（理论物理专业论文）goy壳模型中混沌到准周期解的转变.pdf

摘要 湍流是近百年来物理学界的难题之一。湍流的混沌性、阵发性是多年来人们研究 的几个主要方向，其中湍流的阵发性是湍流运动的本质特征，一直是现代湍流理论研 究的中心问题之一。目前的研究结果虽然还不能揭示湍流许多特征方面的物理实质， 甚至无法给出这些特征完整满意的描述，但是经过大量研究者的长期努力，现在对这 些问题也有了一些初步的理解和认识。 本论文的第一章简要介绍了湍流理论的相关背景知识以及研究湍流的实际意义。 第二章介绍了作者研究过程中所引用模型( g o y 壳模型) 的发展历程和详细的理论知 识，还介绍了在数值计算过程中引用的数学方法一s l a v e a d a m s - b a s h f o r t h 方法。 第三章、第四章和第五章是作者本人的主要研究工作。第三章第一节研究了湍流在准 周期解相空间轨道的情况，着重对第五个、第六个、第七个等几个有代表性的壳的相 空间轨道进行了研究；第二节分析了第七个和第十个壳相空间轨道在充分发展湍流、 准周期解、稳定解各个态的变化情况，并对相应参数的时间序列图进行了分析，这些 工作对研究湍流发生的实质有促进作用；第三节研究了第六、第七两个壳交点方位夹 角的关系，进一步研究了夹角发生变化的实质。第四章研究了各个壳的能量平均值随 粘滞系数l ，的变化情况，分析得出在能量平均值曲线上有两个转折点，并且进一步研 究了处于惯性区的各个壳能量的关系、分析了相邻壳之间能量的传输关系，这对以后 人们研究湍流的能量传递方式将有很大的帮助；在本章还研究了充分发展湍流和准周 期解的参数相图，这对分析湍流在不同参数下所处的状态有更进一步的帮助。第五章 研究了g o y 壳模型中充分发展湍流、准周期解、稳定解、从充分发展湍流到准周期解 过渡中各个态对应的能量平均值与壳的关系，分析得出在惯性区能量平均值变化非常 平缓，进入耗散区后能量平均值迅速减小，还发现对于同一个壳粘滞系数越大能量平 均值减小的越快。这一结果将有助于研究各个态下能量的传递。 关键词：g o y 壳模型充分发展湍流准周期解 i i i a b s t r a c t t u r b u l a n c ei sad i f f i c u l tp r o b l e mi np h y s i c si nt h el a s th u n d r e dy e a r s ，t h ee x p e r t sa n d s c h o l a r sh a v eb e e ni nu n r e m i t t i n gr e s e a r c hu pt on o w i ti sp r o p e r t i e so fc h a o t i c 、 i n t e r m i t t e n ta r et h em a i nd i r e c t i o n sf o ri n v e s t i g a t i n g i n t e r m i t t e n c yi so n eo ft h ec o l e c o n t e n t si nt h em o d e r nt u r b u l e n c et h e o r y , i si nf a c ta ne s s e n t i a lc h a r a c t e rt ot u r b u l e n c e i t i si m p o s s i b l et ou n d e r s t a n dt h ee s 副m o ft h ea b o v ep r o p e r t i e sc o m p l e t e l yi nt h e s ed a y s b u tt h r o u g hm a n yr e s e a r c h e r sl o n g - t e r r a e n d e a v o r , p e o p l eh a v es o m ep r e l i m i n a r y u n d e r s t a n d i n ga n de l e m e n t a r yk n o w l e d g e t ot h e s eq u e s t i o n s i nc h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n dt h ep r a c t i c a lm e a n i n go ft u r b u l e n c e i nc h a p