（控制理论与控制工程专业论文）多项式矩阵描述线性系统动态补偿器设计.pdf

中文摘要 2 0 世纪7 0 年代以来，以多项式矩阵理论为基础的线性时不变系统的复频率 域理论得到了快速的发展，形成了较为完整和成熟的现代线性系统复频率域理 论。其主要特点是：采用传递函数矩阵的矩阵分式描述( m f d ) 或者多项式矩阵描 述( p m d ) 作为系统数学模型，并以多项式矩阵方法作为系统分析和综合的工具。 本文针对当前线性系统复频率域理论的研究现状，研究了求多项式矩阵核空间最 小多项式基以及线性系统动态补偿器的设计问题，主要内容归结如下几个方面： 一、针对多项式矩阵的左核空间，提供了一种如何计算多项式矩阵的一组最 小多项式基的方法。该算法利用了多项式矩阵左核空间结构的一般w o l o v i c h 结 式和s y l v e s t e r 结式计算多项式矩阵左核最小多项式基的行向量。对系数矩阵运 用正交变换，确定最小多项式基的标准正交系数。 二、针对多项式矩阵描述的线性系统，研究了在完全能控能观条件下，系统 动态补偿器的参数表现形式问题。先讨论了互质多项式矩阵满足的关系，再利用 这些关系求解单边多项式矩阵方程，最后，给出系统输出反馈补偿器集合的参数 表示形式。 三、研究了一般情况下基于多项式矩阵描述线性系统的动态补偿器的设计问 题。利用多项式矩阵的互质关系，结合单边多项式矩阵方程的求解算法，给出了 一般形式的补偿器设计算法，并通过实例说明了该算法的有效性。 关键词：线性系统多项式矩阵描述矩阵分式描述最小多项式基 动态补偿器 a b s t r a c t f r o m7 0 s2 0c e n t u r y , t h et h e o r yo fl i n e a rt i m e i n v a r i a n t s y s t e m sc o m p l e x f r e q u e n c yd o m a i nw h i c hi sb a s e do np o l y n o m i a lm a t r i xh a dar a p i dd e v e l o p m e n t ，a n d f o r m e da l li n t e g r a t e da n ds o p h i s t i c a t e dm o d e ml i n e a r s y s t e m sc o m p l e xf r e q u e n c y d o m a i nt h e o r y i t sp r i m a r yc h a r a c t e r i s t i ci st h a ti tu s e st h et r a n s f e rf u n c t i o nm a t r i x ，s m a t r i xf r a c t i o nd e s c r i p t i o n ( m f d ) o r m a t h e m a t i cm o d e lo fs y s t e m s ，t a k e st h e p o l y n o m i a lm a t r i xd e s c r i p t i o n ( p m d ) a sa p o l y n o m i a lm a t r i xa p p r o a c ha st h et o o lo ft h e s y s t e m sa n a l y s i sa n ds y n t h e s i s i nt h el i g h to fr e c e n tw o r ko nt h et h e o r yo fl i n e a r s y s t e m sc o m p l e xf r e q u e n c yd o m a i n ，t h i st h e s i sp r o v i d e sas y s t e m a t i cs t u d yo nt h e p r o b l e mo fd e t e r m i n a t i o no fam i n i m a lp o l y n o m i a lb a s i so ft h el e f tk e r n e lo fag i v e n p o l y n o m i a lm a t r i xa n dd e s i g nd y n a m i cc o m p e n s a t o r sf o rl i n e a r s y s t e m s t h em a i n c o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ： an e wa l g o r i t h mf o rt h ec o m p u t a t i o no fam i n i m a l p o l y n o m i a lb a s i so ft h el e f t k e r n e lo f p o l y n o m i a lm a t r i xi sp r o p o s e d t h i sm e t h o de x p l o i t st h es t