（固体力学专业论文）橡胶类大变形材料有限元程序模块的研制.pdf

摘要 本文对橡胶类材料大变形有限元分析的理论、方法和通用程序进行 了研究和探讨，包括材料切线本构矩阵表达式的推导、有限元软件 d i a n a 用户自定义材料环境原理及应用研究、应变能的一阶及二阶偏 导数的推导及材料参数的讨论等内容，并在以上研究的基础上开发完成 了基于d i a n a 的用户自定义橡胶材料的通用接口模块，利用这个模块， 用户只需给出不同橡胶类材料的应变能对应变不变量的一阶及二阶偏导 数，就可以方便地利用d i a n a 解决其大变形问题。 沩了检验本通用接口模块，本文对g a or ”( 1 9 9 7 ) # 口k n o w l e s 2 1 ( 1 9 7 3 ) 这两种橡胶类材料的本构理论进行了一定的探讨，并将其加入上述通用 接口；，。通过立方体单向拉伸和双向拉伸两个大变形有限元算例，可以看 到其有限元解和解析解吻合得很好，从而验证了本接口模块的有效性。 本文建立了用户自定义橡胶材料的通用接口撞迭，理论上，丰富了 橡胶类材料大变形理论，实践上，为橡胶类材料大变形有限元分析提供 了工具，同时扩展了通用软件的应用功能。 。关键词，有限元，主誊二，大变形，d i a n a 关键词 有限元j ；橡胶类材料，大变形， a b s t r a c t t h e o r y a n dc o d ef o rf i n i t ee l e m e n ta n a l y s i so ft h er u b b e r - l i k e m a t e r i a la r es t u d i e d i n c l u d i n gt h ee x p r e s s i o na n ds o l u t i o no ft h et a n g e n t i a l e l a s t i cm a t r i x t h et h e o r ya n d a p p l i c a t i o no fd i a n au s e r s u p p l i s e d s u b r o u t i n e s ，t h es o l u t i o no ft h ef i r s ta n ds e c o n dd e r i v a t i v e so fs t r a i ne n e r g y f u n c t i o na n dt h er e s t r i c t i o no fm a t e r i a lc o n s t a n t s0 nt h eb a s eo ft h es t u d y a b o v e au n i v e r s a li n t e r f a c em o d u l eb a s e do nd i a n af o ru s e r - s u p p l i s e d r u b b e m i k em a t e r i a la r ef o r m e di ft h ef i r s ta n ds e c o n dd e r i v a t i v e so fs t r a i n e n e r g yf u n c t i o na r eg i v e n ，i ti sc o n v e n i e n tt oa n a l y z et h ep r o b l e mo fl a r g e d e f o r m a t i o no fu s e r - s u p p l i s e dr u b b e r - l i k em a t e r i a lb yt h eu s eo ft h i sm o d u l e i nd i a n as y s t e m f o re x a m p l e t w ok i n d so fc o n s t i t u t i v e1 a w so nr u b b e r 1 i k em a t e r i a l p r o p o s e d b yg a oa n dk n o w l e s s t e r n b e r gr e s p e c t i v e l ya r ed i s c u s s e da n d i n s e r t e di n t ot h eu n i v e r s a lm o d u l et h eu n i v e r s a li n t e r f a c em o d u l eh a sb e e n e x a m i n e db ys e v e r a le x a m p l e so fc u b i cm a t e r i a le l e m e n tw h i c hi su n d e rt h e a c t i o no fu n i a x i a ls t r e s sa n db i a x i a ls t r e s si ts h o w st h a tt h ed i a n af i n i t e e l e m e n tc a l