（应用数学专业论文）几类离散系统解法初探.pdf

中文摘要 近年来，随着离散孤子在生物系统、原子链、固态物理、光子结构等 领域的发现，离散非线性系统引起人们的极大关注从而，寻找非线性离 散系孳梦确解的问题越来越显得重要另外，求解非线性发展方程复合型 的问题也受到重视，并导致w r o n s k i a n 技巧的产生和进一步的发展 本文主要包含两部分工作：求非线性差分- 微分方程的精确解和求非 线性发展方程的w r o n s k i a n 行列式确定的复合型解 第一章，通过引入新的双曲函数型展开式，给出离散的m k d vl a t t i c e 方程和( 2 + 1 ) 维h y b r i dl a t t i c e 方程新的双曲函数解第二章，将文献【1 8 】中 的方法应用于非线性差分微分方程，并以离散的m k d vl a t t i c e 方程和( 2 + 1 ) 维h y b r i dl a t t i c e 方程为例，得到这两个方程更多的椭圆函数解第三章， 将推广投影r i c c a t i 方程法应用于非线性差分一微分方程，给出了离散的 ( 2 + 1 ) 维t o d al a t t i c e 方程和离散的m k d vl a t t i c e 方程的双曲函数解和三角 函数解，且本文结果包含了文献 4 7 】中的所有结果第四章，将文献【2 2 】中 的三个r i c c a t i 方程新展开法应用于非线性差分一微分方程，得到离散的 k d v 方程和离散的m k d vl a t t i c e 方程的双曲函数解和三角函数解第五 章，推广了用w r o n s k a i n 行列式法构造k o r t e w e g - d ev r i e s 方程复合型解 的方法，并给出a k n s 方程和h i r o t a - s t a t s u m a 方程的复合型解该方法也 适用于构造l a x 对的时间部分包含特征根a 的其它非线性发展方程的精 确解，从而具有普遍性 关键词：孤立子，非线性差分兹分方程，非线性发展方程，精确解 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，d i s c r e t es o l i t o n si ns e v e r a lf i e l d so fp h y s i c si n c l u d i n g t h eb i o l o g i c a ls y s t e m ，a t o m i cc h a i n s ，s o l i ds t a t ep h y s i c sa n dp h o t o n i c s t r u c t u r e sa r ei n v e s t i g a t e d t h er e s e a r c hf o rs e e k i n gt h ee x a c ts o l u t i o n so f d i s c r e t en o n l i n e a rs y s t e m sh a sb e e nd r a w nc o n s i d e r a b l ea t t e n t i o ni ns o l i t o n t h e o r y t h e r e f o r ei ti sm o r ei m p o r t a n tt os e e kt h es o l u t i o n so ft h ed i s c r e t e n o n l i n e a rs y s t e m b e s i d e s ，t h em e t h o d so fc o n s t r u c t i n gc o m p l e x i t o ns o l u t i o n s b yu s i n gw r o n s k i a nt e c h n i q u eo f n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sa r ep a i dm o r e a t t e n t i o na n ds o m ef u r t h e rd e v e l o p m e n t sa r em a d e t h ep a p e ri n c l u d e st w om a i np a r t s f i r s t ，i ti ss t u d i e do nh o wt oc o n s t r u c t t h ee x a c ts o l u t i o n so fn o n l i n e a rd i f f e r e n c e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s e c o n d ，i ti s c o n s i d e r e dh o wt os e e kt h e c o m p l e x i t o ns o l u t i o n sw i t ht h ew r o