：在曲线坐标中，通过对标量或矢量波动方程作变量分 离，利用一些曲线坐标和与之对应的特殊函数 2 4 1 ，如b e s s e l 、w e b e r 、m a t h i e u 函数来构造波动方程的解，并进一步满足边界条件，求解边值问题。由于曲 线坐标的种类有限，到目前为只有1 1 种( 直角坐标、圆柱坐标、椭圆柱坐标、 球坐标、圆锥坐标、抛物线坐标，扁长球面坐标、扁球面坐标、椭圆球面坐 标、抛物面坐标) ，而对于矢量波动方程，分离坐标的数量仅限于前6 种，因 此，该方法在使用上受到很大限制【2 5 1 。但是它所提供的原则和解答，对人们 以后求解弹性波散射和动应力集中等问题起到了非常重要的作用。 ( 2 ) 积分方程法：广泛应用于弹性波散射问题的研究。一般从弹性动力互 等原理出发导出积分方程。根据积分表达式定理，可以用一个面积分和一个 体积分来描述由任意形状的物体产生的散射波。对于材料性质不连续的夹杂 物，可以通过等价的体积力与周围介质g r e e n 函数的体积分来描述由不连续 区域引起的散射波。由于体积分中的未知函数含有总波场，所以我们得到的 是关于散射波的积分方程，其类型主要为f r e d h o l m 型积分方程和具有c a u c h y 型积分核的奇异积分方程。可用渐近方法或叠代方法进行求解。如果第一次 试函数用入射波长代替总波场，所得的解被称为b o m 【2 6 】近似；如果用静态场 代替未知的总波场，所得的解被称为静态近似【2 7 】。积分方程对于二维定常波 和瞬态波问题很有效。 ( 3 ) 积分变换法：利用已有的积分变换将偏微分方程化为变换空间的代数 方程或常偏微分方程进行求解，再将得到的解答做逆变换到物理空间，从而 得到真实解答。该方法多被用于瞬态动力问题的分析，但逆变换一般需要进 行数值反演，由于反演具有内在的不稳定型而常常遇到困难。 ( 4 ) 传输矩阵法( t - 矩阵法) ：适用于任意形状散射体的弹性体散射问题。 根据定常弹性波的不同表示定理，w a t e r m a n 2 8 1 和p a o 2 9 】等几乎同时提出了弹 性波散射的t - 矩阵法。这种方法来源于电磁波和声波的散射矩阵理论。它的 基础是弹性波散射的积分表达式和各种波函数，即把积分表达式中的已知或 未知函数用波函数表达，考虑边界条件得到求解未知系数的t - 矩阵方程。转 换矩阵的主要特点是如果散射体确定，则转换矩阵不变，与入射波无关，而 4 哈尔滨1 二程大学硕士学位论文 且转换矩阵具有某种正定性。 ( 5 ) 摄动法：对波动方程或其边界条件进行摄动，然后再进行求解的一种 近似方法。以摄动边界法居多。摄动法也常和其它方法相结合用于问题的求 解。近几十年来这一方法又发展为渐近匹配法，将原问题变为内问题和外问 题，内外问题用不同的级数求解，然后按一定的条件匹配起来。这种方法用 于声波和弹性波【3 0 1 ，研究任意形状物体的各种参数对散射的影响。 ( 6 ) 射线法：k e l l e r 和l a v y 根据声波理论提出的射线法在波动理论中得 到深入的发展。a c h e n b a c h 【3 l 】等详细阐述了射线法在弹性波散射理论中的应 用。弹性动力射线法的思想是把波动方程中的势函数取为级数形式，该级数 具有未知的振幅和相位函数，在高频意义下，获得的相位函数满足径向方程， 振幅满足传输方程，其结果与实验结果吻合。尽管射线理论在原理上仅仅对 高频波适用，但是实际上可以用于一定的低频范围。 ( 7 ) 复变函数方法：刘殿魁等人【3 2 , 3 3 1 提出的复变函数方法为求解二维散射 问题提供了一个新的有效方法。