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上海交通大学硕士学位论文 基于小波变换的海底管线漏磁检测数据的 压缩与处理的研究 摘要 研制开发一套海底检测装置，定期对海底管线进行检测，及早发现管线缺 陷，以便及时修复，确保管线安全运行，对我国海洋油气开发有着重大的现实意 义。 本文主要针对在线检测装置，它为初次检测时采用，由油压差驱动，一般 情况下，行进里程超过2 0 公里，采集到的数据量十分惊人，要实现这样大的数j - ，、 据量的存储是十分困难的。智能鼾贮容量的有限性与巨大的管道探测数据量间。7 的矛盾十分突出，成为数据采集系统实现过程中的一个难点。 小波分析是8 0 年代后期发展起来的应用数学分支。二十多年来，在国内外 i 学著的不懈努力下，小波理论得到了迅速的发展，在诸如信号检测、特征提取、 数据压缩等方面都有应用研究报道。特别在数据压缩领域，小波分析应用的潜力 已经得到确认。卜- 本文的研究工作主要分以下两个方面的内容：其一是对基于漏磁检测信号 特征的小波压缩算法进行研究，其二是对检测装置采集的数据进行预处理、自适 应滤波、基于小波分析的信号压缩及图像还原和识别的工程应用工作，做了初步 的研究，以完成对海底管道的腐蚀情况的精密测量。 r 为达到数据压缩的目的，“去高频”是变换方法的基础，通过一组小波变换， t 将廪始数据变为相关性较小的一组系数，再对系数进行合理舍弃以达到压缩。 s t c p h a n eg m a l l a t 对此阐述了信号的多分辨率分析的原理，本文研究了基于 多分辨率分析的一维信号的分解与重构，指出重构的结果和原图有一定差别，并 提出了解决方法在于将原始信号的两侧各加上一层空白边界，边界的初始值可以 任意指定。实际进行小波变换的时候，不是对原始信号进行变换，丽是对两侧加 了空白边界的原始信号进行变换。这样做的好处是，在进行多层分解之后，边缘 效应只发生在空白边界里面，而重构之后，空白边界内的重构值与原来发生了变 圭塑銮望叁堂堕主兰垡笙奎 一化，但是原始信号区间内的信号却得到了保持。漏磁缺陷检测信号的处理首先用 该改进方法进行处理。 进一步根据漏磁缺陷信号的特征，小波分解的第一层主要包含噪声信号， 可剔除，五层以上的信号是缓慢变化的，对真实缺陷信号关联性不大，也将剔除。 而对于第二、三、四层的高频系数，采取史坦( s t e i n ) 的无偏似然估计( u n b i a s e d r i s ke s t i m a t i o n ) 原理f s u r e l 进行自适应阀值处理，从而达到了较高的数据压缩 比，为了进一步达到更高的数据压缩率，采用连续零值压缩方法。可以使数据压 缩比率达到2 0 ：1 。 自适应理沦是现代信号处理中强有力的工具。将自适应理论和传统的小波 变换相结合，本文提出了基于自适应“去噪”和小波变换的信号处理方法，并详 细地阐明了该方法的实现流程。 数据从离线检测装置中提取出来后，在进行数据重构后，得到有用的原始 分析信号，在此基础上，本文进一步提出了缺陷图像重建的算法，以及神经网络 实现缺陷三维尺寸特征提取的基本思想，以达到工程中对缺陷的精密检测，本文 只是提出了初步研究思想，有待于进一步的研究和探讨。 卜“一 关键词：小波变换，数据压缩，自适应算法，信号处理，图像重构，神经网络。 ，一一_ 7 一，一 1 1 圭墨奎望叁堂堡主兰堡丝塞一 r e s e a r c ho nw a v e l e tm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s b a s e dm f l s i g n a lc o m p r e s s i o n a b s t r a c t c u r r e n t l yi t i sw i t hg r e a tp r a c t i c a le f f e c tt or e s e a r c ha n dd e v e l o pas e to fs e a b e d o i lp i p e l i n e si n s p e c t i o ne q u i p m e n tf o rt h eo i li n d u s t r yi no r rc o u n t r y t oc a r r yo n r o u t i n ei n s p e c t i o no fs e a b e dp i p e l i n e st of i n do u tt h ed e f e c t so f t h ep i p e l i n e sa se a r l y a sp o s s i b l ei sv e r yi m p o r t a n tt oa s s n r et h es a f eo i lc o n v e y a n c e t h i sd i s s e r t a t i o nm a i n l yf o u c u so nt h eo n l i n ei n s p e c t i o ne q u i p m e n lw h i c hi s u s e di nt h ep r i m a r yi n s p e c t i o na n dd r o v eb yt h eo i ld i f f e r e n c e g e n e r a l l yt