（应用数学专业论文）二阶超线性排斥奇异方程的多重周期正解.pdf

独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文。p 刁；包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机 构的学位或证书而使用过的乖于料。与我一阿i ：作的同忠对奉研究所做的任何贡献 均已在论文中作了明确的说明并表示鲥意。 学位论文作者签名：垡堡岂受i = 1 期：竺堕! ! 堕 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保刚、使用学位论文的规定，即： 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位沦文的复印件和磁盘， 允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学 位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) ，z ， 学位论文作者签名：尘嵫 指导教师签名： 堑垫溢 同 期；竺! 垒! a 塑 r期：! 堕牟臼憎 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 塑瀣太堂通讯地址： 江蒸省直宝直酉廑堕! 量 摘要 二阶超线性排斥奇异微分方程来源于天体力学。具有很高的学术价值和理论价值，是微 分方程理论中一个重要的研究课题。倍受数学和物理工作者的青睐本文着力于研究 z ”+ o ( t ) z = ( t ，。) 的多重周期正解的存在性其中非线性项f ( t ，z ) 在z = 0 处具有排斥的奇性，在z = + o o 处满足超线性条件 整篇论文由两章构成，第一章简述了问题产生的历史背景、本文的主要工作以及本文中 主要定理证明所使用的工具 在第二章中，我们首先考虑所研究对象是正的情形，即： f ( t ，o ) 0 ，v ( t ，z ) 【o ，1 x ( 0 ，+ o 。) 时。方程两个周期正解的存在性在此情形下，允许出现f ( t ，z ) 在z = 0 点的弱奇性，这和文献 1 8 】和【2 0 】得出的结论是一致的 接着我们则致力于考虑所研究对象是半正情形，即t f ( t ，z ) 变号，但存在常数m 0 满足f ( t ，。) ：= f ( t ，z ) + m 0 ，v ( t ，$ ) 【0 ，1 】( 0 ，o 。) ，我们给出了两个周期正解存 在的充分条件在此情形下，强制性条件是必须的 在第二章中，我们的主要结果的证明依赖于l e r a y s c h a u d e r 二择一定理和k r a s n o s e l s k i i 锥不动点定理 同时。我们还在第二章中给出具体的例子来验证我们的结果 关键调t 排斥奇异方程，多重周期正织，l e r a y s c h a u d e r 二择一定理。k r a s n o s e l s k i i 锥不动点定理 3 a b s t r a c t s e c o n d o r d e rs i n g u l a rn o n l i n e a ro r d i n a r yd i f i e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hs u p e r l i n e a rr e p u l s i v ef o r c e sa r i s ef r o mc e l e s t i a lm e c h a n i c s s u c ht y p eo fe q u a t i o n sh a sh i g h v a l u e sn o to n l yi nt h er e s e a r c hf i e l d sb u ta l s oi np r a c t i c e ，a n dt h e r e f o r eh a v eb e c o m e a v e r yi m p o r t a n tp a r ti nt h et h e o r yo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m a n y m a t h e m a t i c i a n sh a v ep a i dm u c ha t t e n t i o nt ot h e m i nt