n s k i a n d e t e r m i n a n t sf o r mo fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s i nc h a p t e r1 ，n e wh y p e r b o l i cf u n c t i o ns o l u t i o n so ft h ed i s c r e t em k d v l a t t i c ee q u a t i o na n d ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lh y b r i dl a t t i c ee q u a t i o na r eo b t a i n e d b yi n t r o d u c i n gn e we x p a n s i o nf o r m u l ao fh y p e r b o l i cf u n c t i o n s i nc h a p t e r2 ， t h em e t h o di n r e f 1 8 】i sa p p l i e d t on o n l i n e a rd i f f e r e n c e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，t h ed i s c r e t em k d vl a t t i c ee q u a t i o na n dt h e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a l h y b r i dl a t t i c ee q u a t i o na r et a k e na si l l u s t r a t i v ee x a m p l e st of i n dt h e i rj a c o b i e l l i p t i cf u n c t i o ns o l u t i o n s i nc h a p t e r3 ，t h eg e n e r a l m e dr i c c a t ie q u a t i o n s m e t h o di su s e dt oc o u s t r u c tm a n ye x a c ts o l u t i o n si n c l u d i n gt h eh y p e r b o l i c f u n c t i o ns o l u t i o n sa n dt r i g o n o m e t r i cf u n c t i o ns o l u t i o n so f t h ed i s c r e t e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a l t o d al a t t i c ee q u a t i o na n dt h ed i s c r e t em k d vl a t t i c e e q u a t i o n a n dt h ec o n c l u s i o nc o n t a i n sa l lr e s u l t si nr e f 4 7 i nc h a p t e r4 ，t h e n e w e x p a n s i o nm e t h o do ft h r e er i c c a f ie q u a t i o n sg i v e ni nr e f 2 2 】i sa p p l i e d t oc o n s t r u c tt h ee x a c ts o l u t i o n so ft h en o n l i n e a rd i f f e r e n c e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，a n dd i f f e r e n tt y p e so fh y p e r b o l i cf u n c t i o ns o l u t i o n so f t h ed i s c r e t e k d v e q u a t i o na n dt h ed i s c r e t em k d v l a t t i c ee q u a t i o na r eo b t a i n e d i nc h a p t e r 5 ，t h ew r o n s k i a nd e t e r m i n a n t sm e t h o df o rc o n s t m c t i n gt h ec o m p l e x i t o n s o l u t i o n st ot h ek o r t e w e g d ev r i e se q u a t i o ni sg e n e r a l i z e da n da p p l i e di tt o o b t