（应用数学专业论文）几类函数空间上算子性质的讨论.pdf

摘要 摘要 函数空间上的复合算子由于其与函数论的天然联系，这些年来越来越受到人 们的关注。事实上，许多函数论的问题都可以在复合算子中找到相对应的问题， 从而可以将算子理论中的方法技巧应用到相应的函数论问题。 人们主要对两种区域上的两类函数空间进行了讨论，一种是复平面中的单位 圆盘上h a r d y 空间，另一种是c ”单位球上的h a r d y 空间。对h a r d y 空间上复合算 子的研究取得了很多重要的结果，但在单位球上由于多复变函数结构的复杂性， 相应的研究也比单位圆盘上的情形困难。伴随着函数空间的讨论，复合算子理论 的研究也出现了很多重要的结果，例如对b l o c h 空间，h a r d y 空间上复合算予的研 究。对于复合算子的推广除了加权复合算子外，也包括对空间的推广，这些推广 都伴随着一些新的问题和新方法的出现。在复合算子的研究中算子的有界性，紧 性是研究的重点。 本论文正是针对复合算子的有界性与紧性进行了较详细的讨论，通过本文的 讨论，我们弄清了这几类函数空间上复合算子有界性与紧性的刻划，从而也加深 了我们对这些复合算子的理解。主要内容为： 1 本文以c a r l e s o n 测度为工具对映射到e ( p ，g ) 空间中复合算子紧性的讨论。 本文首先证明了，复合算子c 。为紧算子的充要条件，在此基础上通过对引入的 b o r e l 测度的讨论，找到了利用紧c a r l e s o n 测度的性质作为复合算子c 。紧性的表示 特征。 2 对h a r d y 空间上的复合算子c 。熟知其可逆性，f r e 曲0 1 m 性等价于符号妒是 圆盘上的m o b i u s 变换。本文对。空间上复合算子c 。的可逆性，f r e d h 0 1 m 性进行 了讨论，文中证明了c 。具有可逆性，f r e d h o l m 性时p 是圆盘上的m o b i u s 变换。 3 在本文的最后，文中考虑了一类小加权b 1 0 c h 空间上复合算子的有界性与 紧性。为了得到复合算子c 。有界和紧的刻划，文中分别建立了有界集和相对紧子 集的等价刻划，在此基础上给出了该空间上复合算子为有界算子和紧算子的等价 条件。 关键词：复合算子，c a r l e s o n 测度，有界算子，紧眭算子 电子科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ec o m p o s i t i o no p e r a t o ri sd e f m e do n 恤向n c t i o l l a ls p a c e i th a sac l o s e r e l a t i o nw i t hm n c t i o m lt l l e o r y _ h 1f a c t ，al o to fp r o b l e m si nt 1 1 e 加c t i o n a l 廿1 e o r ya r e c o r r e s p o n d i i l gt om ep r o b l e m si n 也ec o m p o s i t i o no p e r a t o r a1 0 to fi 1 1 v e s t i g a t i o n sf o c u so nt 1 1 et w ok i n d so ff 证l c t i o n a ls p a c e s o n ef 1 1 n c t i o n a l s p a c ei sh a r d ys p a c e ，w h i c hi sd e f l n e do nm ec o m p l e xp l a n e ，m eo m e ri sh a r d ys p a c e b u t i sd e f i n e do n t h eb a l l i n m ec ”a n d t h e r ea r e m a n yr e s u h s i n 血ec ”，i t i s m o r e d i m c u l tt oo b t a i nt l l e s er c s u n s a 耐t h e r ea r eal o to fi m p o r t a tr e s l l l t si nn l e c o m p o s i t i o no p e r a t o r ，s u c ha st h ec o i n p o s i t i o no p e r a t o r sw m c ha r ed e f m e do nh a r d y s p a c ea i l db 1 0 c hs p a c e t h eg e n e r a h 龃t i o no fc o