（控制理论与控制工程专业论文）基于特征结构的控制器降阶.pdf

塑墨 ￥墨! 堕3 1 9 摘要 控制系统所要解决的问题是，设计一个控制器( 校正装置) ，使闭环系统保 持稳定性，同时使系统达到能指标要求。很多实际物理对象的建模需要大量的参 数，精确地描述这类系统往往导致高阶的状态空间实现。目前对于这些系统的控 制理论，如h 。或l m l 方法，可以得出与被控系统阶次相当的高阶控制器。然而阶 次越高，反馈控制器就越难以实现。另一方面，简单的线性控制器易于理解且需 要的计算量小，便于实现；由于在硬件中出错少和软件中缺陷少，故可靠性高。 因此，无论何时，只要最终性能损失保持在允许的范围内，就应当寻找低阶控制 器。 低阶控制器的设计通常有三种方法：( 1 ) 通过先对被控模型降阶。再采用高 级控制策略求解而得到低阶控制器；( 2 ) 先固定控制器的结构，如p i 或p i d ，然 后直接设计低阶控制器；( 3 ) 先计算满足性能指标的全阶控制器，再对此控制器 进行降阶，并且使闭环系统的性能指标接近期望值。 本论文将采用上述第三种方法，阐明特征结构分析可以很好地应用于控制器 的降阶。本文提出的方法本质上基于对闭环系统的考虑，目标是降阶控制器所组 成的闭环系统响应满足所给定的性能要求。具体地讲，提出两种基于对全阶控制 器及其所组成的闭环系统特征结构分析的控制器降阶方法：对于单输入单输出系 统，对闭环系统进行极点配置：对于多输入多输出系统，对闭环系统进行特征结 构配置。上述方法与现有的控制器降阶方法不同之处在于它不仅仅把降阶与全阶 控制器之间的差异最小化而且还把闭环系统的性能也考虑在内。通过一些设计 实例可以看出本文提出的方法是很有效的控制器降阶途径。 关键词：控制器：降阶；特征结构；特征结构分析；极点配置：特征结构配置 a b s t t a c t a b s t r a c t t h et a r g e ti s s u ef o rac o n t r o ls y s t e mi st od e s i g nac o n t r o l l e r ( r e g u l a t o r ) ，w h i c h m a k e sc l o s e d l o o ps y s t e ms t a b l ea n dg e tt ot h ed e m a n df o rp e r f o r m a n c ei n d e x l o t s o fp r e s e n tp h y s i c a ls y s t e m sr e q u i r en u m e r o u sp a r a m e l e r sf o rc r e a t i n gr e a lm o d e l s h o w e v e r , ag o o dr e p r e s e n t a t i o no f t h es y s t e mg e n e r a l l yi m p l i e sh i g h o r d e rs t a t e - s p a c e r e a l i z a t i o n t h ec u r r e n ts y n t h e s i sm e t h o d sa p p l i e dt oc o n t r o lt h e s es y s t e m ss u c ha st h e h o rl q gm e t h o d s ，l e a dt oc o n t r o l l e r sw i t hah i g ho r d e rs i m i l a rt ot h ei n i t i a ls y s t e m h o w e v e r , t h eh i g h e rt h eo r d e ri s ，t h em o r ed i f f i c u l tf e e d b a c ki m p l e m e n t a t i o nc a r lb e o nt h eo t h e rh a n d ，s i m p l el i n e a rc o n t r o l l e r sa r ec o m p r e h e n s i b l ea n dn e e dl e s s c a l c u l a t i o n ；t h e ya l ee a s i e rt ob ec a r r i e do u t ；t h e yh a v eg o o dr e l i a b i l i t yb e c a u s et h e y h a v ef e w e rf a u l t s i nh a r d w a r ea n dl e s sb u g si ns o f t w a r e s o ，w h e n e v e li ft h ef i n a l p e r f o r m a n c el o s si sw i t h i nar e a s o n a b l eb o u n d t