（固体力学专业论文）V型切口脆断准则的理论研究与实验验证.pdf

v 型切口脆断准则的理论研究与实验验证 摘要 基于弹性力学平面问题的基本方程，通过重新定义应力强度因子，推导了 均质材料i i i 复合型v 型切口尖端附近的位移场和奇异应力场。 基于i i i 复合型v 型切口的应变能密度因子准则，提出了形状改变能密 度因子准则和体积改变能密度因子准则，将双剪应力准则有效地应用到i i i 复台型v 型切口问题。对应变能密度因子准则、形状改变能密度因子准则、 体积改变能密度因子准则、能量释放率准则以及最大周向拉应力准则和双剪应 力准则进行了系统地研究。这些准则均基于两个基本材料参数：抗拉强度以和 断裂韧度k 。，因而，便于工程应用。 为了检验上述脆性断裂准则，用脆性材料p m m a 加工成多种i 型、i i i 复合型v 型切口试样，进行了拉伸破坏实验。运用上述各准则对这些v 型切 口模型的裂纹超裂方向和临界载荷进行了理论预测，预测结果与实验结果基本 吻合。 关键词：i i i 复合型，v 型切口，脆断准则，理论预测，实验验证 t h e o r e t i cs t u d ya n de x p e r i m e n t a l v e r i f i c a t i o no fb r i t t l ef r a c t u r ec r i t e r i o nf o rv - n o t c h e s a b s t r a c t b a s e do nt h eb a s i ce q u a t i o n so ft h ee l a s t i c i t yp l a n ep r o b l e m ，d i s p l a c e m e n t f i e l d sa n ds i n g u l a rs t r e s sf i e l d sn e a rt h ev n o t c ht i pu n d e rm i x e d m o d eo f ia n di i a r eo b t a i n e df o rh o m o g e n e o u sm a t e r i a l sb yan e wd e f i n i t i o no ft h es t r e s si n t e n s i t y f a c t o r s a c c o r d i n g t ot h es t r a i ne n e r g yd e n s i t yf a c t o rc r i t e r i o nu n d e rm i x e d m o d eo fi a n di i ，t h ed i s t o r t i o n a ls t r a i ne n e r g yd e n s i t yf a c t o rc r i t e r i o na n dd i l a t a t i o n a ls t r a i n e n e r g yd e n s i t yf a c t o rc r i t e r i o na r eg i v e n t h et w i ns h e a rs t r e s sc r i t e r i o ni sa p p l i e d t ot h ev - n o t c hp r o b l e mu n d e rm i x e d m o d eo fia n di i s y s t e m a t i cs t u d yi sd o n ef o r t h es t r a i ne n e r g yd e n s i t yf a c t o rc r i t e r i o n ，d i s t o r t i o n a ls t r a i ne n e r g yd e n s i t yf a c t o r c r i t e r i o n ，d i l a t a t i o n a l s t r a i n e n e r g yd e n s i t y f a c t o r c r i t e r i o n ，c i r c u m f e r e n t i a l t e n s i l es t r e s sc r i t e r i o n ，e n e r g yr e l e a s er a t ec r i t e r i o na n dt w i ns h e a rs t r e s sc r i t e r i o n t h e yc a nb ep e r f e c t l ya p p l i e di ne n g i n e e r i n g ，b e c a u s et h e ya r ed e s c r i b e do n l yb y t w oe l e m e n t a r yp a r a m e t e r so ft h em a t e r i a l ：t h et e n s i l es t r e n g t h 盯( a n dt h ep l a n e s t r a i nc r a c kt o u g h n e s s k l 。