h i sp a p e r ，w ea r ed e v o t e dt os t u d y t h ee x i s t e n c eo f s i n g l ea n dm u l t i p l ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n so f t h ep e r t u b a t i o no f t h eh i l le q u a t i o n z ”+ a ( o x = ( t ，z ) t h et y p eo fp e r t u r b a t i o n sf ( t ，z ) w ea r em a i n l yi n t e r e s t e di ni st h a t ，( t ，z ) h a sa r e p u l s i v es i n g u l a r i t yn e a rz = 0 a n df ( t ，z ) i ss u p e r l i n e a rn e a rz = - 卜o o t h i sp a p e ri sc o m p o s e do ft w op a r t s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h e h i s t o r i c a lb a c k g r o u do ft h ep r o b l e m sw h i c hw i l lb ei n v e s t i g a t e da n dt h em a i nr e s u l t s o ft h i sp a p e r a l s o ，w ew i l ls t a t es o m ep r e l i m i n a r yr e s u l t sw h i c hw i l lb eu s e di no u r p a p e r i nt h es e c o n dc h a p t e r ，f i r s tw ea r ed e v o t e dt os t u d yt h ee x i s t e n c eo ft w i n p o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n st ot h ep o s i t o n ec a s e ，i e ，f ( t ，z ) 0 ，v ( t ，。) ( 0 ，1 j ( 0 ，+ o 。) i nt h i sc a s e ，w ep r o v et h a tt h ew e a ks i n g u l a r 时o ff ( t ，嚣) a tz = 0 i s a l l o w e d ，a sr e v e a l e di n 1 8 】a n df 2 0 】 i nc h a p t e r2 ，t h es e m i p o s i t o n ec a s e ，i e ，f ( t ，o ) + m of o rs o m em 0 ， i sa l s os t u d i e d i nt h i sc a s e ，s o m es t r o n gf o r c ec o n d i t i o n sa r en e e d e dt oo b t a i nt h e e x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ew i l lu s el e r a y s c h a u l d e ra l t e r n a t i v et h e o r e ma n d k r a s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r e mt oo b t a i no u re x i s t e n c er e s u l t s s o m e i l l u s t r a t i n ge x a m p l e sw i l lb eg i v e ni nc h a p t e r2 ， k e y w o r d s ：r e p u l s i v es i n g u l a re q u a t i o n ，m u l t i p l ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n