h el o w o r d e rc o n t r o l l e rs h o u l db et h e p r e f e r e n c e t h r e em e t h o sh a v eb e e nd e v e l o p e db yl o w o r d e rc o n t r o l l e rd e s i g n t h ef i r s t a p p r o a c hi st or e d u c et h em o d e lb e f o r es y n t h e s i z i n gt h ec o n t r o l l e r t h u s ，t h ef e e d b a c k c o m p u t e do nt h i sr e d u c e d o r d e rm o d e lg i v e sar e d u c e d - o r d e rc o n t r o l l e r as e c o n d a p p r o a c hi sf i r s t l yg i v et h ee x p e c t e ds t r u c t u r eo fc o n t r o l l e rs u c ha sp io rp i da n dt h e n d i r e c t l yd e s i g nt h el o w o r d e rc o n t r o l l e r t h e r e s a l s oat h i r da p p r o a c h ai n i t i a l c o n t r o l l e ri sc o m p u t e dc o n s i d e r i n gt h ef u l lm o d e lt os a t i s 句s p e c i f i c a t i o n sw i t h o u t o r d e rc o n s t r m n t t h e n ，t h i sc o n t r o l l e ri sr e d u c e dt ob ev e r yc l o s et ot h ei n i t i a l c o n t r o l l e r , w h i c hc a l ll e a dt oac l o s e d l o o pb e h a v i o rn e a rt h ee x p e c t e do n e t h i sp a p e rw i l ls h o wt h a te i g e n s t r u c t u r ea n a l y s i si sw e l la d a p t e dt or e d u c et h e o r d e ro f ac o n t r o l l e ru s i n gt h et h i r dm e t h o dm e n t i o n e da b o v e t h ep r o p o s e dm e t h o di s e s s e n t i a l l yb a s e do nc l o s e d l o o pc o n s i d e r a t i o n s t h ea i mi st oo b t a i nc l o s e d l o o p r e s p o n s e ss a t i s f y i n gt h ec l o s e d l o o ps p e c i f i c a t i o n sw i t ht h er e d u c e d o r d e rc o n t r o l l e r s p e c i f i c a l l y , t w om e t h o d sa r ep r e s e n t e dw h i t c hb a s eo na n a l y s i so ff u l l o r d e r c o n t r o l l e ra n dt h ec l o s e d l o o p se i g e n s t r u c t u r e ：c l o s e d l o o pp o l ea s s i g n m e n tf o rs i s o s y s t e ma n dc l o s e d l o o pe i g e n s t r u c t u r ea s s i g n m e n tf o rm i m os y s t e m t h em a j o r 2 a b s t r a e l d i f f e r e n c ew i t he x i s t i n gm e t h o d sl i e si nt h ef a c tt h a tt h er e d u c t i o nd o e sn o to n l y m i n i m i z et h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h