( i no r d e rt o v e r i f yt h e s ec r i t e r i o n s ，t e n s i l ee x p e r i m e n t sa r e c a r r i e do u tf o r m a n yk i n d s o fs a m p l e sm a d eo u to fp l e x i g l a sw i t ha p l a n a r v - n o t c hu n d e r m i x e d m o d eo fia n di i t h ed i r e c t i o n so fc r a c ko r i e n t a t i o na n dt h ec r i t i c a l1 0 a d s p r e d i c t e db y t h ea b o v ec r i t e r i o n sc o i n c i d ew i t ht h ee x p e r i m e n tr e s u l t s k e y w o r d s ：m i x e d m o d e o fia n di i ；v - n o t c h ；b r i t t l ef r a c t u r ec r i t e r i o n t h e o r e t i c a lp r e d i c t i o n ；e x p e r i m e n t a lv e r i f i c a t i o n i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导f 进行的研究t ：作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特j ；j j 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得金坦：! 些厶堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 一魏刘姗 签字日期莎妒勇弘日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金妲些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国 家有关部门或机构送变论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权金艘、业盘堂可 以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 一繇纠捌、 签字日咖吖年岁月3 。臼 学位论文作者毕业后去向： r 觯亿上殇殍浊础扩 通讯地址： 。” 导师繇力卜节 签字日期：如珥年s 月3 。日 电话 邮编 致谢 本论文是在导师刘一华教授精心指导下完成的。 在三年的硕士学习阶段，导师给了我许多教导和帮助，他诚恳待人，诲人 不倦，严谨的治学态度、丰富的实践经验、敏锐的学术思想、渊博的专业知识、 勤奋的工作精神更是一种无声的语言，影晌并激励着我要认真、要勤奋。他崇 高的品德是我永远的楷模，将使我终身受益，对我今后的学习和工作产生深远 的影响。同时，在作者的研究生期问，导师为作者创造良好的学习环境，帮助 和关心作者的生活。谨此，对导师致以崇高的敬意和忠心地感谢。 忠心感谢杨伯源教授、牛忠荣教授、王炯华教授和自嘉楠教授等老师给予 作者学业上的指导。特别感谢詹春晓老师在本文的实验过程中给予的无私的帮 助，也感谢全体力学系老师在日常生活和学习上的诸多关心和照顾， 作者还要感谢我的家人、爱人梁捌成多年以来对作者学习和生活上支持与 无私地奉献，他们是我精神的支柱，更是我动力的源泉。感谢所有关心我的同 事、室友、朋友和同学。 i i i 作者：刘小妹 2 0 0 3 年5 月 第一章绪论 一切研究固体材料的力学响应及其性能评价为主要内容的学科，都一玎以认 为是固体力学的分支。固体力学的内容实质上可以分成两个方面，是求取材 料的力学响应的方法，即应力分析技术；二是性能评价( 强度评价) 的方法。这 两个方面既相瓦独立义相互联系，前者是后者的基础，后者是前者的目的，根 据后者的需要，前者必须提供相应形式的参数，如应力、应变、应力强度因子 等。f 1 前随着计算机的迅速发展和普及，高性能的数值软件不断出现，并不断 地得到发展和完善，固体力学理论研究的重点，有逐渐向性能评价方面移动的 趋势。由于 程实际中不断出现新的力学问题，特别是新材料不断地被丌发和 应用，传统的强度评价方法，往往无法作出正确的评价，而必须建立新的强度 评价方法，来满足工程实际的需要【l j 。 1 1 断裂评价的能量理论的发展及其概述【2 _ 3 断裂力学有微观断裂力学和宏观断裂力学之分。微观断裂力学从材料的微 观结构出发，研究断裂过程的物理本质，研究材料缺陷的成核、断裂的微观机 理等，属于固体物理的范畴。宏观断裂力学是从宏观的连续介质力学角度出发， 研究含缺陷或裂纹的物体在外界条件作用下宏观裂纹的扩展、失稳开裂、传播 和j l 裂规律。