s ， l e r a y s c h a u d e ra l t e r n a t i v e ，k r a s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r e mi na c o n e 4 第一章绪论 5 1 ，1 问题产生的历史背景 本文主要考虑h i l l 方程的扰动 z ”+ o ( t ) 霉= f ( t ，z ) 其中o ( t ) 连续并且是1 一周期函数，非线性项，0 ，z ) 连续且关于t 是l 一周期的 我们主要感兴趣的扰动项是f ( t ，z ) 在g = 0 处具有排斥的奇性，在z = + o o 处满足 超线性条件由于在天体力学中有重要应用，方程( 1 1 ) 一直是很多数学工作者关注的对象， 其中人们考虑较多的问题是方程( 1 _ 1 ) 的周期正解，即：方程( 1 - 1 ) 满足下面边值条件的正解 x ( o ) = 。( 1 ) ，一( o ) = 一( 1 ) ( 1 2 ) 从物理意义来解释，方程( i i ) 在z = 0 处具有排斥奇性( r e p u l s i v es i n g u l a r i t y ) ，如 果 。l - + i m 0 + ，( ，z ) = + 。o 关于t 一致成立 ( 1 3 ) ，( t ，。) 在岳= + 处超线性指的是 。- + l i m + 。f ( g ，x ) x = + 。 关于t 一致成立 ( 1 4 ) 这一类奇异微分方程也出现在很多实际应用问题中比如在贝努力聚焦系统【1 ，6 ，2 3 2 4 和非线性拉伸系统【4 ，5 】中都有应用最近在文献【1 5 j 中发现e r m a k o v p i n n e y 方程 。”+ 。( t 如= z _ 3 的正解存在性在研究纯量牛顿方程周期解的存在性和稳定性方面起到了根基本的作用 从数学的角度考虑。方程( 1 1 ) 是非自治( 因而也是非可积的) h i l l 方程的奇异扰动，近 些年，这一类奇异方程的严格周期正解的存在性以及多重存在性已经吸引了很多科研工作者， 也有了很多文献，可以参考【2 ，5 ，7 ，1 0 ，1 2 ，1 3 ，1 8 ，2 0 ，同时文献 1 6 j 对此也有论述 5 对于这类方程的两种情形，我们介绍一下文献中已有的结论，考虑方程 z ”+ 9 0 ，z ) = 0 ( 1 5 ) 首先，我们介绍一下超线性情形当g ( t ，z ) = g ( x ) 一 ( t ) ，即( 1 5 ) 是线性自治( 因 而也是可积的) 方程的扰动，其中g g ( ( o ，o 。) ，r ) 在z = 0 点满足下面的强制性条件： 。l + i r a 。+ g ( z ) = 一o o ，。l 。i m 。+ j 2 9 ( z ) d x = + o 。 在z = + 处满足超线性条件： 。l i m + 。g ( x ) x = + o o 在该情况下。f o n d a 、m a n s e v i c h 和z a n o l i n 在文献【11 】中利用p o i n c a r 6 - b i r k h o f f 定 理证明了方程( 1 5 ) 的周期正解的存在性；同样的，d e lp i n o 和m a n 玉s e v i c h 在文献【4 中 得到了方程无穷多个周期解的存在性当g ( t ，z ) 在z = + o 。满足超线性条件且在z = 0 点 满足下面的强制性条件； 存在正数c ，d 和矿1 使得对于充分小的z ，有 c ，。一”一g ( t ，。) 一”( 1 6 ) 可以看出，在该情况下，奇异方程( 1 5 ) 的动力学行为和正则情形时是非常相似的 另一种情形就是当g ( t ，卫) 在石= + o o 满足半线性增长阶条件时d e lp i n o m a n t t s e v i c h 和m o n t e r o 在文献【5 】中证明了方程 + g ( t ，z ) = h ( t )( 1 7 ) 至少存在一个周期正解，如果g ( t ，z ) 在z = 0 点满足强制性条件( 1 6 ) ，在。