c u l a t i n gr e s u l t sa r ec o n s i s t e n tw i t ht h ea n a l y t i c a lr e s u l t s i nt h i st h e s i s ，au n i v e r s a li n t e r f a c em o d u l ef o ru s e r - s u p p l i s e dr u b b e r - l i k e m a t e r i a la r ef o r m e di no r d e rt oo f f e ram e t h o do fa n a l y z i n gl a r g ed e f o r m a t i o n i nu s e r - s u p p l i s e dr u b b e r - l i k em a t e r i a l ，a n de x p a n dt h ef u n c t i o no f d i a n a k e y w o r d s f i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s ，r u b b e r - l i k em a t e r i a l ，l a r g ed e f o r m a t i o n ， d i a n a 第一章 绪论 1 1 引言 随着科学技术的发展，新材料的不断涌现，人们对材料力学行为 的认识逐渐深入，发现了许多线弹性理论无法解释的特征。例如金属 材料，当变形比较小时，可作为线弹性材料处理；当物体变形超过弹 性极限后，将产生不可恢复的永久变形。对于另一类材料，应力应变 不再保持线性关系，但当载荷完全消除时，变形将完全恢复，橡皮、 橡胶、高分子聚合物等都属于这类材料，由于这类材料弹性都非常好， 能产生很大的变形，所以，小变形理论己不再满足要求。基于这样的 理论，人们建立了相应的非线性理论。 通常，非线性问题可分为三种类型： 1 、物理非线性，即非线性效应仅由应力应变关系的非线性引起， 位移分量仍假设为无限小量。 2 、几何非线性，其中包括大位移、大转角，但是应变很小应 变不再是无限小量。 3 、边界条件非线性，即由于边界条件的性质随物体的运动发生变 化而引起的非线性响应。 对于橡胶材料大变形问题，将涉及前两类非线性问题，而且在几 何非线性中，应变不是无限小量，即有限变形。 有限变形弹性理论是弹性力学的一个分支，由于其描述的是自然 界普遍存在的一类非线性现象，而且这一理论在橡胶材料和高分子聚 合材料中有着广泛的应用前景，它的理论研究一直受到力学界和工程 界的重视。早在1 6 9 1 年，b e r n o u l l i 通过实验发现弦的伸长和张力不满 足线性的h o o k e 定律，同时认为线性关系不能作为物性的普遍规律。 北方交通大学硕士论文 第一章绪论 在此之后，l a g r a n g e 和c a u c h y 等人提出了连续介质力学的些基本假 设。1 8 9 4 年f i n g e r 完成了超弹性体的有限变形理论，非线性理论得以 基本建立。由于橡胶材料的双重非线性( 几何和物理非线性) ，使得有限 变形弹性理论方程繁琐而复杂，特别是强烈的非线性，使当时的人们 感到在数学上进行一般性的讨论没有多大希望，因而这方面的研究进 展不大。但从1 9 4 0 年起，非线性弹性理论的研究得到迅速发展，这一 时期，得到了很多有价值的理论，并成功地解决了许多工程实际问题。 m o o n e y 、r i v l i n 、e r i n g e n 口】、郭仲衡【4 1 等学者在这方面做出了较大贡 献。随着计算机的发展，大变形计算的研究也得到发展，有限变形弹 性理论目臻成熟，但非线性弹性力学固有的复杂性，使其在理论和数 值求解上仍存在很多困难。 1 2 有限变形弹性体的本构理论 本构关系是反映物质性质的数学模型，为了准确确定物体在外部 因素作用下的响应，必须知道描述构成物体的物质属性所特有的本构 方程，因而长期以来寻求一种合理而适用的本构方程一直受到人们的 重视。 对于橡胶材料，其变形特点为： 1 、大部分橡胶材料在受力状态下体积没有明显的变化，具有不可 压缩性； 2 、应力和应变关系是非线性的，但加载和卸载是同一条曲线； 3 、橡胶类材料可承受大变形，不能用小变形理论描述其变形特 征。 由于以上变形特点，使得其本构关系极为复杂。理论上讲，建立 橡胶类材料( 即有限变形弹性体) 的本构关系，通常有两种途径： 1 、c a u c h y 法：出发于弹性体的特征，即“一定的应力状态对应 于一定的应变状态”，直接以试验结果为启发假设一定的应力 2 北方交通大学硕士论文 第一章绪论 应变函数关系，再通过实验确定其中的系数。由这种应力应变 函数关系来直接描述的物体称为柯西意义的弹性体。 2 、g r e e n 法：即从内能函数的概念出发，得到弹性体的本构法则 应力应变关系。具有弹性势的弹性体称为超弹性体或格林 意义下的弹性体。 由此可见，柯西弹性体是一个比超弹性体更为广泛的概念，由于 用c a u c h y 方法直接建立模型相当困难，人们倾向于用g r e e n 法来建立 有关变形理论。 