（控制理论与控制工程专业论文）广义系统的精确调节与鲁棒精确跟踪.pdf

中文摘要 基于测量输出反馈的广义系统的精确调节问题和广义系统的鲁棒精确跟踪 控制是比较崭新的课题。本文把在正常系统中适用的精确调节与鲁棒精确跟踪 成立的充要条件推广到广义系统中。首先，对论文所需的广义系统，几种几何 空间和特殊坐标基的知识进行介绍。 接下来，本文重点讨论了广义系统基于测量输出反馈作用的精确调节问 题，给出了问题可解的充要条件，以及在问题可解条件成立的情况下进行精确 调节的各种步骤，设计了全阶与降阶的控制率。再接下来，分析了广义系统的 鲁棒精确跟踪问题。广义系统的鲁棒精确跟踪在本文中第一次提出。同样给出 了问题可解的条件并加以证明，最后设计了问题实现的控制率。 最后，给出实例进行仿真实验，证实了结论的正确性。 关键词：特殊坐标基，精确调节，测量输出反馈，鲁棒精确跟踪( r p l ) a b s t r a c t p e r f e c tr e g u l a t i o np r o b l e mu n d e rm e a s u r e m e n to u t p u tf e e d b a c ka n dt h ep r o b l e m o fr o b u s ta n dp e r f e c tt r a c k i n gf o rg e n e r a l i z e ds y s t e m sa r er e l a t i v e l yn e ws u b j e c t si n a u t o m a t i cc o n t r o ls y s t e m s i nt h i sp a p e r ，as e to fn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n s a p p l i c a b l e i n p r o p e rs y s t e m s a r ee x t e n d e dt o g e n e r a l i z e ds y s t e m s a b o v ea l l ，t h e k n o w l e d g eo fg e n e r a l i z e ds y s t e m s ，g e o m e t r i cs u b s p a c e sa n ds p e c i a lc o o r d i n a t eb a s i s a r er e c o m m e n d e d s e c o n d l y ，t h i sp a p e rc o n c e n t r a t e so ns o l v a b i i i t yc o n d i t i o n sa n ds o l u t i o n st o p e r f e c tr e g u l a t i o np r o b l e mu n d e rm e a s u r e m e n to u t p u t f e e d b a c kf o r g e n e r a l i z e d s y s t e m s ，p r e s e n t i n gn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa p p l i c a b l e ，d e s i g n i n gc o n t r o l l a w si nb o t hc o n d i t i o n so ff u l lo r d e ra n dr e d u c e do r d e r t h i r d l y ，t h i sp a p e rb r i n g s f o r w a r dt h er p t p r o b l e ma tt h ef i r s tt i m ea n da l s op r e s e n t sc o n d i t i o n sa p p l i c a b l ea n d c o n t r o ll a w s a tl a s t ，t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o no ng e n e r a l i z e ds y s t e m si sg i v e nt oi l l u s t r a t et h e p e r f o r m a n c e o ft h ec l o s e d l o o ps y s t e m k e y w o r d s ：s p e c i a lc o o r d i n a t eb a s i s ，p e r f e c tr e g u l a t i o n ，m e a s u r e m e n to u t p u tf e e d b a c k ， r o b u s ta n d p e r f e c tt r a c k i n g ( r p t ) 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得鑫洼盘鲎或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论 文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：高强南；、 签字日期：2 。