（固体力学专业论文）碰撞振动系统的复杂HOPF分叉与混沌研究.pdf

西南交通大学博士研究生学位论文第日页 a b s t r a c t v i b r o - i m p a c t p h e n o m e n o n e x i s t s i n m a n y a r e a s o f a p p l i e d m e c h a n i c s a n d e n g i n e e r i n g . m a n y e n g i n e e r i n g m a c h i n e s a r e d e s i g n e d a c c o r d i n g t o t h e p r i n c i p l e o f o p e r a t i o n o f v i b r o - i m p a c t . o n t h e o t h e r h a n d , v i b r o - i m p a c t i s o n e o f t h e m a i n c a u s e s o f d a m a g e t o a l o t o f m e c h a n i c a l c o m p o n e n t s . m o r e o v e r , t h e d y n a m i c r e s p o n s e s o f v i b r o - i m p a c t s y s t e m s a r e s t r o n g l y n o n l i n e a r . a s a r e s u l t , t h e s t u d i e s c o n c e r n i n g t h e s e s u b j e c t s h a v e s i g n i f i c a n c e t o b o t h t h e o r e t i c a l a n d p r a c t i c a l a s p e c t s . b a s e d o n r e c e n t d e v e l o p m e n t s i n h o p f b i f u r c a t i o n t h e o r y o f t w o - d e g r e e - o f - f r e e d o m v i b r o - i m p a c t s y s t e m s , c o m p l i c a t e d h o p f b i f u r c a t i o n p h e n o m e n a a n d c h a o t i c r e s p o n s e s a r e i n v e s t i g a t e d i n t h i s d i s s e r t a t i o n , a n d i t s m a i n c o n t r i b u t i o n s a r e a s f o l l o w i n g : b a s e d o n s c h u r - c o h n s t a b i l i t y c r i t e r i o n , e i g h t c r i t e r i a f o r d e t e r m i n i n g t h e c r i t i c a l p a r a m e t e r v a l u e s o f v a r i o u s b i f u r c a t i o n t y p e s o f a g e n e r a l f o u r - d i m e n s i o n m a p s y s t e m a r e e s t a b l i s h e d r e s p e c t i v e l y . t h e t h e o r e t i c a l r e s u l t m a k e s g r e a t a d v a n t a g e s o f t h e a p p l i c a t i o n o f c e n t e r m a n i f o l d - n o r m a l f o r m s m e t h o d t o t h e f o u r d i m e n s i o n p o i n c a r e m a p s o f v i b r o - i m p a c t s y s t e m s w i t h t w o - d e g r e e - o f - f r e e d o m a l s o , i t m a k e s i t p o s s i b l e t o a n a l y z e s o m e m o r e c o m p l i c a t e d b i f u r c a t i o n p h e n o m e n a o f t w o - d e g r e e - o f - f r e e d o m v i b r o - i m p a c t s y s t e m s . t h