h em i l e a g e i so v e r2 0k i l o m e t e r s ，a n dt h ev o l u m eo fa c q u i r e dd a t ai se n o r m o u s i ti sv e r yd i f f i c u l t t os t o r es u c hal a r g ev o l u m eo fd a t ai nt h ee q u i p m e n t t h ec o n f l i c tb e t w e e nt h e l i m i t a t i o no fm e m o r yo f i n t e l l i g e n tp i ga n d t h eh u g ev o l u m eo fd a t ai sv e r yi n t e n s e i t i sab i gd i f f i c u l t yi nd a t aa c q u i s i t i o no f t h es y s t e m w a v e l e ta n a l y s i si sar i s i n gm e t h o do fl i n e a rt i m e 一行e q u e n c ya n a l y s i s ，w h o s e r e s e a r c hu p s u r g es t a r t e df r o m1 9 8 0 s i nt h er e c e n tt w e n t ym o r ey e a r s ，w a v e l e tt h e o r y i sd e v e l o p e dr a p i d l yu n d e rt h ei n c e s s a n te f f o r t so fs c h o l a r so v e rt h ew o r l d ，a n dt h e r e s e a r c ha r e a so fw a v e l e tt h e o r ya r ea l s oe x p a n d e dt h o r o u g h l y m e a n w h i l e ，w i t ht h e i n t e r e r o s sa n dp e n e t r a t i o no f d i f f e r e n tk n o w l e d g e ，w a v e l e tt h e o r yh a sa p p l i e dt om a n y f i e l d ss u c c e s s f u l l y a tp r e s e n t , w a v e l e ta n a l y s i sh a sb e e na p p l i e di n t ot h er e s e a r c h f i l e do f s i g n a lp r o c e s s i n ga n dd e t e c t i o n ，v e c t o re x t r a c t i o n ，a n dd a t ac o m p r e s s i o n e t c e s p e c i a l l yi nd a t ac o m p r e s s j o nf i e l d ，t h ep o t e n t i a lo fw a v e l e tt r a n s f o r ma p p l i c a t i o n h a sb e e na c c e p t e d b a s e do nt h ea b o v e ，t h er e s e a r c ho f t h i sd i s s e r t a f i o nc o n s i s t so f t w o a s p e c t s ：o r l e i st h es t u d yo f l a r g gv o l u m ed a t ac o m p r e s s i o nb a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r m ，t h eo t h e ri s t h e p r e l i m i n a r y r e s e a r c ho np r o j e c ti m p l e m e n t a t i o no ft h e e q u i p m e n ti n c l u d i n g h l 上海交通人学硕士学位论文 m o d u l e so f p r e s i g n a lp r o c e s s i n g ，d e n o s i n g p r o c e s s ，d a t ac o m p r e s s i o n a n d d e c o m p r e s s i o n ，d e f e c t sr e c o g n i t i o na n di m a g er e c o n s t r u c t i o n ，i n o r d e rt oa c h i e v e p r e c i s em e a s u r e m e n t o f t h ee r o s i o no fs e a b e d p i p e l i n e