（应用数学专业论文）复杂动态网络的混沌同步与控制.pdf

复杂动态网络的混沌同步与控制 摘要 现实中的许多系统都可以用复杂网络来描述，因此复杂网络近来被广泛地研究。同 步现象在科学技术领域中是普遍存在的，鉴于其在许多工程领域，如保密通讯、调和振 子的产生中有许多潜在的应用，混沌同步与控制被深入地研究本文基于l y a p u n o v 稳 定性理论、脉冲控制理论、矩阵理论，研究了复杂动态网络的同步与控制问题。本文共 分五章，组织如下。 第一章介绍了复杂动态网络的研究背景及研究意义，同时分析了混沌同步的控制方 法及研究意义，并简介了本文的主要研究内容和主要创新点。 延迟现象在网络传输中普遍存在，第二章提出了具有常耦合和延迟耦合的复杂网络 模型，具体分析了该网络的同步问题，用线性矩阵不等式( l m i ) 的形式给出了一些保证 网络中各节点彼此达到指数同步的局部或全局判据，所得定理推广或改进了相关文献中 的部分结果。 第三章提出并研究了带有混合耦合项的耦合延迟神经网络模型的同步问题，其中耦 合项包含常耦合、离散延迟耦合和分布延迟耦合这三项，借助于l y a p u n o v 稳定性理论 和k r o n e c k e r 积技巧，得到了几个保证系统全局指数同步的充分条件，而且所得判据是 以线性矩阵不等式形式给出的，易于用m a t l a b 中的l m i 工具箱来求解 第四章探讨了耦合延迟神经网络的脉冲控制问题，网络中的耦合项被认为是扰动 项，其可以是线性的，也可以是非线性的，通过脉冲控制的方法，利用脉冲泛函微分方 程稳定性理论，得到了一些使得耦合神经网络达到鲁棒同步的判断准则，并且还给出了 增益参数的预估计稳定域，以方便控制器的设计。 第五章对全文的工作进行了总结，并对今后的研究方向作了一些展望。 关键词：复杂网络，动态网络，递归神经网络，耦合神经网络，同步，指数同步，l y a p u n o v k r 8 s o v s k i i 函数，线性矩阵不等式，延迟，分布延迟，脉冲控制，稳定性。 c h a o ss y n c h r o n i z a t i o na n dc o n t r o li nc o m p l e x d y n a m i c a ln e t w o r k s a b l s t r a c t p l e c e n t l y , c o m p l e xn e t w o r k sh a v eb e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e ds i n c er e a l l ys y s t e m si nt h er e a l w o r l dc a l lb ed e s c r i b e da sc o m p l e xn e t w o r k s s y n c h r o n i z a t i o np h e n o m e n ai su b i q u i t o u si n t h ef i e l do fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y c h a o ss y n c h r o n i z a t i o na n dc o n t r o lb a v eb e e ni n t e n s i v e l y e x p l o r e dd u et oi t sp o t e n t i a le n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n ss u c ha ss e c u r ec o m m u n i c a t i o na n dh a t m o n i co s c i l l a t i o ng e n e r a t i o n b a s e do nt h et h e o r yo fl y a p u n o vs t a b i l i t y , i m p u l s i v ec o n t r o l t h e o r ya sw e l la sm a t r i xt h c o r y , t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e st h ec h a o ss y n c h r o n i z a t i o na n d c o n t r o l i nc o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k s t h i st h e s i si sc a t e g o r i z e di n t of i v ep a r t sa n dt h eo r g a n i z a t i o n i sa sf o l l o w s h