e g e n e r a l m e t h o d f o r s t u d y i n g t h e d e g e n e r a t e h o p f b i f u r c a t i o n o f a t w o - d e g r e e - o f - f r e e d o m v i b r o - i m p a c t s y s t e m i s e s t a b l i s h e d . a f t e r t h e f o u r - d i m e n s i o n p o i n c a r e m a p o f v i b r o - i m p a c t s y s t e m i s r e d u c e d i n t o a t w o d i m e n s i o n a l n o r m a l f o r m b y v i r t u e o f a c e n t e r m a n i f o l d - n o r m a l f o r m t e c h n i q u e , c h e n c i n e r s t h e o r y a b o u t d e g e n e r a t e h o p f b i f u r c a t i o n o f 2 - d i m e n s i o n m a p i s a p p l i e d t o c o n c l u d e t h e e x i s t e n c e o f d e g e n e r a t e h o p f b i f u r c a t i o n o f t w o - d e g r e e - o f - f r e e d o m v i b r o - i m p a c t s y s t e m s . t h e e x i s t e n c e o f d e g e n e r a t e h o p f b i f u r c a t i o n p h e n o m e n o n i n a c l a s s o f t w o - d e g r e e - o f - f r e e d o m v i b r o - i m p a c t s y s t e m i s f i r s t s h o w n b y b o t h t h e o r e t i c a l a n a l y s i s a n d n u m e r i c a l s i m u l a t i o n . m o r e o v e r , i n t h e s t r o n g r e s o n a n c e c a s e , t h e e x i s t e n c e o f d e g e n e r a t e h o p f b i f u r c a t i o n o f a m a p s y s t e m v e r i f i e d t h r o u g h n u m e r a l s i m u l a t i o n i s f i r s t r e p o r t e d i n t h i s p a p e r . t h e r e s u l t s c o n c e r n i n g d e g e n e r a t e h o p f b i f u r c a t i o n p h e n o m e n a o f v i b r o - i m p a c t s y s t e m s h a v e g r e a t s i g n i f i c a n c e t o b o t h d y n a m i c t h e o r y a n d 西南交通大学博士研究生学位论文第i i i 页 e n g i n e e r i n g a p p l i c a t i o n . t h e a n a l y s i s m e t h o d o f h o p f b i f u r c a t i o n o f o n e - d e g r e e - o f - f r e e d o m v i b r o - i m p a c t s y s t e m i n c o d i m e n s i o n - 2 c a s e i s g e n e r a l i z e d t w o - d e g r e e - o f - f r e e d o m v i b r o - i m p a c t s y s t e m s . t h e h o p f b i f u r c a t i o n o f a t w o - d e g r e e - o f - f r e e d o m v i b r o - i m p a c t s y s t e m i n c o d i m e n s i o n - 2 c a s e i s s h o w n b y u s i n g n u m e r i c a