= + o o 满足 下面的非共振条件t 存在正整数k 和充分小的正数s 使得 ( 七7 r ) 2 + g ( t ，z ) 石( ( 南+ 1 ) 丌) 2 一( 1 8 ) 6 对于所有的t 【0 ，1 l 和茹1 成立需要指出的是条件( 1 8 ) 是关于d i r i c h l e t 边值条件， 而非周期边值条件的很标准的一致非共振条件这其中的关系章梅荣在文献 2 4 中有所揭示， 同时他本人也对于方程( 1 7 ) 在半线性情形时傲了一些重要工作，比如在文献【2 2 】中就指出 周期和反周期特征值在研究方程( 1 7 ) 周期正解存在性方面起到了很根本的作用，从而揭示了 与正则情形不一样的现象这些结果是通过应用熏合度理论( 1 6 】得到的 除了重合度理论之外，上下解方法也是证明周期解存在的又一有效手段这方面的工作 可以参考文献 3 】同时应指出，上下解理论也是处理非奇异问题的基本而重要的工具，参考 【l7 1 另一方面关于全连续算子的锥不动点定理在研究方程正解的存在性，尤其是在研究可 分离边值问题时发挥了重要的作用。见文献1 8 ，9 】然而，对于周期问题。就作者而言，还没有 发现太多的文献。而只有在1 1 8 ，2 0 i 中应用了催不动点定理这主要是由于在应用锥不动点定 理时，需要考虑格林函数的符号，而对于周期问题，研究格林函数的符号是很困难的最近， t o r r e s 在文【2 0 中利用文献 2 1 1 所发展的l o 一反最大值原理成功地克服了这一困难，同时 他还得到了周期解存在性方面的一些新结果 1 2 本文的主要工作 本文旨在将惟不动点定理应用于周期问题基于文献1 2 0 】得到的一些结果，我们考虑 h i t l 方程的奇异趣线性排斥扰动，从丽碍到了所研究系统两个周期正解的存在性，见定理2 3 和定理2 9 第一个解的存在性是通过应用l e r a y - s c h a u d e r 二择一定理得到的，而第二解则 是由锥不动点定理碍到的 在第二章中，我们首先考虑了所研究方程是正的情形，即tf ( t ，z ) 0 ，v ( t ，茁) o ，l 】( 0 ，+ ) 时，方程两个周期正解的存在性接着我们又致力于考虑所研究对象是半正 情形，即f ( t ，z ) 变号但存在正常数m 0 满足f ( t ，z ) ：= f ( t ，z ) + m 0 ，v ( t ，z ) 1 0 ，l 】( o ，o o ) 1 = 4 对，我们还在第二章给出具体的例予来验证我们的结果 同时，我们还在第二章中，考虑了具体的方程 茹”+ a ( t ) z = 6 ( t ) z 一。+ p c ( ) z 4 + e ( t ) 7 得到了该方程周期正解存在性的一些结果，在某种意义下这些结果是对文献 2 0 ，2 3 ，2 4 】中 相应结果的统一和改进 1 3 预备引理和定理 本文我们总是假设h i l l 方程 满足下面的标准条件( a ) ： ( a ) ：关于非奇次周期问题 z ”+ a ( t ) x = 0 ( 1 9 ) 茁”+ a ( t ) x = ( ) ， 。( o ) = z ( 1 ) ，z ( 0 ) = 。( 1 ) ( 1 1 0 ) 的格林飚数a ( t ，s ) 满足a ( t ，s ) 0 ，v ( t ，s ) 0 ，1 】【0 ，1 】 换句话说- 条件( a ) 就是保证了问题( 1 1 0 ) 的反最大值原理成立在该情形下( 1 1 0 ) 的解可以用下面的式子表达 z ( 。) = ( c ) ( t ) ：2 上a ( t ，姗( s ) d s t ( 1 1 1 ) 为了保证a ( t ，s ) 的正性，最近在文献【2 1 】中证明了，如果o ( t ) 满足。卜0 ，则g ( t ，s ) 的正性等价于 立l ( n ) 0 ， f 1 1 2 ) 其中符号。卜0 指的是口( t ) 0 ，vt o ，1 1 ，且在【o ，1 l 的某一正测度子集上恒为正；符号 a 1 ( o ) 代表方程 + ( a4 - 口( t ) ) z = 0 ( 1 1 3 ) 相对于反周期边值条件 的第一反周期特征值 z ( o ) = 一。( 1 ) ，z ( o ) = 一z ( 1 ) f 1 1 4 ) 8 在文献【2 1 1 中发现了一些保证条件( a ) 成立的n ( t ) 为了说明这些，我们用i i 。i i q 代 表通常的l q 一模，其中指数g 【1 ，o 。】q 的共厄指数用矿：i l + 古= 1 来表示k ( 口) 代 表满足下面不等式的最佳s o b o l e v 常数t c l l l l ：拶畦 v u h o ( o ，1 ) k ( q ) 的精确表达式为 k ( q ) - - - i 警( 南) 1 司向( 鹉) 2 若。 - 0 且存在1 p o o 使得a 扩f o ，1 ， i l a i l p 0 ，v ( t ，8 ) 【0 ，1 】x 【0 ，1 】 注1 2 如果p = 1 ，则( 1 1 6 ) 对应的条件可减弱为i l a l l l 冬k ( o o ) = 4 ，这是 l y a p u n o v 稳定性条件；如果p = o o ，条件( 1 1 6 ) 变为l l a l l 。0 0 ，0 口 1 同时，若用w ( t ) 代表叫( t ) = ( c 1 ) ( t ) ，即为方程( 1 1 0 ) 对应 于h ( t ) = 1 时的唯一周期解，则有a i i , d 1 1 。b 为了得到方程的第一个解，我t n n i n n t n nl e r a y - s c h a u d e r 二择一定理1 1 7 定理1 3 假设k 为b a n a c h 空间x 的一个凸集q 为k 的一个相对开子集 0 n ，映射t ：q - k 为一个全连续算子，则下列两结论中必有一个成立： ( a 1 ) t 在q 上有一个不动点； ( a 2 ) 存在z a q 和0 0 成立 既然我们将注意力集中在非线性项为排斥超线性情形( 见( 1 3 ) 和( 1 4 ) ) ，不失一般性 假设f ( t ，z ) 满足 ( 毋) 对任意的l 0 ，存在函数九 - 0 使得f ( t ，z ) 咖l ( t ) 对于所有的( t ，z ) 【0 ，1 l ( 0 ，引成立 同时，受到类似于非线性项f ( t ，z ) = 6 ( t ) z 一+ c ( t ) 扩+ e ( t ) 和f ( t ，z ) = 6 ( t ) 士一n + c ( t ) e 。+ e ( t ) 的启发，其中o l ，卢 0 ，我们假设； ( f 2 ) 存在( 0 ，o o ) 上的连续非负函数g ( x ) 和 0 ) 满足 f ( t ，$ ) s9 ( x ) + h ( x ) v ( t ，z ) 【0 ，1 】x ( 0 ，。) 其中9 0 ) 0 单调不增， 忙) 居( z ) 关于茁( 0 ，) 单调不减 定理2 1 设a ( t ) 满足条件( a ) ，f ( t ，z ) 满足( f 1 ) 和( 昂) 同时，假设下面条件成立 ( 玛) 存在正数r 0 满足 而而可可r 骊 怕i i 其中仃= a b 和u ( t ) = ( 1 ) ( t ) 如第一章给出 则方程( 1 1 ) 至少存在一个周期正解满足0 l i x l i r 证明t 定理的证明用到了上一章给出的l e r a y s c h a u d e r 二择一定理，同时证明过程用到了 截断技巧 根据假设( f 3 ) ，选择n o l ，2 ，) 满足 1 1 w l l g ( a r ) ( 1 + h ( r ) g ( r ) ) + l 扎o o 1 3 ( 2 8 ) 从而 z 。( t ) = z 1g ( 抽) a ( 驰。( s ) ) d s + 1 n = j ( 1 g ( t ，s ) m ，z 。( s ) ) d s + 1 n ，1g o ，s ) 咖，( s ) d s + 1 扎：z ，o ) + 1 。a l l 毋，i i l ：6 即( 2 8 ) 成立 为了能从截断方程( 2 7 ) 的解石。得到原始方程( 1 1 ) 的解，需要证明存在常数h 0 ， 使得 i i x l i h ，vn n o ( 2 9 ) 为此，根据边值条件( 1 2 ) ，存在t o 【0 ，1 】满足。：( o ) = 0 方程( 2 7 ) 两边积分，得 z 1a ( t ) z 。( t ) d 忙s 0 1 【，n ( t ，茁。( t ) ) + n ( t ) 仃胁 于是。 i = 躐k i = 躐坛硝s ) d s l 。躐i 厶【 ( s ，( s ) ) + 。( s ) n a ( s ) z n ( s ) 上 ( 岛。n ( s ) ) + ( s ) 1 1 。1s + 上n ( s ) z n ( s ) 凼 ，1 = 2 口( s ) 卫n ( s ) d s 2 r l l a l l l = ：h i i 茁n 1 | r 和( 2 9 ) 表明 z 。) 。0 是【0 ，1 】上的一致有界、等度连续的序列从 而a r z e l a - a s c o l i 定理保证存在 z 。) 。