s t oa c h i e v et h eg o a lt od a t ac o m p r e s s i o n ，“t og e tr i do fh i 曲矗e q u e n c ye n e r g y ”i s t h eb a s i so ft h et r a n s f o r mw a y w em a yt r a n s f o r mt h eo r i g i n a ls i g n a li n t oas e to f c o e f f i c i e n t sw i t hl i t t l er e l e v a n c et h r o u g hag r o u po fw a v e l e tt r a n s f o r m s ，a n dt h e ng e t r i do f s o m en o n s i g n i f i c a n tc o e f f i c i e n t st oa c h i e v ed a t ac o m p r e s s i o n s t e p h a n eg m a l l a th a sp r e s e n t e dt h et h e o r yo fm u l t i r e s o h i t i o na n a l y s i so f s i g n a l a c c o r d i n g t ot h ea b o v e t h e o r y , t h ed e c o m p o s i t i o n a n d r e c o m p o s i t i o n o f o n e d i m e n s i o n a l s i g n a l i s a n a l y z e d ，a n dt h ed i f f e r e n c e b e t w e e nt h e r e c o m p o s i t e d r e s u l ta n dt h eo r i g i n a ls i g n a li sp o i n t e do u t t h es o l u t i o ni si s s u e dt h a tb l a n ke d g e s s h o u l db ea d d e dt ot h et w os i d e so ft h eo r i g i n a ls i g n a l t h ei n i t i a lv a l u eo ft h eb l a n k e d g e sc o u l db es e ta ta n yv a l u e a n da c t u a l l yt h ew a v e l e tt r a n s f o r mi sa p p l i e dt ot h e s i g n a lo ft h eo r i g i n a ls i g n a lp l u st h eb l a n ke d g e s w ec a ns e ea f t e rm u l t i r e s o h i t i o n d e c o m p o s i t i o n ，t h ee d g e e f f e c t o n l y i n f l u e n c e st h eb l a n k e d g e s ，a n d a f t e r r e c o m p o s i t i o n ，t h eo r i g i n a ls i g n a lk e e p st h es a m e ，w h i l eo n l yt h er e s u l t so fb l a n k e d g e sa r ec h a n g e d t h i ss o l u t i o ni sa p p l i e dt ot h em a g n e t i cl e a k a g e ( m f l ) s i g n a li n a d v a n c et od a t a c o m p r e s s i o n a c c o r d i n g t ot h ec h a r a c t e r i s t i co fm f l s i g n a l ，t h ed e t a i ls i g n a la ts c a l e1m a i n l y i n c l u d e sn o i s es i g n a l ，w h i c hc o u l db ee x c l u d e d a n dt h ed e t a i ls i g n a la ta b o v es c a l e5 m a i n l yi n c l u d e ss l o w l yf l u c t u a n ts i g n a l ，w h i c hh a sl i t t l er e l e v a n c et ot h eo r i g i n a l s i g n a l a n dc o u l db ee x c l u d e dt o o t h es t e i nu n b i a s e dr i s ke s t i m a t i o n ( s u r e 、 s e l f - a d a p t i v et h