l s i m u l a t i o n . t h e n , t h e r o u t e s t o c h a o s f r o m t h e q u a s i - p e r i o d i c r e s p o n s e o f t h e v i b r o - i m p a c t s y s t e m a r e r e p o r t e d b r i e f l y . f i n a l l y , t h e e x i s t e n c e o f d e g e n e r a t e h o p f b i f u r c a t i o n i n c o d i m e n s i o n - 2 c a s e o f t h e t w o - d e g r e e - o f - f r e e d o m v i b r o - i m p a c t s y s t e m i s a l s o a s u r p r i s i n g l y d i s c o v e r i n g . i t i s w e l l k n o w n t h a t t h e r o u t e s t o c h a o s f r o m p e r i o d d o u b l i n g c a s c a d e s a n d f r o m a f i n i t e n u m b e r t i m e s o f t o r u s - d o u b l i n g b o t h a r e t y p i c a l . b u t i n t h i s d i s s e r t a t i o n , a f t e r t h e p e r i o d - d o u b l i n g b i f u r c a t i o n o f a t w o - d e gre e - o f - f r e e d o m v i b r o - i m p a c t s y s t e m i s v e r i f i e d b y a n a l y t i c a l m e t h o d , w e b r i e f l y r e p o r t e d a n o n - t y p i c a l r o u t e t o c h a o s o f t h e s y s t e m t h a t i s , t h e p e r i o d - d o u b l i n g c a s c a d e s c e a s e a f t e r t h r e e t i m e s p e r i o d - d o u b l i n g b i f u r c a t i o n , a n d t h e s y s t e m t u r n s o u t t o t h e s t a b l e q u a s i - p e r i o d i c r e s p o n s e a f t e r t h e p e r i o d 4 - 4 i m p a c t m o t i o n f a i l s t o b e s t a b l e . f i n a l l y , j u s t a f t e r t h e h o p f c i r c l e s o f o r d e r 4 f a i l t o s t a b l e , t h e s y s t e m c o n v e r t s i n t o c h a o s d i r e c t l y t h r o u g h p h r a s e l o c k i n g o f t h e c o r r e s p o n d i n g h o p f c i r c l e s o r t h r o u g h a f i n i t e n u m b e r o f t i m e s o f t o r u s - d o u b l i n g . t h e e x i s t e n c e o f n o n - t y p i c a l r o u t e t o c h a o s w a r n s u s t h e d a n g e r o f c o n f u s i n g a m o n g l o n g p e r i o d m o t i o n s , q u a s i - p e r i o d i c r e s p o n s e s , a n d c h a o t i c r e s p o n s e s i n c o m p l i c a t e d d y n a m i c s y s t e m s s u c h a s m u l t i - p a r a m e t e r v i b r o - i m p a c t s y s t e m s w i t h t w o - d e gre e - o f - f r