t e rt w o ，w ei n t r o d u c et h eg o ym o d e lk n o w l e d g ew h i c hw eh a v eu s e di no u r p a p e r w e a l s oi n t r o d u c et h en u m e r i c a l i m p l e m c n t t a t i o n w h i c hi ss l a v e d a d m a s - b a s h f o r t h - s c h e m s i nc h a p t e rt h r e e , t h ef i r s ts e c t i o nw es t u d yt h et r a c ks i t u a t i o no f q u a s i - p e r i o d i cs o l u t i o ni np h a s es p a c e ，s e p a r a t e l ys t u d i e df i f t h , s i x t h , s e v e n t hs h e l l s ；t h e s e c o n ds e c t i o nw et a k es e v e n t ha n dt h et e n t hs h e l lf o re x a m p l e 协a n a l y zt h er e l a t i o no ft h e p h a s es p a c et r a c ka n dt h ee n e r g y ；t h et l l i 坩s e c t i o nw es t u d yt h er e l a t i o n s h i po ft h ep h a s e a n g l ea n dt h ev i s c o s i t yc o e f f i c i e n t ，a sw e l l 勰w i t hm e d i a ne n e r g yr e l a t i o n s ，i nc h a p t e rf o u r , f i r s tw ei n v e s t i g a t et h ec h a n g es i t u a t i o no fe a c hs h e l le n e r g y 、析mt h e t h ev i s c o s i t y c o e f f i c i e n t , t h ea n a l y s i sh a so b t a i n e dt h es a m ea n dt h ed i v e r s i t yi nd i f f e r e n ts h e l l s ，w ea l s o f u r t h e rs t u d i e de a c hs h e l l se r l c t g yr e l a t i o n si nt h ei n e r t i aa r e a , i nt h ef o l l o w i n g ，w es t u d y t h ea z i m u t ha n g l e sr e l a t i o no ft h es i x t h , s c v e n t ht w os h e l l s i nc h a p t e rf i v e ，w ei n v e s t i g a t e t h ec o n n e c t i o no ft h ee n e r g ya n dt h es h e l li nt h ef u l ld e v e l o p m e n tp a r t , t h eq u a s i - p e r i o d i c s o l u t i o np a r t , t h es t a b l e s o l u t i o np a r ta n dt h et r a n s i t i o np a r t t h el a s tc h a p e ri so u r c o n c l u s i o n k e y w o r d s ：g o ys h e l lm o d e l d e v e l o p e dt u e b u l e n c eq u a s i - p e r i o d i cs o l u t i o n i v 学位论文原剖性声明 本人所提交的学位论文g o y 壳模型中混沌到准周期解的转变，是在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人 和集体，均已在文中标明。 