基于此，人们提出了许多应变能的表达式。对于各向同性材料， 假设，1 、，2 、厶为g r e e n 应变张量的三个不变量，那么应变能可以表 示为 w = ( ，1 ，1 2 ，3 )( i 11 ) 1 9 4 0 年，m o o n e y l 5 j 根据大量的实验结果，提出了橡胶类材料的应 变能形式为 矿= c 。( ，。一3 ) + c ：( ，：一3 )( 1 12 ) 其中c ，、巳为材料常数，这个函数可看作是矿在，= 3 和，= 3 附近f 未 变形状态附近) 的二重幂级数展开的前两项。c ，= 0 是上式最简单的形 式，r i v l i n t6 1 称这样的材料为n e o h o o k e a n 模型。m o o n e y 提出的这个 应变能形式可以较好地拟合橡胶类材料中等应变范围的实验1 7 , s 1 。 对于不可压缩材料，许多学者还提出了不同的应变能形式，较有 代表性的有：h a r t - s m i t h f 、s h i e l d 叫j 、s t o r a k e r s t l 2 l 等。 随着橡胶工业的发展，一些新型材料不断涌现。泡沫聚胺脂橡胶 是一种典型的可压缩橡胶材料，因而一系列描述可压缩橡胶材料力学 行为的应变能函数也就相应而生。由于要描述体积变形的影响，应变 能表达式中必须包含表示体积变化的不变量世。b l a t z 和k o s 1 、 o g d e n 【1 “、m u r n a g h a n 1 5 等学者分别提出了可压缩材料的应变能函数形 式。 3 北方交通大学硕士论文 第一章绪鲨 1 9 7 3 年，k n o w l e s 和s t e r n b e r g l 2 1 采用非线性弹性理论，给出了应 变能形式 = 1 彳，1 + 8 u ，+ c y ，l ，。2y 。( 】13 ) 其中，爿，b ，c ，为材料常数，为变形前与变形后的体积比。他们 利用此应变能函数分析了裂纹尖端场的情况。1 9 7 3 年，k n o w l e s 和 s t e r n b e r g1 2 1 研究了均匀各向同性可压缩超弹性体的平面应变i 型裂纹 问题；1 9 7 4 年g d l o w l e s 和s t e r n b e r g t “1 引进高阶渐近分析，对 1 的结果 进行了修正；在此之后，k n o w l e s 1 1 又研究了不可压缩材料的i r i 型裂纹 ( 反平面剪切裂纹) 问题；k n o w l e s l ”】对可压缩材料的i i i 型裂纹问题也作 了研究。后来一些作者利用此应变能函数分析了其它一些问题，表明 此应变能函数能很好地描述物体的变形特征。 g a o ，y c 【1 9 】在橡胶材料本构模型方面作出了有意义的工作。1 9 9 0 年，g a o1 2 0 从形状变化和体积变化的角度出发给出了一种应变能函数， 利用这个应变能函数，g a o 等人 2 6 2 5 1 进行了一系列研究。1 9 9 7 年，g a o 【1 1 从分离材料的抗拉能力和抗压能力出发，引入了一种描述橡胶材料的 应变能函数 = a ( 1 1 ”+ ，一1 “) ( 1 14 ) 其中，口和聆为材料常数， 、，为应变不变量。推导出来的本构关系 为： o - = 2 n a j 。( c c 一，c 。1 ) ( 1 15 ) 其中，为变形后与变形前的体积比。用这一模型，既可描述材料的受 拉变形，也可描述材料的受压变形。利用上述本构关系，g a o 等人【2 ”1 解决了一系列问题，充分显示了其本构方程的适用性、简单性和优越 性。 高玉臣【2 6 1 利用 1 的本构关系对刚性楔与橡胶缺口接触的大变形问 题进行了分析；陈少华、周酷和高玉臣【2 7 1 对任意方向集中拉伸作用下 的橡胶类材料楔体尖端应力应变场进行了渐进分析，并利用有限元与 4 ! ! 立窒望查堂堡主笙壅 塑二垦堕丝 无限元耦合作了数值计算；z h o u ，z 和g a o ，y c 【2 8 1 对橡胶材料的裂 纹问题进行了研究，等。 f 3 橡胶类材料大变形有限元分析现状概述 在许多重要的实际问题中，例如橡胶类材料受载荷产生大变形， 此时，基于小变形假设的线弹性有限元法已不再适用。因而非线性有 限元日益发展起来。 随着橡胶材料以及高分子材料的广泛应用，非线性有限元取得了 很大进展，但在橡胶材料有限元分析中仍存在许多困难口，主要是因 为： 1 、有限变形弹性材料在承受载荷时，同时发生大位移、大转动和 大应变，材料具有非常复杂的非线性； 2 、通常橡胶材料的体积在变形过程中不变或接近不变，即具有不 可压缩性。对于不可压缩材料，应力张量不能由变形唯一确定， 当计算应力张量时，必须考虑静水压力。因此给位移型有限元 模型分析非线性弹性问题带来很大困难。 自1 9 6 5 年，h e r r m a n n 发表了关于不可压缩弹性体的变分原理文 献，许多计算工作者给予高度重视，主要是围绕着不可压缩性提出不 同的分析方法。其后， o d e n f 3 0 - 3 2 1 ，t a y l o r j ”】， s i m o t ”】，b a t h e t ”i 等这 些计算力学家的出色工作，推动了非线性有限元的发展。 