a i nt h e c o m p l e x i t o n s o l u t i o n st ot h ea k n se q u a t i o na n dt h e h i r o t a s t a t s u m ae q u a t i o n t h i sm e t h o dc a na l s ob ea p p l i e dt oc o n s t r u c tt h e e x a c ts o l u t i o n st oo t h e rn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n so fw h i c ht h et i m ep a r t o ft h ela xp a i rc o n t a i n st h ee i g e n v a l u ea h e n c et h em e t h o dc a nb eu s e dt o m o r ee q u a t i o n s k e yw o r d s ：s o l i t o n ，n o n l i n e a rd i f f e r e n c e - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，n o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n ，e x a c ts o l u t i o n 内蒙古师范大学硕士学位论文 孤立子的由来 绪论 孤子的发现可追溯到1 8 3 4 年，英国科学家造船工程师s c o t tr u s s e l l 在运河观察 到光滑突出水面且以恒定速度传播的巨大孤立波峰，这一现象的物理本质当时弓l 起广 泛的争论6 0 年后两位年轻的荷兰科学家k o r t e w e g 和d ev r i e s 建立了单向运动浅水 波的数学模型，即著名的k d v 方程，并得到了与r u s s e l l 的观察一致的形状不变的脉 冲状的孤立波解，从而在理论上证实了孤立波的存在。然而这样的孤立波是否稳定， 两个这样的孤立波碰撞后是否变形，这一直是科学家们感兴趣而又无法证实的问题 因此，在没有新的发现前，孤立波仍然处于长期埋没之中 沉寂了几十年以后，在1 9 5 5 年，物理学家f e r m i 、p a s t a 和u l a m 三人用数值方 法计算了用线性弹簧联结的6 4 个质点组成的弦的振动，其目的是为了从数值试验上 验证统计力学中的能量均分定理他们对少数质点进行激发，按照能量均分原理由于 弱的非线性相互作用，经过长时闻以后，初始的激发能量应有涨落地均衡地分布到每 个质点上然而计算结果令人以意外，长时间以后能量几乎全部回到了初始集中在少 数质点上的状态这个结果预示着这个非线性系统可以出现孤立波，这就是著名的 矸i u 问题 直到1 9 6 5 年，k r u s k a l 和z a b u s k y 把k d v 方程用于等离子体波的研究时，借助 于计算机详细考察了等离子体中孤立波的相互碰撞过程，证实了这类孤立波在相互作 用后不改变波形的论断这种孤立波具有类似于粒子碰撞后不变的性质，故他们命名 具有这种性质的孤立波为孤立子 k r u s k a l 和z a b u s k y 的这项研究工作，是孤立子理论发展史中的一个重要里程碑， 他们引入“孤立子”概念，确切地揭示这种孤立波的本质，已被普遍接受这以后的 二十多年，孤立子理论的研究工作更加蓬勃发展，在世界范围内掀起了研究的热潮 除了上述流体物理、固体物理、基本粒子物理、等离子体物理等领域中，对孤立子的 研究不断深入外，在凝聚态物理、超导物理、生物物理等领域中也相继发现孤立子的 几类离散系统解法初探 存在目前，较为完整的数学和物理的孤立子理论已逐步形成 二非线性发展方程求解研究状况 寻求非线性偏微分方程的精确解一直是孤子理论研究中的重要内容之一目前 已有许多成功的方法，如反散射方法【1 - 2 1 、h i r o t a 方法阳、w r o n s k i a n 技巧 9 - 1 4 1 、r i c c a t i 方程法等等 1 9 6 7 年，g a r d n e r , g r e e n e k m s k a l 和m i u r a 首次提出反散射法1 1 - 2 1 并求解了k d v 方程 。 