本声明的法律后果由本人承担。 茹e 吾；纾鸡指嬲麓嚣：蝴弘稍年多月尹同矽熠年囊垆日n l 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解河北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河北师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保 存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在年解密后适用本授权书) 论文作嚣( 签名) ：何晚呜 指导教师( 签名 2 删留年月垆日 硝年“ 重i 1绪论 1 1 湍流研究的历史与现状 1 1 1 湍流研究背景简介 湍流是一个历史悠久的问题。在过去的一个多世纪里，很多国外学者如b e n z i ， b i f e r a l c l l , 2 1 等，很多国内学者如余振苏【3 朋，周培源【5 1 等对湍流作了大量的实验分析和理 论研究。这些研究结果使人们对湍流的本质和统计结构逐步形成了一定的共识。湍流理 论的发展经历了几个过程，形成了几个主要的发展趋势。早期，人们对流体力学的基本 方程n a v i e r - s t o k e s 方程抱。7 】进行平均，得到著名的雷诺方程。为使方程封闭，人们设 法将湍流脉动部分的贡献即雷诺应力，通过建立模型用平均场来表示。这些模型的进一 步发展构成今天所说的湍流模式理论。湍流的模式理论是经验型和量纲分析型的，而经 验公式的应用范围事先是难以估计的，这是由于没有考虑到湍流脉动的多尺度结构。上 世纪4 0 年代以来，以俄罗斯著名数学家k o l m o g o r o v 为代表的统计学派，开始注意到湍 流场的多尺度描述。k o l m o g o r o v 基于本人创建的随机场理论，对极高雷诺数均匀湍流 的二阶关联函数及其傅氏变换，即所谓的能谱进行了一些描述，预言了能谱惯性子区的 存在以及著名的5 t 3 定律，并由此引出一系列概念，如普适定律( u n i v e r s a l i t y ) ，局部级串 ( 1 0 c a lc a s t e ) 和自相似律( s e l f - s i m i l a r i t y ) 。k o l m o g o r o v 在1 9 4 1 年建立的局地均匀各向同 性湍流理论，是湍流漫长研究历史中的一个重要的里程碑，它给出了小尺度湍流一种普 适的定量关系i 引，而且，小尺度湍流规律的普适性从此成为湍流理论界根深蒂固的核心 观念，至今仍然影响着湍流理论研究的方方面面。然而，从传统的流体力学观点来看， k o l m o g o r o v 的理论【9 卅1 】也不是无懈可击的。k 4 1 湍流理论 9 1 在其建立初期受到大量的实 验支持，但随着实验技术的提高和理论研究的进一步深入，k 4 1 湍流理论【9 】乃至小尺度 湍流的普适性受到越来越广泛的怀疑，被动标量的实验结果表现出比速度场更大的偏差 1 2 1 。由于强调了普适性，k 4 1 理论州没有涉及到对特定流体力学结构的任何分析和描述 这使研究湍流的流体力学家深感不安。一些著名的学者如周培源，s a f f m a n 等对k 4 1 理 论【9 】一直持有怀疑态度。周培源是湍流理论界结构学派的一个重要代表【】，他就曾主张 用n a v i e r - s t o k e s 方程的基本流动结构( 如漩涡结构) 的统计分布来计算湍流场的统计相关 函数【。 k o l m o g o r o v 在1 9 6 2 年改进了k 4 l 理论【9 1 ，得到著名的k 6 2 15 结果，这次改进影响 深远，至今余波尚存。目前人们仍然热衷于对“l 理论【9 】进行各种形式的改造，这些改 造是本质性的，不只是数值精度上的提高，它将导致i ( 41 湍流图景及小尺度湍流普适性 概念的全面更新。现在人们普遍认为，尽管k 4 1 理论【9 】的偏离只是一个经验事实，其存 在性亦由于不同程度的实验含糊性而未得到充分证实，但我们似乎已经不可能回到k 4 1 意义上的普适性了。实际上，甚至小尺度湍流本身也依赖于不同流的性质，t i e d , 尺度湍 流的普适性要比k 6 2 意义上的普适性更为弱化，乃至根本上就不具备什么普适性【j 6 】。 湍流的间歇性是湍流运动的本质特征。