（计算数学专业论文）积分微分方程的区域分裂并行算法.pdf

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d i f f e r e n t i a le q u a t i o n q i n g c h a ow a n g ( s c h o o lo fm a t h & s y s s c i ，s h a n d o n gu n i v ， j i n a n ，s h a n d o n g2 5 0 1 0 0 ，p r c h i n a ) a b s t r a c t d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d sa r ee f f e c t i v ew a yt os o l v et h el a r g es c a l ep r o b - l e mi n t os m a l ls c a l ep r o b l e m s ，m a k i n gt h ec o m p u t a t i o nm o r ee a s i e r b e c a u s eo ft h i s ，s i n c e 5 0 so fl a s tc e n t u r y ，e v e nb e f o r et h ea d v e n to ft h ep a r a l l e lc o m p u t e r s ，d o m a i nd e c o m - p o s i t i o nm e t h o d sh a v eb e e na p p l i e do ns e q u e n t i a lc o m p u t e r s w i t ht h ed e v e l o p m e n t o fp a r a l l e la l g o r i t h m s ，s i n c et h ef i r s t8 0 s ，t h i sk i n do fm e t h o dh a sf l o u r i s h e d n o w ，s u p e r p a r a l l e lc o m p u t e r sh a v eb e e nu s e di ne n e r g yi n d u s t r yl i k en u c l e a ri n d u s t r ya n de x - p e r i m e n t ，o i li n d u s t r y ，b i o l o g yr e s e a r c h ，w e a t h e rf o r e c a s t ，e r e d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d sa r ea l w a y se m p l o y e di nt o wc o n t e x t ，f i r s t ，t h e d i v i s i o no fl a r g es c a l ep r o b l e m si n t os e v e r a ls u b p r o b l e m sb yt h em e a x l so fd o m a i n d e c o m p o s i t i o ni saw a yt oi n t r o d u c ep a r a l l e l i s mi n t ol a r g es c a l ep r o b l e m s ，a n dt h u s t h ec o m p u t i n gt i m ec a nb es h o r t e n s e c o n d ，m a n yp r o b l e m si n v o l v em o r et h a no n e m a t h e m a t i c a lm o d e l ，e a c hp o s e so nad i f f e r e n td o m a i ns ot h a td o m a i nd e c o m p o s i t i o n o c c u r sn a t u r a l l y , a n ds ot h ep a r a l l e l i s mi sa c h i e v e d 。b e c a u s ed o m a i nd e c o m p o s i t i o n m e t h o dc a nt u r nal a r g es c a l ep r o b l e mi n t os m a l l e ro n e s ，t u r nc o m p l i c a t e db o u n d a r y c o n d i t i o ni n t oe a s i e ro n e s ，t h e r ea r ev e r ym u c hr e s e a r c hw o r ko ni t d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d sd i v i d et h ed o m a i ni n t os e v e r a ls u b - d o m a i _ r r s 8 0 t h ep r o b l e mc a nb es o l v e do nt h es u b - d o m a i n s ，i t sa d v a n t a g ei s ：f i r s t ，i tt a k e sl a r g e s c a l ep r o b l e mi n t os m a l ls c a l ep r o b l e m sa