r u c t u r eo ft h el e f t n u l l s p a c eo fg e n e r a l i z e dw o l o v i c ha n ds y l v e s t e rr e s u l t a n t st o c o m p u t er o w p o l y n o m i a lv e c t o r st h a tf o r mam i n i m a lp o l y n o m i a lb a s i so fl e f tk e r n e lo fp o l y n o m i a l m a t r i x t h ee n t i r ep r o c e d u r ec a nb ei m p l e m e n t e du s i n go r t h o g o n a lt r a n s f o r m a t i o n so f c o n s t a n tm a t r i c e sa n dr e s u l t st oam i n i m a ib a s i sw i t ho r t h o n o r m a lc o e f f i c i e n t s s o m e p r o b l e m sa b o u tt h ed e s i g no fd y n a m i cc o m p e n s a t o r sf o rp o l y n o m i a lm a t r i x d e s c r i p t i o nb a s e dl i n e a rs y s t e m s ，w h i c hi sc o n t r o l l a b l ea n do b s e r v a b l e ，i sd i s c u s s e d a n u m b e ro fr e l a t i o n sw h i c ha r es a t i s f i e db yp r i m e p o l y n o m i a lm a t r i c e sa r ed e r i v e da n d t h e nu s e dt os t u d yt h ep o l y n o m i a lm a t r i xe q u a t i o na n dt op a r a m e t r i c a l l yc h a r a c t e r i z e t h ec l a s so fo u t p u tf e e d b a c kc o m p e n s a t o r sf o r l i n e a rs y s t e m s u n d e rn o r m a l c i r c u m s t a n c e s ，t h ep r o b l e ma b o u tt h ed e s i g no fd y n a m i c c o m p e n s a t o r sf o rl i n e a rs y s t e m sb a s e do np o l y n o m i a lm a t r i xd e s c r i p t i o ni sd i s c u s s e d b yu t i l i z i n gt h er e l a t i o nb e t w e e np r i m ep o l y n o m i a l m a t r i c e s ，a n dl i n k i n gt h e q u o m o d oo fd e r i v a t ep o l y n o m i a lm a t r i xe q u a t i o n ，t h eg e n e r a lf o r mo fc o m p e n s a t i o n d e s i g na l g o r i t h mi sg i v e n ，w h i c hi ss h o w nt ob ee f f e c t i v eb vn u m e r i c a le x a m p l e a s k e yw o r d s ：l i n e a r s y s t e m s ，p o l y n o m i a lm a t r i xd e s c r i p t i o n ，m a t r i xf r a c t i o n d e s c r i p t i o n ，m i n i m a lp o l y n o m i a lb a s i s ，d y n a m i cc o m p e n s a t o r s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤壅盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：绦六孵 签字日期： i 0 0 7 年莎月夕日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解叁鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤鲞盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 综穴游 签字日期： 2 口- 7 年莎月7 日 导师签名： 壤f 酗 辩嗍节拍7 日 ，1 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 控制理论的发展 第一章绪论 控制理论实质上是一种方法论，在二百余年的发展历程中形成了时域法和复 频率域法两大方法体系，其理论上的进步是与当时科学技术的发展水平和社会的 需求相适应的。 