粗言之，间歇性是指对g a u s s 分布的偏离。 更明确地说，小概率事件比g a u s s 平庸分布所预期的更有可能出现，而且随着尺度的逐 渐减小。这种偏离越来越大。湍流界长期的研究结果表明湍流场具有间歇性，表现在非 平庸( 非g a u s s ) 的统计特性、大尺度相干结构的出现以及反常标度性质( 偏离i ( 4 1 理论) 等方面。研究表明，标量场同样的表现出问歇性 1 7 , i s ，而且具有比速度场更大的间歇性， 即使是g a u s s 型速度场，其标量场也具有反常标度性质并出现相干结构。间歇性反映了 湍流结构在时空中的不均匀出现或涨落的性质，可以用多重分形结构唯象地描述。以上 所述仅涉及到小尺度湍流的复杂性质。湍流在大尺度上表现出更为复杂多样的性质：各 向异性，相干结构，间歇性等，在小尺度不甚明显而颇多争议的事实在大尺度上更充分 的突显出来。这些性质对各种具体应用有至关重要的影响，是应用领域( 光在大气湍流 中的传输，航空航天等) 值得重点关注的方面。为了估计输运及混合的性质，必须知道 流量、协方差等一系列的统计物理量，而这些统计量都是在大尺度( 包括时间和空间) 上 进行统计的1 1 6 1 。 很多学者专家对湍流不同方面的研究使人们对湍流有了更深的了解。余振苏先生【3 】 对湍流标度律的研究对人们认识大自由度或多尺度非线性系统的结构和复杂过程有很 大的帮助，并且深入研究了湍流的扩展自相似性( e x t e n d e ds e l fs i m i l a r i t y , 简称 e s s ) 1 争- 2 2 ) 。湍流的标度律 2 3 1 是指在高雷诺数流动中，大量实验观测到相隔距离z ( ，在 惯性子区范围内) 的两个点的分量形式速度差的统计矩( 所谓的速度结构函数) 或在尺度 球内的空间平均能量耗散率对，呈幂次规律变化。标度律的重要性在k 4 t 理论翻出现后， 变得越来越明显。k o l m o g o r o v 认为，当雷诺数充分大时标度指数是普适的，与大尺 度脉动运动的统计特性、粘滞耗散机理和流动环境无关。k 4 1 的普适性假设是半个多世 纪以来湍流理论的基础，它使人们怀着极大的兴趣探索湍流运动的“根本性”规律，不依 赖于复杂环境和湍流产生机理的一般规律。如果这样的一般性规律存在，这一探索将首 2 先在湍流的标度律理论中开花结果。标度律问题成为人们对湍流基本机理研究的试金 石。由于标度律有很重要的理论意义，近几十年来实验测量标度律指数成为基础研究的 热点。对开放边界的均匀湍流场，许多实验事实表明，标度律是普适的。更富有启发性 的是，实验测量值在定量上与计算机模拟的周期性均匀各向同性n a v i e 卜一s t o k e s 湍流 的测量值非常吻合。但同时实验也发现，许多封闭性流动( 如低温氦气湍流， t a y l o r - - c o u e t t e 圆柱漩流等等) 表现出比均匀各向同性湍流更小的标度指数【2 4 2 5 1 。在自然 流动环境( 如大气、海洋) 中测量的标度指数呈现出更为丰富的变化。因此看来，即使对 充分发展的湍流而言，标度指数也不是完全普适的。可以认为，标度指数中包含了一系 列湍流力学状态的信息，系统地研究多级相关函数的标度指数，将为描述湍流自组织状 态提供重要的线索【8 】。 湍流标度律的研究引起物理学界研究临界现象的专家们极大关注。与平衡态统计物 理学所研究的相变系统相比，湍流系统具有更大的复杂性。从动力学角度讲，湍流是一 种包含着从大尺度到小尺度的能量级串过程的非平衡介质。能量级串引起的多级相关反 映与各阶速度结构函数的标度指数具有非线性依赖关系，这就构成著名的反常标度律问 题。反常标度律的实验事实构成对k 4 1 理论【9 1 ( 线性标度指数律) 最大的挑战羽。 近年来，国际上许多学者用分析或数值的方法来计算三维湍流场的统计特性，使这 一研究又显示出复兴的趋势【2 6 - - 2 5 。但是，上世纪七、八十年代人们对湍流“拟序结构， 的实验研究，并没有对基本的“湍流元”结构产生共识。那么，今天试图用某种基本的“湍 流元”来完全描述复杂的多尺度湍流场，前景也是不容乐观的【引。近几十年，人们开始关 注被动标量场的统计性质，例如：温度场和弱磁场【2 争啦! 。壳模型在被动标量场中的理 论分析和数值模拟近几年也得到了广泛的应用【1 8 3 3 3 6 】。国内的一些学者如应用物理与计 算数学研究所的赵英奎【3 8 】就在研究这些问题。 1 1 2 湍流研究的意义 自从1 8 8 3 年r e y n o l d s 做了著名的实验以来，一百多年里湍流一直是科学的前沿和 挑战性问题之一。