e e d o m k e y w o r d s : v i b r o - i m p a c t ; t w o - d e gre e - o f - f r e e d o m ; c h a o s ; d e g e n e r a t e h o p f b i f u r c a t i o n ; c o d i m e n s i o n - 2 b i f u r c a t i o n 编号: 2 0 0 ! !5 科 技 项 目 查 新 报 告 项目名称: 碰撞振动系统 委托单位: 高等学校科技项目咨询 查新单位: 认证单位: 认证时间:2 0 0 1年 3月 6日 西南交通大学博士研究生学位论文第1 页 第 1 章 绪论 1 . 1 碰撞振动系统的工程背景 碰撞振动是我们日 常生活和生产实际中 经常见到的一种现象， 其研究涉 及工程机械、 工程力学、应用物理、应用 数学等多个专业领域。 在工程实际 中， 一方面， 为了 某种生产目 的， 可以 利 用碰撞振动的动力学原理制造多种 冲击 机械， 例 如， 振动落沙机m 冲击钻 进 机械 m ， 打印 机机头、 振动筛、 振 动 锤、 打 桩 机、 冲 压 造型 机 等。 1 9 3 7 年a .l .p a g e t 发明 了 冲 击 消 振 器 p i ， 用 来 抑制 涡轮 机叶 片、 飞 机机具的 颇 振， 后 来 又 被 用于高 层建 筑的 减振阅 。另 一方 面， 碰撞振动在工程实际中， 可能造成负 面影响。嗓声使人们的生存环境遭 到污染， 碰撞振动是环境噪声的主要来源之一， 特别是有些锻造工厂的工作 环境。 列车在高 速运行时， 车轮与 铁轨之 间 发 生碰 撞不 仅给乘车的 舒 适度带 来影响， 也与列车的 脱轨事故直接相关， 以 至 运行当 代国际先 进的高 速列车 必须铺以 无缝整 轨。 碰撞振动也是 造成 许多 机 械部 件损坏的主要原因 之一， 在核反应堆中， 核 燃料元件在流体作用下 产生 振动， 并与 支承发生 碰撞， 可 自 ba成元 件 磨 损而发 生核泄 漏， 蒸汽发生 器中的 换热管与支承板的 碰撞振动， 能使换热管发生磨损破坏， 给核反应堆的 安全运行带来威胁，并在经济上带 来巨 大的损失。由 于机械的生产加工过程中 工艺水平的限制，以 及机械装配 过程的需要或为了 满足机械中某一部分的 热膨胀等等，机械部件之间 不可避 免的存 在间隙， 而 这些间隙的 存在必然导 致机械在 运行中 发生碰撞振动. 这 就使碰 撞振动 现象在工业实际中 普遍存在。 众多 碰撞振动问 题的 共同 特点是 碰撞振动系统的维数高，动态响应复 杂。 为达到预期的 工作目 的， 取得优化的工作效果， 大量工程实际问 题迫切需要 人们对碰撞振动系统的动态行为有更深入， 更全面的认识。 含间隙的振动系 统或冲击系统一般都是多参数系统，参数的 变化将引起系统动力学响应的本 质变化:分叉，混沌现象。由于碰撞的存在， 这种动力学性质的变化往往是 具有突变性。而数据误差、安装误差等因索不可避免地导致预期的工作状态 不能实 现. 例如， 若系统参数选取不当， 冲击消振器不仅不能减小主振体的 振幅，反而会使之增加。对有关碰撞振动的机械或装置的动力优化设计依赖 西南交通大学博士研究生学位论文第z 页 于对系统复杂的 运动机理的 深刻理解。 例如， 高 速徽机打印机的稳定性决定 了 是否具有深浅一致的打印 效果阎 ; 对带间隙的 冲击 机械产生噪声的控制， 取 决于对系统的奇异吸引子的形成过程与特性的 认识. 由于碰撞振动的普遍性，以 及在机械制造、 交通、能源等诸多工业领域 的重要性，随着科学技术的高速发展，碰撞振动的动力学研究具有相当的紧 迫性，并吸引了 众多力学、 物理、数学工作者和工程技术人员的关注。 1 . 2碰撞振动系统的 稳定性、分叉与混沌 研究现状 碰撞过程本身是一个相当复杂的过程， 它与 物体接触时的相对速度、 接 触面的几何形 状及 接触持续时间、 局部塑 性变形等 有密 切的关系。 在系统进 行动态分析时， 用于 描述碰撞过程的 模型 有三 种。 其一， 是瞬时冲击模型。 假设冲击时间 为 零， 在碰 撞过程中 只考虑能 量的 损失， 使用恢复系数的 概念， 直接得到碰撞前后速度之间的关系。其二，是分段线性模型， 这种模型可以 描述碰撞的 压缩和恢复过程， 可以 考虑碰撞中 接触力的 大小变化和碰撞时间. 而第三种模型 考虑 碰 撞中 的局部变形， 用 h e r tz接 触理论网描述接 触力， 这 种理论能较好地反映接触力的变化， 但由 于其表达式为 一非线性形式， 使该 理论在进行动 态分析时比 较困 难。 大里碰 撞振动问 题的 研究是基于瞬时冲击 模型和分段线性模型. 1 9 3 。 年a .z .p e g e t 发 明 了 冲 击 消 振 器， 用 来 抑 制 涡 轮 机 叶 片 、 飞 机 机 翼 的颇振。 此后， 冲 击消振器成为 许多学者 研究 碰撞振 动系 统的 动力学问 题的 主要模型之一s .r m a s r i 等人对多 种类型的冲击消振器进行了 理论， 数值和 实验等方面的 研究， 研究的 主要问 题是确定各 种周期 碰撞振动，分析其稳定 性。 