n ds a v e sc o m p u t a t i o n s s e c o n d ，i tc a nu s e q u a s i u n i f o r mg r i do ns u b - d o m a i n sn o to nt h ew h o l ed o m a i n ，a n di tc a nu s ed i f f e r - e n td i s c r e t ep r o c e d u r e st os o l v ep r o b l e mo ns ub - d o m a i n s ，w h i c hi sf l e x i b l et om a n y 5 山东大学硕士学位论文 a n o m a l o u sp r o b l e m sl i k eb o i l e rc o m b u s t i o n ，r o l ld e s i g n a t i o n t h i r d ，i tc a nt a k ed i f - f e r e n tm a t h e m a t i c a lm o d e l so nd i f f e r e n ts u b - d o m a i n st of i tt h ep r o b l e m s ，l i k eo i l ，g a s s i m u l a t i o n f o r t h ，t h ep r o c e d u r ei sp a r a l l e l ，c a nb ec o m p u t e di n d e p e n d e n t l yo ns u b - d o m a i n s w h e nw ea p p l yd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d st os o l v eam a t h e m a t i c a lm o d e l ， w ef i r s t l yd i v i d et h ed o m a i ni n t os e v e r a ls u b - d o m a i na c c o r d i n gt ot h ef e a t u r e 撼o ft h e m o d e lo rt h eg e o m e t r yo ft h ed o m a i n t h e nw es o l v et h es u b p r o b l e m si n d e p e n d e n t l y o nt h e i ro w ns u b - d o m a i n sr e s p e c t i v e l y w h e nf i n d i n gt h es o l u t i o no fap a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，w em u s th a v ek n o w ni t sb o u n d a r yc o n d i t i o n h o w e v e r ，d o m a i n d e c o m p o s i t i o ni sa l la r t i f i c i a ld i v i s i o n t h e n ，f o ras u b - d o m a i n ，t h e r ei sa tl e a s ta p a r to fb o u n d a r yw i t hu n k n o w nb o u n d a r yc o n d i t i o n ，t h a ti st os a y , t h ei n n e r d o m a i n b o u n d a r yc o n d i t i o n sa r eu n k n o w n o u rt a s ki st og i v et h eb o u n d a r yc o n d i t i o n st o t h ei n t e r f a c e so ft h es u b - d o m a i n so rg i v et h eb o u n d a r yc o n d i t i o n st ot h ei n t e r f a c e s i nt h ep r o c e d u r et h o u g ht h eb o u n d a r yc o n d i t i o n sc a nn o tb eg i v e na p p a r e n t l y t h ee x p l i c i t i m p l i c i td o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o di sak i n do fm e t h o dt h a t w eg i v et h ei n n e r - d o m a i nb o u n d a r yc o n d i t i o n se x p l i c i t l y w ek n o w ，i fw eu s ea n e x p l i c i tm e t h o d ，t h ep r o c e d u r ec a l la c h i e v ep a r a l l e l i s mn a t u r a l l y , h o w e v e r ，t h e r ei s as t a b l ec o n s t r a i n tf o rt h ee x p l i c i tm e t h o da n dt h et i m es t e pi sc o n s t r a i n e dt