历史上，包括k a r m a n 、k o l m o g o r o v 、l a n d a u 和周培源在内的许多著 名科学家对湍流的研究均未获得大的成功。在跨越了两个世纪之后的今天，尽管人们对 湍流的发生机理和湍流运动规律的了解有了很大的进展，湍流研究在工程技术上的应用 也取得了很大的成就，但是从本质上来说，对湍流的认识还很不全面，还有很多基本的 问题没有搞清楚。湍流是大气系统中复杂现象的集中体现，它主要是由大气动力状态和 热力状态的不均匀作用而引起的。早在1 9 1 5 年，著名湍流学者g i t a y l o r 就开始了大气 3 湍流研究，当时流体力学家对湍流问题的研究也才刚开始不久，著名的湍流能谱 - 5 3 定律”就是首先在大气中得到实验证实的。近半个世纪以来，以m o n i n - o b u h o v 提出的相 似理论、d e a r d o r f f 提出的大涡模拟、美国k a n s a s 州观测实验等为代表，大气湍流的研 究已经取得了很大的进展和丰硕的成果，并在天气、气候研究和工程实际中获得成功地 应用。未来大气湍流研究存在的问题或面临的难题有以下几个方面：一、大气湍流的发 生机制；二、大气湍流的间歇性和标度律；三、大气湍流的拟序结构；四、稳定层结条 件下的大气湍流；五、大气湍流的混沌动力学特征；六、大气湍流的数值模拟；七、复 杂下垫面湍流过程的参数化；八、大气湍流与污染扩散；九、大气湍流对声光电传播的 影响；十、晴空湍流。 从上面的研究发现湍流理论在我们日常生活中有很多重要的应用，研究湍流的产生 机制，对治理大气引起的环境污染，航空中( 晴空湍流) 遇到的大气湍流问题都有很大的 帮助。除了以上列举的十个代表性问题外，对于研究全球变化、气候和环境预测等问题 也提供了理论依据。人们还开始重视将一般的大气湍流研究向两个“极端”延伸：一个是 诸如植被、农作物和建筑物室内等较小尺度的范围，例如叶片表面的湍流流动对水份蒸 发的影响；另一个则涉及天气尺度和中尺度范围的大气湍流，从而全面、综合地考虑湍 流过程和湍流通量输送( 包括动量、热量、水汽、气溶胶和二氧化碳等) 的影响。这些都 将对大气湍流的研究提出新的问题和新的挑战。 1 2 内容及组织 以多个学者专家s e i k a t o 、m i c h i o - y a m a d a 3 8 1 、d p i s a 舰出o 【3 9 】等人的研究成果为理 论指导，结合近年来湍流各方面的研究进展，考虑湍流运动中能量是怎样传输的，以及 能量传输与参数的关系，是本文的中心问题。这是一个具体的应用问题，有些学者已经 进行了长期的艰苦探索，得到了一些很好的结果。所以，本文侧重于湍流运动过程中能 量的变化及能量传输与粘滞系数y 、壳的关系。 全文的主要部分由下面四章组成： 第二章讲述了本论文所引用的g l c 踅l z e r - o h k i t a n i - y a m a d a ( g o y ) t 悖捌壳模型，回顾了 g o y 模型【3 3 3 4 1 的发展历程，壳模型的理论依据是n a v i e r - s t o k c s ( n s ) 方程，文中详细说明 了方程中各个参量的具体意义。 第三章研究的是壳模型的准周期解动力学行为，第一节我们研究了准周期解的相空 间轨道，分别对第五个壳，第六个壳的相空间轨道进行了研究，研究发现它们相空间轨 4 道的绕向是不同的；进一步分析了第七个、第十个、第十三个壳的相空间轨道，发现它 们相空间轨道各自交点的连线始终锁定在阀一个方位，不随参数的变化而变化。第二节 我们着重研究了第七个和第十个壳相空间轨道位置随着粘滞系数变化的情况，并对第七 个、第十个壳相图位嚣的变化进行比较，对上面两个壳的时闻序判图髓着参数的变化进 行了研究。第三节介绍了方位兔随着粘滞系数的变化情况，发现粘滞系数刚进入准周期 解范围时方位角很依赖初值，但是随着粘滞系数的增大方位角变化很没规德。 第四章研究能量平均值与粘滞系数l ，的关系，第一节第一部分研究的是第五个、第 八个、第十一个壳能量平均值与粘滞系数，的关系，第二部分讨论的是第六个、第九个、 十二个壳的变化情况，第三部分研究的是第七个、第十个、第十三个壳的变化情况。第 二节分三都分研究了处于惯性区的壳能量的传输关系，这对以后我们研究能量的传递将 有很大帮助；第三节研究了充分发展湍流和准周期解的参数框图，这对分析粘滞系数在 不同值下所处的态有更进一步的帮助。 第五章我们研究能量平均值在不同的粘滞系数p 下与壳的变化关系。