所谓宏观裂纹，是指在材料制造、加工或使用过程中形成的宏观 尺度( 1 0 2c m 以上) 的裂纹或缺陷。随着材料科学的不断发展，断裂力学领域也 兴起了一门与材料科学交叉的新分支一一细观断裂力学【4 。细观断裂力学的研 究认为，脆性断裂的机理主要是材料内的微小缺陷在张力的作用下形成空穴， 空穴逐渐扩张，直至相邻的空穴聚合形成宏观裂纹，进而导致材料断裂；韧性 断裂的机理则是以空穴的形成、扩张与聚合引起断裂为主导，断裂过程中伴随 着较多的塑性应变产生，减缓了空穴的扩展，破坏载荷明显提高。 线弹性断裂力学以线弹性理论为基础，研究含裂纹的材料在线弹性变形阶 段发生裂纹失稳扩展的规律，即理想脆性断裂的规律。研究裂纹扩展有两种不 同的观点。一种是能量观点，认为如果当裂纹扩展一增量，使得释放的弹性能 多于产生新裂纹表面所需要的能量，则发生裂纹的失稳扩展。另一种是应力场 强度观点，认为裂纹尖端应力强度因子超过表征材料特性的临界应力强度因子 时，裂纹就失稳扩展。这两种观点有密切联系但不总是等效。 g r i f f i t h 是本世纪二十年代英国著名的科学家，他在断裂物理方面有相当大 的贡献，其中最大的贡献要算是提出了能量释放( e n e r g yr e l e a s e ) 的观点，以及 根据这个观点而建立的断裂判据。能量释放理论在现代断裂力学中仍占有相当 重要的地位。根据g r i f t i t h 能量释放的观点，在裂纹扩展过程中，能量任裂端 区释放出来，此释放出来的能量将用来形成新的裂纹面积。凶此，能量释放率 ( e n e r g yr e l e a s er a t e ) 是指裂纹山某一端向前扩展一。个单位 ：= 度时平板每单位厚 度所释放出来的能量，用g 来表示。材料本身是具有抵抗裂纹扩展的能力的， 因此，只有拉伸应力足够大时，裂纹才有可能扩展。此抵抗裂纹扩展的能力可 以用表面a 由能( s u r f a c ef r e ee n e r g y ) 来度量。表面自由能定义为材料每形成单 位面积所需的能量。根据能量守恒定律，裂纹发生扩展的必要条件是裂端区要 释放的能量等于形成裂纹面积所需的能量，这就是著名的o r i f f i t h 断裂判据。 应力强度因子断裂准则与能量准则是从两种不同观点建立起来的准则，它 们之间有一定的联系。对于i 型和i i l 型裂纹，裂纹沿其延长线扩展，呵以假设 裂纹沿其延长线扩展时，计算裂纹尖端应力松弛的功，可求得能量释放率与应 力强度因子的关系。对于i i 型裂纹，实验表明，裂纹扩展的真实方向并非沿裂 纹的延长线方向，而是沿与原裂纹成6 4 4 7 0 。的方向。所以，按沿裂纹延长线方 向扩展求得的关系没有实际意义。能量准则( g 准则) 和应力强度因子准则( k 准 则) 并不总是等效的。对于平面问题和反平面问题，裂纹的前缘是一条沿厚度方 向的直线，裂纹前缘上各点的k 值相同，随着载荷的增加同时到达k 。( 若不考 虑表面层平面应力影响的话) 此时g 准则和k 准则是等效的。但对于三维裂纹 问题，沿裂纹前缘各点的k 值般不相同，且足和g 无简单关系。按芷准则， 当裂纹前缘中k = k ，时，裂纹可能扩展，但按g 准则，裂纹扩展总有一定 面积，因而，必须知道裂纹扩展后的形状才能计算出能量释放率。所以，对于 三维裂纹问题，g 准则和足准则一般不等价。实际运用中，用足准则比较方便。 用能量释放率的概念研究混合型裂纹问题的基本思想与适用于纯i 型裂纹 扩展的g r i f f i t h 能量理论的基本思想是相同的，即裂纹的虚拟扩展，引起总势 能的释放，当释放的能量等于形成新裂纹面所需要的能量时，裂纹就起裂。这 两者t 要区别在于：g r i f f i t h 理论中裂纹沿其延长线扩展，而在混合型中则不然， 除了i i i i 混合型裂纹仍沿其延长线扩展外，其余类型的混合型裂纹就不再沿着 延长线。p a l a n i s w a m y 于1 9 7 2 基于以下两个假设提出了i i i 混合型裂纹的能量 释放率脆断准则：( 1 ) 裂纹将沿着能产生最大能量释放率的方向扩展：( 2 ) 当该 方向的能量释放率达到临界值g ，时，裂纹开始扩展。 能量准则中另一较典型的是应变能密度因子准则，即s 准则。s i h 在1 9 7 3 年提出了基于应变能密度场的断裂概念，从而得到了应变能密度因子准则，s 准则的两个基本假设是：( 1 ) 裂纹沿最小应变能密度因子方向扩展：( 2 ) 当应变 能密度因子最小值s 。，达到临界值品时，裂纹失稳扩展。但是，裂纹尖端附近 s 取极小值的角度可能不止一处，裂纹开裂方向究竟沿其中的哪一个，对于这 点，s 准则不能直接回答。总的来说该准则计算简单，适用性广。 弹塑性断裂准则也可分成两类，第一类准则以裂纹起裂为根据，如c o d 准则、，积分准则；第二类准则以裂纹起裂失稳为根据，如r 阻力曲线准则、 非线性能量释放率准则等。在线弹性情况下，j 积分就是能量释放率。而在弹 塑性情况下，利用全增量理论，附加不卸载的条件，可以对，积分作这样的物 理解释：j 积分的负值等于裂纹表面相差单位面积时，两块几何条件相同但裂 纹长丰日筹极小的板的势能差，或简言之，积分是总势能随裂纹表面积改变的 变化率。