1 9 7 1 年，h i r o t a 4 1 所引进的双线形交换法( 也叫i - i i r o t a 方法) ，是构造非线性发 展方程孤立子解及其b 孑c k l u n d 变换的一种重要而直接的方法随后，陈登远教授 阁、胡星标教授1 6 l 、张大军博士川做了许多工作 1 9 7 9 年s a t s u m a l 9 1 首先弓 入w r o n s k j a n 行列式形式，但他并没有将解的这种形式 与孤子方程的双线性形式联系起来直到1 9 8 3 年，f r e e m a n 和n i m m o 才作为一种求 解孤子的系统方法w r s 虹a l l 技巧才提出来，该方法以h l r o t a 方法为基础，即首 先要得到孤子方程的双线性形式或双线性b 蠢c h u n d 变换；然后适当选取声，构成 w 咖塔k i 硒行列式俄，屯，如) ，再将w r o m k i a n 行列式直接代入双线性方程和双 线性b c h u n d 变换中进行验证进行解的直接验证恰恰是w r o n s k a n 技巧的优势所 在2 0 0 2 - - 2 0 0 3 年马文秀1 1 1 2 1 在将w r o n s k i a n 技巧进行改进，主要从方程的l a x 对出 发利用w r o n s k i a n 行列式的性质得到方程的复合型解 1 9 9 1 年，李翊神教授悯基于对称约束提出一秭非线性发展方程的直接变量分离 方法；随后，楼森岳教授【1 目等提出另一种更有效的直接变量分离法得到了许多的 ( 2 + 1 ) - 维非线性发展方程的精确解 2 0 0 1 年，刘式适教授【1 7 1 、刘式达教授提出j a c o b i 椭圆函数展开法求解非线性波 动方程的精确解李鹏、潘祖梁教授【l 9 】引进了一些新变换求解非线性发展方程并得 到了更多新j a c o b i 椭圆函数解。 最近，张鸿庆教授 2 2 - z 3 利用r i c c a t i 方程以及它的解构造了许多新的精确解，并 且求非线性发展方程的复合型解也引起人们的重视【肄2 6 1 2 内蒙古师范大学硕士学位论文 此外，构造非线性发展方程还有d a r b o u x 变换法【2 删、b a c k l u n d 变换法【咎= 哪、齐 次平衡法【3 1 】、双曲函数法【粥3 l 、辅助方程法【粥q 、潘勒卫试验法鲫、t a n h 函数法1 3 8 l 、 李群理论法例、试探函数法阻4 1 】等等 三差分微分方程的研究概况 研究离散的非线性发展方程一差分微分方程也是孤立子中的重要部分自从 十九世纪五十年代f e r m i ，p a s t a 和u l a m 的工作以来，差分微分方程已经成为许多非 线性研究的焦点众所周知，差分微分方程描述了许多领域中重要且复杂的现象和动 力过程，例如晶格中的粒子振动、电网中的电流、生物链中的脉冲它在物理中扮演 了重要角色与全离散的差分方程不同的是差分馓分方程是半离散的，即某些或全部 空间变量是离散的，而通常时间变量是连续的差分微分方程( 组) 的数值模拟、捧 队问题和固体状态的离散化以及量子物理中也起着重要作用，目前这方面已有大量的 工作来研究它的谱问题，l i e 对称，可积性等 对于非线性差分微分方程的研究。现在也有许多方法来研究它的可积性和孤波 解耿献国教授研究了部分非线性差分微分方程的d a r b o u x 变换哪1 中科院的胡星 标研究员等用h i r o t a 双线性模式研究了它的b 6 c k l u n d 变换w m a l f l i c t 3 8 将t a n h 函 数法应用于求解非线性差分微分方程随后朱加民等人在m a p l e 帮助下，先后将推广 的t a n h 函数法州、j a c o b i 椭圆函数法 4 5 4 6 1 、双曲函数法l 牡剐应用于求解非线性差分 微分方程邓淑芳【5 1 】等人又将w r o n s k i a n 技巧和h i r o t a 法应用于非线性差分域分方程 最近王振和套格图桑先后将r i c c a t i 方程法 5 2 - 5 3 1 、辅助方程法酬应用于非线性差分微 分方程 四孤立子理论研究的重要意义 孤立子理论是应用数学和数学物理的一个重要组成部分，它现在已被广泛应用 于流体力学、等离子物理、经典场论、凝聚态、生物学、非线性光学等领域中利用 孤立予理论已经成功解释了许多物理上长期用经典理论未能得到解答的现象在应用 上，利用孤立波来引进信号传输系统，提高其传输率等也取得了可喜的进展随着孤 3 几类离敢系统解法初探 立子物理问题的深入研究，孤立子的数学理论也应运而生孤立子理论是数学和物理 学的交叉学科，也是数学的一个新分支，是非线性科学的一个重要方向该理论为非 线性偏微分方程提供了求显示解的方法，因而受到数学界和物理学界的充分重视此 外1 9 8 4 年，m o u e n a n e r 等人研制成功光孤子激光器，并运用于光纤通讯上，从而使 得光纤通讯事业得到迅速发展，这也是孤立子理论运用与实际的一个重要典范，具有 重大现实意义 五本文主要工作 本文的主要工作分为两部分，即：非线性差分一微分方程求解和非线性发展方 程的w r o n s k i a n 行列式形式解 ( _ 一) 基于双曲函数法和t a n h 函数法，通过引入双曲函数展开式 “。一g 。+ 蓦黜和“- g 。+ 骞踹 给出了离散的m k d v l a t t i c e 方程和( 2 + 1 ) 维h y b r i d l a t t i c e 方程的双曲函数解 ( 二) 基于j a c o b i 椭圆函数展开法，取椭圆函数展开式 ( 叩) - 4 。+ o t $ f l 仞) + , , n s 国) ) ， 国) 一口。