m .m .s a d e k在实 验中 发现单自 由 度冲击消 振器 在一定的 参数域中 存在非 对称冲击周期运动，即 在橄振力的一个周期中 两次冲 击的时间间隔不等， 而 且 主 振 体 的 振 幅 在 某 个 激 振 频 率 下 ， 发 生 突 然 的 跳 跃 现 象 me s .f ma s r i 在 文 【 s j 中放弃对称假设， 用分段积分的方法求出 非对称冲击周期运动。数值结果表 明，随着频率比 的 变化， 对称冲击周期运动与非对称冲 击周期运动相互转化。 实验还发 现了 周期1 一运动， 这里， 周期p 4表 示p 个力周 期中， 发生4 次 碰撞的周期运动。 冲击消振器也用于多自 由 度冲击振动系统的 和弹性体振动 系 统 的 消 振。 c .n .b a p a t 研 究了 冲 击 消 振 器 有 任 意 碰 撞 次 数 的 周 期 碰 撞 运 动 队 西南交通大学博士研究生学位论文第3 页 文 1 0 讨论了 只 有一个碰 撞体的 平 躺串 联振 动系统的 消 振问 题， 确定 一种对称 的周期运动及其稳定性.不少工作研究某些因素对冲击消振的影响，例如， n .p o p p l e w e ll 在文【 1 1 考虑了 左 右挡 板 恢复系数不同 时 产生的 影响， 而在文 1 2 中 提出了 最优冲击消 振器的 参数 简 化设计步骤。 c .n .b a p a t 在文【 1 3 中 考 虑了 冲击消振器振子与主质里块间的摩擦、确定和非确定的碰撞恢复系数等因素， 给出 了 倾 斜放 置的 两自 由 度 冲 击 振 动 器的 周 期 1 一运 动的 确 定 及 稳 定 性 判别 方法。 以上是以冲击消振器为背景的碰撞振动周期运动的确定和稳定性方面研 究的 主要方面。 反映了自 冲 击消 振器发明以 来， 2 0世 纪中 叶 碰 撞振动 领域的 主 要 研 究 成 果。 振 动 落 沙 机 是 另 一 类 典 型的 碰 撞振 动问 题的 代 表。 文【 1 研究 过 振 动 落 沙 机、 振 动 筛 和 双 质 体 冲 击 式 振 动 成 型 机的 动 力 学 问 题. 文 1 4 ) 研 究了 两 类冲击 式落沙 机的 力学 模型， 得到了 周 期解的 存 在 条 件及 稳定 性判据。 早期振动系统的 研究受计算工具的制约，多针对弱非线性情况， 采用渐 近方法或仅考虑基波的平衡法，系统维数很低时，计算过程和结果已 十分复 杂. 近年来的研究则充分利用现代动力系统的理论和现代计算手段， 研究对 象也不限于低维的弱非线性系统。 n a t s i a v a 提出了一种计算工作盆较小的接 缝法， 并用其研究了 受简谐激 励的 对称和不对称分 段线性振子的各 种共振响 应u 8 。 这类方法计算精度和效 率很高， 不足之处是需 要假设周期 运动形式， 且 程 序随 着系统维数或线性区 数目 的 增加变得非常复 杂。 谐 波平衡法 对周期 运 动 作 有 限f o u ri e r 级 数 截 断 ， 用n e w to n - r a p h s o n 格 式 迭 代 颇 倒 厕字 ， 这 便 是 与 谐 波 平 衡 法 等 价的 增 童 谐 波 平 衡 法 . 文 1 司 分 别 用 该 方 法 研 究了 非 对 称 和 对 称 弹 性 约 束 振 子 的 各 种 共 振 。 文 【 1 刀 研 究 了 一 类 具 有 间 隙 的 动 力 系 统 的自 激 振 动， 证明了 系 统极限 环的 存在 性、 唯一 性和稳定 性. 文【 1 8 对q h 上带 有初 偏间 隙 型非线性刚度的二 元获 外带 外 挂系 统的 极限 环颇 振. 进行 k b m法二 次 渐 近 等 效 性 化 分 析. 文 【 1 9 用 等 效 线 性 化 法 研 究了 车 辆 的 轮 对 与 轮 缘 的 碰 撞 运 动 . 文 2 0 将 描 述 4 m性 振 动 的 微 分 方 程 归 结 为 一 4 v -q 性 积 分 微 分 方 程， 然 后 将 此积分 徽分方程的 求解转 化为一 无穷阶的非线性代数方 程组的 求解。 从 理 论 上 讲， 可以 得到满足 任 何精 度要 求的 周期 解。 该 文用 此方 法 分析了d u 伍 ng 系 统. 文 2 1 分 析了 一 个 具 有 慢 变 系 数的 非 线 性系 统， 利 用m e l n i k o v方 法分 析了 系统在参数发生变化时的同宿分叉，同时利用分叉结果， 数值地讨论了 西南交通大学博士研究生学位论文第4 页 当 系 统 参 数 发 生 变化 时 安 全 盆 的 傻 蚀与 分 叉、 混 沌的 关 系. 文【 刀 应 用 广 义 胞 映射理论的 离散连续状态空间为胞状态空间的 基本概念， 依循 h s u的 将 偏序 集和图论理论引入广义胞映射的思想， 提出了 进行非线性动力系统全局分析 的广义胞映射图论方法。在全局瞬态分析计算中瞬态胞的总数目 有效地减少， 并能借助于图的算法有效地实现全局瞬态的拓扑排序。 在整个定性分析计算 中 仅 采 用 布 尔 运 算。 文 2 3 将小 波变 换 与p o in c a r e 映 射 相 结 合， 即 用poi= 映射确定周期解， 用谐波小波变换区分 拟周期响应和混沌运动， 提出了 一种 分 州 卜 线 性 裂 纹 转子 系 统解的 形 式 随 参 数 变 化的 新 方 法。 