控制论的形成和发展始于技术。最早从解决生产实际问题开始，首先建立的 是工程控制论。其后，由于它对生产力的发展，尖端技术的研究与尖端武器的研 制起到了积极的作用，控制论在它建立后的短短时期内便迅速渗透到许多科学技 术领域中，并以相关的分析观点派生出许多新型的边缘学科，其中包括生物控制 论、经济控制论、社会控制论等。2 0 世纪上半叶，相对论、量子论和控制论被 认为是三大伟绩，称为三项科学革命，是人类认识客观世界的三大飞跃。 其实，自动控制理论的产生可以追溯到十九世纪中叶。1 7 8 8 年英国机械师 瓦特( j w a t t ) 发明了离心调速器，并把它与蒸汽机的阀门连接起来，构成了蒸汽 机转速的闭环自动调节系统。 当时人们发现蒸汽机的转速会忽高忽低，即系统会发生震荡( 不稳定) 。这迫 使人们从理论上对其加以研究。1 8 6 8 年m a x w e l l 用微分方程描述并总结了调速 器理论，发表的论调速器( o ng o v e r n o r s ) 被认为是人们开始进行控制理论研 究的一个标志性文章。1 8 7 6 年俄国机械学家维什涅戈拉茨基进一步总结了调速 器理论，归结为只研究描述自动调节系统的线性齐次微分方程的通解问题。 1 8 7 7 年英国数学家劳斯( e r o u t h ) ，1 8 9 5 年德国数学家胡尔维茨( a h u r w i t z ) 提出代数稳定判据( s t a b i l i t yc r i t e r i a ) ，并沿用至今。1 8 9 2 年俄国数学家a 李亚普 诺夫提出稳定性的严格数学定义并且还发表了他的专著。他的稳定性理论至今还 是研究分析线性和非线性系统稳定性的重要方法。 回顾近百年来的工程技术的发展，我们可以看到，2 0 世纪的控制科学与技 术是在实践的重大需求驱动下快速发展起来的，它经历了若干重要的发展时期， 如2 0 世纪初的l y a p u n o v 稳定理论和p i d 控制律概念；2 0 世纪2 0 年代的反馈放 大器；2 0 世纪3 0 年代的n y q u i s t 与b o d e 图；2 0 世纪4 0 年代维纳的控制论；2 0 世纪5 0 年代贝尔曼动态规划理论和庞特里亚金极大值原理；2 0 世纪6 0 年代卡 尔曼滤波器、系统状态空间法、系统能控性和能观性；2 0 世纪7 0 年代的自校正 天津大学硕士学位论文第一章绪论 控制和自适应控制；2 0 世纪8 0 年代针对系统不确定状况的鲁棒控制；2 0 世纪 9 0 年代基于智能信息处理的智能控制理论。 在控制理论整个的发展过程中具有里程碑意义的是2 0 世纪6 0 7 0 年代初提 出的将古典控制理论中的高阶常微分方程转化为一阶微分方程组的状态空间法， 也正由此将“古典控制理论”的研究过渡到“现代控制理论 的研究 5 , 7 , 1 0 , 1 1 , 1 3 】。 1 2 线性系统的研究概况 1 2 1 线性系统的发展 一般认为，奈奎斯特( h n y q u i s t ) 在2 0 世纪3 0 年代初对反馈放大器稳定性的 研究，是系统控制作为- - i 7 学科发展的开端。线性系统理论的发展过程经历了“经 典线性系统理论 和“现代线性系统理论”两个阶段。 线性系统的经典理论形成是以三项理论性结果为标志的：一是奈奎斯特在 1 9 3 2 年提出来的关于反馈放大器稳定性的结果；二是波特( b o d e ) 在2 0 世纪4 0 年代初引入的相对于对数频率的对数增益图和线性相位图，即波特图：三是伊万 思( w r e v a n s ) 在19 4 8 年提出的根轨迹方法。 经典线性系统理论的主要研究对象是单输入单输出线性时不变系统。主要的 数学基础是傅立叶变换和拉普拉斯变换。系统描述的基本数学模型是传递函数和 频率响应。分析和综合控制系统的主要方法是频率相应法和根轨迹法。该理论的 突出特点是物理概念清晰，研究思路直观，方法简单实用。其局限性表现在：一 般难于有效地处理多输入多输出线性系统的分析综合，以及难以揭示系统内部的 更为深刻的特点。 本世纪5 0 年代，经典的线性系统理论已经发展成熟和完备，并在不少工程 技术领域中得到了成功的应用。在5 0 年代蓬勃兴起的航天技术的推动下，线性 系统理论在19 6 0 前后开始了从经典到现代阶段的过渡，其重要标志之一是卡尔 曼( r e k a l m a n ) 系统地把状态空间法引入到系统和控制理论中来。状态空间法的 基本特点是：采用状态空间这种内部描述取代先前的传递函数那种外部输入输出 描述，并且对系统的分析和综合直接在时间域内来进行。