e s et w oc o n t r o l l e r s ，f u l l - o r d e ra n dr e d u c e d o r d e r o n e s b u tt a k e si n t oa c c o u n tt h ee x p e c t e dc l o s e d - l o o pp e r f o r m a n c e s o m en u m e f i c m e x a m p l e ss h o wt h a tt h em e t h o dp r e s e n t e di nt h i sp a p e ri sa ne f f i c a c i o u sw a yt o p e r f o r mc o n t r o l l e rr e d u c t i o n k e yw o r d s ：c o n 仃o l l e r ；o r d e rr e d u c t i o n ；e i 吾e n s t r u c t u r e ；e i g e n s t r u c t u r ea n a l y s i s ； p o l ea s s i g n m e n t ；e i g e n s t r u c t u r ea s s i g n m e n t 3 第一章绪论 第一章绪论 1 1研究领域简介 1 ll 控制理论的基本概念 在现代工业、农业、国防和科学技术领域中，自动控制技术得到了广泛的应 用。所谓自动控制，就是采用控制装置使被控对象( 如机器设备的运转或生产 过程的进行) 自动地按照给定的规律运行，使被控对象的一个或数仓物理量( 如 电压、电流、速度、位置、温度、流量、浓度、化学成分等) 能够在一定的精度 范围内按照给定的规律变化【2 1 【3 1 。 控制系统所要解决的问题是，设计一个控制器( 校正装置) ，使闭环系统保 持内稳定性，同时使系统达到一定的性能指标要求【1 l 【2 l 。自动控制系统有两种最 基本的形式，即开环控制和闭环控制。开环控制是一种最简单的控制方式，其特 点是，在控制器与被控对象之间只有正向控制作用而没有反馈控制作用，即系统 的输出量对控制量没有影响。开环控制系统的示意框图如图1 1 所示。 图1 1 开环控制系统 图1 2 闭环控制系统 新江大学硕士学位论文 闭环控制的特点是，在控制器与被控对象之间，不仅存在着正向作用，而且 存在反馈作用，即系统的输出量或状态量对控制量有直接影响。将这些量通过适 当的控制器送回到系统的输入端，并与输入信号比较的过程称为反馈，如图1 2 所示。广义地说，反馈可以作为描述和理解许多复杂物理系统中发生的循环交互 作用的方式，它是控制系统的基本组成部分【2 j 【4 】。 1 1 2 h 。控制简介 虽然本文阐述的控制器降阶方法适用于线性时不变系统的各种控制策略所 得的高阶控制器，但文中以日。控制作为背景进行论述，所以在此有必要对士k 控 制作一扼要介绍，包括当前最主要的两种方法：r i c c a t i 方法【5 1 1 6 1 和l m i 方法【7 】【8 】。 许多控制问题，例如干扰抑制问题、跟踪问题、鲁棒稳定问题，都可以归结为标 准的以最优控制问题i9 1 ，如图1 3 所示： 图1 3 标准的h 。最优控制问题 其中w 表示外界干扰；y 是向控制器提供的测量值；u 是控制器的输出；z 是 误差信号，在设计中希望保持它小。传递函数矩阵g 中包含了受控对象以及描述 期望特性所加的权重函数。h 。最优控制问题则是要设计一个镇定控制器k ，使 得w 到z 的闭环传递函数l 的玩范数达到极小，其中l 的玩范数定义为： j k k = s u p 厅( l ( ，) ) 苎二皇堕堡 式中万( a ) 表示矩阵a 的最大奇异值。 设图1 3 中传递函数矩阵g 的实现为如下形式： 郇，=k擞c d d 2 2 j 1 = 闲 22 l l 。 中a 武舢，b l 爬肌，b 2 r 舣仉，c l 豫 ，c 2 碾9 2 加，d 】l 豫n 。帅 d 。：r n m ，d ：，r ”“，d 2 ：癜。作如下假设【6 】： ( a 1 ) ( a ，b ：) 为可镇定的，( c ：，a ) 为可检测的； ( a 2 ) d 1 ：心。：，【o i 】 ( a 3 ) d u = 0 ，d 1 2 = 0 ： a ，对任意， a - q j d 乏 为列满秩； c a s ，对任意， a - c j ：硝。b ：a ， 为行满秩。 在上述假设下，所要求解的上l 标准控制问题为：设计输出反馈控制律 u = k ( s ) v 使得图1 3 所示闭环系统内稳定，且 i k ( s ) k ， ( 1 2 ) g z a m e s 在1 9 8 1 年发表的著名论文i ，可以看成是巩控制的先驱。在这篇 论文中，z a m e s 进一步发展了他在1 9 6 6 年首次提出了利用控制系统内某些信号 间传递函数( 矩阵) 的风，范数作为优化指标的设计思想。