此法是弹性力学复变函数法的推广，在保角 变换下，引入“域函数”的概念，使得变换后的波动方程的通解可以表示为以 “域函数”为项的波函数的级数形式，通过离散满足边界条件的级数方程为线 性代数方程组，可以数值求解。该方法对任意形状的夹杂以及任意形状的带 衬砌的孔洞的弹性波散射问题较为有效【3 4 刁7 1 。该方法已经应用于板壳开孔( 包 括大孔) 等问题的研究 3 8 , 3 9 。 ， ( 8 ) 数值方法：鉴于弹性波动问题本身的复杂性，人们采用理论分析和数 值计算两种方法来求解问题。在通常的情况下，解析解很难得到，它只限于 几种最简单的情况。由于实际介质的情况的复杂性和多变性，使得解析方法 的应用常常受到限制，而直接的数值方法也被用来分析稳态波入射问题，其 中，透射边界研究取得了重要进展，有限元法、有限差分法、边晃元法、边 界法和混合法等数值法取得了大量的在工程中有使用价值的研究成果。然而， 计算量大、高频波入射时误差不易控制以及不易实现对问题的深入分析等， 仍然是数值方法将要克服的缺点。 1 4 本文的主要工作 建立了求解带有地表覆盖层的浅埋相邻多个圆形孔洞对稳态s h 波的散 5 哙尔滨z 程大学硕士学位论文 射物理模型，给出一定边界条件下的s h 波散射和动应力分析的解析方法。 首先利用复交遁数法和波函数震_ 开法给出了具有地表覆盖屡的弹性半空闻内 圆形孔洞在稳态s h 波作用下动鹿力集中问题的解。根据s h 波散射的衰减特 性，该问题采用大圆弧假定法1 4 0 挪1 求解，幂| 用半径很大的圆来拟合地表覆盖 层的直边界，将具有地表覆盖层的半空间直边界问题转化为曲面边界问题。 借助h e l m h o l t z 定理预先写出问题波函数的一般形式解，再利用边界条件并 借助复数f o u r i e r - h a n k e l 级数展开把闷题化为求解波函数中未知系数的无穷 线性代数方程组，截断该无穷代数方程组可求得该问题的数值结果。最后， 透过算例讨论了缝表覆盖层对浅埋匿形孔洞动应力集中的影响。 本文具体工作如下： 第l 章：概述弹性波动理论的工程背景与应用，阐明有关的基本概念、 研究状况和基本方法，介绍了弹性波散射引起的动应力集中情况。 第2 章：介绍了弹性动力学的基本方程，有关弹性波的的基本知识。 第3 章：研究了带有覆盖层的半无限空间中单个圆形孔洞对s h 波的散射 问题。利用复变函数法和多极坐标移动技术求解讨论了带有覆盖层的半空间 内浅埋圆孔对稳态任意方向入射平面s h 波的散射问题。为了克服直接构造 波函数场的困难，采用一个半径很大的圆孔边界来拟合半空间的直边界，因 丽原来问题就转化为半空间内大圜孔和小圆孔对入射平面s h 波的散射闻题 即采用大圆弧假定法求解。借助h e l m h o l t z 定理预先写出问题波函数的一般 形式解，再利用边赛条件并借助复数f o u r i e r - h a n k e l 级数震开把阆题化为求 解波函数中未知系数的无穷线性代数方程组，截断该无穷代数方程组可求得 该问题的数值结果。最藤给出了具体算例，并对其进行了讨论。 第4 章：研究了带有覆盖层的半无限空间中多个圆形孔洞对s h 波的散射 与动应力集中问题。其求解思路同带有覆盖层的半无限空间中单个圆形孔洞 的散射闯题相同，但在构造多个圆孔的散射波时，利用复变函数法和多极坐 标移动技术，建立了多个圆形孔洞的级数形式散射波位移场。 最后，总结了本论文的工作，并展望了本文给出的方法的应用前景。 