lt kf i r s tc h a p t e r ，t h eb a c k g r o u n da n ds i g n i f i c a n c eo fr e s e a r c hi nc o m p l e xn e t w o r k s a r ei n t r o d u c e d ，m e a n w h i l e ，t h ec o n t r o lm e t h o da n ds i g n i f i c a n c eo fc h a o ss y n c h r o n i z a t i o na r e a n a l y z e d ，a l s o ，t h em a i nc o n t e n t sa n do r i g i n a l i t i e sa r eb r i e f e d ， d e l a yo c c u r si nt h et r a n s m i s s i o no fn e t w o r kc o m m o n l y ，i nt h es e c o n dc h a p t e r ，an o v e l m o d e lo fc o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r kw i t hb o t hc o n s t a n ta n dd e l a y e dc o u p l i n gi sp r o p o s e d ， a n dt h es y n c h r o n i z a t i o ni s s u eo ft h ep r e s e n t e dm o d e li si n v e s t i g a t e di nd e t a i l s e v e r a ll o c a l o rg l o b a ls u f f i c i e n tc r i t e r i a ，w h i c ha r ee x p r e s s e di nt h ef o r mo fl m l la r eo b t a i n e dt oe n s u r e t h a te a c hn o d ei nt h en e t w o r kc a l r lb ee x p o n e n t i a l l ys y n c h r o n i z e d t h er e s u l t sg e n e r a f i z ea n d i m p r o v et h o s ei nt h el i t e r a t u r e i nt h et h i r dc h a p t e r ，ag e n e r a lm o d e lo fc o u p l e dd e l a y e dn e u r a ln e t w o r k sw i t hh y b r i d c o u p l i n gi si n t r o d u c e da n di n v e s t i g a t e d ，w h i c hi sc o m p o s e do fc o n s t a n tc o u p l i n g ，d i s c r e t e d e l a yc o u p l i n ga n dd i s t r i b u t e d d e l a yc o u p l i n g b a s e do nt h el y a p u n o vf u n c t i o n a lm e t h o d a n dk r o n e c k e rt e c h n i q u e s ，s e v e r a ls u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ee s t a b l i s h e dt oe n s u r et h eg l o b a l e x p o n e n t i a ls y n c h r o n i z a t i o no ft h ep r o p o s e dm o d e l t h ec r i t e r i a a r ee x p r e s s e dw i t h i nt h e f r a m e w o r ko fl m i s ，w h i c hc a nb ee a s i l yc h e c k e db ym a t l a bl m it o o l b o x t h ef o r t hc h a p t e rd i s c u s s e st h ei m p u l s i v ec o n t r o ls c h e m eo ft h ec o u p l e dd e l a y e dn e u r a l n e t w o r k