j , c d o y l e 等四人于 1 9 8 9 年给出的直接状态空f q 法，将标准 乙控制问题归结为两个代数r i c c a t i 方 程的求解问题，所得控制器的阶数与被控对象的阶数相等【5 1 。近年来随着求解凸 优化问题的内点法的提出，线性矩阵不等式( l m l ) 再一次受到控制界关注，并 被应用到系统和控制的各个领域中捧1 。下面对上述两种方法分另f j 进行介绍。 浙江大学硕士学位论文 1 基于r i c e a t i 方法的月。控制 上述 l 控制问题有解的充分必要条件为： ( a ) r i c c a t i 方程 a 7 x 。+ x 7 a + x 。( ，b l b i b 2 b ；) x 。+ q c j = 0 a v + + k a 7 + k ( ，_ 2 c i c l 一c l c 2 ) y ：+ b 】b i ，0 有解x 。0 ，k 0 。 ( b ) 厅( x 。y 帕) y 2 若上述条件成立，则使闭环内稳定且式( 1 2 ) 成立的输出反馈动态控制器为 一 乏一纠 ， 其中 a 。= a + ，b l b i x 。+ b 2 r + z 。l 。c 2 民= 一b ；x 。l 。= - v + c ；z 。= ( 1 一r - 2 y 。x 。) 。 此控制器称为 l 中心控制器，而上述问题的所有解等于图1 5 中从y 到u 的 传递函数阵的集合。其中q ( s ) r h 。且q ( s ) 虬 y 。m 。的状态空间实现为 盖。 一z 。l 。 z 。b ， 心。卜怪。1 0 1 ii 2 k ( s ) 一一。一。一一一一p 一一一一一一_ _ 一一一一- - 一 y u 厂m 。 rf 圈| v 图1 5 控制器参数化 4 第一章绪论 上述解称为参数化形式解，在该结果中令参数q ( s ) = 0 ，则得到( 1 3 ) 所示的 中心控制器。 上述结论的证明详见参考文献 5 。该方法可以简要地理解为先求解方程， 再根据方程的解构造出。控制器。基于r i c c a t i 方法的圮。控制的不足之处在于 r i c c a f i 方程本身的求解并没有得到充分的解决。月前存在的很多求解r i c c a t i 型 矩阵方程的方法多为迭代法，这些方法的收敛性并不能得到保证。另外，在参数 化形式的解集中，参数的选择不仅此影响到结论的好坏，而且还会影响到问题的 可解性。这些不足之处，使用线性矩阵不等式的方法可以得到较好的解决。 2 基于线性矩阵不等式o m i ) 的只。控制 l m i 方法可以克服r i c c a f i 方法的上述种种不足，所以近年来受到了广泛的 关注。有关l m i 的基础知识见参考文献【8 】【1 1 】。以下直接给出基于l m 的 乙控 制问题的解。在式( 1 1 ) 中，以子空f a q k e r ( 【c ：d ：。】) 和k e r ( b ；d 乏 ) 中任意一 组基向量作为列向量构成矩阵n 。和n 。，则有下述结论： 系统( 1 1 ) 存在一个输出反馈也控制器，当且仅当存在对称正定矩阵x 和 y ，使得 。i 旷f b x 铟- i d 船。j j c。一。”：j 枷 吖嚣c i y7 - i 非o 。- j | 啪嵋邓n 枷 川- ，瞪净 式中的“ ”和“”分别表示式子左边的矩阵为负定和半j 下定。当以上亿 控制器存在条件得到满足时，则按照以下步骤设计所需的输出反馈日。控制器： ( 1 ) 求取满足上述( a ) ( c ) 式的矩阵x 和y ： m o n o 一阻卜墨 回 塑垩查兰竺竺! 垡笙苎 一 ( 2 ) 求满足x y = x 2 x ；的矩阵x r f ，其中的可以选成是矩阵x y 。1 的秩。可以采用奇异值分解的办法得到这样的矩阵x ：。用矩阵x 和x ：构造 。x 蟹 x c - 5 l x ：。：2 j ( 3 ) 将得到的矩阵x 。代入到矩阵不等式 h b + 艺k q + q 7 k 7 气 0 ，通过求解以下的一个线性矩阵不等式系统， 再根据上述步骤( 1 ) ( 3 ) ，可以得到( 1 1 ) 所示系统的输出反馈y 一次优乙控制器： 计7 f 瑚冲 计并弱- y i - y i 帅 。一j i 嚣 。：q 1i li - j 枷 m ，k 淞 上述结论的证明详见参考文献 7 8 。各线性矩阵不等式的计算可以使用相 应的m a f l a b 工具箱，其使用方法以及关于l m i 的基础知识在参考文献【1 1 1 中有 详细介绍。 1 1 3 控制器降阶问题的研究 在控制器设计的理论研究和实际应用中，有个均无法列避的要点就是控制器 的阶次问题。很多实际物理对象的建模需要大量的参数，精确地描述这类系统往 往导致高阶的状态空间实现。目前对于这些系统的控制理论，如鼠。或l q g 方 法，可以得出与被控系统阶次相当的高阶控制器。然而阶次越高，反馈控制器就 6 k o 阻一一 第一章绪论 越难以实现。另一方面，简单的线性控制器易于理解且需要的计算量小，便于实 现；由于在硬件中出错少和软件中缺陷少，故可靠性高。