+ 艺( 4 t 国) + 饥n o ) ) ， 并利用文献【1 8 】中的变换 血研) - 生燮，a n ( m 叩l m q ) 一c n 国i 小) ，血研) 一f c s ( 叩) ， 将该方法应用于非线性差分微分方程，并以离散的m k d vl a t t i c e 方程和( 2 + 1 ) 维 h y b r i dl a t t i c e 方程为例，得到这两个方程的多个椭圆函数解。 基于文献【2 1 】，取非线性差分微分方程的解 - 4 + 杰“疗+ 马。1 岛l 其中厶，乳满足推广投影r i c c a t i 方程组 4 内蒙古师范大学硕士学位论文 可。g 。 g ：- q 0 + 曙：一唬) 小s ( - 一碱一警叫 这里e - e e l 以离散的( 2 + 1 ) 维t o d al a t t i c e 方程和离散的m k d vl a t t i c e 方程为例，得到 该方程的多个双曲函数解和三角函数解，并且包含了文献【4 刀的所有结果 ( 四) 基于文献【2 2 】三个r i c c a t i 方程新展开法 忧一豫。( 1 2 以- 2 e a h 。) g ：一矾( 1 一巩) l k - 2 a 4 f , g 。 选取非线性差分微分方程解为 - 4 0 + 嘭q j 无+ b i g + q i l 。x o ， 并以离散的k d v 方程和离散的m k d vl a t t i c e 为例，得到不同的双曲函数解和三角函 数解 ( 五) 推广了用w r o n s k a i n 行列式法构造k o r t e w e g - d ev r i e s 方程复合型解的方法， 并给出了a k n s 方程和h i r o t a - s t a t s u m a 方程的复合型解该方法也可以构造其它的 l a x 对的时间部分包含特征根a 的非线性发展方程的精确解 5 几类离散系统解法初探 第一章非线性差分一微分方程的双曲函数解 ( )引言 本章在双曲函数法、试探函数法的基础上，给出了两种试探函数，并借助符号计 算机系统m a t h e m a t i c a ，构造了离散的m k d vl a t t i c e 方程和( “1 ) 维h y b r i dl a t t i c e 系统 的新的精确孤立波解 假设非线性差分一微分方程( ( 2 + 1 ) 维方程为例) 0 。o ，f ) ，“慨o ，嘎，h 协似f ) 口： “f ) ，二+ o ，f ) ，群：协瓴f ) ， “) o ，r ) “曼乙o ，f ) ，h 。f v ) ( b f ) ) = o ( 1 1 ) 选择下列行波解 “- + j o ，而f ) _ “国) q - 1 , 2 , ，七) ，叩= s n + 乒睇+ “， ( 1 2 ) 其中o , j ，缈是常数将( 1 2 ) 代入( 1 1 ) 中，得 a + a ( 叩) “慵铆) ，h + ，( 叩) 球：+ 铆) ，h ：忱仰) ，：+ 国) ， “臻铆) 口国) ，“国) ) o ( 1 3 ) 由双曲函数恒等式 c o s h 2 ( x ) 一s i n h 2 ( 力一1 ， ( 1 4 ) s i n h ( x y ) - s i n h ( x ) c o s h ( y ) 土c o s h ( x ) s i n h ( y ) , ( 1 5 ) c o s h ( x * y ) - c o s h c o s h ( y ) 土s i n h ( x ) s i n h f y ) , ( 1 6 ) ( s i n h ( x ) ) - c o s h ( x ) ，( c o s h ( x ) ) 一s i n h ( x ) ( 1 7 ) 根据领头项分析，设方程( 1 3 ) 有下列形式的解 啪h 。+ 砉夥 幽 内蒙古师范大学硕士学位论文 & ( s j n b 国) 伽h 慨) + 湖h 聊) s i n h 瓴) ) 。1 + ，- - g o + 暑可面丽蕊葡瓦面而砭河； 嘞嘻锱 ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) 艺霸( c o s 响) s h 慨) + s i n h ( 叩) 蛐慨” 搿一饥0 7 ) - g o + 杀环面而面历忑面翮，( 1 1 1 ) 其中毛- p , z d l + d 2 + + p i d _ ，d 1 ，d 2 ，d 口是常数，g o , g j o - 1 , 2 , ，开) 为待定常 数，矗是领头项分析法所确定的整数 将( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 或( 1 1 0 ) ( 1 1 1 ) ) 代入( 1 3 ) 中，并令c o s h 向) s i n h 仍) ，o o 1 ；j 一0 ，】，2 刃的各次幂的系数为零，则得到关于g 。，g ，4 占a - 1 乏，万) 和的非线性 代数方程组再用m a t h e m a t i c a m a p l e ，可以得到该方程组的解，然后将所得的解代 入( 1 8 ) ( 或( 1 1 0 ) ) ，得到非线性差分一微分方程( 1 1 ) 的精确解 ( - - ) 离散的i i i i ( d vi a t t i c e 方程的精确解 五( f ) - ( 口一h 2 ) ( 1 i h “) ，( 1 1 2 ) 作行波变换 。