s ，w h e r et h ec o u p l i n gi t e mi sv i e w e da su n c e r t a i n t i e si nt h en e t w o r k ，a n dc a nb el i n e a r o rn o n l i n e a r b yu t i l i z i n gt h es t a b i l i t yt h e o r yf o ri m p u m v ef i m c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， s e v e r a lu e wc r i t e r i aa r eo b t a i n e dt oe n s u r et h er o b u s ts y n c h r o n i z a t i o no fc o u p l e dn e t w o r k s v i ai m p u l s i v ec o n t r o l f u r t h e r m o r e ，a ne s t i m a t i o no ft h ep r e d i c t e ds t a b l er e g i o ni sd e r i v e dt o f a c i l i t a t et h ed e s i g no ft h ei m p u l s i v ec o n t r o l l e r i nt h ef i f t hc h a p t e r ，t h er e s e a r c hw o r ko ft h et h e s i si ss u m m a r i z e da n dt h ep o s s i b l ed i r e c - t i o n sa r ef u r t h e rp r o p o s e d k e yw o r d s ：c o m p l e xn e t w o r k ，d y n a m i c a ln e t w o r k ，c h a o t i cn e u r a ln e t w o r k ，c o u p l e d n e t w o r k ，s y n c h r o n i z a t i o n ，e x p o n e n t i a ls y n c h r o n i z a t i o n ，l y a p u n o v - k r a s o v s k i if u n c t i o n ，l i n e a r m a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) ，d e l a y , d i s t r i b u t e dd e l a y , i m p u l s i v ec o n t r m ，s t a b i l i t y 符号及注记 r 一实数域； r + 一非负实数域； 同一集合 1 2 ) ； 毫一向量，= ( u l , “2 ，) r ，啦r ； a 一矩阵a 的逆矩阵； 以t 一矩阵a 的转置； 小一矩阵a 的对称部分，a s = c a + 丁) ； j 一单位矩阵； 厶一n n 单位矩阵； a ( a ) 一矩阵a 的最大特征值； k t 。( a ) 一矩阵a 的最小特征值； i 一向量t 的e u c l i d e a n 范数，i l u l i = 、，石7 媚 f 一矩阵a 的范数，i i a i j = 焉= 而) ； p 0 ( p 0 ) 一p 为对称( 半) 正定矩阵； p y y ) 一x y 为对称( 半) 正定矩阵； 吐= 面d u 一函数 ( t ) 对t 的导数； 注：矩阵的维数，在没有特别说明的情况下，满足代数运算 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用 过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意 研究生签名，日期t 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学，中国科学技术信息研究所，国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电- t ：3 c 档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研 究生院办理 导师签名：丝日期， 第一章绪论 1 1 复杂网络的研究意义 众所周知，复杂网络无处不在，从因特网到万维网。