因此，无论何时，只要 最终性能损失保持在允许的范围内，就应当寻找低阶控制器。 对控制器降阶问题的系统研究始于1 9 8 4 年1 2 1 ，至今仍是研究热点之一。总 的来说，低阶控制器的设计通常有三种途径，如图1 5 所示： 图1 5 设计低阶控制器的三种途径 ( 1 ) 先固定控制器的结构，如p i 或p i d ，然后针对具体系统直接寻求优化解 1 1 3 1 一【1 6 l 。这一思想对一阶、二阶系统有很好的效果，而对于高阶或多变量系统仍 无理想的结果。针对这一问题，有研究人员提出了采用非线性的多目标规划的方 法“，如m i n - m a x ，但无法保证算法的收敛性。 ( 2 ) 通过先对被控模型降阶，再采用高级控制策略求解【1 2 】【18 】。【2 0 】，但由此而 得到的控制器对降阶前系统常常无法保证是最优化的。 ( 3 ) 先采用高级控制策略设计优化控制器，然后采用各种降阶算法获得次优 的低阶控制器【2 l l 1 2 5 】。这些降阶算法的应用往往有许多前提条件，且所得控制器 在绝对阶次上并不低。文献 6 阐述了模型降阶的平衡截断法和h a n k e l 范数逼近 法。对于某些类型的问题，特别是一些具有特殊数据结构的系统，上述方法能得 到相当好的结果；但是对于一般的模型降阶问题，其满意解仍然是悬而未决的问 题。 浙江大学硕士学位论文 1 2本文的研究工作 本文研究的是线性时不变系统的低阶控制器设计问题。采用上述第三种方 法，将高级控制策略设计所得的优化控制器进行降阶得到低阶控制器，并且把所 得到的闭环系统的性能考虑在内，使其满足设计指标要求。 1 2 1 本文的研究途径 本文的研究基于对系统的特征结构分析，通过对全阶控制器的各个模态用单 位阶跃输入进行检测，找出对输出影响较大的若干模态，由此确定降阶控制器传 递函数的分母。对降阶控制器传递函数分子的各项系数，使用最小二乘法或线性 二次规划法加以确定。 对于单输入单输出系统，使用最小二乘法约束降阶控制器与全阶控制器之间 的差异。在全阶控制器已经完成极点配置的前提下，从全阶控制器所组成的闭环 系统中选择期望极点，使用降阶控制器进行极点配置，相关的等式作为最小二乘 法问题的等式约束。 对于多输入多输出系统，使用二次线性规划来约束降阶控制器与全阶控制器 之间的差异。对全阶控制器所组成的闭环系统也进行特征结构分析，选择其中对 输出影响较大的模态作为期望特征结构，使用降阶控制器进行特征结构配置，相 关的等式作为线性二次规划问题的等式约束。 1 2 2 本文的研究意义 本文的研究意义是通过分析系统输出的决定因素以确定降阶系统的基本结 构，然后使用数学方法作进一步的优化。与现有控制器降阶方法的不同之处在于， 本文提出的方法不仅仅使降阶控制器与全阶控制器之间的差异尽可能地小，而且 还兼顾t n 入降阶控制器之后的闭坏系统性能，而且其性能指标也有定的选择 自由度。文中的一些设计实例表明，使用本文论述的方法得出的降阶控制器能够 达到相当良好的控制效果。 1 2 3 全文概貌 本文第二章介绍控制系统反馈结构的描述、系统特征结构分析与配置的相关 理论，它是本文所提出的控制器降阶方法的理论基础。第三章介绍单输入单输出 系统的控制器降阶，在此阐述基于系统特征结构分析和极点配置的控制器降阶实 第一章绪论 现途径，介绍如何使用最小二乘法进行控制器传递函数分子系数优化，推导其中 所需的矩阵和等式，通过解决该最小二乘法的问题以得到低阶控制器。第四章为 多输入多输出系统的控制器降阶，根据第二章的论述，给出线性二次规划问题的 二次性能指标和等式约束，着重推导系统在多输入多输出情况下其控制器的数学 表达式，进而得出该线性二次规划问题的标准形式。在以上两章中介绍了使用 m a t l a b 进行计算的有关函数，给出了用于文中所述问题的调用方法。第五章汽总 结，归纳了基于特征结构的控制器降阶的一般步骤。 9 第二章系统特征结构的相关理论 第二章系统特征结构的相关理论 2 1 矩阵的特征值和特征向量 2 1 。1 定义 定义2 1 设a c ，则把a 的特征多项式 p ( 五) = d e l ( 2 1 一a ) 的r 个根称为a 的特征值。这组根称为a 的谱，记为盯( a ) 。 定义2 2 若五o - ( a ) ，则称满足 a x = x x 的非零向量x c ”为a 的右特征向量；对偶地，称满足 y a = 2 y 的非零向量y c “为a 的左特征向量。 2 1 2 性质 定理2 1 若矩阵a 可对角化，即存在矩阵t c 以及五c ”，j - 1 ，2 ， ， 使 t a t = d i a g ( , t ，五，矗)( 2 1 ) 成立，则 ，五， 是a 的特征值，t 的列向量和t 1 的行向量分别是a 的右、 左特征向量。 证明：将( 2 1 ) 式两边分别左乘、右乘t 和t 1 即可得出定理的结论。 2 2 线性时不变系统 2 2 1 线性时不变系统的表达方式 考虑如下具有聍个状态和m 个输入，p 个输出的线性时不变系统： 1 0 浙江人学硕士学位论文 主= a x + b u ， 1 y = c x + d u 、7 其中x 是状态向量，y 是输出向量，u 是输入向量，a r ，b 酞“”， c 琏”d r 9 一。 