肺的一个子序列 x n k ) k n 一致收敛到函数z c o ，1 】由i | z n0 0 ，vt f 0 ，1 ；p 0 是一个正的参数则 ( i ) 如果卢 0 ，( 1 1 ) 至少存在一个周期正解； ( i i ) 如果卢1 ，则存在一个正常数m ，使得对于任意的0 0 使得 p 竖驾乒 c n r “r p 因此( 1 1 ) 对于任意的 o 弘 p o 竺刿c 装o r 掣一 至少存在一个周期正解应该指出，当卢 0 小于下面方程的第一反周期特征值 z ”+ a ( 1 + c 0 8 t ) x = 0 其中对于d 的假设等价予我们的标准假设( a ) 在【2 0 】中，t o r r e s 同时考虑了强奇性和弱奇 性( o 0 ) 情形，如果应用定理2 i ，我们同样能够得到和【2 0 】中一样的结论 接下来，我们将应用锥不动点定理来寻找方程( 1 1 ) 的第二个周期正解 定理2 3 设条件( a ) 和条件( 日) 一( f 3 ) 都成立，且假设 ( r ) 存在( 0 ，) 上的连续非负函数玑( 。) 和h i ( x ) ，使得 f ( t ，$ ) 9 l ( 茹) + 1 ( z )v ( t ，z ) 0 ，1 】( 0 ，o o ) ， 其中9 l ( 。) 0 单调不增， l ) 乃1 ( z ) 关于z ( 0 ，o 。) 单调不减 ( 见) 存在正数r r 使得 丽熹厕1111agl(r)(1h t ( a r ) g ， + 1 p r ) ) 。 其中仃和u ( t ) 如第一章中给出 则方程( 1 1 ) 除了在定理2 , 1 中构造的周期正解。之外还存在另一个周期正解面满足 r 悔i i r 1 6 证明：设x = c o ，1 】，k 是x 中的锥，其定义由上一章中的( 1 1 8 ) 给出同时设 n l = b r 和q 2 = 口且是x 中的两个开球定义算子t ：kn ( q 2 f 2 1 ) - k 为 ，l ( n ) ( f ) 2 上g ( 。，8 ) m ，z ( s ) ) d 5 易见算子t 在n ( q 2 q 1 ) 上定义是合理的同时要指出的是，根据k 的定义，对于任意 的z k n ( q 2 q 1 ) ，有0 仃r z ( t ) s j r 首先我们有 l i t ：c i 1 ，同时候设c ( t ) 0 ，v 【0 ，1 】为 了验证条件( 只) ，选取 g l ( z ) = 6 l z o ，h i ( z ) = , u c l z 卢+ e 1 1 7 其中 b 1 = 哑n 0 ， c 2m t i nc ( t ) o ， e l 。啊“。( 。) 2o 存在性条件( f 5 ) 此时变为 肛型掣黯竽竺 ( 2 1 4 ) 既然卢 l ，上式右端当r 寸+ o 。时是趋于0 的于是，对于任意的0 1 ，d ( ) 0 ，c ( t ) 0 ，vt 【0 ”则对j 任意的p ( 0 ，m ) ，对应的方程( 1 1 ) 至少存在两个不同的周期正解， 对于非线性项( 2 1 1 ) ，类似的多解结果也成立 注2 ，1 ：在有关排斥奇异方程的文献中，通常假设某种形式的强制性条件( 参考下1 - 节的 ( g 3 ) ) ，该条件代表势能在。处趣于无穷特别地，这类条件常被用来获得周期解的一个严格 下界事实上，如果没有进一步的假设条件，强制性条件是不能取消的，而这类条件也在文献 中变成标准的假设景近，在弱奇性的情况f ， i , c - t c i l l f l k 。、。e ta 】和7 ( 、s 分别在文栽 i 1 j j 带! 1 2 qr ：嘏钠j 。 些存在慧结果盘二甜业? 秀i 蔓n 1 霹缂是艟够处学： _ ：- 12 “i ? ，v t 定理2 1 和2 及其推论中是不需要强制性条件的 2 2 半正情形 接下来我们针对半正情形，建立方程( 1 1 ) 多重周期正解的存在性 称方程( 1 1 ) 是半正的，如果f ( t ，3 7 ) 变号且满足 ( g 1 ) 存在正常数m 0 满足f ( t ，z ) ：= f ( t ，。) + m 0 ，v ( t ，z ) 【0 ，1 】( 0 ，o 。) 和定理2 1 中限制f ( t ，x ) 的条件类似，我们假设 ( g 2 ) f ( t ，z ) s9 ( z ) + 0 ) ，其中夕扛) ，h ( x ) 为连续非负函数，且g ( x ) 0 单调不增 h 扛) 居( ) 单调不减 1 8 对于半正情形，f ( t ，z ) 在z = 0 点附近的强制性条件是必需的，我们给出很典型的一 个： ( g 3 ) 存在( 0 ，o o ) 上单调不增的正连续函数g o ( x ) 以及常数扁 0 使得 f ( t ，z ) g o ( 。) ，v ( t ，z ) 0 ，1 】( 0 ，j b 】， 其中g o ( x ) 满足 姆珈( 。) = + o 。