从大型电力网络到全球交通网 络，从生物体中的大脑到新陈代谢网络，从科研引用网到各种经济、政治社会网络等 【1 ，2 ，5 ，3 8 ，5 4 ，5 5 ，6 1 ，可以说，人类已经生活在一个充满着各式各样的复杂网络的世界 中，对网络最早进行研究的是数学家，其基本理论是图论经典图论倾向于用规则的拓 扑结构模拟真实网络【1 0 ，7 6 】实际网络的图表示方法可以追溯到1 8 世纪伟大的数学家 欧拉( e u l e r ) 对著名的。k o n i g s b e r g 七桥问题”的研究，也正是欧拉对七桥问题的抽象和 论证思想，开创了数学中的一个分支一图论在解决七桥问题之后相当长的一段时间 里，图论并朱获得足够的发展直到2 0 世纪中叶，由匈牙利数学家e r d j 8 和雕r l y i 建立 的随机图理论开创了复杂网络理论系统性研究的先河【2 4 】，此后也一直是科学家研究真 实网络最有力的武器【9 】但事实上，绝大多数实际的复杂网络结构并不是完全随机的 伪如，两个入是否是朋友，万维网上两个页面之间是否有超链接，因特网中两个路由器 之间是否有光缆连接等等都不会是完全靠抛硬币来决定的随着计算机计算能力的日 益加强，以及学科之间彼此的相互交叉和不断融合，人们对复杂网络的科学探索发生了 重要的转变，复杂网络的理论研究不再仅仅局限于数学领域，人们开始考虑节点数量较 多，连接形式复杂的实际网络的整体特性，对网络的定性梅征与定量规律的研究也日益 深入，在众多学科中掀起了研究复杂网络的热潮 5 ，6 3 1 9 9 8 年。美国康奈尔( c o r n e l l ) 大学的博士生w a t t s 及其导师一菲线性动力学专家 s t r o g a t z 教授( w s ) 在n a t u r e 上发表文章引入小世界阿络模型( s m a u - w o r l d ) 5 4 ；1 9 9 9 年，美国n o t r ed a m e 大学的b a r a b 6 s i 教授及其博士生a l b e r t ( b a ) 在s c i e n c e 上提出了 无标度网络模型( s c 舳e e ) n ，这两篇文章分别揭示了复杂网络的小世界特性和无标度 特征，并阐明了产生这些特性的机理，被公认为是复杂网络研究新纪元开始的标志随 后，大量关于复杂网络的研究文献如雨后春笋般涌现出来，许多刻画复杂网络结构的统 计特性被提出来，其中包括平均路径长度( a v e r a g ep a t hl e n g t h ) ，聚类系数( c l u s t e r i n g c o e f f i c i e n t ) 和度分布( d e g r e ed i s t r i b u t i o n ) 等【2 ，2 5 ，5 5 除了w s 和b a 模型之外，近 来还有一些其它复杂网络模型被相继提出，如改进的n e w m a n - w a t t s ( n w ) 小世界模型 【5 4 1 、描述科学引用网的k l e m m - e g u l l u z ( k e ) 模型 3 8 】、l i - c h e n 区域世界发展模型阻】 1 第一章绪论2 等 般来讲，复杂网络的复杂性体现在如下几个方面1 6 1 ，6 7 】 ( 1 ) 结构复杂性 网络连接结构错综复杂，极其混乱，而且网络连接可能是随时间变化的，例如，w w w 上每天都有页面及链接的产生和删除此外，节点之间的连接可能会有权重和方向 譬如，神经系统中的突触可以是抑制的，也可以是兴奋的 f 2 ) 节哉复杂性 网络中的各个节点可能有复杂的动力学行为，如分叉和混沌等而且一个网络中可 能存在不同类型的节点，如控制哺乳动物细胞分裂的生化网络就包含各种各样的基 质和酶，这也就意味着可能存在不同动力学类型的节点 ( 3 ) 各种复杂性因素的相互影响 实际的复杂网络会受到各种各样因素的影响和作用例如耦合神经元重复地被同时 激活，那么彼此之间的连接就会加强，这被认为是记忆和学习的基础此外，各种 网络之问也存在着密切关系，这就使得复杂网络的分析变得更加困难例如电力系 统的瘫痪可能会导致因特网流量减少，金融机构关闭、运输系统失去控制等一连串 的反应 在现实生活中，人们也创造了很多复杂网络，如因特网、万维网，电力网络，神经 网络通讯网络、经济网络等，它们给人类的生产和生活带来了极大的便利，丰富了人 们的生活但人类社会的网络化是一把“双刃剑”，它有时也会造成一定的负面冲击，如 由于狂风暴雨，个地方电线杆的倒塌最终导致美国加州的电力网崩溃；泰国汇率的改 变在短短几周内就由于经济的网络化导致了亚洲金融危机；文滋病、s a r s 、计算机病毒 的传播也让人胆颤心惊等所以，如何更好的理解和利用复杂网络( 无论是生物的工 业的，还是信息的，社会的) ，避免或减轻复杂网络的灾难性事件发生，并能对消灭恐怖 主义、解释遗传密码等看似无关的课题作出贡献，就成为一个非常重要的研究课题了， 美国著名物理学家s t e p h e nh a w k i n g 甚至提出2 1 世纪是复杂性的世纪，复杂网络也被誉 为是。网络的新科学。【6 3 】因此，复杂网络已经引起许多领域，如t 物理，数学，通信， 电子，计算机，自动化控制，神经网络。