o ，x ，t ) - 球。0 7 ) “o ，x , t ) 一“。+ 1 ( 叩) ，u m - 1 0 ，而f ) 一口。- l 仞) ( 1 1 3 ) 其中材一砌+ 厣+ “，则将( 1 1 3 ) 代入( 1 1 2 ) 中，得 埘0 7 ) 一b 一砧：仍) 虹。h 0 7 ) 一“。臼) 卜 ( 1 1 4 ) 由领头项分析，平衡球：国) 和“：( 叩) 两项，得到平衡常数矗- 1 情形1 根据( 1 8 ) 和( 1 9 ) ，取方程( 1 1 4 ) 的解为 嘞+ 石意丽， ( 1 1 5 ) 7 “。“。g 。+ j f f 西5 五五i i i ：；五i g 石l i i ：；i i i 聂厕， ( 1 1 6 ) 一一t 。g 。+ 二i ：】冠；五i 五三二j i ；_ = i ；忑i 厕 1 1 7 将( 1 1 5 ) ( 1 - 1 7 ) 代入( 1 1 4 ) 中，并令s i n l i ) 和c o s h ( _ ) 的各次幂系数为零，得关于 g o , g l ，珊，4 和b 的非线性代数方程组 b 3 0 j g lc o s h 2 p ) 一2 8 3 叼ls i n h ( o ) + 2 8 3 9 0 2 9 1s i 丑h ( e ) - b 3 孵ls i n h 2 ( 日) 一o ， 2 a b 2 昭1c o s h ( o ) 一4 a b 2 a 9 1s i n h ( o ) + 4 a b 2 9 ；9 1s i n h ( 0 ) + 4 8 2 9 0 9 ；s i n h p ) - 0 , a 2 b a n 9 1 一口3 喏1c o s h 2 p ) 一2 , 4 2 b a g ls i n h p ) + 嬲3 a g is i n h p ) + 叫2 助；g ls i n h ( 8 ) + 4 a b g o g ；s i n h ( p ) + 2 b g ；s i n h ( 8 ) - 2 8 3 9 0 2 9 1s i n h ( o ) - 0 用符号计算机系统m a t h e m a t i c a 求得该方程组的解如下 g l - 土罢! ：! 兰竺竺窒竺旦，讲孙s i n h ( 8 ) , 彳g 0 ； ( 1 1 8 ) op ，- 土芦= = = = = = = = = = = = = = = = ， w “a n 一5 一v ， 、1 。 一 如2 卜l + c o s h ( o ) ) s l n h ( o ) g 。型兰+ g o 地) s i 盥h ( 0 ，洳一g ；) s i n h p ) ， 壤i - ( 1 1 8 ) ( 1 1 9 ) 代入( 1 1 5 ) 中，得到方程( 1 1 2 ) 的下列新的精确孤波解 其中c o s h p ) 一1 o a 为常数，0 ，p 为任意常数且9 01 , 0 ( 1 1 9 ) 其中g o 一g ；卜o ，r 一6 i l + 肛+ 2 一g ；) s i h p y ，口为常数，0 ，p 为任意常数且 内蒙古师范大学硕士学位论文 情形2 由( 1 1 0 ) ( 1 1 1 ) ，设方程( 1 1 4 ) 的解为 铆) 。g 。+ 石丽e l ， n - r u w a m l ( r ) - g 。+ 不葡忑丽赢南河面厕， 0 7 ) + 不环忑丽矗裔磊而湎丽 ( 1 2 0 ) ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) 将( 1 2 0 ) ( 1 2 2 ) 代i x ( 1 1 4 ) 中，并分别令c o s h ( 叩) s i n h 7 向) ，( f o , l , j i o 工 3 ) 的系数为零，得关于岛，g 。，彳和曰的非线性代数方程组 一2 彻2 0 j g lc o s h ( a ) + 4 a b 2 a g ls i n h ( e ) 一4 a b 2 9 0 2 9 ls i n h ( o ) 一4 8 2 9 0 9 ；s i n h ( e ) io ， - b 3 孵1 c o s h 2 ( 口) + 2 8 3 a 9 1s i n h ( 0 ) 一2 8 3 9 0 n 9 1s i n h ( o ) + b 3 t o g l s i n h 2 p ) - 0 ， - a 2 b a g l - b 3 t a g l c o s h 2 p ) + 刎2 b a g ls i n h ( 8 ) + 3 昭1s i h ( o ) 一2 4 2 s 9 0 2 9 1s i n h ( e ) 一2 8 3 9 2 9 ls i n _ h ( e ) 一4 a b g o g ：s i n h ( 口) 一2 b g ；s i n h ( 0 ) 一0 用m a t h e m a t i c a 解该方程组，得 9 1 l 襞等竺些，孙蛐爿- g o 0 ；( 1 2 3 ) 、口2 ( 一1 + e o s h ( 0 ) ) s i n h ( 0 ) 。 