随着计算机技术的高度发展，运算速度不断提高，用有限元求解 不可压缩弹塑性问题的进展很大，它的数学基础也日趋完善。有限元 法经过几十年的发展获得了巨大成功，这不仅表现在有限元理论已经 逐步完善，还表现在已经开发了大量用之有效的有限元通用软件，许 多大型商用有限元程序中已经包含了一些非线性弹塑性材料有限元分 析，但是能广泛处理橡胶材料大变形问题的有限元并不多见。在目前 较流行的有限元软件中，使用较广泛的如美国s a s i 公司的a n s y s 软 5 北方交通大学硕士论文 第一章绪论 件，a l g o r 公司的a l g o r 软件，s t r u c t u r a lr e s e a r c h & a n a l y s i s 公司的 c o s m o s m 软件，澳大利亚的g + dc o m p u t i n g 公司的s t r a n d 软件， 荷兰t n o 公司的d i a n a 软件 3 6 - 4 5 j ，等。这些大型通用有限元分析系 统一般有以下特点： 1 、优秀的人机界面，完全的c a d 式操作环境和前后处理功能。 在c a d 式人机菜单一图形交换系统里，用户可以直观地生成所 要分析的模型，全自动的复杂模型有限元网格生成系统能按用 户的要求来生成有限元离散网格，强大的后处理能按用户的需 要产生各种各样的后期动静态彩色效果图等。 2 、优秀的数据与图形输入输出交互功能。人机对话式的几何与物 理信息输入输出，以及与国际上广泛使用的众多的c a d 系统 数据与图形交换功能，使用户更方便地构造分析模型。 3 、强大的分析功能，丰富的单元库和求解器。现代的有限元分析 系统几乎都包含了静动态，线性非线性，优化设计，力学，热 力学，电磁学，以及耦合问题等分析和求解功能，丰富的单元 种类库和材料种类库可以满足各种要求。 4 、优异的软件使用和售后支持服务。用户可以得到各种技术培 训、技术咨询，以及更新版本服务等。 由于通用有限元程序的广泛采用，力学计算工作逐渐从力学工作 者手里解放出来，工程技术人员对构件进行数值分析变得比较容易。 通用有限元程序的计算结果已经成为各类工业新产品结构设计的可靠 性依据【4 “。 d i a n a 是从荷兰引进的一种基于先进的数据库方法的大型有限元 通用软件，该软件的突出特点是线性与非线性的结构工程及流体工程 的高级应用。d i a n a 软件具备一般通用有限元软件的特点，除此之外， 它还具有良好的开放型，表现在以下两个方面： 1 、它可以提供与其它软件的接口，例如i - d e a s 、f e m g v 、 m s c p a t r a n 等，这些连接可以传递几何信息，甚至可以传 递材料特性和边界条件。 6 北方交通大学硕士论文 第一章绪论 2 、它提供了二次开发工具：它允许终端用户提供f o r t r a n 源程 序并与d i a n a 代码程序连接。 d i a n a 具有非常强的非线性分析功能。在非其线性分析模块 n o n l i n e a ra n a l y s i s 中，d i a n a 提供了几种橡胶材料有限元分析 的材料模型【4 ”，这些模型都是以g r e e n 应变张量g 的不变量 i ，( i = 1 ，2 ，3 ) 或者g 的主伸长量五，( i = 1 ，2 ，3 ) 来表示的，即应变能函数可 以描述成矿= w ( t ，：，) 或w = ( 旯，五，a ，) 的形式。对于不可压缩或 近似不可压缩橡胶材料，d i a n a 提供了三种材料模型：m o o n e y r i v l i n 模型、b e s s e l i n g 模型和o d e n 模型；对于可压缩橡胶材料，d i a n a 提 供了以下材料模型：s i m o t a y l o r 模型和m u r n a g h a n 模型。以上这些材 料模型适应的单元范围非常广泛，包括各种平面应变单元、平面应力 单元、体单元等。 由于有限变形弹性理论的发展，新的橡胶材料本构理论不断被提 出，通用有限元程序中提供的材料模型已经不能满足人们的要求，人 们迫切希望能找到这样一种办法，既可以利用自定义的材料模型进行 有限元分析，又不需要对每一种材料编写复杂的程序建立刚度矩阵。 对此，d i a n a 提供了用户自定义材料接口平台( u s e r s u p p l i s e d s u b r o u t i n e s ) ，用户根据程序提供的开放性接口函数，编写f o r t r a n 源程序，实现用户自定义材料与d i a n a 有限元分析系统的接口。 由此可见，作为大型通用有限元分析系统，d i a n a 经过了多年的 发展，运用比较成熟，具有良好的先进性、可靠性、稳定性和开放型。 因此，利用d i a n a 有限元通用程序，在其基础上进行二次开发来解 决理论研究和工程上的问题，具有重大的现实意义和应用价值。