6 哈尔滨工程大学硕十学位论文 第2 章基本方程 2 1 弹性动力学的基本理论 2 1 1 弹性动力学的控制方程 由动量平衡、角动量平衡和能量平衡三个原理可以推得体积为v ，表面 为s 的连续、均匀、各向同性的线弹性体中的动力学翊题的控制方程【5 0 1 为： 运动方程 o - o ，j 夕l = p g ( 2 l 本构关系 几何方程 = 概磊+ 2 z 勺 ( 2 - 2 ) 白一l ：z ( u ，十) 由角动量平衡原理导出的结果是： ( 2 - 3 ) e 目k a 露一q浓= a 皤 p 考虑到应力和威变的对称性，上述应力张量、应变张量和位移矢量的分 量共计有1 5 个未知数，当体力、密度和弹性常数为已知时，g 1 ) 、( 2 2 ) 和( 2 3 ) 共计1 5 个方程，这组方程便成为一套完整的方程组，在适当的边界条件和初 始条件下就构成弹性动力学的定解方程。 对于均匀各向同性材料，把( 2 2 ) 和( 2 3 ) 代a ( 2 一1 ) 可得以位移矢量作标志 的运动方程 ( 帅) 鲁+ 杀x + p 乃= p 孥o t ，f ，川，2 ，3 ( 2 _ 5 ) 仂0 x f出，f 。 一 7 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 2 1 2 波动方程的简化 在不受体力作用的情况下，位移运动方程用矢量和张量符号表示为 ( 五+ ) v ( v u ) u v 2 u = p i i( 2 6 ) 按照h e l m h o l t z 定理，任何一个矢量场都可以表示为个标量场的梯度 与一个矢量场妒的旋度之和： 露= r e + v x 媛 v + 罗= 0 ( 2 - 7 ) 和妒称为标量和矢量位移势。将上式代入方程( 2 6 ) 得 v 【( 名+ 2 ) v 2 矿一p 参】+ v 【胛2 妙一p 矽】= 0 ( 2 8 ) 如果 v 2 矽= 方，c ；= ( a + 2 1 “) i p ( 2 9 ) v 2 沙= 多， = t ip 、 上述方程便可以满足。这里可以看出，功和妒分别满足一个标量波动方 程和一个矢量波动方程。 由于波动方程比原始运动方程简单了许多，所以，可以从方程( 2 。7 ) 构造 出巍的鼹，并使萁势能满足波动方程( 2 。9 ) 以及边值条件和初始条件。完备性 定理指出：( 2 - 6 ) 中的每一个解都能分解为式( 2 * 7 ) ，所含有的和妒均满足方 程( 2 9 ) ( v 妒= 0 并非唯一条件) 。完备性定理还肯定在弹性固体里仪存在 两神类型的波，其一是以速度e 岔传播的矽波，其二是以速度q 传播的妒波。 由于元 0 和 0 ，故c 口恒大于c ，。这两中波的波速之比仅仅是材料、泊松比 y 豹函数，用单独符号签来表示 彭一詈= ( 竽习2 - 2 v 专( 2 - 1 0 ) 1 c s薛 一a 8 哈尔滨：r 程大学硕十学位论文 由v 矽产生的波的速度较快，称为初波( p 一波) ，由v 产生的波称为次 波( s 一波) 。为了用别的物理性质来区分这两种波，考虑位移分解式 u = l t l l + u 2 ( 2 1 1 ) 式中已记 u l = v 矽 u 2 = v x 、l ， ( 2 1 2 ) 由上式易知 v x u l = v ( v 矽) = 0 v 1 1 2 = v ( v 、i ，) = 0 ( 2 1 3 ) 这意味着，矽对应的波无转动变形，仅有体积变形和剪切变形；妒所对应 的波则仅有剪切变形和转动变形。前者由此又称为膨胀波、无旋波、压缩波、 纵波、p 波( p r i m a r y 或p r e s s u r ew a v e ) 等名称；后者又被称为旋转波、等体 积波、剪切波、横波、s 波( s h e a r 或s e c o n d a r yw a v e ) 等。 