生物学等学科专家的重视 目前，人们对复杂网络的研究大多集中在网络韵大规模性，行为的统计性、节点动 力学的复杂性、网络的稀疏性和网络的时空演化这几个方面，通过实证方法度量网络的 第一章绪论3 统计性质仍然是人们认识复杂网络的主要工具然而，复杂动态网络的连接结构和时空 演化是错综复杂，丰富多彩的，尤其是各类同步问题，包括广义同步的物理机制及其控 制方法等，仍是迄今尚未解决的问题，也是值得共同研究和不断探讨的重要课题，更是 最近几年来各个领域学者研究的热点近来，w a n g 和c h e n 提出的个复杂动态网络模 型为研究这方面的问题提供了一个很好的切入点【6 s w u 分析了各种复杂动态网络的 同步能力，提出了一个刻画同步能力的标准，并给出了如何通过增加少量耦合便可迅速 提高网络同步能力的方法 8 5 1 但是，正如b a r a b i s i 和a l b e r t 所说，迄今为止，对于复 杂网络的研究还只是冰山一角而已，大量关于复杂网络的奥秘值得我们迸一步去探索和 研究 1 - 2 混沌同步与控制的研究意义 混沌是指在一个确定性系统中出现的一种貌似不规则的内在的随机性的动力学行 为，是非线性动力系统的固有特性，也是非线性系统中普遍存在的现象【2 6 】 对混沌的最早研究要追溯刭1 9 6 3 年，美国著名气象学家，麻省理工学院( m r r ) 的 洛伦兹( l o r e n z ) 教授在大气对流模型的计算机数值计算中，发现了所谓的。蝴蝶效应”。 形象地比喻为t 。巴西境内的一只蝴蝶扇动翅膀，也可能引起美国德克萨斯州的一场龙卷 风”，即系统初始值的微小变化也会导致系统长期演化行为的不可预测性其在j o u r n a l o ft h ea t m o s p h e r i cs c i e n c e s 刊物上发表的决定论非周期流的著名论文 4 8 】标志着现 代混沌研究的个突破性进展l o r e n z 是第个发现奇怪吸引子一l o r z 吸引子，并且 最先在计算机上采用数值方法研究混沌的人，因此被誉为。现代混沌之父。然而，由 于混沌的复杂性，迄今为止，学术界对其尚缺乏统一的普遍接受的标准定义，在数学上 常用的定义有李一约克( l i - y o r k e ) 意义下的混沌【4 6 】和狄万内( d e v a n e y ) 意义下的混沌 f 2 3 】但总体来说，混沌系统的复杂动力学具有如下基本特性 2 6 1 , ( 1 ) 对初始条件的微小变化具有高度的敏感依赖性； ( 2 ) 用最大的l y a p u n o v 指数大于零表征； ( 3 ) 混沌吸引子是有界的，它的轨线始终局限于一个确定的区域，因此从整体上来说， 混沌系统是稳定的； ( 4 ) 混沌吸引子具有遍历性； ( 5 ) 混沌吸引子的几何特征是具有分形和自相似嵌套结构，具有连续功率谱； 第一章绪论 4 ( 6 ) 经常与分岔，分形和多种奇怪吸引子甚至排斥子等复杂动力学现象共存 混沌的发现被称为是继相对论和量子力学之后物理学中最伟大的发现之一，它架起 了确定论和概率论两大理论体系之间的桥梁，著名物理学家j f o r d 在1 9 7 7 年于意大利 召开的第一次国际混沌会议上指出，混沌学是2 0 世纪物理学的第三次革命，它消除了 拉普拉斯关于决定论式可预测性的猜想【2 7 1 对混沌现象特别是混沌动力学的研究有助于人们正确地认识和深刻地把握客观世 界的发展规律其中，研究如何有效地控制混沌或主动地利用混沌，是一个非常重要的 课题然而，长期以来，由于混沌的奇异性，科学家面对混沌时往往束手无策，认为混 沌是很难被同步或被控制的，在应用及工程领域中曾经一度被回避但是9 0 年代初期， 混沌的研究取得了两项突破性的进展，即混沌同步方法与混沌控制方法混沌控制是由 美国马里兰大学的o t t ，g r e b o g i 和y o r k e 从理论上提出了参数微扰法，即著名的o g y 方法1 5 6 】混沌同步是由美国海军实验室的p e c o r a 和c a r r o u 开创的，他们在实验电子 线路上首先应用驱动一响应方法实现了混沌同步【5 7 】混沌控制，其目标是使某个不稳 定周期、平衡点达到稳定状态，而不改变系统中原有的运动形态潮如周期轨道等) ，从 总体上说，混沌同步属于混沌控制的范畴，即将系统控制到人们要求的混沌轨道上去， 它是更广泛意义下的混沌控制混沌控制与同步概念的提出也为混沌的应用开辟了一条 崭新的道路，使混沌从理论研究阶段走向应用研究阶段，混沌同步在物理数学通讯。 