m p o s i t i o no p e r a t o r ，o n ei sm ew e i g h t e d c o m p o s i t i o no p e r a t o r ，t h eo m e ri st h eg e n e r a l i z a t i o no ft h e 劬c t i o n a ls p a c e t h e r ea r c n e wt e c h n i q u e sa n dp r o b l e m s i nt 1 1 ei n v e s t i g a t i o n s ，t h eb o u n d e d r l e s s ，c o m p a c t n e s so f t l l ec o m p o s i t i o no p e r a t o rqi sv e r yi i n p o n a m i nm ea n i c l e ，w ei n v e s t i g a t et 1 1 eb o l l l l d e d n e s s ，c o m p a c 恤e s so f 也ec o i n p o s i t i o n o p e r a t o rei nd e t a i l b yt l l ei n v e s t i g a t i o n ，w ek n o wt l l e c h a r a c t e r i s t i ca b o m b o l l l l d e d n e s s ，c o m p a c 恤e s so f t l l ec o i n p o s 试o no p e r a t o r t h em a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： 1 w eu s et h ct o o lo fc a d e s o nm e a s u r e b y 也ec a r l e s o nm e a s l l r e ，w ei n v e s t i g a t e m ec o m p a c t l l e s so f t 1 ec o m p o s i t i o n0 p e m t o rew 1 1 i c hi sm a p p e di m oe o ，g ) s p a c e a tf i r s t ，w ep r o v eam e o r e mw 1 1 i c hi sac h a r a c t e r i s t i ca b o mt l l ec o m p a c 血e s so fq w c d i s c u s st 1 1 ei n d u c e db o r e lm e a s u r e ，w eu s e 血ep r o p e r t yo fc o n l p a c tc a r l e s o nm e a s u r et o c h a r a c t e r i s em ec o l p a c t n e s sa _ b o u tt 1 1 ec o m p o s i t i o n 叩e r a t o r 巴 2 i nh a r d ys p a c e ，n l er e v e r s i b j l 咄f r e d l l 0 1 n l n e s so fc o m p o s i t i o n 叩e r a t o rei s e q u i v a l e n tt o 廿1 es y m b o l 妒i sam o b i u s 缸l c t i o no nt h ed i s kw bi n v e s d g a _ t et h e p r o b l e mo nt h e 尾s p a c e ，、ep m v em er c v e r s i b i l i f r e d h 0 1 m n c s so fc o m p o s m o n o p e r a t o re i se q u i v a l e m t ot h es y m b o l 妒i sa m o b i u s c t i o n o n t h ed i s k 3 a tl a s t ，w ei n v e s t i g a t et 1 1 eb o u l l d e d l l e s sa 1 1 dc o m p a c 伽e s so f o p e r a t o r 巴，w l l i c h i sd e f i n e do na1 i n l ew e i 曲t e db 1 0 c hs p a c e w eg i v eac h a r a c t e r i s