o o s o , i fw ew a n tt om a r c ht i m eo n ，t h ee x p l i c i tm e t h o dw i l ln e e dm o r es t e p st h a ni m p l i c i t m e t h o d a n dt h u s ，i tw i l lc o s tm o r et i m et of i n dt h es o l u t i o n i m p l i c i tm e t h o di s u n c o n d i t i o n a l l ys t a b l ea n dt h e r ei sn oc o n s t r a i n tt ot i m es t e p w h i l ea te a c ht i m e l e v e l ，w em u s ts o l v eal a r g e ，d o b a ls y s t e mo fe q u a t i o n s ，、v v h e nt h em e s hi sr e f i n e d ， t h ee q u a t i o ns y s t e m sb e c o m el a r g e ra tt h es a m et i m e s o l i n gt h i sk i n do fe q u a t i o n s y s t e ma l s oc o s tm u c ht i m e t h ee x p l i c i t i m p l i c i tm e t h o di n c l u d eb o t ho ft h ea d - v a n t a g e i tu s es i m p l e ，e x p l i c i tc a l c u l a t i o n so nt h eb o u n d a r i e sb e t w e e ns u b - d o m a i n s t op r e d i c tt h ei n n e rd o m a i nb o u n d a r yc o n d i t i o n t h e nt h ee q u a t i o no nt h ew h o l e d o m a i ni sd e c o m p o s e di n t os e v e r a le q u a t i o n so ns u b - d o m a i n s w h e nc o m p u t i n g ， t h el a r g e ，g l o b a le q u a t i o ns y s t e mt u r n si n t os e v e r a ls m a l l e ro n e s s ot h ep a r a l l e l i s m 6 山东大学硕士学位论文 i sa c h i e v e d t h ee x p l i c i tn a t u r eo ft h ei n n e r - d o m a i nb o u n d a r yc o n d i t i o n si n d u c e sa t i m es t e pl i m i t a t i o nt h a t i sn e c e s s a r yt op r e s e r v es t a b i l i t y , b u tt h i sc o n s t r a i n ti sl e s s s e v e r et h a nt h a tw h i c hc o m e sw i t haf u l l ye x p l i c i tm e t h o d t h e r eh a sb e e nm u c hw o r ko nt h ee x p l i c i t i m p l i c i td o m a i nd e c o m p o s i t i o n m e t h o d s i nr e f 1 t l ，d a w s o na n dh i sc o - w o r k e re m p l o y e dd o m a i nd e c o m p o s i t i o nf i - n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ，g i v et h ei n n e r - d o m a i nb o u n d a r yc o n d i t i o n se x p l i c i t l ya n dg e t a no p t i m a lf 。n o r m e de r r o re s t i m a t e s b a s e do nt h i sm e t h o d ，i nr e f 【2 】q d ua n d h i sc c - w o r k e r sp r o p o s e da ne f f i c i e n td o m a i nd e c o m p o s i t i o nf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ， g i v i n gt h ei n n e r - d o m a i nb o u n d a r yc o n d i t i o n sb yt h eh e l po fs o l u t i o n sf r o mt h el a s t af e wl e v e l s i nr e f 【3 】，d a w s o na n dd u p o n ta p p l i e daa ne x p l i c i t i m p