第一节分析充 分发展湍流范围能量平均值在不同的粘滞系数下与壳的变化关系，第二节对准周期解范 围能量平均值在不同的粘滞系数下随壳的变化情况进行了详细的研究，第三节对稳定解 区域能量平均值在不同的粘滞系数下随壳的变化情况进行了分析，第四节对从充分发展 湍流向准周期解转变过程中能量平均值在不同的粘滞系数下睫壳的变化情况进行了研 究。分析得出同一个壳上粘滞系数l ，越大能量平均值减小的越快。这对以后我们研究不 同态下能量的传输有很大的帮助。 最后一部分给出了结论。 5 2 g o y 壳模型简介 2 1g o y 壳模型的形成 g o y 壳模型2 0 l 是本论文引用的主要模型，现在很多学者仍然在对该模型进行研究 和改进。二十世纪七十年代早期，人们提出了能量串级的壳模型，并且有了一定的发展。 最初，其基本思想是寻找种特殊的截止方法，进而塑造傅立叶空间中平均速度场的 k o l m g o r o v 谱。其中速度变量由第n 个壳的平均能量确定： “= ：州2 e ( q , t ) d q - ( 2 1 ) 在标度，j j 1 之间的速度增量fm p ) 一m 0 + f ) i ，可以由复数速度变- m l - u 来确定。一个半 径为 t = 刀r o其中， l ( 2 2 ) 的壳模型包含模k 在颤 七 1 ) ( 2 8 ) 并且能量耗散逐渐消失 一y 9 9 “3 f ”? “( 2 9 ) 7 换言之，如果能量在小标度上没有耗散则它应该朝着大标度发生串级。与三维湍流的唯 像学相比，对于后者当r e 呻时，每单位质量能量耗散p 趋近于一个有限的非零值。 我们在此强调由一个稳定的不动点支配的模型不能产生阵发性，同时对于结构函 数，这个模型有平庸幂律变化的整体标度不变性【3 们。 2 2g o y 壳模型 为了得到一个能量耗散的阵发性模型，我们需要考虑一个可以表现出混沌的动力学 系统，而不是由一个不动点作为渐近解的壳模型。在这种情况下，混沌度的涨落是指在 高维相空间中奇怪吸引子系统产生的一个多重分形的概率测度。人们期望通过结构函数 来找出引起整体标度不变性被破坏的原因并用k o l m o g o r o v 定律进行修正。这里我们讨 论变量是复数的g o y 模型【3 3 ，3 4 j ，它的相互作用发生在最近和次最近的壳之问，除了能 量守恒之外相空问的体积也是守恒的。在这些限制下，演化方程的形式是： ( 兰+ 嵋) u 。- - i ( a 。k 。u 二+ 1 【，二+ ：+ 6 ki u 二_ i 【，二+ 1 + q k 一2 虻。吒2 ) + 厄4 ( 2 1 0 ) 其中，撑= 1 ，n ，屯= 2 k o ( 2 = 2 ) ，边界条件 岛= b m = c 1 = 巳= a 一l = a = 0 ? ( 2 1 1 ) ，是加在第四个壳上的外力。 k 4 1 理论【9 】中指出在雷诺系数很大的情况下，能量注入( 存在尺度己) 与能量耗散起 主要作用( 存在上限尺度，7 ) 之间存在一个区间( 尺度，) ，并且有r ，三，把这个区间称 为惯性区间，能量的平均值( 占) 在惯性区变化比较平缓洲。惯性区的长度与粘滞系数y 有很大的关系，关系式如下： 叩i 啦加， 从上面的式子中可以看出粘滞系数越大惯性区越短。用图2 1 来进一步说明。 能量是从大涡到小涡传递的，对应大于尺度三的区间为动力区，小于尺度印的区间 是耗散区。在数值积分时，壳数n 必须选得使惯性区在一个壳n ( 典型的 d = n - 3 ) 时终止，本文中我们取的惯性区再- - r 5 1 3 壳。为了保证当，= y = 0 时，能 量1 玑1 2 守恒，非线性项的系数满足 a 。+ 屯+ l + c 肘2 = 0 ( 2 1 3 ) u i n 图2 1 惯性区定义图 它们是根据对一个倍增因子( 与时间标度有关) 求模而定义的。在某些方面，这个模 型可以认为是纳维斯托克斯方程组的一个粗略的简化而不是一个截止方程组的集 合。 本文引用的g o y 模型f 3 3 , 3 4 1 首先由g l e d z e r 利用其稳定解来描述二维湍流，后来 y a m a d a 和o h k i t a n i 3 4 , 3 4 1 进一步修改这个模型来描述三维湍流。为了在傅立叶空间讨论湍 流问题，通常把傅立叶空间分成个壳，每个壳上只有一个或两个自由度，令玑代表 长度标度，k 1 范围内的速度差量，用具有n 个复变量矽。 笔的动力系统来模拟 r y i 舒s t o k 铝( n s ) 方程，这样的结构就构成了所谓的g o y 壳模型【1 9 捌。 g o y 模型郸5 1 是描述一维复数速度u 。