t i ca b o u tt l l eb o u n d e d s e ta n dr e l a t i v e l yc o m p a c ts e t t h e nw eg i v e 也ec k 衄c t e r i s t i ca b o u t 也eb o u n d e d r l e s s ， c o m p a c t n e s so f t h ec o m p o s i t i o no p e r a t o r i i a b s t r a c t k e y w o r d ：c o m p o s i t i o no p e r a t o r ，0 a d e s o nm e a s u r e ，b o u n d e do p e r a t o r ，c o n l p a c t o p e r a t o r i i i 主要符号表 d 日( d ) c 4 群b 主要符号表 复平面的中的单位圆盘 d 上解析函数全体集合 表正常数，规定其在不同位置可取不同的值 若爿z b 是指存在正常数c l 和c ：，使 c j 4 占c ：一 相关重要的定义 定义1 【2 0 】设z 与y 是b a l l a c h 空间，是从工到y 的线性算子。称丁是有界 的如果存在常数c 使得 l i 孤l l ，c 忙忆 定义2 【2 0 设与y 是b a n a c h 空间，丁是从x 到y 的线性算子，设“是z 中 的单位球。称r 是紧算子如果 丁( “) 是y 中的紧子集 定义3 【2 0 设j 与y 是b a n a c h 空间，r 是从盖到y 的线性算子。称r 是 胁d h o l i n 算子如果存在s ，4 ，4 ，其中s 是工到y 的有界线性算子，4 和4 分 别是x 与】，上的紧算子，且有 s t = i x a t s = i y 一如 其中，分别表示与y 上的单位算子。 我们有重要的结论【2 0 】： ( 1 ) 若线性算子丁为f r e d h o l m 算子则算子丁的核空间维数为有限，即此时 d i m k e r ( r ) o ，令 m ) ：艺夕( 弦n 川；：艺胁) r 记h ( d ) = ( 厂日( d ) ；| | 厂虬 o ，g o ，p + g l ，d 是复平面中的单位圆盘，m 表示d 上的规范化 l e b e s g u 测度，即m ( d ) 2 l 。对任意aed ，定义d 上的m 0 b i u s 变化为a a ( z ) = 兰薏 规定妒( z ) ：d _ d ，且妒( z ) 日( d ) 在文 1 5 中定义了： e ( b g ) = 厂日( d o 曾l ，( ：) 尸( 1 _ | ：2 ) ”( 1 一l 吒1 2 ) 9 咖j o ) 1 ，( z ) 日( d ) ，则以下条件等价： ( 1 ) 巴卢斗e ( p ，g ) 是有界的 ( 2 ) d 声知，( 力是有界的g c 打把j o ，z 测度 本文尝试找到一个关于c a r i e s o n 测度的刻划，利用文 1 5 中引入的b o r e l 测 度，对该测度的c a r l e s o n 性质和巴( ，) = 厂。p 为紧算子的关系进行了讨论。 2 2 复合算子c m 的紧性 本节证明了一个e 为紧算子的充要条件，在此基础上通过对引入b o r e l 测度 的讨论，我们找到了利用紧c 列e s o n 测度的性质作为复合算子巴紧性的表示特 征。 定理2 2 设复合算子巴：斗e ( p ，g ) ，则巴为紧算子的充要条件是：对 任意在上有界，且在d 内内闭一致收敛于零的序列 z ) 帏圳) _ o ( ”一m ) 证明：必要性设巴为紧算子， 工 在上有界且在d 内内闭一致收敛于零。 则由紧算子定义， c ，z ) 有收敛子列，不妨设l l c ，上g k 。) _ o ( 聆_ 争。) 因为妒为d 上的解析自映射，工+ ( z ) 在d 内内闭一致收敛于零，则z 。p 在d 内也内闭一致收敛于零。 设世为d 上的有界闭子集，b = z d ；i z 喀占，o j 1 考虑到任意k 总存在 j 使得k c b ，所以下面成立： s u p0 工。( 妒( 三) ) 妒( z ) r ( 1 一lz 1 2 ) - 2 ( 1 一lc o l 2 ) 4c 丙卵( z ) 故 s u pf ( p ( z ) ) 妒( z ) l ，( 1 一i z l 2 ) 9 2 ( 1 一i o 二j 2 ) a 西”( z ) a e 风；。 第二章映入e ( bg ) 空间的复合算子性质的讨论 1 i ms u pl l 工。( 妒( z ) ) 妒。( z ) 【9 ( 1 1 2 1 2 ) 9 - 2 ( 1 1o o1 2 ) 9 西”( z ) = o - + o 口f 岍 由足的任意性有g = o 充分性设“为中的单位球，( z 为单位球“上的任意序列。 