l i c i td o m a i n d e c o m p o s i t i o nf i n i t em e t h o d ，d e f i n i n gaf u n c t i o nt op r e d i c ti n n e r - d o m a i nb o u n d a r y c o n d i t i o n s ，a n dd e r i v ea nl 2n o r m e de r r o re s t i m a t e s t h e n ，b a s e do nt h i sm e t h o d ， i nr e f 【4 1 ，d a w s o na n dd u p o n tu s e de x p l i c i t i m p l i c i td o m a i nd e c o m p o s i t i o nb a s e d o nb l o c k - c e n t e r e df i n i t ed i f f e r e n c e sa n dg e ta n1 2n o r m e de r r o re s t i m a t e s t h i sp a p e ri n c l u d e st w op a r t s ，i nc h a p t e r1 ，w eg i v ep r e p a r a t i o nk n o w l e d g e ，i n c h a p t e r2 ，w ec o n s i d e rt h ed o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o df o ri n t e g r o - d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h ef u n c t i o nv a l u eo nt h ei n n e r - d o m a i nb o u n d a r yi s 西v e nf r o mt h ef o r m e r l e v e l ，a n di sp a r a l l e l ，w eu t i l en e wm e t h o df o re r r o re s t i m a t e s ，d e f i n eao p e r a t o r i n c l u d i n gt h ei n n e r - b o , m d a r yi n f o r m a t i o nt od e l e t et h eh 1 2 , a n dg e tt h eo p t i m a l e r r o re s t i m a t e s k e y w o r d s ：d o m a i nd e c o m p o s i t i o n ，e x p l i c i t i m p l i c i t ，i n t e r o - d i f f e r e n t i a le q u a ， t i o n ，f i n i 乞ee l e m e n t ， 山东大学硕士学位论文 第一章预备知识 首先介绍一个折线函数，在后面用来构造函数逼近舞l r 时用到。 1 一z ，0 z 1 z + 1 ，一1 zs0 0 ，o t h e r w i s e ， 易知，若p ( x ) 为一次多项式，则有 出) 似z ) 如= p ( 。) ( 1 1 ) ( 1 2 ) 我们考虑两个子区域的情形，不妨令q = ( o ，1 ) ( o ，1 ) ，q t = ( o ，) ( o ，1 ) ，f t 2 一( ，1 ) ( o ，1 ) ，内边界f = ) ( o ，1 ) 1 0 1 2 1 q = 1 l 对于h ( o ，) ，令 多( z ) = 2 ( ( z 一) h ) h ， ( 1 3 ) 令护为己z ( q ) 的有限维子空间且成立对于坳v ，则秽b 吁，对 移v h ，定义秽在边界r 上的跳跃i v ，即 p 】( 主，秽) = 秽( 丢+ o ，秒) 一t ，( 互1 一o ，可) 9 山东大学硕士学位论文 定义双线性形式如f ： 刚川= 娄上。删v p 蛐 引入文献 1 】中内边界法向导数的近似函数： b ( 矽) ( 丢，秒) = 一0 1 7 ( z ) 妒( z ，箩) 如 令( ，) e 为己z ( 壹) 内积， ( 咖) e = 上妒，摆 当= q 时，我们略去下标： ( 妒，p ) = ( 砂，p ) e 由文献【1 得如下引理 引理1 1 存在一个正常数q ，对0 hsh o 满足 岛l l l v l 2 d ( 妒，妒) 十( 妒，妒) + ( n j 5 f ( 砂) ，眇j ) r 1 ，砂v 矗 其中i | i 妒2 = d ( 砂，妒) + ( 妒，妒) + h 一1 i i 砂 i 1 2 引理1 2 存在一个常数研对砂v h 满足， ( n b ( 妒) ，b ( 砂) ) rs c i h 一3 i f 妒i i z z ) ， 妒v t i s ( * ) l l l 。( r ) c i h 一1 l 陟l 。， 妒v h 。 i l 掣一即) ( | | l 2 ( q o , u 满足积分微分方程 f 象一v ( a v u + 菇b v u ( x ，r ) 打) + e “= ( z ，暑，z ) q ( o ? t i i 舞= 0 ， ( z m t ) q ( o ，卵 l 【 u ( z ，o ) = u 0 ( z ) ，( z ，可) q ( 2 2 1 ) 其中，a ，b ，e 为正常数，= l ( x ，t ) 。 