0 3 年2 月l o 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨洼盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨鲞蠢堂可以蒋学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学 校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：；秀、 导师签名： 学位论文作者签名：饧；专、 导师签名： 际移 签字日期：2 0 0 3 年2 月1 0 日签字日期：2 0 0 3 年2 月1 0 日 第一章绪论 第一章绪论 本章简要介绍了广义系统的背景和本文的主要工作 广义系统理论是在上世纪六十年代术开始发展起来的一门学科随着系统理 论和控制理论研究的不断深入，以及向其它学科的渗透，一类具有更广泛形式 的系统出现了这类系统可以描述为 j e d x d t = f ( x ，u , t )r 1 1y = g ( x ，”，f ) 其中x r ”为状态矢量，“r ”和y r p 分别是控制输入和量测输出矢量e 表示 n 阶矩阵，一般是不满秩的这类系统通称为广义系统( g e n e r a l i z e d s y s t e m s ) 、或称为奇异系统( s i n g u l a rs y s t e m s ) 、描述变量系统( d e s c r i p t o r v a r i a b l es y s t e m s ) 、半状态系统( s e m i s t a t es y s t e m s ) 、不明确系统( i m p l i c i t s y s t e m s ) 、以及微分代数方程( d i f f e r e n t i a l a l g e b r a i ce q u a t i o n ) 等等旷“在本文 中，我们只使用广义系统这一称谓 1 9 7 4 年r o s e n b r o o k l 7 1 在讨论互联系统( i n t e r c o n n e c t e ds y s t e m s ) 时首次提出了 广义系统的概念而l u e n b e r g e r 8 1 把这一概念运用到经济领域到目前为止，1 义 系统己经深入到控制工程、生态系统、社会管理系统、环境保护、电子网络系 统等诸多方面广义系统一般都包含有若干子系统，每个子系统都有自己的动态 特征，各个子系统之间以及予系统与整体系统之间又有着极其复杂的关联，这 些都为广义系统的产生、研究提供了广泛的物理背景 以下给出一个广义系统的简单实例： l e o n t i e f 动态投入产出模型1 8 1 ： b x ( k + 1 ) = ( ，一a b ) x ( k ) + d ( 七)( 1 2 ) 其中a = k 为投入产出矩阵，b = 慨j 是投资系数矩阵，r ( 女) r ”是k 时刻的最 终产品量，b ，表示第，部门每增加单位产量时第i 个部门的投资由于在多部门 的经济系统中，某一部门的增产并不需要其它所有部门的投资，另外从实际经 济系统出发，能够向其它部门投资的部门也是少数，因此在b 中除了少数行具 有非零元素外，其余的全为零，也就是说，b 是降秩阵莎u ( 1 2 ) 是典型的广义离 散系统， 随着广义系统的应用日益广泛，在人们心中的地位不断提高，人们对广义 系统的研究也更加深入对于正常系统的各种性能，如能控性、能观性；还有正 常系统的各种控制，如扰动解耦、跟踪控制、调节控制、最优控制、鲁棒控制 等等，正在或者已经向广义系统推广、演化，并且方法多种多样 跟踪问题是在设计控制系统中存在的个普遍的，极其重要的问题在上个 第一章绪论 世纪人们对跟踪问题的研究方法绝大部分还是局限在渐近跟踪，也就是，当时 间趋向无穷大的时候，跟踪误差趋于零然而在许多实际情况中，对控制系统中 的各种特性电有很高的要求，比如，更快的调整时问，更小的增益等等由此可 见，渐近跟踪是有缺陷的针对渐近跟踪中存在的弊端，l i u 9 1 等人提出了鲁棒精 确跟踪控制( r o b u s ta n dp e r f e c tt r a c k i n g ) 的方法，简称为r p t r p t 指的是：对 线性系统设计+ 个控制器，使所得到的闭环系统是渐近稳定的，控制输出在任 意初始状态和任意扰动存在的情况下，几乎精确地跟踪给定参考信号其优点在 于：( 1 ) 对于任意初态，外部扰动存在的情况下，跟踪的调整时间是任意快 的；( 2 ) 考虑到了外部扰动的影响；( 3 ) 不需要解决线性矩阵等式的烦琐过 程 鉴于r p t 方法的优点，把r p t 方法推广到广义系统中，将是有意义的，而 且，这是一个崭新的课题，在本文中，在把r p t 方法向广义系统推，、+ 的过程中， 用到的主要方法是将广义系统正常化，然后再进行这种方法存在、可行的证明 在对跟踪问题进行证明的过程中，遇到一些特例，如几乎扰动解耦问题，精确 调节问题等结合c h e n l ”1 等人于2 0 0 0 年提出的通过测量输出反馈进行精确调节 的方法，本文也将精确调节问题向广义系统进行推广这不仅是全阶状态反馈调 节方法向测量输出反馈调节方法的改进，也是正常系统向广义系统的改进，因 此，这项工作也是有意义的本文把精确调节问题作为单独的章进行介绍 本文主要由以下几个部分组成： 第二章：给出了广义系统的一些基本概念和理论其中包括广义系统的能控性、 能观性；广义系统的受限等价形式以及广义系统正常化的概念：同时，给出了 在精确调节过程中所必需的一些概念，如零空间( k e r ( ) ) ，项空间( i m ( ) ) ，弱不 可观子空间p 和强能控子空间伊等最后，给出了特殊坐标基( s p e c i a lc o o r d i n a t e b a s e s ) 的基本知识 第三章：着重介绍了广义系统在测量输出反馈作用下的精确调节问题对于多变 量线性时不变系统的r p t 问题，当参考信号和外部扰动都恒为零时，跟踪问题 就弱化为测量反馈的精确调节问题主要方法是将广义系统正常化，使之受限等 价为正常系统，给出了精确调节的充要条件，并加以证明 第四章：这一章着重对广义系统的鲁棒精确跟踪进行研究消除广义系统的脉冲 模，利用特殊坐标基的数学方法，使被控信号精确跟踪参考信号，给出了r p t 问题可解的充要条件，并加以证明 第一章绪论 第五章：找出广义系统精确调节问题的实例，并进行仿真，给出问题存在 的实际意义和价值由于广义系统鲁棒精确跟踪的实例过于复杂，在本文中不做介 绍， 第二章基本概念和理论 第二章基本概念和理论 2 1 广义系统理论简介 本节阐述了广义系统的发展，以及广义系统的基本概念 自从r o s e n b r o c k 于1 9 7 4 年在研究互联系统时首次提出广义系统这一概念 以来，广义系统的研究已经经历了近三十年的发展，取得了丰硕的成果从广义 系统的可解性“、因果性、能控能观性【1 41 瓤，到广义系统的状态反馈极点 配置17 1 、动态补偿器的设计【19 1 、鲁棒性、解耦副1 、模型匹配1 2 2 】年口最优 控制【2 3 j 等诸多方面，都引起了国内外众多学者的浓厚兴趣和广泛研究 到目前为止，广义系统的研究主要集中在三重方法：状态空间法【2 4 1 、几何 方法和多项式矩阵法。”状态空间法就是基于广义系统的状态方程，从时域的 角度讨论其结构性质和控制综合“”；几何方法就是w o n h a m “”几何方法在广义系 统中的推广，以解决广义系统的反馈控制问题。”；多项式矩阵法则是基于系统 传递函数矩阵的多项式分解，从频域角度分析和设计广义控制系统。 广义系统的状态空间表达式可以写为： f 臌= a x + b u ly = c x + d ( 2 1 1 ) 其中，x 为状态矢量，“r ”、) ，f 分别为控制输入和量测输出矢 量a r ，b r ”。，c r ，e r 显然，若e 为满秩矩阵时，系统( 2 i 1 ) 是正常线性系统；而当e 为不满秩常 数阵时，我们称之为广义系统同时，在研究广义系统问题时，我们总假设系统 是正则的，即：d e t z e 一棚o 也就是说，矩阵( s e 一一) 是非奇异的因为当矩阵 ( s e a 1 是奇异阵时，系统是无解的 为了叙述方便起见，记系统( 2 1 ，1 ) 为( f ，a ，b ，c , d ) ；若e = i 时，则可记为 ( 一，b ，c ，d ) 由假设知，( e ，a ，b ，c ，d ) 是正则的，则存在两个非奇异的常数矩阵且和，使系 统( e ，a ，b ，c ，d ) 受限等价为： c l 蹦舌凇b , j ，b c ，l 功 c z j z ， 其中，r e r = f ：jf ，r 4 r = 舌z ，r 8 = 鸶 ，c r = p ；c ，j ， ，月- 叶为幂零矩阵，t 月一，i r 咿叶为单位矩阵，= 。+ 月r ， 第二章基本概念和理论 7 l j + r a n k n y 。