有人认为，积分是度量裂纹尖端弹塑性应力应变场强度的参数。 1 2 复合型问题的研究现状 最近，细观力学中损伤参数可控制因素( 也是塑性理论中的重要参数) 一一 有效应力被引入断裂判据中，即通过弹塑性近场分析，给出了混合型裂纹的有 效应力准则p 4 l 。该准则假定当沿由裂尖到初始弹塑性边界最近方向的有效应力 达到i 型裂纹的临界张力时裂纹起裂。但这些假设给出的开裂角与实验结果有 差别( 对纯i i 型，口产一8 9 。) 。此外，该准则未考虑裂尖材料应变能的体积改变 分量，而这一分量对微孔洞损伤导致的断裂有重要意义。裂纹的扩展是一个能 量耗散的过程，它应沿能量释放最小的方向( 阻力最小的方向开裂) ，文献 6 同时从力和能量的角度考察裂纹的起裂条件，采用了以下两个假设：( 1 ) 裂纹沿 裂尖距等应变能密度线最近的方向开裂；( 2 ) 当以上方向裂尖附近的有效应力达 到i 型裂纹的临界拉应力时裂纹发生初始扩展。混合断裂准则同时考虑了应力 和应变能对裂纹初始扩展的影响。从应变能的角度去考察丌裂角，这符合断裂 力学的能量解释，即裂纹在扩展中穿过等应变能密度线，如果沿距起点( 裂尖初 始位置) 最近的方向起裂，则需要克服的扩展阻力或释放的能量最小。也就是说， 裂纹最易扩展，这假设的物理意义是清楚的。虽然得到的开裂角方程与s 准 则相同，但由于该准则利用了应变能密度的概念，而s 准则引用了一个缺乏明 确物理意义的概念一应变能密度因子，因而两者的物理意义不同。文献 7 中通过分析裂纹尖端的形状改变能场和主应力场，结合实验结果研究了最大拉 应力与形状改变比能对脆性断裂及断裂方向的影响，认为裂纹的开裂朝着形状 改变比能最小值的方向，而此处的最大拉应力是促使裂纹开裂的主动力。文献 8 考察了裂纹尖端周围某一特定区域内总应变能的变化，对裂纹扩展作了如下 假设：( 1 ) 裂纹扩展的方向是裂纹尖端至弹塑性边界最小距离的方向；( 2 ) 当弹 塑性边界内的总应变能达到i 型裂纹断裂的应变能临界值时，裂纹开始失稳扩 展。文献 9 结合对脆性材料常规破坏实验结果的分析，修正了脆性断裂的断裂 条件，将新的断裂条件用于解决复合型裂纹的断裂问题，认为应力三维度( 通常 用平均应力与等效应力之比来表示) 极大值处对应于裂纹的起始位置，裂纹的起 裂方向则与该处的最大拉应力有关，当起裂点上拉断函数达到某极限值时， 裂纹就开始扩展。文献 1 0 根据线弹性理论，推导出了复合型裂纹的混凝土最 大拉应变准则，该准则对于裂纹失稳扩展的假设为：( 1 ) 环向拉应变岛最大值 的方向为裂纹分支扩展的方向；( 2 ) 当达到临界值时，裂纹失稳扩展。文 献 1 1 提出了复合型裂纹脆断的主应变因子准则，该准则为：( 1 ) 裂纹将沿主应 变网子( 垂直于裂纹扩展径向平面上的主应变及极径的组合量j 取最大值的径向 扩展；( 2 ) 垂直于裂纹扩展径向平面上的主应变因子的方向与原裂纹面法线方向 的炙角为扩展裂纹的扭转角，当主应变因子达到临界值时裂纹将失稳扩展。由 此导出了裂纹的开裂方向和裂纹面扭转角及断裂判据。i i i i 复合型裂纹断裂实 验表明主应变因子与实验结果基本符合，利用该准则进行断裂评价较安全。 理想的脆性断裂认为当裂尖附近的名义应力小于屈服应力时，由于裂纹的 扩展发生断裂。k e l l y 曾精确定义过理想脆性断裂：在理想固体中，裂尖的应力 场达到其理论拉伸强度优先于达到理论剪切强度。在理想脆性材料中裂纹增长 的阻力取决于创造自由新表面的表面能量【l “。但是，工程材料的理想脆性断裂 非常少见，尤其是金属材料。实际上大多数金属在裂纹不稳定增长发生前会表 现出有限的塑性，因此断裂只能被认为是准脆性，即使是脆性材料也不例外。 这有限的塑性阻止了脆性材料裂纹的延伸，从而增加了材料的裂纹阻力。除了 与材料的性质有关，有限的塑性的发生还与裂尖的应力、应变状态有关。文献 1 3 认为裂纹的延伸沿着最小路径穿过塑性区到达塑性弹性区，因为裂纹阻力 在此方向上是最小的，同时用有效应力代表混合模式下裂纹尖端的应力场，认 为如果有效应力达到了单轴拉伸条件下的屈服强度，屈服就会发生，由此可确 定届服区的边界。 w i l l i a m s i l 4 j 首先研究了切口问题，并把裂纹看着是切口角度为零的一种极 限情况。自从1 9 5 2 年w i l l i a m s 先驱工作后，人们开展了许多研究来确定不同 切口几何的应力奇异性次数，以及用分析和数值方法来研究各向异性的应力奇 异性。各向异性弹性研究的推广在很大程度上成为研究复合材料的奇异应力场。 许多研究的主旨是为了获得应力奇异性次数，而很少研究怎么获得具体几何构 件相应的应力强度因子。在线弹性断裂力学中，对于给定的切口附近的一般奇 异应力场，可以把应力强度因子的临界值和尖锐切口尖端的起始断裂联系起来。 这个i 临界值是用来描述在非常复杂的应力状态下，即一般应力状态下的起始断 裂。19 8 7 年，c a r p e n t e r l l5 j 用带有切口的有机玻璃板条做了三点弯曲实验，企图 用实验来获得不同角度i 临界应力强度因子和结构尺寸的关系。文献 1 6 借助于 w i l l i a m s 的渐近解，用精细有限元分析了i 型切口三点弯曲试样来确定切口应 力强度因子丘”。