2 2 固体中的平面波 固体中平面波表示为 u = a f ( x n - c t ) ( 2 1 4 ) 或 u i = a i f ( x k n k - - c t ) ( 2 1 4 ) 其中，4 为振幅矢量；f 为任意函数；脬为波面法线，即波的传播方向；c 为 波速。将式( 2 - 1 4 ) 代入( 2 6 ) 可以看出，只有在 ( 兄+ ) ( a 刀) 刀+ ( 一p c 2 ) a = 0( 2 1 5 ) 时，( 2 1 4 ) 式给出的形式才能代表弹性固体中的平面波。 还可以用位移势将平面弹性波表现出来，p 一波可写成 = 丸厂( ，n c p t ) 9 哈尔滨工程大学硕十学位论文 = 0( 2 1 6 ) 相应的位移为 u p = v = 丸，2f 7 ( ，。万一c p t ) 式中撇号表示对宗量的微分。 剪切波可写成 彩= 0 = 甄g ( ，z - - c s t ) ( 2 1 7 ) 式中，甄为垂直于彪的任意常矢量。令p 为剪切波的偏振方向的单位矢量。 于是我们可将甄写成= v op x 行并将剪切波写成 = 0 y = ( p x r l ) g ( r r l c s t ) ( 2 1 8 ) 式中为标度系数。由( 2 - 1 7 ) 式中的势求得位移矢量 g s = v = v o pf ( ，刀一c ) ，p n2 0 ( 2 - 1 9 ) 由于位移矢量唧总是与波的法线甩平行的，所以，关于平面p 一波的偏 振方向不会有第二种解释。但是，除非( 2 1 9 ) 式中的p 是规定好的，否则剪 切波的偏振方向则难以确定，因为。可以是许许多多与n 相垂直的单位矢量 中的任意一个( 图2 1 ) 。为方便起见，我们在介质中选一条直线作为垂直坐标 轴( 图2 1 中的x 2 轴) 任何一个垂直于该直线的平面均视作水平面。如果剪切 波的偏振方向是与水平的五轴平行的，则称此剪切波叫s h 波；如果是与垂 直平面( 鼍一恐平面) 相平行，则称此剪切波叫s v 波。由于地球表面给我们 提供了一个天然的水平基线，所以这种参考系对于处理地震波是非常方便的。 对于其它问题，我们可以有意地选择某个方向作为垂直轴，其它的轴随之也 就确定下来了。显然，p 波和s v 波构成一种平面运动的分量，而s h 波则代 1 0 哈尔滨工程大学硕士学位论文 | 1 1 1 表一种反平面运动。平面运动与反平面运动是两种不相耦合的运动。 图2 1 平面波在固体中的传播 f i g 2 1p r o p a g a t i o no fp l a n ew a v e s i ns o l i d 本文研究出平面波动问题，即s h 波的散射问题。这时只有沿着b 轴方 向的位移分量，即 = 0 甜= 0 u 3 = w ( x l ，x 2 ，t ) 相应的不为零的应力分量为 o w t 1 32 _ o x i a 形 吒32 i g x 2 ( 2 2 0 ) ( 2 - 2 1 ) 根据( 2 2 0 ) ，可将( 2 6 ) 式所含的第三个运动方程简化为单一的标量波动方程 ( 2 2 2 ) 塑扩 p = d恐 qo 形 声 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 2 3 本章小结 本章介绍了弹性动力学的基本方程，有关弹性波的的基本知识。 1 2 哈尔滨：t = 程大学硕士学位论文 第3 章具有表面覆盖层的弹性半空间浅埋单圆孑l 对s h 波的散射 3 1 引言 研究弹性半空间中界面附近圆形孔洞对弹性波散射与动应力集中问题， 在理论及工程应用中均有十分重要的意义。至今，已取得了丰硕的研究成果， 并成果己应用于实践。在分析方法中，最为著名的是波函数叠加和渐进匹配 展开法( m a e ) 【3 ”巧。7 1 。