沿用第一章中的两个子区域的符号和定义，令n = ( o ，1 ) x ( o ，1 ) ，q l = ( o ，) x ( o ，1 ) ，q 2 = ( ，1 ) x ( o ，1 ) ，内边界r = ( o ，1 ) 将时间【o ，t 】分成份，分点为0 = t o ，t 1 ，t = t ，记a t “= 蚪1 一 俨n = 0 ，1 ，n 一1 ) 不失一般性，我们考虑等距剖分的情形，即 a t = a t n v h 为l 2 ( a ) 的有限维子空间且成立对于坳v ，则 如吁 方程( 2 2 1 ) 的变分形式为： ( 掣，口) + 。( 乱n ，口) n ub ( z o t * u d t , 可) + ( e 珏n ，钉) 小等r + ( 小筹她r - ( n 制， ( 2 2 2 ) 其中 2 ， 2 ， “2 萎以；。v ”v 钞叔，“。萎以；w v 影呶 1 2 盯 ：一( 百c o u f n ) + u n 瓦_ 珏一n - - i 假设u o v h 已知，我们给出算法如下：求妙t ，u 满足 ( 等川+ n ( 州州磐酬+ ( e 吲 + ( 。b ( u “) ，l v l ) r + ( b b ( u ) a t ， v 1 ) r = ( ，“，钉) ，vt 7 v h ( 2 2 3 ) 山东大学硕士学位论文 在时间t = t n 一时，可求得u t ，此外，u o ，u ，泸_ 2 在前面各时间 层已求得，从而可得b ( c r n 一- ) ，b ( 沪) ，从而( 2 2 3 ) 在子区域上变成 两个独立的问题，可以在两个子区域上单独求解，实现了算法的并 行。 与文献 1 1 中的证明相似，如果取检验函数e 兰o ，三l ，则t ， 护，v v = 0 ，从而有( u n - - 一u n - ! ，1 ) = 0 ，可得，扩= t 厂泸一，那么( 2 2 3 ) 是守 恒的。 2 3 收敛性分析 酉。先我们定义 m ，口) = 出+ ( 黝，口) + b ( ，fu d r , v ) 一 ( 2 3 1 ) 和 否( 铒，钞) = a ( 钰，秽) + ( e 珏，t ，) 十b , o 。u d 一口) + ( n b ( 乱) ，m ) r 1 + ( 6 b ( 钍) ，卜，】) r ( 2 3 2 ) r e ，0 定义投影算子p ，满足： g 一p u ，口) = 0 昂口 n ( 钆p u , v ) + ( e 钍一p u , v ) + 易( 厂( 钍一 矽) ：0 ，vu (23pup u ) d r , 0 v 3 3 )n ( 钆 ) + ( e 钍一 + 易( ( 钍一 矽) = ， vu (3 ) t ，0 这是一个标准的v o r t i r a 投影箅子。又定义另一个投影箅子芦，满足 否沁一声弼t ，) = 0 ， 羟 了 “ 一 口 一p ，“，z ，) + 6 q o 一p u ) 打，t ) + ( e u - p u , v ) + ( o b ( u p u ) ，p 】) r + ( b b ( u p u ) ，p 】) r = 0 ( 2 3 4 ) 一 ， ，o 山东大学硕士学位论文 令 荨= “一p 钆，7 7 = t 一凡，0 = p u 一以 引理2 1 若钍满足文中讨论所需正则性，则有如下估计 证明由( 2 2 2 ) 一( 2 3 4 ) 得： ( 2 3 5 ) ( o t p u r * ，秒) + 。( 鼢，钉) + 6 ( 厂? u d r ，”) 0 + ( e 丸n ，t ，) + ( 。b ( p u n ) ，p 】) r + ( t nb b ( p u ) ，m ) r = ( 味一画p + t ，) 水( 脚卜筹) ，r ( 2 3 6 ) + ( z k 邶( 小塾0 7 r ，v vev h 再由( 2 3 6 ) 一( 2 2 3 ) 得； 其中 1 4 n ( 玩俨，甜) + n ( 扩，口) + ( a b ( o “) ，p 】) r + 6 ( 0 i a t ，口) i = l n 一1 + ( b b ( o ) a t ， v 1 ) r + ( e e lt ，) i = o = ( 盯 ，移) + ( 0 2 ”，扣】) r + ( 略，v 口) 一( 玩”+ 毒”，秽)( 2 3 7 ) + ( n b ( 口“一扩一1 ) ，【钉】) i + ( 口b ( 车“一“一1 ) ，【叫) r 七b ( i f r , _ _ u r n - - 1 ) r 拍跏卜等，r + ( 序一塑0 7 ) ) 【蝴r 一一f 沾c 蛳+ c 脚z 哟= z o t b v 成打一娄岍兆t 、， 日+ 球 + q n 毒一巩 十 n 竹 毒 脚 rl c 0 ，使得 c o l l l o i i l 2 a ( o 七，p 彪) + ( e o 七，o k ) + ( a b ( e 七) ，归2 】) r ( 2 3 1 4 ) 和 铊nn nn c o l l l 0 哳g ( o k , 驴) + ( a b ( z0 南) ，i s ；0 七】) r ( 2 3 1 5 ) k = l七= lk = lk = i k = l 对于式( 2 3 1 3 ) 中右端各项有 n 忌一lk - 1 a t 2 【( 6 b ( 驴) ，【0 】) r 一( 6 b ( 0 ) ，p 】) r 】 k = li = 0i = 0 “p1 k - i 1k - 1 蛐2 k = l o 如o k d x , 【p 】) r 邓o ( 三西如o i d x , r 】 等壹l v o k f 3 ，n + c 旧- 1 a t 壹l 匹k - 1e t , x t l t a ，r 】 ( 2 3 1 6 ) 。 ，i圮一l 竹 + 学i t v 酽z x t l l 3 ，o + c a t h 。