此外，状态空间法可以 同时适用于单输入单输出系统和多输入多输出系统，对线性定常系统和线性时变 系统都适合，从而大大扩充了所能处理问题的领域。在状态空间法的基础之上， 卡尔曼提出了能控性和能观性这两个表征系统结构特性的重要概念，已经证明这 是线性系统理论中两个最基本的概念。状态空间法使得分析方法用“系统内部研 究代替了传统的“系统外部研究。通常，建立在状态空间法基础上的线性系 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 统分析和综合的方法通常称为现代线性系统理论。 自6 0 年代中期以来，线性系统理论不仅在研究内容还是在研究方法上，又 有了一系列新的发展。出现了从几何方法角度来研究线性系统的结构和特性的几 何理论，出现了以抽象代数为工具的代数理论，也出现了在推广经典频率法基础 上发展起来的多变量频率域理论。与此同时，随着计算机技术的发展和普及，线 性系统分析和综合中的计算问题，以及利用计算机对线性系统进行辅助分析和辅 助设计的问题，也都得到了广泛的讨论和充分的研究。可以说，线性控制理论是 系统与控制理论中最为成熟和最为基础的一个组成分支，是现代控制理论的基 石。系统与控制理论的其他分支，如最优控制理论、最优估计理论、随机控制理 论、非线性系统理论、大系统理论都不同程度地受到线性控制理论的概念、方法 和结果的影响和推动 7 , 1 0 a l 】。 1 2 2 线性系统的主要研究内容 在系统与控制理论中，主要研究动态系统，通常也称其为动力学系统。动态 系统常可用一组微分方程或差分方程来表征，并且可对系统的运动和各种性质给 出严格和定量的数学描述。当描述动态系统的数学方程具有线性属性时，称相应 的系统为线性系统。线性系统是一类最为简单、研究最为充分的动态系统。 严格地说，一切实际的系统都是非线性的，真正的线性系统在现实世界是不 存在的。但是，很大一部分实际系统，它们的某些主要关系特性，在一定的范围 内，可以充分精确地用线性系统来加以近似地表示。并且，实际系统与理想化了 的线性系统间的差别，对于所研究的问题而言已经小到无关紧要的程度而可以忽 略不计。因此，从这个意义上说，线性系统或者可线性化的系统又是大量存在的， 这也正是研究线性系统的实际背景。 线性系统理论的研究对象为线性系统，它是实际系统的一类理想化了的模 型，通常可以用线性的微分方程和差分方程来描述。 简单地说，线性系统理论主要研究线性系统状态的运动规律和改变这种运动 规律的可能性和方法，建立和揭示系统结构、参数、行为和性能间的确定的和定 量的关系。在对系统进行研究的过程中，建立合理的系统数学模型是首要的前提， 对于线性系统，常用的模型有时间域模型和频率域模型，时间域模型比较直观， 表现为微分方程组或差分方程组，可以同时适用于常系数系统和变系数系统；而 频率域模型表现为传递函数和频率响应，只适用于常系数系统。前者建立系统数 学模型的基本途径一般通过解析法，后者则是通过实验的方法。 线性系统理论所研究的主要内容涉及了：线性控制系统的数学模型描述；线 性系统的稳定性分析( 李雅普诺夫稳定性) ；线性系统的结构特性分析( 系统能控 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 性、能观性) ；以及线性定常系统的综合问题( 反馈控制问题、极点配置问题、镇 定问题、状态重构问题、解耦控制问题、跟踪问题、线性二次型最优控制问题等 等) 【4 6 , 7 , 8 , 1 0 , 1 1 】。 1 2 3 线性系统的主要学派 随着所采用的数学工具和所采用的系统描述方法的不同，线性系统理论已经 形成了四个平行的分支，它们反映了线性系统理论中的一些主要学派【8 ，9 ，1 0 】。 ( 1 ) 线性系统的状态空间法 状态空间法是线性系统理论中一个最重要和影响最广的分支。在状态空间法 中，用以表征系统动力学特征的数学模型，是反映输入变量、状态变量和输出变 量间关系的一对向量方程，称为状态方程和输出方程。状态空间法的本质是一种 时间域方法，其主要的数学基础是线性代数和矩阵理论。不管是系统分析还是系 统综合，状态空间法已经发展了一整套较为完整和成熟的理论和算法。线性系统 理论的其他分支，大都是在状态空间法的影响和推动下形成和发展起来的- ( 2 ) 线性系统的几何理论 几何理论是由加拿大著名学者旺纳姆( w m w o n h a m ) 在7 0 年代初创立的。几 何理论的特点是把对线性系统的研究转化为状态空间中的几何问题，主要的数学 工具是以几何形式表述的线性代数，基本的思想是把能控性和能观性等系统结构 特性表述成不同的状态子空间的几何属性。在几何理论中具有关键意义的概念是 叫，胗不变子空间和叫，胗能控子空间。 ( 3 ) 线性系统的代数理论 代数理论的出现起源于卡尔曼( r e k a l m a n ) 在6 0 年代末运用模论工具对域 上的线性系统进行的研究。线性系统的代数理论是用抽象代数工具表征和研究线 性系统的一种方法。代数理论的主要特点是把系统的各组变量之间的关系看成某 些代数结构之间的映射关系，从而可以把对线性系统的描述和分析实现完全的形 式化和抽象化，使之转化成为纯粹的抽象代数问题。 ( 4 ) 多变量频域理论 多变量频域理论的实质是以状态空间法为基础，采用频率域的系统描述和频 率域的计算方法，来分析和综合线性定常系统。