弹性波散射研究中最为简单的模型就是s h 波的散 射问题，至今仍然有很多复杂边界的s h 波散射问题没有解决，本文就s h 波作用下地表覆盖层对浅埋圆孔散射的影响进行研究，寻求具有地表覆盖层 的弹性半空间界面附近圆形孑l 洞对s h 波散射问题的解答，不但可以为研究 这类的问题提供一个工程计算的分析方法，又可为研究这类复杂问题开拓一 新思路。在理论和工程实践中，还可为材料科学、水声学、工程结构，特别 是抗震、抗爆研究中有关所谓浅埋结构的动力反应问题的研究提供参考。 对界面附近圆孔对弹性波散射问题的研究，在般意义上讲，求解该问 题的理论解是有相当困难的。随着计算力学的发展，该问题可以用不同的数 值方法进行求解，并可得到数值结果。但人们仍希望找到一个理论解，用以 研究圆形附近的动应力分布与波数和孔洞埋深的关系。本文在半无限空间中 圆孔对s h 波散射【5 7 】的基础上研究地表覆盖层的影响，以求得一个解答。 本章采用大圆弧假定法求解界面附近单个圆孔对s h 波的散射与动应力 集中问题，利用半径很大的圆来拟合地表覆盖层的直边界。将含有地表覆盖 层的半空间直边界问题转化为曲面边界问题，从而避免了直接构造位移场以 及弹性层中l o v e 波的瓶颈，借助h e l m h o l t z 定理预先写出问题波函数的一般 形式解，再利用边界条件并借助复数f o u r i e r - h a n k e l 级数展开把问题化为求 解波函数中未知系数的无穷线性代数方程组，截断该无穷代数方程组可求得 该问题的数值结果，得到了具有地表覆盖层的弹性半空间内孔洞对s h 波散 射的半解析解。最后给出了具体算例，并对其进行了讨论。 1 3 哈尔滨工程大学硕十学位论文 3 2 问题的表述 地下含有圆形孔洞、地表有覆盖层的弹性半空间如图3 1 所示。地表覆盖 层的上下边界分别标记为z ，和，厚度为，地表覆盖层的密度和剪切弹 性模量分别为b 和1 2 ；浅埋孔洞标记为墨，孔洞中心为o ，半径为尺，距 离地表覆盖层下表面q 为矗，基体的密度和剪切弹性模量分别为p j 和“；逼 近地表覆盖层上下直边界的大弧中心为q ，半径分别为r ，和尺n 。求解该问 题对s h 波散射，就是要在地表覆盖层的上边界z ，上应力自由，界面咒上应 力和位移连续，以及孔洞乃周边上应力自由的边界条件下来求解s h 波的控 制方程。由以上条件可知，该问题属于混合边值问题，为此采用“分区”思想 求解，即将整个求解区域分割成i 和i i 两部分来处理，其区域i i 为地表覆盖 层。余下含有圆孔的半空间为区域i ，矗为两个区域的“公共边界”。 图3 1 具有地表覆盖层的半空间中圆孔对s h 波的散射模型 f i g 3 1t h es c a t t e r i n go fs h - w a v eb yac i r c u l a rc a v i t yi nt h el a y e r e d e l a s t i c h a l f - s p a c e 1 4 哈尔滨工程入学硕七学位论文 3 3 控制方程 研究弹性波的散射问题，其最为简单的模型就是出平面剪切运动的s h 波 模型，s h 入射波在砂平面内所激发的反平面位移( 波函数) ( x ，y ，f ) 垂直 于x y 平面，且与z 轴无关，位移函数形( 而j ，f ) 与时间的依赖关系为 e x p ( 一f 缈f ) 。引入复数变量( z ，一z ) ，z = x + i y ，三= x 一y ，在复平面( z ，：) 内介质 的位移场满足的h e l r n h o l t z 方程为： 警+ 簪鞭：o ( 3 1 ) 8 妒a j 其中：r v , 为位移函数，位移函数与时间的依赖关系为e - 枷，( 以下分析略去 时间谐和因子e - i c 0 1 ) 。