本文 利用d i a n a 的接口函数，开发了一种可以加入用户自定义橡胶材料 进行有限元分析的模块，在理论上，丰富了橡胶类材料大变形理论， 促进了这一理论其他领域的发展；在实践上，提供了解决同类问题的 思路，为橡胶类材料大变形有限元分析提供了新的工具，同时扩展了 d i a n a 的应用功能。 7 i ! 立至望奎堂堡圭堡塞 1 4 本文的工作 第一章绪论 本文提出橡胶类材料有限元分析的方法：在大型通用有限元程序 d i a n a 中加入橡胶材料的用户自定义通用模块。利用非线性弹性理 论，推导出加入这一模块所需要的表达式，并编制了相应的程序实现 通用接口模块。本文把两种本构关系加入接口模块，并求解了立方体 单向拉伸和双向拉伸问题，将有限元解与理论解进行了比较。 本文的具体工作如下： l 、概述了有限变形弹性理论的工程背景和应用，阐述了与其有关 的基本概念、研究现状及基本方法。对k n o w l e s 和s t e r n b e r g 、 g a o 提出的本构方程的意义分别作了重点阐述。 2 、介绍了橡胶类材料有限元分析方法的研究现状以及大型通用有 限元程序d i a n a 。 3 、研究了在有限元程序d i a n a 中加入通用的橡胶材料用户自定 义接口模块的方法，并对应变能函数作了适用于d i a n a 接口 函数的推导，编程实现了接口模块。 4 、利用上述方法，把g a o ( 1 9 9 7 ) 和k n o w l e s ( 1 9 7 3 ) 两种本构 理论加入d i a n a ，并对本构方程的材料常数作了讨论。 5 、作为对用户自定义材料通用模块的验证，本文利用通用模块求 解了立方体单元单向拉伸和双向拉伸问题，并作了数值上的推 导，对有限元解和解析解作了比较。 6 、总结本文工作，得出结论；展望本文方法的应用前景和发展方 向。 8 第二章 非线性有限元分析基本方法简介 本章介绍了非线性有限元分析的基本方法 4 6 - 5 7 l ，重点介绍了d i a n a 通用有限元程序中橡胶类材料大变形有限元分析的基本方法，包括几 何非线性的表达格式、非线性方程组的解法、收敛准则等。 2 1 几何非线性的表达格式 在非线性有限元分析中，存在两种几何非线性的表达格式，即t l 格式( t o t a ll a g r a n g i a nf o r m u l a t i o n ) 和u l 格式( u p d a t e dl a g r a n g i a n f o r m u l a t i o n ) 。这两种格式都是以已知构形为参考构形的描述方法，t l 格式以初始构形为参考构形，用第二p o i l a k i r c h h o f f 应力和g r e e n 应 变为共轭对表示有限元列式；u l 格式以前相邻构形为参考构形，用 第二c a u t h y 应力和e u l e r 应变为共轭对表示有限元列式。两者在本质 上没有区别，在求解过程中初始构形始终不变；而相邻构形却不断发 生变化，所以两者在方法上又有所不同，具体表现为： 1 、在t l 格式中，单元刚度阵的积分是在初始构形上进行的，所 以不会因单元变形过大而引起奇异；在u l 格式中，单元刚度 阵的积分是在t 时刻的构形上进行的，所以在变形过大时有可 能导致引起奇异，另外，u l 格式必须在每次变形后修改节点 坐标。 2 、在t l 格式中，k i r c h h o f f 应力是在初始构形上描述的，所以， 应力全量可由上一时刻的应力与应力增量直接相加得到；而在 u l 格式中，c a u t h y 应力不能由上一时刻的应力与应力增量直 接相加得到。 3 、在t l 格式中，由于k i r c h h o f f 应力是在初始构形上描述的，所 9 北方交通大学硕士论文 第二章非线性有限元分析基本方法简介 以应力增率为客观应力增率；而在u l 格式中，由于c a u c h y 应力是在现实构形上描述的，应力增率不是客观应力增率，在 增率型本构方程中需扣除刚体旋转的影响。 4 、对t l 格式和u l 格式的选取，直接与本构关系的描述密切相 关，如塑性问题，本构方程一般用c a u c h y 应力描述，所以选 择u l 格式比较方便；而粘弹材料这类与时间相关的材料，则 因现实构性不断变化，所以本构方程一般用k i r c h h o f f 应力描 述，所以选择t l 格式较为方便。 5 、在t l 格式中，我们保留了刚度阵中的所有线性项和非线性项； 而在u l 格式中略去了高阶量，另外在u l 格式中，引入j a u m a n n 应力率时出现一与体积相关的量，由于破坏了刚度阵的对称 性，一般也被略去，对于不会发生很大体积变形的材料，不会 引起很大的误差，而对于能发生较大体积变形的材料，则不再 适合。 6 、由于t l 格式和u l 格式分别是在初始构形和现时构形下描述 的，所以，在施加分布载荷时，二者在大小和方向上的含义都 完全不同。 由于t l 格式无需略去高阶量及体积改变的相关量，所以有较高的 精度，而且无需修改坐标，应力全量也可用直接与应力增量相加得到， 方法简便，计算量略少。在d i a n a 中，采用t l 格式分析橡胶类材料 大变形问题。 