r e t a k e 式( 2 1 2 ) 称为广义系统( 2 1 1 ) 的标准分解以上的分解非常重要，是广义系 统进行脉冲模消除的依据 下面继续阐述一下广义系统与正常系统的显著性区别： ( 1 ) 广义系统的自由度下降为q = r a n k e ，即依赖于初始条件( o j 的独立值的 个数比一般系统下降了”一q 个 ( 2 ) 广义系统的解的结构有所变化，广义系统的解中包含正常系统中所包含的 指数解，还有区别于正常系统的与控制输入各阶导数以及脉冲项有关的部分 ( 3 ) 广义系统的传递函数可写为： p = 只+ 哆 ( 2 1 3 ) 其中 只= c s ( s l a 。) “只+ d p f = c f 嫡l i f 丫l b f 由( 2 1 3 ) 可知，广义系统的传递函数不再一定是有理分式矩阵形式 ( 4 ) 由于q = r a n k e 则 d e g d e t ( s e 一4 ) 】= n ，g ( 玎 其中d e g ( ) 表示( ) 的次数，d e t ( i ) 表示( ) 的行列式 所以，广义系统( 2 1 1 ) 除了具有与( s e 一爿) 有限零点有关的仉个指数模外，还 具有与( s e 一爿) 无穷远零点有关的q - 几个脉冲模因此，广义系统( 2 1 1 ) 的自 由状态响应除了在这亿个有限频率上具有指数运动外，还有无穷频率上具有 q 一个脉冲运动广义系统的脉冲模实际上对应于矩阵( s e 一爿) 在无穷远处的降 秩模若广义系统具有脉冲模，( s e 一一) 1 显然是非真有理矩阵；若广义系统没有 脉冲模，则( s e 一一) 1 必然是真有理矩阵 下面按广义系统的能控性和能观性 能控性和能观性是广义系统的基本概念为了从不同的角度反映正常系统和广义 系统的区别，人们给广义系统做了各种各样的能控性和能观性的定义以下我们 仅以一种加以说明： 定义2 1 1 系统( 2 1 1 ) 是完全能控的，当且仅当 r a n k ( s e a 占) = ”v s c( 2 1 4 a ) 且r a n k ( eb ) = ( 2 1 4 b ) 第二章基本概念和理论 定义2 1 - 2 系统( 2 1 1 ) 是r 一能控的，当且仅当 r a n k ( s e a b 1 = nv s c 定义2 1 3 下列表达是等价的： ( 1 ) 系统( 2 1 1 ) 是脉冲能控的 ( 2 ) 存在矩阵k r ，使 d e g - d e t ( s e a + b k 、= r a n k e ( 3 ) 矩阵r a n k ( s e ab ) 在无穷远处是行满秩的 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 4 ) 存在矩阵k r ，使( s z a + b k ) 。是真有理矩阵； r a n k f fe 0 净+ r a n k e 泣 ， 定义2 1 4 下列表达是等价的： ( 1 ) 系统( 2 1 1 ) 是真能控的 ( 2 ) 系统( 2 1 1 ) 是脉冲能控的，且有是r 一能控的 ( 3 ) r a n k ( s e ab ) = ，v s c 。 ( 2 1 8 ) 其中 c e = c u 如 有的文献把“真能控”，称为“强能控”，或者“广义能控”这些都是等 价的 定义2 1 5 系统( 2 1 1 ) 分别是完全能控的，r 一能控，脉冲能控，真能控，当且仅当对偶 系统( e t ，一7 ，c r , b r , d 7 ) 分别是完全能观的，r 一能观，脉冲能观，真能观 如果系统的微分反馈控制可以利用，就可以通过改变系统( 2 1 1 ) 的动态阶 数，使系统( 2 1 1 ) 转化为正常系统，此时的反馈控制系统肯定不存在任何脉 冲模，这个概念就是广义系统正常化的概念在下两章中进行的广义系统的精确 跟踪和r p t 控制，都是基于广义系统正常化基础上的 定义2 1 6 下列表达是等价的： ( 1 ) 系统( 2 1 1 ) 是能正常化的 6 第二章基本概念和理论 ( 2 ) 存在k r ，使得 d e t ( e + b k c ) 0 ( 3 ) r a n k 忙b ) = ” 且 一t 阡” ( 2 1 9 ) ( 2 1 1 0 ) ( 2 1 1 1 ) 如果对系统( 2 1 1 ) 进行典范分解，可以相应的得到系统( 2 1 1 ) 的真能控 且真能观、真能控非真能观、真能观非真能控、非真能控非真能观四个子系统 根据( 2 1 3 ) 式的分解可知，系统( 2 1 1 ) 的传递函数p ( 5 ) 只与其真能控且真 能观子系统有关 以下介绍广义系统的真性和稳定性 稳定性是正常系统的最基本的性能要求，对广义系统而言也是极其重要的广义 系统可能出现脉冲运动，使系统运行停止，更严重的是，可能会使整个系统瘫 痪广义系统的脉冲运动和广义系统的稳定性是同样重要的为了描述广义系统的 脉冲运动和稳定性，以下给出几个相关的定义 定义2 1 7 系统( 2 1 1 ) 是内部真的，当且仅当矩阵( s e a ) 没有无穷远零点，即 ( s e 一一) 。1 是真有理矩阵 定义2 1 8 系统( 2 1 1 ) 是内部稳定的，当且仅当矩阵( 业一一) 没有闭的右半复平面内的 零点，即( s e a ) 。是稳定的有理矩阵 由以上定义可知，系统( 2 1 1 ) 是内部真的，即( s e a ) 。1 是真的，这就意味 着( 姬一4 ) 在无穷远处不存在降秩模，也就是系统( 2 1 1 ) 没有脉冲模显然， 此时系统( 2 1 1 ) 的自由状态x ( f ) 在r = 0 时对于任意初始转台都不存在脉冲运 动；而系统( 2 1 1 ) 是内部稳定的，即( s e a ) 。