利用切口角度分别为6 0 。、9 0 。、1 2 0 。的一系列有机玻璃三点弯 f j 试样做了实验研究，用k ”判断断裂的可行性。根据所测得的断裂载荷以及k ” 的有限元解，得到了尖锐切口有机玻璃的临界应力强度因子k ：。 近年来i i “，人们关注材料在混合模态下的疲劳断裂性质，为了满足实验的 需要，设计了十字形平板试样，该试样具有中间起始裂纹，与两个轴均倾斜。 4 此试样被人制成功地用来研究许多材料的混合模态下裂纹增长行为。但是，混 合模式下，十字形试样的断裂和疲劳实验的实验技巧非常复杂且设备昂贵。研 究表明，当一个物体具有裂纹或切口且受到远场单轴载荷时，如果裂纹或切口 与载荷轴线呈任意角度，在裂尖或切口根部总是存在混合模态。特殊类型的试 样，受到单轴载荷，被人们用来研究在裂纹或切口附近产生混合模态的应力和 应变场。一些研究人员提供了一种具有v 型切口的圆环试样在倾斜的嗨轴载荷 作用f 在切u 附近产生混合模态的应力场。a h m a d 和a s h b a u g h i l 引用这种方法 研究了在应力强度因子变化的情况下裂纹的扩展，c h e b e r t o n 【1 9 j 等人获得了在热 冲击载荷条件下裂纹的扩展。最近n u n o m u r a 、o d a 2o 】和s h i t ”1 等人用这种类型 的试样研究了在倾斜载荷条件下疲劳裂纹扩展的性质。但是，在倾斜载荷条件 下，这种环的弹性或塑性应力分布还未被系统地研究过。文献 1 7 用带有v 型 切u 且受到一对与切口轴线成不同角度的压力作用下的圆环，来进行弹性和弹 塑性有限元分析。在弹性分析中，计算了有或没有短预制裂纹的v 型切口在切 口根部附近的混台模态应力场。弹性分析中包括i 型和i i 型模态应力强度因子 的计算以及裂纹延伸的能量释放率的计算。在弹塑性分析中，给出了切口根部 半径与塑性应力分布的影响，讨论了载荷倾斜角度对弹塑性应力分卸的影响。 为了检验弹塑性数值方法的结果，用波动光栅干涉法做了常载荷下的实验，并 且，在循环倾斜载荷下做了1 0 个裂纹开始产生的实验来检验有限元分析与实验 的一致性，计算结果与实验结果吻合。 h u t c h i n s o n 、r i c e 2 2 - 2 3 和r o s e n g r e n 2 4 用，变形塑性理论分析了静态裂纹前 端的非线性奇异性，他们的应力函数方法，称为h r r 理论，考虑的是受到平 而载荷的简单材料裂纹问题，材料简化为应变硬化模型。r i c e 和r o s e n g r e n 首 先用i ，积分方法来确定适合于裂纹几何的应力强度，然后用r u n g e k u t t a 方法来 确定角度的度量。在h u t c h i n s o n 之后，k u a n g 和x u l 2 5 1 对i 型模态平面应变v 型切l 用，变形塑性理论提供了应力和应变场的主奇异性。文献 2 6 提供了尖 锐v 型切口尖端附近应力场的两项渐进解，v 型切口的两面与远场拉伸应力倾 斜。由于这种几何特性，切口尖端存在混合模态。非线性材料奇异应力场的一 个重要特性就是混合模态的解不能表示成模态i 和模态i i 解的线性组合。当所 考虑的角度大于9 0 。时( 在大多数焊缝结合处常发生) ，在主奇异性项中运用对称 边界条件，在次奇异项中运用非对称边界条件，可以获得切口尖端应力的满意 描述。 应力分布的分析和尖锐v 型切口尖端的应力强度因子己被人们用许多不同 的方法广泛研究，但对钝v 型切口问题未引起足够地关注。然而，此类问题也 具有重要意义。一方面，对弹塑性可延展材料而言，任何裂纹尖端和切口尖端 在载衙作用下由于塑性变形都会变钝，失去其奇异性；另一方面，对非常脆的 材料，可以简单地从钝切口试样获得其断裂韧度。从而，可以首先获得钝切口 尖端附近的应力分布，然后哥找尖锐v 型切口与相应较钝v 型切口力学性能之 问的关系。对非常脆的材料，也可以从钝切口试样获得其断裂韧度。文献 2 7 研究了角度及切口尖锐程度对钝切口临界切口应力强度因子的影响，认为钝切 口附近的应力分布可以分为三个区域：( 1 ) 应力在距切口尖端一定范围内为常 数。当，：0 时，此应力就等于最大应力盯一；( 2 ) 位于区域( 1 ) 与( 3 ) 之间，属 于过渡区域：( 3 ) 应力根据仃，= k ? 4 2 u r 。关系式变化。 自从m u s k h e l i s h v i l i ( 1 9 6 3 ) 和s a v i n ( 1 9 6 1 ) 获得具有空洞无限体的经典复变 量解以来，人们便尝试许多努力来获得具有空洞和切口的无限板的理论解以及 较实际一些情况的经验公式。众所周知，由于应力场的局部影响，在切口根部 存在一个较强的三维应力区【2 8 】。在这种情况下，四个额外的量，即切口深度、 切口角度、切口根部半径以及板厚都应考虑。这大大增加了获得局部应力场理 论解的难度。以前三维理论研究仅仅限于一些简单问题，例如有限厚板中的圆 孔、无限大物体中椭圆洞穴。基于s a d o w s k y 怛9 j 和s t e r n b e r g p 叫- 1 5 作基础e ， x u t3 l 刁2 】等人提出了考虑3 d 效应2 d 切口解的经验改造。