比 计 算l ia p u n o v 指 数的 方法节约了 计算时间， 且较易实 施。 基于常微分方程边值问 题的 数值解 建立起来的 打靶法，能在系统状态空间中 寻找 满足周期运动刻牛 的 初始状态， 即p o i n c a re映 射的不动点。 r e it h m e i e r 用打靶法计算了 碰撞振子的周期运动n + 1 打靶法编程简单且通用性好， 还可同时 得到稳定性分析所需的线性化矩阵。 特别是， 针 对多自 由 度碰撞振动系统动 力 学 研究 建 立的p o in c a r e映 射 更 适合 展示其 丰富 而又复杂的 全局动力学行为。 碰撞 振动 系统往往含有多 个参数。 当 参 数变化 至某临界值时， 周期 解的 个数及稳定性将会发生变化，即 所谓的 分叉现象. 通过无数次的倍化分叉， 或数次复 杂分 叉， 系统可能进入混沌状态。自2 0 世纪8 0年代以 来，随 着非 线性动力系统建模、 理论和计算技术的 成熟与发展， 碰撞振动系统的 研究方 向 逐渐由 单自 由 度碰撞振动系统向多自 由 度碰撞振动系统转变，由 确定周期 解的 存在条件和稳定 性判据向 揭示分叉、 棍沌等更复杂的动力学性质深入。 舒 仲周 在 文2 5 , 2 6 研究了 任意多串 联以 及串 并 混 合联结的 质体 在 多 个 正弦力激励下振动， 相互碰撞或多个自 由 体碰撞的一般情况， 提出了 振动和 稳 定 统 一 解 法 . 文 【2 刀 中 研 究了 存 在 间 隙 的 多自 由 度 碰 撞 振 动 系 统 的 周 期 运 动 及 其 稳 定 性 的 分 析 方 法 ， 将l y a p u n o v 方 法 用 于 周 期 运 动 的 扰 动 差 分 方 程 ， 导 出了 含不确定 参数的 碰撞振动系 统的 鲁 棒( r o b u s t ) 稳定 性条 件. h o h n e s和 s h a w等人用现代 动力系统观点， 研究了 碰撞系统的动力学行为. h o lm e s 在 文 2 8 1 中 对弹 跳小 球问 题的一 个简 化数学 模型 动台的 振幅达到一定 值时， 存在 s m a le马 蹄 证明存在倍化序列，并且当振 这篇论文 用严格的数学方法来 证明 碰撞振动中一个简化模型的复杂动力学行为， 虽然这一简化是否符合原 来的 力学模型还有争论， 但它唤起了 人们用现代数学理论研究碰撞振动这类 西南交通大学博士研究生学位论文第5 页 力 学问 题的 热 情。 s h a w在 文 【 2 9 中 研 究了 在 简 谐 激 励 下 有 单 侧 约 束的 单自 由 度振子， 特别是约束刚 度非常大时的碰撞振动问 题， 用中心流形定理分析了 周 期 运 动的 局 部 分 叉， 通 过 同 宿 相 截条 件 讨论了 馄 沌运 动。 在 文 3 0 中 进一 步 证明， 在完全塑性碰撞时该振子的动力学行为可由圆 周上的自 映射来描述， 通 过对该映 射的分析表明， 在几乎所有的激振频率下都存在有稳定的周期解， 但瞬态非周期 和混 沌 运动也 可能发生。 s h a w在文 3 1 中 研 究具有双面刚 性约 束的 单自由 度线性振子在简谐激励下的 碰撞振动， 用映 射的中 心流形和范式 方法研究周期运动的 局部分叉， 并发现在适当的 参数下 存在 s m a l e马蹄， 从 而系 统存在馄 沌 运动。 s h a w还设计了 基础 简 谐 激 励下 含单 侧刚 性约束的 悬嘴 梁实 验 ( 其简 化 模型 为 碰 撞振子) ， 证实了 碰撞振 动 会 产生 混沌响 应n 2 i 文 3 3 证明了 弹 跳小 球问 题存 在对称性s m a l e 马 蹄， 改 进了 文【 2 8 的结 论。 文 3 叼 证明 冲 击 摆 在 适 当 的 参 数 下 也 存 在s m a le 马 蹄 ; 文 3 5 建 立 了 由 团 周 上 的自 映射来描述振动锤的数学模型，研究了 振动锤碰撞运动经历复杂的分叉 过 程。 对高 频 激 励， 振 动 锤 的 运 动 是 棍沌 的。 文 3 司 等 计 算了 冲 击 式 落 沙 机的 奇 异 吸 引 子。 m e h u k o v 方 法 也 用 于 断 定 碰 撞 系 统 是 否 存 在 混 沌。 文 3 刀 研究了 倒立摆不稳定 位置 对应的 冲击周期 解的 稳定流 形与 不稳 定 流形在 p o i n c a re横 截 面 有 二 次 切 点， 推 断出 系 统 存 在 具 有 任 意 周 期的 周 期 运 动。 文 3 8 用m e l n i k o v 方法考察了自 由刚体在基座摇晃下碰撞振动的混沌运动， 结果解释了 在一些 参数下，该模型的实 验结果具有不可重复性。 但是，由 于 系统存 在 碰撞， 不仅导 致系 统的 动力学 行为 很复杂， 而且也 导 致一些常规的分 析方 法失 效， 例如， 一维连续系 统的 经典 结论“ 周期 3意 味 混沌” 的结 i g . 1 0 对冲 击 振子 不成立。 