是稳定的，这就意味着系统 ( 2 1 。1 ) 的所有有限极点都在开的左半复平面c 一内此时系统( 2 1 ，1 ) 的自由状 态z ( f ) 当f 斗。时对于任意初始状态都趋于零因此，系统( 2 1 1 ) 的内部稳定性 和l y a p u n o v 意义下的渐近稳定性是等价的 对于一个广义系统而言，显然希望该系统是渐近稳定的且无脉冲运动因此，广 义系统内部真稳定性的概念是非常重要的综合定义2 1 7 和2 1 8 ，给出了内部 真稳定的定义： 第二章基本概念和理论 定义2 1 9 系统( 2 1 1 ) 是内部真稳定的，当且仅当矩阵( 姬一爿) 无c + 。中零点，即 ( s e a ) 。1 是真稳定的有理矩阵 其中，c + 。= c + u 如 与广义系统的能控性、能观性定义相对应的，下面给出广义系统的能稳、能检 的定义： 定义2 1 1 0 系统( 2 1 1 ) 是能稳的，当且仅当r a n k ( s e ab ) = ，v s a 定义2 1 1 1 下列描述是等价的： ( 1 ) 系统( 2 1 1 ) 是真能稳的 ( 2 ) 系统是能稳的，且是脉冲能控的 ( 3 ) 存在k r ，使得( s e a + 船) 。1 是真稳定的有理矩阵 ( 4 ) r a n k ( s e ab ) = ，v 5 c + 。 定义2 1 1 2 系统( 2 1 1 ) 分别是能稳、真能稳的，当且仅当对偶系统( 占7 ，爿r , c r , b t ，d 7 ) 分 别是能检、真能检的 2 2 几种必要的几何子空间 在利用测量输出反馈进行广义系统精确调节的过程中，零空间、不变子空间、 值域等概念是必需的因此本节给出了几类子空间的概念、性质 作为分析广义系统的几种重要方法之一的几何空间法，实质上是加拿大学者 m w o n h a m 几何方法在广义系统中的拓展基本思想就是把正常系统中的能控 性、能观性等系统概念作为不同的状态子空间的几个性质几何方法避免了作为 线性控制理论主要组成部分的大量矩阵运算；其次，几个处理能够较快地提出 进行综合的新方法，这种方法已经被证明是直观的和经济的，并且一旦想计 算，这种方法也很容易归结为矩阵算术+ 几何方法的实质在于：先把可解性表征 为某些能构造出来的状态子空间( 比如说妒) 的能验性的性质，以取代当解存 在时直接寻找解决综合问题的反馈规律( 比如说“= f x ) 有了这些性质之后，就 第二尊基本概念平理论 可以很容易地根据舻来计算，用这种方法，把一个难以解决的关于，的二怍线性 问题直接变成了关于妒的拟线性问题基本的数学思想是利用状态空间的适当子 卒问族的半格结构 用这种方法对调节和无互交作用这两个长期有意义的控制问题给出了第一个合 理的有效的结构理论但是，应当强调的是，我们主要关心的是“综合”，它不 同于“设计”在我们使用这些术语时，“综合”决定反馈控制的结构，而“设 计”是指用综合方法建立起来的结构框架的范围内，自由参数的数值选择( 最 优化) 为了使数学基础知识和广义系统精确调节问题相互协调，本节着重于用矢量空 间及其子空间等术语来描述各种结果以下给出相关的定义： 定义2 2 1 线性空间z 的一个( 线性) 子空问，妒是z 的一个非空子集，按照z 中的矢量 加法和标量乘法，这个子集也是一个线性空间，就是说，舻c z ( 作为一个集 合) ，而且对所有的x l ，x 2 妒和c 1 , c 2 f ，都有c l x i + c 2 2 2 妒记号妒c z 将表示 妒是z 的一个子空间从几何的观点来看，子空间可以看作是通过z 原点的超 平面 定义2 2 2 令z 和叩是f 上的线性空间一个函数妒：z - - r t ，如果对所有的z 1 ，x 2 z 和 c 1 ，c 2e e f 有 妒( c l x l + c 2 x 2 ) 一c l 妒( 工1 ) + c 2 妒0 2 ) 那么称它为一个线性映象 有了线性子空间和线性映象的定义，以下给出两个重要的定义： 定义2 2 3 ( 2 2 1 ) 令c ：z q 是一个映象，则称z 为c 的定义域，7 为c 的象空间( c o d o m a i n ) 因止k m a t c 是一个d ( z ) d ) 阶矩阵子空间 k e r c 扛：x z 且c x = o c z 称为c 的核( 或零空间) ，而子空间 i m c ：= 侈：y 叶，且了x x ，y ；c x = 协：z z f cr l 称为c 的值域 同时应该注意，值域和象空间是两个不同的概念 9 第二章基本概念和理论 定义2 2 4 令c ：z _ r ，且v 是一个子空间，带有嵌入映象v ：v - + z 映象cv ：p _ 口定 义为cv ：= c v 我们称这个映象c 在v 上的限制因此，在y 上，cy 和c 的作用一样但是在 p 之外，ci 没有定义 下面给出商空间的定义： 定义2 2 5 令p c z ，若矢量j ，y z 满足z y p ，则称它们是等价的( m o d t p ) 我们定义 商空间z ，妒为所有等价类 i 譬沙：y z ，y