密码、生物、医学等众多领域展现出的巨大应用潜力，立即引起了混沌控制与同步的研 究热潮，理论与实验应用研究蓬勃开展，使混沌的应用出现了难得的契机【2 6 】 从不弼的角度研究混沌同步会产生不同的同步概念，到目前为止，同步可以细分 为l 完全同步( c o m p s y n c h r o n i z a t i o n ) ；反同步( a n t i - s y n c h r o n i z a t i o n ) ；滞后同步( l a g s y n c h r o n i z a t i o n ) ；期望同步( a n t i c i p a t l n gs y n c h r o n i z a t i o n ) ；广义同步( g e n e r a l i z e ds y n e h r o - n i z a t l o n ) ；投影同步( p r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o n ) ；相位同步( p h a s es y n c h r o n i z a t i o n ) ；反相 位同步( a n t i - p h a s es y n c h r o n i z a t l o n ) 及阵发滞后同步( i n t e r m i t t e n tl a gs y n c h r o n i z a t i o n ) 等 【2 6 ，1 6 ，5 6 ，5 7 j 混沌同步的研究也不仅仅局限于恒同系统之间的同步，还包括非恒同或 完全不同的混沌系统之间的同步，结构相同或不同且含有未知参数系统的同步或鲁棒同 步问题随着研究的不断深入，混沌同步的实现方法主要有：驱动一响应同步法；耦合同 步法；模糊控错法；连续变量反馈控制法；输出反馈控制法；延迟反馈控制法；自适应控 制方法；滑模控制方法；最优控制方法；鲁棒控制方法；不变流形方法；脉冲控制方j 去；主 第一章绪论 5 动控制 去；b a c k s t e p p i n g 控制法；外部噪声驱动方法等【8 1 3 ，5 0 ，2 6 ，1 6 ，3 5 ，3 7 ，4 1 ，7 9 ，8 1 1 研究人员分别用这些方法控制不同类型的混沌系统使之达到同步，获得了巨大的成功 混沌同步与控制涉及范围宽广，应用潜力巨大，越来越多地与高新技术的发展联系 在一起，成为高新技术领域新的增长点譬如，强流离子柬在核材料生产与增殖、放射 性药物生产及重离子巨变等方面有着极其重要的应用；混沌在生物医学工程中对探索人 脑奥秘、心脏系统，神经系统功能和机制方面提供了新思路和新途径又如，利用混沌 同步研究并设计保密通讯方案具有许多优点：保密性强，强抗干扰和抗破译性，高容量 的动态存储等等总之，混沌同步在国防和国民经济领域都有很大的应用潜力，已经引 起了世界上诸多科学家的广泛关注【2 6 】近些年来，美国许多大学，马里兰大学麻省 理工学院、华盛顿大学加利福尼亚大学伯克利分校斯坦福大学等都成立了专门的研 究队伍，竞相投入与混沌有关的研究工作，而混沌也成为自2 0 世纪9 0 年代初期以来非 线性科学研究中的主要方向 1 3 本文的主要工作 本文主要研究了复杂动态网络的混沌同步及其控制问题，主要内容包括：( 1 ) 讨论 了带有延迟耦合网络的指数同步问题；( 2 ) 对于耦合递归神经网络，研究了存在混合耦 合情况下的全局指数同步；( 3 ) 对于耦合神经网络中的耦合项为不确定的情况，和用脉 冲控制的方法，给出了网络中各节点彼此达到同步的充分条件具体内容如下； 第一章对复杂动态网络的研究意义作了介绍，同时对混沌同步的控制方法及研究意 义作了分析。并简介了本文的主要研究内容和创新点 延迟现象在网络传输中普遍存在，第二章提出了一类新的复杂动态网络模型， nn 觑( t ) = y ( z d 0 ) + c 锄( t ) + c 劬鼻q ( t r ) ，扣l 2 j ；lj = i 其中耦合矩阵g = ( g 甜) 。n 是不可约的且满足 劬= q i 0 ，i 五 n g u = 一g o ，l = 1 ，2 ， j = l d i 各参数具体定义详见第二章，该复杂网络模型既含有常耦合项，又含有延迟耦合项，能 更好地反映网络的特性本章详细讨论了该网络的同步问题，用线性矩阵不等式( l 皿) 第一章绪论 6 的形式给出了一些保证网络中节点彼此达到指数同步( 局部或全局的) 的判据，理论分 析表明，当上述模型中的延迟耦合项为零时，所得定理也推广或改进了先前相关文献中 的结果在本章最后，c h u a 氏电路被作为网络中单个节点的形式，利用数值仿真进一步 说明了所得结果的有效性 第三章对耦合神经网络的同步问题进行了研究，提出了带有混合耦合项的耦合网络 模型，这里的耦合项包括常耦合离散延迟耦合和分布延迟耦合，该模型的动力学方程 如下t 些磐= 一e x i ( t ) + a m 删+ b f c x t ( t r ) ) + 删 nnn， + 四d 1 ( t ) + g 字d 2 巧( t r ) + g 字d 3fq ( s ) 西， j r l j = l j = l 。” 其中i = 1 ，2 ，n ，g ( 1 ) = ( g 0 h 。，g ( 2 】= ( g ! ；) _ 。，g ( 3 ) = ( 筒) 。