本文考虑具有如下状态空间表达式的输出反馈； i c = a c x c + b c u c ， ( 2 3 1 y c = c 。x c + d c u r 、 a r 。啦，b e r 。9 ，c r ”。，d 碾”。9 采用输出反馈，即有u = y 。，y = n 。 2 2 2 时域输出表达式 对上述线性时不变系统，当初始时刻为t o ，初始状态为s ( t o ) 时，其输出为 y ( ，) = c e 4 p 一j ( ，0 ) + fc e 。一r b u ( f ) d r ( 2 4 ) 我们知道，若a 可对角化，即存在矩阵t c 以及丑，f = 1 ，2 ，行，使 t a t = d i a g ( ；i 1 ，五， ) ，则 e “：t e 4 7 00 0p 却0 ， ： 00p 却 将( 2 5 ) 代入( 2 4 ) ，并考虑到定理2 i ，就有 t 一。 ( 2 5 ) y ( ，) = 砉c ，x ( ，0 ) e 加) + 善nc t ，记b e a , 0 - r ) l t l ( r ) d r ( 2 6 ) 其中，f l 分别是a 的右、左特征向量。 2 - 3 系统特征结构分析与配置 2 3 1 系统特征结构分析 从式( 2 6 ) 可以看出，系统的时域输出由两部分组成：等式右边第一项表示由 第二章系统特征结构的相关理论 初始状态引起的自由运动：第二项表示由控制激励作用引起的强制运动，系统的 稳定状态由它决定。另外还可以看出系统的稳态响应由每组特征结构( ，；，) 所 对应的 r ，= e l ，t i ；bj ：p 。】u ( f ) d f ( f = 1 2 ，”) ( 2 7 ) 叠加而成，系统的输出与特征结构直接相关，面对输出影响相对较小的特征结构 被舍去时，系统的输出与原输出仍然具有相当程度的近似。当某一降阶系统包含 了原系统中对输出影响较大的几组特征结构时，其性能可望与原系统相近似，这 就达到了系统降阶的目的【2 6 l 。 实际上，各组特征结构对输出的影响与具体输入无关，它是系统本身的性质， 所以在计算( 2 7 ) 式的时候系统的输入可选为单位阶跃输入，b p a ( r ) = 1 。此外在 一般情况下，( 2 7 ) 式中取f 0 = 0 ，f = + m ，于是( 2 7 ) 式变为 r 。= 一c ；q 理( 2 8 ) 如果对各个输入输出通道均衡考虑，可以计算r ：i i r ；d 即r ：杰宝【r ；( w ) 】2 。 由于对不同的输入输出通道，每组特征结构产生的影响也不同，在有些情况下， 只考虑特征结构对某些通道的影响，对于一条通道，使用下式进行计算： = b c t 叫知- ，n ；h 如棚厶m c z 卸 式中c ( z ) 和b ( ，) 分别表示c 的第f 行和b 的第r 列。进一步，如果选择考察多条 通道，并在各通道之间有不同的侧重考虑时，计算中需要加上相应的权重函数， 此时 置= | - 毒喜喜矽c 驴弦t ，联r ) j c z 。， 其中是第r 个输入到第，个输出的权重函数。 系统特征结构分析是基于特征结构的控制器降阶方法的首要步骤，在第三章 和第四章将结合设计实例进行具体1 蜕明。 浙江大学硕士学位论文 2 3 2 系统特征结构配置 为讨论简单起见，不失一般性，l t q 假设系统( 2 2 ) q hd = 0 。在所关心的频 率值下，k 是常数矩阵，令v 为采用输出反馈u = k y 的闭环系统的右特征向量， 则有 【a + b k c ) 乇= 2 i v ，f _ 1 ，2 ，3 ( 2 1 1 ) 上式可化为 a - 捌= 。 b 式中z ，= k c v 不难看出 e 胎r 【a 一丑l b 】，即通过输出反馈获得的闭环系统的特征向 量包含于此零空间的前”行经过列线性延拓成的子空间m 中。由( 2 1 2 ) 得： v ，= - ( a 一五i ) b k l , ，( 2 1 3 ) 令n ，= 一( a 一 1 ) b ，由( 2 1 3 ) 得： v ，= n ，z ( 2 1 4 ) ( 2 1 4 ) 说明子空间m 由n ，的列线性延拓而成。但在一般情况下，期望的特征 向量并不包含于m 。此时最优的选择是找到m 中与期望特征向量距离最近的向 量作为新的期望特征向量。上述思想可用图2 3 作一个三维空问下形象化的示意 【2 7 】。 图2 3 期望特征向量在空间m 的投影 第二章系统特征结构的相关理论 关于k e r a 一五lb 】中的向量，有如下定理： 定理2 2 对于( 2 2 ) 所示的系统和( 2 3 ) 所示的输出反馈，考虑复数 和向量v 。， 其中 c ，v ，c ”，若存在向量w ，c ”使 a - 甜。 偿哟 成立，那么( ，v ，) 可由输出反馈k ( s ) 唯一确定，当且仅当 k ( 五) ( c v ，+ i ) w ，) = w i( 2 1 6 ) 证明：必要性：首先假设。= 。