集合的能量级串，一维波数集合为： k n = k o 刀 ( n = l 。j r ) ( 2 1 4 ) 这个模型是一个常微分方程系统： 警一见+ f + i c n ( 2 1 5 ) 其中见代表耗散项；e 代表受力项，它只加在低刀壳上；q 代表不同壳之间的非线性 耦合，最后一项是模型中引进能量级串的关键。这三项分别为： 见= 蟛【，。( 2 1 6 ) f 。= 绒4 “( 2 17 ) c = 础。【，二。吒2 + 氓一l 昧。吒。+ c k 一：吒l 吒2 ( 2 1 8 ) 其中，代表复共轭。该模型保持了n s 方程的主要对称性。 进一步设置u 的刚性边界条件，使得非零的虬处在f 1 ，】之间，我们取= 2 2 。对 各个常数的选择通常为： 如= 2 一，f = 5 x ( 1 + o x l o 。，a = l ，b = 一s ，c = - i + 占- ( 2 1 9 ) 从而，方程( 2 1 0 ) 可以写为： 等= 一俯：玑+ 绒4 + 呶：+ 。【，。+ 三虻。u ：+ ，一事吒吒：) ( 2 2 0 ) 由于s 与上式中的第二个平方不变量有关，所以它对于模型的定态及动力特性都有 很重要的作用。事实上壳模型的非线性项保证平方量守恒： q = lu 。1 2 ( 2 2 1 ) 其中z = 矿= 2 口，满足方程 l 一岔一0 一占) z 2 = 0 ( 2 2 2 ) 其中上式的根z = 1 及z = 譬一1 分别对应于 口= 0 和口= - i n 五( e - d ( 2 2 3 ) 第一个解对应于能量( q = e ) ，然而第二个解对应于个类似能量的不变量： q 口= iu1 2 占 1 - ：( 2 2 4 ) 或对应于一个类螺度不变量： 以= ( 一1 ) 4 l 玑i 2 占 n 的情况，一律取虬= o ，使得非零的虬处于，】之间，取：2 2 ， 1 , o2 2 。4 ，名= 2 ，8 = 0 3 8 1 9 ，厂= 5 x ( 1 + i ) x l o 3 瓯4 ，本文计算中采用s l a v e d a d a m s b a s h f o r t h 方法【4 5 1 ，选取的步长为j l = 1 0 - 4 。 下面介绍s l a v e da d a m s b a s h f o r t h 方法【4 5 1 。 首先，看一个很简单的微分方程： 警= 吨u + 酏) ( 2 2 7 ) 对上式积分整理可得： p r 4 。u ( t + 兜) - e 耐u ( t ) = = ，+ 责g 。g ( i ，) d s ( 2 2 8 ) 通过整理可得： u ( t + 鳓= p 一曲u ( 力+ f + 贵p 吨f 伯1 ) g ( s ) d s ( 2 2 9 ) 进一步积分后，用g ( f ) 代替g ( 5 ) 整理得： 玑( h 舀) = e 稍u o ) + _ 1 - - e - - a & 岛( 扩( 2 3 0 ) 口 、 7 我们采用的s l a v e da d 锄s - b a s h f o r t h 9 r 3 法【4 5 1 中，( 2 2 8 ) 式积分后用了3 岛( f ) 一万1 鼠o 一舀) 代 替9 0 ) ，这就是众所周知的s l a v e da d a m s b a s h f o r t h t 4 5 1 近似，则关系式变为： u o 埘玎被啪) + 等( 知力一知) ) ”( 2 3 1 ) 式中的口是嵋，g 。o ) 是( 2 1 0 ) 式等号右边那部分。 g l o ) = 眠后。阪吒：+ 巩虻。吒。+ q 吒一：畋。以：) + 绣- 4 ( 2 3 2 ) 由于我们采用的模型考虑了高波数模式的快速衰减，因而s l a v e da i d a m s b a s h f o m l f 4 5 】 方法特别方便【伽。 3 壳模型准周期的动力学行为 孙鹏【4 6 】等人通过研究稳定准周期相空间轨道在不同的非线性耦合参数g 下的变化 情况，得出准周期解相空间轨道是闭合的曲线，并进一步分析得出不同壳的相空间轨道 的旋转方向不同。文献中他们选取的壳数是n = 2 2 ，惯性区取n = 5 到1 3 之间，在惯性 区n 。- - - 2 v q 其q oq = 。尼：i “1 21 2 。本章我们研究g o y 壳模型准周期解的动力学行为， 第一节研究准周期解相空间轨道的变化情况；第二节分析了第七个和第十个壳准周期解 的动力学行为；第三节分析了第六和第七个壳交点的方位夹角口的变化情况。 3 1 相空间轨道 本章我们研究的是在不同的粘滞系数y 下相空间轨道的变化情况。