x 妒鼻工z ， 所组成的集合从几何观点来看，i 正好是p 经过平移得到的通过x 的超平面 最后，给出另一个非常重要的子空间定义： 定义2 2 6 设：z 斗z ，妒c z ，如果爿妒c 妒，则称p 是爿一不变的 2 3 特殊坐标基的知识 对于线性系统结构的研究已经经历了数十年有很多学者用几何方法研究多变量 线性系统，然而，几何方法要求结论是自由基的，而且，在利用高阶的计算机 辅助设计软件包的时候，它存在着弊端，不能直接使用在这种情况下，特殊坐 标基的理论应运而生牙i 用特殊坐标基的方法，可以研究系统的能控性、能观 性、有限、无限零结构，还有系统解耦等等并且，特殊坐标基方法展现的不变 子空间，也和线性系统的几何方法紧密的联系在一起 下面以一类线性系统，简要介绍特殊坐标基( s c b ) 的知识： 考虑下列线性系统主， ；= 盈+ 雪二( 2 3 1 a ) 多= 出( 2 3 1 b ) 其中量，多和二分别是1 1 ，p 和m 维的矢量不失一般性，假设雪和0 都是满秩的 现在，就利用特殊坐标基的方法，把系统主的有限零结构和无限零结构严格的 区分开来可以证明，系统主的无限零结构是与从输入到输出之问的积分器个数 相关的因此，我们就试图把输入变量女和输出变量j 进行组合或者分解，目的 是把输入变量二的特定部分和输出变量多的相应的部分之间的积分器的内部数用 特殊坐标基清楚的表征出来可以证明3 ”，存在非奇异的传递函数矩阵r 、r 1 o 第二章基本概念和理论 和整数世 ，q ，和，i = 1 ，正，使得 虼】 ( 2 3 2 ) 变量，。，y ，和峨分别是，吼和q 维的( 2 3 2 ) 表述方法的重要意义就在 于，对于每一个i ，i = 1 * * og 芷，和y 之间的积分器内部数的个数为i 可以选 择一些新的变量。目，女+ ，= i ，也就是和、y ，之间的积分器块相关的变量： x ，= z ，。一，z ：，一：_ 。x ，= x t ，z ：，x 材 由下图可以表明：输出变量y ，不受任何输入变量的直接控制，但是间接受控与 输出变量y ，与y ，和y ，之间的积分器块有关的变量可以表示为： 工一。= x 。，一， z 一：卜： - - x 耵。7 ，z a = x a 。， z a ：。 一并。船 然而，变量x ，和不能占据真个的状态空间，所以，可以补充两个变量矗和 t ，占完整个状态空间： x = l 其中，。完全由输入变量v 控制，但是不直接作用于任何输出；而变量既不直 接受控于任何输入，也不直接影响任何输出 二，n 刹菩二m 订吆 嚣“ 女比 巾村以 出 疋，“ 垆以 ，沙 第二章基本概念和理论 一一： 以上图形代表了系统。实心的箭头代表所有状态的线性组合；有纹理的箭头 代表输出变量y ，的线性组合；而空心的箭头代表了所有输出变量巧j f 吵，的线性 组合 根据流程图，得到以下定理： 定理2 3 1 存在非奇异的传递函数矩阵r l 、r 2 和r 3 ，以及整数k ”，整数下标a ，q ， 和，i = 1 ，k ，使得： i = r l x ， 多：r 2 y ，儿7 ，。：r 3 k ，v 了 i 。= a 。x 。+ a y j + a q s y s x 。b i s = a t s x b b + l f y f + l ys i c = a c e x e + b 一+ a x 。+ a c 。y l + a 寸y ， rr1 i f2 一+ l g y f 枷武i “ + e i b x b + e t c x 。十墨e u x f ，- l ( 2 3 3 a ) ( 2 3 3 b ) ( 2 3 3 c ) ( 2 3 3 d ) 玢2 c , f x ，5 x i ，一1 ， _ ) ，= c x f ( 2 3 3 e ) y 。= c | b 。i x b 、| _ ，y s = c s x b ( 2 3 3 ) 这里，x 。，h ，h ti ，x c ，x f ，x f ，x ii ，h ，m f ，v ，yr ，y r ，y ； 和y 。的维数分别为：，奶，i + j ，q w ，m 。，q f ，m ，p ， q ，以和其中： 芹 n = + q j + p ，“，p r + 1 = 0 ，p = z ( q ，+ ) = p f = g f ，m ，= m m 。，p ，= z r , 5 p p ， 疗扩= 由，n y = ”矿，栉6 = 奶，= 玎。+ 胛6 + 雄c + 门， 在上述的特殊生标基。中i = l 的矩阵都是相应维数的 b 的最后g f 行为零元素，且冉= 0 ，a ，；0 ， 第二章基本概念和理论 爿，= ： l - 。1 ，n ，b ，= 。： 一。= ：，。i i ，c 扩= p 吼 。j ，c 。= p 。j c ，= 【c 。，c ：，c 珂j ，c = 【c 。c 2 ，c 。】 rv k = 陋i 。耳m 碓，10 j 另外，应该说明：( a 。，b c ) 是可控对 由定理2 3 1 所表达流程图显示：特殊坐标基。