连接了输出反馈k = 乏爱 的闭环系统的 系统矩叫a + b c c b d f 斟脚h 叫嘲蜥闭繇统的特征卸 特征向量，则有 a + b 列al v 拍 l 。c，j ，j 。1 h j ”7 将上式展开如下： ( a + b d 。c ) v ，+ b e 。v 。= 4 v ，( 2 1 8 ) b ，c v ，+ a 。v 。= 五v 。( 2 1 9 ) 由( 2 1 9 ) 得： v 。= ( 犁一a 。) b c c v 。( 2 2 0 ) 代入( 2 1 8 ) 得- ：( a + b d 。c + b c 。( l a 。) b 。c ) v = v ，( 2 2 1 ) 即： ( a + b k ( a ) c ) v ，= 丑v ， ( 2 2 2 ) 定义 w ，= k ( 4 ) c v ， ( 2 2 3 ) 由( 2 2 2 ) 就可推得( 2 1 6 ) 。 现在考虑d 0 的情况。若定义 k ( ) = ( 1 一k ( ) d ) 1 k ( 元) ( 2 2 4 ) 则输出反馈k 与系统( a ，b ，c ，d ) 组成的闭环系统等价于输出反馈霞与系统 浙江大学硕上学位论文 ( a ，b ，c ) 组成的闭环系统。类似于( 2 2 3 ) ，此时将w ，定义为w ，= g ( 4 ) c v ，再把 ( 2 2 4 ) 代入，就有 k ( ) ( c v ，+ d w ，) = w ， ( 2 2 5 ) 充分性：若( 2 1 5 ) ( 2 2 5 ) b - t 2 0 - ，定义v 。= ( 4 1 一a 。) 。b 。c v ，则( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 成立，即 ( 2 1 7 ) 成立，于是( ，v ，) 被唯一确定，且此时【v ，v i c 】7 是闭环系统的特征向量。 证毕。 此定理的结果在第四章闭环系统的特征结构配置中用到。 第三章单输入单输出系统控制器降阶 第三章单输入单输出系统控制器降阶 3 1 问题的提出和转化 假设系统( 2 2 ) 中b 豫“1 ，c r “”，即它是一个单输入单输出系统。连接了 输出反馈控制器k 、的闭环系统如图3 1 所示，设该系统的降阶控制器阶次为目， 其传递函数具有如下形式： k 2 ( s ) = 筹，岬 b ， y 图3 1 单输入单输出系统的输出反馈控制器 该传递函数的确定分为两步： 1 根据第二章介绍的特征结构分析的方法，确定心分母各项系数，口l ，一，q q ； 2 在所考虑的一系列频率值上，用最小二乘法约束k 与x ，之间的差异；从全阶 控制器组成的闭环系统中选取合适的极点作为期望极点，由此得出与最小二乘法 相关的等式约束。求解此最小二乘法问题，得到k ：分子各项系数6 0 ，6 l ，b 。 下面对此进行具体说明。 3 2 降阶控制器的设计步骤 3 2 1 降阶控制器传递函数分母的确定 塑垩查堂堡兰垡堡茎一 设全阶控制器丘的一个最小实现如( 2 3 ) 所示，重写如下： 童c = a c i c + b c u c ， ( 3 2 ) y 。= c 。i 。+ d 。 其中a r 。，b r 川，c r h ，d 爬b d 计算r ，= c ；，b f 驴7 ) u ( r ) d r 的值，其中u ( f ) = 1 ，号，、飞是k t 的第个 左、右特征向量，t o = 0 ，r = 啪。此时足= 一c 写可b 。然后把墨特征值按照 各自对应的足值从大到小排列，选取p 个特征值作为k ：的极点。一般来说选取 前p 个特征值，但在有复数特征值的情况下，则视具体情况而定。下面举例说明。 例3 i 某单输入单输出系统的传递函数形式如下： y 一 一 甜 4 2 s 6 + 5 7 5 s 5 + 31 6 4 s 4 + 8 9 4 6 s 3 + j 7 + 1 5 + 4 0 2 9 s 6 + 9 8 。1 2 3 7 s 5 + 3 2 8 9 1 4 8 s 4 + 1 3 6 4 5 s 2 + 1 0 6 8 s + 3 4 0 6 6 1 3 3 1 3 1 s 3 + 6 1 9 4 7 0 2 s 2 + 3 0 0 4 6 2 5 s + 4 9 2 5 3 5 一个优化i i o k 的全阶输出反馈控制器传递函数形式为： 1 2 7 9 3 s 6 + 1 8 1 9 i s 5 + 1 0 5 9 i s 4 + 3 2 0 1 4 s 3 + 5 2 5 8 s 2 + 4 4 3 9 2 s + 】5 1 0 8 2一s7+35442s#+37392ss+18701s4+50574s3+75579s2+58722s+18 6 9 7 全阶控制器的特征值及对应的足值如表3 1 ： 表3 1 单输入单输出全阶控制器的特征值及对应的足值 特征值r ( 1 0 4 ) 一2 1 7 3 9 3 5 9 3 3 9 全阶控 1 0 9 6 8 + o 3 5 3 0 i3 0 6 7 3 1 8 7 6 + 0 6 9 1 9 i o 1 8 2 4 2 制器k l 一3 2 7 4 10 0 0 3 8 5 2 l 1 8 5 9 62 1 0 4 8 1 0 。” 