g i z a ( - a + g o ) s 甜( 9 ，。2 ( a g ；) 蛐( 口) ， g o 口- 土 一去( 川+ g ；) k + g ；+ ( a + g o ：) c o s h ( o ) ) t a n h ( e ) 、g o ( 口一s g ) s i n h ( 8 ) 将( 1 2 3 ) ( i 2 4 ) 代入( 1 2 0 ) 中，得到方程( 1 1 2 ) 下列新的精确孤波解 石s i n h ( 8 ) “5 6 。j 乏亏盂盂i ；i ：；i i j i ：；：j ：丽 其h h l - c o s h ( e ) o ，口为常数，0 ，卢为任意常数且g o 一0 ( - a + g ；) s i n h p ) ( s i n h p ) 一1 ) 矿9 0 + 雨盖两丽蔫肴葛磊意赢恙骊 9 ( 1 2 4 ) 几类离散系统解法初探 其中g o p - g b o ，才一融+ 犀+ 2 ( 口一g o b s m ( e ) t , 口为常数，以为任意常数且 g o 一0 ( 三)( 2 + 1 ) 维h y b r i di a t t ：i c e 方程的精确解 ( 2 + 1 ) 维h y b r i dl a t t i c e 方程1 4 9 l 为 l i ( f ) ( 1 + c 珊+ 芦k ：x 砖。_ l 一“) ， ( 1 2 5 ) 其中a ，芦是常数我们作行波变换 。0 ，f ) - “。铆) ，i g 。, l o ，x , t ) - 甜。+ 1 0 7 ) ，n 。- l o ，工，f ) 一“- l 铆) ， ( 1 2 6 ) 其中叩o n + i z c + o 瞳o , z ，为常数将( 1 2 6 ) 代a ( z 2 5 ) 中，得 甜t ：伪) ( 1 + 倒。仂) + 肛：o ) ) 0 。细) 一球。铆) ) 、 ( 1 2 7 ) 由领头项分析，平衡h ：0 7 ) 和“：国) 两项，得到平衡常数一一1 情形1 根据( 1 8 ) 和( 1 9 ) ，取方程( 1 2 7 ) 的解为 u j , - 0 0 0 + 石盎而， 。“g 。+ ：i _ ；1 r 磊二五i 五石；j 主i i ：；j 翮， “- d 。g 。+ j f _ 五匹五五鬲罚忑；五主i i ：j 翮 ( 1 2 8 ) ( 1 2 9 ) ( i 3 0 ) 将( 1 2 8 ) ( 1 3 0 ) 一起代入( 1 2 7 ) 中，并分别令s i n h ( 叩) 和c o s h 西) 的各次幂系数 为零得关于g o ，g ，4 和矗的非线性代数方程组 b 3 t o g i c o s h 2 ( 口) + 2 口3 9 l s h a h ( 0 ) + 2 8 3 c 塔o g l 洲口) + 2 8 3 属g ；9 1s i n h ( 0 ) 一b 3 n 管1 s i n h 2 ( 口) - o ， 2 a b 2 c 0 9 1c o s h ( o ) + 4 a b 2 9 ls i n h ( 0 ) + 4 a b 2 裙o g ls i n h ( o ) 内蒙古师范大学硕士学位论文 + 4 仰2 属g ；g ls i n h ( e ) 2 8 2 c 喀? s i n h ( e ) + 4 8 2 詹o g ；s i n h ( 疗) _ o o a 2 b w 9 1 一b 3 。留1 c o s h 2 ( 一) + 2 , 4 2 日：g l s i n h ( 口) 一2 8 3 9 ls i n h ( 口) + 2 4 2 b a g o g ls i n h ( p ) 一2 口3 a g o g ls i n h ( 0 ) + 2 a 2 呐；g ls i n h ( e ) 一2 8 3 属譬；9 1s i n h ( 毋) + 2 哇暑a 富；s i n h ( o ) + 4 a b p g o g ；s j 缸h ( 8 ) + 2 z 触；s i n h ( - 0 用m a t h e m a t i c a 求解该方程组得 b 一4 a q s i n h 2 8 1 。赫 一a 2 q k 2 + 2 0 徊窖o + 2 卢( 一1 + 属g ；) + 2 p f l c o s h ( o ) ) s i n h 2 ( 9 其中q - 1 + 0 8 0 p e 0 2 + 2 p c o ) 2 q s i n h 2 p ) 将( 1 3 1 ) 代入( l2 8 ) 中，得方程( 1 2 5 ) 的新的精确孤波解 “叫。g o + ( 1 3 1 ) 其中吁- o n + = - 2 t ) s i n h ( 0 ) t ，q - l + a g o + 磨： o a , p 是常数，巩p 和g o 是任意实 常数且g o 一0 情形2 根据( 1 1 0 ) 和( 1 i l ) ，取方程( 1 2 7 ) 的解为 群- 。