在多变量频域理论中，平行和独 立地发展了两类分析综合方法。一类是频率域设计方法，它主要由罗森布罗克 ( h h r o s e n b r o c k ) 和麦克法伦( a g j m a c f a r l a n e ) 提出来的。该方法的特点是把多 输入多输出系统转化为一系列单输入单输出系统来处理，并把经典线性系统控 制理论的频率响应方法中许多有效的方法推广到多输入多输出系统中来。另外的 一类是多项式矩阵设计方法，它主要是由罗森布罗克( h h r o s e n b r o c k ) 和沃罗维 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 奇( w a w o l o v i c h ) 等在7 0 年代提出来的。该方法的特点是采用传递函数矩阵的矩 阵分式描述作为系统的数学模型，并且在多项式矩阵计算和变换方法的基础上， 建立了一整套分析和综合线性定常系统的理论和方法。与状态空间法相比较，多 变量频域方法具有物理直观性强、便于设计调整等优点【1 , 2 , 6 , 8 , 1 0 , 1 2 , 1 4 , 1 5 】。 1 3 多项式矩阵理论与应用 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是 数学研究和应用的一个重要工具。 矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两 个多世纪的发展，现在已成为独立的- - fj 数学分支矩阵论。而矩阵论又可分 为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵及其理论现 已广泛地应用于现代科技的各个领域。 而多项式是一类最常见、最简单的函数，它的应用非常广泛。多项式理论是 以代数方程的根的计算和分布作为中心问题，也叫做方程论。研究多项式理论， 主要在于探讨代数方程的性质，从而寻找简易的解方程的方法。 多项式代数所研究的内容，包括整除性理论、最大公因式、重因式等。一直 以来，大量的学者对多项式矩阵的互质性质【1 4 , 1 6 】；多项式矩阵的稳定性【1 7 , 1 9 , 2 0 , 2 2 1 ； 还有两个多项式矩阵的除法运算【8 , 2 3 , 3 1 】等等问题进行了深入的研究。此外，讨论 如何求解多项式矩阵方程【2 4 】，以及多项式矩阵的求逆运算【2 1 1 ，也是多项式代数 所关心的问题。 随着现代科学的发展，多项式与多项式矩阵理论的用途越来越广泛。特别是 在现代控制理论之中，频域分析法就是以多项式和多项式矩阵为数学工具的一种 系统设计方法 3 , 1 4 , 1 5 , 4 7 。其中很多相关的文献对求解多项式矩阵方程求解进行了 研究f 5 ，9 ，4 1 粕，4 9 1 ，也有学者研究了用多项式矩阵分式描述的线性系统【3 9 , 5 0 , 5 2 , 5 3 】。 1 4 动态补偿器的研究理论与现状 在一般的情况下，不能用静态输出反馈u = k y 任意配置线性定常系统的所有 极点，但是在给定的线性系统满足完全能控能观的时候，可以用动态输出反馈任 意配置线性定常系统的所有极点。观测器实质上就是一个动态输出反馈控制器， 通常也称为动态补偿烈m 12 1 。 对于一般的线性定常系统，动态补偿器可以是以原系统的输出为其输入的反 馈型的( 特别地，还可以把原系统的输入同输出一起作为动态补偿器的输入) ，也 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 可以是以跟踪误差作为输入的前馈型的，此外，还可以有同时具有反馈型和前馈 型的动态补偿器。反馈型动态补偿器的功能是使得闭环系统稳定。然而观测器型 动态补偿器是以原系统的输入“和输出y 作为补偿器的输入。 本文讨论的动态补偿器基本上都是基于输出反馈的动态补偿器，即指的是反 馈型的动态补偿器。实际上，就输出一输入关系的角度，一个包含了输出反馈型 动态补偿器的系统等价于原系统是包含了观测器的状态反馈系统。 在大多数情况下由于各方面的原因，使得原线性系统的状态不能完全或者完 全不能测量得到，这样状态反馈控制律就不可能在物理上实现。解决这个问题的 手段就是用动态系统重构系统的状态，并用它们来实现状态反馈控制律。这种重 构系统状态的动态系统就称为原系统的状态观测器。状态观测器设计事实上可以 看为状态反馈控制律设计的对偶问题，在设计上也可以借鉴状态反馈控制律。 就反馈信息的性质而言，由于状态x 可以完全地表征系统结构的信息，因而 状态反馈是一种完全的系统信息反馈。输出反馈则是系统结构信息的一种不完全 反馈。为了使得输出反馈达到满意的性能，需要单独地或者同时引入串联补偿器 和并联补偿器，而构成动态反馈系统。一般补偿器常为阶次较低的线性系统，它 的引入提高了整个反馈系统的阶次。就反馈的工程构成而言，由于输出变量可以 直接测量，因此输出反馈显然要比状态反馈更加优越。解决状态反馈工程构成的 一个现实途径是引入附加的状态观测器。利用原系统的可测量的变量y 和甜作为 其输入以获得x 的重构量曼，并以此来实现状态反馈。通常，不可能做到使圣和 x 完全相等，但是可以做到使两者渐近相等即当时间f 专时量( f ) 和顶d 相等。