i i o 诣，r 1 】 由引理( 1 2 ) 知 i l a b ( v ) 1 1 2 0 。fsg h i l v l l 2 0 q 使得 n a t ( a b ( o 奄o k - 1 。) ， o k 】) i k - - - i ( 2 3 1 7 ) 毛c 1 a 、t 。| i o k _ 0 b - * 1 1 0 2 矿百c o a t 到 。酽l i f o ，r 另一方面，我们看到 t 喜( 矗e 蓬归；nn t - a t 2 f o k 2 l l 鲁髂：n 优) ( 2 矗，8 ) 允= 1= l 。 1 7 和 和 进一步，我们有 和 和 1 8 山东大学硕士学位论文 ( 2 3 1 9 ) i l v o 七嗑n + c a t 膦 ( 2 3 2 0 ) 七= 1七= 1 l v 咖3 ，n + c a t 2 j o r t 幢q 出 ( p p _ 1 ) ，妒1 ) r 堂8 h 白胁0 , 1 么”o 。川 k = l 咿”腱r + c a t 2 厩让峪n 如 一r ，0 出宝( 嘶卜等跚 奄= l q c o a t 酽1 1 1 0 2r + c h 5 啼抽出 ( 2 3 2 1 ) ( 2 3 2 2 ) ( 2 3 2 3 ) r 护 ：l p 。 ，|亡2 盯 。 | | r幻 口 ，：芒- 盯 。随 r p ：l 七2 盯一 砖 。吼 一 r 叭， 口 1 - 2 盯一 r p 。：l 竹2 盯 n 2 吼 ，扩 是l 。弑 一 日c 十 如 ， p 幅 暗 驴 。汹f。眨拈厂厶 日 阱 铲 岛掰 似 一 竽 + 七 pv 3 盯 。汹 。随 竽 一 c ：2 0 一a 。脚 铲 2 一 巧c + b v i 拍 一 。随 r 件 护 一竹 札一 n 珏 8 n n 随 。腻 筹 一 山东大学硕士学位论文 和 雹( “脚) _ 釉明) r 越善( 上“引一釉矿| ) r ( 2 3 2 4 ) 删小脚，一釉郭卜c 小聊，一跏0 】) r ， 以t 妻( f t , t kb ( b 一釉静，r sc o a t 壹缸：。i l l 护” 0 2 , r + c h 5 o tl i u l l 。，。c n ，班 将( 2 3 1 4 ) 一( 2 3 2 4 ) 代入( 2 3 1 3 ) 并取 t 百2 c o i l 2 得： + a t i i i o 七i i l 2 + l l l a t 0 邢】 k = 1 i - - - - - l p 酗o k 0 2 , f ：+ h - 1 i t a t o 1 1 1 3 ，p 3 9 5 + a t 孵幅, 1 2 + 嗽噍q 】+ a t 2 + 日5 应用b e l l m a n 不等式，我们得到误差估计： 。m a x l i e 咂n c p 孵i i o + 脓咂n 】+ t 2 + 日5 ) 得证。 下面估计p 。 引理2 2 对于荨，铙存在如下最优估计 。善 t 警 t 憾o , n c h t m + h 5 + a t + 怖，q + z 1 物，r 打) 以及 唧m a 纠x1 1 0 , , 1 1 0 , e c p “+ h 5 + a t + 踌叫驯k q + z 1 慨训则打) 19 山东大学硕士学位论文 1 l 止明自元，莪1 | j 佰计p 札一凡，田舁于p p 时疋义得 口( p u 一忍，可) + 6 , o 。( p 钆一声让) 啦口) - 4 - ( p u 一声钆，可) + ( a b ( p u p 心) ，p 】) r + ( b b ( p u p 钆) ，扣】) r ，c 0 = g ( 玩一则) + 6 ( z e , t 一 i t ) d r , v ) + ( p u 鸭秽) ( 2 3 2 6 ) + ( a b ( p u 叫r ( z 。6 b ( p u - - u ) ，【硼r = ( a b ( p u - ) ，p 】) r + ( f o t b b ( p u 一钍) ，扣】) r ，v vev h , 从而得到 o c c o l l l p u 一声“i i l 2 + l | | ( p u p u ) d t l l l 2 ( 2 3 2 7 ) ，0 。 p ， 。 ， a ( p u p 札，甄一耽) + b ( ( p 乜一p u ) d v ，口) + ( p u p u ，p u p u ) ，0 + ( a b ( p u p 牡) ，【p u p u ) r + ( b b ( p u p 珏) d r , 【p u p u ) r ，c ，0 = ( a b ( p u 一钆) ， p u p 钆】) r + 上6 b ( p u u ) d t , p u p 札】) r c h 一日吼叫k n 刊z 。( p 让刊刎硼凡一砌i o r 即 一氏2 删i 。一p 恻i 蛩，r c h i l i p 钆( p uch0 1m i 乙矿i i z 0 酬色，n 一氏0 1 2 + 一让) 如蛩，r 一1h 叩i i 乙，n + i i 厂班打f i 色，n | o j o 进而 i i p “一p 础，r 4-|i，一(凡一氏)姗rc乙，n-4-，00 唰 ( 2 3 2 8 ) 一乱川3 ，r l i ( a t 一氏) 如 瞪r 阳叩 i 乙，ni i 叩咖| | 乙，ni ( 2 3 2 8 ) j l ， j 然后，我们来估计帐由算子f 的定义有 小一氟，卅各( z 。( 乱一p u ) d t , v ) 嘶一毳 i t + ( 口b ( 乱一声钆) ，【乞，】) r + ( b b ( u 一声珏) ，f 抄】) r = 0 ，v 口y ， j 0 山东大学硕士学位论文 令可= 钍一氏得 ，c 8 ( 钍一声钍一死) + 6 ( ( u 一声让) 打，u 声让) - f ( 也一丸，珏一觑) j 0 十( o b