对于不同于简单孔洞 和球形孔洞结构的更广泛的3 d 切口结构，在结构分析中还必须考虑另外两个 因素：切口深度对根部半径的比值和切口角度。我们知道，切口角度是控制二 维尖锐切口尖端和钝v 型切口根部应力应变场的一个主要参数。文献 2 8 用三 维有限元对有限厚度板钝v 型切口根部三维应力场进行了系统地分析，得到了 i 维钝v 型切口场的一些特殊性质以帮助结构设计和安全分析。 具有v 型切f 3 构件的脆性断裂问题，有文献对此进行了研究【3 3 i ，主要内容 涉及如下几个方面：切口尖端和切口角附近应力场进行分析的方法 3 4 - 3 6 ；在v 型切口尖端区域内模拟应变、应力场的数值方法【3 7 - 3 8 1 ；基于应力强度因子临界 值和基于有限裂纹长或有限损伤区假设的v 型切口脆性断裂准则 n6 l 2 7 】【3 9 川 ：v 型切 _ ：l 在单轴15 】 4 2 。4 3 】和双轴 3 9 【4 4 1 载荷作用下断裂试样的实验分析；有关的工 程应用【4 ”。以上几个方面彼此之间相互联系。例如渐近法、基于不变量积分 的方法都是用构造特殊有限单元【4 6 】或边界元来【47 】形成一般应力强度因子。断裂 准则的实验验证需要对试样中所形成的应力场进行详细的数值分析，断裂准则 的建立一般基于描述应力场的分析参数，例如一般应力强度因子。 近来，由于诸多因素，产生了用小尺寸试样估计断裂韧度的要求，但是在 断裂值较小的试样上预制疲劳裂纹具有一定的困难，因此人们研究具有切口的 试样来克服此困难。文献 4 8 表明，随着切口根部半径p 的增加，切口前端的 应力空间和塑性约束减小，考虑到切口尖端处应力重新分布和由于增加的塑性 而发生的应力松弛，切口试样所测得的断裂韧度被修正。切口尖端处应力重新 分布通过有效断裂韧度校正，切口的应力松弛效应通过弹性应力状态和应力松 弛状态下的弹性应力集中系数来校正的。当切口根部半径p p 。( 根部切口半径) 时，断裂韧度与根部半径p 无关。 6 1 3 所选课题的目的意义与工作背景 构件的断裂起源于缺陷处，实际构件中总是存在着各种不同形式的缺陷。 构件在加工制造和使用过程中，即使有了先进的冶炼技术和制造工艺，也很难 消除构件中的全部缺陷。v 型切口问题在实际工程中也是经常遇到的，由于在 v 型切口的尖端存在着应力奇异性，严重地影响了构件的承载能力，很可能成 为裂纹的起裂点，因此建立v 型切口的脆性断裂准则具有十分重要的意义。为 了工程上方便利用，这个准则应尽可能的简单、方便切有效。对于单边或双边 具有对称的v 型切口的断裂研究，包括断裂规律、断裂准则的建立以及应力强 度因子经验公式的得出等，比较活跃；而对于单边或双边具有非对称的v 型切 l i 的断裂，由于通常具有多重应力奇异性，比较复杂，目前有关的还研究不多。 因此，在文献 4 9 、 5 0 和 5 1 的基础上，从复合型裂纹断裂准则的思想出发， 对i i i 复合型v 型切口的断裂准则进行研究。 1 4 本文的主要内容 本文的主要内容是： 1 基于弹性力学平面问题的基本方程，通过重新定义v 型切口的应力强度 因子，推导出i i i 复合型v 型切口尖端附近的位移场和奇异应力场。 2 基于i i i 复合型v 型切口的应变能密度因子准则，提出形状改变能密度 因子准则和体积改变能密度因子准则，将双剪应力准则应用到i i i 复合型v 型 切口问题，对应变能密度因子准则、形状改变能密度因子准则、体积改变能密 度因子准则、能量释放率准则以及最大周向拉应力准则和双剪应力准则进行了 系统地研究。 3 为了检验上述脆性断裂准则，用脆性材料p m m a 加工成多种i 型、i i i 复合型v 型切口试样，进行了拉伸破坏实验，并与用上述脆性断裂准则预测的 切口起裂方向及其临界载荷进行比较。 第二章平面v 型切口问题的基本理论 w i l l i a m s 1 4 1 指出，在弹性理论的基础上，v 型切几附近的渐近应力状态是 奇异的，奇异的程度仅取决于切口的张口角度，应力场的强度是几何尺寸和远场 载荷的参数。本章将由弹性力学平面问题的基本方程出发，推导出v 型切口尖 端以及裂纹尖端附近的奇异应力场和位移场，为建立v 型切口的脆性断裂准则 奠定理论基础，为有效地评价含有v 型切口构件的断裂提供可能性。 2 1 平面问题及其基本方程 在平面极坐标系( r ，0 ) 中，各向同性材料平面问题在无体积力作用情况下的 基本方程 5 2 1 为 1 平衡方程 一c q o - r + 1 0 r ，- o + ! ! 二鱼：o 宅? 曰，7 ( 21 ) ! 堕+ 盟+ 垃：o ra e备r 式中a ，、和f ，。为应力分量。 2 几何方程 o u ， 0 2 i 一“，1o u 9 岛2 亍+ 7 葡 1o u ，o u 口 以一。7 葡+ 荸一手 式中占，、g 0 和，。为应变分量，“，和为位移分量。 3 物理方程 平面应力问题的物理方程为 f 2 2 ) 铲吉p ，一婀。) = 去杌一w ，) ( 2 _ 3 ) ：掣f 。：r r _ k o 止“ 式中e 、v 和分别为材料的弹性模量、泊松比和剪切弹性模量。