1 0 北方交通大学硕士论文 第二章非线性有限元分析基本方法简介 22 非线性方程组的解法 非线性方程组一般可表示为 、l ，( a ) = k ( a ) a 十f = 0 ( 221 ) 由于系数矩阵k ( a ) 是未知量a 的函数，所以无法直接求解，而必须用 迭代法求解。迭代法有多种算法，最为常见的有五种：直接迭代法、 n r 法、m n r 法、切线刚度法和初始刚度法。 1 、直接迭代法 假设有某个试探解a = ao ，可以得到迭代 次的近似解 a ”= 一 k 肌 ( 222 ) 若迭代收敛，则”趋于无穷大时，a ”趋于真解。使用直接迭代法时， 每次迭代都需要重新计算和形成新的系数矩阵k ( a “) ，并对它进行求 逆计算。缺陷在于不能保证迭代的收敛性。 2 、n e w t o n r a p h s o n 方法( 简称n r 法) 如果式( 2 21 ) 的第n 次近似解a ”已经得到，为了得到进一步的近 似解a ”1 ，将l f ，( a ”1 ) 表示成在a ”附近的仅保留线性的t a y l o r 展开式， 并经进一步计算，可以得到 a a ”= 一【k ；) v ” ( 2 23 ) 其中，k ；= k ra “) ，却幽是切线矩阵，且有尝= k ，( a ) 一般情况下，它具有良好的收敛性，但每次迭代也需要重新形成 和求逆一个新的切线矩阵k ：。 3 、修正的n e w t o n r a p h s o n 方法( 简称m n r 法) 为克服n r 法对于每次迭代需要重新形成并求逆一个新的切线矩 阵所带来的麻烦，常采用m n r 法。迭代方程可以修正为 a a ”= 一( k ；广1 i i s ” ( 224 ) 北方交通大学硕士论文第二章非线性有限元分析基本方法简介 显然每次迭代只需求解一相同方程组，计算比较经济。虽然付出的代 价式收敛速度较低，但总体上还是可能合算的。如和加速收敛的方法 相结合，计算效翠还可进一步改进。 4 、切线刚度法 用增量法求解非线性方程组，将载荷分成多个增量步，并求得增 量型代数方程组 a a ”1 = 一 k 矗”) 1 a f ( 225 ) 切线刚度法的优点是收敛速度较快，但在每次迭代过程中，都需重新 计算刚度矩阵，所以每步的计算量都比较大。 5 、初始刚度法 与切线刚度法基本相同，也是基于增量代数方程组，只是仅在每 一增量步的第一次计算刚度矩阵，而以后每次则无需重新计算刚度矩 阵 a a ”1 = 一 k ( a 。) 】。a f( 226 ) 初始刚度法，每次迭代计算量小，但收敛速度快。 d i a n a 提供了以上几种算法，除此之外，还有弧长法等。在本文 求解的橡胶材料大变形问题中，采用n e w t o n r a p h s o n 方法，以保证迭 代有良好的收敛性 2 3 收敛准则 对于大变形问题，由于研究的橡胶材料具有物理和几何非线性， 从而使得用有限元计算时，会出现许多非线性方程组，如平衡方程组 、 ，( u ) = k ( u ) u r = 0 ，必须经过多次迭代才能求得精确解。对于相同 的问题，如选择不同的收敛准则，则会直接影响求解的计算精度和经 济性，因此，如何选择合适的收敛准则也是一个重要问题。 1 2 北方交通大学硕士论文 第二章非线性有限元分析基本方法简介 d i a n a 提供了三种收敛判断准则：位移收敛准则、不平衡力的收 敛准, j j s n 能量收敛准则。在本文的算例中，选用了位移收敛准则，该 准则适合于应变l 七较大的情况。 乃，e r ：崆型 o 。1阻1 、 a c 其中 i ： 表示向量的范数 m ： 表示载荷分级数 n ：表示该载荷分级的迭代次数 00 1 ： 表示收敛精度 1 3 第三章 橡胶类材料用户自定义通用模块的开发 对于橡胶类材料，非线性弹性理论的一个难题就是寻找合理而适用 的本构关系。许多学者给出了各种本构关系，他们提出的应变能函数 的解析表达式各不相同。在进行有限元分析时，对特殊的材料必须进 行编程来建立刚度矩阵，这就给分析不同的橡胶类材料带来了困难。 d i a n a 提供了用户自定义材料接口平台，用户可以通过编写f o r t r a n 源程序，实现自定义材料与d i a n a 有限元分析系统的接口【5 ”。但是， 由于橡胶材料的本构关系一般是以应变能函数来隐含地表示应力和应 变之间的关系，这就给接口带来了困难。因此，本文提出了在有限元 程序d i a n a 中加入自定义橡胶类材料模型的方法，开发出用户自定 义橡胶材料的通用模块。 本章介绍了d i a n a 提供的用户自定义材料子程序接口平台，并 对应变能函数的一般形式作了推导，得出材料本构矩阵d 和应变能对 应变不变量的一阶、二阶偏导数的关系。利用这个推导的结果，编写 了橡胶类材料自定义通用模块。如果要把不同的本构关系加入 d i a n a ，只需要再编写求应变能对应变不变量的一阶及二阶偏导的程 序即可。 3 1d i a n a 用户自定义材料程序接口平台 d i a n a 允许终端用户提供f o r t r a n 源程序来对一些特殊材料进 行自定义并与d i a n a 代码程序连接。 