乃= 罟，缈为位移形( x ，y ，f ) 圆频率；e 为介质的剪切波 速c ；2 考伊l ，2 ) ；b 、以艄崂介质的质量密厮口剪切模量。 应力与应变的关系 = i o w ，= 面o w ( 3 - “z ) 2 i ，f 弦2 i l j ， o 。口y 引入复变量z = x + i y ，三= x 一y ，在复平面( z ，三) 上，式( 3 1 ) 和式( 3 2 ) 可 表示如下： 堡+三尼：o(3-3)oz o z 4 和 = 一( 誓+ 鲁) ，= 以( 警一警) ( 3 - 4 )2 一( i + 孝) ，2 以( i 一孝) ) 而在极坐标系中，应力表达式( 3 4 ) 有： = 竹( 孚 墨p 埘) , r a z ：i o zo z以( 孚o z 矿一鲁e 埘) ( 3 - 5 ) 。 o z 哈尔浜一1 程大学硕士学位论文 3 4 辅助问题i 在区域i 中，求解一个散射波形( 刚，它应由浅埋圆孔乏和地表覆盖层的 下边界产生的散射波嘤7 ni v 。s 7 组成，且有 w 彤= 嘤+ 嘤 ( 3 6 ) 在复平面( z ，；) 上，散射波嘤为： i v 。( c s 7 ( z ，习= 4 ，磁1 ( 毛izi ) z iz1 ” ( 3 7 ) 在复平面( z ：，乏) 上，散射波嘤为： w ，( 。s l ( z 2 ，乏) = e 碰2 ( 毛 z 2 吣：iz ：甲 ( 3 8 ) 其中，乃= z + f ( 如一) ，磁1 ( 木) 为，z 阶第一类h a n k e l 函数，磷2 ( 木) 为行阶 弟一失l - l a l l k e l 幽烈，a ，髟”t n 2 u ， i - i ，“ j 刀何冰系鳅。 相应的应力可表示为 摆= 警圭4 ， 叫n 1 ( 岛) 高rp 咿一磁n l ( 毛) 高rp 卅 c 3 柳 锟= 警副蹦”1 ) e 两i n - 冉砒 忆卜卅 。- 1 。， 锟= 等副蝴钏蚶矿卅钏蚶卟3 ， 锟= 警量最pc l ，高卜旧+ 础c l ，高卜橱 ( 3 - 1 6 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 3 5 辅助问题 同样，在区域i i 中求解一个散射波w ( s n ) ，它应由地表覆盖层的上下边 界乃和产生的散射波w ，( u s l l ) 和w 。f l 。s 1 1 ) 组成，且有 形= 嘤+ 嘤 在复平面( z 2 ，乏) 上，散射波w , ( 。s i i 和w 。, ( 。s l l 为： ( 3 - 1 3 ) w 。( 。s l l ( z 2 ，乏) = e 叫1 ( k 2z 2 吣：iz ：旷 ( 3 1 4 ) 铲，) ( z ：，乏) = p 。磁2 ( 砭iz ：1 ) 【z 2 ，lz 2i r ( 3 1 5 ) 六下，l 月，l ，z 2 u ，- - - - 1 , 彭，j 州付水糸鳅。 相应的应力可表示为： 摆= 等量e 忙靴) 南卜咤一硪c 乞) 南卜喝 p 6 ， 锟= 警副嘲蚓舢础i ) n 1 p 吗 ( 3 - 1 7 ， 龌= 等量峨pc 哎，高卜虬硼c 乞，高卜喝 ( 3 锟= 华纠蜘圳时舢蛳圳时p 喝 ( 3 - 1 9 ， 3 6 问题的解答 如图3 1 所示，有一稳态的s h 波沿与x 轴正向成的方向入射到具有 地表覆盖层的弹性半空间，在复平面( 互，i ) 上，入射波形可写为： 1 7 哈尔滨工程大学硕十学位论文 砂) = 帅p 佟 z 1 p 嘲碍州) ( 3 - 2 。) 式中，z l = z - i t 气，为入射波的最大幅值。 