对于平面应 变问题，只需把平面应力问题中的e 换成e l ( 1 一v 2 ) 、v 换成v ( 1 一y ) 即可。 8 2 2 平面问题奇异点附近的位移场和奇异应力场 由( 2 1 ) 式( 2 - 3 ) 式，可以得到平面问题奇异点o 附近的位移场和奇异应 力场为 d 图2 1奇异点0 处的坐标系 “，= 兰“s i n ( 2 + 1 ) 9 + b 。c o s ( a + 1 ) 0 + 以一芷) 彳：s i n ( a 一1 ) o + b 2c o s ( 2 1 p b “。：芸臼，c o s 以+ l p b s i n + 1 p + + _ i r i a ：c o s ( 2 1 ) o b ：s i n ( 2 1 ) 0 1 1 q = 击“s i n ( a + i ) o + b 1 c o s 以+ 1 矽 + 一3 牝：s i n ( 2 1 ) o + b ：c o s ( 2 1 p = 一击“s i n ( 2 + i ) 9 + b 1 c o s 以+ l p + + 1 ) 阻2s i n ( 2 1 p + b 2c o s ( 2 1 矽b r 。= j 扛、c o s 0 + l p b ，s i n 0 + 1 矽 + 以一1 ) 【4 ：c o s ( 2 一l p b ：s i n ( 2 1 ) o l 式中a ，、a ，、b 和b ，为待定系数，1 一五为应力奇异性次数 兰! 平面应力 1 + v 3 4 v平面应变 2 3 平面v 型切口尖端附近的位移场和奇异应力场 ( 2 4 ) ( 2 - 5 ) ( 26 ) 2 3 1v 型切口模型 对于平面v 型切口模型建立如图2 2 所示的坐标系，坐标原点o 位于v 型 切口的尖端，切口张角平分线的延长线为x 轴，切口角度为2 ，口= 7 1 。 和 1 边界条件 2 对称性条件 3 反对称性条件 图2 2v 型切口模型及其坐标系 o - 日p ，a ) = 0 r ，。o ，口) = 0 盯目p ，一d ) = 0 f ，。o ，一口) = 0 p ，o ) = 0 r 。( ，o ) = 0 “，d ，o ) = 0 仃。( r ，0 ) = 0 2 3 2v 型切口尖端的应力奇异性特征方程 将( 2 - 5 ) 式代入边界条件( 2 7 ) 式，得到 a ls i n ( 2 + 1 k + b lc o s ( 2 + 1 k + n + 1 ) 【4 2s i n ( 2 1 k + b 2c o s ( a 一1 k 】= 0 a 】c o s ( 2 + 1 k b 1s i n ( 2 + 1 b + 以一1 ) 阻：c o s 以一1 b b ：s i n ( 2 一l k 】= 0 将( 2 - 4 ) 式和( 2 - 5 ) 式代入( 2 - 9 ) 式，得到 a l + 以+ 茁) 爿2 = 0 4 + ( 五一1 ) 4 2 = 0 将( 2 - 4 ) 式和( 2 - 5 ) 式代入( 2 - 1 0 ) 式，得到 b l + 恤一归2 = 0 b l + u + 1 圾= 0 1 i 型( 对称) 变形模态( 五= ) 由( 2 1 2 ) 式可得 1 0 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 - 9 ) ( 2 一l o ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) a l = a 2 = 0 ( 21 4 ) 将( 2 1 4 ) 式代入( 21 1 ) 式，得到 b，cos(ai+11)口ce+b：2(&一+1)cos(aa一-11)口k：=0bs i n ( 2 b 1 ) s i n ( a n 0 ( 2 15 ) 】l + l 虹+ 2 ( 一一1 虹= 一 由齐次方程组( 2 - 15 ) 有非零解的条件，即其系数行列式等于零，可得 = ( 兄。一1 ) s i n ( 2 q 一1 bc o s ( 2 + 1 k 一以+ 1 ) c o s ( 2 。一1 ) as i n ( 2 。+ l k = 0 即 五1s i n 2 口+ s i n 2 丑d = 0( 21 6 ) 2 i i 型( 反对称) 变形模态( 丑= 五，) 由( 2 13 ) 式可得 b i = b 2 = 0 ( 2 1 7 ) 将( 2 1 7 ) 式代入( 2 - 1 1 ) 式，得到 a。,sin(az：+11)kcr+a2(以22：+一1)sin(a2：-一11)ba=ac o s ( 2a 21 ) c o s ( 五：。0 ( 2 18 ) l2 + 1 k +以2 2 1 b = u ”7 由齐次方程组( 2 - 1 8 ) 有非零解的条件，可得 ：= 以：一1 ) s i n ( 2 2 + i ) x c o s ( a ：一1 k 一以：+ 1 ) c o s ( a ：+ 1 ) a s i n ( a ：一l k = 0 即 a 2s i n 2 a s i n 2 2 2 口= 0( 2 - 1 9 ) 图2 3 给出了9 0 。a 1 8 0 。范围内特征值 和五随d 的变化曲线。当 9 0 。a 1 2 8 7 2 。