r e s h o l dt h e o r yi sa p p l i e dt ot r e a tt h ec o e f f i c i e n t sa ts c a l e2 ，3 ，4 i n a d d i t i o n ，t h ec o n t i n u o u sz e r o sc o m p r e s s i o nm e t h o di su s e df u r t h e rt ot h ea b o v e t r e a t m e n t t h u sa l l i g hd a t ac o m p r e s s i o n r a t eo f3 0 ：1h a sb e e na c h i e v e d a f t e rt h ec o m p r e s s e dd a t ai st a k e no u to ft h ee q u i p m e n t ，f i r s t l yt h ed a t aw i l lb e d e c o m p r e s s e dt ot h ee f f e c t i v eo r i g i n a ls i g n a l t h ea d a p t i v et h e o r yi sas t r o n gt o o li n m o d e ms i g n a l p r o c e s s i n g c o m b i n i n gt h ea d a p t i v et h e o r ya n dc l a s s i c a l w a v e l e t t r a n s f o r m ，l o c a lc h a r a c t e r i s t i cb a s e da d a p t i v es h r i n k a g ed e n o i s i n ga l g o r i t h mi s p r e s e n t e d a n d t h ed e t a i l e dp r o c e d u r et or e a l i z et h e a l g o r i t h m i sd e s c r i b e d i v 。圭塞奎望叁兰塑主兰些堡苎 一 一一 b a s e do n t h ea b o v es i g n a l ，t h e b a s i ci d e a so ft h ea l g o r i t h m o fd e f e c t 8 r e c 。g n i t i 。na n di m a g e r e c o n s t r u c t i o na r ei n t r o d u c e d ，a n dt h ea p p l i c a t i 。nw i l ld 。v 。l 。p f t m h e ri r lt h ef u t u r e k e yw o r d s ：、a v e l e tt r a n s f o r m ，d a t ac o m p r e s s i o n ，s e l f - a d a p t i v e a l g o r i t h m ，s i g n 8 1 p r o c e s s i n g ，i m a g e r e c o n s t r u c t i o n v 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密口。 ( 请在以上方框内打“4 ”) 学位论文作者签名：李立 指导教师繇网怛 日期：加j ；年二月，日日期：7 彬年月侈日 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：李刁 日期：奢n 年月j 予日 圭塑銮望查堂堡主翌窒竺兰垡丝壅 一一蔓二里笪兰一 第一章绪论 1 1 课题目的和意义 目前，全国的海底油气管道已经使用了数十年，由于腐蚀导致油气泄漏时 有发生，不仅造成了经济损失、能源浪费，而且严重污染环境。因此对管线的检 测及有关评估以确保管线网络的安全运输是非常重要的。故而研制开发一套海底 检测装置，定期对海底管线进行检测，及早发现管线缺陷，以便及时修复，确保 管线安全运行，对我国海洋油气开发有着重大的现实意义。 该检测装置综合采用了漏磁检测和电磁超声检测两种原理，其中漏磁检测 装置又分为在线漏磁检测装置部分和定位检测装置部分。其中在线检测装置为初 次检测时采用，它由油压差驱动，通过漏磁检测器检测管线壁厚以及腐蚀、裂纹 等缺陷，测距仪测出行走距离，旋转编码器连续检测周向转动的角度，中心处理 器通过调度相应的软硬件实现对缺陷信号、探头位置等信号的采集、处理和存储。 检测完毕后，通过管线缺陷评价系统进行信息处理，显示不同检测结果曲线，对 缺陷进行三维图形化显示，对管线进行安全评价，以确定管线是否需要维修，并 确定缺陷点的初步位置。 一般情况下，在线漏磁检测装置行进里程超过2 0 公里，并且要对漏磁信号 进行多通道同步采样，以获取管道缺陷信息。通常检测装置沿管道周向均匀放置 4 0 个以上信号采集通道，若采用4 0 点周的频率进行数据采集，以2 b y t e 点存储 数据，其采样频率为5 0 0 h z ，每秒钟采集的数据量为4 0 k b y t e ，则每小时采集的 数据量为1 4 0 m b y t e ，假设以管线长度为2 0 公里计，检测装置的行进速度为 o 1 4 m s ，则共需耗时4 0 小时。