相应的应力可表示为： r 出e ( 0 咄- i t o c o s s i n ( ( = 罐嚣# p 叫 臼一础x p 粤( 叩嘲坪峨) 一 式中，= j u 。k , w o 是入射波产生的剪应力幅值。 利用边界条件，地表覆盖层的上边界弓上应力自由，孔洞毛周边上应力 自由，以及两个区域的“公共边界”应力和位移连续，可得到求解问题的定解 方程组： ( 口) 毛( i z l = 尺) ：r 攀+ 铭( s ，o 珐+ 锟= o 暑裂挛r 如；：嚣焉翥笺二爱，仔22，d ww ( s l l ( c ) 弓( 吲= ) ：o ) + 嘤+ 噶= 吲y ) i 。) 、。 ( d ) 乃( 蚓= ) ：捌+ ( s ，i 殇i ) = o 将位移和应力表达式代入边界条件( 3 2 2 ) ，有 ( 口) 4 0 0 戗4 吲g , - o 。) b 。- 1 ：r ( 6 ) 4 - o o 群4 t + 酲：最一，- ，3 ( 。1 ) t 一- - , ，一矗：q ：7 ： ( c ) 4 , 0 0 靠4 + 受 e 一蘸g 一酲：或 ：7 7 3 ( 3 - 2 3 ) ( d ) 睇g + 搿见i = o 1 8 哈尔滨工程大学硕士学位论文 式中 砀叫c 。s ( o - ) e 印愕il 互p - i 响+ 乏产) ) 珑叫驴s ( o - g o ) e x p 偿( 印驴) ) = 一帅p 浯c z i e - z a o + 私 ) 厂( i ) n = 丝2 础( 毛 z i z n - ie i 0 _ 碰n i ( 毛【z iz p 卅) 酬= 纽2 础( 包i 乞e 哆一础( 毛i 乞她iz ：旷p 鸣) 靠) = 等 碰n l ( 墨l z j ) 【z iz n - ie i o _ 叫n l ( 毛lzi ) z 1zl re 卅) 酲：= 2 2 - i ( 毛iz 2i ) z ：iz ： n - ie i o , _ 硎( 岛iz 2 | ) z 2 iz ：p - f 岛) 蠢) = 警 搿= 等 叫n 1 ( 如lz ： ) z ：lz 2 旷p ，岛一磁n l ( 乞l 乞1 ) 乞i 乞旷“p 一魄 2 - 1 ( 屯lz ：i ) 【z ：1z 2 n - ie i 0 2 _ 碰碧( 如iz ：1 ) 【z ：iz ：f ”p 一哇) 础( 岛i z 2 | ) 【乞化：旷p 坞一础( 岛i - - 2i ) z j iz ：旷p 一呜 搿= 警 础( 砭【z 2 i z 2l 卜魄一硼( 如 z 2 i 乞l n 一缝 靠= 碰1 ( 墨iz 吣iz 旷 搿= 磁2 ( 墨i 乞吣：iz 2 旷 畿= 磁( k 2i z ：i ) z 2 iz 2 彤 鲋= 磁2 1 ( k 2iz ：i ) z 2 iz 2 旷 ( 3 2 4 ) 在方程( a ) 式两边同乘e x p ( 一i m o ) ，在方程( b ) 、( c ) 、( d ) 式两边同乘 e x p ( 一i m 0 2 ) ( m = o ，1 ，2 ，) ，并分别在( 一万，万) 上积分，则化简为未知系数 4 ，吃，e ，q 的一组无穷代数方程组。 1 9 l 信尔浜_ 7 2 程大字由贝士掌位论文 艺 辨4 + 劣或 ：甲。 艺 ：i ：) 4 i + 粤或一婴e 一粤见 ：甲： 艺 簿以+ 卿晟一婴e 一2 破 ：甲，( 3 - 2 5 ) 艺 。辨e + 螂q ：o 其中 辨= 石1f f f 卫) e x p ( 一i m o ) d o 三冗二 戮= 去p 唧( 嘲臼) d 口 甲- 2 去- 7 7 1e x p ( 嘲目) d 秒 1 2 ) 1 7 。( 1 ( ；) e x p (