具有以下重要的特征： ( 1 ) 输入变量“，通过卅、积分器块控制输入变量蜥，而变量h 是与d i 和均之 间的积分器相关的状态变量； ( 2 ) 输出变量y ，和状态变量不受任何输入变量的直接控制；但是间接受控 于输出变量y ，： ( 3 ) 变量k 直接由输入量v 控制，但不会直接作用于任何输出； ( 4 ) 变量x 。既不直接受控于任何输入，也不直接对认输输出变量产生影响 下标，和j 分别表示了在高增益反馈作用下的快速动态特性和慢速动态特性； 变量x 。，x 。，石。也具有慢速动态特性以下以。来说明线性系统的一些特性 ( 只给出性质，而证明省略) 定义2 3 1 假设蝴和：是系统任意的两个输入变量，y 。和虬是相应的两个输出变量( 相 同的初态x ( o ) ) 系统是左逆的，当y 。( ，) = y ：o ) ，vt 0 时，说明 “1 ( r ) 。“2 ( f ) ，vr 0 定义2 3 2 系统是右逆的，当对于任意的j ，一( f ) ，【0 ，。o ) ，存在一个输入“o ) 和初态的 一种选择x ( o ) ，使得y p ) = y 一( f ) ，f o ，。) 对于一个左逆的系统，任意给定输出变量y ( f ) ，一个连续初态x ( o ) ，则输入 第二章基本概念和理论 变量“( f ) 是唯一确定的由定理2 3 1 知，x c 和v 只有通过式对输出产生作用， 如果重新定义一个输入变量磁= 坼一互。t ，那么很明显得看出x 。对输出的作用 消除了地就是说，如果x c 和v 存在的话，对于一个给定的y ，控制输入q 和v 的选择是不唯一的因此，如果系统是左逆的，x c 和v 一定不存在 同样可以证明，如果系统是右逆的，则和只也是不存在的 性质2 3 1 系统是右逆的，当且仅当和以是不存在的( n 。= o , p ，= 0 ) ，系统是左 逆的，当且仅当石。和v 是不存在的( n 。= 0 ，m ，= 0 ) ，如果系统是可逆的， 则说明x b 和工。都是不存在的 能观性和能控性用。也可以清晰的加以说明： 性质2 3 2 由定理2 3 i 知，状态矢量h 和。分别是由输出变量妇和儿能观的，也就是 说，0 ，c ，) 和0 。e ) 是可观测对则不可观性只能出现在状态矢量“和砟实 际上，系统是可观的( 可检的) ，当且仅当0 。，c o 。) 是可观( 可检) 对，其 中 小陉甜= s o e 】 e = 慨e 乞】，最：阮e 乞吃f 相似的，状态变量勺是由矾可控的，而k 是由v 可控的，也就是说，0 ，b e ) 和0 。，眈) 是可控对不可控性只能出现在状态矢量矗和扎实际上，系统是可 控的( 可稳的) ，当且仅当( 彳。，) 是可控( 可稳) 对，其中 小降矧，制 定义2 3 3 设系统矩阵s ( 五) = f 彳一盯b ，则系统宝的不变零点为s ( 丑) 的不变多项式的根 co 、7 。一。一 性质2 3 3 系统的不变零点，就是一。的特征值 第二章基本概念和理论 定义2 3 4 系统宝是最小项的，当系统的所有不变零点( 五( 丸) ) 在c 一内 综合以上的性质和定义，得到以下的性质： 性质2 3 4 ( 1 ) 系统宝是右逆的，且是最小项的j 宝是可稳的 ( 2 ) 系统宝是左逆的且是最小项的j 宝是可检的 ( 3 ) 系统宝是可逆的且是最小项的j 宝是可稳的，也是可检的 ( 4 ) 系统宝是右逆的且不变零点( ( 一。) ) 与五的特征值( 不稳定特征 值) 是不重叠的辛主是可控的( 可稳的) ( 5 ) 系统宝是左逆的且不变零点( 五( 厶) ) 与l 的特征值( 不稳定特征 值) 是不重叠的j 至是可观的( 可检的) ( 6 ) 系统宝是可逆的且不变零点( 五( 如) ) 与j 的特征值( 不稳定特征 值) 是不重叠的j 主是可控的、可观的( 可稳的、可检的) 以上性质清晰得阐述了系统宝的有限零结构。同样可以表述系统宝的无限 零结构现在给出无限零结构的定义： 定义2 3 5 有理矩阵日( j ) r 一，具有一个k 阶的无限零点，当矩阵h ( 1 z ) 在z = 0 时具有 相同阶的有限零点 在本文中，我们从”6 的角度去理解的无限零结构，同时也给出了线性系统 在无穷远处的物理结构， 性质2 3 5 系统具有i q ，个i 阶的无限零点，i = 】，k ( 无限零点的阶数同定义2 3 ，5 ) 如 前定义，吼是输入信号峨( y ，) 的维数进一步指出，系统宝不存2 c e j 阶的无限 零点，溉g ，= 0 第二章基本概念和理论 这一性质说明了输入输出变量对( q ，y ，) 之间的内部积分器个数所表达的无限 零结构( 见图) 因此： f _ 无限零点的阶 2 输入变量峨和输出变量妇之间的内部积分器的个数 且i q ，= 阶数为i 的无限零点的个数 其中 吼= q 的维数= y ，的维数 有了一定的广义系统、状态子空间和特殊坐标基的知识，下两章着重介绍广义 系统的精确调节和鲁棒精确跟踪 1 6 第二章j “义系统在测譬输出反馈作用f 的精确阔 第三章广义系统在测量输出反馈作用下的精确调节 3 1 问题的提出 不论是正常系统还是广义系统，精确调节问题指的是设计一种控制率，使测量 