时，特征方程( 2 - 1 9 ) 的解为厶= 1 ，此时应力奇异性消失。 h | 图2 3 特征值丑和屯的变化曲线图 2 3 3 v 型切口尖端附近的位移场和奇异应力场 1 t 型变形模态 当9 0 。 五，0 5 ，目 s i n 0 l + 1 k 0 故由( 2 1 5 ) 式第二式，可得 b ，= 一( , t l - 1 ，。s i i n n 以( a 。, + - 1 1 b 乒口： 定义i 型变形模态的应力强度因子为 k ，= l i m ( 2 a r ) 。r ，o ) 则当口= 9 0 。时， = 1 ，应力奇异性消失，k t = 一。 将( 2 1 4 ) 式和( 2 - 2 1 ) 式代入( 2 4 ) 式和( 2 - 5 ) 式，并利用( 2 - 2 2 ) 式， 型切口在i 型变形模态下切口尖端附近的位移场和奇异应力场为 ：一墨旱兰导一1 ) s i n “一1 b c 。s 阮+ o e 一“一t o ) s i n “+ l p c o s ( 丑一1 ) o = 蜀蹉队舢n 以- 一1 灿魄+ 1 p 一“+ r ) s i n “+ l k s i n “一1 p 】 ( 22 0 ) ( 22 1 ) ( 22 2 ) 得到v ( 2 2 3 ) 2 一墨西i 争百眠一1 ) s i n 魄一1 p c 。s “+ l p 一“一3 ) s i n ( 2 + 1 k c o s “一1 p 】 瑙商k 吼舢n “却c o s “帅 ( 2 1 2 4 ) 一“+ 1 ) s i n 瓴+ l 蠢c o s “一1 ) e 】 ，= 蜀乏筹旨告 s i n “一b s i n “p s i n “ks i n 魄一纠 式中 c = , 1 1 一1 ) s i n ( 丑一啦一“+ 1 ) s i n 魄+ 1 h 】 2 i i 型变形模态 当1 2 8 7 2 。 z z 0 5 ，且 s i n ( 2 2 + 1 k 0 故由( 2 - 1 8 ) 式第一式，有 一。= 一以z + 1 1 ) 。s i i n n 魄( 2 2 - + 1 1 i ) a 爿： ( 22 5 ) ( 22 6 ) ( 22 7 ) 定义i i 型变形模态的应力强度因子为 k ：= f i m ( 2 a ， ) 。如f ”p ，o ) ( 22 8 ) 则当口= 9 0 。时，五：= 1 ，应力奇异性消失，k 2 = f ，口。 1 2 将( 2 1 7 ) 式和( 22 7 ) 式代八( 2 4 ) 式和( 2 - 5 ) 瓦，开刺川1 2 2 8 j 瓦，得剑v 型切v i 在i i 型变形模态下切口尖端附近的位移场和奇异应力场为 “，：= k ：等兰尝：+ ) s i n o ：一，h s i n o ：+ 1 p ，、_ k 一茁) s i n 以z + 1 bs 血魄一1 ) e l ( 2 - 2 9 ) = 足。糕+ 1 ) s i n k 一1 p c o s o ：+ 1 矽 一( 如+ * c ) s i n ( 9 2 + 1 ) 口c o s ( 4 1 ) 9 】 毯彘盼z + 1 ) s i n ( a z 一1 k s i n 以z + 1 p 一积：一3 ) s i n 积。+ l ks i n 积：一1 p 】 盯m = 一世：老詈每兰 s i n 以：一，h 曲n 似：+ ，p - s i n ( a ，+ 1 bs i n ( a ：一1 ) 9 】 ：瑙赢+ 1 ) s i n 他一1 k c 。s 仉+ 1 p( 2 珈) 一c k 一1 ) s i n c k + 1 k c o s o 屯一1 妒 式中 c 。= 丑：盼：+ 1 ) s i n ( z 2 1 扛一0 ：一1 ) s i n ( 2 ：+ 1 b 】 ( 23 1 ) 3 i i i 复合型变形模态 根据叠加原理，v 型切口在i i i 复合型模态下切口尖端附近的位移场为 z ! 乏譬；象曷二乏荡乏曷 c z 瑚， = k 。( 2 甜) 4 g 。p ) + 世：( 2 甜) 也g 。，p ) “ 式中 g ，t p ) = 一去眠一1 ) s i n ( 五一l k c 。s “+ 1 ) o 一一r ) s i n “+ 1 b c o s “一1 ) 9 】 g 。，p ) = 七【( 一1 ) s i n “一1 z s i n ( & + l p 斗0 0 c 一“+ 茁) s l n 瓴+ 1 b s i n “一1 纠( 2 - 3 3 ) g ，p ) 2 瓦三i ( 五十1 ) s i n 亿一1 k s i n o ：+ 1 ) e o k - x ) s i n ( 2 ：+ 1 b s 洫( 如一1 ) e 】 g 0 2 p ) 2 石三百+ 1 ) s i n 亿一1 k c o s 以z + 1 ) 0 0 ，+ l c ) s i n ( 2 ，+ 1 、b c o s 以，一i ) e 1 奇异应力场为 式中 旷面k r ) 刊f 毋：p ) 旷南啪) + 奔啪) r ，。= i j ：箭j l s ，p ) + ( 2 ，k 。) 2 一一：f ，一z p ) ( 2