s h a w和h o h n e s 发 现 描述冲击振子 动力学的一维映 射在周期 3轨道中 有一个间断点， 造成冲击振子动力学一维 映射不符合光滑动力系统对连续性的根本要求. 1 。 一些研究发现，当 参数变 化时， 某 些 冲 击 周 期 运 动中 的 某 次 冲 击 会发 生 退 化. n o r d m a r k在 文【 4 2 中 研 究 了 碰 撞 振 子 周 期 轨 道 与 约 束 切 擦 碰 撞( g a z in g im p a c t ) 引 起的p o in c a re映 射的 奇异性， 发 现若周 期轨道随系 统控制参数变化 而与 约束切 擦碰撞， 会产 生一类特殊分叉一 . 分叉现象，从而进入混沌，而这类分叉不同于连续动力 系 统中的 各种分 叉。 f o a l e 驯 通 过数 值仿 真 和实 验 研究了 具有对称约束碰撞 振子的周期切擦碰 担运动， 分析了 轨线切擦后诱发的局 部分叉。i v a n o v在文 西南交通大学博士研究生学位论文第6 页 44 进 一 步 研究了 周 期 运动 在 切 擦 碰撞前 后的 稳定 性问 题. w h is to n 在文 4 5 中 研究了 在简谐傲励下的 单自 由 度振子与刚性约束的 切擦碰 撞引 起的p o in c a r e 映射的奇异性以 及对碰撞振动系统运动的全局性态的影响。由 于这种不可微 性使应用于光滑动力系统的全局稳定流形定理失效， 这使得在碰撞振动系统 中 将 发 生 稳 定 流形的 碎 化( s h r e d d i n g ) . 这 种 碎 化使 碰 撞 振 动 中 的 奇 异 子 空间 的 几何结构与同 宿轨道相交、 奇 怪吸引 子的几何结构 有极强的 相似性， 从而 说明切擦碰撞与碰撞振动的复杂运动形式有很大的关系. 该文将碰撞振动系 统的 切擦碰撞与函数曲 线的 奇异点结合起来， 利用现代数学中的 奇异性理论， 对 碰 撞 振 动 系 统的 复 杂 动力 学 性 质 进 行 研 究. 胡 海 岩 【4 6 分 析了 分 段 线 性 光 滑 系 统的 非 光 滑向 盆 场 对p o in c a r e 映 射 的 可 微 性 的 影 响 以 及 系 统 的 复 杂 动 力 学 行为。 研究表明:当 周期 运动接 近鞍结及其退化分叉 或以 低 速 度穿 过两线性 区的 切 换面时， 这类 系统的 动力 学 行为与 具有光滑向 盆场的 系 统有 显著区 别. 在 文砰 刀 中 ， p e te r k a 研究 了 具 有 粘 滞阻 尼的 碰 撞振 子中c 一 分 叉 、 倍 周 期 分叉、 鞍结分 叉 之间的 转 迁 现象。 以 上工作集中 于碰撞振动系 统的 稳定 性、 周期 倍化分 叉、 鞍结 分叉与 混 沌 研 究 。 相比之 下 ， 碰 撞 振 动 系 统 的h o p f 分 叉 研究 工 作 较 少 ， 尤 其 是 在 理 论 分析方面更是如此。 文 4 8 用 接 缝 法 证 明 ， 耗 散 分 段 线 性 振 子 的 周 期 运 动 不 可 能 发 生h o p f 分 叉。 文 4 9 研 究了 弹 黄 振 子 在 简 谐 力 作 用 下 与 无 穷 大 平 面 冲 击 模 型 ， 证 明 了 当 碰 撞 恢 复 系 数小 于1 时 ， 振 子的 周 期 运 动 不 存 在h o p f 分 叉 。 i v a n o v 发 现高 维 碰撞振动系统 p o in c a r e 映射的 共辘特征值横截单位圆 周现象， 认为高维碰撞 振 动 系 统中 可 能 存 在h o p f 分 叉 倒 。 谢 建 华 用中 心 流 形 沙 范式 方 法， 建 立了 碰 撞 振 动 系 统 分叉 研究 的 一 般 方 法， 在 文 5 1 中 发 现 一 类 单自 由 度 碰 撞 振 动 系 统 在 余 维 二 悄 况下 周 期1 - 1 运 动 的h o p f 分 叉 及 周期2 一点 的h o p f 分 叉。 之 后， 文 贷 刀 理 论 分 析 和 数 值 证 明 了 惯 性 冲 击 式 落 沙 机 在 适 当 参 数 条 样 下 存 在h o p f 分 叉. 罗 冠 炜 在 5 3 - 5 习 中 系 统 地 研 究了 两自 由 度 碰 撞 振 动 系 统 的h o p f 分 叉问 题 ， 特 别 是 研 究 了 两 种 主 要 强 共 振 条 件 下 的 次 谐 分 叉 与h o p f 分 叉 ， 并 数 值 模 拟系统的 环面倍化与锁相等复杂分 叉现象。 西南交通大学博士研究生学位论文第， 页 1 . 3相关碰撞振动系统的微分方程与离散型映射方程的理论 研究进展 描述定时冲 击的 控制方程的一般表达式为阅 x = f ( t , x ) l * l k ( x ) a x = x ( t k ) - x ( t k ) 二 i k ( k ) t = t k ( x ) x ( 1 言 ) = x o , t o 2 0 , k = 1 ,2 , . . . ( 1 - 1 ) 其中，t = t k ( k 二 1 ,2 ， 二 ) 为 冲 击时 刻。 