由此可见检测全程中需要存储的数据量是惊人的， 要实现这样大的数据量的存储是十分困难的，存贮容量的有限性与巨大的管道探 测数据量间的矛盾十分突出，成为数据采集系统实现过程中的一个难点。 由此提出了数据压缩的任务，高效的数据压缩有利于解决在线检测过程中 大量检测数据的存储问题，以及硬件投资成本过高的问题。 由于传统的数据压缩方法的压缩率一直在百分之几十左右徘徊，很难取得 进一步发展。小波分析是8 0 年代后期发展起来的新的数学理论，在信号处理、 第1 页 上海交通大学硕士研究生学位论文 第一章绪论 图像处理、语言分析、模式识别、地震预报、故障诊断、状态监视等众多领域获 得了应用。小波分析应用于数据压缩，可以达到很高的压缩比，为了进步达到 更高的数据压缩率，采用连续零值压缩方法。可以使数据压缩比率达到3 0 ：1 。 本论文以8 6 3 国家海洋高科技项目为依托，针对在线检测缺陷装髯的信号 采集与处理部分，主要开展基于小波变换的大容量数据压缩的研究，并综合了对 采集的数据进行预处理、自适应滤波、信号压缩及还原和缺陷识别的工作。处理 的大容量数据信息包括管道壁厚、腐蚀、裂纹、定位信号、温度以及速度信号等。 本文的研究工作主要分以下两个方面的内容：其一是对基于漏磁检测信号 特征的小波压缩算法进行研究，其二是对检测装置采集的数据进行预处理、自适 应滤波、基于小波分析的信号压缩及图像还原和识别的工程应用工作，作了初步 的研究。 1 2 国际国内研究状况和进展 目前国内外已有部分文献探索了针对大容量漏磁缺陷信号存储工作的多种 解决方式，但是在本项目中，由于管道长度超过2 0 公里，加上缺陷信号的不确 定性，前面提到的解决方式并不完全适用，需要在前人工作的基础上加以探究改 进以找到合适的解决方案。 目前国内对于漏磁缺陷检测的研究大部分停留在漏磁缺陷信号与实际缺陷 的定性分析阶段，也有部分文献探索了信号与缺陷几何尺寸对应的定量分析工 作，但在工程上应用还有所欠缺。国外关于漏磁缺陷信号的研究工作和工程开展 比较先进完全，有很多值得本项目研究借鉴的地方。 1 3 论文各部分的主要内容 本文在第二章论述了小波分析的数学原理；第三章介绍了基于多分辨率分 析的一维信号的分解与重构，并指出了信号重构边缘误差的问题及解决方法。第 四章讨论了管道漏磁检测信号的基于小波的信号处理以及进一步采用连续零值 压缩方法实现数据压缩的算法以及仿真实验结果。第五章讨论了漏磁检测装置系 统原理及其组成，对采集的数据进行预处理、自适应滤波、信号压缩及还原和缺 陷识别的初步工程研究工作。 第2 页 上海交通大学硕士研究生学位论文 第一章绪论 纵观全文，本文主要创新性研究成果包括： 1 讨论了基于多分辨率分析的一维信号的分解与重构，并指出了信号重 构边缘误差的问题及解决方法。针对漏磁检测信号的特征，提出了基 于小波的信号重构，多频率小波信号分解在数据压缩中的应用。达到 了工程中需要的信号压缩比。 2 漏磁检测信号从离线检测装置中提取出来后，在进行数据重构后，得 到有用的原始分析信号，在此基础上，本文进一步提出了缺陷图像重 建的算法的研究，以及神经网络实现缺陷三维尺寸特征提取的基本思 想，以达到工程中对缺陷的精密检测，缺陷漏磁场可由简单的恒定磁 通的等效点偶极子来模拟，缺陷重建模型由一系列等偶极子阵列分布 的截面组成，并采用了逆向矩阵求解算法得到方程最优解。理论分析 和计算结果表明，该模型和算法灵活地实现了管道缺陷的视图化。本 文只是就此缺陷提取提出了初步研究思想，有待于进一步的研究和探 讨。 第3 页 占塑窒望查兰婴主塑塞生兰垡堡壅兰兰童l 型塑塑堕墼兰堡堡墨! l 第二章小波变换的数学理论基础 2 1 引言 8 0 年代中期发展起来的小波分析理论已逐渐成为数学中一个新的分支，并且愈来愈 受到数学界及工程界的极大重视。它来源于经典的调和分析( h a r m o n i ca n a l y s i s ) 理论， 是泛函分析、f o u r i e r 分析、样条分析、调和分析、数值分析最完美的结晶，它具有频 带倍频程划分、很好的时间一频域分辨率等十分优异的性能，是分析突变信号、非平稳 信号的有效工具，在量子场论、信号分析、图象处理、模式识别、声学、数值分析以 及其它许多学科领域得到了普遍应用。在图像处理领域，目前小波分析已经用来压缩 图像数据、分析分形图像、边缘检测、从模糊图像中恢复信息等等。 小波变换因其具有多分辨率的特性，在变换中对各种频率成分有很好的保持作用。 利用小波变换对信号进行多分辨率的分解，对其各种频率成分针对其特点采用不同方 法进行压缩。本章简要阐述了小波分析的基本理论，具体细节可以参看 4 、【5 、 6 、 7 。 2 2 从f o u r i e r 分析到小波分析 f o u r i e r 分析是现代工程中应用得最广泛的数学方法之，特别在信号及图像处理方 面，利用f o u r i e r 变换可以把信号分解为不同尺度上连续重复的成份，使得对各种不同 的实际问题采用统一的处理方法。然而它不适用于表示突变的信号，同时在分析信号 的瞬时特性方面，f o y e r 分析也显得软弱无力。另外，在用f o u r i e r 变换进行信号分析 时没有考虑到信号的频率随时间的变化。一个信号的频率与它的周期长度成反比，即 在高频谱的信息，时间间隔要相对窄以给出比较好的精度；对于低频谱的信息，时间 间隔要相对宽以给出完全的信息。