，。1 + i m 。+ j 。g o ( u ) d t r o u = + 。 定理2 6 假设口( t ) 满足条件( a ) ，f ( t ，茁) 满足( g 1 ) 一( g 3 ) 1 i t ，b ，假定 ( g 4 ) 存在r 硎u 0 肛使得而若前两横耳而i 7 i 两 i i u 其中盯和u ( t ) 如同上一章 中给出 则方程( 1 1 ) 至少存在一个周期正解。满足0 忙+ m u | | r 。 证明一由于证明过程中有一部分和定理2 1 的证明是类似的。这里我们把侧重点放在其 不同点上 选择竹o 1 ，2 ，) 满足1 伽 盯r m l l w l | 和 1 1 w l l g ( 盯r m 1 1 w 1 1 ) ( 1 + ( r ) g ( r ) ) + 1 n o m w ( t ) ，vt 【0 ，1 】，0 i i x l i r 如果这是真 的则u ( t ) = x ( t ) 一m o v ( t ) 是( 1 1 ) 一( 1 2 ) 的一个正解，且有0 i l u + m 叫l l 0 ，使得对于充分大的亿，有 2 c n ( t ) 一m w ( t ) 6 ，v t 【0 ，1 】( 2 , 2 0 ) 由于( 2 1 9 ) 与( 2 2 0 ) 成立，和定理2 1 中的标准证明一样，利用a r z e l a - a s c o l i 定理， 可以抽取 z n n 0 的一个子序列 z 。k i n ，使得 z n k ) n 一致收敛到函数c o ，l l ， 并且茁满足 ，l 岳( 。) 。上g ( t ，s ) f ( 邺( s ) 一妣( s ) ) 幽， 即茁是( 2 1 5 ) ( 1 2 )- - 4 i 1 ，且满足l i | l 0 和正整数? 2 2 n o ，使得对于方程( 2 1 8 ) 的任意一个解z 。 满足不等式( 2 2 0 ) ，其中n n 2 证明t 不等式( 2 2 0 ) 的证明需要使用s ( t ，z ) 的强制性条件( g 3 ) 根据假设( c 3 ) ，存在r 1 ( 0 ，r o ) 和连续函数蜘满足 f ( t ，z ) 一o ( t ) z 蜘( z ) m a x m ，r l l a l l i ，v ( t ，z ) 【0 ，1 】( 0 ，冗1 ，( 2 2 1 ) 2 0 其中4 0 同样满足强制性条件( g 3 ) 选择m n o ，1 n t 曼r l ，令n l = 付“n l + 1 ，) 对于n n 1 ，令 ( o ) 口n 。o m 。i 。n i x n ( t ) 一m u ( f ) 】 和 岛2 o m r l l 1 l l l ； i l i f 如j l tx n ( t ) 一m w ( t ) 1 n ，有 凡o ，x n ( t ) 一m w ( t ) ) = f ( t ，1 n ) a ( t ) l n + 豆o ( 1 n ) 蜘( 1 n ) t l l a l l l 积分( 2 1 8 ) 可得 o 2 7 0 p ：( t ) + 口( ) 石n ( t ) 一r o ，z n ( t ) 一m u ( f ) ) 一口( t ) n d t f 1r lr l 2 五n ( ) z n o ) a t 一( 1 n ) 五。( t ) d t 一上凡( t ，z n ( t ) 一m w ( t ) ) d t r 1 vn n l ， ( 2 2 4 ) 接下来我们考虑最小值a 。，n 扎1 为此，分两种情形进行讨论 2 1 情形1 血。凰，此时( 2 2 0 ) 式自然成立 情形2 a 。 r 1 ，即：存在a 。【0 ，1 】使得 q n = r a i 、n 茁n i t ) 一m w i t ) = 正n ( n ) 一m ( o n ) r 1 1 2 2 5 ) 由于d 。= x n ( o 。) 一m u ( 。) 口( t ) ( z 。( t ) 一 彳u ) ) + m ， 而如果t 【a 。，c r i 】满足( t ) 一m w ( t ) 1 n ，我们有 r 0 ，$ n ( t ) 一 f u ( t ) ) = f ( t ，1 扎) o ( ) n + g o ( 1 , 1 ) n ( t ) ( z 。( ) 一且彳u ( ) ) + m 。 总之，( 2 2