状 态观测器也是一个线性系统，其维数一般等于或者小于被观测系统的维数。同样， 状态观测器的引入也提高了反馈系统的阶次【5 , 7 , 1 0 - 1 2 1 。 观测器的建立解决了受控系统的不能测量的状态重构问题，使得状态反馈的 工程实现成为可能。但是，状态反馈是相对于受控系统的真实状态进行综合的， 因此采用重构状态代替真实状态反馈将会产生一些影响和问题，这也是系统设计 和分析所关心的。 包含了观测器的状态反馈系统有一些特殊的性质。引入观测器的结果，提高 了状态反馈系统的维数。并且满足受控系统的维数和观测器的维数之和等于包含 了观测器的状态反馈系统的维数；其次，包含了观测器的状态反馈系统的特征值 集合具有分离性。也就是说，观测器的引入，不影响由状态反馈阵k 所配置的 系统特征值，状态反馈的引入，也不影响已设计好的观测器的特征值。因此，对 于包含了观测器的状态反馈系统，其设计可分离地来进行，即状态反馈控制律的 设计和观测器的设计可以独立地分开进行。通常，这个性质称为分离定理。再次， 观测器的引入不改变原状态反馈系统的传递函数矩阵。最后，一般有包含了观测 天津大学硕士学位论文第一章绪论 器的状态反馈系统在鲁棒性上要比直接状态反馈系统差。 实际上，一个引入了观测器的状态反馈系统，就输入一输出关系的角度，将 可以等价为一个同时引入串联补偿器和并联补偿器的输出反馈系统。但是，如果 直接在复频率域内来综合带补偿器的输出反馈系统，那么常常只需要引入串联补 偿器就可以使得输出反馈系统达到所要求的性能指标 7 , 1 0 - 1 2 】。 简单的输出反馈是指只取原对象系统的能测到的输出信号作为反馈信号。很 多控制系统实际上都是输出反馈。从设计方法上来讲，输出反馈和状态反馈似乎 并没有什么原则上的区别，但这只是对名义系统的设计来说的，若是从鲁棒性来 考虑，两者还是有明显的差别的。 在实际应用中，许多控制对象很难被精确描述，在其数学模型中不可避免地 存在各种形式的不确定性。控制系统常见的不确定性主要包括参数不确定性和未。 建模动态不确定性( 或称为动态不确定性) 两种，动态不确定性又可分为加性不 确定性、乘性不确定性、互质因子不确定性三种形式。参数不确定性对系统的影 响通常发生在低频，未建模动态不确定性主要表现在高频。输出反馈的鲁棒性问 题一般考虑的是加性不确定性、乘性不确定性和互质因子不确定性。 系统设计的时候可能采用状态反馈的方法，但是最终实现时则是状态反馈加 观测器，变成了输出反馈控制。虽然加观测器有分离性定理可以保证状态反馈的 极点不发生变化，但是由于控制器加控制对象的系统结构形式发生了变化，使得 系统在变化前后的鲁棒性并不等价【3 4 】。所以一个状态反馈设计时具有良好鲁棒性 的系统，用输出反馈实现时可能没有鲁棒性。 对输出反馈来说，设计的难点是不容易( 甚至无法) 使闭环极点都配置在期 望的位置上。有学者提出一种新的极点配置设计方法 3 5 1 ，该方法是通过对严格的 正实函数进行互质分解，使输出反馈的稳定问题变成了极点配置问题，而此问题 又是一个凸问题，可以构造一个线性矩阵不等式( l m i ) ，解此l m i 即可得出控制 器。由于这种极点配置方法综合运用了极点配置、正实性引理、有界实引理、线 性矩阵不等式等概念和算法，使得设计简单、直观。此外，该方法也可用于强镇 定控制器的设计1 35 l 。 输出反馈使用的是对象的输入输出模型，对线性系统来说，对象的数学模型 就是传递函数。而传递函数是用零极点来表征的，零点在右半平面时系统称为非 最小相位系统。非最小相位系统的控制一直是控制界的研究课题。最近，针对非 最小相位系统的鲁棒镇定问题，著名学者a i s i d o r i 提出了一种新方法零动态解 开法【3 7 1 。零动态是非线性理论中的一个概念【3 6 l ，相当于传递函数中零点的概念。 零动态渐近稳定的系统也称为最小相位系统。a 1 s i d o r i 为研究非最小相位系统的 输出反馈控制提供了一种全新的设计方法【3 7 】。 天津大学硕士学位论文第一章绪论 挠性系统由于存在弱阻尼模态，所以也是输出反馈设计中的一个难题，尤其 是当有数个挠性模态都需要考虑时，系统的鲁棒性更不容易保证。对这样的挠性 系统，有文献提出用局部正实性的概念来进行设计【3 8 】。严格的局部正实性概念是 将那些具有弱阻尼的模态设计成正实的，即使得系统中与弱阻尼模态对应的那部 分n y q u i s t 图的顶点( 最大值) 都落在正实轴上。但是这种正实性的要求过强， 对系统的稳定性要求来说是过于保守了，其实可以将这个正实性要求放松一些， 只要弱阻尼模态的那一段n y q u i s t 图线的顶点位于右半平面即可【3 引。 1 5 本文的内容安排及主要研究成果 1 5 1 本课题研究的内容 本论文的主要工作是在线性系统的复频率域理论的基础之上，重点研究了多 项式矩阵描述的线性系统动态补偿器设计的问题。本论文的主要工作分为以下的 几个部分：一部分讨论了如何计算多项式矩阵核空间的最小多项式基，另一部分 讨论了多项式矩阵描述下标准形式的线性系统如何设计动态补偿器的问题；最后 一部分讨论了基于多项式矩阵描述的一般形式的非奇异线性系统如何设计动态 补偿器的问题。本文的内容安排如下： 第一章：绪论。