因此，在非平稳信号分析和实时信号处理的许多应 用中，只有f o u r i e r 变换公式是相当不够的。为了弥s b f o u r i e r 变换的不足，g a b o r 在1 9 4 6 年提出了信号的时频局部化方法，既所谓的g a b o r 变换： i m f ( c o ) = ie - i o “f ( t ) w ( t r ) a t 1 其中w ( f ) = ，与e x p ( 一f2 2 a 2 ) ，g a b o r 变换能在不同程度上克服f o u r i e r 变换的上述 2 翮 第4 页 上海交通大学硕士研究生学位论文 第二章小波分析的数学理论基础 弱点。 但根据h e i s e n b e r g 测不准原理( 证明见文献f 4 第三章) 可知，w ( ，) 无论是什么样 的窗函数，时窗w ( f ) 的宽度与频窗谛( f ) 的宽度之积不小于1 2 。因此当选定一窗函数后， 使其频宽对应于某一频段时，起时宽就不能太窄，从而更高频率的信号就不能精确定 位。如要求更好的局部性质或更多的整体性质时，就必需变更窗口的大小，从而使得 计算量大增，以至无法实现，于是出现了小波变换。 2 3 小波变换与小波级数 1 、连续小波变换 所谓小波，简单地说就是一个满足条件r 。y ( x ) 出= 0 的函数妒通过伸缩平移而产生 的一个函数簇妒。： ( x ) = 胆y ( x - 口b ) ，口，6 月，口o ( 2 3 1 ) 通常称妒为基本小波。对于任意的f 三2 ( 月) ，若沙r 俾) 则给出如下定义： ，的连续小波变换的定义为： ( 口，6 ) 2 g o , h - ( t ) f ( t ) d t ( 2 3 2 ) 我们引入如下容许性条件： q = d 珊m ( 国) 1 2 d 0 ，当j ，j 充分丈时有 i y ( ，) l c ( 1 + l t l ) 卅” ( 2 3 5 ) 则容许性条件( 2 3 3 ) 等价与e 妒( z ) 出= 0 。 连续小波虬。( f ) 在坐标平面t c o 上确定了一对时频窗口： 6 + 瓯一以，6 俐。+ 日， 塑一垒，一o ) o + 垒】 a口口口 窗口的面积不随a ，b 的变化恒为4 1 a ，i 。当a 增大时，时间中心6 + 口气增大，此时宽 第5 页 圭塑奎望查兰堕主堑窒圭兰堡垒苎 苎三茎! ：垫坌堑塑塑兰堡笙墨堕 增大；同时频率中心减小，频宽减小，即满足在低频谱信号分析时所须的整体性增强， 局部性减弱；反之，局部性增强。 由于基本小波的选取有很大的灵活性，( 只要满足容许性条件( 2 3 3 ) 即可) ，因此 可根据不同的要求选择不同的基本小波。由此看来，小波变换比f o u r i e r 变换更具有广 泛的适用性。到目前为止，人们已经构造了各种各样的小波基。常见的小波基有h a a r 正交小波基，m e y e r 正交小波基，墨西哥草帽小波基等。 2 、离散小波变换和小波级数 在连续小波变换( 2 3 2 ) 中，如果限制a 取正值，容许性条件( 2 3 _ 3 ) 变为： q = r 。口“眵劬) f 2 如 1 ( 小于1 也可) ，选取 b = n b 。d ? ，n z z 。f 的离散小波变换的定义为： c 。( 厂) = e ，( f 扩( f ) 出 ( 2 3 7 ) 其中 。( ，) = t l - m 1 2 ；u ( a j f - n b o ) 口o 1 ，6 0 0 在什么条件下，f 可以用离散小波变换作为系数而展开成小波级数，即 v ) = g ，( 厂) 。( r ) 实际上，如何从信号，o ) 的小波展开系数c 。( 厂) 恢复出f ( t ) 可归结为在什么条件下 。 m ，胛z 成为l 2 ( r ) 的个框架。下面给出框架的定义： 在h i l l b e r t 空间h 中的一族函数 “称为一个框架，如果存在0 爿，b 。使得 对于所有f h ，有 4 w i 2 口岬 j e - j 并称a 与b 是框架界。如果两个框架界相等，称此框架为紧框架。 2 4 信号的多分辨率分析 1 、标记 z 、r 分别表示整数集合和实数集合。口( r ) 代表平方可积的一维函数集合。对于 第6 页 圭壅窒垄奎堂婴主里塞生兰垡丝苎一j 生卫生_ 二堕茎坌堑堕塑兰堡堕薹坠 m ) ，剃i f ( r ) ， = 肜( “) g ) d u 4 慷f ( x ) 和g ( x ) 的内积。 函数f ( x ) s r ( 月) 的平方范数记为例1 2 = e ，( “) 2 d u 。 记函数f ( x ) 和g ( x ) 的卷积为：，+ g ( 工) = ( 厂( “) + g ( “) ) ( z ) = e 厂( ) g o x ) d u 其中 ( x ) ，g ( x ) 。( r ) 记函数f ( x ) ( 月) 的f t 为f ( c o ) = i 。，厂( x ) e 一出 1 2 ( z ) 平方可和的数列，及1 2 ( z ) = ( 口a 。：k 1 2 由定理1 和定理2 可以看出，( 而：， 一2 - i n ) ) 。是l ，的单位正交基，而 ( 27 y ：，o 一2 一h ) ) 。是空间0 2 ，的单位正交基，并且吃，od 2 ，= ”，这说明 ( 2 。：， 一2 一。”) ，2 y ：，( x - 2 7 n ) ) 。构成一的单位正交基。基于此，信号f ( x ) 在 空间k 。中的