各阶次的降阶控制器特征值选择如表3 2 第三章单输入单输出系统控制器降阶 表3 2 各阶次的降阶控制器特征值选择 k 2 的阶次k 2 特征值 2 】7 3 9 3 - 1 0 9 6 8 + 0 3 5 3 0 i 6 3 1 8 7 6 + 0 6 9 1 9 i 一3 2 7 4 1 2 1 7 3 9 3 5- 1 0 9 6 8 + 0 3 5 3 9 i 3 1 8 7 6 + o 6 9 1 9 i 2 1 7 3 9 3 4 1 0 9 6 8 + o 3 5 3 0 i 3 2 7 4 1 2 1 7 3 9 3 3 一1 0 9 6 8 + 0 3 5 3 0 i 2 1 7 3 9 3 2 3 2 7 4 1 l一2 1 7 3 9 3 从表中可以看出该控制器有复数特征值，因为每对共轭复数对应的r 值相 等，所以在表中只列出其中一个复数值。复特征值必须成对选取，否则得到的降 阶控制器的传递函数或者状态空间矩阵中将含有复数，导致控制器无法物理实 现，所以对于有些阶次的降阶控制器，其特征值的选取必须根据具体情况决定， 而不是简单截取墨的前p 个置较大的特征值。如表3 2 的第二列所示。 在选取了p 个特征值a ，p 2 ，尹。之后，展开 d ( s ) = ( s 另) ( 5 一p 2 ) - ( j p 。)( 3 - 3 ) 即得到降阶控器传递函数分母的各项系数口0 ，口，d ：，口口。 3 2 2 降阶控制器传递函数分子的确定 我们把降阶控制器传递函数分子的各项系数，6 l ，6 2 ，钆组成的列向量 6 0 岛 ： 作为目标向量，使用最小二乘法使降阶控制器与全阶控制器在一系列频率值 ( q ，q ，q ) 上的响应差异最小化。这罩的最小二乘法问题表述如下： 浙江人学硕士学位论文 哪n 扣x d “a e q l = b 。 ( 3 4 ) 中i i c x d ：窆 足：( ，q ) 一k ( 弛) 】2 ，因为k ：( 椭) 可以写成： 砌删= i1 丽焉一 6 0 6 l 式中d ( j e ) j ) 含义同式( 3 3 ) 。所以( 3 4 ) 中c ，i 和t l 的表达式为： c = 1 d ( ，q ) l d ( j r a 2 ) s d ( - ，码) 5 d ( _ ，哆) d ( j r a , ) d ( j r a ) d ( j e o , ) 其中c c 7 。q ，x c q ，d c 7 。 6 0 岛 ； ，d = k ( _ ，q ) k ( j t a 2 ) k ( ，q ) ( 3 5 ) 下面推导( 3 4 ) 的等式约束a 。x = b ，中a ，和b ，的形式，设开环系统的传递 函数形式为： y = g u ( 3 6 ) 采用图3 1 所示的输出反馈，即z ，= 一k 2 y ，且降阶控制器传递函数形式为 毕箫则有： g y 2 而” ( 3 7 ) 从( 3 7 ) 可以看出闭环系统的极点由1 + g k 2 = o 决定。设s = ，啦是闭环系统的 一个极点，则有 1 9 生懒生譬志南 第三章单输入单输出系统控制嚣降阶 g c 删 击器器 6 0 6 l = 一1 ( 3 8 ) 推广到一般情况，设置，j ：，s p 为需要配置的p 个极点，这些极点从全阶控 制器所组成的闭环系统中选取。0 8 ) 可改写为 g ( 圳志t 上，iu j g ( 鹏) 志 i “j ； g ( 以) 志 ，i ，c 口。， 在此基础上， g ( 问) 去 g ( 鹏) 志 刚q ，盎刚q ，焉q 崩，焉 嗽，蒜g c 鹏，糕g c 鹏，踹性 g c 鹏，南g c 鹏，筠g c 心，器卜 g r j a b ) 地 、d ( j 0 4 ) g ( 池) 生一 d ( j e o z ) g ( 尬) _ ! 亟丘 ”d ( 问) g ( 础) ! 丝) 二 d ( j o 如) g ( ，以) 垡进 。d ( ，璐) g ( ，纰) 照卫 。d ( j e o a ) 由上式可得( 3 4 ) 的等式约束a e q x = 屯中， 厶= g ( 刖豸丽 o ( j “1 l “d ( j e 0 2 ) g ( j c o ) 上一 d ( ，q ) j g c 川矗淼 q 脚高备 刚啤) 南 0 g ( 池) 垫监 。d ( j 0 4 ) g ( 础) 燮 d ( 鹏) 屯 屯 ! 气 也。= 1 1 ： 1 k l ( o ) 1 1 ： 1 k ，( o ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 至此，( 3 4 ) 中的最小二乘法问题得以确定。该问题的计算，可以使用m a t l a b 函数l s q l i n 。它所解决的问题描述如下： 啤n 劫c x d 趾a x _ 1 ，即它是一个多输入多输出系统。 考虑图1 3 所示的标准以最优控制问题，将该图重画如图4 1 。其中系统g 的状态空间实现如式( 4 1 ) 所示。 图4 1 标准坟最优控制问题 为了下文叙