介绍了线性系统相关的背景知识，复频率域理论的研究发展 现状，以及动态补偿器问题的研究现状。 第二章：介绍了本文所涉及到的多项式和多项式矩阵描述的一些基本的概 念、性质和理论。 第三章：针对多项式矩阵左( 右) 核空间，介绍了一种如何计算多项式矩阵 左核的最小多项式基的方法。 第四章：以多项式矩阵描述下标准形式的线性系统为研究对象，研究了系统 动态补偿器的设计问题，并且给出了动态补偿器的参数表现形式。 第五章：以多项式矩阵描述的线性系统为研究对象，研究了系统动态补偿器 的设计问题，利用多项式矩阵的互质性，结合求解单边多项式矩阵方程，提出了 一般形式的动态补偿器的设计算法。 此外，结束语部分给出了本文的主要结论，以及以后的研究展望。 1 5 2 本课题研究的创新点 本文主要利用线性系统复频率域理论，以基于多项式矩阵描述的线性系统为 研究对象，讨论了系统补偿器设计问题，主要创新点有以下几点： 天津大学硕士学位论文第一章绪论 一、考虑多项式矩阵描述或矩阵分式描述中多项式矩阵的左核空间，利用了 多项式矩阵的一般w o l o v i c h 结式和s y l v e s t e r 结式结构，结合标准正交分解，给 出了一种计算多项式矩阵左核的最小多项式基的方法。 二、针对多项式矩阵描述的线性系统，研究了在标准规范型条件下，系统动 态补偿器的设计问题。利用多项式矩阵互质性，结合多项式矩阵方程的求解，给 出基于多项式矩阵描述系统的输出反馈补偿器集合的参数表示形式。 三、研究了一般情况下基于多项式矩阵描述线性系统的动态补偿器的设计问 题。主要利用如何求解单边多项式矩阵方程的相关结论，对基于多项式矩阵描述 的非奇异系统，给出了线性系统一般形式的动态补偿器的求解算法。 天津大学硕士学位论文 第二章预备知识 2 1 引言 第二章预备知识 相对于输入、输出描述法而言，状态空间方法是一种内部描述方法，它不但 揭示了系统的外部特性和行为，而且还揭示了系统的内部特性和行为；它不仅适 用于线性系统，也适用于非线性系统。但是状态空间描述方法也有其自身的缺点 和不足。一是对于极为复杂的线性系统，建立系统动态方程是一件复杂又困难的 事情，甚至是一件不可能的事情；二是状态空间描述中状态变量的物理概念比较 隐晦，并不是总能具备可以测量的特性，尤其经过线性非奇异变换以后，新的状 态变量的物理意义更加不知所云。而输入输出描述方法中，输入量、输出量乃至 反馈信号物理概念清晰明确，容易测量，而且容易通过实验方法建立系统单位脉 冲响应阵或相应的传递函数阵等数学模型。正因为如此，一批学者通过努力将经 典线性系统理论由单变量系统推广到了多变量系统，创建了用多项式矩阵理论描 述系统的多项式矩阵描述法( p m d ) 和传递函数矩阵的矩阵分式描述方法( m f d ) ， 形成了与状态空间并行的有益结果。该描述方法既保留了描述系统的变量像输入 输出描述那样具有明确的物理概念，又能像状态空间描述那样全面深刻地指出系 统的内部特性和外部特性。通常认为罗森布罗克( h h r o s e n b r o c k ) 和沃罗维奇 ( w a w o l o v i c h ) 在7 0 年代初的开创性研究是线性系统复频率域理论的起点。在其 后的十多年中，不管在基本理论方面还是在工程应用方面，线性系统的复频率域 理论又有了很大的发展，已经形成了比较完善和成熟的理论体系 5 , 6 , 7 3 0 j 。 2 2 多项式矩阵 2 2 1 多项式 设c 为复数域，r 为实数域，为非负整数域，则可以对多项式给出如下的 定义。 定义2 2 1 【1 0 】设变量s c ，系数西r ，i - - o ，l ，2 ，聊，朋，则多项式定义 为由多个形为吐j 的项组成的代数关系式： d ( s ) = d m s 脚+ 元一l s 肼- 1 + 。+ d l s + d o ( 2 1 ) 天津大学硕士学位论文 第二章预备知识 对多项式的属性，可以给出如下的说明： ( 1 ) 多项式的次数 多项式加) 的次数定义为： 政s ) 的次数= d e g 俄s ) = 吠s ) 系数非零项z s 的s 最高幂次 相应地，称次数项的对应系数以为多项式郴) 的首系数。如果郴) 的首系数 为l ，则称多项式政s ) 为首一多项式。 ( 2 ) 多项式的应用 线性系统理论中，不管时间域方法还是复频率域方法，多项式都是有着广泛 的应用。时间域方法中，基于系统矩阵彳的特征多项式d e t ( s i 一么) 是对系统分析 和综合的基础。复频率域方法中，无论是系统描述，系统分析还是系统综合，更 是全面建立在多项式的扩展形式即多项式矩阵的基础之上的【1 , 3 , 1 0 】。 2 2 2 多项式矩阵 定义2 2 2 t l o 】以多项式为元素组成的矩阵称为多项式矩阵。设吼( s ) r 为多项式，i = 1 ，2 ，m ，产l ，2 , - - n ，则以吼( s ) 为元的m x n 多项式矩阵) 为： l ( s ) 吼。( s ) l q ( s ) = l ； l ( 2 2 ) l g 。，( s ) g 。( s ) j 对多项式矩阵的有关属性作如下的说明【1 , 1 0 ： ( 1 ) 多项式矩阵是对实数矩阵的扩展 实质上，实数矩阵就是元均为零次多项式的一类特殊的多项式矩阵。