因为f | 工忆1 ，由文 2 】可知 i 厂( z ) f ( 1 0 9 2 ) 一1l o g ( 2 ( 1 一 z1 2 ) 一1 ) | | ，l b 所以( 工) 在d 中的有界闭子集k 上一致有界，即 ) 在d 内内闭一致有界a 根据 m o n t e l 定理， 存在子列在d 内内闭一致收敛于g ( z ) ，而且g ( z ) 日( d ) 不失一般性，假设工( z ) 斗g ( z ) ( 此处收敛为内闭一致收敛，且月一m ) 则z ( z ) 在d 中内闭一致收敛于g ( z ) 由于 i g ( o ) 卜( 1 一) | g t ( z ) 卜憋慨( o ) i + ( 1 一) l 五( ：) i ) 注意到8 以1 ，所以| | g ( = ) 1 显然序列 z ( z ) 一g ( z ) 在上有界且内闭一致 收敛于零。 由假设有 墅帏工一q g k 舯= o 即此时q 是紧算子。 证毕 王茂发m 和刘培德”，”对加权h a r d y 空间和面积型n e v a n l i n n a 类上的复合算 子的有界性和紧性进行了讨论，取得了以下结果： 定理2 3 【5 】对0 p 。，1 叩 。，国日”且妒是一个单位圆盘d 上的解析自 映射，则对如下算子 国巴：日9 寸日”国q ，( z ) = 脚( z ) 厂( 妒( z ) ) 是个紧加权复合算子当且仅当。( 妒) 一1 是一个紧口一c a r l e s o n 测度 定理2 4 【9 】设1 o ， 5 ：( z ) = = n 严d ；1 一矗r 1 ，ir 一目喀m ， 满足 瓣登学一 叶o ：e 南矗” 定义2 6 【1 9 】设是d 上的正有限b o r e l 测度，称是d 上的紧帮阶c a n e s o n 测度，如果对任意o o ，s ( f ，占) = z d ；iz f l 占) ，满足 1 i m s u d 些f 兰! 主! 型：o 5 呻o f 。南万7 以下我们用定义2 5 引入c a r l e s o n 测度。为了给出符号妒所诱导出的测度的表 示特征，我们先证明以下的引理。 引理2 7 设o g ( o 。，是d 上的正有限b o r e l 测度，则是一个g 阶的紧 c 盯1 e s 叫测度的充要条件为 川骁烈卷卜。 川_ 1 舵o ! 1 。一，l 证明：充分性设 咒( p 8 ) = 国= r p 。d ，1 一厅r 0 ，当 o 8 磊时，对一切：a 。有丛爱掣 州 假设 m = 南 电子科技大学硕士学位论文 所以 设口= 旭d ，j = 1 一r 不妨设占 瓯且万 丢，所以，= l 除号 记q = z d ；1 1 一z l 瓯) ，则必存在自然数，满足2 “1 艿4 磊 2 “j 令 巨= z d ；i z g ”i 2 。d ，_ j = 1 ，2 ， 由三角不等式和l z 一口i | 1 一z 口i ，所以对任意z q 1 1 一z p 一墙阳1 一口p 一凰n 1 1 一z 口j i 2 醅 显然当z e 局时 q c 毛= ( z d ；1 1 一朋。8i 4 磊 c 尝 ； ， 1 1 一口z 1 1 + 4 d 当z e 最耳一( j j = 2 ，3 ，) 时，1 1 一口z 肛三2 “占- 事实上，由于1 1 一e “岛z 巨2 “1 d ，所以 d 1 1 1 一e 一岛z l 2 - 1 j l 口障丢2 。一j 注意到i ，p 一喘zj r 及复数的几何意义，所以 l 卜厅1 岛z 附州一碗z i 丢2 “d 嘎c 疋。d ( 8 峨) = z = r p 。d ；1 2 2 d ， 1 ，l f 一岛i 2 2 占) 而2 占 8 磊( 七= 1 ，2 ，) ，所以( 晟) 州( 2 2 j ) 9 于是 ( 兽卜( 兽卜剐蒜卜 注意到( 2 1 ) ，z e ，1 1 一二z 2 。占z ，可得 第二章映入e ( p ，g ) 空间的复合算子性质的讨论 又 从而 ( 兽卜钮。 卷卜c 州薹击 。出兽卜。耵州哪 剥9 肥， 刮兽卜 为了刻划复合算予的有界性，l i u 1 5 1 引入以下测度 其中g ( z ，口) ；l o gj 上竺 口一z l i u 得到了以下的定理： 定理2 8 1 5 1 复合算子q ：卢_ e ( b g ) ，则巴为有界算子当且仅当 d 铝。( z ) 是g 阶的有界c a r l e s o n 测度。 利用上面引理2 7 的结论，我们可以得到下面的定理。 证毕。 定理2 9 设复合算子q ：卢_ e ( p ，g ) ，则e 为紧算子的充分条件是 d 群。0 ) 是曰阶紧c a d e s o n 测度。 