，且满足如下的 耗散耦合条件： 露= 礞2o o j ) ，g l ：= 一g 等，v ，j = l ，2 ，n ；= 1 ，2 ，3 j = l j f 各参数具体定义详见第三章，借助于l y a p u n o v 稳定性理论和k r o n e c k e r 积技巧，给出了 一些判断系统全局指数同步的充分条件其优点是：所得判据里含有一些自由矩阵，这 大大方便了网络中耦合矩阵和内联矩阵的选取，给实际工程应用带来了诸多便利之处 同时，定理条件是以线性矩阵不等式形式给出的，易于用一些标准软件来求解最后以 混沌细胞神经网络作为特例，来说明结果的有效性 第四章探讨了耦合延迟神经网络的脉冲控制问题，耦合神经网络的动力学方程为； 磊( t ) = - c a | f ( t ) + a ，( 却( t ) ) + b f ( x i ( t f ) ) + 函扫l ( ) ，z 2 ( 亡) ，z ( 亡) ) 其中f = 1 2 ，肌：r n n 一舻是一光滑有界函数，被认为是网络中的耦合项，可 以是线性的，也可以是非线性的到目前为止，在研究耦合神经网络的文献中，这种基 于耦合项为不确定的假设还是首次提出；其他参数定义详见第四章借助于脉冲控制方 法，利用脉冲泛函微分方程稳定性理论。本章给出了一些简单可行的控制器参数的设计 条件，以保证耦合神经网络中的各个节点彼此之间达到完全同步需要指出的是，本章 还给出了控制器参数的预估计区域，方便了其在实际工程上的应用 第五章对全文的工作进行了总结，并对今后的研究方向作了一些展望 第一章绪论 7 1 4 本文的主要创新点 本文在国内外学者已有工作的基础上取得了一些成果，主要创新如下 ( - ) 研究了一类新的复杂动态网络的指数同步问题 有关复杂动态网络同步行为的研究中，绝大部分考虑的都是具有常耦合项的复杂网 络模型，然而在实际中，由于信号传输速度有限，以及节点间竞争和通道拥塞等因素， 在复杂网络中通常存在延迟，很少有作者考虑具有延迟耦合项的复杂网络的同步问题， 本文首先提出了具有常耦合和延迟耦合的复杂动态网络模型，然后利用线性化方法和 l y a p u n o v 稳定性理论，以l m i 的形式给出了网络中节点达到局部或全局指数同步的判 定条件，同时理论分析表明，当上述模型中的常耦合或延迟耦合项为零时，所得定理也 包含或推广了先前相关文献中的结果 ( 二) 给出了含有分布延迟耦合项的混合耦合神经网络的若干同步准则 目前文献对具有常耦合项的耦合神经网络的同步同题研究的比较深入，而对存在 延迟耦合的情况研究极少，但已有研究表明，由于神经元传输过程中不可避免地存在 延迟，而且神经元的轴突有着不同的大小和长度，因而显示出一定的空间特性，所以在 考虑神经网络彼此间的耦合时，既应考虑它的离散延迟耦合，还应考虑它的分布延迟耦 合本文提出了具有混合耦合项的耦合神经网络模型，其中耦合项包含常耦合，离散延 迟耦合和分布延迟耦合这三项。但由于数学上处理高维系统和混合耦合的复杂性，目前 关于这方面的研究几乎为空白利用l y a p u n o v 稳定性理论和k r o n e c k e r 积技巧。给出了 一些易于判断的充分条件，以使得系统达到全局指数同步另外，所得判据里含有一些 自由矩阵，方便了网络中耦合矩阵和内联矩阵的选取，给实际工程应用带来了诸多便利 之处，最后以混沌细胞神经网络作为特例，来说明结果的有效性 ( 兰) 基于脉冲控制策略提出了耦合神经网络的鲁棒同步策略 现有关于耦合神经网络同步的研究都是基于如何选择合适的耦合矩阵和内联矩阵， 以使得网络中各节点彼此达到同步，这些方法大都是基于耦合为线性的假设，但实际 生活中，网络的耦合信息很难完全知道，甚至是完全未知的，特另9 是网络中的耦合项可 以是线性的，也可以是非线性的，因而研究耦合神经网络的鲁棒同步同题有着重要的意 义本文首次提出了具有扰动项的耦合神经网络模型，基于脉冲控制方法，利用脉冲泛 函微分方程稳定性理论，给出了一些简单可行的控制器参数的设计条件，以保证耦合神 第一章绪论 8 经网络中的各个节点彼此之间达到完金同步其优点是：脉冲控制器只在间隔点上将脉 冲信号输入到接收系统中，所以大大降低了信号传输中的信息冗余并增强了对系统扰动 的鲁棒性，为实际应用提供了理论基础理论分析与仿真结果表明，利用脉冲控制方法 可实现具有不确定扰动项的耦合神经网络的同步 本文的部分结果已被国际s c i 刊物：p h y s i c aa ，p h y s i l e t t e r sa ，n e u r o c o m p u t i n g ， i e ep r o c e e d i n g sc o n t r o lt h e o r ya n da p p l i c a t i o n s 。n o n l i n e a rd y n a m i c s 发表或接受，详见 作者发表论文清单 第二章带有常耦合和延迟耦合的复杂动态网络的同步 2 1 背景介绍 自然界中大量的复杂系统都可以通过网络加以描述，个典型的网络是由大量的节 点与连接边组成的，其中节点用来代表真实系统中内容的个体，而边则用来表示个体间 的关系，若两个节点之间具有某种特定的关系则连一条边，反之则不连边例如，因特 网可以看作是自主工作的计算机通过路由器相互连接而形成的网络，类似的还有电力网 络、社会关系网络、科研引用阿等 1 ，2 ，5 ，3 8 ，5 4 ，5 5 ，6 1 1 近些年来。