当y v c 相空间 轨道对应的态是准周期解。通过计算分析得出，n = 5 , 8 ，1 1 和n = 6 , 9 , 1 2 这两组壳，每组 壳相空间轨道的交点始终在一条线上；对应n = 7 ，1 0 ，1 3 时，它们的相空间轨道一直锁定 在相空间的同一方位( 横轴和纵轴对称) 如图3 1 c 所示，这一现象我们称之为周期轨道的 方位锁定，此现象具有周期为三的特性。这是因为g o y 模型【3 3 , 3 4 1 在无粘性、无外力并 且壳数无限大的情况下，方程( 2 1 9 ) 在0 万 1 条件下有以下两个静态解： 1 ) 类k o l m o g o r o v 解： 畔4 1 = 砖j l l l g ) ( 3 1 ) 2 浃非流体解： 畔：p z 譬 i i ：( 万) ( 3 2 ) 其中j i l g ) 和i l ：g ) 是关于壳数万周期为三的周期函数【4 刀。b e n z i 等人指出无外力壳模型具 有对n s 方程空间平移对称性【锚】。 既然人们对标度律很感兴趣，那么重叠周期振荡的出现让人们很失望。然而，相空 间中类k 4 1 解不是一个不动点而是多个不动点，这说明类k 4 1 解与模型的动力学特性 有关。 为了集中考虑幂次定律标度，研究定态解的比值是很有用的，关系式如下： 1 2 q 。= 材3 u 。( 3 3 ) 研究发现，在相空间中刀= 5 , 8 ，11 这组壳的方位角始终是相同的，万= 6 , 9 ，1 2 和 以= 7 , 1 0 , 1 3 这两组壳也具有相同的性质。可以注意到在壳模型的不同壳层中，可观测性 的相同集合已经用来描述能量级串的一些奇异( 混沌) 行为【4 9 】。 通过( 2 2 0 ) 式我们可以得出吼稳定的、不含粘滞项的一维关系式： 铲三+ 署弋3 m 对应方程( 2 2 0 ) 的两个稳定解“。有： g 4 1 = 1 2 专“露一“。k 4 1 “( 3 5 ) g = 孚专 f ( 3 6 ) 从上面的关系式可以看出，q 。为两个恒定值，由此我们得出相隔三个壳的速度比是 常数，所以在相空间中相隔三个壳的相位角是相同的【4 7 1 。 t o 3 e r e u 5 图3 1 a 第五个壳的单周期相图 1 3 1 4 3 e 口 r o 卜 3 e r e u 6 图3 1 b 第六个壳的单周期相图 r e u 7 ，1 0 ，1 3 图3 1 c 第七、十、十三个壳的单周期相图 图3 1 ( a ) 是第五个壳的单周期相空间轨道，我们计算得出它的平均月期为 t = 1 0 6 3 1 2 5 ，相图的上半部分是逆时针绕行，下半部分顺时针绕行。图3 1 ( b ) 是第六个 壳单周期的相空间轨道，计算得出它的平均周期为t = 1 0 6 3 1 2 5 ，相图的绕行方向与第五 个壳相反，上半部分顺时针绕行，下半部分逆时针绕行。图3 1 ( c ) 是n = 7 ，1 0 ，1 3 三个壳在 准周期解范围的相图，每个壳相空问轨道的交点的连线始终锁定在相空间的同一方位上 ( 横轴和纵轴对称) ，不随粘滞系数y 的变化而变化。我们得到的相空间轨道绕行方式与 文献 4 7 1 中研究得出的结论一致，但是相轨道的形状不同。 3 2 准周期解的动力学行为 通过上面的研究知道，在准周期解范围，第七、第十、第十三个壳的相空间轨道交 点的连线始终锁定在相空间的同一方位( 横轴和纵轴对称) ，不随粘滞系数y 的变化而变 化。下面我们对这几个壳在准周期解范围的动力学行为进行研究。 我们计算中采用的数学方法s l a v e d a d a m s b a s h f o r t h 方法【4 5 1 ，程序中我们速度的虚部 和实部表达式如下： ，- ：- u r = 4 2 k ：e 一蟛s i n 缈( 3 7 ) u r = 2 砖p 一c o s t a ( 3 8 ) 本节我们分别研究矽= 4 5 0 和矽= 3 0 0 两种情况下准周期解的动力学行为。 3 2 1 第十个壳的相空间轨道和粘滞系数的关系 为研究方便我们取准周期解范围内的几个参数进行比较，第十个壳的相空间轨道与 粘滞系数的关系如图3 2 所示。 从图3 2 中可以看出相空间轨道所包围的面积随着粘滞系数i ，的增大逐渐减小，当 粘滞系数y 增大到一定程度时相空间轨道缩为一个点( 进入稳定解) ，还可以看出各个参 数对应的相空间轨道的交点始终是在一条直线上的，交点的连线与坐标横轴成4 5 0 角( 横 轴和纵轴对称) ，并发现相空间轨道的交点随着粘滞系数l ，的增加逐渐上升。 1 5 2 3