源程序可以通过以下两种途径实现与d i a n a 代码程序的接口： 1 、直接分析 1 4 北方交通大学硕士论文 第三章橡胶类材料用户自定义通用模块的开发 直接分析的语法为 4 f o r t ra n ( 源程序) * m o d u l e ( 分析命令块) + e n d 其中，* f o r t r a n 命令激活f o r t r a n 一7 7 编译器来对源程序进 行编译。源程序必须以d i a n a 软件包提供的子程序名称开始，如果 有多个源程序，则都要以* f o r t r a n 命令开头。* m o d u l e 命令表示分 析开始，后接分析命令模块。 2 、外部文件 通过外部文件分析的语法为： + f o r t r a n t a k e * m o d u l e ( 分析命令块) 4 e n d 其中，* f o r t r a n 命令仅仅表示源程序即将开始。t a k e 命令表 示从u s r o u t 文件中调用代码。它可以调用源程序的外部文件，也可以 调用已经通过编译生成的目标文件。 显然，采用第二种方式，可以更方便地调用不同材料的源程序。 这种方式传递数据的工作原理可由图3l 表示。 1 5 北方交通大学硕士论文 第三章橡胶类材料用户自定义通用模块的开发 注 输 入分析命令输出 导争i i - 一 数据处理 图31 用户自定义子程序数据传递示意图 每个模块( m o d u l e ) 独立完成一种确定的有限元分析任务， 例如，输入模块m o d u l e l 读入对有限元模型的描述。 用户通过一些能够指示系统去分析有限元模型的命令来激 活各个模块，各个模块和中央数据库f i l o s ( f i l e o r g a n i z a t i o ns y s t e mf o rd i a n a ) 文件发生数据传递。 分析完毕后，后处理模块被激活，输出分析及结果。 d i a n a 用户自定义橡胶类材料子程序主要有以下形式： 1 、非线性弹性 ( 1 ) 材料切线本构矩阵e l s e u s ：设定用户自定义非线性弹性 材料的切线本构矩阵 ( 2 ) 总应力e l s g u s ：设定用户自定义非线性弹性材料的总应 力 2 、用户自定义材料模型u s r m a t ：设定用户自定义材料模型， 1 6 北方交通大学硕士论文 第三章橡胶类材料用户自定义通用模块的开发 输出应力矢量、用户状态变量以及材料切线本构矩阵 d i a n a 软件提供的自定义材料子程序接口u s r m a t ，原则上可 以应用于任何一种类型的材料模型。用户编写的子程序在执行其预定 的功能时，不应影响d i a n a 的其他部分。在使用用户定义的材料模 型进行产品分析前，必须检查其组织特性是否定义正确，可以通过简 单单元来试验。在下面的例子里，来自数据文件内表“m a t e r i ”的 信息被传递给用户自定义的子程序u s r m a t 。 f i l ed a t m a t e r y o u n g 1 p o i s o n u s r m a t u s r v a l u s r s t a u s r i n d e n d 3 0 0 0 00 o 1 5 u s r m o d 102 0 0000 oo 其中，u s p , m a t 、u s r v a l 、u s r s t a 、u s r _ i n d 的意义如下： u s r m a t ： 以上一般材料模型是通过用户自定义的的子 程序u s r m a t 来指定的。关键字u s r m o d 在 子程序中当作开关量使用。这就提供了一个 在一个简单子程序中为不同的材料模型进行 编码的机会。 u s r v a l ： u s r v a l 定义了一系列材料参数。这些材料参 数不能在子程序中随意更改。 1 7 北方交通大学硕士论文 第三章橡胶类材料用户自定义通用模块的开发 u s r s t a u s r f n d u s r s t a 定义了一系列内部状态变量的初始 值。这些变量可以在子程序中任意使用和更 改。 u s r i n d 定义了一系列整数变量的初始值。这 些变量可以在子程序中被任意使用和更改。 在这个例子中，除了用户自定义子程序的数据，还输入了杨氏模 量和泊松比，因为初步线性分析要用到这些值。如果在自定义子程序 中需要用到这些数据，则可以通过一个特殊的接口程序g t c 从f i l o s 文件中取出。 32 橡胶材料自定义通用模块 本文编写了可以实现与通用有限元程序接口的橡胶类材料自定义 d i a n a 接口函数 ，d ，6 jff 橡胶材料自定义通用模块 输出d = d ( 彬，) f 具体应变能函数的应用模块 输出彬= 彬( k ，：，。) = ( ，t ，：，) 图3 2d i a n a 接口函数和本文开发的通用模块的关系 北方交通大学硕士沦文 第三章橡胶类材料用户自定义通用模块的开发 模块，利用这个模块，只需编写求变形能对应变不变量的一阶及二阶 偏导的程序，就可以方便地把不同的本构关系加入d i a n a 。图3 2 给 出d i a n a 接口函数和本文开发的橡胶材料自定义通用模块之间的关 系。其中，彬：掣，彬，：害兰 ( f ，：l ，2 ，3 ) 。 