证明：假设 五 是在上有界，且在圆盘上内闭一致收敛于，的序列，不失一 般性的可以假设，= n 设见= z d ；l z 峰d ，o 占 o ，当i 口险1 一磊时 。“卷卜。 f 另一施挪- 刮，由 卷 9 的积眭和积分的绝对胀陛，当 占一l 时如下成立 所以当万斗1 时 攀。“蒜卜。专。“。向1 1 1 一船1 2 j 。1 结合见上的情形的讨论，我们有 i l q 五恢，m o ，( _ j _ 。o ) 由定理2 2 即知巴为紧算子a 证毕。 呻 小成 等 ，她 器 第二章映入e ( p ，空间的复合算子性质的讨论 注： 在定义2 6 给出c a r i e s o n 测度的条件下，我们可以证明定理2 9 中d ；届g ( z ) 是 g 阶紧c a d e s o n 测度是必要的。 事实上，若d ；，p 口( z ) 不是g 阶紧c a r l e s o n 测度，则存在皖斗o ，氕a d 有 选取如下函数列与点列 五( 2 ) = 。( s 峨，壤) ) 6 c ，= ( 1 一瓯2 9 吲2 9 ) 五，七 1 一z ( 1 一皖) 氕 不难看出五( z ) 在卢范数下一致有界，且以( z ) 在d 内内闭一致收敛于零，由 此可以产生一个矛盾于定理2 _ 2 的事实。 所以这使我们考虑，定理2 9 中碱。( ：) 是g 阶紧c a r l e s o n 测度可能不仅充 分而且必要。显然若能说明上面两种定义下的c a r l e s o n 测度是等价的，由上面的 分析可知该猜测确实成立。 电子科技大学硕士学位论文 第三章加权bi o c h 空间上算子性质的讨论 3 1 p b ，0 如空间的讨论 如果，( z ) 在d 内解析且满足 s u p l 厂( z ) l ( 1 一iz 1 2 ) 。o ，o p 。0 ：e 9 则称厂( z ) 为p b 1 0 c h 函数，全体p b l o c h 函数的集合记为尾 即 成= ，日( d ) ；s u p l 八z ) i ( 1 一2 ) g o z e d 规定 | | 厂ij 砟司，( o ) + s “p f ，。( z ) j ( 1 一2 1 2 ) 9 ：e 廿 若，( z ) 还满足 l i l 已i 厂( z ) f ( 1 一i z f 2 ) 9 = o ，o p c 。 l l 则称，( z ) 为小p b 1 0 c h 函数。称小p b l o c h 函数的集合为小p b 1 0 c h 空间，记 小p b 1 0 c h 空间为风 显然当p = 1 时，辟即为普通意义的b l o c h 空间，局，也为通常意义下的小 b l o c h 空间当p = o 时，小b l o c h 空间由零函数构成，对该空间的讨论是平凡的。 m a d i g a n 与m a t l e s o 讨论了d 上的l i p s c h i t z 空间，b 1 0 c h 空间和小b l o c h 空间 上复合算子q 的有界性与紧性问题。他们证明了巴在b l o c h 空间总是有界的，q 在小b i o c h 空间上等价于p 0 ) 在小b l o c h 空间上。 史济怀与罗罗在文 1 3 ， 1 4 里将b l o c h 空间结论推广到了c ”中的齐性域上。 张学军在文【2 】中讨论了p b l o c h 空间上复合算子的有界性与紧性，并且得到了刻 划复合算子为有界或紧的等价条件。 徐辉明和刘太顺在文 1 里讨论了多圆柱上不同b l o c h 型空间上的加权复合算 子，近来张太忠讨论了超球上的b l o c h 空间上的有界加权复合算子。对b l o c h 空问 的研究正是沿着从低维到高维以及赋以不同权函数的方向进行讨论的，可以想到 的是对b 1 0 c h 空间的研究是不是可以推广到流形上。 1 4 第三章加权b 1 0 c h 空间上算子性质的讨论 定理3 1 设巴为日2 ( d ) 上的复合算子且妒日( d ) ，则下列条件等价： ( 1 ) 巴为可逆算子； ( 2 ) 口为d 上的m o b i u s 变化； ( 3 ) 巴为f r e d h o l m 算子； 定理3 2 设q 岛呻岛是一个复合算子，妒日( d ) ，且o p m ，则下列 条件等价： ( i ) q 为可逆算子： ( 2 ) 驴为d 上的m o b i u s 变化： ( 3 ) 巴为f r e d h 0 1 i n 算子： 证明：设以上的计值泛函为疋( ，) = 厂( z ) ，由文 2 知以下不等式成立： i 厂( 刁f ( 2 一p ) ( 1 一p ) 。f f 厂4 岛，o p 1 显然e ( ) = ，( z ) 为以上的连续线性泛函。 ( 2 ) ( 1 ) 显然矽为d 上的m o b i u s 变化时，巴为可逆算子。 ( 1 ) j ( 3 ) 若q 为可逆算子，则由f r e d l l 0 1 m 算子的定义知道( 3 ) 成立。 ( 3 ) 等( 2 ) 显然p 不是常值函数，否则若p = c ( c 为常数) ，则由复合算子 的定义不难知道 ( z c ) ” k e r q 但显然d i m ( z c ) ” = o 。，即q 核空间的维数无 穷大，这与巴为f r e d h 0 1 m 算子相矛盾。 下证驴为单射。 假定存在墨d ，乞d 满足毛乞，且使得p ( z 。) = 伊( 乇) ，则可以分别取4 ，乇 的邻域“，v ，满足妒 ) n 妒( v ) 为开集，这由解析映射的保域性可以保证。 取互异点列 之 “，( ) v ，满足妒( 乏) = 妒( ) 记e 为q 的共轭算子，注意 到e 也是f r e d l l o l m 算子，且有 q ( 力2k ( ，。妒) 2 巧( ) ( 厂) 电子科技大学硕士学位论文 所以q 。巧( ) ，同理可证c ：麓2 巧( 毒) 即 一) k e r c ：，但d i m 峨一户o 。，这与q 为f r c d h 0 1 m 算子矛盾。 所以妒为单射，只需证妒为满射。 否则存在乜) d ，满足当i 乙l _ 1 时，p ( 乙) 斗气d n 却( d ) ，( n m ) 对任意j r 乓，如下成立： c t ；k 【) 2 k p ( ) ( _ ，) 2 ( 妒( 毛 厂( p ( 毛) ) ，( 如) ， ) 厂( 毛) = 氏( ，) 所以在岛对偶空间的弱+ 拓扑意义下k ( 。) _ 氏，由此弓( 。) 一致有界。 我们假设为岛对偶空间的范数。 令吃：寺由k 范数的定义，容易知道。吃j f b 。，d 毛l 斗1 ) ，所以 令吃2 丽萄由k 范数的定义，容易知道0 吃j f 一。，( j 毛l 斗1 ) ，所以 | | 吃1 | 斗o ，0 呻。) 由复合算子的定义有吃= 篙，又因为q 为f r e d l l 。l n l 算子，所以q 为 f r e d h o l m 算子。 由f r e d l l o l m 算子的定义，存在算子j ，七，满足j e = 七+ ，且j 为有界算子， 七为紧算子，为单位算子。 由七为紧鼾则 南) 存在收敛的狲不失一舭设该子列就是本身。 假定南枷斯一) ，显州h ，且南一姒一咄 另一方面容易知道南翻如一， 事实上，由a l a o g l u 定理口0 1 知该w + 极限存在。特别地，取，( z ) = z ，则有 第三章加权b 1 0 c h 空间上算子性质的讨论 南( 加) 这与1 1 厅l 1 相矛盾。这就证明了( 3 ) j ( 2 ) 3 2 一类小加权p b l o c h 空间的讨论 设 = ，日c 观磐c - 七门。g 高朱l 八z ，陋) 对任意，蜀。 川d 厂( o ) i + 粤( 1 十n l o g 石丰雨i 八z ) 则在此定义下旦。成为b a n a c h 空间a 在文 6 】中定义了小丑。空间 规定范数 。= ，；群，巾门- 。s 击i 八圳= 。) 川岛。引( 吲十霉( 1 巾门l 。g 志1 他) 证毕。 则岛，l o 。是昼。的范数意义下的闭子空间。 王淑石，胡璋剑在文【6 中讨论了鼠如。空间上复合算子的有界性与紧性，得到了 岛j o 。空间上刻划复合算子有界性与紧性的等价条件。 谭海鸥在文 1 7 中考查了以下空间： 甏= ，h ( d ) ；翌( 巾阳g 志l 八圳 1 j 定义范数 川2 粤( 1 一1 。g 石鬲i ，( 2 ) 。o 她 ：e d t l iz lj 下面首先说明，在雕，。的定义下此空间构成一个完备赋范空间。 定理3 3 。构成一个b a n a c h 空间 证明：显然只需证明该定义下的范数是完备的。 假设序列 五) 为。中的基本列，为证明它的完备性需证明存在g ( z ) ，使得 l l 五( z ) 一g ( z ) | | 斗o ，( 七一。0 ) 设d 珐的定义同前，此时因为 五 为基本列再由范数的定义。 可知 。( z ) ) 在b 里一致有界，由占的任意性可知 ，。( z ) ) 在圆盘d 内闭一致 有界。 由m o n t e l 定理，存在 ( z ) h ( d ) ，使得 厂。( z ) ) 内闭一致收敛于矗( z ) 。设 ( z ) 的原函数为g ( ：) 由于 五 为基本列，对任意占存在o ，使得当刀，肌0 时 ：船。( 1 一9 l 。8 i 赢| ，j ( z ) 一几( 2 ) l 占 ：e d 岛u lz | ) 令卅一，所以 ：器1 一9 1 。8 石希l ，一( 2 ) 一矗( 2 ) l 5z e d 巩l r l2 j 考虑到b 上收敛的一致性，所以 j | 五( z ) 一g ( z ) | | 吼。斗o ，( 尼_ o 。) 显然： 第三章塑壑! 垫! ! 