输出反馈作用下的闭环系统是内部稳定的；而且被控输出从任意初态下以任意 快的速度衰减到零在上世纪七十年代到八十年代，精确调节阎题已被大量研究 但是，其方法大多集中于全阶状态反馈本章主要研究广义系统在测量输出作用 下的精确调节研究的成果是给出了广义系统在测量输出作用下的精确调节的充 要条件；并且构建了反馈控制率，来解决这一问题 在本章中，以下符号是这样定义的：x 表示矩阵x 的转置；，表示单位阵，而 表示维数是t k 的单位阵；悟0 ：表示时域变量 ( f ) 的，：一范数；c 代表全部复 数；c 一，c o 和c + 分别代表左开复平面，虚轴和右开复平面；k e r 江1 表示x 的 核；i m ( x ) 表示x 的值域；且a 伍) 表示有理方阵x 的特征值的集合而月，以下 两个子空间是重要的： 定义3 1 1 对于给定的常数矩阵，v ( ) 是口+ 肝) 不变的，且包含在胁( c + d ，) 中， 口+ b f ) 1 ，+ 的特征值包含在c 内，满足以上条件的r “内最大的子空间，称为 弱不可观子空间记为v + 定义3 1 2 对于给定的常数矩阵k ，强可控予空间妒( ) 是r “中最小的即+ 船) 不变子空 间，包含在i m ( b + k d ) 内，满足在子空问妒( ) 内，似+ ) 的特征值包含在c 内强可控子空削，记为 3 2 广义系统的精确调节 阢麓_ t y xhc d = 【，l 毒 z 石+2 h ( 3 2 1 ) y r - 是测量输出，h 月”为要调 第三章广义系统在测量输山反馈作用下的精确调节 节的输出向量而爿，b ，c 1 ，c ：，d ：是相应维数的常数矩阵r a ”k e 。 利用测量输出反馈进行精确调节的宗旨在于： ( 1 ) 找到一个以s 为参量的控制 率，是所得的闭环系统是内部稳定的； ( 2 ) 对于任意给定的初态，被控的输 出变量h 满足 俐f ，= f 0 ) ( r ) 衍_ 0 当r - f r o 也就是说可以以任意快的速度来调节变量 为了满足这两个条件，首先对广义系统进行正常化，也就是为广义系统消除脉 冲模 对广义系统( 3 2 1 ) 施加静态输出反馈“= 毋+ v ，则所得系统为： 鼢2a x + b ( h y + v ) = 口+ b h c , ) x + b y1 y 2c l x ( 3 2 2 ) h 2 c 2 工+ d 2 ( 毋+ v ) = ( c 2 + d 2 h c i h + d 2 v j 把经过施加静态输出反馈的系统记为，： 戤= 4 ( h h + 西 y 2c 】z ( 3 2 3 ) h = c 2 ( 珂) + d ：v j 其中，爿( 片) = a + b h c l ，c 2 ( h ) = q + d 2 h c l 通过这一步变换，就消除了广义系统的脉冲模 假设( e ，一( ) ，最c 2 ( 日) ，呸) 是正则的，则存在相应维数的非奇异的常数矩阵p 和 q ，使系统受限等价为： ( 瞄z ， 0z ， 象 ，【c 2 ，q ，l 岛 c s 2 4 ， 由于消除了脉冲模，因此，= 0 鼽畛i 甜哪舻 舌井朋= 阱 c ：( 日) q = 【c ：；c 2 ，】，c , q = 【c 。c l ，j 式( 3 2 4 ) 也可以表达为下列形式 1 8 第三章j 1 义系统在测量输出反馈作州r 的精确凋1 y 变量 f 7 0 。习( 耄) 。【舌z ( 考) + ( 象) v y ； c = c z ，c z ，i 丢) + 。z v 把f 二式分解，可以得到 士。= a 。z ；+ b ：” x f = 一b i v y = c 1 ；石，+ c 1 ，z ，= c 1 ，z ，一c 1 ，b ，v = c 1 j z j + d 1 ；v h = c 2 ，工j + c z t z ，+ d 2 p 蜀c 2 ：x ；一c 2 ，b ，v + d 2 v = c 2 ，x ，+ d 2 s v 经过上面的分解，可以得到正常化的系统，： 戈，；a ，z ，+ b ，v 1 y = c l ；x 。+ d b v i h = c 2 ，x s + d 2 j v f ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) 其中，d l ，= - c 1 ，b ，d 2 ；= d 2 一c z r b ， 在以下的工作中，将假设d 。s 0 因为如果当d 。，一0 时，我们可以定义一个新 y ，= y d 1 。v = c h z ， 则系统( 3 ，2 7 ) 又可以表示为： 毫= a s x ，+ 只y1 y ，= c 。，t h = c 2 s x s + d 2 ，v i v = k 0 b ； ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) ( 3 2 1 0 ) 对于广义系统的精确调节问题，就等价为对系统( 3 2 1 0 ) 的精确调节， 下一步的工作重点就是为系统( 3 2