3 3 基本公式 为了实现与d i a n a 软件平台的接口，要求给出材料的切线本构 矩阵的表达式。在本章的推导中，将用到一些基本公式 2 6 , 5 9 】，下面作简 单的介绍： 在三维空间中，设物体中有一点，其变形前和变形后的矢径分别 为p 和q ，u 为变形前后发生的位移，如图3 3 所示，则有 u = q p 图33 物体变形示意图 x2 x 2 ( 331 ) 1 9 北方交通大学硕士论文 第三章橡胶类材料用户自定义通用模块的开发 x ( = 1 , 2 ，3 ) 表示该点的l a g r a n g i a n 坐标( 或随体坐标) ，则变形前 与变形后的基矢分别定义为 p = 詈，q ，= 署 ( 3 3z ) b 和q ，( f = 1 , 2 ，3 ) 分别构成协变矢量组，而其共轭基p2 和q7 则构成逆 变矢量组，于是，变形梯度可以定义为 f = q ，o p ( 3 33 ) 其中 为并矢符号，i 称为哑指标，运算中使用e i n s t a i n 求和法则。由 变形梯度可定义g r e e n 应变张量和c a u c h y 应变张量为 g = f 7 f ，c = f f 7( 334 ) 其中，表示转置。 由张量g 或c 可以作出三个独立的应变不变量 = g ：u = c ：u ， ，2 = g 2 ：u = c 2 ：u ，五= g 3 ：u = c 3 ：u( 335 ) 其中u 表示单位向量，：表示双点乘 另外一个不变量k 也是常用到的，它可以表示为 世= 吉( ，? 吲。1 ：+ 2 3 ) ( 336 ) 对于各向同性材料，单位体积的应变能可以用三个独立的不变量 表示，如 w = ，1 2 , 1 3 ) ( 3 37 ) k i r c h o f f 应力为 。：2 i o w ( 338 ) ”2 丽 叫 2 0 北方交通大学硕士论文第三章橡胶类材料用户自定义通用模块的开发 34 材料切线本构矩阵d 和应变能一阶二阶偏导数关系的推导 实现自定义的材料模型与d i a n a 软件平台的接口要求给出 古= d 中的材料切线本构矩阵d 和k i r c h o f f 应力6 。其中，为g r e e n 应变，d 和a 都应看作是e 的函数。各种应力应变状态下的总应变矢 量和总应变矢量表示为： 占1 = ( 占矗) 1 s 3 = 。y 。yz 、t s 4 = 。s 。吒y j t s 6 = k 。s 。s 。：y ，y 。y 。1 t 下面对切线本构矩阵d 的表达式进行推导f 6 。首先证明等式： 昙o ) ：z 。0 。a _ + 要4 ( 341 ) 优优优 假设4 为标量，为二阶张量， 表示并矢。为k i r c h o f f 应力 张量，且有： f a = 爿( ) 1 = ( ) ( 342 ) 证明如f ： 设正交曲线坐标的基矢为e ，| | = 1 ，e ，e ，= 吲。e 表示为 = s ”e ， ej ，i ，_ ，= 1 ，2 ，3 。设： d z ：罢：如( 34 3 ) 因为 = 三”e ，0 e ， ( 3 4 4 ) 2 1 ! ! 互至堕奎堂堡主堡茎 笙三童塑堕耋塑整里芝鱼塞墨望旦堡堡塑堑垄 所以有 在：f 婴 la f0 u i 西。 出“| e ，o e ， 、 e ，。e ， e t 。e z1 ：伍。e 。 e 。) 其中，k ，m ，”= l ，2 ，3 。上式可写成 也= l 瓦o z , je ，鸭 e 趣f 如8 k l j ”? r 由式( 34 3 ) 和式( 346 ) ，所以有 要：警e ，鸭魄e 一c dcw e d h 。 因为 ( 345 ) ( 346 ) ( 347 ) d o t ) = d 0 三，。e ，) = d , 4 三”e ，o e ，+ a d z 9 e ：0e j ( 348 ) 2 瓮氓l p 姻e 】+ a 鼍蛾乳。眠 由式( 34 5 ) ，d 0 ) 可写成 啦) = 矶，吨既) ：陋 眠) + 等e 。鸭卜 吼。) 。， = 忡，。陆灿爿：凼 把式( 343 ) 和式( 3 49 ) 比较，则式( 3 41 ) 成立，证明完毕。 2 2 北方交通大学硕士论文 第三章橡胶类材料用户自定义通用模块的开发 设u 为单位张量，g 为g r e e n 应变张量， g = 2 + u g 的分量形式表示为： 于是 因此 g = g fe ， ej g g = 2 f v + 占f 三个应变不变量为 ( 3 41 0 ) ( 34 1 1 ) ( 34 1 2 ) ，l = g ：u ，厶= g2 ：u ，3 = g 3 ：u ( 341 3 ) 要：u ，磐：2 g ，石0 1 3 ：3 g z ( 341 4 ) a g 7 a g a g 、 筹_ 0 e ，眠队。e j 器喇弧眠队 e j 鲁= 3 ( f i k g v + g , 。靴，鸭队。e k i r c h o f f 应力张量： ：塑：里箜：2 8 w ：删旦 - 一- - 一一一p _ ，一 a 掘穗 a ga g 重复指标f 为哑指标，遵循e i n s t e i n 求和约定。对求偏导得 醒一a 箜_ a a a ga 0 g = 磋g 治= 噎g 何黟 8 、ja