系 统 ( 1 - 1 ) 满足下 列条件 ( a l ) 0 t l t 2 . . . t k t k + l r 系 q- t ( 1 - 1 ) 的 解定 义 为 x l ( t , t o , x o ) , t o s t s t l , x 2 ( t , t l , x ( t l ) ) , t l s t s t 2 , x ( tl ) = x ( t l , t o , x o ) x k + 1 (t , t k , x ( ik ) ) , * “ * + ， ， x (t k ) = x ( t k , t k - 1 , x ( t k - 1 ) ) 矛1.r.j、.r. = x ( 1 , t o , x o ) ( 1 - 3 ) ) 其 中 ， x k + 1 ( r , 1 k , x ( r k ) ) 是 系 ( 1 - 1 没 有 碰 撞 时 ， 以 ( t k , x ( t k ) ) 为 初 始 值 的 解 ， 西南交通大学博士研究生学位论文第8 页 而 x (! + ) 满 足 x (t r ) = x ( lk ) + i k ( x ( lk ) ) 由 于碰撞振动系统的 微分方程的 轨线在相空间上是不连续的， 这给碰撞 振动系 统的 微分方 程的 理论 研究带来了 很大的困 难。 例如， q ic k e n h e im ，和 h o lm e s 等 在 文 5 7 , 5 8 详 尽 地 研 究 了 连 续 系 统 的 微 分 方 程 非 常 有 趣 的 退 化h o p f 分 叉 ， 所 利 用的l ia p u n o v - s c h m id t 方 法 却 不 适 用 于 碰 撞 振 动 系 统 相 关 研 究 无 人涉足。 映射的分叉与混沌理论是碰撞振动系统动力学研究的理论基础，如，文 5 3 - 5 5 在 两自 由 度碰 撞 振 动 系 统的h o p f 分 叉 存 在 性 研究 中 取 得的 结 果 就 是以 二 维 平 面 映 射h o p f 分 叉 存 在 性 定 理 为 基 础 159 . q . 文 5 1 研 究 单自 由 度 碰 撞 振 动 系 统 的 余 维 二 分 叉 与h o p f 分 叉 的 主 要 工 具 是io o s s 的 二 维 映 射 范 式 理 渺， ， 6 2 1 。 该 理 论 也 为 本论 文的 两自 由 度碰 撞 振 动 系 统 在 余 维 二 情况 下h o p f 分 叉 存 在 性的 选 题 提 供依 据。 尽 管 关 于 微 分 方 程的 退 化h o p f 分 叉 现 象 的 工 作 很多 ， 而 在 映 射 系 统 的 退 化h o p f 分 叉 研 究 中 似 乎 仅 有c h e n c in e r 在 非 共 振 情 况 下 关 于二维平面映 射的结果侧， 而且， 无论是微分方程描述的系统还是映 射系统， 出 现 退 化h o p f 分 叉 这 种 非 常 复 杂 现 象的 动 力 学 实 例 很 少 。 本 论 文 在c h e n c in e r 的 工 作 基 础 上， 发 现了 两自 由 度 碰 撞 振 动 系 统 存 在 退 化h o p f 分 叉 现 象。 利 用 i o o s s 和c h e n c in e r 在映 射系 统的 环 面 倍化理 论 方面的 结 果1 ， 结 合 对两自 由 度碰撞振动系统的高维 p o i n c a r e映射的建立和中心流形一范式方法，为进一 步 研 究 碰 撞 振 动 系 统的 环 面 倍 化 提 供了 理 论 基 础. i o o s s 和l o s 在 文 【6 7 - 6 刃 中 研 究了 映 射 的h o p f - f li p i n te r a c tio n 分 叉 和h o p f - h o p f i n te r a c tio n 分 叉 等 复 杂 分叉现 象， 洲门 猜测， 在含多参数的多自 由 度碰撞振动系统的 动力学行为中， 可能出 现极为复 杂而又非常 有 趣的t 2 环面. 1 . 4碰撞振动系统的分叉与混沌研究尚存的主要问题 前面 对碰撞振动系统的 稳定性、 分 叉与 混沌研究的 意义、 方 法、 近期工 作等方 面作了比 较详细的 概述。由 于碰撞振动系统本身的 特点决定了 碰撞振 动系统的动力学研究很困 难.目 前， 碰撞振动系统的分叉与混沌研究中尚 存 许多问 题需要进一步的研究。 例如， 西南交通大学博士研究生学位论文第9 页 a )无论 单自 由 度还是 多自 由 度碰撞振 动系 统的 全局 分 叉 与混 沌 研究的 严格理 论分析方法还需进一步发展。己 有工作大都限于数值模拟或是实验研究。 b )目 前 工 作 还 只 有 两自 由 度 碰 撞 振 动 系 统的h o p f 分 叉 的 存 在 性， 未 涉 及 一 些更复 杂的h o p f 分 叉现 象。 例如， 关于多自 由 度 碰 撞振动 系统的 余维二 h o p f 分 叉 或 更 高 余 维 分 叉: 单自 由 度 或 多自 由 度 碰 撞 振 动 系 统 的 退 化h o p f 分 叉 等 更 复 杂 的h o p f 分 叉 现 象。 c )缺少数值模拟中出 现的碰撞振动系统的环面倍不 切像的机理的分析。 d )各种通向 馄沌的 路径和这些路径的相互关系没有深刻