多项式 矩阵则是实数矩阵中将零次多项式元全部或者部分拓展为非零次多项式所导出 的结果。因此，从这个意义上说，多项式矩阵是对实数矩阵的自然扩展。 ( 2 ) 多项式矩阵的运算规则 由多项式矩阵和实数矩阵间的上述这种一般和特殊的关系所决定，基于实数 矩阵的许多概念和运算规则都可以原封不动地扩展用于多项式矩阵。 ( 3 ) 多项式矩阵的行列式 和实数矩阵一样，只有行数和列数相等的方多项式矩阵才可以取行列式，且 具有相同运算规则。进而，对方多项式矩阵姒s ) ，有： q o ) 的行列式= d e t q ( s ) = 一个可能含有8 的多项式 2 2 3 多项式矩阵的性质 ( 1 ) 奇异和非奇异 奇异和非奇异是方多项式矩阵的一个最为基本的属性。多项式矩阵的奇异性 天津大学硕士学位论文 第二章预备知识 和非奇异性在含义上等同于实数矩阵。 定义2 2 3 【l o 】称行数和列数相同的方多项式矩阵姒s ) 为奇异，如果其行列 式为有理分式域r ( j ) 上零元，即d e t q ( s ) 兰0 ：称行数和列数相同的方多项式矩阵 q ) 为非奇异，若其行列式为有理分式域尺o ) 上非零元，即d e t q ( s ) 不恒为零。 ( 2 ) 单模矩阵 单模矩阵( u n i m o d u l a rm a t r i c e s ) 或单模阵是一类重要的多项式矩阵。在多项式 矩阵理论和基于多项式矩阵方法的线性系统复频率域理论中，单模矩阵由于其特 有的性质而有着广泛的应用。 定义2 2 4 1 1 0 】称一个方多项式矩阵q ( s ) 为单模矩阵，当且仅当该矩阵的行 列式d e t q ( s ) = c 为独立于s 的非零常数。 单模矩阵有如下一些重要的性质 1 , l o a 4 a 5 】： 1 一个方多项式矩阵( ) 为单模矩阵，当且仅当其逆q _ 1 ( s ) 也是多项式矩阵； 2 单模矩阵具有非奇异多项式矩阵的基本性质，但反过来不成立； 3 任意两个同维单模矩阵的乘积矩阵也为单模矩阵； 4 单模矩阵烈s ) 的逆q 。1 ( s ) 也是单模矩阵。 ( 3 ) 公因子与最大公因子 定义2 2 5 【1 0 】称方多项式矩阵r o ) 为具有相同列数的两个多项式矩阵n ( s ) 和d ( s ) 的一个右公因子，如果存在多项式矩阵( j ) 和b ( s ) 使得成立： ( j ) = 0 ) 尺0 ) ，d ( s ) = d o ) 尺( s ) ( 2 3 ) 定义2 2 6 【1 0 】称方多项式矩阵q o ) 为具有相同行数的两个多项式矩阵b 0 ) 和么( j ) 的一个左公因子，如果存在多项式矩阵百( s ) 和j ( j ) 使得成立： b ( s ) = q ( j ) b o ) ，彳( s ) = q o ) 彳( s ) ( 2 - 4 ) 定义2 2 7 【1 0 】称方多项式矩阵尺0 ) 为具有相同列数的两个多项式矩阵 ) 和d ( 5 ) 的一个最大右公因子，简记为g c r d ，如果：( 1 ) r o ) 是( s ) 和d 0 ) 的一个 右公因子；( 2 ) ( s ) 和d ( s ) 的任意一个其它右公因子( 如r 1 ) 均为r o ) 的右乘 因子，即存在一个多项式矩阵职曲使得成立：r ( s ) = 形( s ) r ( s ) 。 定义2 2 8 【1 0 】称方多项式矩阵q ) 为具有相同行数的两个多项式矩阵b ( s ) 和彳o ) 的一个最大左公因子，简记为g c l d ，如果：( i ) ) 是踯) 和彳o ) 的一个左 公因子；( 2 ) 觑s ) 和彳( s ) 的任意一个其它左公因子( 如q l o ) ) 均为烈s ) 的左乘因 子，即存在一个多项式矩阵琊) 使得成立：q ( s ) = q 1 ( j ) y ( j ) 。 从最大右公因子( g c r d ) l 拘定义和构造定理出发，还可以导出g c r d 具有如下 一些重要的属性【1 , 1 0 , 1 4 , 1 5 】： 性质( i ) g c r d 的不唯一性：设r 为具有相同列数p 的两个多项式矩阵u ( s ) 和d o ) 的一个g c r d ，如) 为任意一个p 维单模矩阵，则职s 皿( s ) 也必定是) 和 天津大学硕士学位论文 第二章预备知识 踯) 的一个g c r d 性质( i i ) g c r d 在非奇异性和单模性上的唯一性：设r k s ) 和r 2 ( s ) 是多项式矩阵 ) 和踯) 的任意两个g c r d ，则当尺l o ) 为非奇异( 单模) 时，尺2 0 ) 必定为非奇异 ( 单模) 的； 性质( i i i ) g c r d 为非奇异的条件：给定p x p 和q x p 多项式矩阵) 和) ，则 当且仅当对几乎所有的s e c 有： 。 叫矧印( 列满秩) ( 2 - 5 ) 时，上) 和的所有g c r d 都必定是非奇异的； ： 性质( i v ) 设尺( s ) 是给定p 印和q x p 多项式矩阵d ) 和( s ) 的一个g c r d ，则 r ( s ) 必定可以表示为： r ( j ) = 彳o ) d ( s ) + 】， ) ( s ) ( 2 6 ) 其中郑) 和k s ) 分别