g 。+ = ；南， h 一“。g 。+ j i _ 否再石五最i i ；磊：是i ：j 五苫翮， 一。g 。+ j i 了葫鬲5 j i ；i ：五i g 石l i ：；i i i 五i 丽 ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) 将( 1 3 2 ) ( 1 3 4 ) 一起代入( 1 2 7 ) 中，并分别令s i n h h 4 西) s h 铆) ，( f - 城j - 0 , 1 ) 的系数为零，得关于g 。，g ，w , a ；f 4 ib 的非线性代数方程组 垦鲞塑墼墨竺塑望塑篓一一一 一2 a b 2 昭lc o s h ( e ) 一4 a b 2 9 ls i n h ( o ) 一4 印2 a g 。g ls i n l l ( p ) 一4 , d b 2 磨括ls i v a ( o ) 一2 8 2 a g ；s i h ( a ) - 4 s 2 风。s , 2s i n h ( 0 ) 一o ， 一b 3 姆lc o s h 2 ( o ) - 2 8 3 9 1s i n h ( 0 ) 一2 8 3 a g 。g ls i n h ( 一) 一2 8 3 属g ；g ls i n h ( 口) + 曰3 w g ls i n h 2 ( 口) - o ， 一a 2 b a n 9 1 一b 3 w 9 1 c o s t a 2 ( o ) - 2 a 2 8 9 1 s i n h ( 0 ) 一2 8 3 9 l s i n h ( e ) 一2 , 4 2 b a g 。g ls i n h ( 口) 一2 8 3 a g 0 9 1s i n h ( p ) 一2 4 2 b a g g s l s i i 吐i ( p ) 一2 8 3 屈9 0 2 9 1s i n h ( a ) 一2 艘口g ；s i n h ( 口) 一4 彻属g o g ；s i n h ( 日) 一2 b f l g ；s i n h ( o ) 一0 用 用m a t h e m a t i c a 解上述方程组得 m _ 2 q 蛐p ) ，g 。- 1 4 a q 百s i n h 2 ( 导) ， b - 爿2 q 石2 + 2 a b g o + 2 ( 一1 + 廊；) + 2 f l q c o s h ( a ) ) s i n h 2 ( 9 。= = = = = = ：= = = = = = = = = = = = = = = = = 一 + 2 风o ) 2 q s i n h 2 p ) 其中q - l + a g o + 胎； 将( 1 3 5 ) 代入( 1 3 2 ) 中，得方程( 1 2 5 ) 的新的精确孤波解 “1 1 , 1 2 。g o + ( 1 3 s ) 其中叩伽+ 肛一2 q s i n h ( o ) t ，q - 1 + 昭。+ 凰；o ，口，卢是常数，口，和是任意实 常数且_ 0 引入双曲函数新的展开式应用于非线性差分微分方程，并借助符号计算机系统 胁咖伽“，构造了离散的m k d vl a t t i c e 方程和( 2 + 1 ) 维h y b r i dl a t t i c e 方程的新的精 确孤立波解该方法得到的解与文献 4 4 5 0 相比，是一种新形式的解，并且该方法应 用比较简单 1 2 内蒙古师范大学硕士学位论文 第二章非线性差分一微分方程j a c o bi 椭圆函数解 ( 一)引言 本章基于文献 1 8 ，构造了非线性差分一微分方程新的椭圆函数级数解并借助于 符号计算统m a p l e ，给出了离散的m k d vl a t t i c e 方程和( 2 + 1 ) 维h y b r i dl a t t i c e 方程的 多个椭圆函数解 由j a c o b i 椭圆函数恒等式 s n 2 0 ) + 2 ( 砷- 1 , d n 2 0 ) + 埘2 s l l 2 ) - 1 ( 2 i ) 姐) i 业掣辫嚣喾幽， c n 阳) - 业芈瓣鬻訾幽， c z z ， c s ( x ) - 器，- 南，a s - 器，s a - 南， ( 2 s ) ( s n o ) ) - e a ( x ) d n ( x ) ，( c n ( d ) i - - s n ( x ) d n ( x ) ( 2 4 ) 由领头项分析，设方程( 1 3 ) 有如下形式的解 0 7 ) - 4 。+ o ，s n 国) + b i n s 0 7 ) ) ，m ( 唧， ( 2 5 ) u n + p = 国) - + o t 姐铆+ 厶) + 岛砸4 0 7 + 厶) ) ， ( 2 回 其中乞- p d l + p d 2 + + p j d 。，d l ，d 2 ，d q 是常数，4 0 ，q 和吃a 一1 ，2 ，尼) 为待定 常数，n 是领头项分析法所确定的整数 将( 2 5 ) ( 2 6 ) 代入( 1 3 ) 中，并令s n 0 ) c n ( ，) d n ( t x i i o j , ) 的系数为零，得关 于a o ，a j