窒塑占兰王竺堕堕塑笙 辫一g 卉搀) o 即瑶l o g 按上述定义的范数构成一个b 锄c h 空间。 证毕。 在讨论复合算子的有界性与紧性之前，还需要说明能诱导出磁i 。g 空间之间复 合算子的p 存在。 定理3 4 若妒甄。，且 印兰竺：! 毒腆水。m = s u p e ；卜一i 伊【z j l o ，存在o y 1 ，使得y 【l 1 时， ( 1 一) 9 l 。g ( 音奔) i 厂。( ) l 云 令m ：s u p i ， ) i ，由于p 甄。，故存在o 刁 1 ，使叩 lz 1 时 l i s ， 一 ( 1 一g ( 南) z ) l 寺 当7 7 叫z 1 1 时，若l 妒( z ) 峰y ，则 ( 1 七| 2 ) g 南旧( 圳邓巾n g 南i ，( 北) ) | | p ( z ) i “ 若l 妒( z ) p y ，则 ( 1 中n g 南旧( 圳 ：兰差阿m 却b ，。s 斋l 八北， ( 1 一忡) 2 ) 1 。8 而衙 _ 叭叫 m 三：s 电子科技大学硕士学位论文 即p 诱导出了雕。空间之间的复合算子q 证毕。 特别的，厂( z ) = z 便可以诱导出上述空间的一个复合算子。 对定理3 4 中的复合算子巴有如下的一些结论。 定理3 5 设复合算子q ：吼。呻雕，o g ，妒是圆盘上的解析自映射，则q 为有 界算子的充要条件为 s u p ：e d ( 1 _ 2 。g 击 ( 1 _ m 柏q 。8 玎舞 妒( z ) i 0 。 且妒粥o g s 叩( 1 一iz 1 2 ) 9 1 0 9 南( 厂。p ) + ( z ) = d l l z i ：翌罴罴至阿m 巾门。去l 八北， = s u p 上_ = 一lp l 三jl l ip t z ji ) l o g _ ? 了1 ，l 妒t z j “。( 1 一i 妒( z ) 1 2 ) 91 。g i ：i i 衙 1 一i 妒。2 i 磐( 1 一g 卉l ( ，。妒) 俐芑擎( 1 一iz 岬。g 卉i 八z ) i 必要性设q ：蹈。斗磁】0 9 为有界复合算子，构造函数列： ( 1 ) 任意国d ，兀( z ) 瑶l o g ： ( 2 ) 兀( z ) 关于。的范数一致有界； 第三章加权b 1 0 c h 空间上算子性质的讨论 骝羔差拶陋掣巾门伽击协m 2 5 。( 1 一l 尹( z ) 1 2 ) 1 。g 。i 二i 。i ；i f 。5 。1 4 ”。 1 一i2 i 我们选择厶( z ) 作为检验函数，由性质( 2 ) ，( 3 ) 与复合算子的有界性定义可知 。叩兰竺：! 耷琳 s u p l 一l 缈l zj l “d ( 1 - 旧( z ) | 2 r1 0 9 再舞 最后，考虑( z ) = z ，显然厂( ：) n 。，所以p 瑶l o g 证毕。 引理3 6 设口是b 缸。的子集，则口是璐。的相对紧子集的充要条件是b 在范 数k 下有界，且 u j 牌船1 屯m 。g 者i ，( 圳= 证明：必要性假设丑是i 。g 的相对紧子集。由相对紧子集的性质，曰的范数 闭包云存在要网，最后由网和。的定义不难知道： 糌溜1 一lz m 。g 卉揪z ) 印 充分性设) 为曰中的序列，只需找到 五 的一个收敛的子列。由文 2 引理 2 3 的方法，可知( 正) 在d 中内闭一致有界。由m 0 1 1 t e l 定理存在，使得厶内闭一 致收敛到，此时，在d 中解析。由假设条件不难得到 船( 1 - q 。g 卉l 八圳_ 0 又由于： 憋| j 厶一州= 舰四( 1 一2 ) g 击l 厶( z ) 一。( = ) 2 1 电子科技大学硕士学位论文 船( 1 巾n g 南i 八圳= 。 再由定理中的假设有 将器1 七门g 卉i 工t ( 驯= o 现在我们定义：珐= f z d ；i z 峰j ，o d o ，存在七氏，满足 8 鼍( 1 一) 9 i o g r 乏下l 矗( z ) 一，( z ) i o ，存在o 0 ，存在自然数，当七时 磐( 1 一) 9 l 。g 击慨( ：) 一八圳 占距dl lz l 综上可知，! i m i i 工。一，峙= o p _ + 衄 ( 3 一1 ) 定理3 7 设q 是。到自身的复合算子，妒是圆盘上的解析自映射，则q 为紧算子的充要条件为： 熙! 竺生鞋桫即。 ”“( 1 叫烈圳2 r l o g 而奔1 4 ” 固 氟 跸 第三章加权b l o c h 空间上算子性质的讨论 由。空间中范数的定义有 i i q ( 剧i 峨。3 哿( 1 一) 1 。g 南l ( 厂。妒) 。( 圳 邯 z e dl i zj - i ( 1 叫引2 r1 0 9 卉| ( 厂o 。) | ：罴罴至桫m 巾门g 斋l 八舴， = _ l _ 一lp ( z ) l ( 1 一l 妒【z jj ) l o g 万l ，( 妒( z ( 1 一) m 。