鉴于混沌同步在保密通讯，调和振子的产生等实际工程问题上有潜在的 应用，复杂网络的同步问题也备受关注事实上，同步在科学技术领域一直是一个非常 活跃的主题m ，许多现实世界中的问题都和网络的同步性态有直接关系，如万维网和因 特网中的同步信息传递，通讯或生物网络中的数字信号的传输等p o g r o m s k y s s 】和w u 【7 3 ，7 4 】讨论了大尺度网络的同步问题，c h u s 【2 0 】和k a n e k o 分别研究了连续时间的 细胞神经网络和离散的耦合映像格子的同步问题，而文献【3 ，3 0 ，4 5 ，6 9 ，7 0 ，6 8 】分别讨论 了小世界模型和无标度网络的同步问题 最近，w a n g 和c h e r t 提出了个统一的动态网络模型，其动力学方程如下例 觑( t ) = ，( 以o ) ) + c g 玎r 巧( t ) i = 1 ，2 ，n ( 2 1 1 ) j = 1 其中矗( t ) = ( x i , 1 ( t ) ，矗，2 ( 0 ，规，。( t ) ) r r “为节点i 的状态变量；，：r ”一舻是个 连续可微的向量值函数；常数c 0 为网络的耦合强度；r = d i a g ( 7 1 ，他，h ) 是个 0 一l 矩阵，描述了网络中耦合节点之间的内部耦合关系；矩阵g = ( g 日) n 表示网络 的耦合框架，定义如下t 若节点 和节点j0 j ) 之间有连接，则g 0 = 岛= 1 ；否则 g 玎= 嘭f 00 j ) 对角元素满足 n 瓯一- 啄， = 1 2 ( 2 1 2 ) ；l j j f f i l j t t 系统2 1 1 的同步及控制问题在文献【6 8 1 中被深入地研究在文献【6 8 1 的基础上，l n 和 c h e r t 提出了个变延迟模型并分析了网络的同步行为【5 2 ，5 3 j 另外，在文献f 4 0 ，8 2 】中， 9 第二章带有常耦合和延迟耦合的复杂动态网络的同步 l o 作者将延迟r 引入到式( 2 1 1 ) ，即考虑如下的复杂网络模型 r 主t o ) = ，( 甄o ) ) + c 乏二g 矗i 巧。一下) ，i = 1 ，2 ， ( 2 1 3 ) j = l 并给出了一些判断网络是否达到同步的与延迟相关或无关的准则 然而，值得指出的是，尽管许多文献研究了常耦合或延迟耦合条件下的动态网络的 同步行为，但到目前为止，关于既带有常耦合又有延迟耦合的复杂网络的同步问题的研 究几乎为一片空白但是考虑到延迟在网络传辖中的普遍性以及延迟可能会改变系统的 动力学行为。本章将提出一个新的复杂动态网络模型，并分析耦合矩阵和内联矩阵的选 取对网络达到同步的影响，给出一些简单易于验证的判据 2 2 模型描述及基本引理 本章考虑一个由个节点构成的复杂动态网络，其中每个节点都是一个n 维的动 力系统 nn 南( t ) ；m + c 劬锄( t ) + c 劬山( t r ) ， = 1 ，2 ， ( 2 2 4 ) j = l j = 1 其中，a = ( o 町k 。和g r = ( 吗k 。待定，分别表示在t 和t r 时刻的内联耦合矩阵； 本章假设 ( s 1 ) 矩阵g = ( g 0 ) x n 是不可约的，且满足耗散性条件，即 忙 铱o f ， 一g 玎，l = 1 ，2 ， y f l j # i 由文献【7 3 】中的引理2 知，矩阵g 的特征值满足0 = a l a 2 h 另外，系统( 2 2 4 ) 的初始条件为： z l r ( s ) = 如0 ) c ( 一一0 】，r ) ，vr = l 2 ，i ；l = 1 2 ，( 2 2 5 ) 本章的主要目的是选择合适的参数，使得动态网络( 2 2 4 ) 的解彼此之间达到指数 同步，在给出主要定理结果之前，需要引入下面定义及引理 第二章带有常耦合和延迟耦合的复杂动态网络的同步 1 l 定义2 2 1 设a = ( ) 。，b = ( 吣) p 称分块矩阵 a o 日= a l l ba 1 2 b 口1 n b a m bn 2 2 口 0 2 ，i b a m l b 2 b b 为a 与口的直积或k r o n e c k e r 积 由定义2 2 1 知，a 移b 是( m p ) ( n q ) 维的矩阵，矩阵的k r o n e c k e r 积具有下列基本性 质 引理2 2 11 1 8 记。为矩阵的k r o n e c k e r 积，设口为常数，a ，b ，g d 为满足代数运 算的矩阵，则 ( 1 ) ( a a ) 0 b = a o ( a b ) j ( 2 ) ( a + b ) o c = a o c + b