8 斋 旧_ 川 !弛_!：!二!璋i妒(：)。，(：)“ l i m 二_ l ；毒一i 舻( z ) i = 0 ，厂( = ) “ k 卜+ l ( 卜旧1 2 o g 斋 l l 妒i zj i 所以 脚溜1 一g 卉l q l ( ，) ( z ) o 由引理3 6 知q 为紧算子。 必要性若q 为紧算子，选取定理3 5 中的函数列 无( z ) ) 陋兰薯桫i ：。 l l m 二_ _ = l l 妒lzjl = u “( 1 叫烈z ) 1 2 一o g 而舞 又因q 为紧算子，所以q 为有界算子。由定理3 5 知妒磁l o g 综上定理成立。证毕。 电子科技大学硕士学位论文 第四章总结 本文主要分为三个部分： 1 说明了复合算子理论的产生和它在数学基础理论中的重要性，最后对现在 复合算予理论的研究成果进行了一个比较细致的总结。 2 对映入到e ( p ，g ) 空间中复合算子的紧性进行了讨论，首先建立了一个紧 c a r l e s o n 测度的判定定理，通过紧c a r l e s o n 测度得到了一个判定该算子为紧的充 分条件。 3 对p b l o c h 空间上复合算子的性质进行了讨论，得到了一个该算子具有可 逆性，f r e d h o l m 性的判定条件。最后我们讨论了一类小加权p b l o c h 空间上算子 的有界性与紧性，得到了判定该复合算子为紧算予或有界算子的等价条件。 下面是本文中得到的主要结论。 引理2 7 设o g 。，是d 上的正有限b o r e l 测度，则是一个g 阶的紧 c a r l e s o n 测度的充要条件是： h 骁d 卷卜 定理2 9 设复合算子q ：专五( p ，g ) ，则q 为紧算子的充分条件是： 啡露壕g ( z ) 是g 阶紧c a r l e s o n 测度。 定理3 2 设q ：岛岛是一个复合算子，妒日( d ) ，且o p 。o ，则下 列条件等价： ( 1 ) q 为可逆算子； ( 2 ) p 为d 上的m o b i u s 变化 第四章总结 ( 3 ) 巴为f r e d l l o l m 算予 定理3 5 设复合算子q ：雕1 0 9 呻磁i o g ，妒是圆盘上的解析自映射，则q 为 有界算子的充要条件是： 。u p 半兰吐桫( 朴蚰妒嘬s u p 一i p 吲l 。，且妒锚k e ”( 1 叫烈力j 2 r 1 0 9 斋 。 定理3 7 设q 是瞄。到自身的复合算子，妒是圆盘上的解析自映射，则巴 为紧算予的充要条件是： 糌罢生鞋桫即，且删。； ”卜删2 一。g 而衙”、“ 一。8 电子科技大学硕士学位论文 致谢 首先，衷心感谢李晓东老师在我读研这几年来对我的关心! 他是我研究生 涯的领路人，在学习上李老师给了我很多的帮助。李老师的帮助让我在学业上收 获颇多，更为重要的是他让我学会了在学术中严谨求实的态度。 我的这篇毕业论文凝聚了李老师的很多心血，从文章内容到论文的排版等李 老师都给予了莫大的帮助。我的每一小步的成长都和他的帮助分不开，他渊博的 学术，严谨的学术态度，将使我终生学之不尽，受益无穷。 还要感谢郭发明老师，在学位课的学习阶段，郭老师总是不厌其烦的为我讲 解问题。郭老师高尚的师德让我敬佩，感谢郭老师对我的帮助! 最后对学院的各位老师在我硕士学习期间在各方面的指导和帮助，及各位同 学对我的关心表示衷心的感谢。 参考文献 参考文献 1 徐辉明，刘太顺多圆柱上的不同b 1 0 c h 型空间之间的加权复合算子数学年刊，2 0 0 5 ，2 6 ( 1 ) ：6 l 一7 2 2 张学军p b l o c h 空间上的复合算子和加权复合算子数学年刊，2 0 0 3 ，2 4 ( 6 ) ：7 1 1 - 7 2 0 3 m a d i 眺m a t h e s o n c o m p a c tc o m p o s i t i o n 叩e r a t o r s0 n 血eb 1 0 c hs p a c e t r 趾a m s ，1 9 9 5 ， 3 4 7 ( 7 ) ：2 6 7 9 2 6 盯 4 叶善力c a d e s o n 测度与b 1 0 c h 型函数空间福建师范大学学报，1 9 9 9 ，1 5 ：1 1 1 5 5 w h gm a o 衄l i up e i d e w b i g h t e dc 。m p o s h i o no p e r a t o r sb e t w e e n l a r d ys p a c e s 应用数学， 2 0 0 3 ，1 6 ( 1 ) ：1 3 0 一1 3 5 6 王淑石，胡璋剑加权小b l o c h 空问上的复合算子湖州师范学院学报，2 0 0 3 ，2 5 ( 3 ) ：1 1 1 6 7 李颂孝有界对称域上加权d i r c l e t